Si të zgjidhim shembuj të ekuacioneve trigonometrike. Ekuacionet trigonometrike

Koncepti i zgjidhjes ekuacionet trigonometrike.

• Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik, shndërrojeni atë në një ose më shumë ekuacione trigonometrike bazë. Zgjidhja e ekuacionit trigonometrik përfundimisht zbret në zgjidhjen e katër ekuacioneve bazë trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve bazë trigonometrike.

• Ekzistojnë 4 lloje të ekuacioneve bazë trigonometrike:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Zgjidhja e ekuacioneve bazë trigonometrike përfshin shikimin e pozicioneve të ndryshme x në rrethin e njësisë, si dhe përdorimin e një tabele konvertimi (ose kalkulator).
• Shembulli 1. sin x = 0,866. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator), ju merrni përgjigjen: x = π/3. Rrethi njësi jep një përgjigje tjetër: 2π/3. Mos harroni: të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, domethënë, vlerat e tyre përsëriten. Për shembull, periodiciteti i sin x dhe cos x është 2πn, dhe periodiciteti i tg x dhe ctg x është πn. Pra, përgjigja është shkruar kështu:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Shembulli 2 cos x = -1/2. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator), ju merrni përgjigjen: x = 2π/3. Rrethi njësi jep një përgjigje tjetër: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Shembulli 3. tg (x - π/4) = 0.
• Përgjigje: x \u003d π / 4 + πn.
• Shembulli 4. ctg 2x = 1.732.
• Përgjigje: x \u003d π / 12 + πn.

Transformimet e përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

• Për të transformuar ekuacionet trigonometrike, përdoren shndërrimet algjebrike (faktorizimi, reduktimi anëtarë homogjenë etj) dhe identitetet trigonometrike.
• Shembulli 5. Përdorimi i identiteteve trigonometrike, ekuacioni i mëkatit x + sin 2x + sin 3x = 0 konvertohet në ekuacionin 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Pra, duhet të zgjidhen ekuacionet themelore trigonometrike të mëposhtme: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Gjetja e këndeve nga vlerat e njohura të funksioneve.

  • Para se të mësoni se si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike, duhet të mësoni se si të gjeni kënde nga vlerat e njohura të funksioneve. Kjo mund të bëhet duke përdorur një tabelë konvertimi ose kalkulator.
  • Shembull: cos x = 0,732. Llogaritësi do të japë përgjigjen x = 42,95 gradë. Rrethi njësi do të japë kënde shtesë, kosinusi i të cilit është gjithashtu i barabartë me 0,732.

• Lëreni mënjanë tretësirën në rrethin e njësisë.

  • Ju mund të vendosni zgjidhje për ekuacionin trigonometrik në rrethin njësi. Zgjidhjet e ekuacionit trigonometrik në rrethin njësi janë kulmet e një shumëkëndëshi të rregullt.
  • Shembull: Zgjidhjet x = π/3 + πn/2 në rrethin njësi janë kulmet e katrorit.
  • Shembull: Zgjidhjet x = π/4 + πn/3 në rrethin njësi janë kulmet e një gjashtëkëndëshi të rregullt.

• Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

  • Nëse një ekuacion trigonometrik i dhënë përmban vetëm një funksioni trigonometrik, zgjidhni këtë ekuacion si një ekuacion bazë trigonometrik. Nëse një ekuacion i dhënë përfshin dy ose më shumë funksione trigonometrike, atëherë ekzistojnë 2 metoda për zgjidhjen e një ekuacioni të tillë (në varësi të mundësisë së transformimit të tij).
    • Metoda 1
  • Shndërroje këtë ekuacion në një ekuacion të formës: f(x)*g(x)*h(x) = 0, ku f(x), g(x), h(x) janë ekuacionet bazë trigonometrike.
  • Shembulli 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Zgjidhje. Duke përdorur formulën e këndit të dyfishtë sin 2x = 2*sin x*cos x, zëvendësoni sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacione bazë trigonometrike: cos x = 0 dhe (sin x + 1) = 0.
  • Shembulli 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Zgjidhje: Duke përdorur identitete trigonometrike, transformojeni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacione bazë trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2cos x + 1) = 0.
  • Shembulli 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Zgjidhje: Duke përdorur identitete trigonometrike, transformojeni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacione bazë trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2sin x + 1) = 0.
    • Metoda 2
  • Shndërroni ekuacionin e dhënë trigonometrik në një ekuacion që përmban vetëm një funksion trigonometrik. Pastaj zëvendësojeni këtë funksion trigonometrik me ndonjë të panjohur, për shembull, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, etj.).
  • Shembulli 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Zgjidhje. Në këtë ekuacion, zëvendësoni (cos^2 x) me (1 - sin^2 x) (sipas identitetit). Ekuacioni i transformuar duket si ky:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zëvendëso sin x me t. Tani ekuacioni duket si: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ky është një ekuacion kuadratik me dy rrënjë: t1 = -1 dhe t2 = 9/5. Rrënja e dytë t2 nuk kënaq gamën e funksionit (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Shembulli 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Zgjidhje. Zëvendësoni tg x me t. Rishkruajeni ekuacionin origjinal si më poshtë: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Tani gjeni t dhe më pas gjeni x për t = tg x.

Mësim dhe prezantim me temën: "Zgjidhja e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike"

Materiale shtesë
Të nderuar përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, sugjerimet tuaja! Të gjitha materialet kontrollohen nga një program antivirus.

Manuale dhe simulatorë në dyqanin online "Integral" për klasën 10 nga 1C
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë
Mjedisi i softuerit "1C: Konstruktor matematik 6.1"

Çfarë do të studiojmë:
1. Çfarë janë ekuacionet trigonometrike?

3. Dy metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
4. Ekuacionet trigonometrike homogjene.
5. Shembuj.

Cilat janë ekuacionet trigonometrike?

Djema, ne kemi studiuar tashmë arksinën, arkozinën, arktangjentin dhe arkotangjentin. Tani le të shohim ekuacionet trigonometrike në përgjithësi.

Ekuacionet trigonometrike - ekuacionet në të cilat ndryshorja gjendet nën shenjën e funksionit trigonometrik.

Ne përsërisim formën e zgjidhjes së ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike:

1) Nëse |а|≤ 1, atëherë ekuacioni cos(x) = a ka një zgjidhje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Nëse |а|≤ 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a ka një zgjidhje:

3) Nëse |a| > 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a dhe cos(x) = a nuk kanë zgjidhje 4) Ekuacioni tg(x)=a ka një zgjidhje: x=arctg(a)+ πk

5) Ekuacioni ctg(x)=a ka zgjidhje: x=arcctg(a)+ πk

Për të gjitha formulat, k është një numër i plotë

Ekuacionet trigonometrike më të thjeshta kanë formën: Т(kx+m)=a, T- çdo funksion trigonometrik.

Shembull.

Zgjidh ekuacionet: a) sin(3x)= √3/2

Zgjidhja:

A) Le të shënojmë 3x=t, atëherë do ta rishkruajmë ekuacionin tonë në formën:

Zgjidhja e këtij ekuacioni do të jetë: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Nga tabela e vlerave marrim: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Le të kthehemi te ndryshorja jonë: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atëherë x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Përgjigje: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ku n është një numër i plotë. (-1)^n - minus një në fuqinë e n.

Më shumë shembuj të ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidh ekuacionet: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Zgjidhja:

A) Këtë herë do të shkojmë drejtpërdrejt në llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit menjëherë:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atëherë x/5= πk => x=5πk

Përgjigje: x=5πk, ku k është një numër i plotë.

B) Shkruajmë në formën: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ne e dimë se: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Përgjigje: x=2π/9 + πk/3, ku k është një numër i plotë.

