Zgjidhja e ekuacioneve komplekse trigonometrike me rrënjë. Ekuacionet trigonometrike. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Kur zgjidhni shumë problemet e matematikës , sidomos ato që ndodhin para klasës 10, është e përcaktuar qartë radha e veprimeve të kryera që do të çojnë te qëllimi. Probleme të tilla përfshijnë, për shembull, ekuacionet lineare dhe kuadratike, lineare dhe pabarazitë katrore, ekuacionet thyesore dhe ekuacionet që reduktohen në ekuacione kuadratike. Parimi i zgjidhjes së suksesshme të secilës prej detyrave të përmendura është si vijon: është e nevojshme të përcaktohet se cilit lloj i përket problemi që zgjidhet, mbani mend sekuencën e nevojshme të veprimeve që do të çojnë në rezultatin e dëshiruar, d.m.th. përgjigjuni dhe ndiqni këto hapa.

Natyrisht, suksesi ose dështimi në zgjidhjen e një problemi të caktuar varet kryesisht nga sa saktë përcaktohet lloji i ekuacionit që zgjidhet, sa saktë riprodhohet sekuenca e të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Natyrisht, në këtë rast, është e nevojshme të keni aftësi për të kryer transformime dhe llogaritje identike.

Një situatë e ndryshme ndodh me ekuacionet trigonometrike. Nuk është e vështirë të përcaktohet fakti që ekuacioni është trigonometrik. Vështirësitë lindin gjatë përcaktimit të sekuencës së veprimeve që do të çonin në përgjigjen e saktë.

Nga pamjen ekuacionet ndonjëherë është e vështirë të përcaktohet lloji i tij. Dhe pa e ditur llojin e ekuacionit, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh atë të duhurin nga disa dhjetëra formula trigonometrike.

Për të zgjidhur ekuacionin trigonometrik, duhet të provojmë:

1. sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";
2. sillni ekuacionin në "funksionet e njëjta";
3. faktorizoni anën e majtë të ekuacionit etj.

Konsideroni metodat bazë të zgjidhjes ekuacionet trigonometrike.

I. Reduktimi në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Shprehni funksionin trigonometrik me komponentë të njohur.

Hapi 2 Gjeni argumentin e funksionit duke përdorur formulat:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n harksin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hapi 3 Gjeni një ndryshore të panjohur.

Shembull.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Zgjidhje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Përgjigje: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Zëvendësimi i ndryshueshëm

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni ekuacionin në formën algjebrike në lidhje me njërën prej tyre funksionet trigonometrike.

Hapi 2 Shënoni funksionin që rezulton me ndryshoren t (nëse është e nevojshme, vendosni kufizime në t).

Hapi 3 Regjistroni dhe zgjidhni ekuacioni algjebrik.

Hapi 4 Bëni një zëvendësim të kundërt.

Hapi 5 Të zgjidhë ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë.

Shembull.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Zgjidhje.

1) 2 (1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Le të sin (x/2) = t, ku |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ose e = -3/2 nuk e plotëson kushtin |t| ≤ 1.

4) mëkat (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Përgjigje: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda e reduktimit të rendit të ekuacionit

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Zëvendësoni këtë ekuacion me një linear duke përdorur formulat e reduktimit të fuqisë:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metodat I dhe II.

Shembull.

cos2x + cos2x = 5/4.

Zgjidhje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Përgjigje: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ekuacionet homogjene

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni këtë ekuacion në formë

a) një mëkat x + b cos x = 0 ( ekuacioni homogjen shkalla e parë)

ose te pamja

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Hapi 2 Ndani të dyja anët e ekuacionit me

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dhe merrni ekuacionin për tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hapi 3 Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Zgjidhje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Le të tg x = t, atëherë

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ose t = -4, pra

tg x = 1 ose tg x = -4.

Nga ekuacioni i parë x = π/4 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Përgjigje: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda për transformimin e një ekuacioni duke përdorur formulat trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Duke përdorur të gjitha llojet e formulave trigonometrike, sillni këtë ekuacion në një ekuacion që mund të zgjidhet me metodat I, II, III, IV.

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Zgjidhje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ose 2cos x + 1 = 0;

Nga ekuacioni i parë 2x = π/2 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë cos x = -1/2.

Kemi x = π/4 + πn/2, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Si rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Përgjigje: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Aftësia dhe aftësitë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike janë shumë e rëndësishme, zhvillimi i tyre kërkon përpjekje të konsiderueshme, si nga nxënësi ashtu edhe nga mësuesi.

Me zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike lidhen shumë probleme të stereometrisë, fizikës etj.. Procesi i zgjidhjes së problemeve të tilla, si të thuash, përmban shumë njohuri dhe aftësi që fitohen gjatë studimit të elementeve të trigonometrisë.

Ekuacionet trigonometrike zënë një vend të rëndësishëm në procesin e mësimdhënies së matematikës dhe zhvillimit të personalitetit në përgjithësi.

A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Ekuacionet trigonometrike nuk janë tema më e lehtë. Me dhimbje ato janë të ndryshme.) Për shembull, këto:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x+π /4) = ctg (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etj...

