Kur njerëzit flasin për një person që ka besime, kjo perceptohet si një karakteristikë pozitive. Por çka nëse besimet tona dhe këndvështrimi tradicional i ngjarjeve kanë anën e pasme që na pengon të kuptojmë qartë proceset që ndodhin në botë?

Konstantin Smygin, themeluesi i shërbimit të hakerimit të librave MakeRight, flet për librin e mirënjohur të Stephen D. Levitt dhe Stephen J. Dubner "Freaky Thought".

"Të mendosh si një fanatik" do të thotë të gjesh zgjidhje jashtë kutisë, të shmangësh kurthe të zakonshme psikologjike dhe të shikosh ngjarjet aktuale nga një perspektivë që zakonisht është e paarritshme për një mendje të ndezur.

Pak njerëz janë në gjendje të "mendojnë si një fanatik", dhe ja pse:

1. Studimet tregojnë se edhe njerëzit më të zgjuar po kërkojnë prova në botën përreth tyre për të mbështetur këndvështrimin e tyre dhe nuk janë të gatshëm të pranojnë informacione të reja që bien ndesh me idetë e tyre për botën. Vetëdija jonë shtrembëron dhe rregullon realitetin përreth.
2. Përveç kësaj, njerëzit ndikohen shumë nga mjedisi i tyre, mjedisi në të cilin jetojnë. Është më e lehtë për një person si një kafshë shoqërore të pajtohet me rendin ekzistues të gjërave sesa ta vërë në dyshim atë, duke shkaktuar zemërimin e fiseve të tjerë. Autorët e quajnë këtë fenomen "transferimi i procesit të mendimit te dikush tjetër".
3. Arsyeja e tretë rrjedh edhe nga veçoritë e natyrës njerëzore: “njerëzit nuk kanë kohë të mendojnë se si mendojnë. Për më tepër, ata nuk shpenzojnë shumë kohë duke menduar fare.”

Në librin e tyre, Levitt dhe Dubner argumentojnë për nevojën që më shumë njerëz të mendojnë "si të frikshëm". Kjo është, më produktive, shpikës dhe racional.

Fuqia e "nuk e di" dhe sëmundja e ekspertëve

Shumica e njerëzve e kanë të turpshme të tregojnë injorancën e tyre dhe të duken të paditur. Sipas mendimit të tyre, është më mirë të përpiqeni të dukeni si ekspert në diçka që nuk e kuptoni fare. Në këtë situatë, metodat elektronike të komunikimit janë vetëm në dispozicion. Nga ana tjetër, mosgatishmëria për të pranuar injorancën dhe paaftësinë e dikujt do të thotë se mendja e njeriut është e mbyllur ndaj mësimit dhe njohurive reale.

Studimet e fundit (p.sh. nga Philip Tetlock) kanë treguar se ekspertët parashikojnë të ardhmen vetëm pak më saktë sesa "zgjedhja arbitrare e një shimpanzeje që hedh shigjetat". Saktësia e parashikimeve të tyre është vetëm rreth 47.4%. Kjo është e barabartë me parashikimin në mënyrë të rastësishme, me të vetmin ndryshim se nuk do t'ju kushtojë asgjë, ndërsa parashikuesit do të paguajnë shumë para për shërbimet e tyre.

Interesante, studiuesi Philip Tetlock i karakterizon parashikuesit më të këqij si të sigurt - edhe nëse parashikimi i tyre nuk realizohet.

Megjithatë, njerëzit vazhdojnë të dëgjojnë parashikimet ose i dorëzohen tundimit për të parashikuar. Pse? Kjo për faktin se (duke pasur parasysh marrëdhëniet shkakësore jashtëzakonisht të ndërlikuara të botës sonë) pak njerëz i mbajnë mend parashikimet e dështuara. Por nëse parashikimi bëhet i vërtetë, atëherë personi që e ka bërë atë mund të fitojë famën e një profeti ose të marrë një shpërblim të madh.

Si të rrëfejmë injorancën?

Autorët kërkojnë të mos kenë turp të pranojnë injorancën e tyre. Për të mos e vënë veten në një pozitë budallaqe, thoni diçka që nuk është e këndshme për ju dhe përfundoni me frazën: "... por ndoshta mund ta zbuloj". Me shumë mundësi, njerëzit do t'i përgjigjen pozitivisht një sinqeriteti të tillë, veçanërisht nëse u ktheheni atyre me informacionin e nevojshëm.

Shkoni në rrënjë!

Marrëdhëniet shkakësore janë komplekse, konfuze dhe jo të dukshme. Megjithatë, shumica e njerëzve vazhdojnë të mendojnë dhe shpjegojnë shkaqet e fenomeneve të caktuara sipas modeleve të formuara për ta.

Të shikosh arsye reale ngjarjeve, ju duhet të shkoni përtej ideve mbizotëruese.

1. Cili është shkaku i varfërisë dhe urisë? Nga njëra anë, është mungesa e parave dhe e ushqimit. Nga ana tjetër, furnizimet ushqimore dhe ndihma materiale vendet e uritura nuk ndryshojnë asgjë. Problemi është në një ekonomi të pafuqishme, kur pushtetarët mendojnë, para së gjithash, për plotësimin e nevojave të tyre.
2. Pse ka kaq shumë luftëra në Afrikë? Sigurisht, ka shumë arsye, por kryesore është në ndarjen koloniale të Afrikës nga evropianët në shekullin e 19-të. Evropianët ndanë territoret thjesht duke parë një hartë (kjo është arsyeja pse kufijtë midis vendeve afrikane janë shpesh vija krejtësisht të drejta). Si rezultat, fiset miqësore afrikane mund të përfundojnë në anët e kundërta të kufirit, dhe fiset ndërluftuese mund të jenë në të njëjtin vend.
3. Pse sëmundjet e zemrës janë më të zakonshme tek zezakët në SHBA? U zbulua se pronarët e skllevërve zgjidhnin skllevër për kripësinë e djersës së tyre. Meqenëse kripa ruan lagështinë, një skllav me djersë më të kripur kishte më shumë gjasa të mbijetonte gjatë rraskapitjes. udhëtim detar në Botën e Re dhe të mos vdesin nga dehidratimi. Ndjeshmëria ndaj kripës është e trashëgueshme dhe studimet tregojnë se afrikano-amerikanët kanë 50% më shumë gjasa të kenë hipertension sesa të bardhët (dhe zezakët në vende të tjera), dhe si rezultat, një rrezik më i lartë i problemeve të zemrës.
4. Deri në vitet 1980, besohej se ulçera në stomak shkaktohej nga stresi dhe ushqimi pikant. Barry Marshall vërtetoi se shkaku i ulçerës (që më vonë mund të çojë në kancer) është bakteri Helicobacter pylori. Për të kapërcyer rezistencën e komunitetit mjekësor, i cili nuk e mori seriozisht hipotezën e Marshall, ai kreu një vepër heroike - ai piu një lëng që përmbante baktere, pas së cilës shfaqi simptoma të gastritit.

Mendoni si një fëmijë

Freakout shpesh përfshin aftësinë për të menduar si një fëmijë. Autorët vërejnë se ky është një nga mënyra më të mira kërkimi zgjidhje jo standarde dhe gjenerimin e ideve. Fëmijët janë kuriozë dhe bëjnë pyetje që të rriturit kanë frikë t'i bëjnë. Të qenit mendjehapur është një avantazh i madh për dikë që dëshiron t'i arrijë gjërat në fund.

Si probleme të mëdha zakonisht përbëhet nga shumë detyra të vogla, është mjaft e arsyeshme të filloni duke e kthyer vëmendjen tuaj në njërën prej tyre. Përparësia këtu është edhe fakti se një detyrë e vogël është më e lehtë për t'u përkthyer në realitet.

Parimi kryesor i jetës së një fanatik

Nëse dëshironi të mendoni si një fanatik, atëherë autorët ju këshillojnë të përdorni gjithmonë stimuj realë që veprojnë te njerëzit.

Ka shumë stimuj - monetarë, socialë, moralë. Aftësia për t'i njohur dhe zbatuar ato është një shkencë e tërë, sepse stimuj të ndryshëm veprojnë në raste të caktuara dhe me njerëz të caktuar.

Përcaktimi i stimulit që do të prekë një person të caktuar nuk është i lehtë. Njerëzit zakonisht nuk e pranojnë atë nga e cila mund të jenë të varur dhe autorët nuk rekomandojnë të marrin fjalën e askujt për këtë çështje.

Ekziston edhe një efekt tjetër, i ashtuquajturi efekt kobra. Kjo është e lidhur me faktin se shpesh manifestimet e bujarisë shkaktojnë reagime. Ajo mori emrin e saj pas situatës në të cilën kolonistët anglezë u gjendën në Indi. Duke vendosur të zvogëlojnë popullsinë e gjarpërinjve në Delhi, kolonistët shpallën një shpërblim monetar për çdo kobër të vrarë. Rezultati ishte i kundërt - indianët filluan të mbarështojnë dhe rritin kobra, duke marrë para për to, dhe kur çmimet u anuluan, të gjitha kobrat u lëshuan në natyrë.

Përveç kësaj, shmangni stimujt që duken si përpjekje të maskuara hollësisht për manipulim. Njerëzit ndihen mirë me ta.

Përdorimi i stimujve është i dobishëm edhe në një mënyrë tjetër. Shpesh ai që tradhton ose gënjen, reagon ndaj tyre në një mënyrë të veçantë. Bazuar në këtë, autorët nxjerrin një parim që ata e quajnë "mëso kopshtin tënd të pastrohet vetë". Çështja është që ju duhet të parashikoni situatën në të cilën një person me qëllime të liga do të zbulojë veten.

Si shembull, autorët japin histori e njohur rreth mbretit Solomon. Një herë dy gra me një fëmijë erdhën në gjykatën e tij, secila prej të cilave pretendoi se fëmija ishte i saj. Solomoni u njoftoi atyre se kishte vendosur ta priste fëmijën dhe t'i jepte secilës nënë nga një gjysmë. Kjo ndihmoi për të kuptuar nënën e vërtetë, e cila tha me tmerr se do të ishte më mirë që fëmija i saj të merrte një tjetër, por ajo do të jetonte. Mashtruesi pranoi të vriste fëmijën.

Si i bindni njerëzit që nuk duan të binden?

Është jashtëzakonisht budallaqe të kaloni propozimin tuaj si ideal - gjithmonë i alarmon njerëzit, thjesht sepse kjo nuk ndodh. Në mënyrë që një person të mos ndiejë një kapje, tregoni vetes pika të dobëta ofertën tuaj.

Por të bindësh dikë është një detyrë e vështirë për shkak të efekteve psikologjike. Nëse besimet e një personi (gjë që ndodh shpesh) bazohen në stereotipe dhe të menduarit e tufës, ta bindësh atë duke përdorur logjikën dhe sensin e përbashkët është humbje kohe. Është më mirë të mos punohet mbi logjikën e provave, por mbi efektivitetin e tyre.

Një mashtrim tjetër është të pranosh pikat e forta argumentet e kundërshtarit, të cilat do të ndihmojnë për t'i dhënë rëndësi argumenteve të tyre.

Për më tepër, në asnjë rast nuk duhet të kaloni vijën, të varni etiketat dhe të rrëshqitni poshtë në fyerje. Kjo do t'ju privojë menjëherë nga të gjitha pozicionet. Strategjia më e mirë bindje - tregim historish. Tregimet tërheqin vëmendjen dhe ju çojnë në një nivel tjetër kuptimi, duke i bërë argumentet dhe idetë tuaja të kuptueshme më mirë.

Përfitimet e tërheqjes

Është e rëndësishme të mos biem në një kurth të përbashkët mendor - nëse tashmë kemi investuar kohë dhe para në diçka, atëherë vazhdojmë të investojmë para dhe kohë në këto projekte, edhe kur ato nuk sjellin asgjë të dobishme. Kjo quhet gabimi i kostos së fundosur. Pra, duke u tërhequr në kohë nga projekti i padobishëm për zhvillimin e Concorde, qeveritë e Francës dhe Britanisë së Madhe mund të kursejnë buxhetet e tyre nga miliarda dollarë shpenzime.

Kemi frikë të ndalemi sepse do të jetë një pranim i gabimit tonë. Si rezultat, ne jemi të detyruar të vazhdojmë një biznes të pashpresë. Por, siç u përmend më herët, të mendosh si një fanatik përfshin të mos kesh frikë të pranosh gabimet e tua.

Një mënyrë efektive për të shmangur gabimet e kostos së zhytur është t'i kujtoni vetes ato. Gjithmonë kërkoni mënyra dhe zgjidhje alternative për një situatë të caktuar.

Pyete veten: “Çfarë do të bëja tani, duke përdorur të njëjtën kohë, para dhe burime?”.

Filologu rus Dmitry Nikolaevich Ushakov në të tijën fjalor shpjegues jep një përkufizim të tillë të konceptit të "metodës" - një mënyrë, një mënyrë, një teknikë hulumtim teorik ose zbatimi praktik i diçkaje (D. N. Ushakov, 2000).

Cilat janë metodat e mësimdhënies për zgjidhjen e problemeve në matematikë, të cilat aktualisht i konsiderojmë jo standarde? Fatkeqësisht, askush nuk ka dalë me një recetë universale, duke pasur parasysh veçantinë e këtyre detyrave. Disa mësues stërviten në ushtrime shabllone. Kjo ndodh si më poshtë: mësuesi tregon rrugën e zgjidhjes dhe më pas nxënësi e përsërit këtë kur zgjidh problema shumë herë. Në të njëjtën kohë po vritet edhe interesi i nxënësve për matematikën, që të paktën është e trishtueshme.