Zgjidh ekuacionet: cos(4x)= √2/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segment.

Zgjidhja:

Ne do të vendosim në pamje e përgjithshme ekuacioni ynë: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tani le të shohim se cilat rrënjë bien në segmentin tonë. Për k Për k=0, x= π/16, jemi në segmentin e dhënë.
Me k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, godasin sërish.
Për k=2, x= π/16+ π=17π/16, por këtu nuk goditëm, që do të thotë se nuk do të godasim as për k të madh.

Përgjigje: x= π/16, x= 9π/16

Dy metoda kryesore të zgjidhjes.

Ne kemi shqyrtuar ekuacionet trigonometrike më të thjeshta, por ka edhe më komplekse. Për zgjidhjen e tyre përdoret metoda e futjes së një ndryshoreje të re dhe metoda e faktorizimit. Le të shohim shembuj.

Le të zgjidhim ekuacionin:

Zgjidhja:
Për të zgjidhur ekuacionin tonë, ne përdorim metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re, të shënuar: t=tg(x).

Si rezultat i zëvendësimit, marrim: t 2 + 2t -1 = 0

Gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik: t=-1 dhe t=1/3

Pastaj tg(x)=-1 dhe tg(x)=1/3, morëm ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë, le të gjejmë rrënjët e tij.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Përgjigje: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Zgjidh ekuacionet: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Zgjidhja:

Le të përdorim identitetin: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ekuacioni ynë bëhet: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Le të prezantojmë zëvendësimin t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik janë rrënjët: t=2 dhe t=-1/2

Pastaj cos(x)=2 dhe cos(x)=-1/2.

Sepse kosinusi nuk mund të marrë vlera më të mëdha se një, atëherë cos(x)=2 nuk ka rrënjë.

Për cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Përgjigje: x= ±2π/3 + 2πk

Ekuacionet trigonometrike homogjene.

Përkufizim: Një ekuacion i formës a sin(x)+b cos(x) quhen ekuacione trigonometrike homogjene të shkallës së parë.

Ekuacionet e formës

ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë.

Për të zgjidhur një ekuacion homogjen trigonometrik të shkallës së parë, ne e ndajmë atë me cos(x): Ju nuk mund të pjesëtoni me kosinus nëse është zero, le të sigurohemi që nuk është:
Le të cos(x)=0, pastaj asin(x)+0=0 => sin(x)=0, por sinusi dhe kosinusi nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, kemi marrë një kontradiktë, kështu që mund të ndajmë me siguri me zero.

Zgjidhe ekuacionin:
Shembull: cos 2 (x) + sin (x) cos(x) = 0

Zgjidhja:

Hiqni faktorin e përbashkët: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atëherë duhet të zgjidhim dy ekuacione:

cos(x)=0 dhe cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 për x= π/2 + πk;

Konsideroni ekuacionin cos(x)+sin(x)=0 Pjesëtojmë ekuacionin tonë me cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Përgjigje: x= π/2 + πk dhe x= -π/4+πk

Si të zgjidhen ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë?
Djema, respektoni gjithmonë këto rregulla!

1. Shihni me çfarë është i barabartë koeficienti a, nëse a \u003d 0 atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), një shembull i zgjidhjes së të cilit është në të mëparshmen rrëshqitje

2. Nëse a≠0, atëherë duhet të ndani të dyja pjesët e ekuacionit me kosinusin në katror, ​​marrim:

Bëjmë ndryshimin e ndryshores t=tg(x) marrim ekuacionin:

Zgjidh shembullin #:3

Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja:

Ndani të dyja anët e ekuacionit me katrorin kosinus:

Bëjmë një ndryshim të ndryshores t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik: t=-3 dhe t=1

Atëherë: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Përgjigje: x=-arctg(3) + πk dhe x= π/4+ πk

Zgjidh shembullin #:4

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Ne mund të zgjidhim ekuacione të tilla: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Përgjigje: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Zgjidh shembullin #:5

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Ne prezantojmë zëvendësimin tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik do të jenë rrënjët: t=-2 dhe t=1/2

Pastaj marrim: tg(2x)=-2 dhe tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Përgjigje: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dhe x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Detyrat për zgjidhje të pavarur.

