Funksionet trigonometrike janë funksione elementare argumenti i të cilëve është qoshe. Duke përdorur funksionet trigonometrike përshkruan marrëdhëniet midis brinjëve dhe këndeve akute në një trekëndësh kënddrejtë. Fushat e zbatimit të funksioneve trigonometrike janë jashtëzakonisht të ndryshme. Për shembull, çdo proces periodik mund të përfaqësohet si një shumë e funksioneve trigonometrike (seri Fourier). Këto funksione shfaqen shpesh kur zgjidhen ekuacionet diferenciale dhe funksionale.

Funksionet trigonometrike përfshijnë 6 funksionet e mëposhtme: sinusit, kosinusi, tangjente, kotangjent, sekant Dhe kosekant. Për secilin prej këtyre funksioneve ekziston një funksion trigonometrik invers.

Përkufizimi gjeometrik i funksioneve trigonometrike mund të prezantohet me lehtësi duke përdorur rrethi njësi. Figura më poshtë tregon një rreth me rreze r= 1. Ka një pikë në rreth M(x, y). Këndi ndërmjet vektorit të rrezes OM dhe drejtimi i boshtit pozitiv kau barazohet α .

Sinus këndi α y pikë M(x, y) në rreze r: mëkat α = y/r. Sepse r= 1, atëherë sinusi është i barabartë me ordinatën e pikës M(x, y).

Kosinusi këndi α x pikë M(x, y) në rreze r:cos α = x/r = x

Tangjente këndi α quhet raporti i ordinatave y pikë M(x, y) te abshisa e saj x:tan α = y/x, x ≠ 0

Kotangjente këndi α i quajtur raporti i abshisave x pikë M(x, y) në ordinancën e saj y:krevat α = x/y, y ≠ 0

Sekante këndi α − është raporti i rrezes r te abshisa x pikë M(x, y): sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekant këndi α − është raporti i rrezes r te ordinata y pikë M(x, y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

Në rrethin njësi të projeksionit x, y pikë M(x, y) dhe rreze r formojnë një trekëndësh kënddrejtë në të cilin x, y janë këmbët, dhe r− hipotenuzë. Prandaj, përkufizimet e mësipërme të funksioneve trigonometrike të zbatuara në një trekëndësh kënddrejtë janë formuluar si më poshtë: Sinus këndi α quhet raporti i anës së kundërt me hipotenuzën. Kosinusi këndi α quhet raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën. Tangjente këndi α quhet ana e kundërt me fqinjin. Kotangjente këndi α quhet ana ngjitur me anën e kundërt.

Grafiku i funksionit të sinusit y= mëkat x, domeni: x ∈ ℜ , diapazoni: −1 ≤ sin x ≤ 1

Grafiku i funksionit të kosinusit y=cos x, domeni: x ∈ ℜ , diapazoni: −1 ≤ cos x ≤ 1

Grafiku i funksionit tangjent y= ttg x, domeni: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, diapazoni: −∞< tg x < ∞

Grafiku i funksionit kotangjent y=ctg x, domeni: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, diapazoni: −∞< ctg x < ∞

Masa e shkallës së këndit. Masa radiane e këndit. Shndërrimi i shkallëve në radianë dhe anasjelltas.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Në mësimin e mëparshëm mësuam se si të masim këndet në një rreth trigonometrik. Mësoi si të numërojë këndet pozitive dhe negative. Mësuam se si të vizatojmë një kënd më të madh se 360 ​​gradë. Është koha për të kuptuar se si të matni këndet. Sidomos me numrin "Pi", i cili përpiqet të na ngatërrojë në detyra të ndërlikuara, po...

Problemet standarde në trigonometri me numrin "Pi" janë zgjidhur mirë. Kujtesa vizuale ndihmon. Por çdo devijim nga shablloni është një fatkeqësi! Për të shmangur rënien - kuptojnë e nevojshme. Kjo është ajo që do të bëjmë tani me sukses. Dua të them, ne do të kuptojmë gjithçka!

Kështu që, çfarë a llogariten këndet? Në kursin e trigonometrisë shkollore përdoren dy masa: masë shkallë e këndit Dhe masë e këndit radian. Le të shohim këto masa. Pa këtë, nuk ka askund në trigonometri.

Masa e shkallës së këndit.

