Universiteti Shtetëror i Belgorodit
KARRIGE algjebër, teoria e numrave dhe gjeometria
Tema e punës: Ekuacionet dhe pabarazitë e fuqisë eksponenciale.
Teza student i Fakultetit të Fizikës dhe Matematikës
Këshilltar shkencor:
______________________________
recensent: _________________________________
________________________
Belgorod. 2006
| Prezantimi | 3 | ||
| Tema Unë. | Analiza e literaturës për temën e kërkimit. | ||
| Tema II. | Funksionet dhe vetitë e tyre të përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale. | ||
| I.1. | Funksioni i fuqisë dhe vetitë e tij. | ||
| I.2. | Funksioni eksponencial dhe vetitë e tij. | ||
| Tema III. | Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë eksponenciale, algoritmi dhe shembuj. | ||
| Tema IV. | Zgjidhja e pabarazive të fuqisë eksponenciale, plani i zgjidhjes dhe shembuj. | ||
| Tema v. | Përvoja në zhvillimin e orëve me nxënës të shkollës me temën: "Zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale". | ||
| v. 1. | Materiali mësimor. | ||
| v. 2. | Detyrat për zgjidhje të pavarur. | ||
| konkluzioni. | Konkluzione dhe oferta. | ||
| Bibliografi. | |||
| Aplikacionet | |||
Prezantimi.
"... gëzimi për të parë dhe kuptuar ..."
A. Ajnshtajni.
Në këtë vepër u përpoqa të përcjell përvojën time të punës si mësues i matematikës, të përcjell të paktën deri diku qëndrimin tim ndaj mësimdhënies së saj - një çështje njerëzore në të cilën dhe janë çuditërisht të ndërthurura. shkenca matematikore, dhe pedagogji, dhe didaktikë, dhe psikologji, madje edhe filozofi.
Unë pata mundësinë të punoja me fëmijë dhe të diplomuar, me fëmijë që qëndronin në polet e zhvillimit intelektual: ata që ishin regjistruar te një psikiatër dhe që ishin vërtet të interesuar për matematikën.
Më duhej të zgjidhja shumë probleme metodologjike. Do të përpiqem të flas për ato që kam arritur të zgjidh. Por edhe më shumë - nuk ishte e mundur, dhe në ato që duket se janë zgjidhur, shfaqen pyetje të reja.
Por edhe më të rëndësishme se vetë përvoja janë reflektimet dhe dyshimet e mësuesit: pse është pikërisht kështu, kjo përvojë?
Dhe vera është ndryshe tani, dhe radha e arsimit është bërë më interesante. "Nën Jupiterë" nuk është më një kërkim për një mitik sistemi optimal duke mësuar "të gjithë dhe gjithçka", dhe vetë fëmijës. Por pastaj - me domosdoshmëri - dhe mësuesi.
Në kursin shkollor të algjebrës dhe fillimin e analizës, klasat 10 - 11, kur kalon provimin për një kurs të shkollës së mesme dhe në provimet pranuese në universitete, ka ekuacione dhe pabarazi që përmbajnë një të panjohur në bazë dhe eksponentë - këto janë eksponenciale -ekuacionet e fuqisë dhe pabarazitë.
Pak vëmendje u kushtohet atyre në shkollë, praktikisht nuk ka asnjë detyrë për këtë temë në tekstet shkollore. Megjithatë, zotërimi i teknikës së zgjidhjes së tyre, më duket, është shumë i dobishëm: rrit mendore dhe Aftësitë krijuese studentë, para nesh hapen horizonte krejtësisht të reja. Kur zgjidhin probleme, nxënësit fitojnë aftësitë e para punë kërkimore, pasurohet kultura e tyre matematikore, aftësia e tyre për të të menduarit logjik. Nxënësit zhvillojnë tipare të tilla të personalitetit si qëllimshmëria, vendosja e qëllimeve, pavarësia, të cilat do të jenë të dobishme për ta në jetën e mëvonshme. Dhe gjithashtu ka një përsëritje, zgjerim dhe asimilim të thellë të materialit edukativ.
Fillova të punoj në këtë temë të hulumtimit të tezës sime me shkrimin e një punimi terminor. Në rrjedhën e së cilës studiova dhe analizova më thellë literaturën matematikore për këtë temë, identifikova metodën më të përshtatshme për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale.
