Në këtë artikull do t'ju tregojmë se si përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndit dhe numrit në trigonometri... Këtu do të flasim për emërtimet, do të japim shembuj të hyrjeve dhe do të japim ilustrime grafike. Si përfundim, le të bëjmë një paralele midis përkufizimeve të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës në trigonometri dhe gjeometri.
Navigimi i faqes.
Përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës
Le të ndjekim se si formohet ideja e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës në kursin e matematikës shkollore. Në mësimet e gjeometrisë jepet përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë. Dhe më vonë studiohet trigonometria, e cila flet për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjenten e këndit të rrotullimit dhe numrit. Ne do të japim të gjitha këto përkufizime, do të japim shembuj dhe do të japim komentet e nevojshme.
Këndi i mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë
Nga kursi i gjeometrisë njihen përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë. Janë dhënë si raport i brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Le të japim formulimet e tyre.
Përkufizimi.
Sinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtëËshtë raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën.
Përkufizimi.
Kosinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtëËshtë raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Përkufizimi.
Tangjent akute në një trekëndësh kënddrejtë- Ky është raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur.
Përkufizimi.
Kotangjent akut në një trekëndësh kënddrejtëËshtë raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt.
Aty futen edhe emërtimet për sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent - përkatësisht sin, cos, tg dhe ctg.
Për shembull, nëse ABC është një trekëndësh kënddrejtë me një kënd të drejtë C, atëherë sinusi i një këndi akut A është i barabartë me raportin e këmbës së kundërt BC me hipotenuzën AB, domethënë sin∠A = BC / AB .
Këto përkufizime ju lejojnë të llogaritni vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi akut nga gjatësitë e njohura të brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë, si dhe nga vlerat e njohura të sinusit, kosinusi, tangjentja, kotangjentja dhe gjatësia e njërës anë për të gjetur gjatësitë e brinjëve të tjera. Për shembull, nëse do të dinim se në një trekëndësh kënddrejtë, kema AC është 3, dhe hipotenuza AB është 7, atëherë mund të llogarisim vlerën e kosinusit të një këndi akut A sipas përkufizimit: cos∠A = AC / AB = 3/7.
Këndi i rrotullimit
Në trigonometri, ata fillojnë të shikojnë këndin më gjerësisht - ata prezantojnë konceptin e këndit të rrotullimit. Vlera e këndit të rrotullimit, ndryshe nga këndi akut, nuk kufizohet nga kornizat nga 0 në 90 gradë, këndi i rrotullimit në gradë (dhe në radianë) mund të shprehet me çdo numër real nga -∞ në + ∞.
Në këtë këndvështrim, përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës nuk janë më një kënd akut, por një kënd me madhësi arbitrare - këndi i rrotullimit. Ato jepen përmes koordinatave x dhe y të pikës A 1, në të cilën kalon e ashtuquajtura pika fillestare A (1, 0) pasi rrotullohet nga një kënd α rreth pikës O - origjina e koordinatës karteziane drejtkëndore. sistemi dhe qendra e rrethit të njësisë.
Përkufizimi.
Sinusi i këndit të rrotullimitα është ordinata e pikës A 1, pra sinα = y.
Përkufizimi.
Kosinusi i këndit të rrotullimitα quhet abshisa e pikës A 1, pra cos α = x.
Përkufizimi.
Tangjenta e rrotullimitα është raporti i ordinatës së pikës A 1 me abshisën e saj, domethënë tgα = y / x.
Përkufizimi.
Kotangjentja e këndit të rrotullimitα është raporti i abshisës së pikës A 1 ndaj ordinatës së saj, domethënë ctgα = x / y.
Sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd α, pasi ne gjithmonë mund të përcaktojmë abshisën dhe ordinatën e një pike, e cila fitohet duke rrotulluar pikën e fillimit me një kënd α. Dhe tangjentja dhe kotangjentja nuk janë të përcaktuara për çdo kënd. Tangjentja nuk është përcaktuar për kënde të tilla α, në të cilat pika e fillimit shkon në një pikë me abshisë zero (0, 1) ose (0, −1), dhe kjo ndodh në këndet 90 ° + 180 ° k, k∈ Z (π / 2 + π k rad). Në të vërtetë, në kënde të tilla rrotullimi, shprehja tgα = y / x nuk ka kuptim, pasi përmban ndarje me zero. Sa i përket kotangjentës, nuk është përcaktuar për kënde të tilla α, në të cilat pika e fillimit shkon në një pikë me ordinatë zero (1, 0) ose (−1, 0), dhe ky është rasti për këndet 180 ° k. , k ∈Z (π k është rad).
Pra, sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd rrotullimi, tangjentja përcaktohet për të gjitha këndet përveç 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), dhe kotangjentja është për të gjitha këndet përveç 180 ° K, k∈Z (π k rad).
Shënimet sin, cos, tg dhe ctg tashmë të njohura për ne shfaqen në përkufizime, ato përdoren gjithashtu për të treguar sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjenten e këndit të rrotullimit (ndonjëherë mund të gjeni emërtimet tan dhe cot që korrespondojnë me tangjente dhe kotangjente). Pra, sinusi i këndit të rrotullimit prej 30 gradë mund të shkruhet si sin30 °, hyrjet tg (−24 ° 17 ′) dhe ctgα korrespondojnë me tangjentën e këndit të rrotullimit −24 gradë 17 minuta dhe kotangjenten e këndit të rrotullimit α. . Kujtoni se kur shkruani masën radian të një këndi, emërtimi "rad" shpesh hiqet. Për shembull, kosinusi i një këndi rrotullimi prej tre pi rad zakonisht shënohet cos3 · π.
