Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale. Shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Cfare ndodhi ekuacioni eksponencial? Ky është një ekuacion në të cilin janë të panjohurat (x) dhe shprehjet me to treguesit disa gradë. Dhe vetëm atje! Është e rëndësishme.

Ja ku qenke shembuj ekuacionet eksponenciale :

3 x 2 x = 8 x+3

Shënim! Në bazë të shkallëve (më poshtë) - vetëm numra. NË treguesit gradë (sipër) - një shumëllojshmëri e gjerë shprehjesh me një X. Nëse, papritmas, një X shfaqet në ekuacion diku tjetër përveç një treguesi, për shembull:

ky do të jetë një ekuacion lloj i përzier. Ekuacione të tilla nuk kanë rregulla të qarta për zgjidhjen e tyre. Ne nuk do t'i konsiderojmë ato për momentin. Këtu do të merremi me zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale në formën e tij më të pastër.

Në fakt, edhe ekuacionet e pastra eksponenciale nuk zgjidhen gjithmonë qartë. Por ka disa lloje ekuacionesh eksponenciale që mund dhe duhet të zgjidhen. Këto janë llojet që do të shqyrtojmë.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta eksponenciale.

Së pari, le të zgjidhim diçka shumë themelore. Për shembull:

Edhe pa ndonjë teori, me përzgjedhje të thjeshtë është e qartë se x = 2. Asgjë më shumë, apo jo!? Asnjë vlerë tjetër e X nuk funksionon. Tani le të shohim zgjidhjen e këtij ekuacioni të ndërlikuar eksponencial:

Çfarë kemi bërë? Ne, në fakt, thjesht hodhëm të njëjtat baza (treshe). Plotësisht i hedhur jashtë. Dhe, lajmi i mirë është se kemi goditur gozhdën në kokë!

Në të vërtetë, nëse në një ekuacion eksponencial ka majtas dhe djathtas e njëjta numra në çdo fuqi, këta numra mund të hiqen dhe eksponentët mund të barazohen. Matematika lejon. Mbetet për të zgjidhur një ekuacion shumë më të thjeshtë. E shkëlqyeshme, apo jo?)

Sidoqoftë, le të kujtojmë me vendosmëri: Ju mund të hiqni bazat vetëm kur numrat bazë majtas dhe djathtas janë në izolim të shkëlqyeshëm! Pa asnjë fqinj dhe koeficient. Le të themi në ekuacione:

2 x +2 x+1 = 2 3, ose

dyshat nuk mund të hiqen!

Epo, ne kemi zotëruar gjënë më të rëndësishme. Si të kalojmë nga shprehjet e liga eksponenciale në ekuacione më të thjeshta.

"Këto janë kohët!" - ti thua. "Kush do të jepte një mësim kaq primitiv për testet dhe provimet!"

Unë duhet të pajtohem. Askush nuk do. Por tani ju e dini se ku të synoni kur zgjidhni shembuj të ndërlikuar. Duhet të sillet në formularin ku i njëjti numër bazë është majtas dhe djathtas. Atëherë gjithçka do të jetë më e lehtë. Në fakt, ky është një klasik i matematikës. Marrim shembullin origjinal dhe e transformojmë në atë të dëshiruar ne mendjen. Sipas rregullave të matematikës, sigurisht.

Le të shohim shembuj që kërkojnë disa përpjekje shtesë për t'i reduktuar ato në më të thjeshtat. Le t'i thërrasim ata ekuacione të thjeshta eksponenciale.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta eksponenciale. Shembuj.

Kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale, rregullat kryesore janë veprimet me gradë. Pa njohuri për këto veprime asgjë nuk do të funksionojë.

Veprimeve me gradë, duhet shtuar vëzhgimi dhe zgjuarsia personale. Ne kërkojmë numra të njëjtë- bazat? Pra, ne i kërkojmë ato në shembull në formë të qartë ose të koduar.

Le të shohim se si bëhet kjo në praktikë?

Le të na jepet një shembull:

2 2x - 8 x+1 = 0

Vështrimi i parë i mprehtë është në bazat. Ata... Ata janë të ndryshëm! Dy dhe tetë. Por është shumë herët për t'u dekurajuar. Është koha për ta kujtuar atë

Dy dhe tetë janë të afërm në shkallë.) Është mjaft e mundur të shkruhet:

8 x+1 = (2 3) x+1

Nëse kujtojmë formulën nga operacionet me gradë:

(a n) m = a nm,

kjo funksionon shkëlqyeshëm:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Shembulli origjinal filloi të dukej kështu:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Ne transferojmë 2 3 (x+1) në të djathtë (askush nuk i ka anuluar veprimet elementare të matematikës!), marrim:

2 2x = 2 3(x+1)

Kjo është praktikisht e gjitha. Heqja e bazave:

Ne e zgjidhim këtë përbindësh dhe marrim

Kjo është përgjigja e saktë.

Në këtë shembull, njohja e fuqive të dyve na ndihmoi. ne identifikuar në tetë ka një dy të koduar. Kjo teknikë (kriptimi i bazave të përbashkëta nën numra të ndryshëm) është një teknikë shumë e njohur në ekuacionet eksponenciale! Po, dhe në logaritme gjithashtu. Ju duhet të jeni në gjendje të njihni fuqitë e numrave të tjerë në numra. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.

Fakti është se ngritja e çdo numri në çdo fuqi nuk është problem. Shumëzojeni, edhe në letër, dhe kaq. Për shembull, çdokush mund të ngrejë 3 në fuqinë e pestë. 243 do të funksionojë nëse e dini tabelën e shumëzimit.) Por në ekuacionet eksponenciale, shumë më shpesh nuk është e nevojshme të ngrihet në një fuqi, por anasjelltas... Zbuloni çfarë numri në çfarë shkalle fshihet pas numrit 243, ose, le të themi, 343... Asnjë kalkulator nuk do t'ju ndihmojë këtu.

Ju duhet të dini fuqitë e disa numrave me shikim, apo jo... Le të praktikojmë?

Përcaktoni çfarë fuqie dhe çfarë numrash janë numrat:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Përgjigjet (në një rrëmujë, sigurisht!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Nëse shikoni nga afër, mund të shihni një fakt të çuditshëm. Ka shumë më shumë përgjigje sesa detyra! Epo, ndodh... Për shembull, 2 6, 4 3, 8 2 - kjo është e gjitha 64.

Le të supozojmë se keni marrë shënim informacionin për njohjen me numrat.) Më lejoni t'ju kujtoj gjithashtu se për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale ne përdorim të gjitha stoku i njohurive matematikore. Përfshirë ata nga klasat e reja dhe të mesme. Nuk shkove direkt në shkollën e mesme, apo jo?)

Për shembull, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave shpesh ndihmon (përshëndetje në klasën e 7-të!). Le të shohim një shembull:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dhe përsëri, vështrimi i parë është te themelet! Bazat e gradave janë të ndryshme... Tre dhe nëntë. Por ne duam që ata të jenë të njëjtë. Epo, në këtë rast dëshira plotësohet plotësisht!) Sepse:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Përdorimi i të njëjtave rregulla për trajtimin e diplomave:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Kjo është e mrekullueshme, mund ta shkruani:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Ne dhamë një shembull të në të njëjtat arsye. Pra, çfarë është më pas!? Nuk mund të hedhësh treshe... Rrugë pa krye?

Aspak. Mos harroni rregullin më universal dhe më të fuqishëm të vendimit të gjithë Detyrat e matematikës:

Nëse nuk e dini se çfarë keni nevojë, bëni atë që mundeni!

Shikoni, gjithçka do të funksionojë).

Çfarë është në këtë ekuacion eksponencial Mund bëj? Po, në anën e majtë thjesht kërkon të hiqet nga kllapat! Shumëzuesi i përgjithshëm prej 3 2x lë të kuptohet qartë për këtë. Le të provojmë dhe pastaj do të shohim:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Shembulli vazhdon të bëhet gjithnjë e më i mirë!

