Mendoni se ka ende kohë para provimit dhe do të keni kohë për t'u përgatitur? Ndoshta kjo është kështu. Por në çdo rast, sa më herët të fillojë trajnimi studenti, aq më me sukses i kalon provimet. Sot vendosëm t'i kushtojmë një artikull pabarazive logaritmike. Kjo është një nga detyrat, që do të thotë një mundësi për të marrë një pikë shtesë.
A e dini tashmë se çfarë është një logaritëm (log)? Ne vërtet shpresojmë kështu. Por edhe nëse nuk keni një përgjigje për këtë pyetje, nuk është problem. Është shumë e lehtë të kuptosh se çfarë është logaritmi.
Pse pikërisht 4? Ju duhet të ngrini numrin 3 në një fuqi të tillë për të marrë 81. Kur të kuptoni parimin, mund të vazhdoni me llogaritjet më komplekse.
Ju keni kaluar nëpër pabarazitë disa vite më parë. Dhe që atëherë, i takoni vazhdimisht në matematikë. Nëse keni vështirësi në zgjidhjen e pabarazive, shikoni seksionin e duhur.
Tani, kur të jemi njohur veçmas me konceptet, do të kalojmë në shqyrtimin e tyre në përgjithësi.
Pabarazia më e thjeshtë logaritmike.
Pabarazitë logaritmike më të thjeshta nuk kufizohen në këtë shembull, ka edhe tre të tjera, vetëm me shenja të ndryshme. Pse është e nevojshme kjo? Për të kuptuar më mirë se si zgjidhet pabarazia me logaritme. Tani japim një shembull më të zbatueshëm, ende mjaft të thjeshtë, i lëmë pabarazitë logaritmike komplekse për më vonë.
Si ta zgjidhim atë? Gjithçka fillon me ODZ. Ju duhet të dini më shumë për të nëse dëshironi të zgjidhni gjithmonë lehtësisht çdo pabarazi.
Çfarë është ODZ? DPV për pabarazitë logaritmike
Shkurtesa qëndron për zonën vlerat e lejuara. Në detyrat për provim, ky formulim shpesh shfaqet. ODZ do të jetë i dobishëm për ju jo vetëm në rast pabarazitë logaritmike.
Shikoni përsëri shembullin e mësipërm. Ne do të shqyrtojmë ODZ bazuar në të, në mënyrë që të kuptoni parimin, dhe zgjidhja e pabarazive logaritmike nuk ngre pyetje. Nga përkufizimi i logaritmit del se 2x+4 duhet të jetë më i madh se zero. Në rastin tonë, kjo do të thotë sa vijon.
Ky numër duhet të jetë pozitiv sipas definicionit. Zgjidheni pabarazinë e paraqitur më sipër. Kjo mund të bëhet edhe gojarisht, këtu është e qartë se X nuk mund të jetë më i vogël se 2. Zgjidhja e pabarazisë do të jetë përcaktimi i diapazonit të vlerave të pranueshme.
Tani le të kalojmë në zgjidhjen e pabarazisë më të thjeshtë logaritmike.
Ne i heqim vetë logaritmet nga të dy pjesët e pabarazisë. Çfarë na mbetet si rezultat? pabarazi e thjeshtë.
Është e lehtë për t'u zgjidhur. X duhet të jetë më i madh se -0.5. Tani kombinojmë dy vlerat e marra në sistem. Në këtë mënyrë,
Ky do të jetë rajoni i vlerave të pranueshme për pabarazinë logaritmike të konsideruar.
Pse nevojitet fare ODZ? Ky është një mundësi për të hequr qafe përgjigjet e pasakta dhe të pamundura. Nëse përgjigja nuk është brenda kufijve të vlerave të pranueshme, atëherë përgjigjja thjesht nuk ka kuptim. Kjo ia vlen të mbahet mend për një kohë të gjatë, pasi në provim shpesh ekziston nevoja për të kërkuar ODZ, dhe ka të bëjë jo vetëm me pabarazitë logaritmike.
Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike
Zgjidhja përbëhet nga disa hapa. Së pari, është e nevojshme të gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme. Do të ketë dy vlera në ODZ, ne e konsideruam këtë më lart. Hapi tjetër është zgjidhja e vetë pabarazisë. Metodat e zgjidhjes janë si më poshtë:
- metoda e zëvendësimit të shumëzuesit;
- dekompozim;
- metoda e racionalizimit.
