Në këtë artikull do të gjeni të gjitha informacionin e nevojshëm duke iu përgjigjur pyetjes, si të faktorizojmë një numër. E dhënë së pari ide e pergjithshme mbi zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë, jepen shembuj të zgjerimeve. Forma kanonike e faktorizimit të një numri në faktorë të thjeshtë tregohet në vijim. Pas kësaj, jepet një algoritëm për zbërthimin e numrave arbitrarë në faktorë të thjeshtë dhe jepen shembuj të zbërthimit të numrave duke përdorur këtë algoritëm. Gjithashtu konsiderohet mënyra alternative, duke ju lejuar të zbërtheni shpejt numrat e plotë të vegjël në faktorë kryesorë duke përdorur shenjat e pjesëtueshmërisë dhe një tabelë shumëzimi.

Navigimi i faqes.

Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?

Së pari, le të shohim se cilët janë faktorët kryesorë.

Është e qartë se meqenëse fjala "faktorë" është e pranishme në këtë frazë, atëherë bëhet prodhimi i disa numrave dhe fjala sqaruese "prim" do të thotë se çdo faktor është një numër i thjeshtë. Për shembull, në një prodhim të formës 2 7 7 23 ka katër faktorë kryesorë: 2 , 7 , 7 dhe 23 .

Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?

Do të thotë se numri i dhënë duhet të paraqitet si prodhim i faktorëve kryesorë dhe vlera e këtij produkti duhet të jetë e barabartë me numrin origjinal. Si shembull, merrni parasysh prodhimin e tre numrave të thjeshtë 2 , 3 dhe 5 , ai është i barabartë me 30 , kështu që faktorizimi i numrit 30 në faktorë të thjeshtë është 2 3 5 . Zakonisht, zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë shkruhet si barazi, në shembullin tonë do të jetë kështu: 30=2 3 5 . Më vete theksojmë se faktorët kryesorë në zgjerim mund të përsëriten. Kjo ilustrohet qartë nga shembulli i mëposhtëm: 144=2 2 2 2 3 3 . Por paraqitja e formës 45=3 15 nuk është zbërthim në faktorë të thjeshtë, pasi numri 15 është i përbërë.

Shtrohet pyetja e mëposhtme: "Dhe cilët numra mund të zbërthehen në faktorë të thjeshtë"?

Në kërkim të një përgjigjeje për të, ne paraqesim arsyetimin e mëposhtëm. Numrat e thjeshtë, sipas përkufizimit, janë ndër ata më të mëdhenj se një. Duke pasur parasysh këtë fakt dhe , mund të argumentohet se produkti i disa faktorëve kryesorë është një numër i plotë pozitiv më i madh se një. Prandaj, faktorizimi bëhet vetëm për numrat e plotë pozitivë që janë më të mëdhenj se 1.

Por a janë të gjithë numrat e plotë më të mëdhenj se një faktor në faktorët kryesorë?

Është e qartë se nuk ka asnjë mënyrë për të zbërthyer numrat e plotë të thjeshtë në faktorët kryesorë. Kjo ndodh sepse numrat e thjeshtë kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë, një dhe vetveten, kështu që ata nuk mund të përfaqësohen si prodhim i dy ose më shumë numrat e thjeshtë. Nëse një numër i plotë z mund të përfaqësohet si prodhim i numrave të thjeshtë a dhe b, atëherë koncepti i pjesëtueshmërisë do të na lejonte të konkludojmë se z është i pjesëtueshëm me a dhe b, gjë që është e pamundur për shkak të thjeshtësisë së numrit z. Megjithatë, besohet se çdo numër i thjeshtë është vetë zbërthimi i tij.