Por këto (dhe të gjitha të tjerat) përbindësha trigonometrike kanë dy tipare të përbashkëta dhe të detyrueshme. Së pari - nuk do ta besoni - ka funksione trigonometrike në ekuacione.) Së dyti: të gjitha shprehjet me x janë brenda këtyre funksioneve të njëjta. Dhe vetëm atje! Nëse x shfaqet diku jashtë, për shembull, sin2x + 3x = 3, ky do të jetë ekuacioni lloj i përzier. Ekuacione të tilla kërkojnë një qasje individuale. Këtu nuk do t'i konsiderojmë ato.

Ekuacionet e liga nuk do të zgjidhim as në këtë mësim.) Këtu do të merremi ekuacionet më të thjeshta trigonometrike. Pse? Po, sepse vendimi ndonjë ekuacionet trigonometrike përbëhen nga dy faza. Në fazën e parë, ekuacioni i së keqes reduktohet në një të thjeshtë nga transformime të ndryshme. Në të dytën - zgjidhet ky ekuacion më i thjeshtë. Asnjë rrugë tjetër.

Pra, nëse keni probleme në fazën e dytë, faza e parë nuk ka shumë kuptim.)

Si duken ekuacionet elementare trigonometrike?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Këtu a qëndron për çdo numër. Çdo.

Nga rruga, brenda funksionit mund të mos ketë një x të pastër, por një lloj shprehjeje, si p.sh.

cos(3x+π /3) = 1/2

etj. Kjo e ndërlikon jetën, por nuk ndikon në metodën e zgjidhjes së ekuacionit trigonometrik.

Si të zgjidhim ekuacionet trigonometrike?

Ekuacionet trigonometrike mund të zgjidhen në dy mënyra. Mënyra e parë: duke përdorur logjikën dhe një rreth trigonometrik. Ne do ta eksplorojmë këtë rrugë këtu. Mënyra e dytë - përdorimi i kujtesës dhe formulave - do të shqyrtohet në mësimin e ardhshëm.

Mënyra e parë është e qartë, e besueshme dhe e vështirë për t'u harruar.) Është e mirë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike, pabarazitë dhe të gjitha llojet e shembujve të ndërlikuar jo standarde. Logjika është më e fortë se kujtesa!

Ne i zgjidhim ekuacionet duke përdorur një rreth trigonometrik.

Ne përfshijmë logjikën elementare dhe aftësinë për të përdorur një rreth trigonometrik. Nuk mundesh!? Megjithatë... Do ta keni të vështirë në trigonometri...) Por nuk ka rëndësi. Hidhini një sy mësimeve "Rrethi trigonometrik ...... Çfarë është?" dhe "Numërimi i këndeve në një rreth trigonometrik". Gjithçka është e thjeshtë atje. Ndryshe nga tekstet shkollore...)

Ah, e dini!? Dhe madje zotëroi "Punë praktike me rreth trigonometrik"!? Pranoni urimet. Kjo temë do të jetë e afërt dhe e kuptueshme për ju.) Ajo që është veçanërisht e këndshme është se rrethit trigonometrik nuk i intereson se cilin ekuacion do të zgjidhni. Sinus, kosinus, tangjent, kotangjent - gjithçka është e njëjtë për të. Parimi i zgjidhjes është i njëjtë.

Pra marrim çdo ekuacion elementar trigonometrik. Të paktën kjo:

cosx = 0,5

Më duhet të gjej X. Duke folur në gjuhën njerëzore, ju duhet gjeni këndin (x) kosinusi i të cilit është 0,5.

Si e përdornim rrethin më parë? Ne vizatuam një qoshe mbi të. Në gradë ose radianë. Dhe menjëherë parë funksionet trigonometrike të këtij këndi. Tani le të bëjmë të kundërtën. Vizatoni një kosinus të barabartë me 0,5 në rreth dhe menjëherë do të shohim qoshe. Mbetet vetëm për të shkruar përgjigjen.) Po, po!

Vizatojmë një rreth dhe shënojmë kosinusin e barabartë me 0.5. Në boshtin kosinus, natyrisht. Si kjo:

Tani le të vizatojmë këndin që na jep ky kosinus. Zhvendosni miun mbi foto (ose prekni figurën në një tablet) dhe Shiko po ky cep X.

Cili kënd ka një kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Disa njerëz do të gërhasin skeptikisht, po... Ata thonë, a ia vlejti të rrethosh rrethin, kur gjithçka është e qartë gjithsesi... Sigurisht që mund të rrënqesh...) Por fakti është se kjo është një gabim përgjigje. Ose më mirë, joadekuate. Njohësit e rrethit kuptojnë se ka ende një grup të tërë këndesh që japin gjithashtu një kosinus të barabartë me 0.5.

Nëse e ktheni anën e lëvizshme OA për një kthesë të plotë, pika A do të kthehet në pozicionin e saj origjinal. Me të njëjtin kosinus të barabartë me 0.5. Ato. këndi do të ndryshojë 360° ose 2π radiane, dhe kosinusi nuk është. Këndi i ri 60° + 360° = 420° do të jetë gjithashtu një zgjidhje për ekuacionin tonë, sepse

Ka një numër të pafund rrotullimesh të plota... Dhe të gjitha këto kënde të reja do të jenë zgjidhje për ekuacionin tonë trigonometrik. Dhe të gjithë duhet të shkruhen disi. Të gjitha. Përndryshe, vendimi nuk merret parasysh, po ...)