Në varësi të situatës, duhet të përdoret një nga metodat e mësipërme. Le të shkojmë direkt te zgjidhja. Ne do të zbulojmë metodën më të njohur që është e përshtatshme për zgjidhjen e detyrave USE në pothuajse të gjitha rastet. Më pas, ne do të shqyrtojmë metodën e dekompozimit. Mund të ndihmojë nëse hasni në një pabarazi veçanërisht "të ndërlikuar". Pra, algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike.
Shembuj zgjidhjesh :
Jo më kot morëm pikërisht një pabarazi të tillë! Kushtojini vëmendje bazës. Mbani mend: nëse është më i madh se një, shenja mbetet e njëjtë kur gjen diapazonin e vlerave të vlefshme; përndryshe, shenja e pabarazisë duhet të ndryshohet.
Si rezultat, marrim pabarazinë:
Tani e sjellim anën e majtë në formën e ekuacionit, zero. Në vend të shenjës "më pak se", vendosim "barabartë", zgjidhim ekuacionin. Kështu, ne do të gjejmë ODZ. Shpresojmë që me zgjidhjen e të tilla ekuacion i thjeshtë nuk do kesh problem. Përgjigjet janë -4 dhe -2. Kjo nuk është e gjitha. Ju duhet t'i shfaqni këto pika në tabelë, vendosni "+" dhe "-". Çfarë duhet bërë për këtë? Zëvendësoni numrat nga intervalet në shprehje. Aty ku vlerat janë pozitive, vendosim "+".
Përgjigju: x nuk mund të jetë më i madh se -4 dhe më i vogël se -2.
Ne gjetëm gamën e vlerave të vlefshme vetëm për anën e majtë, tani duhet të gjejmë gamën e vlerave të vlefshme për anën e djathtë. Kjo nuk është aspak më e lehtë. Përgjigje: -2. Ne kryqëzojmë të dy zonat e marra.
Dhe vetëm tani fillojmë të zgjidhim vetë pabarazinë.
Le ta thjeshtojmë sa më shumë që të jetë e mundur për ta bërë më të lehtë vendosjen.
Aplikoni përsëri metoda e intervalit në vendim. Le të kalojmë llogaritjet, me të gjithçka është tashmë e qartë nga shembulli i mëparshëm. Përgjigju.
Por kjo metodë është e përshtatshme nëse pabarazia logaritmike ka të njëjtat baza.
Zgjidhje ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë me baza të ndryshme presupozon një reduktim fillestar në një bazë. Pastaj përdorni metodën e mësipërme. Por ka më shumë rast i vështirë. Konsideroni një nga më lloje komplekse pabarazitë logaritmike.
Mosbarazimet logaritmike me bazë të ndryshueshme
Si të zgjidhen pabarazitë me karakteristika të tilla? Po, dhe të tilla mund të gjenden në provim. Zgjidhja e pabarazive në mënyrën e mëposhtme do të ketë gjithashtu një efekt të dobishëm në procesin tuaj arsimor. Le ta kuptojmë çështjen hollësisht. Le të lëmë mënjanë teorinë dhe të shkojmë direkt në praktikë. Për të zgjidhur pabarazitë logaritmike, mjafton të njiheni një herë me shembullin.
Për të zgjidhur pabarazinë logaritmike të formës së paraqitur, është e nevojshme të sillni anën e djathtë në logaritëm me të njëjtën bazë. Parimi i ngjan tranzicioneve ekuivalente. Si rezultat, pabarazia do të duket kështu.
Në fakt, mbetet të krijohet një sistem pabarazish pa logaritme. Duke përdorur metodën e racionalizimit, kalojmë në një sistem ekuivalent pabarazish. Do ta kuptoni vetë rregullin kur të zëvendësoni vlerat e duhura dhe të ndiqni ndryshimet e tyre. Sistemi do të ketë pabarazitë e mëposhtme.
Duke përdorur metodën e racionalizimit, kur zgjidhni pabarazitë, duhet të mbani mend sa vijon: duhet të zbritni një nga baza, x, sipas përcaktimit të logaritmit, zbritet nga të dy pjesët e pabarazisë (djathtas nga e majta), dy shprehje shumëzohen dhe vendosen nën shenjën origjinale në raport me zero.
Zgjidhja e mëtejshme kryhet me metodën e intervalit, gjithçka është e thjeshtë këtu. Është e rëndësishme që ju të kuptoni ndryshimet në metodat e zgjidhjes, atëherë gjithçka do të fillojë të funksionojë lehtësisht.