Po në lidhje me numrat e përbërë? A zbërthehen numrat e përbërë në faktorë të thjeshtë dhe a i nënshtrohen të gjithë numrat e përbërë një zbërthimi të tillë? Një përgjigje pozitive për një numër prej këtyre pyetjeve jepet nga teorema themelore e aritmetikës. Teorema themelore e aritmetikës thotë se çdo numër i plotë a që është më i madh se 1 mund të zbërthehet në produktin e faktorëve të thjeshtë p 1 , p 2 , ..., p n , ndërsa zgjerimi ka formën a=p 1 p 2 .. p n , dhe ky zbërthimi është unik, nëse nuk marrim parasysh renditjen e faktorëve

Zbërthimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë

Në zgjerimin e një numri, faktorët kryesorë mund të përsëriten. Faktorët kryesorë të përsëritur mund të shkruhen më kompakt duke përdorur . Le të ndodhë faktori kryesor p 1 s 1 herë në zbërthimin e numrit a, faktori kryesor p 2 - s 2 herë, dhe kështu me radhë, p n - s n herë. Atëherë faktorizimi i thjeshtë i numrit a mund të shkruhet si a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Kjo formë e shkrimit është e ashtuquajtura faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë.

Le të japim një shembull të zbërthimit kanonik të një numri në faktorë të thjeshtë. Na tregoni dekompozimin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, forma e saj kanonike është 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Zbërthimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë ju lejon të gjeni të gjithë pjesëtuesit e numrit dhe numrin e pjesëtuesve të numrit.

Algoritmi për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë

Për të përballuar me sukses detyrën e zbërthimit të një numri në faktorët kryesorë, duhet të jeni shumë të mirë në informacionin në artikullin numra të thjeshtë dhe të përbërë.

Thelbi i procesit të zgjerimit të një numri të plotë pozitiv dhe më të madh se një numër a është i qartë nga vërtetimi i teoremës kryesore të aritmetikës. Çështja është që në mënyrë sekuenciale të gjeni pjesëtuesit kryesorë më të vegjël p 1 , p 2 , ..., p n numrat a, a 1 , a 2 , ..., a n-1 , gjë që ju lejon të merrni një seri barazish a=p 1 a 1 , ku a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , ku a 2 =a 1:p 2 , …, a = p 1 p 2 …p n a n , ku a n =a n -1:p n . Kur fitohet një n =1, atëherë barazia a=p 1 ·p 2 ·…·p n do të na japë zbërthimin e kërkuar të numrit a në faktorë të thjeshtë. Këtu duhet theksuar gjithashtu se p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Mbetet të merremi me gjetjen e pjesëtuesve më të vegjël të thjeshtë në çdo hap dhe do të kemi një algoritëm për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë. Tabela e numrave të thjeshtë do të na ndihmojë të gjejmë pjesëtuesit e thjeshtë. Le të tregojmë se si ta përdorim atë për të marrë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit z.

Marrim në mënyrë sekuenciale numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë (2 , 3 , 5 , 7 , 11 e kështu me radhë) dhe ndajmë numrin e dhënë z me ta. Numri i parë i thjeshtë me të cilin z pjesëtohet në mënyrë të barabartë është pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël. Nëse numri z është i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël do të jetë vetë numri z. Këtu duhet të kujtojmë gjithashtu se nëse z nuk është numër i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël nuk e kalon numrin , ku - nga z. Kështu, nëse midis numrave të thjeshtë që nuk tejkalojnë , nuk kishte asnjë pjesëtues të vetëm të numrit z, atëherë mund të konkludojmë se z është një numër i thjeshtë (më shumë për këtë është shkruar në seksionin e teorisë nën titullin ky numër është i thjeshtë ose i përbërë ).

Për shembull, le të tregojmë se si të gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit 87. Ne marrim numrin 2. Ndani 87 me 2, marrim 87:2=43 (pushim 1) (nëse është e nevojshme, shihni artikullin). Kjo do të thotë, kur pjesëtohet 87 me 2, pjesa e mbetur është 1, kështu që 2 nuk është pjesëtues i numrit 87. Ne marrim numrin tjetër të thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë, ky është numri 3. Ndajmë 87 me 3, marrim 87:3=29. Pra, 87 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 3, kështu që 3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i 87.

Vini re se në rastin e përgjithshëm, për të faktorizuar numrin a, na duhet një tabelë me numra të thjeshtë deri në një numër jo më të vogël se . Ne do të duhet t'i referohemi kësaj tabele në çdo hap, ndaj duhet ta kemi pranë. Për shembull, për të faktorizuar numrin 95, do të na duhet një tabelë me numra të thjeshtë deri në 10 (pasi 10 është më e madhe se ). Dhe për të zbërthyer numrin 846 653, do t'ju duhet tashmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në 1000 (pasi 1000 është më e madhe se).