Në përfundim të këtij paragrafi, vlen të theksohet se në një bisedë për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjenten e këndit të rrotullimit, shprehja "këndi i rrotullimit" ose fjala "rrotullim" shpesh hiqet. Kjo do të thotë, në vend të shprehjes "sinusi i këndit të rrotullimit alfa", zakonisht përdoret togfjalëshi "sinusi i këndit të alfa" ose, edhe më i shkurtër, "sinusi i alfa". E njëjta gjë vlen edhe për kosinusin, tangjentën dhe kotangjentin.
Gjithashtu, le të themi se përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë janë në përputhje me përkufizimet e dhëna sapo të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi rrotullimi midis 0 dhe 90 gradë. Ne do ta justifikojmë këtë.
Numrat
Përkufizimi.
Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një numri t është një numër i barabartë me sinusin, kosinusin, tangjenten dhe kotangjenten e këndit të rrotullimit në t radianë, përkatësisht.
Për shembull, kosinusi i 8 · π është, sipas përkufizimit, një numër i barabartë me kosinusin e një këndi prej 8 · π rad. Dhe kosinusi i një këndi prej 8 π është rad është e barabartë me një, pra, kosinusi i 8 π është 1.
Ekziston një qasje tjetër për përcaktimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një numri. Ai konsiston në faktin se të gjithë numër real t shoqërohet me një pikë të rrethit njësi të përqendruar në origjinën e një sistemi koordinativ drejtkëndor, dhe sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja përcaktohen përmes koordinatave të kësaj pike. Le të ndalemi në këtë në më shumë detaje.
Le të tregojmë se si vendoset korrespondenca midis numrave realë dhe pikave të një rrethi:
- numri 0 lidhet me pikën fillestare A (1, 0);
- një numër pozitiv t lidhet me pikën e rrethit të njësisë, në të cilën do të arrijmë, nëse lëvizim përgjatë rrethit nga pika e fillimit në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe udhëtojmë një shteg me gjatësi t;
- numër negativ t lidhet me pikën e rrethit të njësisë, në të cilën do të futemi, nëse lëvizim përgjatë rrethit nga pika e fillimit në drejtim të akrepave të orës dhe udhëtojmë një shteg me gjatësi | t | ...
Tani i drejtohemi përkufizimeve të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së numrit t. Supozoni se numri t korrespondon me pikën e rrethit A 1 (x, y) (për shembull, numri π / 2; korrespondon me pikën A 1 (0, 1)).
Përkufizimi.
Sinusi i një numri t quhet ordinata e pikës së rrethit njësi që i përgjigjet numrit t, pra sint = y.
Përkufizimi.
Numri i kosinusit t quhet abshisa e pikës së rrethit njësi që korrespondon me numrin t, domethënë kosto = x.
Përkufizimi.
Tangjentja e numrit t është raporti i ordinatës me abshisën e pikës së rrethit njësi që korrespondon me numrin t, domethënë tgt = y / x. Në një formulim tjetër ekuivalent, tangjentja e numrit t është raporti i sinusit të këtij numri me kosinusin, domethënë tgt = sint / kosto.
Përkufizimi.
Numri kotangjent t është raporti i abshisës me ordinatën e pikës së rrethit të njësisë që korrespondon me numrin t, domethënë ctgt = x / y. Një formulim tjetër është si vijon: tangjentja e numrit t është raporti i kosinusit të numrit t me sinusin e numrit t: ctgt = kosto / sint.
Vini re këtu se përkufizimet e dhëna sapo janë në përputhje me përkufizimin e dhënë në fillim të këtij paragrafi. Në të vërtetë, pika e rrethit të njësisë që korrespondon me numrin t përkon me pikën e fituar duke rrotulluar pikën e fillimit me një kënd prej t radianeve.
Vlen gjithashtu të sqarohet kjo pikë. Le të themi se kemi mëkat3. Si të kuptojmë nëse po flasim për sinusin e numrit 3 apo sinusin e këndit të rrotullimit prej 3 radianësh? Kjo zakonisht është e qartë nga konteksti, përndryshe ka shumë të ngjarë të jetë e parëndësishme.
Funksionet trigonometrike të argumentit këndor dhe numerik
Sipas përcaktimeve të dhëna në paragrafin e mëparshëm, çdo kënd i rrotullimit α korrespondon me një vlerë të mirëpërcaktuar të sinα, si dhe me vlerën e cosα. Për më tepër, të gjitha këndet e rrotullimit përveç 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad) korrespondojnë me vlerat e tanα, dhe vlera të tjera se 180 ° k, k∈Z (π k rad ) Janë vlerat e ctgα. Prandaj sinα, cosα, tgα dhe ctgα janë funksione të këndit α. Me fjalë të tjera, ato janë funksione të argumentit këndor.
Në mënyrë të ngjashme, mund të flasim për funksionet sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent të një argumenti numerik. Në të vërtetë, çdo numër real t ka një vlerë të mirëpërcaktuar sint, ashtu si edhe kostoja. Për më tepër, vlerat tgt korrespondojnë me të gjithë numrat përveç π / 2 + π k, k∈Z dhe vlerat ctgt korrespondojnë me numrat π k, k∈Z.
Funksionet sinus, kosinus, tangent dhe kotangjent quhen funksionet bazë trigonometrike.
Zakonisht është e qartë nga konteksti nëse kemi të bëjmë me funksione trigonometrike të një argumenti këndor apo një argumenti numerik. Përndryshe, ndryshoren e pavarur mund ta konsiderojmë edhe si masë të këndit (argument këndor) edhe si argument numerik.
Sidoqoftë, shkolla kryesisht studion funksionet numerike, domethënë funksionet, argumentet e të cilëve, si vlerat përkatëse të funksionit, janë numra. Prandaj, nëse po flasim posaçërisht për funksionet, atëherë këshillohet të merren parasysh funksionet trigonometrike funksionet e argumenteve numerike.