Kujtojmë se për të eliminuar bazat na duhet një diplomë e pastër, pa asnjë koeficient. Numri 70 na shqetëson. Pra, ne ndajmë të dy anët e ekuacionit me 70, marrim:

Oops! Gjithçka u bë më mirë!

Kjo është përgjigja përfundimtare.

Ndodh megjithatë që taksimi në të njëjtën bazë arrihet, por eliminimi i tyre nuk është i mundur. Kjo ndodh në llojet e tjera të ekuacioneve eksponenciale. Le të zotërojmë këtë lloj.

Zëvendësimi i një ndryshoreje në zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale. Shembuj.

Le të zgjidhim ekuacionin:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Së pari - si zakonisht. Le të kalojmë në një bazë. Për një dredhi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ne marrim ekuacionin:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dhe këtu rrimë. Teknikat e mëparshme nuk do të funksionojnë, pavarësisht se si e shikoni. Ne do të duhet të nxjerrim një tjetër metodë të fuqishme dhe universale nga arsenali ynë. Quhet zëvendësim i ndryshueshëm.

Thelbi i metodës është çuditërisht i thjeshtë. Në vend të një ikone komplekse (në rastin tonë - 2 x) ne shkruajmë një tjetër, më të thjeshtë (për shembull - t). Një zëvendësim i tillë në dukje i pakuptimtë çon në rezultate të mahnitshme!) Gjithçka thjesht bëhet e qartë dhe e kuptueshme!

Pra le

Pastaj 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Në ekuacionin tonë ne zëvendësojmë të gjitha fuqitë me x me t:

Epo, a ju ka gdhirë?) A i keni harruar ende ekuacionet kuadratike? Duke zgjidhur përmes diskriminuesit, marrim:

Gjëja kryesore këtu është të mos ndalemi, siç ndodh... Kjo nuk është ende përgjigja, ne kemi nevojë për x, jo për t. Le të kthehemi te X-të, d.m.th. ne bëjmë një zëvendësim të kundërt. Së pari për t 1:

Kjo eshte,

U gjet një rrënjë. Ne jemi duke kërkuar për të dytin nga t 2:

Hm... 2 x majtas, 1 djathtas... Problem? Aspak! Mjafton të kujtojmë (nga operacionet me fuqi, po...) se një njësi është ndonjë numër në fuqinë zero. Çdo. Çfarëdo që të nevojitet, ne do ta instalojmë. Na duhen dy. Do të thotë:

Kjo është ajo tani. Ne kemi 2 rrënjë:

Kjo është përgjigja.

Në zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale në fund ndonjëherë përfundoni me një lloj shprehjeje të vështirë. Lloji:

Nga shtatë në dy deri shkallë e thjeshtë nuk punon. Ata nuk janë të afërm... Si mund të jemi? Dikush mund të jetë i hutuar... Por personi që lexoi në këtë faqe temën "Çfarë është logaritmi?" , thjesht buzëqeshni me masë dhe shkruani me një dorë të qëndrueshme përgjigje absolutisht e saktë:

Nuk mund të ketë një përgjigje të tillë në detyrat "B" në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Aty kërkohet një numër specifik. Por në detyrat "C" është e lehtë.

Ky mësim jep shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale më të zakonshme. Le të theksojmë pikat kryesore.

Këshilla praktike:

1. Para së gjithash, ne shikojmë bazat gradë. Po pyesim veten nëse është e mundur t'i bëjmë ato identike. Le të përpiqemi ta bëjmë këtë duke përdorur në mënyrë aktive veprimet me gradë. Mos harroni se edhe numrat pa x mund të shndërrohen në fuqi!

2. Mundohemi ta sjellim ekuacionin eksponencial në formë kur në të majtë dhe në të djathtë ka e njëjta numra në çdo fuqi. Ne përdorim veprimet me gradë Dhe faktorizimi.Çfarë mund të numërohet në numra, ne numërojmë.

3. Nëse këshilla e dytë nuk funksionon, provoni të përdorni zëvendësimin e variablave. Rezultati mund të jetë një ekuacion që mund të zgjidhet lehtësisht. Më shpesh - katror. Ose fraksionale, e cila gjithashtu zvogëlohet në katror.

4. Për të zgjidhur me sukses ekuacionet eksponenciale, duhet të dini fuqitë e disa numrave me shikim.

Si zakonisht, në fund të orës së mësimit ftoheni të vendosni pak.) Vetë. Nga e thjeshta në komplekse.

Zgjidh ekuacionet eksponenciale:

Më i vështirë:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Gjeni produktin e rrënjëve:

2 3 + 2 x = 9

Ka ndodhur?

Epo atëherë shembulli më i ndërlikuar(vendosi, megjithatë, në mendje ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Çfarë është më interesante? Atëherë këtu është një shembull i keq për ju. Mjaft i denjë për rritjen e vështirësisë. Më lejoni të lë të kuptohet se në këtë shembull, ajo që ju shpëton është zgjuarsia dhe rregulli më universal për zgjidhjen e të gjitha problemeve matematikore.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Një shembull më i thjeshtë, për relaksim):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dhe për ëmbëlsirë. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Po Po! Ky është një ekuacion i tipit të përzier! Të cilat nuk i morëm parasysh në këtë mësim. Pse t'i konsideroni ato, ato duhet të zgjidhen!) Ky mësim është mjaft i mjaftueshëm për të zgjidhur ekuacionin. Epo, keni nevojë për zgjuarsi... Dhe mund t'ju ndihmojë klasa e shtatë (kjo është një aluzion!).

Përgjigjet (në rrëmujë, të ndara me pikëpresje):

1; 2; 3; 4; nuk ka zgjidhje; 2; -2; -5; 4; 0.

A është gjithçka e suksesshme? E madhe.

Ka një problem? Nuk ka problem! Seksioni special 555 zgjidh të gjitha këto ekuacione eksponenciale me shpjegime të hollësishme. Çfarë, pse dhe pse. Dhe, sigurisht, ka informacion shtesë të vlefshëm për punën me të gjitha llojet e ekuacioneve eksponenciale. Jo vetëm këto.)

Një pyetje e fundit argëtuese për t'u marrë parasysh. Në këtë mësim kemi punuar me ekuacione eksponenciale. Pse nuk thashë asnjë fjalë për ODZ këtu? Në ekuacione, kjo është një gjë shumë e rëndësishme, meqë ra fjala...

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Niveli i parë

Ekuacionet eksponenciale. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Përshëndetje! Sot do të diskutojmë me ju se si të zgjidhim ekuacionet që mund të jenë elementare (dhe shpresoj që pas leximit të këtij artikulli, pothuajse të gjitha do të jenë kështu për ju), dhe ato që zakonisht jepen "për mbushje". Me sa duket më në fund do të flejë. Por unë do të përpiqem të bëj gjithçka që është e mundur në mënyrë që tani të mos futeni në telashe kur përballeni me këtë lloj ekuacionesh. Nuk do të rrah më shkurret, do ta hap menjëherë sekret i vogël: sot do të studiojmë ekuacionet eksponenciale.

Përpara se të kaloni në analizimin e mënyrave për t'i zgjidhur ato, unë do t'ju përshkruaj menjëherë një sërë pyetjesh (mjaft të vogla) që duhet t'i përsërisni përpara se të nxitoni për të sulmuar këtë temë. Pra, për të marrë rezultati më i mirë, Ju lutem, përsëris:

1. Vetitë dhe
2. Zgjidhja dhe ekuacionet

Përsëritet? E mahnitshme! Atëherë nuk do ta keni të vështirë të vini re se rrënja e ekuacionit është një numër. A e kuptoni saktësisht se si e bëra? A është e vërtetë? Pastaj le të vazhdojmë. Tani përgjigjuni pyetjes sime, çfarë është e barabartë me fuqinë e tretë? Ti ke absolutisht te drejtë: . Cila fuqi e dy është tetë? Kjo është e drejtë - e treta! Sepse. Epo, tani le të përpiqemi të zgjidhim problemin e mëposhtëm: Më lejoni të shumëzoj numrin me vete një herë dhe të marr rezultatin. Pyetja është, sa herë kam shumëzuar me veten time? Sigurisht, ju mund ta kontrolloni këtë drejtpërdrejt:

\fillim(rreshtoj) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \fund( rreshtoj)

Atëherë mund të konkludoni se unë kam shumëzuar me veten time herë. Si tjetër mund ta kontrolloni këtë? Ja se si: drejtpërdrejt sipas përkufizimit të shkallës: . Por, duhet ta pranoni, nëse do të pyesja se sa herë duhen shumëzuar dy vetvetiu për të marrë, le të themi, do të më thoshit: Unë nuk do ta mashtroj veten dhe do të shumohem në vetvete derisa të jem blu në fytyrë. Dhe ai do të kishte absolutisht të drejtë. Sepse si mundesh shkruani shkurtimisht të gjitha hapat(dhe shkurtësia është motra e talentit)

ku - këto janë të njëjtat "herë", kur shumëzoni në vetvete.