Tani kemi informacion të mjaftueshëm për të shkruar algoritmi për faktorizimin e një numri në faktorë të thjeshtë. Algoritmi për zgjerimin e numrit a është si më poshtë:

• Duke renditur në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 1 të numrit a, pas të cilit llogarisim një 1 =a:p 1 . Nëse a 1 =1, atëherë numri a është i thjeshtë dhe ai vetë është zbërthimi i tij në faktorë të thjeshtë. Nëse a 1 është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·a 1 dhe kalojmë në hapin tjetër.
• Ne gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 2 të numrit a 1 , për këtë ne renditim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1 , pas së cilës llogarisim një 2 =a 1:p 2 . Nëse a 2 =1, atëherë zbërthimi i dëshiruar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a=p 1 ·p 2 . Nëse a 2 është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·p 2 ·a 2 dhe kalojmë në hapin tjetër.
• Duke kaluar nëpër numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2 , gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 3 të numrit a 2 , pas së cilës llogarisim një 3 =a 2:p 3 . Nëse a 3 =1, atëherë zbërthimi i dëshiruar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Nëse a 3 është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 dhe kalojmë në hapin tjetër.
• Gjeni pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p n të numrit a n-1 duke renditur numrat e thjeshtë, duke filluar me p n-1 , si dhe a n =a n-1:p n , dhe a n është e barabartë me 1 . Ky hap është hapi i fundit i algoritmit, këtu marrim zbërthimin e kërkuar të numrit a në faktorë të thjeshtë: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Të gjitha rezultatet e marra në çdo hap të algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorët kryesorë paraqiten për qartësi në formën e tabelës së mëposhtme, në të cilën numrat a, a 1, a 2, ..., a n shkruhen në mënyrë sekuenciale në në të majtë të shiritit vertikal dhe në të djathtë të shiritit - pjesëtuesit kryesorë më të vegjël përkatës p 1 , p 2 , ..., p n .

Mbetet vetëm të shqyrtojmë disa shembuj të aplikimit të algoritmit të marrë për zbërthimin e numrave në faktorët kryesorë.

Shembuj kryesorë të faktorizimit

Tani do të analizojmë në detaje Shembuj kryesorë të faktorizimit. Gjatë zbërthimit, ne do të zbatojmë algoritmin nga paragrafi i mëparshëm. Le të fillojmë me raste të thjeshta dhe gradualisht t'i ndërlikojmë ato në mënyrë që të përballemi me të gjitha nuancat e mundshme që lindin gjatë zbërthimit të numrave në faktorët kryesorë.

Shembull.

Faktoroni numrin 78 në faktorët kryesorë.

Vendimi.

Fillojmë të kërkojmë pjesëtuesin e parë më të vogël p 1 të numrit a=78 . Për ta bërë këtë, ne fillojmë të renditim në mënyrë sekuenciale numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë. Marrim numrin 2 dhe pjesëtojmë me të 78, marrim 78:2=39. Numri 78 u nda me 2 pa mbetje, kështu që p 1 \u003d 2 është pjesëtuesi kryesor i parë i gjetur i numrit 78. Në këtë rast a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Pra arrijmë te barazia a=p 1 ·a 1 që ka formën 78=2·39 . Natyrisht, një 1 =39 është e ndryshme nga 1, kështu që kalojmë në hapin e dytë të algoritmit.

Tani po kërkojmë pjesëtuesin kryesor më të vogël p 2 të numrit a 1 =39 . Fillojmë numërimin e numrave nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1 =2 . Ndani 39 me 2, marrim 39:2=19 (mbetet 1). Meqenëse numri 39 nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 2, 2 nuk është pjesëtuesi i tij. Pastaj marrim numri tjetër nga tabela e numrave të thjeshtë (numri 3) dhe pjesëtojmë me të 39, marrim 39:3=13. Prandaj, p 2 \u003d 3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit 39, ndërsa a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Barazimin a=p 1 p 2 a 2 e kemi në trajtën 78=2 3 13 . Meqenëse 2 =13 është e ndryshme nga 1, kalojmë në hapin tjetër të algoritmit.