Matematika mund ta bëjë këtë thjesht dhe elegante. Në një përgjigje të shkurtër, shkruani grup i pafund Zgjidhjet. Ja se si duket për ekuacionin tonë:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Unë do të deshifroj. Ende shkruani kuptimisht më bukur sesa të vizatosh marrëzi disa shkronja misterioze, apo jo?)

π /3 është i njëjti kënd që ne pa në rreth dhe identifikuar sipas tabelës së kosinusit.

2π është një kthesë e plotë në radianë.

n - ky është numri i plotë, d.m.th. e tërë revolucionet. Është e qartë se n mund të jetë 0, ±1, ±2, ±3.... e kështu me radhë. Siç tregohet nga hyrja e shkurtër:

n ∈ Z

n i takon ( ∈ ) në bashkësinë e numrave të plotë ( Z ). Meqë ra fjala, në vend të letrës n mund të përdoren shkronjat k, m, t etj.

Ky shënim do të thotë që ju mund të merrni çdo numër të plotë n . Të paktën -3, të paktën 0, të paktën +55. cfare deshironi. Nëse e lidhni atë numër në përgjigjen tuaj, ju merrni një kënd specifik, i cili me siguri do të jetë zgjidhja e ekuacionit tonë të ashpër.)

Ose, me fjalë të tjera, x \u003d π / 3 është rrënja e vetme e një bashkësie të pafundme. Për të marrë të gjitha rrënjët e tjera, mjafton të shtoni çdo numër kthesash të plota në π / 3 ( n ) në radianë. Ato. 2πn radian.

Gjithçka? Nr. Unë veçanërisht zgjas kënaqësinë. Për ta mbajtur mend më mirë.) Ne morëm vetëm një pjesë të përgjigjeve të ekuacionit tonë. Unë do ta shkruaj këtë pjesë të parë të zgjidhjes si më poshtë:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - jo një rrënjë, është një seri e tërë rrënjësh, të shkruara në formë të shkurtër.

Por ka kënde të tjera që japin gjithashtu një kosinus të barabartë me 0,5!

Le t'i kthehemi fotos sonë, sipas së cilës kemi shkruar përgjigjen. Atje ajo është:

Lëvizni miun mbi imazh dhe Shiko një kënd tjetër që jep gjithashtu një kosinus prej 0.5.Çfarë mendoni se është e barabartë? Trekëndëshat janë të njëjtë... Po! Është e barabartë me këndin X , i paraqitur vetëm në drejtim negativ. Ky është këndi -X. Por ne kemi llogaritur tashmë x. π /3 ose 60°. Prandaj, mund të shkruajmë me siguri:

x 2 \u003d - π / 3

Dhe, natyrisht, shtojmë të gjitha këndet që përftohen përmes kthesave të plota:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është e gjitha tani.) Në një rreth trigonometrik, ne pa(kush e kupton, sigurisht)) të gjitha kënde që japin një kosinus të barabartë me 0,5. Dhe shkruani shkurtimisht këto kënde formë matematikore. Përgjigja është dy seri të pafundme rrënjësh:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është përgjigja e saktë.

Shpresa, parim i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike me ndihmën e një rrethi është e kuptueshme. Shënojmë në rreth kosinusin (sinusin, tangjentën, kotangjenten) nga ekuacioni i dhënë, vizatojmë këndet përkatëse dhe shkruajmë përgjigjen. Sigurisht, ju duhet të kuptoni se çfarë lloj qoshe jemi pa në rreth. Ndonjëherë nuk është aq e qartë. Epo, siç thashë, logjika kërkohet këtu.)

Për shembull, le të analizojmë një ekuacion tjetër trigonometrik:

Ju lutemi vini re se numri 0.5 nuk është i vetmi numër i mundshëm në ekuacione!) Është thjesht më i përshtatshëm për mua ta shkruaj atë sesa rrënjët dhe thyesat.

Ne punojmë sipas parimit të përgjithshëm. Ne vizatojmë një rreth, shënojmë (në boshtin e sinusit, natyrisht!) 0.5. Ne tërheqim menjëherë të gjitha këndet që korrespondojnë me këtë sinus. Ne marrim këtë foto:

Le të merremi me këndin e parë. X në tremujorin e parë. Kujtojmë tabelën e sinuseve dhe përcaktojmë vlerën e këtij këndi. Çështja është e thjeshtë:

x \u003d π / 6

Ne kujtojmë kthesat e plota dhe, me një ndërgjegje të pastër, shkruajmë serinë e parë të përgjigjeve:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Gjysma e punës është bërë. Tani duhet të përcaktojmë këndi i dytë... Kjo është më e ndërlikuar se në kosinus, po... Por logjika do të na shpëtojë! Si të përcaktohet këndi i dytë përmes x? Po Lehtë! Trekëndëshat në foto janë të njëjta, dhe këndi i kuq X e barabartë me këndin X . Vetëm ai numërohet nga këndi π në drejtim negativ. Prandaj është e kuqe.) Dhe për përgjigjen na duhet një kënd i matur saktë nga gjysmëboshti pozitiv OX, d.m.th. nga një kënd prej 0 gradë.

Zhvendosni kursorin mbi foto dhe shikoni gjithçka. E hoqa këndin e parë për të mos e komplikuar foton. Këndi i interesit për ne (i vizatuar në të gjelbër) do të jetë i barabartë me:

π - x

x ne e dimë atë π /6 . Pra, këndi i dytë do të jetë:

π - π /6 = 5π /6

Përsëri, ne kujtojmë shtimin e revolucioneve të plota dhe shkruajmë serinë e dytë të përgjigjeve:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Kjo eshte e gjitha. Një përgjigje e plotë përbëhet nga dy seri rrënjësh:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ekuacionet me tangjente dhe kotangjente mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur të njëjtin parim të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Nëse, sigurisht, nuk dini si të vizatoni tangjenten dhe kotangjenten në një rreth trigonometrik.