Lidhja e përkufizimeve nga gjeometria dhe trigonometria
Nëse marrim parasysh këndin e rrotullimit α në intervalin nga 0 deri në 90 gradë, atëherë të dhënat në kontekstin e trigonometrisë për përcaktimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndit të rrotullimit pajtohen plotësisht me përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjente dhe kotangjente e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë, të cilat janë dhënë në kursin e gjeometrisë. Le ta justifikojmë këtë.
Vizatoni në formë drejtkëndëshe Sistemi kartezian koordinatat Oxy njësi rrethi. Le të shënojmë pikën e fillimit A (1, 0). Ne e rrotullojmë atë përmes një këndi α që varion nga 0 në 90 gradë, marrim pikën A 1 (x, y). Le të hedhim pingulën A 1 H nga pika A 1 në boshtin Ox.
Është e lehtë të shihet se në një trekëndësh kënddrejtë këndi A 1 OH është i barabartë me këndin e rrotullimit α, gjatësia e këmbës OH ngjitur me këtë kënd është e barabartë me abshisën e pikës A 1, domethënë | OH | = x, gjatësia e këmbës përballë këndit të këmbës A 1 H është e barabartë me ordinatën e pikës A 1, domethënë | A 1 H | = y, dhe gjatësia e hipotenuzës OA 1 është e barabartë me një, pasi është rrezja e rrethit njësi. Atëherë, sipas përkufizimit nga gjeometria, sinusi i një këndi akut α në një trekëndësh kënddrejtë A 1 OH është i barabartë me raportin e këmbës së kundërt me hipotenuzën, domethënë sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. Dhe sipas përkufizimit nga trigonometria, sinusi i këndit të rrotullimit α është i barabartë me ordinatën e pikës A 1, domethënë sin α = y. Nga kjo mund të shihet se përcaktimi i sinusit të një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është i barabartë me përcaktimin e sinusit të këndit të rrotullimit α në α nga 0 në 90 gradë.
Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se përkufizimet e kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndit akut α pajtohen me përkufizimet e kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndit të rrotullimit α.
Bibliografi.
- Gjeometria. Klasat 7-9: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm. institucionet / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev dhe të tjerë]. - botimi i 20-të. M .: Arsimi, 2010 .-- 384 f.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- A. V. Pogorelov Gjeometria: Teksti mësimor. për 7-9 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / A. V. Pogorelov. - Botimi i 2-të - M .: Arsimi, 2001 .-- 224 f.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algjebra dhe funksionet elementare: Tutorial për nxënësit e klasës së 9-të të shkollës së mesme / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redaktuar nga Doktor i Shkencave Fizike dhe Matematikore ON Golovin - Ed. 4. Moskë: Arsimi, 1969.
- Algjebra: Libër mësuesi. për 9 cl. e mërkurë shkolla / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Arsimi, 1990.- 272 f.: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algjebër dhe fillimi i analizës: Teksti mësimor. për 10-11 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - Botimi i 14-të - M .: Arsimi, 2004. - 384 f.: i sëmurë - ISBN 5-09-013651-3.
- A. G. Mordkovich Algjebra dhe fillimi i analizës. Klasa 10. Në orën 2. Pjesa 1: tekst shkollor për institucionet arsimore ( niveli i profilit) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. 4, Shto. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 424 f.: Ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algjebër dhe filloi analiza matematikore... Klasa 10: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm. institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - I .: Arsimi, 2010.- 368 f.: i sëmurë - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Algjebra dhe fillimi i analizës: Teksti mësimor. për 10-11 cl. e mërkurë shk. - botimi i 3-të. - M .: Arsimi, 1993 .-- 351 f.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikë (manual për aplikantët e shkollave teknike): Teksti mësimor. manual - M .; Më e lartë. shk., 1984.-351 f., ill.
Lejoni të vendosni një numër rezultatesh karakteristike - vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit... Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë tre vetitë kryesore. E para prej tyre tregon shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndit α, në varësi të cilës çerek koordinativ është këndi α. Më pas, do të shqyrtojmë vetinë e periodicitetit, e cila përcakton qëndrueshmërinë e vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndit α kur ky kënd ndryshohet nga një numër i plotë rrotullimesh. Vetia e tretë shpreh marrëdhënien midis vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndeve të kundërta α dhe -α.
Nëse jeni të interesuar për vetitë e funksioneve të sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit, atëherë ato mund të studiohen në seksionin përkatës të artikullit.
Navigimi i faqes.
Shenjat sinus, kosinus, tangjente dhe kotangjente në tremujorë
Më poshtë në këtë paragraf do të gjendet togfjalëshi "këndi i tremujorit të koordinatave I, II, III dhe IV". Le të shpjegojmë se cilat janë këto kënde.
Merrni rrethin e njësisë, shënoni pikën fillestare A (1, 0) mbi të dhe rrotullojeni rreth pikës O me këndin α, ndërsa supozojmë se do të arrijmë në pikën A 1 (x, y).
Ata thonë se këndi α është këndi i tremujorit të koordinatave I, II, III, IV nëse pika А 1 shtrihet përkatësisht në tremujorët I, II, III, IV; nëse këndi α është i tillë që pika A 1 shtrihet në ndonjë nga drejtëzat koordinative Ox ose Oy, atëherë ky kënd nuk i përket asnjërit prej katër katërtave.
Për qartësi, ne paraqesim një ilustrim grafik. Në vizatimet e mëposhtme, këndet e rrotullimit janë 30, −210, 585 dhe −45 gradë, që janë përkatësisht këndet I, II, III dhe IV të katërtave koordinative.
