Formula e sipërfaqesështë e nevojshme për të përcaktuar sipërfaqen e një figure, e cila është një funksion me vlerë reale i përcaktuar në një klasë të caktuar figurash të rrafshit Euklidian dhe që plotëson 4 kushte:
- Pozitiviteti - Sipërfaqja nuk mund të jetë më e vogël se zero;
- Normalizimi - një katror me njësi anësore ka sipërfaqen 1;
- Kongruenca - figurat kongruente kanë sipërfaqe të barabartë;
- Aditiviteti - zona e bashkimit të 2 figurave pa pika të brendshme të përbashkëta është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të këtyre figurave.
| Figura gjeometrike | Formula | Vizatim |
|---|---|---|
|
Rezultati i shtimit të distancave ndërmjet pikave të mesit të anëve të kundërta të një katërkëndëshi konveks do të jetë i barabartë me gjysmëperimetrin e tij. |
||
|
Sektori i rrethit. Sipërfaqja e një sektori të një rrethi është e barabartë me produktin e harkut të tij dhe gjysmën e rrezes së tij. |
|
|
|
Segment rrethi. Për të marrë sipërfaqen e segmentit ASB, mjafton të zbritet sipërfaqja e trekëndëshit AOB nga zona e sektorit AOB. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
|
Sipërfaqja e elipsës është e barabartë me produktin e gjatësisë së gjysmëboshteve të mëdha dhe të vogla të elipsës dhe numrin pi. |
|
|
|
Elipsa. Një tjetër mundësi për llogaritjen e sipërfaqes së një elipsi është përmes dy rrezeve të saj. |
|
|
|
Trekëndëshi. Përmes bazës dhe lartësisë. Formula për zonën e një rrethi duke përdorur rrezen dhe diametrin e tij. |
||
|
Sheshi. Përmes tij. Sipërfaqja e një katrori është e barabartë me katrorin e gjatësisë së anës së tij. |
|
|
|
Sheshi. Përmes diagonaleve të saj. Sipërfaqja e një katrori është e barabartë me gjysmën e katrorit të gjatësisë së diagonales së tij. |
||
|
Shumëkëndëshi i rregullt. Për të përcaktuar sipërfaqen e një shumëkëndëshi të rregullt, është e nevojshme ta ndani atë në trekëndësha të barabartë që do të kishin një kulm të përbashkët në qendër të rrethit të brendashkruar. |
S= r p = 1/2 r n a |
Nëse planifikoni të bëni vetë riparime, atëherë do t'ju duhet të hartoni një vlerësim për ndërtimin dhe materialet e përfundimit. Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të llogarisni sipërfaqen e dhomës në të cilën planifikoni të prodhoni punë rinovimi. Ndihmësi kryesor në këtë është një formulë e zhvilluar posaçërisht. Zona e dhomës, përkatësisht llogaritja e saj, do t'ju lejojë të kurseni shumë para Materiale ndërtimi dhe t'i drejtojë burimet financiare të liruara në një drejtim më të përshtatshëm.
Forma gjeometrike e dhomës
Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një dhome varet drejtpërdrejt nga forma e saj. Më tipiket për strukturat shtëpiake janë drejtkëndëshe dhe dhoma katrore. Sidoqoftë, gjatë rizhvillimit, forma standarde mund të shtrembërohet. Dhomat janë:
- Drejtkëndëshe.
- Sheshi.
- Konfigurimi kompleks (për shembull, i rrumbullakët).
- Me kamare dhe projeksione.
Secila prej tyre ka veçoritë e veta të llogaritjes, por, si rregull, përdoret e njëjta formulë. Sipërfaqja e një dhome të çdo forme dhe madhësie, në një mënyrë ose në një tjetër, mund të llogaritet.