Ne disi u mësuam me gradë. Së paku kemi kaluar gjeometrinë... Dhe në jetë hasim shpesh shprehjen "u kthye 180 gradë", për shembull. Shkurt, një diplomë është një gjë e thjeshtë...

Po? Më përgjigjeni atëherë çfarë është një diplomë? Çfarë, nuk funksionon menjëherë? Kjo eshte...

Diplomat u shpikën në Babiloninë e Lashtë. Ishte shumë kohë më parë... 40 shekuj më parë... Dhe ata erdhën me një ide të thjeshtë. Ata morën dhe e ndanë rrethin në 360 pjesë të barabarta. 1 shkallë është 1/360 e rrethit. Kjo eshte e gjitha. Mund ta kishin thyer në 100 pjesë. Ose 1000. Por e ndanë në 360. Meqë ra fjala, pse pikërisht 360? Si është 360 më i mirë se 100? 100 duket se është disi më e qetë... Përpiqu t'i përgjigjesh kësaj pyetjeje. Apo i dobët kundër Babilonisë së Lashtë?

Diku në të njëjtën kohë, në Egjipti i lashte u munduan nga një pyetje tjetër. Sa herë është gjatësia e një rrethi më e madhe se gjatësia e diametrit të tij? Dhe e matën kështu, e ashtu... Gjithçka doli pak më shumë se tre. Por disi doli i ashpër, i pabarabartë... Por ata, egjiptianët, nuk kanë faj. Pas tyre vuajtën edhe 35 shekuj të tjerë. Derisa më në fund vërtetuan se sado imët të prisni një rreth në copa të barabarta, nga copa të tilla mund të bëni e lëmuar gjatësia e diametrit është e pamundur... Në parim është e pamundur. Epo, sa herë është vendosur perimetri më i madh se diametri, natyrisht. Përafërsisht. 3.1415926... herë.

Ky është numri "Pi". Kaq i ashpër, kaq i ashpër. Pas presjes dhjetore ka një numër të pafund numrash pa asnjë renditje... Numrat e tillë quhen irracionalë. Kjo, nga rruga, do të thotë se nga pjesë të barabarta të një rrethi diametri e lëmuar mos palos. kurrë.

Për aplikim praktikËshtë zakon të mbani mend vetëm dy shifra pas pikës dhjetore. Mbani mend:

Meqenëse kuptojmë se perimetri i një rrethi është më i madh se diametri i tij me herë "Pi", ka kuptim të kujtojmë formulën për perimetrin e një rrethi:

Ku L- perimetri, dhe d- diametri i tij.

E dobishme në gjeometri.

Për arsimi i përgjithshëm Do të shtoj se numri “Pi” nuk gjendet vetëm në gjeometri... Në degë të ndryshme të matematikës, e sidomos në teorinë e probabilitetit, ky numër shfaqet vazhdimisht! Vetvetiu. Përtej dëshirave tona. Si kjo.

Por le të kthehemi në shkallë. A e keni kuptuar pse në Babiloninë e Lashtë rrethi ishte i ndarë në 360 pjesë të barabarta? Dhe jo me 100, për shembull? Jo? NE RREGULL. Unë do t'ju jap një version. Ju nuk mund të pyesni babilonasit e lashtë ... Për ndërtim, ose, të themi, astronomi, është e përshtatshme të ndash rrethin në pjesë të barabarta. Tani kuptoni me cilët numra është i pjesëtueshëm plotësisht 100, dhe cilat - 360? Dhe në cilin version të këtyre pjesëtuesve plotësisht- më shumë? Kjo ndarje është shumë e përshtatshme për njerëzit. Por...

Siç doli shumë më vonë se Babilonia e Lashtë, jo të gjithë i pëlqejnë diplomat. Matematika e lartë nuk i pëlqen... Matematika e lartë është një zonjë serioze, e organizuar sipas ligjeve të natyrës. Dhe kjo zonjë thotë: “Sot e ndave rrethin në 360 pjesë, nesër do ta thyesh në 100, pasnesër në 245... Dhe çfarë të bëja, jo, vërtet...” Më duhej të dëgjoja. Nuk mund ta mashtrosh natyrën...

Ishte e nevojshme të futej një masë këndi që nuk varet nga shpikjet njerëzore. Takohuni - radian!