Ai qëndron në faktin se përveç qasjes së pranuar përgjithësisht kur zgjidhen ekuacionet e fuqisë eksponenciale (baza merret më e madhe se 0) dhe kur zgjidhen të njëjtat pabarazi (baza merret më e madhe se 1 ose më e madhe se 0, por më e vogël se 1), konsiderohen edhe rastet kur bazat janë negative, janë 0 dhe 1.
Nga analiza e fletëve të provimit me shkrim të nxënësve rezulton se mospërfshirja e çështjes së vlerës negative të argumentit të funksionit të fuqisë eksponenciale në tekstet shkollore shkakton një sërë vështirësish për ta dhe çon në gabime. Dhe gjithashtu ata kanë probleme në fazën e sistematizimit të rezultateve të marra, ku, për shkak të kalimit në ekuacionin - një pasojë ose pabarazi - një pasojë, mund të shfaqen rrënjë të jashtme. Për të eliminuar gabimet, ne përdorim një kontroll në ekuacionin ose pabarazinë origjinale dhe një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve të fuqisë eksponenciale, ose një plan për zgjidhjen e pabarazive të fuqisë eksponenciale.
Në mënyrë që studentët të kalojnë me sukses provimet përfundimtare dhe pranuese, mendoj se është e nevojshme t'i kushtohet më shumë vëmendje zgjidhjes së ekuacioneve të fuqisë eksponenciale dhe pabarazive në klasë, ose shtesë në lëndë me zgjedhje dhe rrathë.
Në këtë mënyrë temë , teza ime është përcaktuar si më poshtë: "Ekuacionet dhe pabarazitë e fuqisë eksponenciale".
Golat punë prezente janë:
1. Analizoni literaturën për këtë temë.
2. Jepni një analizë të plotë të zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale.
3. Jepni një numër të mjaftueshëm shembujsh për këtë temë të llojeve të ndryshme.
4. Kontrollo për mësim, me zgjedhje dhe mësimet e rrethit si do të perceptohen metodat e propozuara për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale. Jepni rekomandimet e duhura për studimin e kësaj teme.
Subjekti Hulumtimi ynë është të zhvillojmë një teknikë për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale.
Qëllimi dhe lënda e studimit kërkonte zgjidhjen e detyrave të mëposhtme:
1. Studioni literaturën me temën: “Ekuacionet e fuqisë eksponenciale dhe pabarazitë”.
2. Të zotërojë metodat e zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale.
3. Zgjidhni materialin stërvitor dhe zhvilloni një sistem ushtrimesh në nivele të ndryshme me temën: "Zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale".
Gjatë hulumtimit të diplomës, u analizuan më shumë se 20 punime, kushtuar aplikimit të metodave të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale. Nga këtu marrim.
Plani i tezës:
Prezantimi.
Kapitulli I. Analiza e literaturës për temën kërkimore.
Kapitulli II. Funksionet dhe vetitë e tyre të përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive të fuqisë eksponenciale.
II.1. Funksioni i fuqisë dhe vetitë e tij.
II.2. Funksioni eksponencial dhe vetitë e tij.
Kapitulli III. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë eksponenciale, algoritmi dhe shembuj.
Kapitulli IV. Zgjidhja e pabarazive të fuqisë eksponenciale, plani i zgjidhjes dhe shembuj.
Kapitulli V. Përvoja në zhvillimin e orëve me nxënës të shkollës për këtë temë.
1. Material edukativ.
2. Detyrat për zgjidhje të pavarur.
konkluzioni. Konkluzione dhe oferta.
Lista e literaturës së përdorur.
Literatura e analizuar në kapitullin I
Ekuacione dhe pabarazi eksponenciale janë ato ekuacione dhe pabarazi në të cilat e panjohura gjendet në eksponent.
Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale shpesh zbret në zgjidhjen e ekuacionit a x \u003d a b, ku a > 0, a ≠ 1, x është një e panjohur. Ky ekuacion ka një rrënjë të vetme x \u003d b, pasi teorema e mëposhtme është e vërtetë:
Teorema. Nëse a > 0, a ≠ 1 dhe a x 1 = a x 2, atëherë x 1 = x 2.