Dhomë drejtkëndore ose katrore
Për të llogaritur sipërfaqen e një dhome drejtkëndëshe ose katrore, thjesht mbani mend mësimet e shkollës gjeometria. Prandaj, nuk duhet të jetë e vështirë për ju të përcaktoni zonën e dhomës. Formula e llogaritjes duket si kjo:
S dhoma=A*B, ku
A është gjatësia e dhomës.
B është gjerësia e dhomës.
Për të matur këto vlera do t'ju duhet një matës shiriti i rregullt. Për të përfituar sa më shumë llogaritjet e sakta, ia vlen të matni murin nga të dy anët. Nëse vlerat nuk përputhen, merrni si bazë mesataren e të dhënave që rezultojnë. Por mbani mend se çdo llogaritje ka gabimet e veta, kështu që materiali duhet të blihet me një rezervë.
Një dhomë me një konfigurim kompleks
Nëse dhoma juaj nuk i përshtatet përkufizimit të "tipike", d.m.th. ka formën e një rrethi, trekëndëshi, shumëkëndëshi, atëherë mund t'ju duhet një formulë tjetër për llogaritjet. Mund të përpiqeni të ndani përafërsisht zonën e një dhome me këtë karakteristikë në elementë drejtkëndëshe dhe të bëni llogaritjet duke përdorur metodën standarde. Nëse nuk e keni këtë mundësi, atëherë përdorni metodat e mëposhtme:
- Formula për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi:
Dhoma S=π*R 2, ku
R është rrezja e dhomës.
- Formula për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi:
Dhoma S = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), ku
P është gjysmëperimetri i trekëndëshit.
A, B, C janë gjatësitë e brinjëve të saj.
Prandaj P=A+B+C/2
Nëse keni ndonjë vështirësi gjatë procesit të llogaritjes, atëherë është më mirë të mos e torturoni veten dhe të drejtoheni te profesionistët.
Zona e dhomës me projeksione dhe kamare
Shpesh muret janë zbukuruar elemente dekorative në formën e të gjitha llojeve të kamareve ose të zgjatjeve. Gjithashtu, prania e tyre mund të jetë për shkak të nevojës për të fshehur disa elementë joestetikë të dhomës tuaj. Prania e parvazëve ose kamareve në murin tuaj do të thotë që llogaritja duhet të kryhet në faza. ato. Së pari, gjendet zona e një seksioni të sheshtë të murit dhe më pas i shtohet zona e kamares ose e zgjatjes.
Sipërfaqja e murit gjendet me formulën:
S muret = P x C, ku
P - perimetri
C - lartësia
Ju gjithashtu duhet të merrni parasysh praninë e dritareve dhe dyerve. Sipërfaqja e tyre duhet të zbritet nga vlera që rezulton.
Dhomë me tavan me shumë nivele
Një tavan me shumë nivele nuk i komplikon llogaritjet aq sa duket në shikim të parë. Nëse ai ka dizajn i thjeshtë, atëherë mund të bëni llogaritjet bazuar në parimin e gjetjes së zonës së mureve të ndërlikuara nga kamare dhe projeksione.
Megjithatë, nëse dizajni juaj i tavanit ka elementë të harkuar dhe të ngjashëm me valë, atëherë është më e përshtatshme të përcaktoni zonën e tij duke përdorur sipërfaqen e dyshemesë. Për ta bërë këtë ju duhet:
- Gjeni dimensionet e të gjitha seksioneve të drejta të mureve.
- Gjeni sipërfaqen e dyshemesë.
- Shumëzoni gjatësinë dhe lartësinë e seksioneve vertikale.
- Mblidhni vlerën që rezulton me sipërfaqen e dyshemesë.
Udhëzime hap pas hapi për përcaktimin e gjeneralit
zona e dhomës
- Pastroni dhomën nga gjërat e panevojshme. Gjatë procesit të matjes do t'ju duhet Qasje falas në të gjitha zonat e dhomës suaj, kështu që ju duhet të hiqni qafe gjithçka që mund të ndërhyjë në këtë.