Masa radiane e këndit.

Çfarë është një radian? Përkufizimi i një radian bazohet ende në një rreth. Një kënd prej 1 radian është një kënd që pret një hark nga një rreth gjatësia e të cilit është ( L) është e barabartë me gjatësinë e rrezes ( R). Le të shohim fotot.

Një kënd kaq i vogël, pothuajse nuk ekziston... Lëvizim kursorin mbi foto (ose prekim figurën në tablet) dhe shohim rreth një radian. L = R

A e ndjeni ndryshimin?

Një radian është shumë më tepër se një shkallë. Sa herë?

Le të shohim foton tjetër. Mbi të cilin vizatova një gjysmërreth. Këndi i shpalosur është, natyrisht, 180°.

Tani do ta pres këtë gjysmërreth në radianë! Ne e kalojmë kursorin mbi figurë dhe shohim se 180° përshtaten me 3 radianë plus.

Kush mund ta marrë me mend se me çfarë barazohet ky bisht!?

Po! Ky bisht është 0.1415926.... Përshëndetje, numri "Pi", nuk të kemi harruar akoma!

Në të vërtetë, 180° gradë përmban 3,1415926... radianë. Siç e kuptoni vetë, të shkruani 3.1415926 gjatë gjithë kohës ... është e papërshtatshme. Prandaj, në vend të këtij numri të pafund, ata gjithmonë shkruajnë thjesht:

Por në internet numri

Është e papërshtatshme të shkruash... Prandaj e shkruaj emrin e tij në tekst - “Pi”. Mos u ngatërroni, mirë?...

Tani mund të shkruajmë një barazi të përafërt në një mënyrë plotësisht kuptimplote:

Ose barazi e saktë:

Le të përcaktojmë se sa gradë janë në një radian. Si? Lehtë! Nëse ka 180 gradë në 3,14 radian, atëherë ka 3,14 herë më pak në 1 radian! Kjo do të thotë, ne e ndajmë ekuacionin e parë (formula është gjithashtu një ekuacion!) me 3.14:

Ky raport është i dobishëm për t'u mbajtur mend. Një radian është afërsisht 60°. Në trigonometri, shpesh duhet të vlerësoni dhe vlerësoni situatën. Kjo është ajo ku kjo njohuri ndihmon shumë.

Por aftësia kryesore e kësaj teme është shndërrimi i shkallëve në radianë dhe anasjelltas.

Nëse këndi jepet në radianë me numrin "Pi", gjithçka është shumë e thjeshtë. Ne e dimë se radianët "Pi" = 180°. Pra, ne zëvendësojmë radianët për "Pi" - 180°. Këndin e marrim në gradë. Ne zvogëlojmë atë që zvogëlohet dhe përgjigja është gati. Për shembull, ne duhet të zbulojmë se sa gradë në këndin "Pi"/2 radian? Kështu ne shkruajmë:

Ose, një shprehje më ekzotike:

Lehtë, apo jo?

Përkthimi i kundërt është pak më i ndërlikuar. Por jo shumë. Nëse këndi është dhënë në gradë, ne duhet të kuptojmë se me çfarë një shkallë është e barabartë në radianë dhe ta shumëzojmë atë numër me numrin e gradëve. Sa është e barabartë me 1° në radiane?

Ne shikojmë formulën dhe kuptojmë se nëse 180° = "Pi" radian, atëherë 1° është 180 herë më e vogël. Ose, me fjalë të tjera, ne e ndajmë ekuacionin (një formulë është gjithashtu një ekuacion!) me 180. Nuk është e nevojshme të paraqitet "Pi" si 3.14 gjithsesi; Gjejmë se një shkallë është e barabartë me:

Kjo eshte e gjitha. Ne shumëzojmë numrin e gradëve me këtë vlerë dhe marrim këndin në radianë. Për shembull:

Ose, në mënyrë të ngjashme:

Siç mund ta shihni, në një bisedë të qetë me digresione lirike, doli se radianët janë shumë të thjeshtë. Dhe përkthimi nuk ka asnjë problem... Dhe “Pi” është një gjë krejtësisht e tolerueshme... Pra nga vjen konfuzioni!?