Ka shumë nuanca në pabarazitë logaritmike. Më të thjeshtat prej tyre janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur. Si ta bëjmë atë në mënyrë që të zgjidhim secilën prej tyre pa probleme? Ju keni marrë tashmë të gjitha përgjigjet në këtë artikull. Tani keni një praktikë të gjatë përpara jush. Praktikoni vazhdimisht zgjidhjen e problemeve të ndryshme brenda provimit dhe do të arrini të merrni rezultatin më të lartë. Suksese në punën tuaj të vështirë!
PABARAZI LOGARITMIKE NË PËRDORIM
Sechin Mikhail Alexandrovich
Akademia e Vogël e Shkencave për Studentët e Republikës së Kazakistanit "Kërkues"
MBOU "Shkolla e mesme sovjetike nr. 1", klasa 11, qytet. Rrethi Sovjetik Sovjetik
Gunko Lyudmila Dmitrievna, mësuese e MBOU "Shkolla e mesme Sovjetike nr. 1"
Rrethi Sovjetik
Objektiv: studimi i mekanizmit për zgjidhjen e pabarazive logaritmike C3 duke përdorur metoda jo standarde, duke identifikuar fakte interesante logaritmi.
Lënda e studimit:
3) Mësoni të zgjidhni pabarazitë logaritmike specifike C3 duke përdorur metoda jo standarde.
Rezultatet:
përmbajtja
Hyrja……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Kapitulli 1. Sfondi……………………………………………………………………….5
Kapitulli 2. Mbledhja e pabarazive logaritmike ……………………………… 7
2.1. Tranzicionet ekuivalente dhe metoda e përgjithësuar e intervaleve…………… 7
2.2. Metoda e racionalizimit ………………………………………………… 15
2.3. Zëvendësimi jo standard………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2.4. Detyrat me kurthe…………………………………………………… 27
Përfundim…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Letërsia……………………………………………………………………… 31
Prezantimi
Jam në klasën e 11-të dhe kam në plan të hyj në një universitet ku matematika është lëndë bazë. Dhe kjo është arsyeja pse unë punoj shumë me detyrat e pjesës C. Në detyrën C3, ju duhet të zgjidhni një pabarazi jo standarde ose një sistem pabarazish, zakonisht të lidhur me logaritme. Gjatë përgatitjes për provimin, kam hasur në problemin e mungesës së metodave dhe teknikave për zgjidhjen e pabarazive logaritmike të provimit të ofruara në C3. Metodat që studiohen në kurrikulën shkollore për këtë temë nuk japin bazë për zgjidhjen e detyrave C3. Mësuesja e matematikës më sugjeroi që të punoja vetë me detyrat C3 nën drejtimin e saj. Për më tepër, më interesonte pyetja: a ka logaritme në jetën tonë?
Me këtë në mendje, u zgjodh tema:
"Pabarazitë logaritmike në provim"
Objektiv: studimi i mekanizmit për zgjidhjen e problemeve C3 duke përdorur metoda jo standarde, duke zbuluar fakte interesante rreth logaritmit.
Lënda e studimit:
1) Gjeni informacionin e nevojshëm rreth metoda jo standarde zgjidhjet e mosbarazimeve logaritmike.
2) Gjeni informacion shtese në lidhje me logaritmet.
3) Mësoni të zgjidhni probleme specifike C3 duke përdorur metoda jo standarde.
Rezultatet:
Rëndësia praktikeështë zgjerimi i aparatit për zgjidhjen e problemave C3. Ky material mund të përdoret në disa mësime, për zhvillimin e rrathëve, orët me zgjedhje në matematikë.
Produkti i projektit do të jetë koleksioni "Pabarazitë logaritmike C3 me zgjidhje".
Kapitulli 1. Sfondi
Gjatë shekullit të 16-të, numri i llogaritjeve të përafërta u rrit me shpejtësi, kryesisht në astronomi. Përmirësimi i instrumenteve, studimi i lëvizjeve planetare dhe punë të tjera kërkonin llogaritje kolosale, ndonjëherë edhe shumëvjeçare. Astronomia ishte në rrezik real të mbytjes në llogaritjet e paplotësuara. Vështirësi u shfaqën edhe në fusha të tjera, për shembull, në biznesin e sigurimeve, nevojiteshin tabela të përbëra të interesit kuptime të ndryshme për qind. Vështirësia kryesore ishte shumëzimi, pjesëtimi i numrave shumëshifrorë, veçanërisht i madhësive trigonometrike.