- Ndani vizualisht dhomën në seksione të sakta dhe formë të parregullt. Nëse dhoma juaj është rreptësisht katrore ose formë drejtkëndëshe, atëherë mund ta kaloni këtë hap.
- Bëni një plan urbanistik të rastësishëm të dhomës. Ky vizatim është i nevojshëm në mënyrë që të gjitha të dhënat të jenë gjithmonë pranë. Gjithashtu, nuk do t'ju japë mundësinë të ngatërroheni në matje të shumta.
- Matjet duhet të bëhen disa herë. Kjo rregull i rëndësishëm për të eliminuar gabimet në llogaritje. Gjithashtu, nëse e përdorni, sigurohuni që trau të shtrihet në sipërfaqen e murit.
- Gjeni sipërfaqen totale të dhomës. Formula për sipërfaqen totale të një dhome është të gjesh shumën e të gjitha zonave të seksioneve individuale të dhomës. ato. S total = S mure+S dysheme+S tavan
Zonat e figurave gjeometrike janë vlera numerike që karakterizojnë madhësinë e tyre në hapësirën dydimensionale. Kjo vlerë mund të matet në njësi sistemore dhe jo-sistemore. Kështu, për shembull, një njësi josistematike e sipërfaqes është një e qindta, një hektar. Ky është rasti nëse sipërfaqja që matet është një copë tokë. Njësia e sistemit të sipërfaqes është katrori i gjatësisë. Në sistemin SI, njësia e sipërfaqes së sheshtë është metri katror. Në GHS, njësia e sipërfaqes shprehet si centimetër katror.
Gjeometria dhe formulat e zonës janë të lidhura pazgjidhshmërisht. Kjo lidhje qëndron në faktin se llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët bazohet pikërisht në zbatimin e tyre. Për shumë figura, janë nxjerrë disa opsione nga të cilat llogariten dimensionet e tyre katrore. Bazuar në të dhënat nga deklarata e problemit, ne mund të përcaktojmë zgjidhjen më të thjeshtë të mundshme. Kjo do të lehtësojë llogaritjen dhe do të zvogëlojë mundësinë e gabimeve të llogaritjes në minimum. Për ta bërë këtë, merrni parasysh fushat kryesore të figurave në gjeometri.
Formulat për gjetjen e zonës së çdo trekëndëshi paraqiten në disa opsione:
1) Sipërfaqja e një trekëndëshi llogaritet nga baza a dhe lartësia h. Baza konsiderohet të jetë ana e figurës në të cilën është ulur lartësia. Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është:
2) Zona trekëndësh kënddrejtë llogaritet saktësisht në të njëjtën mënyrë nëse hipotenuza konsiderohet bazë. Nëse marrim këmbën si bazë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit kënddrejtë do të jetë e barabartë me produktin e këmbëve të përgjysmuara.
Formulat për llogaritjen e sipërfaqes së çdo trekëndëshi nuk mbarojnë këtu. Një shprehje tjetër përmban anët a, b dhe një funksion sinusoidal i këndit γ ndërmjet a dhe b. Vlera e sinusit gjendet në tabela. Ju gjithashtu mund ta zbuloni atë duke përdorur një kalkulator. Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është:
Duke përdorur këtë barazi, mund të siguroheni gjithashtu që zona e një trekëndëshi kënddrejtë të përcaktohet përmes gjatësisë së këmbëve. Sepse këndi γ është një kënd i drejtë, kështu që sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet pa shumëzuar me funksionin sinus.