Në matematikë, nuk ka Rregulla të përgjithshme, duke lejuar zgjidhjen e çdo detyre jo standarde, pasi detyra të tilla janë deri diku unike. Një detyrë jo standarde në shumicën e rasteve perceptohet si "një sfidë për intelektin dhe lind nevojën për të realizuar veten në tejkalimin e pengesave, në zhvillimin e aftësive krijuese".

Konsideroni disa metoda për zgjidhjen e problemeve jo standarde:

• · algjebrike;
• · aritmetikë;
• metoda e numërimit;
• metoda e arsyetimit;
• praktike;
• metoda e hamendjes.

Metoda algjebrike zgjidhja e problemeve zhvillon aftësi krijuese, aftësi për të përgjithësuar, formon të menduarit abstrakt dhe ka avantazhe të tilla si shkurtësia e shkrimit dhe arsyetimi gjatë hartimit të ekuacioneve, kursen kohë.

Për të zgjidhur problemin me metodën algjebrike, është e nevojshme:

• për të analizuar problemin për të zgjedhur të panjohurën kryesore dhe për të identifikuar lidhjen midis sasive, si dhe për t'i shprehur këto varësi në gjuhën matematikore në formën e dy shprehjet algjebrike;
• gjeni bazën për lidhjen e këtyre shprehjeve me shenjën "=" dhe bëni një ekuacion;
• gjeni zgjidhje për ekuacionin që rezulton, organizoni një kontroll të zgjidhjes së ekuacionit.

Të gjitha këto faza të zgjidhjes së problemit janë logjikisht të ndërlidhura. Për shembull, përmendim kërkimin e një baze për lidhjen e dy shprehjeve algjebrike me një shenjë të barabartë si një fazë të veçantë, por është e qartë se në fazën e mëparshme, këto shprehje nuk janë formuar në mënyrë arbitrare, por duke marrë parasysh mundësinë e lidhjes së tyre. me shenjën “=”.

Si identifikimi i varësive midis sasive, ashtu edhe përkthimi i këtyre varësive në gjuhën matematikore kërkojnë një aktivitet të fortë mendor analitik dhe sintetik. Suksesi në këtë aktivitet varet veçanërisht nga fakti nëse studentët e dinë se çfarë marrëdhëniesh mund të kenë këto sasi në përgjithësi dhe nëse ata e kuptojnë kuptimin e vërtetë të këtyre marrëdhënieve (për shembull, marrëdhëniet e shprehura me termat "më vonë nga ...", " më i vjetër nga ... herë " etj.). Më tej, kërkohet një kuptim se çfarë lloj veprimi matematikor ose veti të veprimit, ose çfarë lidhjeje (varësie) midis përbërësve dhe rezultatit të veprimit, kjo apo ajo marrëdhënie e veçantë mund të përshkruhet.

Le të japim një shembull të zgjidhjes së një problemi jo standard me metodën algjebrike.

Detyrë. Peshkatari kapi një peshk. Kur u pyet: “Sa është masa e tij?”, ai u përgjigj: “Masa e bishtit është 1 kg, masa e kokës është e njëjtë me masën e bishtit dhe gjysmës së trupit. Dhe masa e trupit është e njëjtë me masën e kokës dhe bishtit së bashku. Sa është masa e peshkut?

Le të jetë x kg masa e trupit; atëherë (1+1/2x) kg është masa e kokës. Meqenëse, sipas kushtit, masa e trupit është e barabartë me shumën e masave të kokës dhe bishtit, ne hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg është masa e trupit, pastaj 1+1/2 4=3 (kg) është masa e kokës dhe 3+4+1=8 (kg) është masa e të gjithë peshkut;

Përgjigje: 8 kg.

Metoda aritmetike zgjidhjet kërkojnë gjithashtu shumë stres mendor, i cili ka një efekt pozitiv në zhvillimin e aftësive mendore, intuitën matematikore, në formimin e aftësisë për të parashikuar një situatë reale të jetës.

Konsideroni një shembull të zgjidhjes së një problemi jo standard me një metodë aritmetike:

Detyrë. Dy peshkatarë u pyetën: "Sa peshq keni në shporta?"

"Në shportën time është gjysma e asaj që ai ka në shportë, dhe 10 të tjera," u përgjigj i pari. "Dhe unë kam në shportën time aq sa ka ai, madje edhe 20," llogariti i dyti. Ne numëruam, dhe tani ju numëroni.

Le të ndërtojmë një diagram për problemin. Lëreni segmentin e parë të diagramit të tregojë numrin e peshqve që ka peshkatari i parë. Segmenti i dytë tregon numrin e peshkut nga peshkatari i dytë.

Për shkak të faktit se një person modern duhet të ketë një ide për metodat kryesore të analizës së të dhënave dhe modelet probabilistike që luajnë një rol të rëndësishëm në shkencë, teknologji dhe ekonomi, futen elementë të kombinatorikës, teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore. në kursin e matematikës shkollore, të cilat janë të përshtatshme për t'u kuptuar duke përdorur metoda e numërimit.

Përfshirja e problemeve të kombinuara në lëndën e matematikës ka një ndikim pozitiv në zhvillimin e nxënësve të shkollës. “Të mësuarit e synuar për të zgjidhur problemet e kombinuara kontribuon në zhvillimin e një cilësie të tillë të të menduarit matematikor si ndryshueshmëria. Nën ndryshueshmërinë e të menduarit nënkuptojmë drejtimin e veprimtarisë mendore të studentit për të kërkuar zgjidhje të ndryshme të problemit në rastin kur nuk ka udhëzime të veçanta për këtë.

Problemet e kombinuara mund të zgjidhen me metoda të ndryshme. Në mënyrë konvencionale, këto metoda mund të ndahen në "formale" dhe "joformale". Me metodën e zgjidhjes "formale", duhet të përcaktoni natyrën e zgjedhjes, të zgjidhni formulën e duhur ose rregullin kombinues (ka rregulla të shumës dhe produktit), të zëvendësoni numrat dhe të llogarisni rezultatin. Rezultati është shuma opsione, por vetë variantet nuk janë formuar në këtë rast.

Me metodën “joformale” të zgjidhjes del në pah vetë procesi i hartimit. opsione të ndryshme. Dhe gjëja kryesore nuk është se sa, por cilat opsione mund të merren. Metoda të tilla përfshijnë metoda e numërimit. Kjo metodë është gjithashtu e disponueshme nxënës të shkollave të vogla, dhe lejon grumbullimin e përvojës në zgjidhjen praktike të problemeve kombinuese, e cila shërben si bazë për futjen e parimeve dhe formulave kombinuese në të ardhmen. Për më tepër, në jetë një person duhet jo vetëm të përcaktojë numrin e opsioneve të mundshme, por edhe të kompozojë drejtpërdrejt të gjitha këto opsione, dhe, pasi të ketë zotëruar metodat e numërimit sistematik, kjo mund të bëhet më racionale.

Detyrat ndahen në tre grupe sipas kompleksitetit të numërimit:

• një. Detyrat në të cilat duhet të bëni një numërim të plotë të të gjitha opsioneve të mundshme.
• 2. Detyrat në të cilat është jopraktike të përdoret teknika e numërimit të plotë dhe duhet të përjashtoni menjëherë disa opsione pa i konsideruar ato (d.m.th., të bëni një numërim të shkurtuar).
• 3. Detyra në të cilat operacioni i numërimit kryhet disa herë dhe në lidhje me lloje të ndryshme objektesh.

Këtu janë shembujt përkatës të detyrave:

Detyrë. Duke vendosur shenjat "+" dhe "-" midis numrave të dhënë 9 ... 2 ... 4, bëni të gjitha shprehjet e mundshme.

Ekziston një listë e plotë e opsioneve:

• a) dy karaktere në shprehje mund të jenë të njëjta, atëherë marrim:
  • 9 + 2 + 4 ose 9 - 2 - 4;
• b) dy shenja mund të jenë të ndryshme, atëherë marrim:
  • 9 + 2 - 4 ose 9 - 2 + 4.

Detyrë. Mësuesi thotë se ka vizatuar 4 figura rresht: katrorë të mëdhenj dhe të vegjël, rrathë të mëdhenj dhe të vegjël në mënyrë që rrethi të jetë në vend të parë dhe figurat e së njëjtës formë të mos qëndrojnë krah për krah dhe fton nxënësit të hamendësojnë. sekuenca në të cilën janë renditur këto figura.

Janë 24 rregullime të ndryshme të këtyre shifrave në total. Dhe nuk këshillohet t'i kompozoni të gjitha, dhe më pas të zgjidhni ato që korrespondojnë me këtë kusht, prandaj, bëhet një numërim i shkurtuar.

Një rreth i madh mund të jetë në vendin e parë, pastaj një i vogël mund të jetë vetëm në vendin e tretë, ndërsa katrorët e mëdhenj dhe të vegjël mund të vendosen në dy mënyra - në vendin e dytë dhe të katërt.

Një arsyetim i ngjashëm kryhet nëse vendi i parë është një rreth i vogël, dhe gjithashtu përpilohen dy opsione.

Detyrë. Tre ortakë të së njëjtës firmë mbajnë letra me vlerë në një kasafortë me 3 bravë. Shoqëruesit duan të shpërndajnë çelësat e bravave ndërmjet tyre, në mënyrë që kasaforta të hapet vetëm në prani të të paktën dy shoqëruesve, por jo një. Si mund ta bëj këtë?

Së pari, renditen të gjitha rastet e mundshme të shpërndarjes së çelësit. Secilit shoqërues mund t'i jepet një çelës, ose dy çelësa të ndryshëm ose tre.

Le të supozojmë se çdo shoqërues ka tre çelësa të ndryshëm. Pastaj kasaforta mund të hapet nga një shoqërues dhe kjo nuk plotëson kushtin.

Le të supozojmë se çdo shoqërues ka një çelës. Pastaj nëse vijnë dy prej tyre, nuk do të mund të hapin kasafortën.

Le t'i japim secilit shoqërues dy çelësa të ndryshëm. E para - çelësat 1 dhe 2, e dyta - çelësat 1 dhe 3, e treta - 2 dhe 3 çelësat. Le të kontrollojmë kur vijnë dy shoqërues për të parë nëse mund ta hapin kasafortën.

Shoqëruesi i parë dhe i dytë mund të vijnë, ata do të kenë të gjithë çelësat (1 dhe 2, 1 dhe 3). Shoqëruesi i parë dhe i tretë mund të vijnë, ata gjithashtu do të kenë të gjithë çelësat (1 dhe 2, 2 dhe 3). Më në fund, shoqëruesi i dytë dhe i tretë mund të vijnë, ata gjithashtu do të kenë të gjithë çelësat (1 dhe 3, 2 dhe 3).

Kështu, për të gjetur përgjigjen në këtë problem, duhet të kryeni operacionin e përsëritjes disa herë.

Me rastin e zgjedhjes së problemave kombinuese, duhet t'i kushtohet vëmendje temës dhe formës së paraqitjes së këtyre problemeve. Është e dëshirueshme që detyrat të mos duken artificiale, por të kuptueshme dhe interesante për fëmijët, t'i bëjnë ata emocione pozitive. Ju mund të përdorni materiale praktike nga jeta për të hartuar detyrat.

Ka probleme të tjera që mund të zgjidhen me numërim.

Si shembull, le të zgjidhim problemin: “Marquis Karabas ishte 31 vjeç, dhe Pushja e tij e re energjike me çizme ishte 3 vjeç, kur ndodhën ngjarjet e njohura nga përralla. Sa vite kanë kaluar që atëherë, nëse tani Macja është tre herë më e re se pronari i saj? Numërimi i opsioneve përfaqësohet nga një tabelë.

Epoka e Markezit të Carabas dhe Puss me çizme

14 - 3 = 11 (vjet)

Përgjigje: Kanë kaluar 11 vjet.

Në të njëjtën kohë, nxënësi, si të thuash, eksperimenton, vëzhgon, krahason faktet dhe, në bazë të përfundimeve të veçanta, nxjerr përfundime të caktuara të përgjithshme. Në procesin e këtyre vëzhgimeve pasurohet përvoja e tij real-praktike. Kjo është pikërisht vlera praktike e problemeve të numërimit. Në këtë rast, fjala "numërim" përdoret në kuptimin e analizimit të të gjitha rasteve të mundshme që plotësojnë kushtet e problemit, duke treguar se nuk mund të ketë zgjidhje të tjera.

Ky problem mund të zgjidhet edhe me metodën algjebrike.

Le të jetë Macja x vjeç, atëherë Markezi është 3x, bazuar në gjendjen e problemit, ne do të përpilojmë ekuacionin:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Macja tani është 14 vjeç, pastaj kaluan 14 - 3 = 11 (vjet).

Përgjigje: Kanë kaluar 11 vjet.

metoda e arsyetimit mund të përdoret për zgjidhjen e sofizmave matematikore.

Gabimet e bëra në sofizëm zakonisht vijnë në këto: kryerja e veprimeve "të ndaluara", përdorimi i vizatimeve të gabuara, përdorimi i gabuar i fjalëve, formulimet e pasakta, përgjithësimet "të paligjshme", zbatimi i gabuar i teoremave.

Të zbulosh sofizmin do të thotë të vësh në dukje një gabim në arsyetim, në bazë të të cilit u krijua pamja e jashtme e provës.