Zbulimi i logaritmeve u bazua në vetitë e njohura të progresioneve deri në fund të shekullit të 16-të. Rreth komunikimit ndërmjet anëtarëve progresion gjeometrik q, q2, q3, ... dhe progresion aritmetik treguesit e tyre janë 1, 2, 3, ... Arkimedi foli në "Psalmit". Një tjetër parakusht ishte shtrirja e konceptit të shkallës në eksponentë negativë dhe thyesorë. Shumë autorë kanë theksuar se shumëzimi, pjesëtimi, ngritja në një fuqi dhe nxjerrja e një rrënjë korrespondojnë në mënyrë eksponenciale në aritmetikë - në të njëjtin rend - mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim.
Këtu ishte ideja e logaritmit si një eksponent.
Në historinë e zhvillimit të doktrinës së logaritmeve, kanë kaluar disa faza.
Faza 1
Logaritmet u shpikën jo më vonë se 1594 në mënyrë të pavarur nga baroni skocez Napier (1550-1617) dhe dhjetë vjet më vonë nga mekaniku zviceran Burgi (1552-1632). Të dy donin të siguronin një mjet të ri të përshtatshëm për llogaritjet aritmetike, megjithëse ata iu qasen këtij problemi në mënyra të ndryshme. Napier shprehu në mënyrë kinematike funksionin logaritmik dhe kështu hyri në një fushë të re të teorisë së funksionit. Bürgi mbeti në bazë të shqyrtimit të progresioneve diskrete. Sidoqoftë, përkufizimi i logaritmit për të dy nuk është i ngjashëm me atë modern. Termi "logarithmus" (logarithmus) i përket Napier. Ajo lindi nga një kombinim fjalë greke: logos - "relacion" dhe ariqmo - "numër", që do të thoshte "numri i marrëdhënieve". Fillimisht, Napier përdori një term tjetër: numeri artificiales - "numra artificialë", në krahasim me natyralët numeri - "numra natyrorë".
Në 1615, në një bisedë me Henry Briggs (1561-1631), një profesor i matematikës në Kolegjin Gresh në Londër, Napier sugjeroi marrjen e zeros për logaritmin e një, dhe 100 për logaritmin e dhjetë, ose, çfarë përmbledh në e njëjta gjë, vetëm 1. Pra, kishte logaritme dhjetore dhe u shtypën tabelat e para logaritmike. Më vonë, tabelat e Briggs u plotësuan nga librashitësi dhe matematikani holandez Andrian Flakk (1600-1667). Napier dhe Briggs, megjithëse erdhën në logaritme para kujtdo tjetër, botuan tabelat e tyre më vonë se të tjerët - në 1620. Shenjat log dhe Log u prezantuan në 1624 nga I. Kepler. Termi "logaritëm natyror" u prezantua nga Mengoli në 1659, i ndjekur nga N. Mercator në 1668, dhe mësuesi londinez John Spadel botoi tabela të logaritmeve natyrore të numrave nga 1 deri në 1000 me emrin "Logaritme të reja".
Në rusisht, tabelat e para logaritmike u botuan në 1703. Por në të gjitha tabelat logaritmike janë bërë gabime në llogaritje. Tabelat e para pa gabime u botuan në 1857 në Berlin në përpunimin e matematikanit gjerman K. Bremiker (1804-1877).
Faza 2
Zhvillimi i mëtejshëm i teorisë së logaritmeve shoqërohet me një aplikim më të gjerë të gjeometrisë analitike dhe llogaritjeve infinitimale. Në atë kohë, u krijua lidhja midis kuadraturës së një hiperbole barabrinjës dhe logaritmit natyror. Teoria e logaritmeve të kësaj periudhe lidhet me emrat e një numri matematikanësh.
Matematikani, astronomi dhe inxhinieri gjerman Nikolaus Mercator në esenë e tij
"Logaritmoteknika" (1668) jep një seri që jep zgjerimin e ln(x + 1) në terma të
fuqitë x:
Kjo shprehje i përgjigjet saktësisht rrjedhës së mendimit të tij, megjithëse, natyrisht, ai nuk përdori shenjat d, ..., por simbole më të rënda. Me zbulimin e serisë logaritmike, teknika për llogaritjen e logaritmeve ndryshoi: ato filluan të përcaktohen duke përdorur seri të pafundme. Në ligjëratat e tij matematika elementare Me Piket me te larta pamje”, lexuar në 1907-1908, F. Klein sugjeroi përdorimin e formulës si pikënisje për ndërtimin e teorisë së logaritmeve.
Faza 3
Përkufizimi funksioni logaritmik në funksion të inversit
eksponencial, logaritmi si eksponent i një baze të caktuar
nuk u formulua menjëherë. Vepra e Leonhard Euler (1707-1783)
"Hyrje në analizën e infinitesimals" (1748) shërbeu si më tej
zhvillimi i teorisë së funksionit logaritmik. Në këtë mënyrë,
Kanë kaluar 134 vjet që kur logaritmet u prezantuan për herë të parë
(duke numëruar nga viti 1614) përpara se matematikanët të dilnin me një përkufizim
koncepti i logaritmit, i cili tani është baza e kursit shkollor.