Unë do të zbuloj sekretin. Fakti është se në funksionet trigonometrike shkruhet simboli i shkallëve. Gjithmonë. Për shembull, sin35°. Ky është sinusi 35 gradë . Dhe ikona e radianit ( i gëzuar) - nuk është shkruar! Është e nënkuptuar. Ose matematikanët u pushtuan nga përtacia, ose diçka tjetër... Por ata vendosën të mos shkruanin. Nëse nuk ka simbole brenda sinus-kotangjentit, atëherë këndi është në radiane ! Për shembull, cos3 është kosinusi i tre radianet .

Kjo çon në konfuzion... Një person sheh "Pi" dhe beson se është 180°. Në çdo kohë dhe kudo. Nga rruga, kjo funksionon. Për momentin, shembujt janë standard. Por "Pi" është një numër! Numri është 3.14, por jo gradë! Ky është radian "Pi" = 180°!

Edhe një herë: "Pi" është një numër! 3.14. Irracionale, por një numër. Njësoj si 5 ose 8. Për shembull, mund të bëni për hapat "Pi". Tre hapa dhe pak më shumë. Ose blini kilogramë karamele "Pi". Nëse një shitës i arsimuar has...

"Pi" është një numër! Çfarë, të mërzita me këtë frazë? A keni kuptuar tashmë gjithçka prej kohësh? NE RREGULL. Le të kontrollojmë. Më thuaj, cili numër është më i madh?

Apo çfarë është më pak?

Kjo është një nga një seri pyetjesh paksa jo standarde që mund t'ju çojnë në hutim...

Nëse edhe ju keni rënë në hutim, mbani mend magjinë: "Pi" është një numër! 3.14. Në sinusin e parë thuhet qartë se këndi është në gradë! Prandaj, është e pamundur të zëvendësohet "Pi" me 180 °! Shkallët "Pi" janë afërsisht 3.14°. Prandaj, mund të shkruajmë:

Nuk ka shënime në sinusin e dytë. Keshtu qe - radianet! Këtu zëvendësimi i "Pi" me 180° do të funksionojë mirë. Shndërrimi i radianeve në gradë, siç është shkruar më sipër, marrim:

Mbetet për të krahasuar këto dy sine. Çfarë. harrove si? Duke përdorur një rreth trigonometrik, sigurisht! Vizatoni një rreth, vizatoni kënde të përafërta prej 60° dhe 1,05°. Le të shohim se çfarë sinusesh kanë këto kënde. Me pak fjalë, gjithçka përshkruhet si në fund të temës për rrethin trigonometrik. Në një rreth (edhe atë të shtrembër!) do të jetë qartë e dukshme se mëkat60° dukshëm më shumë se mëkat1.05°.

Ne do të bëjmë saktësisht të njëjtën gjë me kosinusët. Në rreth, vizatoni kënde afërsisht 4 gradë dhe 4 radian(A keni harruar se me çfarë është afërsisht 1 radian?). Rrethi do të thotë gjithçka! Sigurisht, cos4 është më pak se cos4°.

Le të praktikojmë përdorimin e masave të këndit.

Shndërrojini këto kënde nga gradë në radiane:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Ju duhet t'i merrni këto vlera në radianë (në një renditje të ndryshme!)

0

Nga rruga, unë theksova në mënyrë specifike përgjigjet në dy rreshta. Epo, le të kuptojmë se cilat janë qoshet në rreshtin e parë? Të paktën në gradë, të paktën në radianë?

Po! Këto janë boshtet e sistemit të koordinatave! Nëse shikoni rrethin trigonometrik, atëherë anën lëvizëse të këndit me këto vlera përshtatet saktësisht në akset. Këto vlera duhet të dihen. Dhe vura re këndin prej 0 gradë (0 radian) për arsye të mirë. Dhe pastaj disa njerëz thjesht nuk mund ta gjejnë këtë kënd në një rreth... Dhe, në përputhje me rrethanat, ata ngatërrohen në funksionet trigonometrike të zeros... Një gjë tjetër është se pozicioni i anës lëvizëse në zero gradë përkon me pozicionin në 360°, kështu që ka gjithmonë rastësi në rrethin afër.