Këndet 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... shkallët nuk i përkasin asnjë prej tremujorëve koordinativ.
Tani le të kuptojmë se cilat shenja kanë vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndit të rrotullimit α, në varësi të cilës çerek kënd është α.
Për sinusin dhe kosinusin, kjo është e lehtë për t'u bërë.
Sipas përkufizimit, sinusi i këndit α është ordinata e pikës A 1. Natyrisht, në tremujorin koordinativ I dhe II është pozitiv, dhe në tremujorin III dhe IV është negativ. Kështu, sinusi i këndit α ka një shenjë plus në tremujorët I dhe II, dhe një shenjë minus në tremujorët III dhe VI.
Nga ana tjetër, kosinusi i këndit α është abshisa e pikës A 1. Në tremujorin I dhe IV është pozitiv, dhe në tremujorin II dhe III është negativ. Rrjedhimisht, vlerat e kosinusit të këndit α në tremujorët I dhe IV janë pozitive, dhe në tremujorët II dhe III - negative.
Për të përcaktuar shenjat nga të katërtat e tangjentës dhe kotangjentës, duhet të mbani mend përkufizimet e tyre: tangjentja është raporti i ordinatës së pikës A1 me abshisën, dhe kotangjentja është raporti i abshisës së pikës A1 me ordinatën. . Pastaj nga rregullat për pjesëtimin e numrave me të njëjtën dhe shenja të ndryshme rrjedh se tangjentja dhe kotangjentja kanë një shenjë plus kur shenjat e abshisës dhe ordinatës së pikës A 1 janë të njëjta, dhe kanë një shenjë minus - kur shenjat e abshisës dhe ordinatës së pikës A 1 janë të ndryshme. Rrjedhimisht, tangjentja dhe kotangjentja e këndit kanë një shenjë + në tremujorët e koordinatave I dhe III, dhe një shenjë minus në tremujorët II dhe IV.
Në të vërtetë, për shembull, në tremujorin e parë, si abshisa x ashtu edhe ordinata y e pikës A 1 janë pozitive, atëherë të dy herësi x / y dhe herësi y / x janë pozitiv, prandaj, tangjentja dhe kotangjentja kanë + shenjat. Dhe në tremujorin e dytë, abshisa x është negative, dhe ordinata y është pozitive, prandaj të dy x / y dhe y / x janë negative, nga ku tangjentja dhe kotangjentja kanë një shenjë minus.
Kalojmë në vetinë tjetër të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës.
Vetia e periodicitetit
Tani do të analizojmë ndoshta vetinë më të dukshme të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ai konsiston në sa vijon: kur këndi ndryshohet nga një numër i plotë rrotullimesh të plota, vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këtij këndi nuk ndryshojnë.
Kjo është e kuptueshme: kur këndi ndryshon me një numër të plotë rrotullimesh, ne gjithmonë do të arrijmë nga pika fillestare A në pikën A1 në rrethin e njësisë, prandaj, vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës mbeten të pandryshuara, pasi koordinatat e pikës A 1 mbeten të pandryshuara.
Duke përdorur formulat, vetia e konsideruar e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës mund të shkruhet si më poshtë: sin (α + 2 π z) = sinα, cos (α + 2 π z) = cosα, tg (α + 2 π z) = tgα, ctg (α + 2 π z) = ctgα, ku α është këndi i rrotullimit në radianë, z është çdo, vlere absolute që tregon numrin e rrotullimeve të plota me të cilat këndi α ndryshon, dhe shenja e numrit z tregon drejtimin e rrotullimit.
Nëse këndi i rrotullimit α jepet në gradë, atëherë këto formula do të rishkruhen si sinα (α + 360 ° z) = sinα, cos (α + 360 ° z) = cosα, tg (α + 360 ° z) = tgα , ctg (α + 360 ° z) = ctgα.
Këtu janë disa shembuj të përdorimit të kësaj prone. Për shembull, 
, sepse 
, a 
... Ja një shembull tjetër: ose.
Kjo veti, së bashku me formulat e reduktimit, përdoret shumë shpesh gjatë llogaritjes së vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndeve "të mëdha".
Vetitë e konsideruara të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës nganjëherë quhen veti e periodicitetit.
Vetitë e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve të këndeve të kundërta
Le të jetë А 1 pika e përftuar si rezultat i rrotullimit të pikës fillestare А (1, 0) rreth pikës O nga këndi α, dhe pika А 2 rezultat i rrotullimit të pikës А përmes këndit -α të kundërt me këndi α.
Vetia e sinuseve, kosinuseve, tangjenteve dhe kotangjenteve të këndeve të kundërta bazohet në një fakt mjaft të qartë: pikat A1 dhe A2 të përmendura më sipër ose përkojnë (at) ose janë të vendosura në mënyrë simetrike rreth boshtit Ox. Kjo do të thotë, nëse pika A1 ka koordinata (x, y), atëherë pika A2 do të ketë koordinata (x, −y). Prandaj, sipas përcaktimeve të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, shkruajmë barazitë dhe.
Duke i krahasuar ato, vijmë te marrëdhëniet ndërmjet sinuseve, kosinuseve, tangjenteve dhe kotangjenteve të këndeve të kundërta α dhe -α të formës.
Kjo është vetia në shqyrtim në formën e formulave.
Këtu janë disa shembuj të përdorimit të kësaj prone. Për shembull, barazitë janë të vërteta dhe 
.
Mbetet vetëm të theksohet se vetia e sinuseve, kosinuseve, tangjenteve dhe kotangjenteve të këndeve të kundërta, si vetia e mëparshme, përdoret shpesh gjatë llogaritjes së vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, dhe ju lejon të largoheni plotësisht. nga këndvështrime negative.