Unë mendoj se ju e dini (dhe nëse nuk e dini, përsëritni urgjentisht, shumë urgjentisht shkallët!) se atëherë problemi im do të shkruhet në formën:

Si mund të konkludoni në mënyrë të arsyeshme se:

Kështu, pa u vënë re, shkruajta më të thjeshtat ekuacioni eksponencial:

Dhe madje e gjeta rrënjë. A nuk mendoni se gjithçka është krejtësisht e parëndësishme? Unë mendoj saktësisht të njëjtën gjë. Këtu është një shembull tjetër për ju:

Por çfarë duhet bërë? Në fund të fundit, nuk mund të shkruhet si fuqi e një numri (të arsyeshëm). Le të mos dëshpërohemi dhe të vërejmë se të dy këta numra shprehen në mënyrë të përsosur përmes fuqisë së të njëjtit numër. Cila? E drejta:. Pastaj ekuacioni origjinal shndërrohet në formën:

Ku, siç e keni kuptuar tashmë,. Le të mos vonojmë më dhe ta shkruajmë përkufizimi:

Në rastin tonë: .

Këto ekuacione zgjidhen duke i reduktuar në formën:

e ndjekur nga zgjidhja e ekuacionit

Në fakt, në shembullin e mëparshëm bëmë pikërisht këtë: morëm sa vijon: Dhe ne zgjidhëm ekuacionin më të thjeshtë.

Duket si asgjë e komplikuar, apo jo? Le të praktikojmë së pari më të thjeshtat shembuj:

Ne përsëri shohim se anët e djathta dhe të majta të ekuacionit duhet të përfaqësohen si fuqi të një numri. Vërtetë, në të majtë kjo tashmë është bërë, por në të djathtë ka një numër. Por është në rregull, sepse ekuacioni im do të shndërrohet mrekullisht në këtë:

Çfarë duhej të përdorja këtu? Çfarë rregulli? Rregulli i "gradave brenda gradave" e cila lexon:

Po nese:

Përpara se t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje, le të plotësojmë tabelën e mëposhtme:

Është e lehtë për ne të vërejmë se sa më e vogël, aq më e vogël është vlera, por megjithatë, të gjitha këto vlera janë më të mëdha se zero. DHE DO TË JETË GJITHMONË KAQ!!! E njëjta pronë është e vërtetë PËR ÇDO BAZË ME NDONJË TREGUES!! (për çdo dhe). Atëherë çfarë mund të konkludojmë për ekuacionin? Ja çfarë është: ajo nuk ka rrënjë! Ashtu si çdo ekuacion nuk ka rrënjë. Tani le të praktikojmë dhe Le të zgjidhim shembuj të thjeshtë:

Le të kontrollojmë:

1. Këtu nuk do të kërkohet asgjë nga ju, përveç njohjes së vetive të gradave (që, meqë ra fjala, ju kërkova ta përsërisni!) Si rregull, gjithçka të çon në bazën më të vogël: , . Atëherë ekuacioni origjinal do të jetë i barabartë me sa vijon: Gjithçka që më nevojitet është të përdor vetitë e fuqive: Gjatë shumëzimit të numrave me baza të njëjta, fuqitë mblidhen dhe kur pjesëtohen, zbriten. Atëherë unë do të marr: Epo, tani me një ndërgjegje të pastër do të kaloj nga ekuacioni eksponencial në atë linear: \filloj(radhis)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\fund (radhis)

2. Në shembullin e dytë, duhet të jemi më të kujdesshëm: problemi është se në anën e majtë nuk mund të përfaqësojmë të njëjtin numër si fuqi. Në këtë rast ndonjëherë është e dobishme paraqesin numrat si produkt i fuqive me baza të ndryshme, por me eksponentë të njëjtë:

Ana e majtë e ekuacionit do të duket si: Çfarë na dha kjo? Ja çfarë: Numrat me baza të ndryshme por eksponentë të njëjtë mund të shumëzohen.Në këtë rast, bazat shumëzohen, por treguesi nuk ndryshon:

Në situatën time kjo do të japë:

\filloj (radhis)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\fund (radhis)

Jo keq, apo jo?

3. Nuk më pëlqen kur, pa qenë nevoja, kam dy terma në njërën anë të ekuacionit dhe asnjë në anën tjetër (ndonjëherë, sigurisht, kjo është e justifikuar, por tani nuk është një rast i tillë). Do ta zhvendos termin minus djathtas:

Tani, si më parë, unë do të shkruaj gjithçka për sa i përket fuqive të tre:

Shtoj shkallët në të majtë dhe marr një ekuacion të barabartë

Ju mund ta gjeni lehtësisht rrënjën e saj:

4. Si në shembullin tre, termi minus ka një vend në anën e djathtë!

Në të majtën time, pothuajse gjithçka është në rregull, përveç çfarë? Po, “shkalla e gabuar” e të dyve po më shqetëson. Por këtë mund ta rregulloj lehtësisht duke shkruar: . Eureka - në të majtë të gjitha bazat janë të ndryshme, por të gjitha shkallët janë të njëjta! Le të shumohemi menjëherë!

Këtu përsëri gjithçka është e qartë: (nëse nuk e kuptoni se si e mora me magji barazinë e fundit, bëni një pushim një minutë, merrni frymë dhe lexoni përsëri vetitë e gradës me shumë kujdes. Kush tha që mund të kaloni një shkalla me një eksponent negativ? Epo, këtu jam për të njëjtën gjë si askush). Tani do të marr:

\filloj (radhis)
& ((2)^(4\majtas((x) -9 \djathtas)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\fund (radhis)

Këtu janë disa probleme për t'u praktikuar, të cilave unë do t'u jap vetëm përgjigjet (por në një formë "të përzier"). Zgjidhini ato, kontrolloni ato, dhe ju dhe unë do të vazhdojmë kërkimin tonë!

Gati? Përgjigjet si këto:

1. çdo numër

Mirë, mirë, bëra shaka! Këtu janë disa skica zgjidhjesh (disa shumë të shkurtra!)

A nuk mendoni se nuk është rastësi që një fraksion në të majtë është tjetra "e përmbysur"? Do të ishte mëkat të mos përfitonim nga kjo:

Ky rregull përdoret shumë shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, mbajeni mend mirë!

Atëherë ekuacioni origjinal do të bëhet si ky:

Pasi vendosi këtë ekuacioni kuadratik, do të merrni këto rrënjë:

2. Një zgjidhje tjetër: pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me shprehjen majtas (ose djathtas). Ndani me atë që është në të djathtë, atëherë marr:

Ku (pse?!)

3. As që dua të përsëris veten, gjithçka tashmë është "përtypur" aq shumë.

4. ekuivalente me një ekuacion kuadratik, rrënjët

5. Ju duhet të përdorni formulën e dhënë në problemin e parë, atëherë do të merrni se:

Ekuacioni është kthyer në një identitet të parëndësishëm që është i vërtetë për cilindo. Atëherë përgjigja është çdo numër real.

Epo, tani ju keni praktikuar zgjidhjen ekuacione të thjeshta eksponenciale. Tani dua t'ju jap disa shembuj jete, të cilat do t'ju ndihmojnë të kuptoni pse ato janë të nevojshme në parim. Këtu do të jap dy shembuj. Njëra prej tyre është mjaft e përditshme, por tjetra ka më shumë gjasa të jetë me interes shkencor dhe jo praktik.