Në rreshtin e dytë ka edhe kënde të veçanta... Këto janë 30°, 45° dhe 60°. Dhe çfarë është kaq e veçantë për to? Asgje speciale. I vetmi ndryshim midis këtyre këndeve dhe të gjithë të tjerëve është se ju duhet të dini për këto kënde Të gjitha. Dhe ku ndodhen dhe çfarë funksionesh trigonometrike kanë këto kënde. Le të themi vlerën mëkat 100° nuk duhet ta dish. A mëkat45°-Të lutem bëhu kaq i sjellshëm! Kjo është njohuri e detyrueshme, pa të cilën nuk ka asgjë për të bërë në trigonometri... Por më shumë për këtë në mësimin e ardhshëm.

Ndërkohë, le të vazhdojmë stërvitjen. Shndërrojini këto kënde nga radian në shkallë:

Ju duhet të merrni rezultate si kjo (në rrëmujë):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Ka ndodhur? Atëherë mund të supozojmë se konvertimin e gradëve në radiane dhe mbrapa- nuk është më problemi juaj.) Por përkthimi i këndeve është hapi i parë për të kuptuar trigonometrinë. Atje duhet të punoni edhe me sinus dhe kosinus. Dhe me tangjente dhe kotangjente gjithashtu...

Hapi i dytë i fuqishëm është aftësia për të përcaktuar pozicionin e çdo këndi në një rreth trigonometrik. Si në gradë ashtu edhe në radiane. Unë do t'ju jap sugjerime të mërzitshme për këtë aftësi gjatë gjithë trigonometrisë, po...) Nëse dini gjithçka (ose mendoni se dini gjithçka) për rrethin trigonometrik dhe matjen e këndeve në rrethin trigonometrik, mund ta kontrolloni. Zgjidhini këto detyra të thjeshta:

1. Në cilin tremujor bien këndet:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Lehtësisht? Le te vazhdojme:

2. Në cilin tremujor bien këndet:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Nuk ka problem gjithashtu? Epo, shiko ...)

3. Ju mund t'i vendosni qoshet në katërshe:

a mundesh ti? Epo, ju jepni..)

4. Në cilin akse do të bjerë këndi:

dhe këndi:

A është edhe e lehtë? Hm...)

5. Në cilin tremujor bien këndet:

Dhe funksionoi!? Epo, atëherë vërtet nuk e di ...)

6. Përcaktoni se në cilin tremujor bien këndet:

1, 2, 3 dhe 20 radianë.

Unë do të jap një përgjigje vetëm për pyetjen e fundit (është pak e ndërlikuar) e detyrës së fundit. Një kënd prej 20 radianësh do të bjerë në tremujorin e parë.

Nuk do t'i jap pjesën tjetër të përgjigjeve, jo nga lakmia.) Thjesht, nëse ju nuk kanë vendosur diçka ju dyshoni si rezultat, ose shpenzuar për detyrën nr. 4 më shumë se 10 sekonda, ju jeni të orientuar keq në një rreth. Ky do të jetë problemi juaj në të gjithë trigonometrinë. Është më mirë të heqësh qafe atë (problemin, jo trigonometrinë!) menjëherë. Kjo mund të bëhet në temën: Punë praktike me rrethin trigonometrik në seksionin 555.

Ai tregon se si të zgjidhni detyra të tilla thjesht dhe saktë. Epo, këto detyra janë zgjidhur, natyrisht. Dhe detyra e katërt u zgjidh në 10 sekonda. Po, është vendosur që çdokush mund ta bëjë këtë!

Nëse jeni absolutisht i sigurt në përgjigjet tuaja dhe nuk jeni të interesuar për mënyra të thjeshta dhe pa probleme për të punuar me radianët, nuk keni pse të vizitoni 555. Unë nuk insistoj.)

Një kuptim i mirë është një arsye mjaft e mirë për të ecur përpara!)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Le të shohim foton. Vektori \(AB\) është "kthyer" në lidhje me pikën \(A\) me një sasi të caktuar. Pra, masa e këtij rrotullimi në lidhje me pozicionin fillestar do të jetë këndi \(\alfa\).

Çfarë tjetër duhet të dini për konceptin e këndit? Epo, sigurisht, njësitë e këndit!

Këndi, si në gjeometri ashtu edhe në trigonometri, mund të matet në gradë dhe radianë.

Një kënd prej \(1()^\circ \) (një shkallë) është këndi qendror në një rreth të nënshtruar nga një hark rrethor i barabartë me \(\dfrac(1)(360) \) pjesë e rrethit.