Analiza e sofizmit, para së gjithash, zhvillon të menduarit logjik, rrënjos aftësitë e të menduarit të saktë. Të zbulosh një gabim në sofizëm do të thotë ta njohësh atë, dhe vetëdija për një gabim e pengon atë të përsëritet në arsyetime të tjera matematikore. Përveç kritikës së të menduarit matematik, ky lloj i detyrave jo standarde zbulon fleksibilitetin e të menduarit. A do të jetë në gjendje studenti të “dalë nga kthetrat” e kësaj rruge, që në pamje të parë është rreptësisht logjike, të thyejë zinxhirin e konkluzioneve pikërisht në hallkën që është e gabuar dhe e bën të gabuar të gjithë arsyetimin e mëtejshëm?

Analiza e sofizmave ndihmon gjithashtu në asimilimin e vetëdijshëm të materialit që studiohet, zhvillon vëzhgimin dhe qëndrimin kritik ndaj asaj që studiohet.

a) Këtu, për shembull, është një sofizëm me një zbatim të gabuar të teoremës.

Le të vërtetojmë se 2 2 = 5.

Le të marrim barazinë e dukshme të mëposhtme si raport fillestar: 4: 4 = 5: 5 (1)

Ne nxjerrim nga kllapat faktorin e përbashkët në pjesën e majtë dhe të djathtë, marrim:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Numrat në kllapa janë të barabartë, pra 4 = 5 ose 2 2 = 5.

Në arsyetim, kur kalohet nga barazia (1) në barazinë (2), krijohet një iluzion besueshmërie në bazë të një analogjie të rreme me prona shpërndarëse shumëzimi në lidhje me mbledhjen.

b) Sofizmi duke përdorur përgjithësime "të paligjshme".

Ka dy familje - Ivanovs dhe Petrovs. Secili përbëhet nga 3 persona - babai, nëna dhe djali. Babai i Ivanovit nuk e njeh babanë e Petrovit. Nëna e Ivanovit nuk e njeh nënën e Petrovës. Djali i vetëm i Ivanovëve nuk e njeh djalin e vetëm të Petrovëve. Përfundim: asnjë anëtar i familjes Ivanov nuk njeh asnjë anëtar të familjes Petrov. A eshte e vertete?

Nëse një anëtar i familjes Ivanov nuk njeh një anëtar të familjes Petrov të barabartë në statusin martesor, kjo nuk do të thotë se ai nuk e njeh të gjithë familjen. Për shembull, babai i Ivanov mund të njohë nënën dhe djalin e Petrovit.

Metoda e arsyetimit mund të përdoret edhe për të zgjidhur detyra logjike. Detyrat logjike zakonisht kuptohen si ato detyra që zgjidhen duke përdorur vetëm operacione logjike. Ndonjëherë zgjidhja e tyre kërkon arsyetim të gjatë, drejtimi i nevojshëm i të cilit nuk mund të parashikohet paraprakisht.

Detyrë. Ata thonë se Tortila i dha çelësin e artë Pinokut jo aq thjesht siç tha A. N. Tolstoi, por në një mënyrë krejtësisht të ndryshme. Ajo nxori tre kuti: të kuqe, blu dhe jeshile. Në kutinë e kuqe shkruhej: "Këtu qëndron një çelës i artë", dhe në atë blu - "Kutia jeshile është bosh", dhe në atë jeshile - "Këtu ulet një gjarpër". Tortila lexoi mbishkrimet dhe tha: “Në njërën kuti ka një çelës të artë, në tjetrën një gjarpër dhe i treti është bosh, por të gjitha mbishkrimet janë të gabuara. Nëse e merrni me mend se cila kuti përmban çelësin e artë, ai është i juaji." Ku është çelësi i artë?

Meqenëse të gjitha mbishkrimet në kuti janë të pasakta, atëherë kutia e kuqe nuk përmban një çelës të artë, kutia e gjelbër nuk është bosh dhe nuk ka gjarpër në të, që do të thotë se çelësi është në kutinë jeshile, gjarpri është në e kuqja, dhe ajo blu është bosh.

Gjatë zgjidhjes së problemeve logjike, aktivizohet të menduarit logjik, dhe kjo është aftësia për të nxjerrë pasoja nga premisat, e cila është thelbësore për zotërimin e suksesshëm të matematikës.

Një rebus është një gjëegjëzë, por një gjëegjëzë nuk është një gjë e zakonshme. Fjalët dhe numrat në enigmat matematikore përshkruhen duke përdorur vizatime, yje, numra dhe shenja të ndryshme. Për të lexuar atë që është e koduar në rebus, duhet të emërtoni saktë të gjitha objektet e përshkruara dhe të kuptoni se cila shenjë përshkruan çfarë. Njerëzit përdornin enigma edhe kur nuk dinin të shkruanin. Ata i kompozuan letrat e tyre nga objekte. Për shembull, udhëheqësit e një fisi dikur dërguan një zog, një mi, një bretkocë dhe pesë shigjeta në vend të një letre fqinjëve të tyre. Kjo do të thoshte: “A mund të fluturosh si zogj dhe të fshihesh në tokë si minj, të kërcesh nëpër këneta si bretkosat? Nëse nuk dini si, atëherë mos u përpiqni të na luftoni. Ne do t'ju bombardojmë me shigjeta sapo të hyni në vendin tonë.”

Duke gjykuar nga shkronja e parë e shumës 1), D = 1 ose 2.

Supozoni se D = 1. Atëherë, Y? 5. Y \u003d 5 është i përjashtuar, sepse P nuk mund të jetë e barabartë me 0. Y? 6, sepse 6 + 6 = 12, d.m.th. P = 2. Por një vlerë e tillë e P nuk është e përshtatshme për verifikim të mëtejshëm. Po kështu, U? 7.

Supozoni Y = 8. Pastaj, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Një katror magjik (magjik) është një katror në të cilin shuma e numrave vertikalisht, horizontalisht dhe diagonalisht është e njëjtë.

Detyrë. Renditni numrat nga 1 në 9 në mënyrë që vertikalisht, horizontalisht dhe diagonalisht të merrni të njëjtën shumë numrash, të barabartë me 15.

Megjithëse nuk ka rregulla të përgjithshme për zgjidhjen e problemeve jo standarde (për këtë arsye këto probleme quhen jo standarde), ne jemi përpjekur të japim një sërë udhëzimesh të përgjithshme - rekomandime që duhen ndjekur gjatë zgjidhjes së problemeve jo standarde të llojeve të ndryshme. .

Çdo detyrë jo standarde është origjinale dhe unike në zgjidhjen e saj. Në këtë drejtim, metodologjia e zhvilluar për mësimin e veprimtarisë së kërkimit gjatë zgjidhjes së detyrave jo standarde nuk formon aftësi për zgjidhjen e detyrave jo standarde, mund të flasim vetëm për zhvillimin e aftësive të caktuara:

• aftësia për të kuptuar detyrën, për të theksuar fjalët kryesore (mbështetëse);
• aftësia për të identifikuar gjendjen dhe pyetjen, të njohur dhe të panjohur në problem;
• aftësia për të gjetur një lidhje midis të dhënave dhe të dëshiruarit, domethënë për të analizuar tekstin e problemit, rezultati i të cilit është zgjedhja e një operacioni aritmetik ose një operacioni logjik për të zgjidhur një problem jo standard;
• aftësia për të regjistruar ecurinë e zgjidhjes dhe përgjigjen e problemit;
• Aftësia për të kryer punë shtesë mbi detyrën;
• aftësia për të zgjedhur informacionin e dobishëm që përmban vetë problemi, në procesin e zgjidhjes së tij, për të sistemuar këtë informacion, duke e lidhur atë me njohuritë ekzistuese.

Detyrat jo standarde zhvillojnë të menduarit hapësinor, i cili shprehet në aftësinë për të rikrijuar në mendje imazhet hapësinore të objekteve dhe për të kryer operacione mbi to. Mendimi hapësinor manifestohet kur zgjidhen probleme të tilla si: “Në buzë të një keku të rrumbullakët, 5 pika krem ​​u vendosën në të njëjtën distancë nga njëra-tjetra. Prerjet u bënë nëpër të gjitha palët e pikave. Sa copa keku keni marrë gjithsej?

metodë praktike mund të konsiderohet për problemet e ndarjes jo standarde.

Detyrë. Shkopi duhet të pritet në 6 pjesë. Sa prerje do të kërkohen?

Zgjidhja: Prerjet do të duhen 5.

Kur studioni problemet e ndarjes jo standarde, duhet të kuptoni: për të prerë një segment në pjesë P, duhet të bëni një prerje (P - 1). Ky fakt duhet të vërtetohet me fëmijët në mënyrë induktive dhe më pas të përdoret në zgjidhjen e problemeve.

Detyrë. Në një shufër tre metra - 300 cm Duhet të pritet në shufra 50 cm secila të gjatë. Sa prerje duhet të bëni?

Zgjidhja: Marrim 6 bare 300: 50 = 6 (bare)

Ne argumentojmë si më poshtë: për të ndarë shiritin në gjysmë, domethënë në dy pjesë, duhet të bëni 1 prerje, në 3 pjesë - 2 prerje, dhe kështu me radhë, në 6 pjesë - 5 prerje.

Pra, ju duhet të bëni 6 - 1 = 5 (prerje).

Përgjigje: 5 prerje.

Pra, një nga motivet kryesore që nxit studentët të studiojnë është interesimi për lëndën. Interesi është një orientim aktiv njohës i një personi ndaj një objekti, fenomeni dhe aktiviteti të caktuar, i krijuar me një pozitiv. qëndrim emocional atyre. Një nga mjetet e zhvillimit të interesit për matematikën janë detyrat jo standarde. Detyrë jo standarde kuptohen detyra të tilla për të cilat nuk ka rregulla dhe rregullore të përgjithshme në lëndën e matematikës që përcaktojnë programin e saktë për zgjidhjen e tyre. Zgjidhja e problemeve të tilla u mundëson studentëve të angazhohen në mënyrë aktive në aktivitete mësimore. Ekzistojnë klasifikime të ndryshme të problemeve dhe metoda për zgjidhjen e tyre. Më të përdorurat janë algjebrike, aritmetike, metoda praktike dhe metoda e numërimit, arsyetimit dhe hamendjes.

Borodiç

Irina Sergeevna

Libër mësuesi për një lëndë zgjedhore të matematikës për klasën e 11 (profili fizik dhe matematikor)

« Metodat jo standarde zgjidhja e problemeve në matematikë "

Prezantimi. AT kushte moderne modernizimi kuptimplotë i arsimit, lind një vazhdimësi problemesh që ka karakteristika sociale dhe personale dhe pengon ndryshime pozitive.

Arsimi matematikor në sistemin e mesëm arsimi i përgjithshëm zë një nga vendet drejtuese, e cila përcaktohet pa kushte rëndësi praktike matematika, aftësitë e saj në zhvillimin dhe formimin e të menduarit njerëzor, kontributin e saj në krijimin e ideve rreth metodat shkencore njohja e realitetit.

Sipas hulumtimit të PIZA, niveli i kompetencës matematikore të studentëve në Rusi mbetet shumë i ulët, megjithëse jemi mësuar të jemi krenarë për arritjet e shkencës akademike.

Problemi më i rëndësishëm i edukimit matematikor të sotëm është mungesa e zhvillimit të strukturave formale-operative të intelektit (të menduarit logjik) dhe motivimi i ulët për veprimtari intelektuale teorike në shumicën e nxënësve.

Nga ana tjetër, metodat autoritare të pedagogjisë, të cilat nuk kontribuan në zhvillimin e inteligjencës tek fëmijët, dhe metodat kolektive të punës, të cilat ulnin interesin për shkencën matematikore, çuan në këtë deficit.

Prandaj, aspekti më i rëndësishëm i edukimit të sotëm është individualizimi i procesit arsimor në studimin e matematikës dhe mbështetja e mësuesve nga mësuesit për zhvillimin e intelektit të fëmijës.

Rëndësia. Kurs mbi metodat jo standarde të zgjidhjes problemet e matematikësështë e rëndësishme, para së gjithash, sepse e bën arsimin më të hapur, duke zgjeruar aftësitë intelektuale të nxënësve të shkollave të mesme. Së dyti, ky kurs ofron më shumë rrjedhshmëri në mjetet matematikore si pjesë e certifikimit përfundimtar. Nga ana tjetër, matematika, duke qenë një fushë mbilëndë e njohurive, kontribuon në zhvillimin e të menduarit logjik, intelektit në përgjithësi dhe aftësive komunikuese që kontribuojnë në vetë-realizimin e individit. Lënda është gjithashtu e rëndësishme në lidhje me zgjerimin e zbatimit të aplikimit të llogaritjes matematikore në fusha të tjera të njohurive.

Kursi do t'i ndihmojë studentët të vlerësojnë nevojat e tyre, mundësitë dhe të bëjnë zgjedhje të informuara për rrugën e tyre të ardhshme të jetës.

Fillimi i punës në matematikë me adoleshentët më të vegjël, në klasat 6-7, si pjesë e ndarjes së lëndës në dy seksione, zhvilloj një test për analizimin e aftësive matematikore, diferencimin e rezultateve të marra për të formuar paketa detyrash: për nxënës me nivel të ulët krijimtarie. - zhvillimi i paketave, me një nivel mesatar krijimtarie - detyra me kompleksitet të shtuar, me nivel të lartë- detyra krijuese. Duke vlerësuar efektin e aktiviteteve, e përsëris këtë testim në klasat 8-9 dhe 10-11. Rezultati tregoi se një diferencim i tillë kontribuon në një zhvillim më intensiv dhe harmonik të studentëve.

Qëllimi i edukimit të profilit, si një nga fushat e modernizimit të arsimit matematikor, është të ofrojë një studim të thelluar të lëndës dhe të përgatisë studentët për edukimin e vazhdueshëm.