Kapitulli 2. Mbledhja e mosbarazimeve logaritmike
2.1. Tranzicionet ekuivalente dhe metoda e përgjithësuar e intervaleve.
Tranzicione ekuivalente
nëse a > 1
nëse 0 <
а <
1
Metoda e intervalit të përgjithësuar
Kjo metodë më universale në zgjidhjen e pabarazive të pothuajse çdo lloji. Skema e zgjidhjes duket si kjo:
1. Sillni pabarazinë në një formë të tillë, ku funksioni ndodhet në anën e majtë 
, dhe 0 në të djathtë.
2. Gjeni shtrirjen e funksionit .
3. Gjeni zerot e një funksioni , pra zgjidh ekuacionin 
(dhe zgjidhja e një ekuacioni është zakonisht më e lehtë se zgjidhja e një pabarazie).
4. Vizatoni domenin e përkufizimit dhe zerot e funksionit në një vijë reale.
5. Përcaktoni shenjat e funksionit në intervalet e marra.
6. Zgjidhni intervalet ku funksioni merr vlerat e nevojshme dhe shkruani përgjigjen.
Shembulli 1
Zgjidhja:
Aplikoni metodën e intervalit
ku
Për këto vlera, të gjitha shprehjet nën shenjat e logaritmeve janë pozitive.
Përgjigje:
Shembulli 2
Zgjidhja:
1 mënyrë . ODZ përcaktohet nga pabarazia x> 3. Marrja e logaritmeve për të tilla x në bazën 10, marrim
Pabarazia e fundit mund të zgjidhej duke zbatuar rregullat e zbërthimit, d.m.th. duke krahasuar faktorët me zero. Megjithatë, në këtë rast është e lehtë të përcaktohen intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit
kështu që mund të aplikohet metoda e intervalit.
Funksioni f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ është e vazhdueshme për x> 3 dhe zhduket në pika x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kështu, ne përcaktojmë intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit f(x):
Përgjigje:
Mënyra e 2-të . Le të zbatojmë idetë e metodës së intervaleve drejtpërdrejt në pabarazinë origjinale.
Për këtë kujtojmë se shprehjet a b- a c dhe ( a - 1)(b- 1) të ketë një shenjë. Pastaj pabarazia jonë për x> 3 është ekuivalente me pabarazinë
ose
Pabarazia e fundit zgjidhet me metodën e intervalit
Përgjigje:
Shembulli 3
Zgjidhja:
Aplikoni metodën e intervalit
Përgjigje:
Shembulli 4
Zgjidhja:
Që nga 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 për të gjitha realet x, pastaj
Për të zgjidhur pabarazinë e dytë, ne përdorim metodën e intervalit
Në pabarazinë e parë, ne bëjmë ndryshimin
atëherë arrijmë në pabarazinë 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, të cilat plotësojnë pabarazinë -0.5< y < 1.
Nga ku, sepse
marrim pabarazinë
e cila kryhet me x, për të cilën 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Tani, duke marrë parasysh zgjidhjen e pabarazisë së dytë të sistemit, më në fund marrim
Përgjigje:
Shembulli 5
Zgjidhja:
Pabarazia është e barabartë me një grup sistemesh
ose
Zbatoni metodën e intervalit ose
Përgjigju:
Shembulli 6
Zgjidhja:
Pabarazia është e barabartë me një sistem
Le
pastaj y > 0,
dhe pabarazia e parë
sistemi merr formën
ose duke u zgjeruar
trinomi katror për shumëzuesit,
Zbatimi i metodës së intervalit në pabarazinë e fundit,
shohim se zgjidhjet e tij plotësojnë kushtin y> 0 do të jenë të gjitha y > 4.
Kështu, pabarazia origjinale është ekuivalente me sistemin:
Pra, zgjidhjet e pabarazisë janë të gjitha
2.2. metoda e racionalizimit.
Më parë, metoda e racionalizimit të pabarazisë nuk ishte zgjidhur, nuk dihej. Kjo është moderne e re metodë efektive zgjidhjet e pabarazive eksponenciale dhe logaritmike" (citim nga libri i Kolesnikova S.I.)
Dhe edhe nëse mësuesi e njihte, kishte një frikë - por a e njeh eksperti i USE dhe pse nuk e japin në shkollë? Kishte situata kur mësuesi i tha nxënësit: "Ku e ke marrë? Ulu - 2".