Këtu duhet të gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 2 =13. Në kërkim të pjesëtuesit më të vogël të thjeshtë p 3 të numrit 13, ne do t'i renditim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2 =3 . Numri 13 nuk pjesëtohet me 3, pasi 13:3=4 (pushim 1), gjithashtu 13 nuk pjesëtohet me 5, 7 dhe 11, pasi 13:5=2 (pushim 3), 13:7=1 (përgj. 6) dhe 13:11=1 (përgj. 2) . Numri tjetër i thjeshtë është 13, dhe 13 pjesëtohet me të pa mbetje, prandaj, pjesëtuesi kryesor p 3 i numrit 13 është vetë numri 13, dhe a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Meqenëse a 3 =1, atëherë ky hap i algoritmit është i fundit, dhe zbërthimi i dëshiruar i numrit 78 në faktorë të thjeshtë ka formën 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

Përgjigje:

78=2 3 13 .

Shembull.

Shprehni numrin 83.006 si produkt i faktorëve kryesorë.

Vendimi.

Në hapin e parë të algoritmit për faktorizimin e një numri në faktorë të thjeshtë, gjejmë p 1 =2 dhe a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , prej nga 83 006=2 41 503 .

Në hapin e dytë, zbulojmë se 2, 3 dhe 5 nuk janë pjesëtues të thjeshtë të numrit a 1 =41 503, dhe numri 7 është, pasi 41 503: 7=5 929. Kemi p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Kështu, 83 006=2 7 5 929 .

Pjesëtuesi kryesor më i vogël i një 2 =5 929 është 7, pasi 5 929:7=847. Kështu, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847, prej nga 83 006=2 7 7 847 .

Më tej gjejmë se pjesëtuesi kryesor më i vogël p 4 i numrit a 3 =847 është i barabartë me 7 . Pastaj a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , pra 83 006=2 7 7 7 121 .

Tani gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 4 =121, ai është numri p 5 =11 (pasi 121 pjesëtohet me 11 dhe nuk pjesëtohet me 7). Pastaj a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , dhe 83 006=2 7 7 7 11 11 .

Së fundi, pjesëtuesi kryesor më i vogël i një 5 =11 është p 6 =11. Pastaj a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Meqenëse është 6 =1, atëherë ky hap i algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë është i fundit dhe zbërthimi i dëshiruar ka formën 83 006=2·7·7·7·11·11.

Rezultati i përftuar mund të shkruhet si zbërthim kanonik i numrit në faktorë të thjeshtë 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Përgjigje:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 është një numër i thjeshtë. Në të vërtetë, ai nuk ka pjesëtues kryesor që nuk tejkalon ( mund të vlerësohet përafërsisht si , pasi është e qartë se 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Përgjigje:

897 924 289=937 967 991 .

Përdorimi i testeve të pjesëtueshmërisë për faktorizimin kryesor

Në raste të thjeshta, ju mund të zbërtheni një numër në faktorë të thjeshtë pa përdorur algoritmin e zbërthimit nga paragrafi i parë i këtij neni. Nëse numrat nuk janë të mëdhenj, atëherë për t'i zbërthyer në faktorë të thjeshtë, shpesh mjafton të njihen shenjat e pjesëtueshmërisë. Ne japim shembuj për sqarim.

Për shembull, ne duhet të zbërthejmë numrin 10 në faktorët kryesorë. Ne e dimë nga tabela e shumëzimit se 2 5=10 , dhe numrat 2 dhe 5 janë padyshim të thjeshtë, kështu që faktorizimi i thjeshtë i 10 është 10=2 5 .

Një shembull tjetër. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, ne zbërthejmë numrin 48 në faktorët kryesorë. Ne e dimë se gjashtë tetë janë dyzet e tetë, domethënë 48=6 8. Megjithatë, as 6 dhe as 8 nuk janë numra të thjeshtë. Por ne e dimë se dy herë tre është gjashtë, dhe dy herë katër është tetë, domethënë 6=2 3 dhe 8=2 4 . Pastaj 48=6 8=2 3 2 4 . Mbetet të kujtojmë se dy herë dy është katër, atëherë marrim zbërthimin e dëshiruar në faktorët kryesorë 48=2 3 2 2 2 . Le ta shkruajmë këtë zbërthim në formën kanonike: 48=2 4 ·3 .