1) Zgjidhe ekuacionin

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Zgjidh ekuacionet: sin(3x)= √3/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segmentin [π/2; π].

3) Zgjidhe ekuacionin: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Zgjidhe ekuacionin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Zgjidhe ekuacionin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Zgjidheni ekuacionin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Kërkon njohuri për formulat themelore të trigonometrisë - shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit, shprehja e tangjentes përmes sinusit dhe kosinusit dhe të tjera. Për ata që i kanë harruar ose nuk i njohin, ju rekomandojmë të lexoni artikullin "".
Pra, ne i dimë formulat bazë trigonometrike, është koha t'i zbatojmë ato në praktikë. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike në qasje e drejtë- një aktivitet mjaft emocionues, si, për shembull, zgjidhja e një kubi Rubik.

Bazuar në vetë emrin, është e qartë se një ekuacion trigonometrik është një ekuacion në të cilin e panjohura është nën shenjën e një funksioni trigonometrik.
Ekzistojnë të ashtuquajturat ekuacione të thjeshta trigonometrike. Ja si duken ato: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Konsideroni, si të zgjidhen ekuacione të tilla trigonometrike, për qartësi, do të përdorim rrethin trigonometrik tashmë të njohur.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

ahur x = a

Çdo ekuacion trigonometrik zgjidhet në dy faza: e sjellim ekuacionin në formën më të thjeshtë dhe më pas e zgjidhim si ekuacionin më të thjeshtë trigonometrik.
Ekzistojnë 7 metoda kryesore me të cilat zgjidhen ekuacionet trigonometrike.

1. Zëvendësimi i ndryshueshëm dhe metoda e zëvendësimit

Zgjidheni ekuacionin 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Duke përdorur formulat e reduktimit marrim:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

Le të zëvendësojmë cos(x + /6) me y për thjeshtësi dhe të marrim ekuacionin e zakonshëm kuadratik:

2v 2 – 3vje + 1 + 0

Rrënjët e të cilave y 1 = 1, y 2 = 1/2

Tani le të shkojmë prapa

Zëvendësojmë vlerat e gjetura të y dhe marrim dy përgjigje:

2. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike përmes faktorizimit

Si të zgjidhet ekuacioni sin x + cos x = 1 ?

Le të lëvizim gjithçka në të majtë në mënyrë që 0 të mbetet në të djathtë:

sin x + cos x - 1 = 0

Ne përdorim identitetet e mësipërme për të thjeshtuar ekuacionin:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Le të bëjmë faktorizimin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Marrim dy ekuacione

3. Reduktimi në një ekuacion homogjen

Një ekuacion është homogjen në lidhje me sinusin dhe kosinusin nëse të gjithë termat e tij në lidhje me sinusin dhe kosinusin janë të së njëjtës shkallë të të njëjtit kënd. Për të zgjidhur një ekuacion homogjen, veproni si më poshtë:

a) transferoni të gjithë anëtarët e tij në anën e majtë;

b) vendosi jashtë kllapave të gjithë faktorët e përbashkët;

c) barazoni të gjithë faktorët dhe kllapat me 0;

d) marrë në kllapa ekuacioni homogjen në një shkallë më të vogël, ai, nga ana tjetër, ndahet në një sinus ose kosinus në një shkallë më të lartë;

e) zgjidhni ekuacionin që rezulton për tg.