Le të arsyetojmë pohimin e konsideruar.
Supozoni se barazia x 1 = x 2 nuk plotësohet, d.m.th. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, atëherë funksioni eksponencial y \u003d a x rritet dhe për këtë arsye pabarazia a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Në të dyja rastet, kemi marrë një kontradiktë me kushtin a x 1 = a x 2 .
Le të shqyrtojmë disa detyra.
Zgjidheni ekuacionin 4 ∙ 2 x = 1.
Zgjidhje.
E shkruajmë ekuacionin në formën 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.
Përgjigju. x = -2.
Zgjidheni ekuacionin 2 3x ∙ 3 x = 576.
Zgjidhje.
Meqenëse 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, ekuacioni mund të shkruhet në formën 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 ose në formën 24 x \u003d 24 2.
Nga këtu marrim x = 2.
Përgjigju. x = 2.
Zgjidheni ekuacionin 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.
Zgjidhje.
Duke vendosur faktorin e përbashkët 3 x - 2 në anën e majtë, marrim 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
prej nga 3 x - 2 = 1, d.m.th. x - 2 = 0, x = 2.
Përgjigju. x = 2.
Zgjidheni ekuacionin 3 x = 7 x.
Zgjidhje.
Meqenëse 7 x ≠ 0, ekuacioni mund të shkruhet si 3 x / 7 x = 1, pra (3/7) x = 1, x = 0.
Përgjigju. x = 0.
Zgjidheni ekuacionin 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.
Zgjidhje.
Duke zëvendësuar 3 x \u003d a, ky ekuacion reduktohet në një ekuacion kuadratik a 2 - 4a - 45 \u003d 0.
Duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë rrënjët e tij: a 1 \u003d 9, dhe 2 \u003d -5, nga ku 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
Ekuacioni 3 x \u003d 9 ka një rrënjë 2, dhe ekuacioni 3 x \u003d -5 nuk ka rrënjë, pasi funksioni eksponencial nuk mund të marrë vlera negative.
Përgjigju. x = 2.
Zgjidhje pabarazitë eksponenciale shpesh vjen deri te zgjidhja e mosbarazimeve a x > a b ose a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания funksioni eksponencial.
Le të shqyrtojmë disa detyra.
Zgjidh pabarazinë 3 x< 81.
Zgjidhje.
Mosbarazimin e shkruajmë në formën 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, atëherë funksioni y \u003d 3 x po rritet.
Prandaj, për x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Kështu, për x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Përgjigju. X< 4.
Zgjidheni pabarazinë 16 x +4 x - 2 > 0.
Zgjidhje.
Shënoni 4 x \u003d t, pastaj marrim pabarazia katrore t2 + t-2 > 0.
Kjo pabarazi vlen për t< -2 и при t > 1.
Meqenëse t = 4 x, marrim dy pabarazi 4 x< -2, 4 х > 1.
Pabarazia e parë nuk ka zgjidhje, pasi 4 x > 0 për të gjitha x ∈ R.
Ne shkruajmë pabarazinë e dytë në formën 4 x > 4 0, prej nga x > 0.
Përgjigju. x > 0.
Zgjidh grafikisht ekuacionin (1/3) x = x - 2/3.
Zgjidhje.
1) Le të vizatojmë grafikët e funksioneve y \u003d (1/3) x dhe y \u003d x - 2/3.
2) Bazuar në figurën tonë, mund të konkludojmë se grafikët e funksioneve të konsideruara kryqëzohen në një pikë me abshisën x ≈ 1. Verifikimi vërteton se
x \u003d 1 - rrënja e këtij ekuacioni:
(1/3) 1 = 1/3 dhe 1 - 2/3 = 1/3.
Me fjalë të tjera, ne kemi gjetur një nga rrënjët e ekuacionit. 
3) Gjeni rrënjë të tjera ose provoni se nuk ka. Funksioni (1/3) x po zvogëlohet, dhe funksioni y \u003d x - 2/3 po rritet. Prandaj, për x > 1, vlerat e funksionit të parë janë më të vogla se 1/3, dhe i dyti është më i madh se 1/3; në x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 dhe x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Përgjigju. x = 1.