Por kur zbërtheni numrin 3400 në faktorët kryesorë, mund të përdorni shenjat e pjesëtueshmërisë. Shenjat e pjesëtueshmërisë me 10, 100 na lejojnë të pohojmë se 3400 pjesëtohet me 100, ndërsa 3400=34 100, dhe 100 pjesëtohet me 10, ndërsa 100=10 10, pra 3400=34 10 10. Dhe në bazë të shenjës së pjesëtueshmërisë me 2, mund të argumentohet se secili nga faktorët 34, 10 dhe 10 është i pjesëtueshëm me 2, marrim 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Të gjithë faktorët në zgjerimin që rezulton janë të thjeshtë, kështu që ky zgjerim është i nevojshëm. Mbetet vetëm të riorganizojmë faktorët në mënyrë që ata të shkojnë në rend rritës: 3 400=2 2 2 5 5 17 . Shkruajmë edhe zbërthimin kanonik të këtij numri në faktorë të thjeshtë: 3 400=2 3 5 2 17 .

Kur zbërtheni një numër të caktuar në faktorë të thjeshtë, mund të përdorni me radhë si shenjat e pjesëtueshmërisë ashtu edhe tabelën e shumëzimit. Le të paraqesim numrin 75 si produkt i faktorëve kryesorë. Shenja e pjesëtueshmërisë me 5 na lejon të pohojmë se 75 pjesëtohet me 5, ndërsa marrim se 75=5 15. Dhe nga tabela e shumëzimit dimë se 15=3 5 , pra, 75=5 3 5 . Ky është zbërthimi i dëshiruar i numrit 75 në faktorët kryesorë.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. etj Matematikë. Klasa 6: Libër shkollor për institucionet arsimore.
• Vinogradov I.M. Bazat e teorisë së numrave.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teoria e numrave.
• Kulikov L.Ya. e të tjera.Përmbledhje problemash në algjebër dhe teoria e numrave: Libër mësuesi për nxënësit e fiz.-mat. specialitete të instituteve pedagogjike.

Llogaritësi online.
Zgjedhja e katrorit të binomit dhe faktorizimi i trinomit katror.

Ky program matematikor nxjerr katrorin e binomit nga trinomi katror, d.m.th. bën një transformim të formës:
\(ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+p)^2+q \) dhe faktorizon trinomin katror: \(ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+n)(x+m) \)

ato. problemet reduktohen në gjetjen e numrave \(p, q \) dhe \(n, m \)

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e zgjidhjes.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju që të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me një zgjidhje të detajuar.

Në këtë mënyrë ju mund të zhvilloni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve apo motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e detyrave që do të zgjidhen.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një trinomi katror, ​​ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi katror

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etj.

Numrat mund të futen si numra të plotë ose thyesa.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore nga numri i plotë mund të ndahet ose me një pikë ose një presje.
Për shembull, mund të futni numra dhjetorë si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
Pjesa e plotë ndahet nga thyesa me një ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, gjatë zgjidhjes, fillimisht thjeshtohet shprehja e paraqitur.
Për shembull: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Shembull zgjidhje e detajuar

Zgjedhja e katrorit të binomit.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjetë a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\majtas( \frac(1)(2) \djathtas)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\majtas (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \djathtas)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2 \djathtas)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizimi.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjeta a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\majtas(x^2+x-2 \djathtas) = ​​$$
$$ 2 \majtas(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \djathtas) = ​​$$ $$ 2 \left(x \majtas(x +2 \djathtas) -1 \majtas(x +2 \djathtas ) \djathtas) = ​​$$ $$ 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$

Vendosni

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë detyrë nuk ishin ngarkuar dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Ju keni JavaScript të çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
JavaScript duhet të aktivizohet që zgjidhja të shfaqet.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz që duan të zgjidhin problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Pas disa sekondash, zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Prisni ju lutem sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për të në formularin e komenteve.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Nxjerrja e një binomi katror nga një trinom katror

Nëse trinomi katror ax 2 + bx + c paraqitet si a (x + p) 2 + q, ku p dhe q janë numra realë, atëherë ata thonë se nga trinomi katror, ​​vihet në pah katrori i binomit.