3) Konsideroni një rast të veçantë - një trekëndësh të rregullt, brinja a e të cilit njihet me kusht ose gjatësia e tij mund të gjendet gjatë zgjidhjes. Asgjë më shumë nuk dihet për figurën në problemin e gjeometrisë. Atëherë si të gjeni zonën në këtë gjendje? Në këtë rast, zbatohet formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt:
Drejtkëndësh
Si të gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi dhe të përdorni përmasat e brinjëve që kanë një kulm të përbashkët? Shprehja për llogaritjen është:
Nëse keni nevojë të përdorni gjatësitë e diagonaleve për të llogaritur sipërfaqen e një drejtkëndëshi, atëherë do t'ju duhet një funksion i sinusit të këndit të formuar kur ato kryqëzohen. Kjo formulë për sipërfaqen e një drejtkëndëshi është:
Sheshi
Sipërfaqja e një katrori përcaktohet si fuqia e dytë e gjatësisë së anës:
Prova rrjedh nga përkufizimi se një katror është një drejtkëndësh. Të gjitha anët që formojnë një katror kanë të njëjtat përmasa. Prandaj, llogaritja e sipërfaqes së një drejtkëndëshi të tillë zbret në shumëzimin e njërit me tjetrin, d.m.th., në fuqinë e dytë të anës. Dhe formula për llogaritjen e sipërfaqes së një katrori do të marrë formën e dëshiruar.
Sipërfaqja e një katrori mund të gjendet në një mënyrë tjetër, për shembull, nëse përdorni diagonalen:
Si të llogarisni sipërfaqen e një figure që formohet nga një pjesë e një rrafshi të kufizuar nga një rreth? Për të llogaritur sipërfaqen, formulat janë:
Paralelogrami
Për një paralelogram, formula përmban dimensionet lineare të anës, lartësisë dhe operacionit matematikor - shumëzimit. Nëse lartësia është e panjohur, atëherë si të gjeni zonën e paralelogramit? Ekziston një mënyrë tjetër për të llogaritur. Do të kërkohet një vlerë e caktuar, e cila do të marrë funksioni trigonometrik këndi i formuar partitë ngjitur, si dhe gjatësitë e tyre.
Formulat për sipërfaqen e një paralelogrami janë:
Rombi
Si të gjeni sipërfaqen e një katërkëndëshi të quajtur romb? Sipërfaqja e një rombi përcaktohet duke përdorur matematikë të thjeshtë me diagonale. Vërtetimi bazohet në faktin se segmentet diagonale në d1 dhe d2 kryqëzohen në kënde të drejta. Nga tabela e sinuseve shihet se për kënd i drejtë ky funksion është i barabartë me një. Prandaj, zona e një rombi llogaritet si më poshtë:
Zona e një rombi mund të gjendet edhe në një mënyrë tjetër. Kjo gjithashtu nuk është e vështirë të vërtetohet, duke qenë se anët e saj janë të njëjta në gjatësi. Pastaj zëvendësoni produktin e tyre në një shprehje të ngjashme për një paralelogram. Në fund të fundit, një rast i veçantë i kësaj figure të veçantë është një romb. Këtu γ - këndi i brendshëm romb Zona e një rombi përcaktohet si më poshtë:
Trapezoid
Si të gjeni sipërfaqen e një trapezi përmes bazave (a dhe b), nëse problemi tregon gjatësinë e tyre? Këtu, pa një vlerë të njohur të gjatësisë së lartësisë h, nuk do të jetë e mundur të llogaritet sipërfaqja e një trapezi të tillë. Sepse kjo vlerë përmban shprehjen për llogaritjen:
Madhësia katrore e një trapezi drejtkëndor gjithashtu mund të llogaritet në të njëjtën mënyrë. Është marrë parasysh se në një trapez drejtkëndor kombinohen konceptet e lartësisë dhe anës. Prandaj, për një trapez drejtkëndor, duhet të specifikoni gjatësinë e anës anësore në vend të lartësisë.