Kështu, i gjithë rrethi përbëhet nga \(360\) "copë" harqesh rrethore, ose këndi i përshkruar nga rrethi është \(360()^\circ \) .

Kjo do të thotë, figura e mësipërme tregon një kënd \(\beta \) të barabartë me \(50()^\circ \), domethënë, ky kënd mbështetet në një hark rrethor që mat \(\dfrac(50)(360) \ ) perimetrin.

Një kënd në \(1\) radian është këndi qendror në një rreth të nënshtruar nga një hark rrethor, gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit.

Pra, figura tregon një kënd \(\gama \) të barabartë me \(1 \) radian, domethënë, ky kënd mbështetet në një hark rrethor, gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit (gjatësia \( AB \) është e barabartë me gjatësinë \(BB" \) ose rrezja \(r\) është e barabartë me gjatësinë e harkut \(l\)). Kështu, gjatësia e harkut llogaritet me formulën:

\(l=\theta \cdot r\) , ku \(\theta \) është këndi qendror në radianë.

Epo, duke e ditur këtë, a mund të përgjigjeni se sa radianë përmbahen në këndin e përshkruar nga rrethi? Po, për këtë ju duhet të mbani mend formulën për perimetrin. Këtu është ajo:

\(L=2\pi \cdot r\)

Epo, tani le t'i lidhim këto dy formula dhe të gjejmë se këndi i përshkruar nga rrethi është i barabartë me \(2\pi \) . Kjo do të thotë, duke korreluar vlerën në gradë dhe radianë, gjejmë se \(2\pi =360()^\circ \) . Prandaj, \(\pi =180()^\circ \) . Siç mund ta shihni, ndryshe nga "gradat", fjala "radian" është lënë jashtë, pasi njësia e matjes zakonisht është e qartë nga konteksti.

Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike

shënim. Kjo tabelë e vlerave të funksionit trigonometrik përdor shenjën √ për të treguar rrenja katrore. Për të treguar një fraksion, përdorni simbolin "/".

Shiko gjithashtu materiale të dobishme:

Për përcaktimi i vlerës së një funksioni trigonometrik, gjeni atë në kryqëzimin e drejtëzës që tregon funksionin trigonometrik. Për shembull, sinusi 30 gradë - ne kërkojmë kolonën me titullin sin (sinus) dhe gjejmë kryqëzimin e kësaj kolone tabele me rreshtin "30 gradë", në kryqëzimin e tyre lexojmë rezultatin - një gjysmë. Në mënyrë të ngjashme ne gjejmë kosinusi 60 gradë, sinusi 60 gradë (edhe një herë, në kryqëzimin e kolonës sin dhe vijës 60 gradë gjejmë vlerën sin 60 = √3/2), etj. Vlerat e sinuseve, kosinuseve dhe tangjentëve të këndeve të tjera "popullore" gjenden në të njëjtën mënyrë.

Sinus pi, kosinus pi, tangjente pi dhe kënde të tjera në radiane

Tabela e mëposhtme e kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve është gjithashtu e përshtatshme për të gjetur vlerën e funksioneve trigonometrike, argumenti i të cilëve është dhënë në radianë. Për ta bërë këtë, përdorni kolonën e dytë të vlerave të këndit. Falë kësaj, ju mund të konvertoni vlerën e këndeve popullore nga gradë në radiane. Për shembull, le të gjejmë këndin 60 gradë në rreshtin e parë dhe të lexojmë vlerën e tij në radianë nën të. 60 gradë është e barabartë me π/3 radian.

Numri pi shpreh në mënyrë të paqartë varësinë e perimetrit nga masa e shkallës së këndit. Kështu, radianët pi janë të barabartë me 180 gradë.

Çdo numër i shprehur në terma pi (radianë) mund të shndërrohet lehtësisht në gradë duke zëvendësuar pi (π) me 180.

Shembuj:
1. Sine pi.
sin π = mëkat 180 = 0
pra, sinusi i pi është i njëjtë me sinusin 180 gradë dhe është i barabartë me zero.

2. Kosinusi pi.
cos π = cos 180 = -1
pra, kosinusi i pi është i njëjtë me kosinusin 180 gradë dhe është i barabartë me minus një.