Zgjidhe ekuacionin 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Le të përdorim formulën sin 2 x + cos 2 x = 1 dhe të heqim qafe dy të hapura në të djathtë:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Ndani me cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Ne zëvendësojmë tg x me y dhe marrim një ekuacion kuadratik:

y 2 + 4y +3 = 0 rrënjët e së cilës janë y 1 =1, y 2 = 3

Nga këtu gjejmë dy zgjidhje për ekuacionin origjinal:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Zgjidhja e ekuacioneve, përmes kalimit në një gjysmë kënd

Zgjidheni ekuacionin 3sin x - 5cos x = 7

Le të kalojmë te x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Zhvendosja e gjithçkaje në të majtë:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Pjestojeni me cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Futja e një këndi ndihmës

Për shqyrtim, le të marrim një ekuacion të formës: a sin x + b cos x \u003d c,

ku a, b, c janë disa koeficientë arbitrarë dhe x është një e panjohur.

Ndani të dyja anët e ekuacionit me:



Tani koeficientët e ekuacionit, sipas formulave trigonometrike, kanë vetitë e sin dhe cos, përkatësisht: moduli i tyre nuk është më shumë se 1 dhe shuma e katrorëve = 1. Le t'i shënojmë përkatësisht si cos dhe sin, ku është kështu -quhet kënd ndihmës. Atëherë ekuacioni do të marrë formën:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ose sin(x + ) = C

Zgjidhja e këtij ekuacioni të thjeshtë trigonometrik është

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, ku



Duhet të theksohet se emërtimet cos dhe sin janë të këmbyeshëm.

Zgjidheni ekuacionin sin 3x - cos 3x = 1

Në këtë ekuacion, koeficientët janë:

a \u003d, b \u003d -1, kështu që ne i ndajmë të dy pjesët me \u003d 2

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike

Hyrje 2

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike 5

Algjebrike 5

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur kushtin e barazisë së funksioneve trigonometrike me të njëjtin emër 7

Faktoring 8

Reduktimi në një ekuacion homogjen 10

Prezantimi i këndit ndihmës 11

Shndërroni produktin në shumën 14

Zëvendësimi universal 14

Përfundimi 17

Prezantimi

Deri në klasën e dhjetë, rendi i veprimeve të shumë ushtrimeve që çojnë drejt qëllimit, si rregull, përcaktohet pa mëdyshje. Për shembull, lineare dhe ekuacionet kuadratike dhe pabarazitë ekuacionet thyesore dhe ekuacionet e reduktueshme në kuadratikë etj. Pa analizuar në detaje parimin e zgjidhjes së secilit prej shembujve të përmendur, vërejmë gjënë e përgjithshme që është e nevojshme për zgjidhjen e suksesshme të tyre.

Në shumicën e rasteve, ju duhet të përcaktoni se çfarë lloj detyre është, mbani mend sekuencën e veprimeve që çojnë drejt qëllimit dhe kryeni këto veprime. Është e qartë se suksesi ose dështimi i studentit në zotërimin e metodave të zgjidhjes së ekuacioneve varet kryesisht nga sa ai do të jetë në gjendje të përcaktojë saktë llojin e ekuacionit dhe të kujtojë sekuencën e të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Sigurisht, kjo supozon se studenti ka aftësi për të kryer transformime dhe llogaritje identike.

Një situatë krejtësisht e ndryshme ndodh kur një student ndeshet me ekuacionet trigonometrike. Në të njëjtën kohë, nuk është e vështirë të përcaktohet fakti që ekuacioni është trigonometrik. Vështirësitë lindin kur të gjeni një rrugë veprimi që do të çonte në rezultat pozitiv. Dhe këtu studenti përballet me dy probleme. Nga pamjen ekuacionet janë të vështira për të përcaktuar llojin. Dhe pa e ditur llojin, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh formulën e dëshiruar nga disa dhjetëra të disponueshme.

Për t'i ndihmuar nxënësit të gjejnë rrugën e tyre nëpër labirintin kompleks të ekuacioneve trigonometrike, ata fillimisht njihen me ekuacionet, të cilat, pas futjes së një ndryshoreje të re, reduktohen në katrorë. Pastaj zgjidhni ekuacionet homogjene dhe reduktohen në to. Gjithçka përfundon, si rregull, me ekuacione, për zgjidhjen e të cilave është e nevojshme të faktorizohet ana e majtë, pastaj të barazohet secili prej faktorëve me zero.