Në shembujt e mësipërm, kam përdorur vlerën tabelare të sinusit dhe kosinusit: 0.5. Ato. një nga ato kuptimet që di nxënësi duhet. Tani le të zgjerojmë aftësitë tona në të gjitha vlerat e tjera. Vendosni, kështu që vendosni!)

Pra, le të themi se duhet të zgjidhim ekuacionin trigonometrik të mëposhtëm:

Nuk ka një vlerë të tillë të kosinusit në tabelat e shkurtra. Ne e injorojmë me gjakftohtësi këtë fakt të tmerrshëm. Vizatojmë një rreth, shënojmë 2/3 në boshtin e kosinusit dhe vizatojmë këndet përkatëse. Ne e marrim këtë foto.

Ne e kuptojmë, për fillim, me një kënd në tremujorin e parë. Për të ditur se me çfarë është x, ata do ta shkruanin menjëherë përgjigjen! Nuk e dimë... Dështim!? Qetë! Matematika nuk e lë të veten në vështirësi! Ajo shpiku kosinuset e harkut për këtë rast. Nuk e di? Më kot. Zbulojeni. Është shumë më e lehtë se sa mendoni. Sipas kësaj lidhjeje, nuk ka asnjë magji të vetme të ndërlikuar për "funksionet trigonometrike të anasjellta" ... Është e tepërt në këtë temë.

Nëse jeni në dijeni, thjesht thoni vetes: "X është një kënd kosinusi i të cilit është 2/3". Dhe menjëherë, thjesht nga përkufizimi i arkkosinës, mund të shkruajmë:

Ne kujtojmë rreth rrotullimeve shtesë dhe shkruajmë me qetësi serinë e parë të rrënjëve të ekuacionit tonë trigonometrik:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Seria e dytë e rrënjëve shkruhet gjithashtu pothuajse automatikisht, për këndin e dytë. Gjithçka është e njëjtë, vetëm x (arccos 2/3) do të jetë me një minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Dhe të gjitha gjërat! Kjo është përgjigja e saktë. Edhe më lehtë sesa me vlerat tabelare. Ju nuk keni nevojë të mbani mend asgjë.) Nga rruga, më të vëmendshëm do të vërejnë se kjo foto me zgjidhjen përmes kosinusit të harkut në thelb nuk ndryshon nga figura për ekuacionin cosx = 0.5.

Pikërisht! Parimi i përgjithshëm prandaj është e zakonshme! Në mënyrë specifike vizatova dy piktura pothuajse identike. Rrethi na tregon këndin X me kosinusin e tij. Është një kosinus tabelor, ose jo - rrethi nuk e di. Çfarë lloj këndi është ky, π / 3, ose çfarë lloji kosinusi të harkut varet nga ne që të vendosim.

Me një sine e njëjta këngë. Për shembull:

Përsëri vizatojmë një rreth, shënojmë sinusin e barabartë me 1/3, vizatojmë qoshet. Rezulton kjo foto:

Dhe përsëri fotografia është pothuajse e njëjtë si për ekuacionin sinx = 0,5. Sërish nisim nga këndi në çerekun e parë. Sa është x e barabartë nëse sinusi i tij është 1/3? Nuk ka problem!

Pra, paketa e parë e rrënjëve është gati:

x 1 = harksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Le të hedhim një vështrim në këndin e dytë. Në shembullin me një vlerë tabele prej 0.5, ishte e barabartë me:

π - x

Pra, këtu do të jetë saktësisht e njëjta gjë! Vetëm x është i ndryshëm, harku 1/3. Edhe çfarë!? Ju mund të shkruani me siguri paketën e dytë të rrënjëve:

x 2 = π - hark 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është një përgjigje plotësisht e saktë. Edhe pse nuk duket shumë e njohur. Por është e kuptueshme, shpresoj.)

Kështu zgjidhen ekuacionet trigonometrike duke përdorur një rreth. Kjo rrugë është e qartë dhe e kuptueshme. Është ai që kursen në ekuacionet trigonometrike me zgjedhjen e rrënjëve në një interval të caktuar, në pabarazitë trigonometrike- ato përgjithësisht zgjidhen pothuajse gjithmonë në rreth. Me pak fjalë, në çdo detyrë që është pak më e ndërlikuar se ato standarde.

Vënia në praktikë e njohurive?

Zgjidh ekuacionet trigonometrike:

Në fillim është më e thjeshtë, drejtpërdrejt në këtë mësim.

Tani është më e vështirë.

Këshillë: këtu duhet të mendoni për rrethin. Personalisht.)

Dhe tani nga jashtë jo modest ... Ata quhen edhe raste të veçanta.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Këshillë: këtu duhet të kuptoni në një rreth se ku ka dy seri përgjigjesh, dhe ku ka një ... Dhe si të shkruani një në vend të dy serive përgjigjesh. Po, në mënyrë që asnjë rrënjë e vetme nga një numër i pafund nuk humbet!)