Vini re se nga zgjidhja e këtij problemi, në veçanti, rezulton se pabarazia (1/3) x > x – 2/3 plotësohet për x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Vendimi i shumicës problemet e matematikës i lidhur disi me transformimin e shprehjeve numerike, algjebrike ose funksionale. Kjo vlen veçanërisht për zgjidhjen. Në variantet USE në matematikë, ky lloj detyre përfshin, në veçanti, detyrën C3. Të mësosh se si të zgjidhësh detyrat C3 është e rëndësishme jo vetëm për qëllime të suksesshme dhënien e provimit, por edhe për arsye se kjo aftësi është e dobishme gjatë studimit të një kursi matematike në arsimin e lartë.
Për kryerjen e detyrave C3, ju duhet të vendosni lloje te ndryshme ekuacionet dhe pabarazitë. Midis tyre janë racionale, irracionale, eksponenciale, logaritmike, trigonometrike, që përmbajnë module ( vlerat absolute), si dhe ato të kombinuara. Ky artikull diskuton llojet kryesore të ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale, si dhe metoda të ndryshme vendimet e tyre. Lexoni rreth zgjidhjes së llojeve të tjera të ekuacioneve dhe pabarazive në titullin "" në artikujt kushtuar metodave për zgjidhjen e problemeve C3 nga Përdorni opsionet matematikë.
Para se të vazhdohet me analizën e specifikave ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë, si mësues matematike, ju sugjeroj të mësoni disa nga materialet teorike që do të na nevojiten.
Funksioni eksponencial
Çfarë është një funksion eksponencial?
Shiko funksionin y = një x, ku a> 0 dhe a≠ 1, i quajtur funksioni eksponencial.
Kryesor vetitë e funksionit eksponencial y = një x:
Grafiku i një funksioni eksponencial
Grafiku i funksionit eksponencial është ekspozues:
Grafikët e funksioneve eksponenciale (eksponentë)
Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale
tregues quhen ekuacione në të cilat ndryshorja e panjohur gjendet vetëm në eksponentët e ndonjë fuqie.
Për zgjidhje ekuacionet eksponenciale ju duhet të dini dhe të jeni në gjendje të përdorni teoremën e mëposhtme të thjeshtë:
Teorema 1. ekuacioni eksponencial a f(x) = a g(x) (ku a > 0, a≠ 1) është ekuivalente me ekuacionin f(x) = g(x).
Për më tepër, është e dobishme të mbani mend formulat dhe veprimet themelore me gradë:
Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Shembulli 1 Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: përdorni formulat e mësipërme dhe zëvendësimin:
Ekuacioni atëherë bëhet:
Diskriminuesi i ekuacionit kuadratik që rezulton është pozitiv:
Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Kjo do të thotë se ky ekuacion ka dy rrënjë. Ne i gjejmë ato:
Duke u kthyer te zëvendësimi, marrim:
Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi funksioni eksponencial është rreptësisht pozitiv në të gjithë fushën e përkufizimit. Le të zgjidhim të dytën:
Duke marrë parasysh atë që u tha në Teoremën 1, kalojmë në ekuacionin ekuivalent: x= 3. Kjo do të jetë përgjigja e detyrës.
Përgjigje: x = 3.
Shembulli 2 Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: kufizimet e zonës vlerat e lejuara ekuacioni nuk ka, pasi shprehja radikale ka kuptim për çdo vlerë x(funksioni eksponencial y = 9 4 -x pozitive dhe jo e barabartë me zero).
Ne e zgjidhim ekuacionin me transformime ekuivalente duke përdorur rregullat e shumëzimit dhe ndarjes së fuqive:
Tranzicioni i fundit u krye në përputhje me Teoremën 1.
Përgjigje:x= 6.
Shembulli 3 Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: të dyja anët e ekuacionit origjinal mund të ndahen me 0.2 x. Ky tranzicion do të jetë ekuivalent, pasi kjo shprehje është më e madhe se zero për çdo vlerë x(funksioni eksponencial është rreptësisht pozitiv në domenin e tij). Atëherë ekuacioni merr formën:
Përgjigje: x = 0.