Le të nxjerrim katrorin e binomit nga trinomi 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Për ta bërë këtë, ne paraqesim 6x si një produkt të 2 * 3 * x, dhe pastaj mbledhim dhe zbresim 3 2. Ne marrim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Se. ne zgjodhi katrorin e binomit nga trinomi katror, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorizimi i një trinomi katror

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet si a(x+n)(x+m), ku n dhe m janë numra realë, atëherë thuhet se është kryer operacioni. faktorizimet e një trinomi katror.

Le të përdorim një shembull për të treguar se si është bërë ky transformim.

Le të faktorizojmë trinomin katror 2x 2 +4x-6.

Le të nxjerrim koeficientin a jashtë kllapave, d.m.th. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Le të transformojmë shprehjen në kllapa.
Për ta bërë këtë, ne përfaqësojmë 2x si diferencë 3x-1x, dhe -3 si -1*3. Ne marrim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Se. ne faktorizoni trinomin katror, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Vini re se faktorizimi i një trinomi katror është i mundur vetëm kur ekuacioni kuadratik që i korrespondon këtij trinomi ka rrënjë.
ato. në rastin tonë faktorizimi i trinomit 2x 2 +4x-6 është i mundur nëse ekuacioni kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 ka rrënjë. Në procesin e faktorizimit, zbuluam se ekuacioni 2x 2 +4x-6 \u003d 0 ka dy rrënjë 1 dhe -3, sepse me këto vlera, ekuacioni 2(x-1)(x+3)=0 kthehet në një barazi të vërtetë.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe teste OGE në internet Lojëra, enigma Grafiku i funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i shkollave të mesme në Rusi Katalogu i universiteteve ruse Lista e detyrave

Faktorizimi i një polinomi. Pjesa 2

Në këtë artikull, ne do të vazhdojmë të flasim se si faktorizoni një polinom. Këtë e kemi thënë tashmë faktorizimiështë një teknikë universale që ndihmon në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive komplekse. Mendimi i parë që duhet të vijë në mendje gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive në të cilat zeroja është në anën e djathtë është të përpiqemi të faktorizojmë anën e majtë.

Ne rendisim kryesoret Mënyrat për të faktorizuar një polinom:

• duke nxjerrë nga kllapa faktorin e përbashkët
• përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit
• me formulën e faktorizimit të një trinomi katror
• metoda e grupimit
• pjesëtimi i një polinomi me një binom
• metoda e koeficientëve të pasigurt.

Ne kemi konsideruar tashmë në detaje. Në këtë artikull, ne do të përqendrohemi në metodën e katërt, metoda e grupimit.

Nëse numri i termave në polinom tejkalon tre, atëherë ne përpiqemi të aplikojmë metoda e grupimit. është si më poshtë:

1.I grupojmë termat në një mënyrë të caktuar në mënyrë që më vonë secili grup të mund të faktorizohet në një farë mënyre. Kriteri që termat të grupohen saktë është prania e të njëjtëve faktorë në secilin grup.

2. Ne nxjerrim të njëjtët shumëzues.

Meqenëse kjo metodë përdoret më shpesh, ne do ta analizojmë atë me shembuj.

Shembulli 1

Vendimi. 1. Kombinoni termat në grupe:

2. Nxirrni një faktor të përbashkët nga secili grup:

3. Hiqni faktorin e përbashkët për të dy grupet:

Shembulli 2 Faktorizimi i shprehjes:

1. I grupojmë tre termat e fundit dhe i faktorizojmë duke përdorur formulën e diferencës në katror:

2. Shprehjen që rezulton e zbërthejmë në faktorë duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:

Shembulli 3 Zgjidhe ekuacionin:

Ka katër terma në anën e majtë të ekuacionit. Le të përpiqemi të faktorizojmë anën e majtë duke përdorur grupimin.