Epo, mjaft e thjeshtë):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Këshillë: këtu duhet të dini se çfarë është arksina, arkozina? Çfarë është tangjenta e harkut, tangjenta e harkut? Shumica përkufizime të thjeshta. Por nuk keni nevojë të mbani mend ndonjë vlerë tabelare!)

Përgjigjet janë, natyrisht, të parregullta):

x 1= harksin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Lexojeni përsëri mësimin. Vetëm me mendime(ka të tilla fjalë e vjetëruar...) Dhe ndiqni lidhjet. Lidhjet kryesore kanë të bëjnë me rrethin. Pa të në trigonometri - si të kalosh rrugën me sy të lidhur. Ndonjëherë funksionon.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Kërkon njohuri për formulat themelore të trigonometrisë - shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit, shprehja e tangjentes përmes sinusit dhe kosinusit dhe të tjera. Për ata që i kanë harruar ose nuk i njohin, ju rekomandojmë të lexoni artikullin "".
Pra, ne i dimë formulat bazë trigonometrike, është koha t'i zbatojmë ato në praktikë. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike në qasje e drejtë- një aktivitet mjaft emocionues, si, për shembull, zgjidhja e një kubi Rubik.

Bazuar në vetë emrin, është e qartë se një ekuacion trigonometrik është një ekuacion në të cilin e panjohura është nën shenjën e një funksioni trigonometrik.
Ekzistojnë të ashtuquajturat ekuacione të thjeshta trigonometrike. Ja si duken ato: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Konsideroni, si të zgjidhen ekuacione të tilla trigonometrike, për qartësi, do të përdorim rrethin trigonometrik tashmë të njohur.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

ahur x = a

Çdo ekuacion trigonometrik zgjidhet në dy faza: e sjellim ekuacionin në formën më të thjeshtë dhe më pas e zgjidhim si ekuacionin më të thjeshtë trigonometrik.
Ekzistojnë 7 metoda kryesore me të cilat zgjidhen ekuacionet trigonometrike.

Zëvendësimi i ndryshueshëm dhe metoda e zëvendësimit

Zgjidheni ekuacionin 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Duke përdorur formulat e reduktimit marrim:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

Le të zëvendësojmë cos(x + /6) me y për thjeshtësi dhe të marrim të zakonshmen ekuacioni kuadratik:

2v 2 – 3vje + 1 + 0

Rrënjët e të cilave y 1 = 1, y 2 = 1/2

Tani le të shkojmë prapa

Zëvendësojmë vlerat e gjetura të y dhe marrim dy përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike përmes faktorizimit

Si të zgjidhet ekuacioni sin x + cos x = 1 ?

Le të lëvizim gjithçka në të majtë në mënyrë që 0 të mbetet në të djathtë:

sin x + cos x - 1 = 0

Ne përdorim identitetet e mësipërme për të thjeshtuar ekuacionin:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Le të bëjmë faktorizimin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Marrim dy ekuacione

Reduktimi në një ekuacion homogjen

Një ekuacion është homogjen në lidhje me sinusin dhe kosinusin nëse të gjithë termat e tij në lidhje me sinusin dhe kosinusin janë të së njëjtës shkallë të të njëjtit kënd. Për të zgjidhur një ekuacion homogjen, veproni si më poshtë:

a) transferoni të gjithë anëtarët e tij në anën e majtë;

b) vendosi jashtë kllapave të gjithë faktorët e përbashkët;

c) barazoni të gjithë faktorët dhe kllapat me 0;

d) në kllapa, merret një ekuacion homogjen i një shkalle më të vogël, i cili, nga ana tjetër, ndahet me një sinus ose kosinus në një shkallë më të lartë;

e) zgjidhni ekuacionin që rezulton për tg.

Zgjidhe ekuacionin 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Le të përdorim formulën sin 2 x + cos 2 x = 1 dhe të heqim qafe dy të hapura në të djathtë:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Ndani me cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Ne zëvendësojmë tg x me y dhe marrim një ekuacion kuadratik:

y 2 + 4y +3 = 0 rrënjët e së cilës janë y 1 =1, y 2 = 3

Nga këtu gjejmë dy zgjidhje për ekuacionin origjinal:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Zgjidhja e ekuacioneve, përmes kalimit në një gjysmë kënd

Zgjidheni ekuacionin 3sin x - 5cos x = 7

Le të kalojmë te x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Zhvendosja e gjithçkaje në të majtë:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Pjestojeni me cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0

Futja e një këndi ndihmës

Për shqyrtim, le të marrim një ekuacion të formës: a sin x + b cos x \u003d c,

ku a, b, c janë disa koeficientë arbitrarë dhe x është një e panjohur.

Ndani të dyja anët e ekuacionit me:

Tani koeficientët e ekuacionit, sipas formulave trigonometrike, kanë vetitë e sin dhe cos, përkatësisht: moduli i tyre nuk është më shumë se 1 dhe shuma e katrorëve = 1. Le t'i shënojmë përkatësisht si cos dhe sin, ku është kështu -quhet kënd ndihmës. Atëherë ekuacioni do të marrë formën:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ose sin(x + ) = C

Zgjidhja e këtij ekuacioni të thjeshtë trigonometrik është

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, ku

Duhet të theksohet se emërtimet cos dhe sin janë të këmbyeshëm.