Tani metoda po promovohet kudo. Dhe për ekspertët, ka udhëzime që lidhen me këtë metodë, dhe në "Botimet më të plota të varianteve të tipit ..." në zgjidhjen C3, përdoret kjo metodë.
METODA ESHTE E MADHE!
"Tavolina magjike"
Në burime të tjera
nëse a >1 dhe b >1, pastaj log a b >0 dhe (a -1)(b -1)>0;
nëse a > 1 dhe 0 nëse 0<a<1 и b
>1, pastaj log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
nëse 0<a<1 и 00 dhe (a -1) (b -1)>0. Arsyetimi i mësipërm është i thjeshtë, por thjeshton dukshëm zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Shembulli 4
log x (x 2 -3)<0
Zgjidhja:
Shembulli 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Zgjidhja: Shembulli 6
Për të zgjidhur këtë pabarazi, ne shkruajmë (x-1-1) (x-1) në vend të emëruesit, dhe prodhimin (x-1) (x-3-9 + x) në vend të numëruesit. Shembulli 7
Shembulli 8
2.3. Zëvendësimi jo standard. Shembulli 1
Shembulli 2
Shembulli 3
Shembulli 4
Shembulli 5
Shembulli 6
Shembulli 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Bëjmë zëvendësimin y=3 x -1; atëherë kjo pabarazi merr formën log 4 log 0,25 Sepse log 0,25 Le të bëjmë një zëvendësim t =log 4 y dhe të marrim pabarazinë t 2 -2t +≥0, zgjidhja e së cilës janë intervalet - Kështu, për të gjetur vlerat e y, kemi një grup prej dy pabarazish më të thjeshta Prandaj, pabarazia fillestare është ekuivalente me grupin e dy pabarazive eksponenciale, Zgjidhja e pabarazisë së parë të kësaj bashkësie është intervali 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Shembulli 8
Zgjidhja:
Pabarazia është e barabartë me një sistem Zgjidhja e pabarazisë së dytë, e cila përcakton ODZ, do të jetë bashkësia e atyre x,
per cilin x > 0.
Për të zgjidhur pabarazinë e parë, ne bëjmë ndryshimin Pastaj marrim pabarazinë ose Bashkësia e zgjidhjeve të mosbarazimit të fundit gjendet me metodën intervalet: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, marrim ose Shumë prej tyre x, të cilat plotësojnë pabarazinë e fundit i përket ODZ ( x> 0), pra, është një zgjidhje për sistemin, dhe rrjedhimisht pabarazia origjinale. Përgjigje: 2.4. Detyrat me kurthe. Shembulli 1
Zgjidhje. ODZ e pabarazisë është e gjitha x që plotëson kushtin 0 Shembulli 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Përgjigju. (0; 0.5) U .
Përgjigju :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , pastaj e rishkruajmë pabarazinë e fundit si 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Zgjidhja e këtij koleksioni janë intervalet 0<у≤2 и 8≤у<+.
pra agregate 
. Kështu, pabarazia origjinale vlen për të gjitha vlerat e x nga intervalet 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Prandaj, të gjitha x nga intervali 0
konkluzioni
Nuk ishte e lehtë të gjesh metoda speciale për zgjidhjen e problemeve C3 nga një larmi e madhe burimesh të ndryshme arsimore. Gjatë punës së bërë, unë kam qenë në gjendje të studioj metoda jo standarde për zgjidhjen e pabarazive logaritmike komplekse. Këto janë: kalimet ekuivalente dhe metoda e përgjithësuar e intervaleve, metoda e racionalizimit , zëvendësim jo standard , detyra me kurthe në ODZ. Këto metoda mungojnë në kurrikulën shkollore.
Duke përdorur metoda të ndryshme, zgjidha 27 pabarazi të ofruara në USE në pjesën C, përkatësisht C3. Këto pabarazi me zgjidhje sipas metodave krijuan bazën e koleksionit "Inbarazitë logaritmike C3 me zgjidhje", i cili u bë produkt projekti i aktivitetit tim. Hipoteza që parashtrova në fillim të projektit u konfirmua: problemet C3 mund të zgjidhen në mënyrë efektive nëse këto metoda njihen.
Përveç kësaj, zbulova fakte interesante për logaritmet. Ishte interesante për mua ta bëja. Produktet e projektit tim do të jenë të dobishme si për studentët ashtu edhe për mësuesit.