Cilindri dhe paralelipiped
Le të shqyrtojmë se çfarë nevojitet për të llogaritur sipërfaqen e të gjithë cilindrit. Sipërfaqja e një figure të caktuar është një palë rrathësh të quajtur baza, dhe sipërfaqe anësore. Rrathët që formojnë rrathë kanë gjatësi rrezesh të barabarta me r. Për sipërfaqen e një cilindri bëhet llogaritja e mëposhtme:
Si të gjeni sipërfaqen e një paralelipipedi që përbëhet nga tre palë faqe? Matjet e tij përputhen me çiftin specifik. Fytyrat e kundërta kanë të njëjtat parametra. Së pari, gjeni S (1), S (2), S (3) - dimensionet katrore të fytyrave të pabarabarta. Atëherë sipërfaqja e paralelepipedit është:
Unazë
Dy rrathë me një qendër të përbashkët formojnë një unazë. Ata gjithashtu kufizojnë zonën e unazës. Në të njëjtën kohë, të dyja formulat e llogaritjes merrni parasysh përmasat e secilit rreth. E para prej tyre, duke llogaritur sipërfaqen e unazës, përmban rrezet më të mëdha R dhe r më të vogla. Më shpesh ato quhen të jashtme dhe të brendshme. Në shprehjen e dytë, sipërfaqja e unazës llogaritet përmes diametrave më të mëdhenj D dhe d më të vegjël. Kështu, zona e unazës bazuar në rrezet e njohura llogaritet si më poshtë:
Zona e unazës, duke përdorur gjatësinë e diametrave, përcaktohet si më poshtë:
Shumëkëndëshi
Si të gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi, forma e të cilit nuk është e rregullt? Formula e përgjithshme Nuk ka shifra të tilla për zonën. Por nëse përshkruhet në një plan koordinativ, për shembull, mund të jetë letër me kuadrate, atëherë si të gjeni sipërfaqen në këtë rast? Këtu ata përdorin një metodë që nuk kërkon matjen e përafërt të figurës. Ata e bëjnë këtë: nëse gjejnë pika që bien në cepin e qelizës ose kanë koordinata të tëra, atëherë merren parasysh vetëm ato. Për të zbuluar më pas se cila është zona, përdorni formulën e provuar nga Peake. Është e nevojshme të shtoni numrin e pikave të vendosura brenda vijës së thyer me gjysmën e pikave që shtrihen në të dhe të zbrisni një, d.m.th. llogaritet në këtë mënyrë:
ku B, G - numri i pikave të vendosura brenda dhe në të gjithë vijën e thyer, përkatësisht.
Njohuria se si të matet Toka u shfaq në kohët e lashta dhe gradualisht mori formë në shkencën e gjeometrisë. ME gjuha greke Kjo fjalë përkthehet si "anketim i tokës".
Masa e shtrirjes së një pjese të sheshtë të Tokës në gjatësi dhe gjerësi është sipërfaqja. Në matematikë, zakonisht shënohet me shkronjën latine S (nga anglishtja "katror" - "zona", "katror") ose shkronja greke σ (sigma). S tregon sipërfaqen e një figure në një plan ose sipërfaqen e një trupi, dhe σ është zona e prerjes tërthore të një teli në fizikë. Këto janë simbolet kryesore, megjithëse mund të ketë të tjera, për shembull, në fushën e forcës së materialeve, A është zona e seksionit kryq të profilit.
Në kontakt me
Formulat e llogaritjes
Duke ditur zonat e figurave të thjeshta, mund të gjeni parametrat e atyre më komplekse.. Matematikanët e lashtë zhvilluan formula që mund të përdoren për t'i llogaritur lehtësisht ato. Shifra të tilla janë trekëndëshi, katërkëndëshi, shumëkëndëshi, rrethi.
Për të gjetur sipërfaqen e një figure komplekse të rrafshët, ajo ndahet në shumë figura të thjeshta si trekëndëshat, trapezoidët ose drejtkëndëshat. Pastaj metodat matematikore nxirrni një formulë për sipërfaqen e kësaj figure. Një metodë e ngjashme përdoret jo vetëm në gjeometri, por edhe në analiza matematikore për të llogaritur sipërfaqet e figurave të kufizuara me kurba.