Zgjidheni ekuacionin sin 3x - cos 3x = 1

Në këtë ekuacion, koeficientët janë:

a \u003d, b \u003d -1, kështu që ne i ndajmë të dy pjesët me \u003d 2

Kur zgjidhni shumë problemet e matematikës, sidomos ato që ndodhin para klasës 10, është e përcaktuar qartë radha e veprimeve të kryera që do të çojnë te qëllimi. Probleme të tilla përfshijnë, për shembull, ekuacionet lineare dhe kuadratike, pabarazitë lineare dhe kuadratike, ekuacionet fraksionale dhe ekuacionet që reduktohen në ato kuadratike. Parimi i zgjidhjes së suksesshme të secilës prej detyrave të përmendura është si vijon: është e nevojshme të përcaktohet se cilit lloj i përket problemi që zgjidhet, mbani mend sekuencën e nevojshme të veprimeve që do të çojnë në rezultatin e dëshiruar, d.m.th. përgjigjuni dhe ndiqni këto hapa.

Ndonjëherë është e vështirë të përcaktohet lloji i tij nga pamja e një ekuacioni. Dhe pa e ditur llojin e ekuacionit, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh atë të duhurin nga disa dhjetëra formula trigonometrike.

Për të zgjidhur ekuacionin trigonometrik, duhet të provojmë:

1. sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";
2. sillni ekuacionin në "funksionet e njëjta";
3. faktorizoni anën e majtë të ekuacionit etj.

Konsideroni metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

I. Reduktimi në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Shprehni funksionin trigonometrik me komponentë të njohur.

Hapi 2 Gjeni argumentin e funksionit duke përdorur formulat:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n harksin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hapi 3 Gjeni një ndryshore të panjohur.

Shembull.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Zgjidhje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Përgjigje: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Zëvendësimi i ndryshueshëm

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni ekuacionin në një formë algjebrike në lidhje me një nga funksionet trigonometrike.

Hapi 2 Shënoni funksionin që rezulton me ndryshoren t (nëse është e nevojshme, vendosni kufizime në t).

Hapi 3 Shkruani dhe zgjidhni ekuacionin algjebrik që rezulton.

Hapi 4 Bëni një zëvendësim të kundërt.

Hapi 5 Të zgjidhë ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë.

Shembull.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Zgjidhje.

1) 2 (1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Le të sin (x/2) = t, ku |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ose e = -3/2 nuk e plotëson kushtin |t| ≤ 1.

4) mëkat (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Përgjigje: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda e reduktimit të rendit të ekuacionit

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Zëvendësoni këtë ekuacion me një linear duke përdorur formulat e reduktimit të fuqisë:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metodat I dhe II.

Shembull.

cos2x + cos2x = 5/4.

Zgjidhje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Përgjigje: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ekuacionet homogjene

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni këtë ekuacion në formë

a) një sin x + b cos x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së parë)

ose te pamja

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Hapi 2 Ndani të dyja anët e ekuacionit me

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dhe merrni ekuacionin për tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hapi 3 Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Zgjidhje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Le të tg x = t, atëherë

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ose t = -4, pra

tg x = 1 ose tg x = -4.

Nga ekuacioni i parë x = π/4 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Përgjigje: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda për transformimin e një ekuacioni duke përdorur formulat trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Duke përdorur të gjitha llojet e formulave trigonometrike, sillni këtë ekuacion në një ekuacion që mund të zgjidhet me metodat I, II, III, IV.

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Zgjidhje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ose 2cos x + 1 = 0;

Nga ekuacioni i parë 2x = π/2 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë cos x = -1/2.

Kemi x = π/4 + πn/2, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Si rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Përgjigje: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Aftësia dhe aftësitë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike janë shumë e rëndësishme, zhvillimi i tyre kërkon përpjekje të konsiderueshme, si nga nxënësi ashtu edhe nga mësuesi.

Ekuacionet trigonometrike zënë një vend të rëndësishëm në procesin e mësimdhënies së matematikës dhe zhvillimit të personalitetit në përgjithësi.

A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.
Mësimi i parë është falas!

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike

Hyrje 2

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike 5

Algjebrike 5

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur kushtin e barazisë së funksioneve trigonometrike me të njëjtin emër 7

Faktoring 8

Reduktimi në një ekuacion homogjen 10

Prezantimi i këndit ndihmës 11

Shndërroni produktin në shumën 14

Zëvendësimi universal 14

Përfundimi 17

Prezantimi

Deri në klasën e dhjetë, rendi i veprimeve të shumë ushtrimeve që çojnë drejt qëllimit, si rregull, përcaktohet pa mëdyshje. Për shembull, ekuacionet dhe pabarazitë lineare dhe kuadratike, ekuacionet thyesore dhe ekuacionet e reduktueshme në ato kuadratike, etj. Pa analizuar në detaje parimin e zgjidhjes së secilit prej shembujve të përmendur, vërejmë gjënë e përgjithshme që është e nevojshme për zgjidhjen e suksesshme të tyre.

Në shumicën e rasteve, ju duhet të përcaktoni se çfarë lloj detyre është, mbani mend sekuencën e veprimeve që çojnë drejt qëllimit dhe kryeni këto veprime. Është e qartë se suksesi ose dështimi i studentit në zotërimin e metodave të zgjidhjes së ekuacioneve varet kryesisht nga sa ai do të jetë në gjendje të përcaktojë saktë llojin e ekuacionit dhe të kujtojë sekuencën e të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Sigurisht, kjo supozon se studenti ka aftësi për të kryer transformime dhe llogaritje identike.