Shembulli 1 (merkantil) Le të kesh rubla, por dëshiron ta kthesh në rubla. Banka ju ofron t'i merrni këto para me një normë vjetore me kapitalizim mujor të interesit (akruale mujore). Pyetja është, për sa muaj ju duhet të hapni një depozitë për të arritur shumën përfundimtare të kërkuar? Një detyrë mjaft e zakonshme, apo jo? Megjithatë, zgjidhja e saj shoqërohet me ndërtimin e ekuacionit eksponencial përkatës: Le të - shuma fillestare, - shuma përfundimtare, - norma e interesit për periudhën, - numri i periudhave. Pastaj:

Në rastin tonë (nëse norma është vjetore, atëherë ajo llogaritet në muaj). Pse ndahet me? Nëse nuk e dini përgjigjen për këtë pyetje, mbani mend temën ""! Atëherë marrim këtë ekuacion:

Ky ekuacion eksponencial mund të zgjidhet vetëm duke përdorur një kalkulator (saj pamjen lë të kuptohet për këtë, dhe kjo kërkon njohuri për logaritmet, me të cilat do të njihemi pak më vonë), të cilën do ta bëj: ... Kështu, për të marrë një milion, do të duhet të bëjmë një depozitë për një muaj ( jo shumë shpejt, apo jo?).

Shembulli 2 (më tepër shkencor). Megjithë "izolimin" e tij të caktuar, ju rekomandoj t'i kushtoni vëmendje: ai rregullisht "rrëshqet në Provimin e Unifikuar të Shtetit!! (problemi është marrë nga versioni "real") Gjatë zbërthimit të një izotopi radioaktiv, masa e tij zvogëlohet sipas ligjit, ku (mg) është masa fillestare e izotopit, (min.) është koha e kaluar nga momenti fillestar, (min.) është gjysma e jetës. Në momentin fillestar të kohës, masa e izotopit është mg. Gjysma e jetës së tij është min. Pas sa minutash masa e izotopit do të jetë e barabartë me mg? Është në rregull: ne thjesht marrim dhe zëvendësojmë të gjitha të dhënat në formulën e propozuar:

Le t'i ndajmë të dyja pjesët me "me shpresën" se në të majtë do të marrim diçka të tretshme:

Epo, ne jemi shumë me fat! Është në të majtë, pastaj le të kalojmë në ekuacionin ekuivalent:

Ku është min.

Siç mund ta shihni, ekuacionet eksponenciale kanë zbatime shumë reale në praktikë. Tani dua t'ju tregoj një mënyrë tjetër (të thjeshtë) për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale, e cila bazohet në nxjerrjen e faktorit të përbashkët nga kllapat dhe më pas grupimin e termave. Mos u trembni nga fjalët e mia, këtë metodë e keni hasur tashmë në klasën e 7-të kur keni studiuar polinomet. Për shembull, nëse duhet të faktorizoni shprehjen:

Le të grupojmë: termat e parë dhe të tretë, si dhe të dytin dhe të katërt. Është e qartë se e para dhe e treta janë ndryshimi i katrorëve:

dhe i dyti dhe i katërti kanë një faktor të përbashkët prej tre:

Atëherë shprehja origjinale është ekuivalente me këtë:

Ku të nxirret faktori i përbashkët nuk është më i vështirë:

Prandaj,

Kjo është përafërsisht ajo që do të bëjmë kur zgjidhim ekuacionet eksponenciale: kërkoni "përbashkësinë" midis termave dhe hiqeni atë nga kllapat, dhe më pas - sido që të ndodhë, besoj se do të jemi me fat =)) Për shembull:

Në të djathtë është larg nga të qenit një fuqi prej shtatë (kam kontrolluar!) Dhe në të majtë - është pak më mirë, ju, natyrisht, mund të "prisni" faktorin a nga i dyti nga mandati i parë, dhe më pas të merreni me atë që keni, por le të jemi më të matur me ju. Nuk dua të merrem me thyesat që formohen në mënyrë të pashmangshme kur "zgjedh" , kështu që a nuk duhet ta heq atë? Atëherë nuk do të kem asnjë fraksion: siç thonë ata, ujqërit ushqehen dhe delet janë të sigurta:

Llogaritni shprehjen në kllapa. Në mënyrë magjike, magjike, rezulton se (çuditërisht, edhe pse çfarë duhet të presim tjetër?).

Pastaj zvogëlojmë të dyja anët e ekuacionit me këtë faktor. Ne marrim: , nga.

Këtu është një shembull më i komplikuar (me të vërtetë paksa):

Çfarë problemi! Ne nuk kemi një pikë të përbashkët këtu! Nuk është plotësisht e qartë se çfarë duhet bërë tani. Le të bëjmë atë që mundemi: së pari, lëvizim "katër" në njërën anë dhe "pesë" në anën tjetër:

Tani le të nxjerrim "gjeneralin" majtas dhe djathtas:

Pra, çfarë tani? Cili është përfitimi i një grupi kaq budallenj? Në pamje të parë nuk duket fare, por le të shohim më thellë:

Epo, tani do të sigurohemi që në të majtë të kemi vetëm shprehjen c, dhe në të djathtë - gjithçka tjetër. Si ta bëjmë këtë? Ja se si: Ndani të dyja anët e ekuacionit fillimisht me (kështu që të heqim qafe eksponentin në të djathtë), dhe më pas ndajmë të dyja anët me (kështu që ne heqim qafe faktorin numerik në të majtë). Më në fund marrim:

E pabesueshme! Në të majtë kemi një shprehje, dhe në të djathtë kemi një shprehje të thjeshtë. Pastaj menjëherë konkludojmë se

Ja një shembull tjetër për ta përforcuar:

Unë do të jap zgjidhjen e tij të shkurtër (pa u shqetësuar shumë me shpjegime), përpiquni të kuptoni vetë të gjitha "hollësitë" e zgjidhjes.

Tani për konsolidimin përfundimtar të materialit të mbuluar. Përpiquni t'i zgjidhni vetë problemet e mëposhtme. Unë do të jap vetëm rekomandime dhe këshilla të shkurtra për zgjidhjen e tyre:

1. Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat: Ku:
2. Le të paraqesim shprehjen e parë në formën: , ndani të dyja anët dhe merrni atë
3. , atëherë ekuacioni origjinal shndërrohet në formën: Epo, tani një aluzion - kërkoni se ku e kemi zgjidhur tashmë ju dhe unë këtë ekuacion!
4. Imagjinoni si, si, ah, mirë, pastaj ndani të dyja anët, kështu që të merrni ekuacionin më të thjeshtë eksponencial.
5. Nxirreni nga kllapat.
6. Nxirreni nga kllapat.

EKUACIONET EKSPONETARE. NIVELI MESATAR

Unë supozoj se pas leximit të artikullit të parë, i cili foli rreth çfarë janë ekuacionet eksponenciale dhe si t'i zgjidhim ato, ju keni zotëruar minimumin e nevojshëm njohuritë e nevojshme për zgjidhjen e shembujve të thjeshtë.

Tani do të shikoj një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale, kjo është

"metodë e prezantimit të një ndryshoreje të re" (ose zëvendësim). Ai zgjidh problemet më "të vështira" në temën e ekuacioneve eksponenciale (dhe jo vetëm ekuacioneve). Kjo metodë është një nga më të përdorurat në praktikë. Së pari, ju rekomandoj që të njiheni me temën.