Konkluzione:
Kështu, qëllimi i projektit është arritur, problemi është zgjidhur. Dhe kam marrë përvojën më të plotë dhe të gjithanshme në aktivitetet e projektit në të gjitha fazat e punës. Gjatë punës në projekt, ndikimi im kryesor zhvillimor ishte në kompetencën mendore, aktivitetet që lidhen me operacionet mendore logjike, zhvillimin e kompetencës krijuese, iniciativën personale, përgjegjësinë, këmbënguljen dhe aktivitetin.
Një garanci suksesi kur krijoni një projekt kërkimor për u bëra: përvojë e rëndësishme shkollore, aftësia për të nxjerrë informacion nga burime të ndryshme, për të kontrolluar besueshmërinë e tij, për ta renditur atë sipas rëndësisë.
Përveç njohurive të drejtpërdrejta lëndore në matematikë, ai zgjeroi aftësitë e tij praktike në fushën e informatikës, fitoi njohuri dhe përvojë të re në fushën e psikologjisë, vendosi kontakte me shokët e klasës dhe mësoi të bashkëpunojë me të rriturit. Gjatë aktiviteteve të projektit, u zhvilluan aftësitë dhe aftësitë edukative të përgjithshme organizative, intelektuale dhe komunikuese.
Letërsia
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemet e pabarazive me një ndryshore (detyra tipike C3).
2. Malkova A. G. Përgatitja për Provimin e Unifikuar Shtetëror në Matematikë.
3. S. S. Samarova, Zgjidhja e pabarazive logaritmike.
4. Matematikë. Koleksioni i punimeve të trajnimit redaktuar nga A.L. Semyonov dhe I.V. Yashçenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 f.-
Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen sipas një formule të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Në vend të një xhakete "∨", mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta.
Pra, ne heqim qafe logaritmet dhe e reduktojmë problemin në një pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hidhni logaritmet, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Për t'i prerë ato, mjafton të gjesh gamën e vlerave të pranueshme. Nëse e keni harruar ODZ-në e logaritmit, unë rekomandoj fuqimisht ta përsërisni atë - shihni "Çfarë është një logaritëm".
Çdo gjë që lidhet me gamën e vlerave të pranueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të përmbushen njëkohësisht. Kur të gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme, mbetet ta kalojmë atë me zgjidhjen e një pabarazie racionale - dhe përgjigja është gati.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
Së pari, le të shkruajmë ODZ-në e logaritmit:
Dy pabarazitë e para kryhen automatikisht dhe e fundit do të duhet të shkruhet. Meqenëse katrori i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është zero, kemi:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Rezulton se ODZ e logaritmit janë të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore:
Kryejmë kalimin nga pabarazia logaritmike në atë racionale. Në pabarazinë origjinale ekziston një shenjë "më pak se", kështu që pabarazia që rezulton duhet të jetë gjithashtu me një shenjë "më pak se". Ne kemi:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Zerot e kësaj shprehjeje: x = 3; x = -3; x = 0. Për më tepër, x = 0 është rrënja e shumëzimit të dytë, që do të thotë se kur kalon nëpër të, shenja e funksionit nuk ndryshon. Ne kemi:
Marrim x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ky grup është plotësisht i përfshirë në ODZ të logaritmit, që do të thotë se kjo është përgjigja.
Shndërrimi i pabarazive logaritmike
Shpesh pabarazia origjinale ndryshon nga ajo e mësipërme. Kjo është e lehtë për t'u rregulluar sipas rregullave standarde për të punuar me logaritme - shihni "Vetitë themelore të logaritmeve". Gjegjësisht:
- Çdo numër mund të paraqitet si një logaritëm me një bazë të caktuar;
- Shuma dhe diferenca e logaritmeve me të njëjtën bazë mund të zëvendësohet me një logaritëm të vetëm.
Më vete, dua t'ju kujtoj për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse mund të ketë disa logaritme në pabarazinë origjinale, kërkohet të gjendet DPV e secilit prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme për zgjidhjen e pabarazive logaritmike është si më poshtë:
- Gjeni ODZ-në e çdo logaritmi të përfshirë në pabarazi;
- Zvogëloni pabarazinë në atë standarde duke përdorur formulat për mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve;
- Zgjidheni pabarazinë që rezulton sipas skemës së mësipërme.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
Gjeni domenin e përkufizimit (ODZ) të logaritmit të parë:
Ne zgjidhim me metodën e intervalit. Gjetja e zerave të numëruesit:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Pastaj - zerot e emëruesit:
x − 1 = 0;
x = 1.