Trekëndëshi
Le të fillojmë me figurën më të thjeshtë - një trekëndësh. Ato janë drejtkëndëshe, dykëndëshe dhe barabrinjës. Merrni çdo trekëndësh ABC me brinjë AB=a, BC=b dhe AC=c (∆ ABC). Për të gjetur zonën e saj, le të kujtojmë teoremat e sinusit dhe kosinusit të njohura nga kursi i matematikës shkollore. Duke hequr dorë nga të gjitha llogaritjet, arrijmë në formulat e mëposhtme:
- S=√ - formula e Heronit, e njohur nga të gjithë, ku p=(a+b+c)/2 është gjysmëperimetri i trekëndëshit;
- S=a h/2, ku h është lartësia e ulur në anën a;
- S=a b (sin γ)/2, ku γ është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b;
- S=a b/2, nëse ∆ ABC është drejtkëndëshe (këtu a dhe b janë këmbët);
- S=b² (sin (2 β))/2, nëse ∆ ABC është dykëndësh (këtu b është një nga "ijet", β është këndi midis "vijeve" të trekëndëshit);
- S=a² √¾, nëse ∆ ABC është barabrinjës (këtu a është një brinjë e trekëndëshit).
Katërkëndësh
Le të jetë një katërkëndësh ABCD me AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Për të gjetur zonën S të një 4-këndëshi arbitrar, duhet ta ndani atë me diagonale në dy trekëndësha, zonat e të cilave S1 dhe S2 në përgjithësi nuk janë të barabarta.
Më pas përdorni formulat për t'i llogaritur dhe për t'i shtuar ato, d.m.th. S=S1+S2. Sidoqoftë, nëse një 4-gon i përket një klase të caktuar, atëherë zona e tij mund të gjendet duke përdorur formula të njohura më parë:
- S=(a+c) h/2=e h, nëse tetragoni është trapez (këtu a dhe c janë bazat, e janë vija e mesme trapezoid, h - lartësia e ulur në njërën nga bazat e trapezit;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, nëse ABCD është paralelogram (këtu φ është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b, h është lartësia e rënë në brinjën a, d1 dhe d2 janë diagonale);
- S=a b=d²/2, nëse ABCD është një drejtkëndësh (d është një diagonale);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, nëse ABCD është një romb (a është ana e rombit, φ është një nga këndet e tij, P është perimetri);
- S=a²=P²/16=d²/2, nëse ABCD është katror.
Shumëkëndëshi
Për të gjetur sipërfaqen e një n-gon, matematikanët e zbërthejnë atë në figura të thjeshta të barabarta - trekëndësha, gjejnë sipërfaqen e secilit prej tyre dhe më pas i shtojnë ato. Por nëse shumëkëndëshi i përket klasës së rregullt, atëherë përdorni formulën:
S=a n h/2=a² n/=P²/, ku n është numri i kulmeve (ose brinjëve) të shumëkëndëshit, a është ana e n-këndëshit, P është perimetri i tij, h është apotema, d.m.th. segment i tërhequr nga qendra e shumëkëndëshit në njërën nga anët e tij në një kënd prej 90°.
Rretho
Një rreth është një shumëkëndësh i përsosur me një numër të pafund brinjësh. Ne duhet të llogarisim kufirin e shprehjes në të djathtë në formulën për sipërfaqen e një shumëkëndëshi me numrin e brinjëve n që priren në pafundësi. Në këtë rast, perimetri i shumëkëndëshit do të kthehet në gjatësinë e një rrethi me rreze R, e cila do të jetë kufiri i rrethit tonë, dhe do të bëhet i barabartë me P=2 π R. Zëvendësoni këtë shprehje me formulën e mësipërme. Ne do të marrim:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Le ta gjejmë kufirin e kësaj shprehjeje si n→∞. Për ta bërë këtë, marrim parasysh që lim (cos (180°/n)) për n→∞ është i barabartë me cos 0°=1 (lim është shenja e kufirit), dhe lim = lim për n→∞ është e barabartë me 1/π (ne përkthyem masë shkallë për radian, duke përdorur relacionin π rad=180°, dhe aplikoi kufirin e parë të shquar (sin x)/x=1 në x→∞). Duke zëvendësuar vlerat e marra në shprehjen e fundit për S, arrijmë në formulën e njohur:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Njësitë
Përdoren njësi matëse sistemike dhe josistematike. Njësitë e sistemit i përkasin SI (System International). Ky është një metër katror (metër katror, m²) dhe njësitë që rrjedhin prej tij: mm², cm², km².