Siç e keni kuptuar tashmë nga emri, thelbi i kësaj metode është të prezantoni një ndryshim të tillë të ndryshores që ekuacioni juaj eksponencial të shndërrohet mrekullisht në atë që mund ta zgjidhni lehtësisht. Gjithçka që ju mbetet pas zgjidhjes së këtij "ekuacioni të thjeshtuar" është të bëni një "zëvendësim të kundërt": domethënë, të ktheheni nga i zëvendësuari tek ai i zëvendësuar. Le të ilustrojmë atë që sapo thamë me një shembull shumë të thjeshtë:

Shembulli 1:

Ky ekuacion zgjidhet duke përdorur një "zëvendësim të thjeshtë", siç e quajnë matematikanët në mënyrë përçmuese. Në fakt, zëvendësimi këtu është më i dukshëm. Duhet vetëm ta shohë atë

Atëherë ekuacioni origjinal do të kthehet në këtë:

Nëse imagjinojmë gjithashtu se si, atëherë është absolutisht e qartë se çfarë duhet të zëvendësohet: natyrisht, . Çfarë bëhet atëherë ekuacioni origjinal? Ja çfarë:

Rrënjët e saj mund t'i gjeni lehtësisht vetë: . Çfarë duhet të bëjmë tani? Është koha për t'u kthyer në variablin origjinal. Çfarë harrova të përmend? Përkatësisht: kur zëvendësoni një shkallë të caktuar me një ndryshore të re (d.m.th., kur zëvendësoni një lloj), do të më interesojë vetëm rrënjë pozitive! Ju vetë mund të përgjigjeni lehtësisht pse. Kështu, ju dhe unë nuk jemi të interesuar, por rrënja e dytë është mjaft e përshtatshme për ne:

Pastaj nga.

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, në shembullin e mëparshëm, një zëvendësim thjesht po kërkonte duart tona. Fatkeqësisht, nuk është gjithmonë kështu. Megjithatë, le të mos shkojmë direkt te gjërat e trishtueshme, por le të praktikojmë me një shembull më shumë me një zëvendësim mjaft të thjeshtë

Shembulli 2.

Është e qartë se ka shumë të ngjarë që ne do të duhet të bëjmë një zëvendësim (kjo është më e vogla nga fuqitë e përfshira në ekuacionin tonë), por përpara se të prezantojmë një zëvendësim, ekuacioni ynë duhet të "përgatitet" për të, përkatësisht: , . Atëherë mund të zëvendësoni, si rezultat marr shprehjen e mëposhtme:

Oh tmerr: një ekuacion kub me formula absolutisht të tmerrshme për zgjidhjen e tij (epo, duke folur në pamje e përgjithshme). Por le të mos dëshpërohemi menjëherë, por le të mendojmë se çfarë duhet të bëjmë. Unë do të sugjeroj mashtrimin: ne e dimë se për të marrë një përgjigje "të bukur", duhet ta marrim atë në formën e një fuqie prej tre (pse do të ishte kjo, ah?). Le të përpiqemi të hamendësojmë të paktën një rrënjë të ekuacionit tonë (do të filloj të hamendësoj me fuqitë e tre).

Supozimi i parë. Jo një rrënjë. Mjerisht dhe ah ...

.
Ana e majtë është e barabartë.
Pjesa e djathtë:!
Hani! Mendoi rrënjën e parë. Tani gjërat do të bëhen më të lehta!

A dini për skemën e ndarjes "qoshe"? Sigurisht që po, e përdorni kur pjesëtoni një numër me një tjetër. Por pak njerëz e dinë se e njëjta gjë mund të bëhet me polinomet. Ekziston një teoremë e mrekullueshme:

Duke aplikuar për situatën time, kjo më tregon se është i pjesëtueshëm pa mbetje me. Si kryhet ndarja? Kështu:

Shikoj me cilin monom duhet të shumëzoj për të marrë qartë, atëherë:

Unë zbres shprehjen që rezulton nga, marr:

Tani, me çfarë më duhet të shumëzoj për të marrë? Është e qartë se më tej, atëherë do të marr:

dhe zbritni përsëri shprehjen që rezulton nga ajo e mbetura:

Epo, hapi i fundit është të shumëzoni me dhe të zbrisni nga shprehja e mbetur:

Urra, ndarja ka mbaruar! Çfarë kemi grumbulluar në privat? Vetvetiu: .

Pastaj morëm zgjerimin e mëposhtëm të polinomit origjinal:

Le të zgjidhim ekuacionin e dytë:

Ka rrënjë:

Pastaj ekuacioni origjinal:

ka tre rrënjë:

Sigurisht, ne do të hedhim poshtë rrënjën e fundit, pasi është më pak se zero. Dhe dy të parat pas zëvendësimit të kundërt do të na japin dy rrënjë:

Përgjigje: ..

Me këtë shembull, nuk doja aspak t'ju trembja, përkundrazi, qëllimi im ishte të tregoja se megjithëse kishim një zëvendësim mjaft të thjeshtë, ai megjithatë çoi në një ekuacion mjaft kompleks, zgjidhja e të cilit kërkonte disa aftësi të veçanta nga ne. Epo, askush nuk është i imunizuar nga kjo. Por zëvendësimi në këtë rast ishte mjaft i dukshëm.

Këtu është një shembull me një zëvendësim pak më pak të dukshëm:

Nuk është aspak e qartë se çfarë duhet të bëjmë: problemi është se në ekuacionin tonë ka dy baza të ndryshme dhe një themel nuk mund të merret nga një tjetër duke e ngritur atë në ndonjë shkallë (të arsyeshme, natyrisht). Megjithatë, çfarë shohim? Të dy bazat ndryshojnë vetëm në shenjë, dhe produkti i tyre është diferenca e katrorëve të barabartë me një:

Përkufizimi:

Kështu, numrat që janë bazat në shembullin tonë janë të konjuguar.

Në këtë rast, hapi i zgjuar do të ishte shumëzojini të dyja anët e ekuacionit me numrin e konjuguar.

Për shembull, në, atëherë ana e majtë e ekuacionit do të bëhet e barabartë me, dhe e djathta. Nëse bëjmë një zëvendësim, atëherë ekuacioni ynë origjinal do të bëhet si ky:

rrënjët e saj, atëherë, dhe duke e kujtuar këtë, ne e kuptojmë atë.

Përgjigje: ,.

Si rregull, metoda e zëvendësimit është e mjaftueshme për të zgjidhur shumicën e ekuacioneve eksponenciale "shkollore". Detyrat e mëposhtme janë marrë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit C1 ( nivel i rritur vështirësi). Ju tashmë jeni mjaftueshëm të shkolluar për t'i zgjidhur vetë këta shembuj. Unë do të jap vetëm zëvendësimin e kërkuar.

1. Zgjidhe ekuacionin:
2. Gjeni rrënjët e ekuacionit:
3. Zgjidheni ekuacionin: . Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit:

Dhe tani disa shpjegime dhe përgjigje të shkurtra:

1. Këtu mjafton të theksojmë se... Atëherë ekuacioni origjinal do të jetë i barabartë me këtë: Ky ekuacion mund të zgjidhet duke zëvendësuar Bëj llogaritjet e mëtejshme vetë. Në fund, detyra juaj do të reduktohet në zgjidhjen e problemeve të thjeshta trigonometrike (në varësi të sinusit ose kosinusit). Ne do të shikojmë zgjidhje për shembuj të ngjashëm në seksione të tjera.
2. Këtu mund të bëni edhe pa zëvendësim: thjesht lëvizni subtrahend në të djathtë dhe përfaqësoni të dyja bazat përmes fuqive të dy: , dhe pastaj shkoni direkt në ekuacionin kuadratik.
3. Ekuacioni i tretë zgjidhet gjithashtu mjaft standarde: le të imagjinojmë se si. Pastaj, duke zëvendësuar, marrim një ekuacion kuadratik: atëherë,

   Ju tashmë e dini se çfarë është një logaritëm, apo jo? Jo? Pastaj lexoni temën urgjentisht!

   Rrënja e parë padyshim nuk i përket segmentit, por e dyta është e paqartë! Por do ta zbulojmë shumë shpejt! Meqenëse, atëherë (kjo është një veti e logaritmit!) Le të krahasojmë:

   Zbresim nga të dyja anët, atëherë marrim:

   Ana e majtë mund të përfaqësohet si:

   shumëzojini të dyja anët me:

   atëherë mund të shumëzohet me

   Pastaj krahasoni:

   që atëherë:

   Atëherë rrënja e dytë i përket intervalit të kërkuar

   Përgjigje:

Siç e shihni, Përzgjedhja e rrënjëve të ekuacioneve eksponenciale kërkon një njohuri mjaft të thellë të vetive të logaritmeve, ndaj ju këshilloj të jeni sa më të kujdesshëm kur zgjidhni ekuacione eksponenciale. Siç e kuptoni, në matematikë gjithçka është e ndërlidhur! Siç tha mësuesi im i matematikës: "matematika, si historia, nuk mund të lexohet brenda natës".