Ne shënojmë zero dhe shenja në shigjetën e koordinatave:
Marrim x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritmi i dytë i ODZ do të jetë i njëjtë. Nëse nuk më besoni, mund të kontrolloni. Tani e transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që baza të jetë dy:
Siç mund ta shihni, trefishat në bazë dhe para logaritmit janë tkurrur. Merrni dy logaritme me të njëjtën bazë. Le t'i bashkojmë ato:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Ne kemi marrë pabarazinë logaritmike standarde. Ne i heqim qafe logaritmet me formulë. Meqenëse ka një shenjë më të vogël se në pabarazinë origjinale, shprehja racionale që rezulton duhet gjithashtu të jetë më e vogël se zero. Ne kemi:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Ne morëm dy grupe:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Përgjigjuni kandidatit: x ∈ (−1; 3).
Mbetet të kalojmë këto grupe - marrim përgjigjen e vërtetë:
Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që zgjedhim intervalet e hijezuara në të dy shigjetat. Marrim x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar.
Shpesh, kur zgjidhen pabarazitë logaritmike, ka probleme me një bazë të ndryshueshme të logaritmit. Pra, një pabarazi e formës
është një pabarazi standarde shkollore. Si rregull, për ta zgjidhur atë, përdoret një kalim në një grup ekuivalent sistemesh:
Disavantazhi i kësaj metode është nevoja për të zgjidhur shtatë pabarazi, pa llogaritur dy sisteme dhe një grup. Edhe me funksione kuadratike të dhëna, zgjidhja e popullsisë mund të kërkojë shumë kohë.
Mund të propozohet një mënyrë alternative, më pak kohë për të zgjidhur këtë pabarazi standarde. Për ta bërë këtë, marrim parasysh teoremën e mëposhtme.
Teorema 1. Le të funksionojë në rritje të vazhdueshme në një bashkësi X. Atëherë në këtë bashkësi shenja e rritjes së funksionit do të përkojë me shenjën e rritjes së argumentit, d.m.th. , ku 
.
Shënim: nëse një funksion në rënie të vazhdueshme në bashkësinë X, atëherë .
Le të kthehemi te pabarazia. Le të kalojmë te logaritmi dhjetor (mund të shkosh në cilindo me bazë konstante më të madhe se një).
Tani mund të përdorim teoremën, duke vërejtur në numërues rritjen e funksioneve 
dhe në emërues. Pra është e vërtetë
Si rezultat, numri i llogaritjeve që çojnë në përgjigje zvogëlohet me rreth gjysmën, gjë që kursen jo vetëm kohë, por gjithashtu ju lejon të bëni më pak gabime aritmetike dhe të pakujdesshme.
Shembulli 1
Duke krahasuar me (1) gjejmë 
, 
, .
Duke kaluar në (2) do të kemi:
Shembulli 2
Duke krahasuar me (1) gjejmë , , .
Duke kaluar në (2) do të kemi:
Shembulli 3
Meqenëse ana e majtë e pabarazisë është një funksion në rritje për dhe 
, atëherë përgjigja vendoset.
Grupi i shembujve në të cilët mund të aplikohet Termi 1 mund të zgjerohet lehtësisht nëse merret parasysh Termi 2.
Lëreni në set X Përcaktohen funksionet , , , dhe në këtë grup shenjat dhe përkojnë, d.m.th. atëherë do të jetë e drejtë.
Shembulli 4
Shembulli 5
Me qasjen standarde, shembulli zgjidhet sipas skemës: produkti është më i vogël se zero kur faktorët janë të shenjave të ndryshme. ato. ne konsiderojmë një grup prej dy sistemesh pabarazish në të cilat, siç u tregua në fillim, çdo pabarazi ndahet në shtatë të tjera.
Nëse marrim parasysh teoremën 2, atëherë secili nga faktorët, duke marrë parasysh (2), mund të zëvendësohet me një funksion tjetër që ka të njëjtën shenjë në këtë shembull të O.D.Z.
Metoda e zëvendësimit të rritjes së një funksioni me një rritje të argumentit, duke marrë parasysh teoremën 2, rezulton të jetë shumë e përshtatshme kur zgjidh problemet tipike C3 USE.
Shembulli 6
Shembulli 7
. Le të shënojmë. Marr
. Vini re se zëvendësimi nënkupton: . Duke u kthyer në ekuacion, marrim
.
Shembulli 8
Në teoremat që përdorim, nuk ka kufizime në klasat e funksioneve. Në këtë artikull, si shembull, teoremat u zbatuan për zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Disa shembuj të mëposhtëm do të demonstrojnë premtimin e metodës për zgjidhjen e llojeve të tjera të pabarazive.