Shembulli 4 Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: ne thjeshtojmë ekuacionin në një elementar me transformime ekuivalente duke përdorur rregullat e ndarjes dhe shumëzimit të fuqive të dhëna në fillim të artikullit:
Pjesëtimi i të dyja anët e ekuacionit me 4 x, si në shembullin e mëparshëm, është një transformim ekuivalent, pasi shprehje e dhënë jo e barabartë me zero për asnjë vlerë x.
Përgjigje: x = 0.
Shembulli 5 Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: funksionin y = 3x, duke qëndruar në anën e majtë të ekuacionit, po rritet. Funksioni y = —x-2/3, duke qëndruar në anën e djathtë të ekuacionit, është në rënie. Kjo do të thotë se nëse grafikët e këtyre funksioneve kryqëzohen, atëherë më së shumti në një pikë. Në këtë rast, është e lehtë të merret me mend se grafikët kryqëzohen në pikë x= -1. Nuk do të ketë rrënjë të tjera.
Përgjigje: x = -1.
Shembulli 6 Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: ne thjeshtojmë ekuacionin me transformime ekuivalente, duke pasur parasysh kudo se funksioni eksponencial është rreptësisht më i madh se zero për çdo vlerë x dhe duke përdorur rregullat për llogaritjen e produktit dhe fuqive të pjesshme të dhëna në fillim të artikullit:
Përgjigje: x = 2.
Zgjidhja e pabarazive eksponenciale
tregues quhen pabarazi në të cilat ndryshorja e panjohur përmbahet vetëm në eksponentët e disa fuqive.
Për zgjidhje pabarazitë eksponenciale kërkohet njohja e teoremës së mëposhtme:
Teorema 2. Nëse a> 1, pastaj pabarazia a f(x) > a g(x) është ekuivalente me një pabarazi me të njëjtin kuptim: f(x) > g(x). Nëse 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) është ekuivalente me një pabarazi me kuptim të kundërt: f(x) < g(x).
Shembulli 7 Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja: paraqesin pabarazinë origjinale në formën:
Pjesëtoni të dyja pjesët e kësaj pabarazie me 3 2 x, dhe (për shkak të pozitivitetit të funksionit y= 3 2x) shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë:
Le të përdorim një zëvendësim:
Atëherë pabarazia merr formën:
Pra, zgjidhja e pabarazisë është intervali:
duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, marrim:
Pabarazia e majtë, për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial, plotësohet automatikisht. Duke përfituar pasuri e njohur logaritmi, kalojmë në pabarazinë ekuivalente:
Meqenëse baza e shkallës është një numër më i madh se një, ekuivalent (nga Teorema 2) do të jetë kalimi në pabarazinë e mëposhtme:
Kështu që më në fund arrijmë përgjigje:
Shembulli 8 Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja: duke përdorur vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit të fuqive, ne rishkruajmë pabarazinë në formën:
Le të prezantojmë një ndryshore të re:
Me këtë zëvendësim, pabarazia merr formën:
Shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 7, marrim pabarazinë ekuivalente të mëposhtme:
Pra, pabarazia plotësohet nga vlerat e mëposhtme të ndryshores t:
Pastaj, duke u kthyer te zëvendësimi, marrim:
Meqenëse baza e shkallës këtu është më e madhe se një, është ekuivalente (nga Teorema 2) të kalohet në pabarazi:
Më në fund arrijmë përgjigje:
Shembulli 9 Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja:
Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me shprehjen:
Është gjithmonë më i madh se zero (sepse funksioni eksponencial është pozitiv), kështu që shenja e pabarazisë nuk ka nevojë të ndryshohet. Ne marrim:
t , të cilat janë në intervalin:
Duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, gjejmë se pabarazia origjinale ndahet në dy raste:
Pabarazia e parë nuk ka zgjidhje për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial. Le të zgjidhim të dytën:
Shembulli 10 Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja:
Degët e parabolës y = 2x+2-x 2 janë të drejtuara poshtë, prandaj kufizohet nga lart nga vlera që arrin në kulmin e saj:
Degët e parabolës y = x 2 -2x+2, që është në tregues, janë të drejtuara lart, që do të thotë se kufizohet nga poshtë nga vlera që arrin në majë:
Në të njëjtën kohë, funksioni rezulton të jetë i kufizuar nga poshtë y = 3 x 2 -2x+2 në anën e djathtë të ekuacionit. Ajo arrin vlerën e saj më të vogël në të njëjtën pikë me parabolën në eksponent, dhe kjo vlerë është 3 1 = 3. Pra, pabarazia fillestare mund të jetë e vërtetë vetëm nëse funksioni në të majtë dhe funksioni në të djathtë marrin vlerën , e barabartë me 3 (prerja e diapazoneve të këtyre funksioneve është vetëm ky numër). Ky kusht plotësohet në një pikë të vetme x = 1.