Bibliografi.
- Algjebra: Libër mësuesi. për 9 cl. e mërkurë shkolla / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Arsimi, 1990.- 272 f.: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algjebër dhe fillimi i analizës: Teksti mësimor. për 10-11 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - Botimi i 14-të - M .: Arsimi, 2004. - 384 f.: i sëmurë - ISBN 5-09-013651-3.
- Bashmakov M.I. Algjebra dhe fillimi i analizës: Teksti mësimor. për 10-11 cl. e mërkurë shk. - botimi i 3-të. - M .: Arsimi, 1993 .-- 351 f.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikë (manual për aplikantët e shkollave teknike): Teksti mësimor. manual - M .; Më e lartë. shk., 1984.-351 f., ill.
Studimin e trigonometrisë do ta fillojmë me një trekëndësh kënddrejtë. Le të përcaktojmë se çfarë janë sinusi dhe kosinusi, si dhe tangjentja dhe kotangjentja e një këndi akut. Këto janë bazat e trigonometrisë.
Kujtoni atë kënd i drejtëështë një kënd prej 90 gradë. Me fjalë të tjera, gjysma e një cepi të rrafshuar.
Këndi i mprehtë- më pak se 90 gradë.
Këndi i mpirë- më shumë se 90 gradë. Kur aplikohet në një cep të tillë, "memec" nuk është një fyerje, por një term matematikor :-)
Le të vizatojmë një trekëndësh kënddrejtë. Zakonisht tregohet një kënd i drejtë. Vini re se ana përballë këndit shënohet me të njëjtën shkronjë, vetëm e vogël. Pra, shënohet ana përballë këndit A.
Këndi tregohet me shkronjën përkatëse greke.
Hipotenuza një trekëndësh kënddrejtë është brinja përballë këndit të drejtë.
Këmbët- anët përballë qosheve të mprehta.
Këmba përballë këndit quhet kundërshtuese(në lidhje me këndin). Një këmbë tjetër, e cila shtrihet në njërën anë të qoshes, quhet ngjitur.
Sinus një kënd i mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën:
Kosinusi një kënd akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:
Tangjente një kënd akut në një trekëndësh me kënd të drejtë - raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur:
Një përkufizim tjetër (ekuivalent): tangjentja e një këndi akut është raporti i sinusit të një këndi me kosinusin e tij:
Kotangjente një kënd akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt (ose, që është i njëjtë, raporti i kosinusit me sinusin):
Vini re marrëdhëniet bazë për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjenten më poshtë. Ata do të jenë të dobishëm për ne kur zgjidhim problemet.
Le të vërtetojmë disa prej tyre.
Mirë, ne kemi dhënë përkufizime dhe kemi shkruar formula. Dhe për çfarë shërbejnë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja?
Ne e dimë atë shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është.
Ne e dimë marrëdhënien ndërmjet partive trekëndësh kënddrejtë. Kjo është teorema e Pitagorës:.
Rezulton se duke ditur dy kënde në një trekëndësh, mund të gjesh të tretin. Duke ditur të dy anët në një trekëndësh kënddrejtë, mund të gjeni të tretën. Kjo do të thotë që për qoshet - raporti i tij, për anët - i veti. Por, çka nëse në një trekëndësh kënddrejtë njihet një kënd (përveç atij të drejtës) dhe njëra anë, por ju duhet të gjeni anët e tjera?
Njerëzit u përballën me këtë në të kaluarën, duke bërë harta të zonës dhe qiellit me yje. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të maten drejtpërdrejt të gjitha anët e një trekëndëshi.
Sinus, kosinus dhe tangjent - quhen gjithashtu funksionet trigonometrike të një këndi- jepni marrëdhënien ndërmjet partive dhe qoshet trekëndëshi. Duke ditur këndin, mund të gjeni të gjitha funksionet e tij trigonometrike duke përdorur tabela të veçanta. Dhe duke ditur sinuset, kosinuset dhe tangjentet e këndeve të një trekëndëshi dhe njërës prej brinjëve të tij, mund të gjeni pjesën tjetër.
Ne gjithashtu do të vizatojmë një tabelë të vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për këndet "të mira" nga në.
Vini re dy vijat e kuqe në tabelë. Tangjentja dhe kotangjentja nuk ekzistojnë për këndet përkatëse.
Le të analizojmë disa detyra trigonometrike nga Banka e Punës FIPI.
1. Në një trekëndësh, këndi është,. Gjej.
Problemi zgjidhet në katër sekonda.
Për aq sa , .
2. Në një trekëndësh, këndi është,,. Gjej.
Gjeni nga teorema e Pitagorës.
Problemi është zgjidhur.
Trekëndëshat me kënde dhe ose me kënde dhe shpesh hasen në probleme. Mësoni përmendësh raportet bazë për ta!
Për një trekëndësh me qoshe dhe një këmbë përballë këndit b është e barabartë me gjysma e hipotenuzës.
Një trekëndësh me qoshe dhe është dykëndësh. Në të, hipotenuza është herë më e madhe se këmba.
Ne shqyrtuam problemin e zgjidhjes së trekëndëshave kënddrejtë - domethënë gjetjen e brinjëve ose këndeve të panjohura. Por kjo nuk është e gjitha! V variantet e provimit në matematikë, ka shumë probleme ku shfaqet sinusi, kosinusi, tangjentja ose kotangjentja e këndit të jashtëm të një trekëndëshi. Më shumë rreth kësaj në artikullin vijues.