Një situatë krejtësisht e ndryshme ndodh kur një student ndeshet me ekuacionet trigonometrike. Në të njëjtën kohë, nuk është e vështirë të përcaktohet fakti që ekuacioni është trigonometrik. Vështirësitë lindin kur të gjeni një rrugë veprimi që do të çonte në rezultat pozitiv. Dhe këtu studenti përballet me dy probleme. Është e vështirë të përcaktohet lloji nga pamja e ekuacionit. Dhe pa e ditur llojin, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh formulën e dëshiruar nga disa dhjetëra të disponueshme.

Për t'i ndihmuar nxënësit të gjejnë rrugën e tyre nëpër labirintin kompleks të ekuacioneve trigonometrike, ata fillimisht njihen me ekuacionet, të cilat, pas futjes së një ndryshoreje të re, reduktohen në katrorë. Pastaj zgjidhni ekuacionet homogjene dhe reduktohen në to. Gjithçka përfundon, si rregull, me ekuacione, për zgjidhjen e të cilave është e nevojshme të faktorizohet ana e majtë, pastaj të barazohet secili prej faktorëve me zero.

Duke kuptuar se ekuacionet një duzinë e gjysmë të analizuar në mësime nuk mjaftojnë qartë për ta lënë nxënësin të lundrojë i pavarur në "detin" trigonometrik, mësuesi shton disa rekomandime të tjera nga vetja.

Për të zgjidhur ekuacionin trigonometrik, duhet të provojmë:

Sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";

Sillni ekuacionin në "funksionet e njëjta";

Faktorizoni anën e majtë të ekuacionit, etj.

Por, megjithë njohjen e llojeve kryesore të ekuacioneve trigonometrike dhe disa parimeve për gjetjen e zgjidhjes së tyre, shumë studentë ende e gjejnë veten në një ngërç përpara çdo ekuacioni që ndryshon pak nga ato që ishin zgjidhur më parë. Mbetet e paqartë se për çfarë duhet të përpiqemi, duke pasur një ose një ekuacion tjetër, pse në një rast është e nevojshme të aplikoni formulat e këndit të dyfishtë, në tjetrin - gjysmën e këndit, dhe në të tretën - formulat e mbledhjes, etj.

Përkufizimi 1. Një ekuacion trigonometrik është një ekuacion në të cilin e panjohura gjendet nën shenjën e funksioneve trigonometrike.

Përkufizimi 2. Ata thonë se në ekuacionin trigonometrik kënde të njëjta, nëse të gjitha funksionet trigonometrike të përfshira në të kanë argumente të barabarta. Një ekuacion trigonometrik thuhet se ka të njëjtat funksione nëse përmban vetëm një nga funksionet trigonometrike.

Përkufizimi 3. Shkalla e një monomi që përmban funksione trigonometrike është shuma e eksponentëve të fuqive të funksioneve trigonometrike të përfshira në të.

Përkufizimi 4. Një ekuacion quhet homogjen nëse të gjithë monomët në të kanë të njëjtën shkallë. Kjo shkallë quhet rendi i ekuacionit.

Përkufizimi 5. Ekuacioni trigonometrik që përmban vetëm funksione mëkat dhe cos, quhet homogjen nëse të gjithë monomët në lidhje me funksionet trigonometrike kanë të njëjtën shkallë, dhe vetë funksionet trigonometrike kanë kënde të barabarta dhe numri i monomëve është 1 më i madh se rendi i ekuacionit.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike përbëhet nga dy faza: transformimi i ekuacionit për të marrë formën e tij më të thjeshtë dhe zgjidhja e ekuacionit më të thjeshtë trigonometrik që rezulton. Ekzistojnë shtatë metoda themelore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

I. metodë algjebrike. Kjo metodë është e njohur nga algjebra. (Metoda e zevendesimit te variablave dhe zevendesimi).

Zgjidh ekuacione.

Le të prezantojmë shënimin x=2 mëkat3 t, marrim

Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim:
ose

ato. mund të shkruhet

Gjatë shkrimit të zgjidhjes së marrë për shkak të pranisë së shenjave shkallë
nuk ka kuptim te shkruash.

Përgjigje:

Shënoni

Ne marrim një ekuacion kuadratik
. Rrënjët e saj janë numra
dhe
. Prandaj, ky ekuacion reduktohet në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike
dhe
. Duke i zgjidhur ato, ne e gjejmë atë
ose
.

Përgjigje:
;
.

Shënoni

nuk e plotëson kushtin

Do të thotë

Përgjigje:

Le të transformojmë anën e majtë të ekuacionit:

Kështu, ky ekuacion fillestar mund të shkruhet si:

, d.m.th.

Duke treguar
, marrim
Duke zgjidhur këtë ekuacion kuadratik, kemi:

nuk e plotëson kushtin

Shkruajmë zgjidhjen e ekuacionit origjinal:

Përgjigje:

Zëvendësimi
e redukton këtë ekuacion në një ekuacion kuadratik
. Rrënjët e saj janë numra
dhe
. Sepse
, pastaj ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë.

Përgjigje: pa rrënjë.

II. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur kushtin e barazisë së funksioneve trigonometrike me të njëjtin emër.

a)
, nëse

b)
, nëse

në)
, nëse

Duke përdorur këto kushte, merrni parasysh zgjidhjen e ekuacioneve të mëposhtme:

Duke përdorur atë që u tha në pikën a), gjejmë se ekuacioni ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse
.

Duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë
.

Kemi dy grupe zgjidhjesh:

.

7) Zgjidheni ekuacionin:
.

Duke përdorur kushtin e pjesës b) nxjerrim përfundimin se
.

Duke zgjidhur këto ekuacione kuadratike, marrim:

8) Zgjidheni ekuacionin
.

Nga ky ekuacion nxjerrim se . Duke zgjidhur këtë ekuacion kuadratik, gjejmë se

.

III. Faktorizimi.

Ne e konsiderojmë këtë metodë me shembuj.

9) Zgjidheni ekuacionin
.

Zgjidhje. Le t'i zhvendosim majtas të gjithë termat e ekuacionit: .

Ne transformojmë dhe faktorizojmë shprehjen në anën e majtë të ekuacionit:
.

1)
2)

Sepse
dhe
mos e merrni vlerën nule

në të njëjtën kohë, pastaj i ndajmë të dyja pjesët

ekuacionet për
,

Përgjigje:

10) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje.

ose

Përgjigje:

11) Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhja:

1)
2)
3)

Përgjigje:

IV. Reduktimi në një ekuacion homogjen.

Për të zgjidhur një ekuacion homogjen, ju duhet:

Lëvizni të gjithë anëtarët e tij në anën e majtë;

Vendosni të gjithë faktorët e zakonshëm jashtë kllapave;

Barazoni të gjithë faktorët dhe kllapat me zero;

Kllapat e barazuara me zero japin një ekuacion homogjen të shkallës më të vogël, i cili duhet të pjesëtohet me
(ose
) në gradën e lartë;

Zgjidheni ekuacionin algjebrik që rezulton për
.

Konsideroni shembuj:

12) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje.

Ndani të dyja anët e ekuacionit me
,

Prezantimi i shënimit
, emri

rrënjët e këtij ekuacioni janë:

nga këtu 1)
2)

Përgjigje:

13) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje. Duke përdorur formulat e këndit të dyfishtë dhe bazën identiteti trigonometrik, ne e reduktojmë këtë ekuacion në një gjysmë argument:

Pas reduktimit të termave të ngjashëm, kemi:

Pjesëtimi i ekuacionit të fundit homogjen me
, marrim

Unë do të caktoj
, marrim ekuacionin kuadratik
, rrënjët e të cilit janë numrat

Në këtë mënyrë

Shprehje
zhduket në
, d.m.th. në
,
.

Zgjidhja jonë e ekuacionit nuk përfshin këta numra.

Përgjigje:
, .

V. Futja e një këndi ndihmës.

Konsideroni një ekuacion të formës

Ku a, b, c- koeficientët, x- e panjohur.

Ndani të dyja anët e këtij ekuacioni me

Tani koeficientët e ekuacionit kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë: moduli i secilit prej tyre nuk kalon një, dhe shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1.

Pastaj ne mund t'i etiketojmë ato në përputhje me rrethanat
(këtu - këndi ndihmës) dhe barazimi ynë merr formën: .

Pastaj

Dhe vendimi i tij

Vini re se shënimi i paraqitur është i këmbyeshëm.

14) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje. Këtu
, pra ndajmë të dyja anët e ekuacionit me

Përgjigje:

15) Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhje. Sepse
, atëherë ky ekuacion është i barabartë me ekuacionin

Sepse
, atëherë ka një kënd të tillë që
,
(ato.
).

Ne kemi

Sepse
, atëherë më në fund marrim:

Vini re se një ekuacion i formës ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse

16) Zgjidheni ekuacionin:

Për të zgjidhur këtë ekuacion, ne grupojmë funksionet trigonometrike me të njëjtat argumente

Ndani të dyja anët e ekuacionit me dy

Ne e transformojmë shumën e funksioneve trigonometrike në një produkt:

Përgjigje:

VI. Shndërroni produktin në shumë.

Këtu përdoren formulat përkatëse.

17) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje. Le ta kthejmë anën e majtë në një shumë:

VII.Zëvendësimi universal.

këto formula janë të vërteta për të gjithë

Zëvendësimi
quhet universale.

18) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhja: Zëvendësoni dhe
për shprehjen e tyre nëpërmjet
dhe shënojnë
.

marrim ekuacioni racional
, i cili shndërrohet në katror
.

Rrënjët e këtij ekuacioni janë numrat
.

Prandaj, problemi u reduktua në zgjidhjen e dy ekuacioneve
.

Ne e gjejmë atë
.

Shiko vlerën
nuk plotëson ekuacionin origjinal, i cili vërtetohet me kontroll - zëvendësim vlera e dhënë t në ekuacionin origjinal.

Përgjigje:
.

Komentoni. Ekuacioni 18 mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër.

Pjesëtoni të dyja anët e këtij ekuacioni me 5 (d.m.th. me
):
.

Sepse
, atëherë ka një numër
, çfarë
dhe
. Pra, ekuacioni bëhet:
ose
. Nga këtu e gjejmë atë
ku
.

19) Zgjidheni ekuacionin
.

Zgjidhje. Që nga funksionet
dhe
kanë vlerën më të madhe të barabartë me 1, atëherë shuma e tyre është e barabartë me 2 nëse
dhe
, në të njëjtën kohë, d.m.th
.