Përgjigje: x= 1.
Për të mësuar se si të zgjidhni ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë, ju duhet të stërviteni vazhdimisht në zgjidhjen e tyre. Në këtë çështje të vështirë, të ndryshme mjete mësimore, libra me probleme për matematikë elementare, koleksione detyrash konkurruese, orët e matematikës në shkollë, si dhe seanca individuale me një mësues profesionist. Ju uroj sinqerisht suksese në përgatitjen tuaj dhe rezultate të shkëlqyera në provim.
Sergej Valerieviç
P.S. Të dashur të ftuar! Ju lutemi mos shkruani kërkesa për zgjidhjen e ekuacioneve tuaja në komente. Fatkeqësisht, nuk kam fare kohë për këtë. Mesazhe të tilla do të fshihen. Ju lutemi lexoni artikullin. Ndoshta në të do të gjeni përgjigje për pyetjet që nuk ju lejuan të zgjidhni vetë detyrën tuaj.
dhe x = b është më e thjeshta ekuacioni eksponencial. Në të a më i madh se zero dhe a nuk është e barabartë me një.
Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale
Nga vetitë e funksionit eksponencial, ne e dimë se diapazoni i vlerave të tij është i kufizuar në numra realë pozitivë. Atëherë nëse b = 0, ekuacioni nuk ka zgjidhje. E njëjta situatë ndodh edhe në ekuacionin ku b
Tani le të supozojmë se b>0. Nëse në një funksion eksponencial baza a më i madh se një, atëherë funksioni do të rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nëse në funksionin eksponencial për bazën a bërë kushti tjetër 0 Bazuar në këtë dhe duke zbatuar teoremën e rrënjës, marrim se ekuacioni a x = b ka një rrënjë të vetme, për b>0 dhe pozitive a jo e barabartë me një. Për ta gjetur atë, ju duhet të përfaqësoni b në formën b = a c. Merrni shembullin e mëposhtëm: zgjidhni ekuacionin 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25. Le të përfaqësojmë 25 si 5 2, marrim: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 . Ose çfarë është ekuivalente: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Ne e zgjidhim atë të marrë ekuacioni kuadratik me ndonjë nga metodat e njohura. Marrim dy rrënjë x = 3 dhe x = -1. Përgjigje: 3;-1. Le të zgjidhim ekuacionin 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Bëjmë një zëvendësim: t=2 x dhe marrim ekuacionin kuadratik të mëposhtëm: t 2 - 5 * t + 4 = 0. Tani zgjidhim ekuacionet 2 x = 1 dhe 2 x = 4. Përgjigje: 0; 2. Zgjidhja e pabarazive më të thjeshta eksponenciale bazohet gjithashtu në vetitë e funksioneve rritëse dhe zvogëluese. Nëse në një funksion eksponencial baza a është më e madhe se një, atëherë funksioni do të rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nëse në funksionin eksponencial për bazën a plotësohet kushti i mëposhtëm 0 Merrni një shembull: zgjidhni pabarazinë (0.5) (7 - 3*x)< 4. Vini re se 4 = (0.5) 2 . Pastaj pabarazia merr formën (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Marrim: 7 - 3*x>-2. Nga këtu: x<3. Përgjigje: x<3. Nëse në pabarazi baza ishte më e madhe se një, atëherë kur të hiqni qafe bazën, shenja e pabarazisë nuk do të kishte nevojë të ndryshohej.
Atëherë është e qartë se Me do të jetë një zgjidhje e ekuacionit a x = a c.
Ne e zgjidhim këtë ekuacion me ndonjë nga metodat e njohura. Marrim rrënjët t1 = 1 t2 = 4Zgjidhja e pabarazive eksponenciale