Duke kuptuar se ekuacionet një duzinë e gjysmë të analizuar në mësime nuk mjaftojnë qartë për ta lënë nxënësin të lundrojë i pavarur në "detin" trigonometrik, mësuesi shton disa rekomandime të tjera nga vetja.

Për të zgjidhur ekuacionin trigonometrik, duhet të provojmë:

Sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";

Sillni ekuacionin në "funksionet e njëjta";

Faktorizoni anën e majtë të ekuacionit, etj.

Por, megjithë njohjen e llojeve kryesore të ekuacioneve trigonometrike dhe disa parimeve për gjetjen e zgjidhjes së tyre, shumë studentë ende e gjejnë veten në një ngërç përpara çdo ekuacioni që ndryshon pak nga ato që ishin zgjidhur më parë. Mbetet e paqartë se për çfarë duhet të përpiqemi, duke pasur një ose një ekuacion tjetër, pse në një rast është e nevojshme të aplikoni formulat e këndit të dyfishtë, në tjetrin - gjysmën e këndit, dhe në të tretën - formulat e mbledhjes, etj.

Përkufizimi 1. Një ekuacion trigonometrik është një ekuacion në të cilin e panjohura gjendet nën shenjën e funksioneve trigonometrike.

Përkufizimi 2. Ata thonë se në ekuacionin trigonometrik kënde të njëjta, nëse të gjitha funksionet trigonometrike të përfshira në të kanë argumente të barabarta. Një ekuacion trigonometrik thuhet se ka të njëjtat funksione nëse përmban vetëm një nga funksionet trigonometrike.

Përkufizimi 3. Shkalla e një monomi që përmban funksione trigonometrike është shuma e eksponentëve të fuqive të funksioneve trigonometrike të përfshira në të.

Përkufizimi 4. Një ekuacion quhet homogjen nëse të gjithë monomët në të kanë të njëjtën shkallë. Kjo shkallë quhet rendi i ekuacionit.

Përkufizimi 5. Ekuacioni trigonometrik që përmban vetëm funksione mëkat dhe cos, quhet homogjen nëse të gjithë monomët në lidhje me funksionet trigonometrike kanë të njëjtën shkallë, dhe vetë funksionet trigonometrike kanë kënde të barabarta dhe numri i monomëve është 1 më i madh se rendi i ekuacionit.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike përbëhet nga dy faza: transformimi i ekuacionit për të marrë formën e tij më të thjeshtë dhe zgjidhja e ekuacionit më të thjeshtë trigonometrik që rezulton. Ekzistojnë shtatë metoda themelore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

I. metodë algjebrike. Kjo metodë është e njohur nga algjebra. (Metoda e zevendesimit te variablave dhe zevendesimi).

Zgjidh ekuacione.

1)

Le të prezantojmë shënimin x=2 mëkat3 t, marrim

Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim:
ose

ato. mund të shkruhet

Gjatë shkrimit të zgjidhjes së marrë për shkak të pranisë së shenjave shkallë
nuk ka kuptim te shkruash.

Përgjigje:

Shënoni

Ne marrim një ekuacion kuadratik
. Rrënjët e saj janë numra
dhe
. Prandaj, ky ekuacion reduktohet në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike
dhe
. Duke i zgjidhur ato, ne e gjejmë atë
ose
.

Përgjigje:
;
.

Shënoni

nuk e plotëson kushtin

Do të thotë

Përgjigje:

Le të transformojmë anën e majtë të ekuacionit:

Kështu, ky ekuacion fillestar mund të shkruhet si:

, d.m.th.

Duke treguar
, marrim
Duke zgjidhur këtë ekuacion kuadratik, kemi:

nuk e plotëson kushtin

Shkruajmë zgjidhjen e ekuacionit origjinal:

Përgjigje:

Zëvendësimi
e redukton këtë ekuacion në një ekuacion kuadratik
. Rrënjët e saj janë numra
dhe
. Sepse
, pastaj ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë.