Në milimetra katrorë (mm²), për shembull, matet sipërfaqja e seksionit kryq të telave në inxhinierinë elektrike, në centimetra katrorë (cm²) - seksioni kryq i një trau në mekanikën strukturore, në metra katrorë(m²) - apartamente ose shtëpi, në kilometra katrorë (km²) - territore në gjeografi.
Mirëpo, ndonjëherë përdoren njësi matëse josistematike, si: thurje, ar (a), hektar (ha) dhe akër (as). Le të paraqesim marrëdhëniet e mëposhtme:
- 1qind metra katror=1 a=100 m²=0,01 hektarë;
- 1 ha=100 a=100 hektarë=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
- 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 hektarë = 0.405 hektarë.
Llogaritja e sipërfaqes së një figure- kjo është ndoshta një nga më detyra komplekse teoria e zonës. Në gjeometrinë shkollore, ata mësohen të gjejnë sipërfaqet e formave themelore gjeometrike si p.sh. trekëndëshi, rombi, drejtkëndëshi, trapezi, rrethi etj. Megjithatë, shpesh duhet të merreni me llogaritjen e zonave të shifrave më komplekse. Është kur zgjidhen probleme të tilla që është shumë i përshtatshëm të përdoret llogaritja integrale.
Përkufizimi.
Trapezoid lakor quaj një figurë G të kufizuar nga drejtëzat y = f(x), y = 0, x = a dhe x = b, dhe funksioni f(x) është i vazhdueshëm në segmentin [a; b] dhe nuk e ndryshon shenjën në të (Fig. 1). Zona e një trapezi të lakuar mund të shënohet me S(G).
Një integral i caktuar ʃ a b f(x)dx për funksionin f(x), i cili është i vazhdueshëm dhe jo negativ në intervalin [a; b], dhe është zona e trapezit të lakuar përkatës.
Kjo do të thotë, për të gjetur sipërfaqen e një figure G të kufizuar nga linjat y = f(x), y = 0, x = a dhe x = b, është e nevojshme të llogaritet integral i caktuarʃ a b f(x)dx.
Kështu, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Nëse funksioni y = f(x) nuk është pozitiv në [a; b], atëherë zona e një trapezi të lakuar mund të gjendet duke përdorur formulën S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Shembulli 1.
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = x 3; y = 1; x = 2.
Zgjidhje.
Vijat e dhëna formojnë figurën ABC, e cila tregohet duke u çelur oriz. 2.
Sipërfaqja e kërkuar është e barabartë me diferencën midis zonave të trapezit të lakuar DACE dhe katrorit DABE.
Duke përdorur formulën S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), gjejmë kufijtë e integrimit. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim një sistem prej dy ekuacionesh:
(y = x 3,
(y = 1.
Kështu, kemi x 1 = 1 - kufiri i poshtëm dhe x = 2 - kufiri i sipërm.
Pra, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (njësi katrore).
Përgjigje: 11/4 sq. njësi
Shembulli 2.
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = √x; y = 2; x = 9.
Zgjidhje.
Vijat e dhëna formojnë figurën ABC, e cila kufizohet më sipër nga grafiku i funksionit
y = √x, dhe më poshtë është një grafik i funksionit y = 2. Figura që rezulton tregohet duke u çelur në oriz. 3.