Kursi "Metodat jo standarde për zgjidhjen e problemeve në matematikë" përfshin studimin e çështjeve të tilla që nuk përfshihen në kurs i përgjithshëm matematika e shkollës së mesme, por janë të nevojshme për studimin e mëtejshëm të saj, me vërtetimin përfundimtar në formën e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Shfaqja e problemeve të zgjidhura me metoda jo standarde në provime nuk është aspak e rastësishme, sepse me ndihmën e tyre kontrollohet teknika e zotërimit të formulave matematika elementare, mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive, aftësia për të ndërtuar një zinxhir logjik arsyetimi, niveli i të menduarit logjik të nxënësve dhe kultura e tyre matematikore.

Zgjidhjes së problemeve të këtij lloji nuk i kushtohet vëmendja e duhur në kurrikulën shkollore, shumica e nxënësve (jo në grupe të specializuara fiziko-matematikore) ose nuk përballen fare me probleme të tilla, ose bëjnë llogaritje të rënda. Arsyeja për këtë është mungesa e një sistemi të detyrave për këtë temë në tekstet shkollore. Në këtë drejtim u lind nevoja për zhvillimin dhe zhvillimin e një lënde me zgjedhje për nxënësit e klasave të 11-ta të profilit fiziko-matematikor.

Shumëllojshmëria e detyrave jo standarde mbulon të gjithë kursin e matematikës shkollore, prandaj, zotërimi i metodave për zgjidhjen e tyre mund të konsiderohet një kriter për njohjen e seksioneve kryesore të matematikës shkollore, nivelin e të menduarit matematikor dhe logjik.

Studimi i metodave jo standarde për zgjidhjen e problemeve matematikore ofron një material të shkëlqyer për këtë punë edukative dhe kërkimore.

Kursi do t'i lejojë studentët të sistemojnë, zgjerojnë dhe forcojnë njohuritë, të përgatiten për studime të mëtejshme të matematikës, të mësojnë të zgjidhin probleme të ndryshme me kompleksitet të ndryshëm.

Kursi do të ndihmojë mësuesin që të përgatisë më së miri studentët për olimpiadat e matematikës, dhënien e provimit dhe provimet për pranim në universitete.

Risi. Kursi është inovativ, pasi kontribuon në një zhvillim më të thellë shkenca matematikore në klasat e larta, si në grupe të specializuara ashtu edhe në nivelin bazë. Risi është ndërtimi i një kursi për metodat e zgjidhjes së problemeve matematikore dhe metodat për zbatimin e njohurive matematikore. Kursi është një lloj simulatori në përgatitje për certifikimin përfundimtar dhe zgjedhjen profesionale të specialiteteve matematikore.

Rishikim i literaturës. Ky kurs është i dedikuar për nxënësit e klasës së 11-të të profilit fizik dhe matematikor. përmbajtja material edukativ korrespondon me qëllimet dhe objektivat e edukimit të profilit. Në fillim të lëndës zgjedhore u krye diagnostifikimi i krijimtarisë matematikore. Metodologjikisht, në pjesën teorike mbështetem në punimet e V.P. Suprun "Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: Metoda jo standarde për zgjidhjen e problemeve në matematikë" dhe Olekhnik S. N. Metodat jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive: .

Objektivi kryesor i kursit:

Krijimi i kushteve për zhvillimin e të menduarit logjik, kulturës matematikore dhe intuitës së studentëve duke zgjidhur probleme me kompleksitet të shtuar me metoda jo tradicionale;

Objektivat e kursit:

të formojë kompetencën e nxënësve në zgjidhjen e detyrave jo standarde;

studimi i kursit përfshin formimin e interesit të studentëve për lëndën, zhvillimin e aftësive të tyre matematikore, përgatitjen për provim dhe arsimimin e mëtejshëm në universitet;

të zhvillojë veprimtarinë kërkimore dhe njohëse të studentëve;

krijimi i kushteve për vetë-realizim të nxënësve në proces veprimtaritë mësimore.

zhvillojnë aftësinë për të përvetësuar dhe zbatuar në mënyrë të pavarur njohuritë.

Parimet e përgjithshme për zgjedhjen e përmbajtjes së lëndës janë:

Konsistenca

Integriteti

Shkencor.

Aksesueshmëria, sipas karakteristikave psikologjike dhe moshore të nxënësve në klasa të specializuara.

Kursi përmban materialin e nevojshëm për të arritur qëllimet e planifikuara. Ky kurs është një burim që zgjeron dhe thellon mësimin, siguron integrimin e informacionit të nevojshëm për formimin e të menduarit matematikor, logjikën dhe studimin e disiplinave përkatëse.

Vendi i këtij kursi përcaktohet nga nevoja për t'u përgatitur veprimtari profesionale, merr parasysh interesat dhe prirjet profesionale të nxënësve të shkollave të mesme, gjë që ju lejon të merrni një rezultat përfundimtar më të lartë.

Koncepti i kursit.

Gjatë studimit të lëndës së matematikës së shkollës së mesme në nivelin bazë, vazhdon studimi i seksioneve: "Algjebër", "Funksionet", "Ekuacionet dhe pabarazitë", "Gjeometria", "Elementet e logjikës, kombinatorika, statistika dhe teoria e probabilitetit", është paraqitur rreshti "Fillimet e analizës matematikore".

Në rrjedhën e zotërimit të përmbajtjes së arsimit matematikor, studentët zotërojnë një shumëllojshmëri të menyra te ndryshme aktivitete, fitoni dhe përmirësoni përvojën:

ndërtimi dhe hulumtimi i modeleve matematikore për përshkrimin dhe zgjidhjen e problemeve të aplikuara, problemeve nga disiplinat përkatëse;

zbatimi dhe vetë-përpilimi i përshkrimeve dhe udhëzimeve algoritmike mbi materialin matematik; kryerja e llogaritjeve praktike; përdorimi i formulave matematikore dhe vetë-përpilimi i formulave bazuar në përgjithësimin e rasteve të veçanta dhe eksperimentin;

punë e pavarur me burimet e informacionit, përgjithësimi dhe sistematizimi i informacionit të marrë, integrimi i tij në përvojën personale;

kryerja e arsyetimit të bazuar në prova, vërtetimi logjik i përfundimeve, dallimi midis pohimeve të vërtetuara dhe të paprovuara, gjykime të arsyetuara dhe emocionalisht bindëse;

aktivitete të pavarura dhe kolektive, përfshirja e rezultateve të tyre në rezultatet e punës së grupit, korrelacioni i mendimit të tyre me mendimin e anëtarëve të tjerë të ekipit arsimor dhe mendimin e burimeve autoritare.

Në kursin e profilit, përmbajtja e edukimit zhvillohet në drejtimet e mëposhtme:

sistematizimi i informacionit për numrin; formimi i paraqitjeve të grupeve numerike, si një mënyrë për të ndërtuar një aparat të ri matematikor të nevojshëm për zgjidhjen e problemeve të botës përreth dhe problemeve të brendshme të matematikës; përmirësimi i teknikave kompjuterike;

zhvillimi dhe përmirësimi i teknikës së shndërrimeve algjebrike, zgjidhjes së ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve;

sistematizimi dhe zgjerimi i informacionit për funksionet, përmirësimi aftësitë grafike; njohja me idetë dhe metodat themelore të analizës matematikore në një vëllim që ju lejon të eksploroni funksionet elementare dhe të zgjidhni problemet më të thjeshta gjeometrike, fizike dhe të tjera të aplikuara;

zhvillimi i ideve rreth modeleve probabiliste dhe statistikore në botën përreth;

përmirësim zhvillimi matematik në një nivel që ju lejon të aplikoni lirshëm faktet dhe metodat e studiuara në zgjidhjen e problemeve nga seksione të ndryshme të kursit, si dhe t'i përdorni ato në situata jo standarde;

formimi i aftësisë për të ndërtuar dhe eksploruar modelet më të thjeshta matematikore gjatë zgjidhjes së problemeve të aplikuara, problemeve nga disiplinat përkatëse, thellimit të njohurive për veçoritë e aplikacionit metodat matematikore për studimin e proceseve dhe dukurive në natyrë dhe shoqëri.

në kursin e studimit të matematikës në kursin e profilit të shkollës së mesme, studentët vazhdojnë të zotërojnë një sërë aktivitetesh, të fitojnë dhe përmirësojnë përvojën:

kryerja e arsyetimit të bazuar në prova, vërtetimi logjik i përfundimeve, përdorimi i gjuhëve të ndryshme të matematikës për ilustrim, interpretim, argumentim dhe vërtetim;

zgjidhja e një klase të gjerë problemesh nga seksione të ndryshme të kursit, kërkimi dhe aktivitetet krijuese në zgjidhjen e problemeve me kompleksitet të shtuar dhe probleme jo standarde;

planifikimi dhe zbatimi i aktiviteteve algoritmike: zbatimi dhe vetë-përpilimi i përshkrimeve dhe udhëzimeve algoritmike për materialin matematik; përdorimi dhe vetë-përpilimi i formulave bazuar në përgjithësimin e rasteve të veçanta dhe rezultateve eksperimentale; kryerja e llogaritjeve praktike;

ndërtimi dhe kërkimi i modeleve matematikore për përshkrimin dhe zgjidhjen e problemave të aplikuara, problematikave nga disiplinat përkatëse dhe jeta reale; kontrollin dhe vlerësimin e rezultateve të punës së tyre, lidhjen e tyre me detyrën, me përvojën personale të jetës;

punë e pavarur me burimet e informacionit, analiza, përgjithësimi dhe sistematizimi i informacionit të marrë, integrimi i tij në përvojën personale.

Shkollat ​​ruse fillojnë një tranzicion me faza në standardet arsimore shtetërore federale të gjeneratës së dytë të arsimit të përgjithshëm (në tekstin e mëtejmë GEF), misioni kryesor i të cilit është përmirësimi i cilësisë së arsimit. Karakteristikë e vitit akademik 2011/2012 është futja e GEF të arsimit të përgjithshëm fillor në Shkolla fillore dhe përgatitje të vazhdueshme për futjen e GEF të arsimit bazë të përgjithshëm. Prandaj, tashmë është e nevojshme të kuptohet baza, struktura dhe përmbajtja e tij teorike dhe metodologjike.

Standardi Federal i Arsimit Shtetëror do të pajiset me garanci shtetërore se rezultatet arsimore do të arrihen në një mjedis të caktuar informativ dhe arsimor, i cili përbëhet nga: stafi mësimor, mbështetje materiale, teknike, financiare, ekonomike, informative.

Megjithëse përmbajtja e arsimit matematikor paraqitet në formën e pjesëve tradicionale përmbajtësore: "Aritmetika", "Algjebra", "Gjeometria", "Analiza matematikore", "Probabiliteti dhe statistika", në të njëjtën kohë, njohja me historinë e matematikës. dhe supozohet zotërimi i koncepteve dhe metodave të përgjithshme matematikore të mëposhtme:

përkufizime dhe koncepte fillestare (të papërcaktuara), prova, aksioma dhe teorema, hipoteza dhe përgënjeshtrime, kundërshembuj, gabime tipike në arsyetim;

teorema e drejtpërdrejtë dhe e anasjelltë, ekzistenca dhe unike e një objekti, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vlefshmërinë e një pohimi, vërtetimi me kontradiktë, metoda e induksionit matematik;

modeli matematikor, matematika dhe problemet e fizikës, kimisë, biologjisë, ekonomisë, gjeografisë, gjuhësisë, sociologjisë etj.

Bazuar në pozicionet e mësipërme, metodat jo standarde për zgjidhjen e problemeve në matematikë janë një mjet për formimin e të menduarit matematikor dhe të kompetencave matematikore, d.m.th. gatishmëria për të aplikuar metoda jo standarde në zgjidhjen e llogaritjeve matematikore teorike dhe të aplikuara.

Në të njëjtën kohë, modelet matematikore të proceseve të caktuara të natyrës dhe teknologjisë kërkojnë përpunim matematikor, jo gjithmonë në mënyra tradicionale.

Qasje të tilla për aplikimin dhe përdorimin e matematikës kontribuojnë në formimin përmes veprimeve personale të rezultateve personale (vetë-përmirësim dhe respekt për veten), metasubjekt (formimi i qëllimeve, objektivave, proceseve për zgjidhjen e tyre) dhe lëndore.

Qasjet jo standarde të zhvillimit të matematikës, si një fushë superlëndë, e bëjnë arsimin të hapur dhe mjedisin arsimor në zhvillim.

Temat e punimeve abstrakte, kërkimore dhe dizajnuese:

Historia e matematikës

Matematikanët e Rilindjes

Numri si koncept bazë i matematikës

Leximi dhe shkrimi i numrave natyrorë

Marrëdhënia e ndërgjegjes me materien: matematika dhe realiteti objektiv

Intuitë matematikore

Numrat që ndryshuan botën

Bernoulli

Ekuacionet irracionale

Përdorimi i grafikëve në zgjidhjen e ekuacioneve

Kursi është i dedikuar për studentët e klasës së 11-të fiziko-matematikore.

Vëllimi i orëve është 33 orë (1 orë në javë).

Kursi është i ndarë në module, nga tre orë secila, të bashkuara nga tema e zgjidhjes së problemeve.