Si rregull, të gjitha Vështirësia në zgjidhjen e problemave C1 është pikërisht zgjedhja e rrënjëve të ekuacionit. Le të praktikojmë me një shembull tjetër:

Është e qartë se vetë ekuacioni zgjidhet mjaft thjesht. Duke bërë një zëvendësim, ne reduktojmë ekuacionin tonë origjinal në sa vijon:

Së pari le të shohim rrënjën e parë. Le të krahasojmë dhe: që atëherë. (pronë funksioni logaritmik, në). Atëherë është e qartë se rrënja e parë nuk i përket intervalit tonë. Tani rrënja e dytë: . Është e qartë se (pasi funksioni në është në rritje). Mbetet për të krahasuar dhe...

që atëherë, në të njëjtën kohë. Në këtë mënyrë unë mund të "ngazë një kunj" midis dhe. Ky kunj është një numër. Shprehja e parë është më e vogël dhe e dyta është më e madhe. Atëherë shprehja e dytë është më e madhe se e para dhe rrënja i përket intervalit.

Përgjigje:.

Së fundi, le të shohim një shembull tjetër të një ekuacioni ku zëvendësimi është mjaft jo standard:

Le të fillojmë menjëherë me atë që mund të bëhet, dhe çfarë - në parim, mund të bëhet, por është më mirë të mos e bëjmë. Ju mund të imagjinoni gjithçka përmes fuqive të tre, dy dhe gjashtë. Ku të çon? Nuk do të çojë në asgjë: një grumbull gradash, disa prej të cilave do të jenë mjaft të vështira për t'u hequr qafe. Çfarë nevojitet atëherë? Le të theksojmë se një Dhe çfarë do të na japë kjo? Dhe fakti që zgjidhjen e këtij shembulli mund ta reduktojmë në zgjidhjen e një ekuacioni eksponencial mjaft të thjeshtë! Së pari, le të rishkruajmë ekuacionin tonë si:

Tani le të ndajmë të dy anët e ekuacionit që rezulton me:

Eureka! Tani mund të zëvendësojmë, marrim:

Epo, tani është radha juaj të zgjidhni problemet e demonstrimit dhe unë do t'u jap vetëm komente të shkurtra që të mos devijoni! Paç fat!

1. Më e vështira! Është kaq e vështirë të shohësh një zëvendësim këtu! Por megjithatë, ky shembull mund të zgjidhet plotësisht duke përdorur shkarkimi katror i plotë . Për ta zgjidhur atë, mjafton të theksohet se:

Atëherë këtu është zëvendësimi juaj:

(Ju lutemi vini re se këtu gjatë zëvendësimit tonë nuk mund të hedhim poshtë rrënjën negative!!! Pse mendoni?)

Tani për të zgjidhur shembullin duhet të zgjidhni vetëm dy ekuacione:

Të dyja mund të zgjidhen me një "zëvendësim standard" (por i dyti në një shembull!)

2. Vini re këtë dhe bëni një zëvendësim.

3. Zbërthejeni numrin në faktorë të përbashkët dhe thjeshtoni shprehjen që rezulton.

4. Ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me (ose, nëse preferoni) dhe bëni zëvendësimin ose.

5. Vini re se numrat dhe janë të konjuguar.

EKUACIONET EKSPONETARE. NIVELI I AVANCUAR

Përveç kësaj, le të shohim një mënyrë tjetër - zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale duke përdorur metodën e logaritmit. Nuk mund të them se zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale duke përdorur këtë metodë është shumë popullore, por në disa raste vetëm ajo mund të na çojë në vendimi i duhur ekuacioni ynë. Përdoret veçanërisht shpesh për të zgjidhur të ashtuquajturat " ekuacione të përziera": domethënë ato ku ndodhin funksione të llojeve të ndryshme.

Për shembull, një ekuacion i formës:

në rastin e përgjithshëm, mund të zgjidhet vetëm duke marrë logaritme të të dy anëve (për shembull, në bazë), në të cilën ekuacioni origjinal do të kthehet në sa vijon:

Le të shohim shembullin e mëposhtëm:

Është e qartë se sipas ODZ-së së funksionit logaritmik, ne jemi vetëm të interesuar. Megjithatë, kjo rrjedh jo vetëm nga ODZ e logaritmit, por për një arsye më shumë. Unë mendoj se nuk do të jetë e vështirë për ju të merrni me mend se cila është.

Le të marrim logaritmin e të dy anëve të ekuacionit tonë në bazë:

Siç mund ta shihni, marrja e logaritmit të ekuacionit tonë origjinal na çoi shpejt në përgjigjen e saktë (dhe të bukur!). Le të praktikojmë me një shembull tjetër:

Nuk ka asgjë të keqe as këtu: le të marrim logaritmin e të dy anëve të ekuacionit në bazë, atëherë marrim:

Le të bëjmë një zëvendësim:

Megjithatë, diçka na ka munguar! E keni vënë re se ku kam bërë një gabim? Në fund të fundit, atëherë:

e cila nuk e plotëson kërkesën (mendoni se nga erdhi!)

Përgjigje:

Mundohuni të shkruani zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale më poshtë:

Tani krahasoni vendimin tuaj me këtë:

1. Le të logaritmojmë të dyja anët e bazës, duke marrë parasysh se:

(rrënja e dytë nuk është e përshtatshme për ne për shkak të zëvendësimit)

2. Logaritmi në bazë:

Le ta transformojmë shprehjen që rezulton në formën e mëposhtme:

EKUACIONET EKSPONETARE. PËRSHKRIMI I SHKURTËR DHE FORMULAT THEMELORE

Ekuacioni eksponencial

Ekuacioni i formës:

thirrur ekuacioni më i thjeshtë eksponencial.

Vetitë e gradave

Qasjet ndaj zgjidhjes

• Reduktimi në të njëjtën bazë
• Reduktimi në të njëjtin eksponent
• Zëvendësimi i ndryshueshëm
• Thjeshtimi i shprehjes dhe zbatimi i njërës prej sa më sipër.

Shkoni në kanalin youtube të faqes sonë të internetit për të qëndruar të përditësuar me të gjitha mësimet e reja video.

Së pari, le të kujtojmë formulat bazë të fuqive dhe vetitë e tyre.

Produkti i një numri a ndodh në vetvete n herë, këtë shprehje mund ta shkruajmë si a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = një nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ekuacionet e fuqisë ose eksponenciale– këto janë ekuacione në të cilat ndryshoret janë në fuqi (ose eksponentë), dhe baza është një numër.

Shembuj të ekuacioneve eksponenciale:

NË në këtë shembull numri 6 është baza, është gjithmonë në fund dhe ndryshorja x shkallë ose tregues.

Le të japim më shumë shembuj të ekuacioneve eksponenciale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet eksponenciale?

Le të marrim një ekuacion të thjeshtë:

2 x = 2 3

Ky shembull mund të zgjidhet edhe në kokën tuaj. Mund të shihet se x=3. Në fund të fundit, në mënyrë që anët e majta dhe të djathta të jenë të barabarta, duhet të vendosni numrin 3 në vend të x.
Tani le të shohim se si ta zyrtarizojmë këtë vendim:

2 x = 2 3
x = 3

Për të zgjidhur një ekuacion të tillë, ne hoqëm baza identike(dmth dyshe) dhe shkruani atë që kishte mbetur, këto janë gradë. Morëm përgjigjen që kërkonim.

Tani le të përmbledhim vendimin tonë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit eksponencial:
1. Duhet të kontrolloni e njëjta nëse ekuacioni ka baza djathtas dhe majtas. Nëse arsyet nuk janë të njëjta, ne po kërkojmë opsione për të zgjidhur këtë shembull.
2. Pasi bazat bëhen të njëjta, barazojnë gradë dhe zgjidhni ekuacionin e ri që rezulton.