Aty ku merren parasysh problemet për zgjidhjen e një trekëndëshi kënddrejtë, unë premtova të përshkruaj një teknikë për memorizimin e përkufizimeve të sinusit dhe kosinusit. Duke e përdorur atë, gjithmonë do të mbani mend shpejt se cila këmbë i përket hipotenuzës (ngjitur ose përballë). Vendosa të mos e vendos në flakë të pasme, materiali i kërkuar më poshtë, ju lutemi lexoni 😉
Fakti është se unë kam vërejtur vazhdimisht se si nxënësit e klasave 10-11 e kanë të vështirë të kujtojnë këto përkufizime. Ata e mbajnë mend shumë mirë se këmba i përket hipotenuzës, por cilës- harro dhe i hutuar. Kostoja e një gabimi, siç e dini në provim, është një pikë e humbur.
Informacioni që unë do të paraqes direkt në matematikë nuk ka të bëjë me të. Ajo lidhet me të menduarit figurativ dhe me metodat e komunikimit verbalo-logjik. Ashtu është, unë vetë, njëherë e përgjithmonë e mbaj mendtë dhënat e përkufizimit. Nëse i harroni ato, atëherë me ndihmën e teknikave të paraqitura është gjithmonë e lehtë t'i mbani mend.
Më lejoni t'ju kujtoj përkufizimet e sinusit dhe kosinusit në një trekëndësh kënddrejtë:
Kosinusi një kënd akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:
Sinus një kënd i mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën:
Pra, çfarë lidhjesh keni me fjalën kosinus?
Ndoshta të gjithë kanë të tyren 😉Mbani mend grupin:
Kështu, menjëherë do të keni një shprehje në kujtesën tuaj -
«… raporti i këmbës RREGULLORE me hipotenuzën».
Problemi me përcaktimin e kosinusit është zgjidhur.
Nëse duhet të kujtoni përkufizimin e sinusit në një trekëndësh kënddrejtë, pastaj duke kujtuar përkufizimin e kosinusit, mund të përcaktoni lehtësisht se sinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuza. Në fund të fundit, ka vetëm dy këmbë, nëse këmba ngjitur "e pushtuar" nga kosinusi, atëherë mbetet vetëm sinusi i kundërt.
Po në lidhje me tangjenten dhe kotangjenten? Konfuzioni është i njëjtë. Nxënësit e dinë se kjo është marrëdhënia e këmbëve, por problemi është të mbani mend se cilës i përket - ose e kundërta me atë ngjitur, ose anasjelltas.
Përkufizimet:
Tangjente një kënd i mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur:
Kotangjente një kënd i mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt:
Si të mbani mend? Ka dy mënyra. Njëri përdor gjithashtu një lidhje verbale-logjike, tjetra - një lidhje matematikore.
METODA MATEMATIKE
Ekziston një përkufizim i tillë - tangjentja e një këndi akut është raporti i sinusit të një këndi me kosinusin e tij:
* Pasi të keni mësuar përmendësh formulën, gjithmonë mund të përcaktoni se tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me këmbën ngjitur.
Po kështu.Kotangjentja e një këndi akut është raporti i kosinusit të një këndi me sinusin e tij:
Kështu që! Pasi të keni mësuar përmendësh formulat e treguara, gjithmonë mund të përcaktoni se:
- tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur
- Kotangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt.
METODA FJALË-LOGJIKE
Rreth tangjentes. Mbani mend grupin:
Kjo do të thotë, nëse duhet të mbani mend përkufizimin e tangjentes, duke përdorur këtë lidhje logjike, mund të mbani mend lehtësisht se është
"... raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur"
Nëse bëhet fjalë për kotangjenten, atëherë duke kujtuar përkufizimin e tangjentës, mund të shprehni lehtësisht përkufizimin e kotangjentës -
"... raporti i këmbës ngjitur me të kundërtën"
Ekziston një teknikë interesante për memorizimin e tangjentës dhe kotangjentës në vend " Tandemi matematikor " , Hidhi nje sy.
METODA UNIVERSAL
Ju thjesht mund të mësoni përmendësh.Por siç tregon praktika, falë lidhjeve verbale dhe logjike, një person kujton informacionin për një kohë të gjatë, dhe jo vetëm matematikore.
Shpresoj se materiali ishte i dobishëm për ju.
Përshëndetje, Alexander Krutitskikh
P.S: Do të isha mirënjohës nëse na tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Një nga degët e matematikës me të cilën nxënësit përballen me vështirësitë më të mëdha është trigonometria. Nuk është për t'u habitur: për të zotëruar lirshëm këtë fushë të njohurive, ju nevojitet të menduarit hapësinor, aftësia për të gjetur sinus, kosinus, tangjentë, kotangjentë me formula, për të thjeshtuar shprehjet dhe për të qenë në gjendje të përdorni pi në llogaritjet. Përveç kësaj, ju duhet të jeni në gjendje të aplikoni trigonometrinë kur provoni teorema, dhe kjo kërkon ose një memorie të zhvilluar matematikore, ose aftësinë për të nxjerrë zinxhirë logjikë kompleksë.
Origjina e trigonometrisë
Njohja me këtë shkencë duhet të fillojë me përcaktimin e sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi, por së pari ju duhet të kuptoni se çfarë bën trigonometria në përgjithësi.
Historikisht, objekti kryesor i studimit të këtij seksioni shkenca matematikore kishte trekëndësha kënddrejtë. Prania e një këndi prej 90 gradë bën të mundur kryerjen e operacioneve të ndryshme që lejojnë përcaktimin e vlerave të të gjithë parametrave të figurës në fjalë në dy anët dhe një cep, ose në dy kënde dhe një anë. Në të kaluarën, njerëzit e vunë re këtë model dhe filluan ta përdorin atë në mënyrë aktive në ndërtimin e ndërtesave, lundrimin, në astronomi dhe madje edhe në art.