3. Tangjenta pi
tg π = tg 180 = 0
pra, tangjentja pi është e njëjtë me tangjenten 180 gradë dhe është e barabartë me zero.

Tabela e vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentes për këndet 0 - 360 gradë (vlerat e zakonshme)

vlera e këndit α (gradë)	vlera e këndit α në radiane (përmes pi)	mëkat (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangjente)	ctg (kotangjente)	sek (sekent)	cosec (bashkërenditëse)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Nëse në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike tregohet një vizë në vend të vlerës së funksionit (tangjenta (tg) 90 gradë, kotangjenta (ctg) 180 gradë), do të thotë se kur vlerën e dhënë Masa e shkallës së një funksioni këndi nuk ka një vlerë specifike. Nëse nuk ka vizë, qeliza është bosh, që do të thotë se nuk e kemi futur ende vlerën e kërkuar. Ne jemi të interesuar se për çfarë pyetjesh na vijnë përdoruesit dhe plotësojnë tabelën me vlera të reja, pavarësisht nga fakti se të dhënat aktuale për vlerat e kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve të vlerave më të zakonshme të këndit janë mjaft të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën probleme.

Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike sin, cos, tg për këndet më të njohura
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 gradë
(vlerat numerike "sipas tabelave Bradis")

vlera e këndit α (gradë)	vlera e këndit α në radiane	mëkat (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangjente)	ctg (kotangjent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Këndet maten në gradë ose radiane. Është e rëndësishme të kuptohet marrëdhënia midis këtyre njësive matëse. Kuptimi i kësaj marrëdhënieje ju lejon të operoni me kënde dhe të bëni kalimin nga gradë në radian dhe mbrapa. Në këtë artikull, ne do të nxjerrim një formulë për konvertimin e shkallëve në radian dhe radianëve në gradë, dhe gjithashtu do të shohim disa shembuj praktikë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Marrëdhënia midis shkallëve dhe radianeve

Për të vendosur lidhjen midis shkallëve dhe radianeve, është e nevojshme të dihet shkalla dhe masa e radianit të një këndi. Për shembull, merrni këndin qendror, i cili bazohet në diametrin e një rrethi me rreze r. Për të llogaritur masën radian të këtij këndi, është e nevojshme të ndahet gjatësia e harkut me gjatësinë e rrezes së rrethit. Këndi në shqyrtim korrespondon me një gjatësi harku të barabartë me gjysmën e perimetrit π·r. Ndani gjatësinë e harkut me rreze dhe merrni masën radiane të këndit: π · r r = π rad.

Pra, këndi në fjalë është π radian. Nga ana tjetër, është një kënd i kundërt i barabartë me 180°. Prandaj 180° = π rad.

Marrëdhënia midis shkallëve dhe radianeve

Marrëdhënia midis radianeve dhe shkallëve shprehet me formulën

π radian = 180°

Formulat për konvertimin e radianeve në gradë dhe anasjelltas

Nga formula e marrë më sipër, mund të nxirrni formula të tjera për shndërrimin e këndeve nga radianët në gradë dhe nga gradë në radian.

Le të shprehim një radian në gradë. Për ta bërë këtë, ndani anët e majta dhe të djathta të rrezes me pi.

1 r a d = 180 π ° - masa e shkallës së një këndi prej 1 radian është e barabartë me 180 π.

Ju gjithashtu mund të shprehni një shkallë në radianë.

1° = π 180 r a d

Ju mund të bëni llogaritjet e përafërta të vlerave të këndit në radianë dhe anasjelltas. Për ta bërë këtë, merrni vlerat e numrit π me një saktësi prej dhjetë mijëshe dhe zëvendësojini ato në formulat që rezultojnë.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Pra, ka afërsisht 57 gradë në një radian

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Një shkallë përmban 0,0175 radianë.

Formula për konvertimin e radianeve në gradë

x r a d = x 180 π °

Për të kthyer një kënd nga radianë në gradë, duhet të shumëzoni këndin në radianë me 180 dhe të ndani me pi.

Shembuj të konvertimit të shkallëve në radiane dhe radianeve në gradë

Le të shohim një shembull.

Shembulli 1. Shndërrimi nga radianët në gradë

Le të a = 3,2 rad. Duhet të gjejmë masën e shkallës së këtij këndi.