Sheshi tre-term quhet polinom i shkallës së dytë, domethënë shprehje e formës sëpatë 2 + bx + c , ku a ≠ 0, b, c - (zakonisht jepet) numra realë, i quajtur koeficientët e tij, x - variabël.
Shënim:
Koeficient a mund të jetë çdo numër real përveç zeros. Në të vërtetë, nëse a= 0, atëherë sëpatë 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c.
Në këtë rast, nuk ka mbetur asnjë katror në shprehje, kështu që nuk mund të numërohet katrore tre afatshkurtër. Sidoqoftë, shprehje të tilla janë binomiale si, për shembull, 3 x 2 − 2x ose x 2 + 5 mund të konsiderohen si trinome katrore, nëse i plotësojmë me monomë që mungojnë me koeficient zero: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0
dhe x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.
Nëse detyra është të përcaktohen vlerat e ndryshores NS në të cilin trinomi katror merr vlera zero, d.m.th. sëpatë 2 + bx + c = 0, atëherë kemi ekuacioni kuadratik.
Nëse ka rrënjë të vlefshme x 1 dhe x 2 disa ekuacioni kuadratik, pastaj përkatëse afati tre mund të zgjerohet në faktorët linearë : sëpatë 2 + bx + c = a(x − x 1)(x − x 2)
Koment: Nëse trinomi katror konsiderohet në grupin e numrave kompleksë C, të cilët, ndoshta, nuk i keni studiuar ende, atëherë ai gjithmonë mund të zbërthehet në faktorë linearë.
Kur ka një detyrë tjetër, përcaktoni të gjitha vlerat që mund të marrë rezultati i llogaritjes trinomi katror në kuptime të ndryshme e ndryshueshme NS, d.m.th. përcaktojnë y nga shprehja y = sëpatë 2 + bx + c, atëherë kemi të bëjmë me funksion kuadratik.
ku rrënjët kuadratike janë zero të funksionit kuadratik .
Një trinom katror mund të përfaqësohet gjithashtu si
Ky paraqitje është i dobishëm për vizatimin dhe studimin e vetive të funksionit kuadratik të një ndryshoreje reale.
Funksioni kuadratikështë funksioni i dhënë nga formula y = f(x), ku f(x) është një trinom katror. ato. nga një formulë e formës
y = sëpatë 2 + bx + c,
Ku a ≠ 0, b, c- çdo numër real. Ose një formulë e transformuar e formës
.
Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë, kulmi i së cilës është në pikën 
.
Shënim: Këtu nuk shkruhet se grafiku i funksionit kuadratik quhej parabolë. Këtu thotë se grafiku i një funksioni është një parabolë. Kjo sepse matematikanët zbuluan dhe e quajtën një kurbë të tillë parabolë më herët (nga greqishtja παραβολή - krahasim, krahasim, ngjashmëri), në fazën e një studimi të hollësishëm të vetive dhe grafikut të një funksioni kuadratik.
Parabola - vija e prerjes së një koni rrethor të drejtë me një rrafsh që nuk kalon nga kulmi i konit dhe është paralel me një nga gjeneratat e këtij koni.
Parabola ka një tjetër pronë interesante që përdoret edhe si përkufizim i saj.
Parabola është një grup pikash në rrafsh, distanca nga e cila deri në një pikë të caktuar të rrafshit, e quajtur fokusi i parabolës, është e barabartë me distancën në një vijë të caktuar të drejtë, e quajtur direktoria e parabolës.
Vizatoni një skicë të grafikut një funksion kuadratik mund sipas pikave karakteristike
.
Për shembull, për funksionin y = x 2 merr pikë
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 0 | 1 | 4 | 9 |
Duke i lidhur me dorë, ndërtojmë gjysmën e djathtë të parabolës. E majta fitohet me reflektim simetrik rreth boshtit të ordinatave.
Për ndërtimin të skicojë grafikun e një funksioni kuadratik pamje e përgjithshme si pika karakteristike, është e përshtatshme të merren koordinatat e kulmit të saj, zerot e funksionit (rrënjët e ekuacionit), nëse ka, pika e kryqëzimit me boshtin e ordinatave (për x = 0, y = c) dhe një pikë simetrike me të në lidhje me boshtin e parabolës (- b / a; c).
| x | −b / 2a | x 1 | x 2 | 0 | −b / a |
| y | −(b 2 − 4ac)/4a | 0 | 0 | me | me |
| në D ≥ 0 | |||||
Por në çdo rast, vetëm një skicë e grafikut të një funksioni kuadratik mund të vizatohet me pika, d.m.th. grafiku i përafërt. për të ndërtoni një parabolë saktësisht, ju duhet të përdorni vetitë e tij: fokusin dhe drejtoritë.
Pajisuni me letër, një vizore, një katror, dy butona dhe një fije të fortë. Ngjitni një buton afërsisht në qendër të fletës së letrës - në pikën që do të jetë pika qendrore e parabolës. Ngjitni butonin e dytë në kulmin e këndit më të vogël të katrorit. Mbi bazat e butonave, fiksoni fillin në mënyrë që gjatësia e saj midis butonave të jetë e barabartë me këmbën e madhe të katrorit. Vizatoni një vijë të drejtë që nuk kalon në fokusin e parabolës së ardhshme - drejtoresha e parabolës. Ngjitni vizoren në drejtim dhe katrorin me vizoren siç tregohet në figurë. Lëvizni katrorin përgjatë vizores ndërsa shtypni lapsin kundër letrës dhe kundër katrorit. Sigurohuni që filli të jetë i tendosur.
Matni distancën midis fokusit dhe drejtimit (ju kujtoj se distanca midis një pike dhe një vije të drejtë përcaktohet nga pingulja). Ky është parametri fokal i parabolës fq... Në sistemin koordinativ të paraqitur në figurën e duhur, ekuacioni i parabolës sonë është: y = x 2/ 2fq... Në shkallën e vizatimit tim, mora një grafik të funksionit y = 0,15x 2.
Koment: për të ndërtuar një parabolë të caktuar në një shkallë të caktuar, duhet të bëni të njëjtën gjë, por në një mënyrë tjetër. Ju duhet të filloni me boshtet e koordinatave. Më pas vizatoni drejtoreshën dhe përcaktoni pozicionin e fokusit të parabolës. Dhe vetëm atëherë ndërtoni një mjet nga një shesh dhe një sundimtar. Për shembull, në mënyrë që në letër me kuadrate ndërtoni një parabolë ekuacioni i së cilës është në = x 2, duhet të vendosni fokusin në një distancë prej 0,5 qelizash nga direktriksi.
Karakteristikat e funksionit në = x 2
- Domeni i funksionit është vija e plotë numerike: D(f) = R = (−∞; ∞).
- Gama e vlerave të funksionit është një gjysmë vijë pozitive: E(f) = }