Plani edukativo-tematik

Temat dhe seksionet

Orë totale

duke përfshirë

Format e mbajtjes

Prezantimi

Personale

Mini leksion

1. Mënyra e zëvendësimit funksional

Rregullatore

Seminar, trajnim

2. Metoda e zëvendësimit trigonometrik

Njohës, personal dhe rregullator

Seminar, trajnim

3. Metodat e bazuara në zbatimin e inekuacioneve numerike

Rregullator dhe komunikues

Seminar, trajnim

4. Metodat e bazuara në përdorimin e monotonitetit të funksioneve

Rregullator dhe komunikues

Seminar, trajnim

5. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve funksionale

Seminar, trajnim

6. Metodat e bazuara në përdorimin e vektorëve

personale dhe rregullatore

Seminar, trajnim

7. Metodat e Kombinuara

Njohës, personal dhe rregullator, komunikues

Teknologjia e të menduarit kritik

8. Metodat e bazuara në përdorimin e funksioneve të kufizuara

Rregullator dhe komunikues

Seminar, trajnim

9. Metodat për zgjidhjen e sistemeve simetrike të ekuacioneve

Rregullatore

Seminar, trajnim

10. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë pjesë të plota ose të pjesshme të një numri

Rregullatore

Seminar, trajnim

Mësimi FINAL

Komunikuese

Mësim - konferencë (mbrojtja e dizajnit, kërkimit dhe punimeve abstrakte)

Hyrje: 1 orë (1 - teorike)

Vlera e matematikës si shkencë dhe në jetën e njeriut. Vlera e aplikuar. Bukuria e mënyrave jo standarde të zgjidhjes së problemeve. Shpërndarja e temave të projektimit, kërkimit dhe punimeve abstrakte.

1. Mënyra e zëvendësimit funksional: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metoda e zëvendësimit funksional. Ndryshore e re , aplikimi i saj. Ekuacionet irracionale. Sistemet e ekuacioneve. Ekuacione si x 2 +(ah) 2 2 =s. Ekuacionet e kthimit. Një sërë ekuacionesh të tjera, zgjidhja e të cilave kërkon futjen e një ndryshoreje të re.

2. Metoda e zëvendësimit trigonometrik: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metoda e zëvendësimit trigonometrik. Zëvendësimi i një ndryshoreje të panjohurX funksioni trigonometrik:x= osex=. Ekuacionet irracionale. Ekuacionet racionale. ekuacionet eksponenciale. Sistemet e ekuacioneve.

3. Metodat e bazuara në aplikimin e pabarazive numerike: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metodat e bazuara në zbatimin e inekuacioneve numerike. Pabarazia e Cauchy. Pabarazia e Bernulit. Pabarazia Cauchy-Bunyakovsky.

4. Metodat e bazuara në përdorimin e monotonisë së funksioneve: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metodat e bazuara në përdorimin e monotonitetit të funksioneve. Një ekuacion i formës f (x) \u003d g (x). Hetimi i funksioneve për monotoninë.

5. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve funksionale: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve funksionale. Ekuacionet e formës f (f (…(f (x))…))=x . Ekuacionet e formës f (g (x)) \u003d f (h (x)).

6. Metodat e bazuara në përdorimin e vektorëve: 3 orë (1 orë punëtori; 2 orë trajnim)

Metodat e bazuara në përdorimin e vektorëve. Një vektor në hapësirën 3D. Gjatësia e vektorit. Shuma dhe diferenca e dy vektorëve. Vektorët kolinearë. Pabarazia e trekëndëshit.

7. Metoda të kombinuara: 3 orë (1 orë seminar; 2 orë trajnim)

Metodat e kombinuara. Detyrat me parametra. Ekuacionet irracionale. Ekuacionet logaritmike. Ekuacionet dhe pabarazitë që përmbajnë një modul. Sistemet e ekuacioneve. Vërtetimi i pabarazive.

8. Metodat e bazuara në përdorimin e funksioneve të kufizuara: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metodat e bazuara në përdorimin e funksioneve të kufizuara. funksionet trigonometrike. Funksionet trigonometrike të anasjellta. Funksionet që përmbajnë modul, shkallë, rrënjë me shkallë çift.

9. Metodat për zgjidhjen e sistemeve simetrike të ekuacioneve: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metodat për zgjidhjen e sistemeve simetrike të ekuacioneve. Sisteme ekuacionesh me paraqitje simetrike të termave ose faktorëve.

10. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë pjesë të plota ose të pjesshme të një numri: 3 orë (1 orë - seminar; 2 orë - trajnim)

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë pjesë të plota dhe thyesore të një numri. pjesë e tërë numër real. Pjesa thyesore e një numri real.

11. Mësimi përfundimtar: 2 orë (Mësimi - konferencë (mbrojtja e dizajnit, kërkimit dhe punimeve abstrakte))

Zbatimi i formimit të veprimtarive arsimore universale në kuadrin e zbatimit të Standardeve Federale të Arsimit Shtetëror të gjeneratës II për niveli i profilit gjimnaz

REZULTATET PERSONALE

Vlerësoni situatat dhe veprimet(cilësimet e vlerës, orientimi moral)

Bëni një zgjedhje në lidhje me veprimet, duke formuar qëndrime ndaj modeleve të sjelljes të miratuara nga shoqëria dhe morale, duke zgjidhur kontradiktat morale në bazë të:

Vlerat universale dhe vlerat ruse, duke përfshirë filantropinë, respektin për punën, kulturën;

Rëndësia e përmbushjes së roleve shoqërore të lidhura me moshën (“djali”, “bija”, roli i një “nxënëseje të mirë”), rëndësia e studimit dhe mësimit të gjërave të reja;

Rëndësia e kujdesit për shëndetin dhe natyrën e njeriut;

Rëndësia e zhvillimit të potencialit shpirtëror të individit (dallimi mes "të bukurës" dhe "të shëmtuarës", nevojës për "të bukurën" dhe mohimit të "të shëmtuarës", dëshirës për vetënjohje dhe vetëpërmirësim);

Rëndësia e edukimit, një mënyrë jetese të shëndetshme, bukuria e natyrës dhe krijimtaria.

Parashikoni vlerësime të të njëjtave situata nga këndvështrimi i njerëzve të ndryshëm që ndryshojnë në kombësi, botëkuptim, pozicion në shoqëri, etj. (mendimi dhe sjellja tolerante)

Mësoni të vini re dhe të dalloni mospërputhjet midis veprimeve tuaja dhe pozicioneve, pikëpamjeve, opinioneve tuaja të deklaruara.

Shpjegoni kuptimin e vlerësimeve, motiveve, qëllimeve tuaja

(vetë-reflektim personal, aftësi për vetë-zhvillim, motivim për dije, studim)

KUJTOJE

Shpjegoni vlerësimet pozitive dhe negative, duke përfshirë veprimet e paqarta, nga këndvështrimi i vlerave qytetare universale dhe ruse.

Shpjegoni dallimet në vlerësimet për të njëjtën situatë, veproni njerez te ndryshëm(përfshirë veten) si përfaqësues të botëkuptimeve të ndryshme, grupeve të ndryshme të shoqërisë.

Zgjedhja e vet shoqërore dhe zgjedhja e modeleve të sjelljes.

VETËndërgjegjësim

Shpjegoni vetes:

Pozitiv "Unë jam një koncept"

- “çfarë është e mirë tek unë dhe çfarë është e keqe” (cilësitë personale, tiparet e karakterit), “çfarë dua” (qëllimet, motivet), “çfarë mundem” (rezultatet).

Vetëvendosje në vlerat e jetës(me fjale)dhe veprojnë në përputhje me to, duke qenë përgjegjës për veprimet e tyre(pozicioni personal, identiteti rus dhe civil)

VETËVENDOSJE

Të njohë veten si një qytetar i Rusisë dhe një pjesë e vlefshme e botës në ndryshim të shumëanshëm, duke përfshirë

Shpjegoni se çfarë ju lidh:

me familje, me familje

me familjen, miqtë, shokët e klasës

me bashkatdhetarët

me vendin tuaj

me të gjithë njerëzit

me natyrën

Shpjegoni se çfarë ju lidh me historinë, kulturën, fatin e popullit tuaj dhe të gjithë Rusisë;

Ndjeni krenarinë për popullin tuaj, atdheun tuaj, bashkohu me ta në gëzime dhe telashe dhe shfaqi këto ndjenja në vepra të mira;

Të mbrojnë (brenda mundësive të tyre) rendet humane, të barabarta, demokratike civile dhe të parandalojnë shkeljen e tyre;

Kërkoni pozicionin tuaj në shumëllojshmërinë e pozicioneve shoqërore dhe botëkuptuese, preferencat estetike dhe kulturore;

Përpiquni për mirëkuptim të ndërsjellë me përfaqësues të kulturave, botëkuptimeve, popujve dhe vendeve të tjera, bazuar në interesin dhe respektin reciprok;

Respektoni mendimet e tjera, historinë dhe kulturën e popujve dhe vendeve të tjera, mos lejoni që ato të shahen, tallen;

Kryeni vepra të mira që janë të dobishme për njerëzit e tjerë, për vendin tuaj, duke përfshirë heqjen dorë nga disa nga dëshirat tuaja për hir të tyre.

Përcaktimi i vendit të dikujt në botën e natyrës dhe në botën e kulturës;

Formoni një model sjelljeje pa konflikt që kontribuon në tejkalimin jo të dhunshëm dhe të barabartë të konfliktit.

Bëni një zgjedhje të vetëdijshme të një modeli sjelljeje në situata të paqarta, bazuar në:

Kultura, njerëzit, botëkuptimi, në të cilat ndjeni përfshirjen tuaj,

Vlerat themelore qytetare ruse,

Vlerat universale, humaniste, duke përfshirë vlerën e marrëdhënieve paqësore të fqinjësisë së mirë midis njerëzve të kulturave, pozicioneve, botëkuptimeve të ndryshme,

Rregulla të njohura dhe të thjeshta përgjithësisht të pranuara të sjelljes "të sjellshme", "të sigurt", "të bukur", "korrekte",

Empatia në gëzimet dhe problemet e "të vetave": të afërmit, miqtë, shokët e klasës,

Empati për ndjenjat e njerëzve të tjerë që nuk janë si ju, reagim ndaj telasheve të të gjitha qenieve të gjalla.

Për të formuar vetëvlerësim dhe përgjegjësi adekuate për veprimet e kryera dhe të dashurit.

UUD RREGULLATOR

Përcaktoni dhe formuloni qëllimin e aktivitetit, hartoni një plan veprimi për zgjidhjen e problemit (detyrës)

Për të përcaktuar qëllimin e veprimtarisë edukative dhe përcaktimin e qëllimeve të të mësuarit në mënyrë të pavarur, për të kërkuar mjete për zbatimin e tij.

Gjeni dhe formuloni problemin dhe idenë kryesore edukative, fillimisht së bashku me mësuesin, dhe më pas, në mënyrë të pavarur, zgjidhni temën e projektit me ndihmën e mësuesit dhe në mënyrë të pavarur.

Bëni një plan për përfundimin e detyrave, zgjidhjen e problemeve të natyrës krijuese dhe eksploruese, përfundimin e një projekti së bashku me mësuesin.

Të zotërojë bazat e veprimtarive kërkimore dhe projektuese përmes punës edukative dhe jashtëshkollore.

Merrni masa për zbatimin e planit

Kur punoni në një projekt, planifikoni fazat e tij me qëllim zbatimin dhe, nëse është e nevojshme, rregulloni fazat e zbatimit të tij.

Mësoni të punoni me informacionin, duke e përdorur atë në zbatimin e planeve dhe zgjidhjen e problemeve arsimore dhe kërkimore (literaturë referuese, pajisje komplekse, mjete TIK).

Krahasoni rezultatin e aktivitetit tuaj me qëllimin dhe vlerësoni atë

Në dialog me mësuesin, mësoni të zhvilloni kriteret e vlerësimit dhe të përcaktoni shkallën e suksesit në kryerjen e punës së vet dhe të secilit, bazuar në kriteret ekzistuese, të përmirësoni kriteret e vlerësimit dhe t'i përdorni ato gjatë vlerësimit dhe vetëvlerësimit. .

Gjatë prezantimit të projektit, mësoni të vlerësoni rezultatet e tij.

Kuptoni arsyet e dështimit tuaj dhe gjeni mënyra për të dalë nga kjo situatë.

Nxjerrja e informacionit, lundroni në sistemin tuaj të njohurive dhe kuptoni nevojën për njohuri të reja, bëni një përzgjedhje paraprake të burimeve të informacionit për të kërkuar njohuri të reja, për të marrë njohuri (informacione) të reja nga burime të ndryshme dhe në mënyra të ndryshme.

Supozoni në mënyrë të pavarur se çfarë informacioni nevojitet për të zgjidhur problemin arsimor lëndor, i cili përbëhet nga disa hapa.

Zgjidhni në mënyrë të pavarur fjalorët e nevojshëm, enciklopeditë, librat referencë, disqet elektronike për zgjidhjen e problemeve arsimore lëndore.

UUD KOGNITIVE

Krahasoni dhe zgjidhni informacionin e marrë nga burime të ndryshme (fjalor, enciklopedi, libra referimi, disqe elektronike, internet).

Formoni pozicionin tuaj në botën e informacionit

Përpunoni informacionin për të marrë rezultatin e dëshiruar, duke përfshirë krijimin e një produkti të ri

Kryeni veprime logjike universale:

Kryerja e analizave (nxjerrja e veçorive),

Për të prodhuar një sintezë (kompozimi i një tërësie nga pjesët, përfshirë me përfundim të pavarur),

Zgjidhni bazën për krahasimin, serialin, klasifikimin e objekteve,

Parashikoni rezultatin e pritur të zgjidhjes së problemeve arsimore,

Vendosni analogji dhe marrëdhënie shkak-pasojë,

Ndërtoni një zinxhir logjik arsyetimi

Lidhni objektet me konceptet e njohura.

Krijoni modele me nxjerrjen në pah të karakteristikave thelbësore të objektit dhe paraqitjen e tyre në formë hapësinore-grafike ose shenjë-simbolike, transformoni modele për të identifikuar ligjet e përgjithshme që përcaktojnë këtë fushë lëndore.