1. Për ta bërë më të qartë strukturën e anës së majtë të ekuacionit, ne prezantojmë një ndryshim të ndryshores: ,

Ne marrim një ekuacion si ky:

2. Faktorizoni anën e majtë duke përdorur grupimin:

Kujdes! Për të mos gabuar me shenjat, unë rekomandoj kombinimin e termave në grupe "siç janë", domethënë pa ndryshuar shenjat e koeficientëve, dhe hapi tjetër, nëse është e nevojshme, të vendosni "minus" nga kllapa.

3. Pra, morëm ekuacionin:

4. Le të kthehemi te ndryshorja origjinale:

Le t'i ndajmë të dyja pjesët me. Ne marrim: . Nga këtu

Përgjigje: 0

Shembulli 4 Zgjidhe ekuacionin:

Për ta bërë strukturën e ekuacionit më "transparente", ne prezantojmë një ndryshim të ndryshores:

Ne marrim ekuacionin:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit. Për ta bërë këtë, ne grupojmë termat e parë dhe të dytë dhe i nxjerrim nga kllapa:

hiqeni nga kllapat:

Le të kthehemi te ekuacioni:

Nga këtu ose

Le të kthehemi te ndryshorja origjinale:

Merrni parasysh, duke përdorur shembuj specifik, se si të faktorizoni një polinom.

Ne do të zgjerojmë polinomet në përputhje me .

Polinome të faktorizimit:

Kontrolloni nëse ka një faktor të përbashkët. po, është e barabartë me 7cd. Le ta heqim nga kllapa:

Shprehja në kllapa përbëhet nga dy terma. Nuk ka më një faktor të përbashkët, shprehja nuk është një formulë për shumën e kubeve, që do të thotë se zbërthimi ka përfunduar.

Kontrolloni nëse ka një faktor të përbashkët. Nr. Polinomi përbëhet nga tre terma, kështu që ne kontrollojmë nëse ka një formulë katrore të plotë. Dy terma janë katrorët e shprehjeve: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², termi i tretë është i barabartë me dyfishin e prodhimit të këtyre shprehjeve: 2∙5x∙3y=30xy. Pra, ky polinom është një katror i përsosur. Meqenëse produkti i dyfishtë është me një shenjë minus, atëherë kjo është:

Ne kontrollojmë nëse është e mundur që faktori i përbashkët të hiqet nga kllapat. Ekziston një faktor i përbashkët, ai është i barabartë me a. Le ta heqim nga kllapa:

Ka dy terma në kllapa. Kontrollojmë nëse ka një formulë për ndryshimin e katrorëve apo ndryshimin e kubeve. a² është katrori i a, 1=1². Pra, shprehja në kllapa mund të shkruhet sipas formulës së ndryshimit të katrorëve:

Ekziston një faktor i përbashkët, ai është i barabartë me 5. E nxjerrim nga kllapat:

në kllapa janë tre terma. Kontrolloni nëse shprehja është një katror i përsosur. Dy terma janë katrorë: 16=4² dhe a² është katrori i a, termi i tretë është i barabartë me dyfishin e prodhimit të 4 dhe a: 2∙4∙a=8a. Prandaj, është një katror i përsosur. Meqenëse të gjithë termat janë me një shenjë "+", shprehja në kllapa është katrori i plotë i shumës:

Faktori i përbashkët -2x është hequr nga kllapat:

Në kllapa është shuma e dy termave. Kontrollojmë nëse shprehja e dhënë është shuma e kubeve. 64=4³, x³-kub x. Pra, binomi mund të zgjerohet sipas formulës:

Ekziston një faktor i përbashkët. Por, meqenëse polinomi përbëhet nga 4 terma, së pari do ta nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat. Ne grupojmë termin e parë me të katërtin, në të dytën - me të tretën:

Nga kllapat e para nxjerrim faktorin e përbashkët 4a, nga i dyti - 8b:

Nuk ka ende një shumëzues të përbashkët. Për ta marrë atë, nga kllapat e dyta do të nxjerrim kllapat "-", ndërsa secila shenjë në kllapa do të ndryshojë në të kundërtën:

Tani marrim faktorin e përbashkët (1-3a) nga kllapat:

Në kllapat e dyta ka një faktor të përbashkët 4 (ky është i njëjti faktor që nuk e hoqëm nga kllapat në fillim të shembullit):

Meqenëse polinomi përbëhet nga katër terma, ne kryejmë grupimin. Seminari i parë grupohet me të dytin, i treti me të katërtin:

Nuk ka faktor të përbashkët në kllapat e para, por ekziston një formulë për ndryshimin e katrorëve, në kllapat e dyta faktori i përbashkët është -5:

Është shfaqur një faktor i përbashkët (4m-3n). Le ta heqim nga kllapa.