Faza e parë
Fillimisht, njerëzit folën për marrëdhëniet e këndeve dhe brinjëve ekskluzivisht në shembullin e trekëndëshave kënddrejtë. Më pas u zbuluan formula të veçanta që bënë të mundur zgjerimin e kufijve të përdorimit në Jeta e përditshme të këtij seksioni të matematikës.
Studimi i trigonometrisë në shkollë sot fillon me trekëndëshat kënddrejtë, pas së cilës njohuritë e marra përdoren nga studentët në fizikë dhe zgjidhje abstrakte. ekuacionet trigonometrike, puna me të cilën fillon në shkollën e mesme.
Trigonometria sferike
Më vonë, kur shkenca arriti nivelin tjetër të zhvillimit, formulat me sinus, kosinus, tangjente, kotangjente filluan të përdoren në gjeometrinë sferike, ku zbatohen rregulla të ndryshme dhe shuma e këndeve në një trekëndësh është gjithmonë më shumë se 180 gradë. Ky seksion nuk studiohet në shkollë, por është e nevojshme të dihet për ekzistencën e tij të paktën sepse sipërfaqja e tokës dhe sipërfaqja e çdo planeti tjetër është konveks, që do të thotë se çdo shenjë sipërfaqësore do të "harkohet" në tredimensionale. hapësirë.
Merrni globin dhe vargun. Lidheni vargun në çdo dy pika të globit në mënyrë që të jetë i tendosur. Kushtojini vëmendje - mori formën e një harku. Me forma të tilla merret gjeometria sferike, e cila përdoret në gjeodezi, astronomi dhe fusha të tjera teorike dhe aplikative.
Trekëndësh kënddrejtë
Pasi mësuam pak për mënyrat e përdorimit të trigonometrisë, le t'i kthehemi trigonometrisë bazë për të kuptuar më tej se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja, çfarë llogaritje mund të kryhen me ndihmën e tyre dhe cilat formula të përdoren në këtë rast.
Hapi i parë është të kuptoni konceptet që lidhen me trekëndësh kënddrejtë... Së pari, hipotenuza është ana përballë këndit 90 gradë. Është më i gjati. Kujtojmë se sipas teoremës së Pitagorës, vlera e saj numerike është e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të dy anëve të tjera.
Për shembull, nëse të dy anët janë përkatësisht 3 dhe 4 centimetra, gjatësia e hipotenuzës është 5 centimetra. Nga rruga, egjiptianët e lashtë e dinin rreth katër mijë e gjysmë vjet më parë.
Dy anët e mbetura, të cilat formojnë një kënd të drejtë, quhen këmbë. Përveç kësaj, duhet të mbahet mend se shuma e këndeve në trekëndësh në sistem drejtkëndor koordinatat është e barabartë me 180 gradë.
Përkufizimi
Së fundi, me një kuptim të fortë të bazës gjeometrike, mund të kthehet në përkufizimin e sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi.
Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt (d.m.th., anës përballë këndit të dëshiruar) me hipotenuzën. Kosinusi i një këndi është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Mos harroni se as sinusi dhe as kosinusi nuk mund të jenë më të mëdhenj se një! Pse? Sepse hipotenuza sipas parazgjedhjes është më e gjata.Pavarësisht se sa e gjatë është këmba, ajo do të jetë më e shkurtër se hipotenuza, që do të thotë se raporti i tyre do të jetë gjithmonë më i vogël se një. Kështu, nëse keni një sinus ose kosinus me një vlerë më të madhe se 1 në përgjigjen e një problemi, kërkoni një gabim në llogaritjet ose arsyetimin. Kjo përgjigje është padyshim e gabuar.
Së fundi, tangjentja e një këndi është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur. Pjesëtimi i sinusit me kosinusin do të japë të njëjtin rezultat. Shikoni: në përputhje me formulën, e ndajmë gjatësinë e anës me hipotenuzën, pastaj e ndajmë me gjatësinë e anës së dytë dhe shumëzojmë me hipotenuzën. Kështu, marrim të njëjtën marrëdhënie si në përkufizimin e tangjentes.
Kotangjenti, përkatësisht, është raporti i anës ngjitur me këndin me anën e kundërt. Ne marrim të njëjtin rezultat duke pjesëtuar një me tangjenten.
Pra, ne kemi shqyrtuar përkufizimet se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja, dhe mund të bëjmë formulat.
Formulat më të thjeshta
Në trigonometri, nuk mund të bësh pa formula - si të gjesh sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent pa to? Por kjo është pikërisht ajo që kërkohet kur zgjidhen problemet.
Formula e parë që duhet të dini kur filloni të mësoni trigonometrinë thotë se shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është e barabartë me një. Kjo formulë është pasojë e drejtpërdrejtë e teoremës së Pitagorës, por kursen kohë nëse doni të dini këndin, jo anën.
Shumë nxënës nuk mund ta mbajnë mend formulën e dytë, e cila është gjithashtu shumë e njohur në zgjidhjen e problemeve të shkollës: shuma e një dhe katrorit të tangjentes së një këndi është e barabartë me një pjesëtuar me katrorin e kosinusit të këndit. Hidhni një vështrim më të afërt: në fund të fundit, kjo është e njëjta deklaratë si në formulën e parë, vetëm të dy anët e identitetit ndaheshin me katrorin e kosinusit. Rezulton se e bën një operacion i thjeshtë matematikor formula trigonometrike krejtësisht i panjohur. Mbani mend: duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja, rregullat e transformimit dhe disa formula bazë, mund të nxirrni në çdo kohë më shumë që kërkohet. formula komplekse në një copë letër.