Tani le të shohim disa shembuj:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë.

Bazat në anën e majtë dhe të djathtë janë të barabarta me numrin 2, që do të thotë se ne mund ta hedhim bazën dhe të barazojmë shkallët e tyre.

x+2=4 Përftohet ekuacioni më i thjeshtë.
x=4 – 2
x=2
Përgjigje: x=2

Në shembullin e mëposhtëm mund të shihni se bazat janë të ndryshme: 3 dhe 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Së pari, zhvendosni nëntë në anën e djathtë, marrim:

Tani ju duhet të bëni të njëjtat baza. Ne e dimë se 9=3 2. Le të përdorim formulën e fuqisë (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Marrim 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 tani mund ta shihni atë në të majtë dhe anën e djathtë bazat janë të njëjta dhe të barabarta me tre, që do të thotë se mund t'i hedhim poshtë dhe të barazojmë shkallët.

3x=2x+16 marrim ekuacionin më të thjeshtë
3x - 2x=16
x=16
Përgjigje: x=16.

Le të shohim shembullin e mëposhtëm:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Para së gjithash, ne shikojmë bazat, bazat dy dhe katër. Dhe ne kemi nevojë që ata të jenë të njëjtë. Ne i transformojmë katër duke përdorur formulën (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dhe ne përdorim gjithashtu një formulë a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Shtoni në ekuacion:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ne dhamë një shembull për të njëjtat arsye. Por na shqetësojnë numrat e tjerë 10 dhe 24. Çfarë të bëjmë me ta? Nëse shikoni nga afër, mund të shihni se në anën e majtë kemi 2 2x të përsëritura, këtu është përgjigja - mund të vendosim 2 2x jashtë kllapave:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Le të llogarisim shprehjen në kllapa:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Të gjithë ekuacionin e ndajmë me 6:

Le të imagjinojmë 4=2 2:

2 2x = 2 2 bazat janë të njëjta, i hedhim dhe i barazojmë shkallët.
2x = 2 është ekuacioni më i thjeshtë. E ndajmë me 2 dhe marrim
x = 1
Përgjigje: x = 1.

Le të zgjidhim ekuacionin:

9 x – 12*3 x +27= 0

Le të transformojmë:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Ne marrim ekuacionin:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazat tona janë të njëjta, të barabarta me tre. Në këtë shembull, ju mund të shihni se treja e parë ka një shkallë dy herë (2x) se e dyta (vetëm x). Në këtë rast, ju mund të zgjidhni metoda e zëvendësimit. Ne e zëvendësojmë numrin me shkallën më të vogël:

Pastaj 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Ne i zëvendësojmë të gjitha fuqitë x në ekuacion me t:

t 2 - 12t+27 = 0
Ne marrim një ekuacion kuadratik. Duke zgjidhur përmes diskriminuesit, marrim:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Kthimi te ndryshorja x.

Merrni t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Kjo eshte,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

U gjet një rrënjë. Ne jemi duke kërkuar për të dytin nga t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Përgjigje: x 1 = 2; x 2 = 1.

Në faqen e internetit mund të bëni çdo pyetje që mund të keni në seksionin NDIHMË PËR VENDOSJE, ne patjetër do t'ju përgjigjemi.

Bashkohu me grupin

1º. Ekuacionet eksponenciale quhen ekuacione që përmbajnë një ndryshore në një eksponent.

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale bazohet në vetinë e fuqive: dy fuqi me të njëjtën bazë janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse eksponentët e tyre janë të barabartë.

2º. Metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale:

1) ekuacioni më i thjeshtë ka një zgjidhje;

2) një ekuacion i formës logaritmike me bazën a zvogëlohet në formë;

3) një ekuacion i formës është i barabartë me ekuacionin ;

4) ekuacioni i formës është ekuivalente me ekuacionin.

5) një ekuacion i formës zvogëlohet përmes zëvendësimit në një ekuacion, dhe më pas zgjidhet një grup ekuacionesh të thjeshta eksponenciale;

6) ekuacioni me reciproke me zëvendësim ato reduktohen në një ekuacion dhe më pas zgjidhin një grup ekuacionesh;

7) ekuacionet homogjene në lidhje me a g(x) Dhe b g(x) duke pasur parasysh se lloj përmes zëvendësimit ato reduktohen në një ekuacion, dhe më pas zgjidhet një grup ekuacionesh.

Klasifikimi i ekuacioneve eksponenciale.

1. Ekuacionet zgjidhen duke shkuar në një bazë.

Shembulli 18. Zgjidheni ekuacionin .

Zgjidhja: Le të përfitojmë nga fakti se të gjitha bazat e fuqive janë fuqi të numrit 5: .

2. Ekuacionet e zgjidhura duke kaluar në një eksponent.

Këto ekuacione zgjidhen duke e shndërruar ekuacionin origjinal në formë , i cili reduktohet në më të thjeshtën duke përdorur vetinë e proporcionit.

Shembulli 19. Zgjidhe ekuacionin:

3. Ekuacionet zgjidhen duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat.

Nëse secili eksponent në një ekuacion ndryshon nga tjetri me një numër të caktuar, atëherë ekuacionet zgjidhen duke vendosur jashtë kllapave eksponentin me eksponentin më të vogël.

Shembulli 20. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje: Le të marrim shkallën me eksponentin më të vogël nga kllapat në anën e majtë të ekuacionit:

Shembulli 21. Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhje: Le të grupojmë veçmas në anën e majtë të ekuacionit termat që përmbajnë fuqi me bazën 4, në anën e djathtë - me bazën 3, pastaj vendosim fuqitë me eksponentin më të vogël jashtë kllapave:

4. Ekuacione që reduktohen në ekuacione kuadratike (ose kubike)..

Ekuacionet e mëposhtme reduktohen në një ekuacion kuadratik për ndryshoren e re y:

a) llojin e zëvendësimit, në këtë rast;

b) llojin e zëvendësimit dhe .

Shembulli 22. Zgjidheni ekuacionin .

Zgjidhje: Le të bëjmë një ndryshim të ndryshores dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

.

Përgjigje: 0; 1.

5. Ekuacione që janë homogjene në lidhje me funksionet eksponenciale.

Një ekuacion i formës është ekuacioni homogjen shkallë e dytë në raport me të panjohurat një x Dhe b x. Ekuacione të tilla reduktohen duke i ndarë fillimisht të dyja anët dhe më pas duke i zëvendësuar në ekuacione kuadratike.

Shembulli 23. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje: Ndani të dyja anët e ekuacionit me:

Duke vënë , marrim një ekuacion kuadratik me rrënjë .

Tani problemi zbret në zgjidhjen e një grupi ekuacionesh . Nga ekuacioni i parë gjejmë se . Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi për asnjë vlerë x.

Përgjigje: -1/2.

6. Ekuacionet racionale në lidhje me funksionet eksponenciale.

Shembulli 24. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje: Pjesëtoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 3 x dhe në vend të dy marrim një funksioni eksponencial:

7. Ekuacionet e formës .

Ekuacione të tilla me një bashkësi vlerat e pranueshme(ODZ), e përcaktuar nga kushti, duke marrë logaritmin e të dy anëve të ekuacionit reduktohen në një ekuacion ekuivalent, i cili nga ana e tij është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh ose.

Shembulli 25. Zgjidh barazimin: .

.

Materiali didaktik.

Zgjidh ekuacionet:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Gjeni prodhimin e rrënjëve të ekuacionit .

27. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit .

Gjeni kuptimin e shprehjes:

28. , ku x 0- rrënja e ekuacionit ;

29. , ku x 0– rrënja e plotë e ekuacionit .

Zgjidhe ekuacionin:

31. ; 32. .

Përgjigjet: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tema nr 8.

Pabarazitë eksponenciale.

1º. Një pabarazi që përmban një ndryshore në eksponent quhet pabarazia eksponenciale.

2º. Zgjidhje pabarazitë eksponenciale lloji i bazuar në deklaratat e mëposhtme:

nëse , atëherë pabarazia është ekuivalente me ;

nëse , atëherë pabarazia është ekuivalente me .