Përdorni informacionin në aktivitetet e projektit nën drejtimin e një mësuesi-këshilltar.

Shndërroni informacionin nga një formë në tjetrën dhe zgjidhni formën më të përshtatshme për veten tuaj

Paraqitja e informacionit në formën e tabelave, diagrameve, shënimeve bazë, duke përfshirë përdorimin e mjeteve të TIK-ut.

Shkruani një plan teksti të thjeshtë dhe kompleks.

Të jetë në gjendje të përcjellë përmbajtjen në një formë të ngjeshur, selektive ose të zgjeruar.

UUD KOMUNIKATIVE

Komunikoni pozicionin tuaj me të tjerët, duke zotëruar teknikat e të folurit monolog dhe dialogues

Për të zotëruar veprimtarinë efektive të të folurit me anë të gjuhës amtare dhe përbërësit të saj emocional.

Të formulojnë mendimet e tyre në të folur dhe me shkrim, duke pasur parasysh arsimimin dhe jetën e tyre situatat e të folurit duke përfshirë përdorimin e TIK-ut.

Nëse është e nevojshme, mbroni këndvështrimin tuaj, duke e argumentuar atë. Mësoni të mbështesni argumentet me fakte.

Mësoni të jeni kritik ndaj mendimit tuaj.

Kuptoni pozicionet e tjera (pikëpamjet, interesat)

Dëgjoni të tjerët, përpiquni të merrni një këndvështrim tjetër, jini të gatshëm të ndryshoni këndvështrimin tuaj.

Analizoni tekstin që studiohet, duke bërë:

Krahasimi i tij me qëndrimin e tyre për këtë çështje (problem);

Lexoni të gjitha llojet e informacionit tekstual (faktual, nëntekstual, konceptual).

Të reflektojë mbi qëndrimin e vet ndaj idesë së veprës;

Negocioni me njerëzit, duke bashkërenduar interesat dhe pikëpamjet e tyre me ta, në mënyrë që të bëni diçka së bashku

Organizoni ndërveprim edukativ në grup (shpërndani role, negocioni me njëri-tjetrin, etj.).

Pranoni mendimet e njerëzve të tjerë në grup.

Parashikoni (parashikoni) pasojat e vendimeve kolektive.

Mbështetje didaktike

Lënda ka karakterin e thellimit të studimit të matematikës në grupe të specializuara dhe në përgatitje për gara dhe olimpiada. Kursi përfshin një analizë shtesë të metodave më komplekse për zgjidhjen e problemeve dhe ekuacioneve matematikore. Në të njëjtën kohë, kursi bazohet kryesisht në dy forma të aktivitetit: seminare dhe trajnime. Në seminaret, të cilat kanë karakter mësimor, merren parasysh aspektet teorike të shkencës matematikore. Qëllimi i studimit është të zotërojë metoda jo standarde për zgjidhjen e problemeve komplekse matematikore. Në të njëjtën kohë, për shkak të kompleksitetit dhe paqartësisë së metodave, studentët në modalitetin e trajnimit zhvillojnë të menduarit logjik dhe kompetencat matematikore.

Klasat ndërtohen me pjesëmarrjen aktive të nxënësve të cilët: ndjekin zgjidhjet, formojnë të menduarit kritik dhe vlerësimin dhe vetëvlerësimin adekuat. Në të njëjtën kohë, formohen të gjitha aktivitetet e të mësuarit universal dhe, si rezultat, kompetencat kryesore arsimore:

veprimtari analitike,

parashikuese,

informacion,

komunikues

refleksive.

Të gjitha klasat janë ndërtuar sipas planit të zhvilluar nga unë në procesin e praktikës.

kur njiheni me mënyra të reja zgjidhjeje - puna e një mësuesi me një demonstrim shembujsh;

kur përmirësohet;

sesione trajnimi;

punë individuale;

analiza e zgjidhjeve të gatshme;

punë e pavarur me teste;

Në klasë përdoren forma dhe metoda të ndryshme të punës me studentët:

Seminare, mini-leksione, tryeza të rrumbullakëta, master klasa, trajnime, punë individuale dhe në grupe të vogla.

Metodat e mësimdhënies përcaktohen nga objektivat e lëndës, që synojnë formimin e aftësive matematikore të studentëve dhe kompetencave bazë në lëndë.

AT planifikimi tematik ndahet pjesa praktike, e cila zbatohet mbi njohuritë e studentëve të marra gjatë kursit të trajnimit teorik.

Në fund të çdo seksioni, pritet një kontroll i ndërmjetëm në formën e testeve të trajnimit dhe metodave të tjera aktive.

Efektiviteti i kursit përcaktohet gjatë mësim-konferencës përfundimtare, e ndërtuar mbi mbrojtjen e punës kërkimore, projektuese dhe abstrakte.

Materiali i kursit është ndërtuar duke marrë parasysh përdorimin e metodave aktive të mësimdhënies, dhe shpërndarja racionale e seksioneve të programit do t'ju lejojë të merrni njohuri me cilësi të lartë dhe të arrini rezultatet e planifikuara. Kursi pajiset me kompleksin edukativo-metodologjik të nevojshëm për zbatimin e tij.

Në procesin e studimit të këtij kursi, supozohet të përdoren metoda të ndryshme për rritjen e aktivitetit njohës të nxënësve të shkollës, si dhe forma të ndryshme organizimin e punës së tyre të pavarur.

Rezultati i zotërimit të programit të kursit është prezantimi nga nxënësit e punës krijuese individuale dhe grupore në mësimin përfundimtar.

Teknologjitë e përdorura: teknologji për zhvillimin e të menduarit kritik, teknologji problemore, teknologji për zgjidhjen e problemeve kërkimore (TRIZ), teknologji informacioni dhe komunikimi.

Letërsi për mësuesin:

Azarov AI Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: Metoda funksionale dhe grafike për zgjidhjen e problemeve të provimit /A. I. Azarov, S. A. Barvenov.- Minsk: Aversev, 2004.

Epifanova T. N. Gjetja e vlerave ekstreme të funksioneve nga të ndryshme

mënyra / T. N. Epifanova Matematika në shkollë. - Nr. 4. – 2000.

Mukhametzyanova F.S. metodolog i Departamentit të Arsimit të Fizikës dhe Matematikës së UIPCPRO, Mësues i nderuar i Federatës Ruse Karakteristikat e mësimdhënies subjekt“Matematika” në vitin akademik 2011-2012. (24.02.2009).

Olekhnik S. N. Metoda jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive: Një Manual / S. N. Olekhnik, M. K. Potapov, P. I. Pasichenko. - M.: Shtëpia botuese e Universitetit Shtetëror të Moskës, 1991.

Potapov, M. K. Arsyetimi me vlera numerike në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve / M. K. Potapov, A. V. Shevkin / Matematika në shkollë. - Nr. 3. – 2005.

Programi i përafërt arsimor bazë i një institucioni arsimor

korrespondent i Akademisë Ruse të Arsimit A. M. Kondakov, akademik i Akademisë Ruse të Arsimit L. P. Kezina)

V. P. Suprun. Matematika për nxënës të shkollave të mesme. Detyra me kompleksitet të shtuar. - Minsk: "Aversev", 2002.

Letërsi për studentë:

Suprun V. P. Metoda jo standarde për zgjidhjen e problemeve në matematikë / Suprun V. P. - Minsk: Polymya, 2000.

Algjebra dhe analiza matematikore. Klasa 10: Libër mësuesi për shkolla dhe klasa me studim të thelluar të matematikës / N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd. - M.: Mnemosyne, 2006

Algjebra dhe analiza matematikore. Klasa 11: Libër mësuesi për shkolla dhe klasa me studim të thelluar të matematikës / N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd. - M.: Mnemosyne, 2006

Teksti i veprës vendoset pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë puna është e disponueshme në skedën "Skedarët e punës" në formatin PDF

Prezantimi

Edukimi matematikor i marrë në shkollë është një komponent thelbësor i arsimit të përgjithshëm dhe kulturën e përbashkët njeriu modern. Pothuajse gjithçka që rrethon një person modern është e lidhur në një mënyrë ose në një tjetër me matematikën. Dhe përparimet e fundit në fizikë, teknologji dhe teknologjia e informacionit mos lini asnjë dyshim se gjërat do të mbeten të njëjta në të ardhmen. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike reduktohet në zgjidhje lloje te ndryshme ekuacionet.

Ekuacionet në kursin shkollor të algjebrës zënë një vend kryesor. Më shumë kohë i kushtohet studimit të tyre sesa çdo teme tjetër të kursit të matematikës shkollore. Fuqia e teorisë së ekuacioneve është se ajo jo vetëm që ka rëndësi teorike për njohjen e ligjeve natyrore, por shërben edhe për qëllime praktike specifike.

Rëndësia e temësështë se në orët e algjebrës, gjeometrisë, fizikës, ndeshemi shumë shpesh me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Shumica e problemeve në lidhje me format hapësinore dhe marrëdhëniet sasiore botën reale reduktohet në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve. Duke zotëruar mënyrat e zgjidhjes së tyre, njerëzit gjejnë përgjigje për pyetje të ndryshme nga shkenca dhe teknologjia (transporti, Bujqësia, industria, komunikimet, etj.). Prandaj, çdo student duhet të jetë në gjendje të zgjidhë saktë dhe racionalisht ekuacionet kuadratike, kjo gjithashtu mund të jetë e dobishme për mua kur zgjidh më shumë detyra sfiduese, përfshirë në klasën 9, si dhe 10 dhe 11 dhe kur jepni provime.

Synimi: Mësoni standarde dhe jo mënyra standarde zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike

Detyrat

1. Përshkruani metodat më të njohura për zgjidhjen e ekuacioneve
2. Përshkruani mënyrat jo standarde të zgjidhjes së ekuacioneve
3. Nxirrni një përfundim

Objekti i studimit: ekuacionet kuadratike

Lënda e studimit: mënyra për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Metodat e hulumtimit:

• Teorik: studimi i literaturës për temën kërkimore;
• Analiza: informacioni i marrë në studimin e literaturës; rezultatet e fituara duke zgjidhur ekuacionet kuadratike në mënyra të ndryshme.
• Krahasimi i metodave për racionalitetin e përdorimit të tyre në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Kapitulli 1. Ekuacionet kuadratike dhe zgjidhjet standarde

1.1 Përkufizimi ekuacioni kuadratik

ekuacioni kuadratik quhet ekuacion i formës sëpatë 2 + bx + c= 0, ku X- variabël , a, b dhe me- disa numra dhe, a≠ 0.

Numrat a, b dhe me - koeficientët e ekuacionit kuadratik. Numri a quhet koeficienti i parë, numri b- koeficienti dhe numri i dytë c- anëtar i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion kuadratik në të cilin të tre termat janë të pranishëm d.m.th. koeficientët në dhe c janë jo zero.

Ekuacioni kuadratik jo i plotëështë një ekuacion në të cilin të paktën një nga koeficientët në ose, c është i barabartë me zero.

Përkufizimi 3. Rrënja e ekuacionit kuadratik Oh 2 + bX + me= 0 është çdo vlerë e ndryshores x për të cilën trinomi katror Oh 2 + bX+ me shkon në zero.

Përkufizimi 4. Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik do të thotë të gjesh të gjithë atë

rrënjët ose vërtetojnë se nuk ka rrënjë.

Shembull: - 7 x + 3 =0

Në secilin nga ekuacionet e formës a + bx + c= 0, ku a≠ 0, fuqia më e lartë e ndryshores x- katror. Prandaj emri: ekuacion kuadratik.

Një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti në X 2 është 1, i quajtur ekuacioni kuadratik i reduktuar.

Shembull

X 2 - 11x+ 30=0, X 2 -8x= 0.

1.2 Metoda standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke kuadruar një binom

Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik në të cilin të dy koeficientët e të panjohurave dhe termi i lirë janë jozero. Kjo metodë e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik quhet zgjedhja e katrorit të binomit.

Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit.

Le të zgjidhim ekuacionin x 2 + 10x - 24 = 0. Le të faktorizojmë anën e majtë:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Prandaj, ekuacioni mund të rishkruhet si: (x + 12) (x - 2) = 0

Një produkt i faktorëve është zero nëse të paktën një nga faktorët e tij është zero.

Përgjigje: -12; 2.

Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik duke përdorur një formulë.

Diskriminues kuadratiksëpatë 2 + bx + c\u003d 0 shprehje b 2 - 4ac \u003d D - me shenjën e së cilës gjykohet prania e rrënjëve reale në këtë ekuacion.

Rastet e mundshme në varësi të vlerës së D:

1. Nese nje D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
2. Nese nje D= 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë: x =
3. Nese nje D< 0, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën Vieta.

Teorema: Shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë nga shenjë e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

Ekuacioni i dhënë kuadratik ka formën:

x 2 + bx + c= 0.