Në rastin e përgjithshëm, kjo detyrë përfshin një qasje krijuese, pasi nuk ka asnjë metodë universale për zgjidhjen e saj. Sidoqoftë, le të përpiqemi të japim disa sugjerime.

Në shumicën dërrmuese të rasteve, zbërthimi i polinomit në faktorë bazohet në pasojën e teoremës së Bezout, domethënë, rrënja gjendet ose zgjidhet dhe shkalla e polinomit zvogëlohet me një duke u pjesëtuar me. Polinomi që rezulton kërkohet për një rrënjë dhe procesi përsëritet deri në zgjerimin e plotë.

Nëse rrënja nuk mund të gjendet, atëherë përdoren metoda specifike të dekompozimit: nga grupimi deri te futja e termave shtesë reciprokisht ekskluzive.

Paraqitja e mëtejshme bazohet në aftësitë e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallëve më të larta me koeficientë të plotë.

Kllapa e faktorit të përbashkët.

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë, kur termi i lirë është i barabartë me zero, domethënë, polinomi ka formën .

Natyrisht, rrënja e një polinomi të tillë është , domethënë, polinomi mund të përfaqësohet si .

Kjo metodë nuk është gjë tjetër veçse duke nxjerrë nga kllapa faktorin e përbashkët.

Shembull.

Zbërtheni një polinom të shkallës së tretë në faktorë.

Vendimi.

Është e qartë se është rrënja e polinomit, d.m.th. X mund të vendoset në kllapa:

Gjeni rrënjët e një trinomi katror

Kështu,

Në krye të faqes

Faktorizimi i një polinomi me rrënjë racionale.

Së pari, merrni parasysh metodën e zgjerimit të një polinomi me koeficientët numër të plotë të formës, koeficienti në shkallën më të lartë është i barabartë me një.

Në këtë rast, nëse polinomi ka rrënjë të plota, atëherë ato janë pjesëtues të termit të lirë.

Shembull.

Vendimi.

Le të kontrollojmë nëse ka rrënjë të plota. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë pjesëtuesit e numrit -18 : . Kjo do të thotë, nëse polinomi ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër numrat e shkruar. Le t'i kontrollojmë këta numra në mënyrë sekuenciale sipas skemës së Hornerit. Komoditeti i tij qëndron edhe në faktin se në fund do të marrim edhe koeficientët e zgjerimit të polinomit:

dmth, x=2 dhe x=-3 janë rrënjët e polinomit origjinal dhe ai mund të përfaqësohet si produkt:

Mbetet të zgjerohet trinomi katror.

Diskriminuesi i këtij trinomi është negativ, pra nuk ka rrënjë reale.

Përgjigje:

Koment:

në vend të skemës së Horner-it, mund të përdoret zgjedhja e një rrënjë dhe pjesëtimi pasues i një polinomi me një polinom.

Tani merrni parasysh zbërthimin e një polinomi me koeficientë të plotë të formës , dhe koeficienti në shkallën më të lartë nuk është i barabartë me një.

Në këtë rast, polinomi mund të ketë rrënjë fraksionale racionale.

Shembull.

Faktorizoni shprehjen.

Vendimi.

Duke ndryshuar variablin y=2x, kalojmë në një polinom me koeficient të barabartë me një në shkallën më të lartë. Për ta bërë këtë, së pari e shumëzojmë shprehjen me 4 .

Nëse funksioni që rezulton ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Le t'i shkruajmë ato:

Llogaritni në mënyrë sekuenciale vlerat e funksionit g(y) në këto pika deri në arritjen e zeros.