Kur zgjidhen pabarazitë eksponenciale, përdoren të njëjtat teknika si kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale.

Shembulli 26. Zgjidh inekuacionin (Metoda e kalimit në një bazë).

Zgjidhja: Meqenëse , atëherë pabarazia e dhënë mund të shkruhet si: . Meqenëse , atëherë kjo pabarazi është ekuivalente me pabarazinë .

Duke zgjidhur pabarazinë e fundit, marrim .

Shembulli 27. Zgjidh pabarazinë: ( duke nxjerrë nga kllapa faktorin e përbashkët).

Zgjidhje: Le të nxjerrim nga kllapat në anën e majtë të pabarazisë , në anën e djathtë të pabarazisë dhe të ndajmë të dy anët e pabarazisë me (-2), duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën:

Meqenëse, atëherë kur kaloni në pabarazinë e treguesve, shenja e pabarazisë ndryshon përsëri në të kundërtën. marrim. Kështu, grupi i të gjitha zgjidhjeve për këtë pabarazi është intervali.

Shembulli 28. Zgjidhja e pabarazisë ( duke futur një ndryshore të re).

Zgjidhja: Le të . Atëherë kjo pabarazi do të marrë formën: ose , zgjidhja e të cilit është intervali .

Nga këtu. Meqenëse funksioni rritet, atëherë .

Materiali didaktik.

Specifikoni grupin e zgjidhjeve të pabarazisë:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Në çfarë vlerash x A janë pikat në grafikun e funksionit nën vijën e drejtë?

7. Në çfarë vlerash x A shtrihen pikat në grafikun e funksionit të paktën deri në vijën e drejtë?

Zgjidh pabarazinë:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Përcaktoni zgjidhjen më të madhe të numrit të plotë të pabarazisë .

14. Gjeni produktin e numrit të plotë më të madh dhe të numrit të plotë më të vogël zgjidhjet e pabarazisë .

Zgjidh pabarazinë:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Gjeni domenin e funksionit:

27. ; 28. .

29. Gjeni grupin e vlerave të argumenteve për të cilat vlerat e secilit funksion janë më të mëdha se 3:

Dhe .

Përgjigjet: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac(1) (n))\) marrim se \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Më pas, duke përdorur vetinë e shkallës \((a^b)^c=a^(bc)\), marrim \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Ne gjithashtu e dimë se \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Duke e aplikuar këtë në anën e majtë, marrim: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Tani mbani mend se: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Kjo formulë mund të përdoret gjithashtu në drejtim të kundërt: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Pastaj \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

Duke aplikuar vetinë \((a^b)^c=a^(bc)\) në anën e djathtë, marrim: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

Dhe tani bazat tona janë të barabarta dhe nuk ka koeficientë ndërhyrës, etj. Kështu që ne mund të bëjmë tranzicionin.

Shembull . Zgjidheni ekuacionin eksponencial \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Zgjidhja:

\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)		Ne përsëri përdorim vetinë e fuqisë \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) në drejtim të kundërt.
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\)		Tani mbani mend se \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)		Duke përdorur vetitë e shkallëve, ne transformojmë: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Ne shikojmë me kujdes ekuacionin dhe shohim se zëvendësimi \(t=2^x\) sugjeron vetveten.
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Sidoqoftë, ne gjetëm vlerat e \(t\), dhe na duhen \(x\). Ne kthehemi te X-të, duke bërë një zëvendësim të kundërt.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Le të transformojmë ekuacionin e dytë duke përdorur vetinë e fuqisë negative...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...dhe ne vendosim deri në përgjigje.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Përgjigju : \(-1; 1\).

Pyetja mbetet - si të kuptojmë se kur duhet përdorur cila metodë? Kjo vjen me përvojë. Derisa ta keni zhvilluar atë, përdorni rekomandimin e përgjithshëm për zgjidhjen e problemeve komplekse - "nëse nuk dini çfarë të bëni, bëni atë që mundeni". Kjo do të thotë, kërkoni se si mund ta transformoni ekuacionin në parim dhe përpiquni ta bëni atë - çka nëse çfarë ndodh? Gjëja kryesore është të bëhen vetëm transformime të bazuara matematikisht.

Ekuacione eksponenciale pa zgjidhje

Le të shohim dy situata të tjera që shpesh i ngatërrojnë studentët:
- një numër pozitiv ndaj fuqisë është i barabartë me zero, për shembull, \(2^x=0\);
- një numër pozitiv është i barabartë me fuqinë e një numri negativ, për shembull, \(2^x=-4\).

Le të përpiqemi të zgjidhim me forcë brutale. Nëse x është një numër pozitiv, atëherë kur x rritet, e gjithë fuqia \(2^x\) do të rritet vetëm:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Gjithashtu nga. Mbeten X-të negative. Duke kujtuar vetinë \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kontrollojmë:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Pavarësisht se numri bëhet më i vogël me çdo hap, ai kurrë nuk do të arrijë zero. Pra shkalla negative nuk na shpëtoi. Arrijmë në një përfundim logjik:

Një numër pozitiv në çdo shkallë do të mbetet një numër pozitiv.

Kështu, të dy ekuacionet e mësipërme nuk kanë zgjidhje.

Ekuacione eksponenciale me baza të ndryshme

Në praktikë, ndonjëherë hasim ekuacione eksponenciale me baza të ndryshme që nuk janë të reduktueshme me njëra-tjetrën, dhe në të njëjtën kohë me të njëjtët eksponentë. Ata duken kështu: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), ku \(a\) dhe \(b\) janë numra pozitivë.

Për shembull:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Ekuacione të tilla mund të zgjidhen lehtësisht duke pjesëtuar me cilëndo anë të ekuacionit (zakonisht pjesëtuar me anën e djathtë, pra me \(b^(f(x))\) Ju mund të pjesëtoni në këtë mënyrë sepse një numër pozitiv është pozitive për çdo fuqi (d.m.th., ne nuk e ndajmë me zero) Marrim:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Shembull . Zgjidheni ekuacionin eksponencial \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Zgjidhja:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Këtu nuk do të jemi në gjendje ta kthejmë një pesë në një tre, ose anasjelltas (të paktën pa përdorur ). Kjo do të thotë se nuk mund të arrijmë në formën \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Megjithatë, treguesit janë të njëjtë. Le ta ndajmë ekuacionin me anën e djathtë, domethënë me \(3^(x+7)\) (mund ta bëjmë këtë sepse e dimë se tre nuk do të jenë zero në asnjë shkallë).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Tani mbani mend vetinë \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) dhe përdorni atë nga e majta në drejtim të kundërt. Në të djathtë, ne thjesht zvogëlojmë thyesën.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Duket se gjërat nuk u bënë më mirë. Por mbani mend edhe një veti të fuqisë: \(a^0=1\), me fjalë të tjera: "çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me \(1\)." E kundërta është gjithashtu e vërtetë: "një mund të përfaqësohet si çdo numër me fuqinë zero". Le të përfitojmë nga kjo duke e bërë bazën në të djathtë të njëjtë si në të majtë.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Le të heqim qafe bazat.
		Ne po shkruajmë një përgjigje.

Përgjigju : \(-7\).

Ndonjëherë "njëjtësia" e eksponentëve nuk është e dukshme, por përdorimi i aftë i vetive të eksponentëve e zgjidh këtë çështje.

Shembull . Zgjidheni ekuacionin eksponencial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Zgjidhja:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Ekuacioni duket shumë i trishtuar... Jo vetëm që bazat nuk mund të reduktohen në të njëjtin numër (shtatë në asnjë mënyrë nuk do të jenë të barabarta me \(\frac(1)(3)\)), por edhe eksponentët janë të ndryshëm. .. Megjithatë, le të përdorim treguesin e majtë deuce.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Duke kujtuar vetinë \((a^b)^c=a^(b·c)\), ne transformojmë nga e majta: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Tani, duke kujtuar vetinë e shkallës negative \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformojmë nga e djathta: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Halleluja! Treguesit janë të njëjtë! Duke vepruar sipas skemës tashmë të njohur për ne, ne zgjidhim para përgjigjes.

Përgjigju : \(2\).