Koeficientin e dytë e shënojmë me shkronjën p, dhe termin e lirë me shkronjën q:

x 2 + px + q= 0, atëherë

x 1 + x 2 \u003d - p; x 1 x 2 = q

Kapitulli 2

2.1 Zgjidhje duke përdorur vetitë e koeficientëve të ekuacionit kuadratik

Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik është një mënyrë e tillë për të zgjidhur ekuacionet kuadratike që do t'ju ndihmojë të gjeni shpejt dhe verbalisht rrënjët e ekuacionit:

sëpatë 2 + bx + c= 0

1. Nese njea+b+c= 0, atëherëx 1 = 1, x 2 =

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin x 2 +3x - 4= 0.

a+ b + c = 0, pastaj x 1 = 1, x 2 =

1+3+(-4) = 0, pastaj x 1 = 1, x 2 = = - 4

Le të kontrollojmë rrënjët e marra duke gjetur diskriminuesin:

D=b2- 4ac= 3 2 - 4 1 (-4) = 9+16= 25

x 1 = = = = = - 4

Prandaj, nëse +b+c= 0, pastaj x 1 = 1, x 2 =

1. Nese njeb= a + c , pastajx 1 = -1, x 2 =

x 2+ 4X+1 = 0, a=3, b=4, c=1

Nese nje b=a + c, pastaj x 1 = -1, x 2 = , pastaj 4 = 3 + 1

Rrënjët e ekuacionit: x 1 = -1, x 2 =

Pra, rrënjët e këtij ekuacioni janë -1 dhe. Le ta kontrollojmë këtë duke gjetur diskriminuesin:

D=b2- 4ac= 4 2 - 4 3 1 = 16 - 12 = 4

x 1 = = = = = - 1

Prandaj, b=a + c, pastaj x 1 = -1, x 2 =

2.2 Metoda e "transferimit"

Me këtë metodë, koeficienti a shumëzohet me termin e lirë, sikur “i hidhet” asaj, prandaj quhet mënyra e transferimit. Kjo metodë përdoret kur është e lehtë të gjesh rrënjët e një ekuacioni duke përdorur teoremën e Vietës dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Nese nje a± b+c≠0, atëherë përdoret teknika e transferimit:

3x 2 +4x+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0

Duke aplikuar metodën e "transferimit" marrim:

X 2 + 4x+3= 0

Kështu, duke përdorur teoremën Vieta, marrim rrënjët e ekuacionit:

x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d -1.

Sidoqoftë, rrënjët e ekuacionit duhet të ndahen me 3 (numri që u "hedh"):

Pra, marrim rrënjët: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d.

Përgjigje: ; - një

2.3 Zgjidhje duke përdorur rregullsinë e koeficientëve

1. Nëse ekuacionisëpatë 2 + bx + c= 0, koeficientib= (a 2 +1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = - a, x 2 =

ax2+(një 2 + 1)∙ x + a = 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 +10x+3 = 0.

Kështu, rrënjët e ekuacionit: x 1 = -3 , x 2 =

D=b2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = = ; Prandaj, x 1 = - a, x 2 =

1. Nëse ekuacionisëpatë 2 - bx + c= 0, koeficientib= (a 2 +1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = a, x 2 =

Kështu, ekuacioni që do të zgjidhet duhet të duket si ky

sëpatë 2 -(një 2 + 1)∙ x+ a= 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 - 10x+3 = 0.

, x 2 =

Le ta kontrollojmë këtë zgjidhje duke përdorur diskriminuesin:

D=b2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

a, x 2 =

1. Nëse ekuacionisëpatë 2 + bx - c= 0, koeficientib= (a 2 -1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = - a, x 2 =

Kështu, ekuacioni që do të zgjidhet duhet të duket si ky

ax2+(dhe 2 - 1)∙ x - a = 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 + 8x - 3 = 0..

Pra, rrënjët e ekuacionit janë: x 1 = - 3, x 2 =

Le ta kontrollojmë këtë zgjidhje duke përdorur diskriminuesin:

D=b2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = =; Prandaj, x 1 = - a, x 2 =

1. Nëse ekuacionisëpatë 2-bx-c= 0, koeficientib= (a 2 -1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = a, x 2 =

Kështu, ekuacioni që do të zgjidhet duhet të duket si ky

sëpatë 2 -(dhe 2 - 1)∙ x - a = 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 - 8x - 3 = 0..

Kështu, rrënjët e ekuacionit: x 1 \u003d 3 , x 2 = -

Le ta kontrollojmë këtë zgjidhje duke përdorur diskriminuesin:

D=b2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 2 = = = = = 3; Prandaj, x 1 = a, x 2 = -

2.4 Zgjidhje me një busull dhe një vijë të drejtë

Unë propozoj metodën e mëposhtme për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik ah 2+bx + c = 0 duke përdorur një busull dhe një vizore (Fig. 6).

Le të supozojmë se rrethi i dëshiruar e pret boshtin

abshisa në pika B(x 1; 0) dhe D(x 2; 0), ku x 1 dhe x 2- rrënjët e ekuacionit ah 2+bx + c = 0, dhe kalon nëpër pika

A(0; 1) dhe C(0;c/ a) në boshtin y. Pastaj, nga teorema sekante, ne kemi OB . OD = OA . OC, ku OC = = =

Qendra e rrethit është në pikën e prerjes së pinguleve SF dhe SK, restauruar në mesin e akordeve AC dhe BD, Kjo është arsyeja pse

1) ndërtoni pikat S (qendra e rrethit) dhe A(0; 1) ;

2) vizatoni një rreth me një rreze SA;

3) abshisat e pikave të kryqëzimit të këtij rrethi me boshtin Oh janë rrënjët e ekuacionit kuadratik origjinal.

Në këtë rast, tre raste janë të mundshme.

1) Rrezja e rrethit është më e madhe se ordinata e qendrës (AS > SK, oseR > a + c/2 a) , rrethi pret boshtin x në dy pika (Fig. 7a) B(x 1; 0) dhe D(x 2; 0), ku x 1 dhe x 2- rrënjët e ekuacionit kuadratik ah 2+bx + c = 0.

2) Rrezja e rrethit është e barabartë me ordinatën e qendrës (AS = SB, oseR = a + c/2 a) , rrethi prek boshtin Ox (Fig. 8b) në pikë B(x 1; 0), ku x 1 është rrënja e ekuacionit kuadratik.

3) Rrezja e rrethit është më e vogël se ordinata e qendrës AS< S, R<

rrethi nuk ka pika të përbashkëta me boshtin e abshisave (Fig. 7c), në këtë rast ekuacioni nuk ka zgjidhje.

a)AS>SB, R> b) AS=SB, R= në) AS

Dy Zgjidhje x 1 dhex 2 Një zgjidhje x 1 Nuk ka asnjë vendim

Shembull.

Le të zgjidhim ekuacionin x 2 - 2x - 3 = 0(Fig. 8).

Vendimi. Përcaktoni koordinatat e pikës së qendrës së rrethit me formulat:

x = - = - = 1,

y = = = -1

Le të vizatojmë një rreth me rreze SA, ku A (0; 1).

Përgjigje: x 1 = - 1; x 2 = 3.

2.5 Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Në kohët e lashta, kur gjeometria ishte më e zhvilluar se algjebra, ekuacionet kuadratike zgjidheshin jo në mënyrë algjebrike, por gjeometrike. Do të jap një shembull që është bërë i famshëm nga "Algjebra" e el-Kuarizmit.

Shembuj.

1) Zgjidheni ekuacionin x 2 + 10x = 39.

Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: “Një katror dhe dhjetë rrënjë janë të barabarta me 39” (Fig. 9).

Vendimi. Konsideroni një katror me anën x, drejtkëndëshat janë ndërtuar në anët e tij në mënyrë që ana tjetër e secilës prej tyre të jetë 2.5, prandaj, sipërfaqja e secilës është 2.5x. Shifra që rezulton plotësohet më pas në një katror të ri ABCD, duke plotësuar katër katrorë të barabartë në qoshe, brinja e secilit prej tyre është 2.5 dhe sipërfaqja është 6.25.

Sheshi S katrore ABCD mund të përfaqësohet si shuma e zonave:

katror origjinal x 2, katër drejtkëndësha (4. 2.5x = 10x) dhe katër katrorë të bashkangjitur (6,25. 4 = 25) , d.m.th. S = x 2 + 10x + 25. Duke zëvendësuar

x 2 + 10x numri 39 , ne e kuptojmë atë S = 39 + 25 = 64 , prej nga rrjedh se ana e katrorit ABCD, d.m.th. segmenti i linjës AB = 8. Për anën e dëshiruar X katrorin origjinal marrim:

x = 8 - 2 - 2 = 3

2) Por, për shembull, si e zgjidhën ekuacionin grekët e lashtë y 2 + 6y - 16 = 0.

Vendimi treguar në figurën 10. ku

y 2 + 6y = 16, ose y 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Vendimi. Shprehjet y 2 + 6v + 9 dhe 16 + 9 përfaqësojnë gjeometrikisht

i njëjti katror dhe ekuacioni origjinal y 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0është i njëjti ekuacion. Nga e marrim atë y + 3 = ± 5, ose y 1 = 2, y 2 = - 8(oriz..

fig.10

3) Zgjidh ekuacionin gjeometrik y 2 - 6y - 16 = 0.

Duke transformuar ekuacionin, marrim

y 2 - 6 vjeç \u003d 16.

Në figurën 11 gjejmë "imazhet" e shprehjes 2 - 6 vjeç, ato. nga sipërfaqja e një katrori me brinjën y zbres dyfishi i sipërfaqes së një katrori me brinjë të barabartë me 3 . Pra, nëse shprehja y 2 - 6 vjeç shtoni 9 , atëherë marrim sipërfaqen e një katrori me një anë y - 3. Zëvendësimi i shprehjes y 2 - 6 vjeç numri i tij i barabartë 16,

marrim: (y - 3) 2 \u003d 16 + 9, ato. y - 3 = ± √25, ose y - 3 = ± 5, ku y 1 = 8 dhe y 2 = - 2.

konkluzioni

Gjatë punës sime kërkimore, besoj se kam përballuar qëllimin dhe detyrat e përcaktuara, kam arritur të përgjithësoj dhe sistemoj materialin e studiuar për temën e mësipërme.

Duhet të theksohet se çdo metodë e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike është unike në mënyrën e vet. Disa zgjidhje ndihmojnë në kursimin e kohës, gjë që është e rëndësishme gjatë zgjidhjes së detyrave në teste dhe provime. Kur punoj në temë, vendosa detyrën të zbuloj se cilat metoda janë standarde dhe cilat janë jo standarde.

Kështu që, metoda standarde(përdoret më shpesh kur zgjidhen ekuacionet kuadratike):

• Zgjidhje me katrorin e binomit
• Faktorimi i anës së majtë
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me formulë
• Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës
• Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Metodat jo standarde:

• Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik
• Zgjidhja duke transferuar koeficientët
• Zgjidhje duke përdorur rregullsinë e koeficientëve
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një busull dhe një vijë të drejtë.
• Hetimi i ekuacionit në intervalet e boshtit real
• Mënyra gjeometrike

Duhet të theksohet se çdo metodë ka karakteristikat e veta dhe kufijtë e aplikimit.

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës

Një mënyrë mjaft e thjeshtë, bën të mundur shikimin e menjëhershëm të rrënjëve të ekuacionit, ndërsa vetëm rrënjët e numrave të plotë gjenden lehtësisht.

Zgjidhja e ekuacioneve me metodën e transferimit

Për numrin minimal të veprimeve, mund të gjeni rrënjët e ekuacionit, ai përdoret në lidhje me metodën e teoremës Vieta, ndërsa është gjithashtu e lehtë të gjesh vetëm rrënjë të plota.

Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Metoda e përballueshme për gjetjen verbale të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik, por e përshtatshme vetëm për disa ekuacione

Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik

Një mënyrë vizuale për të zgjidhur një ekuacion kuadratik, megjithatë, mund të ndodhin gabime gjatë vizatimit

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me një busull dhe një vijë të drejtë

Një mënyrë vizuale për të zgjidhur një ekuacion kuadratik, por mund të ndodhin edhe gabime

Mënyra gjeometrike e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Një mënyrë vizuale, e ngjashme me mënyrën e zgjedhjes së një katrori të plotë

Duke zgjidhur ekuacionet në mënyra të ndryshme, arrita në përfundimin se duke ditur një grup metodash për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, mund të zgjidhni çdo ekuacion të ofruar në procesin mësimor.

Në të njëjtën kohë, duhet të theksohet se një nga mënyrat më racionale për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike është metoda e "transferimit" të koeficientit. Sidoqoftë, mënyra më universale mund të konsiderohet mënyra standarde e zgjidhjes së ekuacioneve duke përdorur një formulë, sepse kjo metodë ju lejon të zgjidhni çdo ekuacion kuadratik, megjithëse ndonjëherë për një kohë më të gjatë. Gjithashtu, metoda të tilla zgjidhjeje si metoda e "transferimit", vetia e koeficientëve dhe teorema Vieta ndihmojnë në kursimin e kohës, gjë që është shumë e rëndësishme gjatë zgjidhjes së detyrave në provime dhe teste.

Mendoj se puna ime do të jetë me interes për nxënësit e klasave 9-11, si dhe për ata që duan të mësojnë se si të zgjidhin në mënyrë racionale ekuacionet kuadratike dhe të përgatiten mirë për provimet përfundimtare. Do të jetë me interes edhe për mësuesit e matematikës, duke shqyrtuar historinë e ekuacioneve kuadratike dhe duke sistemuar mënyrat e zgjidhjes së tyre.

Bibliografi

1. Glazer, G.I. Historia e matematikës në shkollë / G.I. Glaser.-M.: Iluminizmi, 1982 - 340.
2. Gusev, V.A. Matematika. Materialet e referencës / V.A. Gusev, A.G. Mordkovich - M.: Iluminizmi, 1988, 372 f.
3. Kovaleva G. I., Konkina E. V. "Një metodë funksionale për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive", 2014
4. Kulagin E. D. "300 detyra konkurruese në matematikë", 2013
5. Potapov M. K. "Ekuacionet dhe pabarazitë. Metodat jo standarde të zgjidhjes, M. Drofa, 2012
6. .Barvenov S. A "Metoda për zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike", M. "Aversev", 2006
7. Suprun V.P. "Metodat jo standarde për zgjidhjen e problemeve në matematikë" - Minsk "Polymya", 2010
8. Shabunin M.I. "Manual në matematikë për aplikantët e universitetit", 2005.
9. Bashmakov M.I. Algjebra: tekst shkollor. për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet. - M.: Iluminizmi, 2004. - 287f.
10. Shatalova S. Mësimi - punëtori me temën "Ekuacionet kuadratike". - 2004.