Zona e kërkuar është S = ʃ a b (√x – 2). Le të gjejmë kufijtë e integrimit: b = 9, për të gjetur a, zgjidhim një sistem me dy ekuacione:
(y = √x,
(y = 2.
Kështu, ne kemi se x = 4 = a - ky është kufiri i poshtëm.
Pra, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (njësi katrore).
Përgjigje: S = 2 2/3 sq. njësi
Shembulli 3.
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Zgjidhje.
Le të vizatojmë funksionin y = x 3 – 4x për x ≥ 0. Për ta bërë këtë, gjeni derivatin y’:
y' = 3x 2 - 4, y' = 0 në x = ±2/√3 ≈ 1,1 - pikat kritike.
Nëse vizatojmë pikat kritike në vijën numerike dhe renditim shenjat e derivatit, gjejmë se funksioni zvogëlohet nga zero në 2/√3 dhe rritet nga 2/√3 në plus pafundësi. Atëherë x = 2/√3 është pika minimale, vlera minimale e funksionit y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të grafikut me boshtet e koordinatave:
nëse x = 0, atëherë y = 0, që do të thotë A(0; 0) është pika e kryqëzimit me boshtin Oy;
nëse y = 0, atëherë x 3 – 4x = 0 ose x(x 2 – 4) = 0, ose x(x – 2)(x + 2) = 0, prej nga x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (jo i përshtatshëm, sepse x ≥ 0).
Pikat A(0; 0) dhe B(2; 0) janë pikat e prerjes së grafikut me boshtin Ox.
Vijat e dhëna formojnë figurën OAB, e cila tregohet duke u çelur oriz. 4.
Meqenëse funksioni y = x 3 – 4x merr (0; 2) kuptim negativ, Kjo
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Kemi: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, prej nga S = 4 sq. njësi
Përgjigje: S = 4 sq. njësi
Shembulli 4.
Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga parabola y = 2x 2 – 2x + 1, drejtëzat x = 0, y = 0 dhe tangjenten me këtë parabolë në pikën me abshisën x 0 = 2.
Zgjidhje.
Së pari, le të krijojmë një ekuacion për tangjenten me parabolën y = 2x 2 – 2x + 1 në pikën me abshisën x₀ = 2.
Meqenëse derivati y’ = 4x – 2, atëherë për x 0 = 2 marrim k = y’(2) = 6.
Le të gjejmë ordinatën e pikës tangjente: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Prandaj, ekuacioni tangjent ka formën: y - 5 = 6 (x - 2) ose y = 6x - 7.
Le të ndërtojmë një figurë të kufizuar me vija:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolë. Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative: A(0; 1) – me boshtin Oy; me boshtin Ox - nuk ka pika kryqëzimi, sepse ekuacioni 2x 2 – 2x + 1 = 0 nuk ka zgjidhje (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, domethënë, kulmi i pikës së parabolës B ka koordinatat B(1/2; 1/2).
Pra, figura, zona e së cilës duhet të përcaktohet, tregohet duke u çelur oriz. 5.
Kemi: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Le të gjejmë koordinatat e pikës D nga kushti:
6x – 7 = 0, d.m.th. x = 7/6, që do të thotë DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Ne gjejmë zonën e trekëndëshit DBC duke përdorur formulën S ADBC = 1/2 · DC · BC. Kështu,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 sq. njësi
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (njësi katrore).
Më në fund marrim: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (njësi katrore).
Përgjigje: S = 1 1/4 sq. njësi
Ne kemi parë shembuj gjetja e sipërfaqeve të figurave të kufizuara me vija të dhëna. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni linja dhe grafikë funksionesh në një plan, të gjeni pikat e kryqëzimit të vijave, të aplikoni një formulë për të gjetur zonën, e cila nënkupton aftësinë për të llogaritur integrale të caktuara.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.