Këndi i dyfishtë dhe formulat e mbledhjes së argumenteve
Dy formula të tjera që duhet të mësoni lidhen me vlerat e sinusit dhe kosinusit për shumën dhe ndryshimin e këndeve. Ato janë paraqitur në figurën më poshtë. Vini re se në rastin e parë, sinusi dhe kosinusi shumëzohen të dyja herë, dhe në të dytën, shtohet prodhimi çift i sinusit dhe kosinusit.
Ekzistojnë gjithashtu formula të lidhura me argumentet me kënd të dyfishtë. Ato rrjedhin plotësisht nga ato të mëparshmet - si stërvitje, përpiquni t'i merrni vetë, duke marrë këndin alfa të barabartë me këndin beta.
Së fundi, vini re se formulat e këndit të dyfishtë mund të transformohen për të ulur shkallën e sinusit, kosinusit dhe alfa tangjente.
Teorema
Dy teoremat kryesore në trigonometrinë bazë janë teorema e sinusit dhe teorema e kosinusit. Me ndihmën e këtyre teoremave, mund të kuptoni lehtësisht se si të gjeni sinusin, kosinusin dhe tangjentën, dhe për këtë arsye sipërfaqen e figurës dhe madhësinë e secilës anë, etj.
Teorema e sinusit thotë se duke pjestuar gjatësinë e secilës anë të trekëndëshit me vlerën e këndit të kundërt, marrim të njëjtin numër... Për më tepër, ky numër do të jetë i barabartë me dy rreze të rrethit të rrethuar, domethënë rrethin që përmban të gjitha pikat e trekëndëshit të dhënë.
Teorema e kosinusit përgjithëson teoremën e Pitagorës duke e projektuar atë në çdo trekëndësh. Rezulton se nga shuma e katrorëve të dy anëve, zbritni produktin e tyre, shumëzuar me kosinusin e dyfishtë të këndit ngjitur me to - vlera që rezulton do të jetë e barabartë me katrorin e anës së tretë. Kështu, teorema e Pitagorës rezulton të jetë një rast i veçantë i teoremës së kosinusit.
Gabime të pavëmendshme
Edhe duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi dhe tangjentja, është e lehtë të bësh një gabim për shkak të shpërqendrimit të vëmendjes ose një gabimi në llogaritjet më të thjeshta. Për të shmangur gabime të tilla, le të hedhim një vështrim në ato më të njohurat.
Së pari, nuk duhet të konvertoni thyesat e zakonshme në dhjetore derisa të merret rezultati përfundimtar - mund ta lini përgjigjen në formular thyesë e zakonshme përveç nëse përcaktohet ndryshe në kusht. Një transformim i tillë nuk mund të quhet gabim, por duhet mbajtur mend se në çdo fazë të detyrës mund të shfaqen rrënjë të reja, të cilat, sipas idesë së autorit, duhet të shkurtohen. Në këtë rast, do të humbni kohë për të panevojshme operacionet matematikore... Kjo është veçanërisht e vërtetë për vlera të tilla si rrënja e tre ose dy, sepse ato gjenden në probleme në çdo hap. E njëjta gjë vlen edhe për rrumbullakimin e numrave "të shëmtuar".
Më tej, vini re se teorema e kosinusit zbatohet për çdo trekëndësh, por jo për teoremën e Pitagorës! Nëse gabimisht harroni të zbrisni produktin e dyfishtë të anëve të shumëzuar me kosinusin e këndit midis tyre, jo vetëm që do të merrni një rezultat krejtësisht të gabuar, por gjithashtu do të demonstroni një mungesë të plotë të të kuptuarit të temës. Kjo është më e keqe se një gabim i pakujdesshëm.
Së treti, mos i ngatërroni vlerat për këndet 30 dhe 60 gradë për sinuset, kosinuset, tangjentet, kotangjentet. Mos harroni këto vlera, sepse sinusi 30 gradë është i barabartë me kosinusin 60 dhe anasjelltas. Është e lehtë t'i ngatërroni ato, si rezultat i së cilës në mënyrë të pashmangshme do të merrni një rezultat të gabuar.
Aplikacion
Shumë studentë nuk po nxitojnë të fillojnë të mësojnë trigonometrinë, sepse nuk e kuptojnë kuptimin e saj të aplikuar. Çfarë është sinusi, kosinusi, tangjenta për një inxhinier apo astronom? Këto janë koncepte falë të cilave ju mund të llogaritni distancën me yjet e largët, të parashikoni rënien e një meteori, të dërgoni një sondë kërkimore në një planet tjetër. Pa to, është e pamundur të ndërtohet një ndërtesë, të projektohet një makinë, të llogaritet ngarkesa në sipërfaqe ose trajektorja e një objekti. Dhe këta janë vetëm shembujt më të dukshëm! Në fund të fundit, trigonometria në një formë ose në një tjetër përdoret kudo, nga muzika te mjekësia.
Së fundi
Pra, ju jeni sinus, kosinus, tangent. Ju mund t'i përdorni ato në llogaritjet dhe të zgjidhni me sukses problemet e shkollës.
E gjithë pika e trigonometrisë zbret në faktin se parametrat e panjohur të trekëndëshit duhet të llogariten duke përdorur parametrat e njohur. Janë gjashtë prej këtyre parametrave: gjatësitë e tre brinjëve dhe madhësitë e tre këndeve. I vetmi ndryshim në detyra është se jepen inpute të ndryshme.
Tani e dini se si të gjeni sinusin, kosinusin, tangjentën bazuar në gjatësinë e njohur të këmbëve ose hipotenuzën. Meqenëse këto terma nuk nënkuptojnë asgjë më shumë se një raport, dhe një raport është një fraksion, qëllimi kryesor i një problemi trigonometrik është të gjejë rrënjët e një ekuacioni të zakonshëm ose të një sistemi ekuacionesh. Dhe këtu matematika e zakonshme e shkollës do t'ju ndihmojë.