Mënyra jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Nxënëse e klasës së 9-të

Menaxheri i punës:

Firsova Daria Evgenievna

mësues matematike

Shpesh është më e dobishme për një student të algjebrës të zgjidhë të njëjtën problem në tre mënyra të ndryshme sesa të zgjidhë tre ose katër probleme. Duke zgjidhur një problem në mënyra të ndryshme, mund të zbuloni me krahasim se cili është më i shkurtër dhe më efikas. Kështu bëhet përvoja.

W.U. Sawyer (matematicient anglez i shekullit të 20-të)

Objektiv

Mësoni të gjitha mënyrat ekzistuese për të zgjidhur një ekuacion kuadratik. Mësoni si t'i përdorni këto.

Detyrat

• Kuptoni atë që quhet ekuacion kuadratik.
• Zbuloni se çfarë lloje të ekuacioneve kuadratike ekzistojnë.
• Gjeni informacion se si të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe studioni atë.

Rëndësia e temës: Njerëzit kanë studiuar ekuacionet kuadratike që nga kohërat e lashta. Doja të dija historinë e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike.

Tekstet shkollore nuk japin informacion të plotë për ekuacionet kuadratike dhe mënyrën e zgjidhjes së tyre.

Nje objekt: Ekuacionet kuadratike.

Gjë: Metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve.

Metodat e hulumtimit: analitike.

Hipoteza - nëse mund të realizoj qëllimin dhe detyrat e vendosura nga unë gjatë studimit të kësaj teme, atëherë në përputhje me rrethanat do të shkoj në zbatimin e trajnimit të profilit paraprak në fushën e edukimit matematik.

Metodat e hulumtimit:

• Puna me literaturë edukative dhe shkencore popullore.
• Vëzhgim, krahasim, analizë.
• Zgjidhja e problemeve.

Rezultatet e pritura: Gjatë studimit të kësaj pune, unë me të vërtetë do të jem në gjendje të vlerësoj potencialin tim intelektual dhe, në përputhje me rrethanat, në të ardhmen të vendos për profilin e trajnimit, të krijoj një produkt projekti për temën në studim në formën e një prezantimi kompjuterik, duke studiuar kjo çështje do të më lejojë të kompensoj mungesën e njohurive për temën e caktuar.

Unë e konsideroj punën time premtuese, pasi në të ardhmen të dy nxënësit mund ta përdorin këtë material për të përmirësuar shkrim-leximin matematik, dhe mësuesit në klasat me zgjedhje

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të tokës dhe punimeve tokësore të natyrës ushtarake., si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit dinin të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Duke përdorur shënimin algjebrik modern, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre jo të plota, ekzistojnë, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit erdhën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e përcaktuara në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike mungojnë në tekstet kuneiforme.

Si e përpiloi dhe zgjidh Diofanti

ekuacionet kuadratike

EKUACIONI:

"Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"

Diofanti argumenton si më poshtë: nga gjendja e problemit del se numrat e dëshiruar jo janë të barabartë, sepse po të ishin të barabartë, atëherë prodhimi i tyre nuk do të ishte 96, por 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10+X , tjetra është më e vogël, d.m.th. 10-X .

Dallimi mes tyre 2 X

Nga këtu X=2 . Njëri nga numrat e dëshiruar është 12, tjetri është 8. Zgjidhje X = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

0 Një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të Bhaskara Një tufë majmunësh të gjallë Pasi hëngrën me kënaqësi, ata u argëtuan. Pjesa e tetë e tyre në një shesh u argëtova në pastrim. Dhe dymbëdhjetë përgjatë lianave ... Ata filluan të kërcejnë të varur ... Sa majmunë ishin Më thuaj, në këtë tufë?. Ekuacioni që korrespondon me problemin: Baskara shkruan në formën: Mbushur anën e majtë në një katror," width = "640"

Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden gjithashtu në traktatin astronomik Aryabhattam, i përpiluar në vitin 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta, përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike: sëpatë ² +bx=c, a0

Një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit XII Bhaskara

Një tufë e zjarrtë e majmunëve

Ushqimi i mirë, argëtimi.

Ata shënuan në katror pjesën e tetë

Duke u argëtuar në livadh.

Dhe dymbëdhjetë në hardhi ...

Ata filluan të kërcejnë të varur ...

Sa majmunë ishin

Më thua, në këtë tufë?.

Ekuacioni që korrespondon me problemin është:

Baskara shkruan nën maskën:

Plotësoni anën e majtë në një katror,

Ekuacionet kuadratike në Azinë e Lashtë

X 2 +10 x = 39

Ja se si shkencëtari i Azisë Qendrore al-Khwarizmi e zgjidhi këtë ekuacion:

Ai shkroi: "Rregulli është ky:

dyfishoni numrin e rrënjëve x=2x · 5

merrni pesë në këtë problem, 5

shumëzohu me këtë të barabartë me të, do të jenë njëzet e pesë, 5 5=25

shtoni atë në tridhjetë e nëntë, 25+39

do të jetë gjashtëdhjetë e katër 64

nxirrni rrënjën prej saj, do të jenë tetë, 8

dhe zbres nga kjo gjysma numrin e rrënjëve, pra pesë, 8-5

do të ngelet 3

kjo do të jetë rrënja e sheshit që po kërkonit”.

Po rrënja e dytë? Rrënja e dytë nuk u gjet, pasi numrat negativë nuk njiheshin.

Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII-XVII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike x2 + në + c = 0 u formulua në Evropë vetëm në 1544 Zoti Stiefel.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në Evropë u deklaruan për herë të parë në 1202 nga një matematikan italian

Leonard Fibonacci.

Vieta ka një derivim të përgjithshëm të formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Vetëm në shekullin e 17-të falë punës Dekarti, Njutoni dhe shkencëtarë të tjerë metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne

Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, që mban emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në vitin 1591. Si vijon: “Nëse B + D shumëfishuar A-A është e barabartë me BD, atëherë A është e barabartë me B dhe e barabartë me D”.

Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend se A, si çdo zanore, nënkuptonte të panjohurën (x-në tonë), ndërsa zanoret B, D janë koeficientë për të panjohurën.

Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i Vieta-s më sipër do të thotë :

Nëse ekuacioni kuadratik i dhënë x 2 +px+q=0 ka rrënjë reale, atëherë shuma e tyre është e barabartë me -fq, dhe produkti është q, d.m.th x 1 + x 2 =-p, x 1 x 2 = q

(shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të dhënë është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë).

• Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit
• Teorema e Vietës
• Zbatimi i vetive të koeficientit kuadratik
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me metodën e "transferimit" të koeficientit më të lartë
• Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë
• Mënyra grafike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me një busull dhe një vijë të drejtë
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram
• Mënyra gjeometrike e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Metoda e faktorizimit

sillni një ekuacion të përgjithshëm kuadratik në formën:

A(x) B(x)=0,

ku A(x) dhe B(x) janë polinome në lidhje me x.

Synimi:

Mënyrat:

• Heqja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave;
• Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit;
• metoda e grupimit.

Shembull:

: X 2 + 10x - 24 = 0

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d \u003d (x + 12) (x - 2);

(x + 12) (x - 2) = 0;

x + 12 = 0 ose x - 2 = 0;

X 1 = -12 x 2 = 2 ;

Numrat - 12 dhe 2 janë rrënjët e këtij ekuacioni.

Përgjigje: x 1 = -12; X 2 = 2.

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës

x 1 dhe X 2 janë rrënjët e ekuacionit

për shembull :

X 2 + 3X – 10 = 0

X 1 ·X 2 = - 10, pra rrënjët kanë të ndryshme

shenjat

X 1 + X 2 = - 3, do të thotë më i madh në modul

rrënjë - negative

Me përzgjedhje gjejmë rrënjët: X 1 = – 5, X 2 = 2

Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Le të jepet sëpata e ekuacionit kuadratik 2 + bx + c = 0

Nese nje a + b + c = 0 (d.m.th. shuma e koeficientëve

ekuacioni është zero), atëherë X 1 = 1 , X 2 = c/a

Nese nje a - b + c = 0 , ose b = a + c , pastaj X 1 = – 1 , X 2 = – s/a .

Shembull :

137x 2 + 20x – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b + c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Përgjigje: 1;

0, sipas teoremës së kundërt me teoremën Vieta, marrim rrënjët: 5; 6, pastaj kthehemi në rrënjët e ekuacionit origjinal: 2.5; 3." width = "640"

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e "transferimit".

Rrënjët e ekuacioneve kuadratike sëpatë 2 + bx + c = 0 dhe y 2 + nga + ac = 0 lidhur me raportin : x = y/a .

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik sëpatë ² + bx + c = 0 , ku a ≠ 0. Duke shumëzuar të dyja anët me a , marrim ekuacionin a²x² + abx + ac = 0. Le te jete ah = y , ku X = u/a; atëherë vijmë te ekuacioni y² + bu + ac = 0 , e cila është e barabartë me atë të dhënë. rrënjët e saj në 1 dhe në 2 gjeni me ndihmën e teoremës së Vietës. Më në fund arrijmë X 1 =y 1 /a dhe X 2 =y 2 /a .

Zgjidhe ekuacionin: 2x 2 - 11x +15 = 0.

Le të transferojmë koeficientin 2 në termin e lirë

në 2 - 11y + 30 = 0. D0, sipas teoremës, anasjellta e teoremës së Vietës, marrim rrënjët: 5, 6, pastaj kthehemi në rrënjët e ekuacionit origjinal: 2.5; 3.

Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë

X 2 + 6x - 7 = 0

Le të zgjedhim një katror të plotë në anën e majtë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë shprehjen X 2 + 6x në formën e mëposhtme:

X 2 + 6x = x 2 + 2 x 3

Në shprehjen që rezulton, termi i parë është katrori i numrit X, dhe i dyti është produkti i dyfishtë X në 3 , kështu që për të marrë një katror të plotë, duhet të shtoni 3 2 , si

X 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2

Tani transformojmë anën e majtë të ekuacionit X 2 + 6x - 7 = 0, duke i shtuar dhe duke zbritur 3 2 , ne kemi:

X 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (x + 3) 2 – 9 – 7 = (x + 3) 2 – 16

Kështu, ky ekuacion mund të shkruhet si më poshtë:

(x + 3) 2 –16 = 0 , d.m.th. (x + 3) 2 = 16 .

Prandaj, x + 3 - 4 = 0 ose x + 3 + 4 = 0

X 1 = 1 X 2 = -7

Përgjigje: -7; një.

Mënyra grafike për të zgjidhur një ekuacion kuadratik

Pa përdorur formula, një ekuacion kuadratik mund të zgjidhet grafikisht

mënyrë. Le të zgjidhim ekuacionin

Për ta bërë këtë, ne do të ndërtojmë dy grafikë:

Abshisat e pikave të kryqëzimit të grafikëve do të jenë rrënjët e ekuacionit.

Nëse grafikët kryqëzohen në dy pika, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

Nëse grafikët kryqëzohen në një pikë, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.

Nëse grafikët nuk kryqëzohen, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me

busulla dhe vizore

1. Le të zgjedhim një sistem koordinativ.

2. Le të ndërtojmë pika S (-b/ 2 a; a+c/ 2 a) është qendra e rrethit dhe POR ( 0; 1 ) .

3. Vizatoni një rreth me rreze SA .

Abshisat pikat e prerjes së rrethit me boshtin x janë rrënjët dhënë ekuacionin kuadratik.

x 1

x 2

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram

Kjo është një mënyrë e vjetër dhe e pamerituar për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, e vendosur në f.83 “Tabelat matematikore katërshifrore” Bradis V.M.

Për ekuacionin

nomogrami jep rrënjë

Tabela XXII. Nomogram për zgjidhjen e ekuacioneve

Ky nomogram lejon që, pa zgjidhur ekuacionin kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit me koeficientët e tij.

Mënyra gjeometrike e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Një shembull që është bërë i famshëm është nga "Algjebra" e el-Kuarizmit: X 2 + 10x = 39. Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: "Katrori dhe dhjetë rrënjët janë të barabarta me 39".

S=x 2 + 10 x + 25 (X 2 + 10 x = 39 )

S= 39 + 25 = 64 , prej nga vijon,

cila është ana e katrorit ABCD ,

ato. segmenti i linjës AB = 8 .

x = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

Në bazë të sondazhit u konstatua se:

• Më të vështirat ishin metodat e mëposhtme:

Duke faktorizuar anën e majtë të ekuacionit,

Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë.

• Metodat racionale të zgjidhjes:

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me formulë;

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës

• Nuk ka aplikim praktik

Mënyra gjeometrike e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike.

• Nuk kam dëgjuar më parë për metodat:

Zbatimi i vetive të koeficientëve të një ekuacioni kuadratik;

Me ndihmën e një nomogrami;

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me një busull dhe një vijë të drejtë;

Metoda e "transferimit" (kjo metodë zgjoi interes tek studentët).

konkluzioni

• këto metoda vendimmarrje meritojnë vëmendje, pasi jo të gjitha pasqyrohen në tekstet shkollore të matematikës;

• zotërimi i këtyre teknikave do t'i ndihmojë studentët të kursejnë kohë dhe të zgjidhin ekuacionet në mënyrë efikase;

• nevoja për një zgjidhje të shpejtë është për shkak të përdorimit të një sistemi testimi të provimeve pranuese;

FALEMINDERIT MBRAPA KUJDES!