Përgjigje: pa rrënjë.

II. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur kushtin e barazisë së funksioneve trigonometrike me të njëjtin emër.

a)
, nëse

b)
, nëse

në)
, nëse

Duke përdorur këto kushte, merrni parasysh zgjidhjen e ekuacioneve të mëposhtme:

6)

Duke përdorur atë që u tha në pikën a), gjejmë se ekuacioni ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse
.

Duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë
.

Kemi dy grupe zgjidhjesh:

.

7) Zgjidheni ekuacionin:
.

Duke përdorur kushtin e pjesës b) nxjerrim përfundimin se
.

Duke zgjidhur këto ekuacione kuadratike, marrim:

.

8) Zgjidheni ekuacionin
.

Nga ky ekuacion nxjerrim se . Duke zgjidhur këtë ekuacion kuadratik, gjejmë se

.

III. Faktorizimi.

Ne e konsiderojmë këtë metodë me shembuj.

9) Zgjidheni ekuacionin
.

Zgjidhje. Le t'i zhvendosim majtas të gjithë termat e ekuacionit: .

Ne transformojmë dhe faktorizojmë shprehjen në anën e majtë të ekuacionit:
.

.

.

1)
2)

Sepse
dhe
mos e merrni vlerën nule

në të njëjtën kohë, pastaj i ndajmë të dyja pjesët

ekuacionet për
,

Përgjigje:

10) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje.

ose

Përgjigje:

11) Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhja:

1)
2)
3)

,

Përgjigje:

IV. Reduktimi në një ekuacion homogjen.

Për të zgjidhur një ekuacion homogjen, ju duhet:

Lëvizni të gjithë anëtarët e tij në anën e majtë;

Vendosni të gjithë faktorët e zakonshëm jashtë kllapave;

Barazoni të gjithë faktorët dhe kllapat me zero;

Kllapat e barazuara me zero japin një ekuacion homogjen të shkallës më të vogël, i cili duhet të pjesëtohet me
(ose
) në gradën e lartë;

Zgjidhja e marrë ekuacioni algjebrik relativisht
.

Konsideroni shembuj:

12) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje.

Ndani të dyja anët e ekuacionit me
,

Prezantimi i shënimit
, emri

rrënjët e këtij ekuacioni janë:

nga këtu 1)
2)

Përgjigje:

13) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje. Duke përdorur formulat e këndit të dyfishtë dhe bazën identiteti trigonometrik, ne e reduktojmë këtë ekuacion në një gjysmë argument:

Pas reduktimit të termave të ngjashëm, kemi:

Pjesëtimi i ekuacionit të fundit homogjen me
, marrim

Unë do të caktoj
, marrim ekuacionin kuadratik
, rrënjët e të cilit janë numrat

Në këtë mënyrë

Shprehje
zhduket në
, d.m.th. në
,
.

Zgjidhja jonë e ekuacionit nuk përfshin këta numra.

Përgjigje:
, .

V. Futja e një këndi ndihmës.

Konsideroni një ekuacion të formës

Ku a, b, c- koeficientët, x- e panjohur.

Ndani të dyja anët e këtij ekuacioni me

Tani koeficientët e ekuacionit kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë: moduli i secilit prej tyre nuk kalon një, dhe shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1.

Pastaj ne mund t'i etiketojmë ato në përputhje me rrethanat
(këtu - këndi ndihmës) dhe barazimi ynë merr formën: .

Pastaj

Dhe vendimi i tij

Vini re se shënimi i paraqitur është i këmbyeshëm.

14) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje. Këtu
, pra ndajmë të dyja anët e ekuacionit me

Përgjigje:

15) Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhje. Sepse
, atëherë ky ekuacion është i barabartë me ekuacionin

Sepse
, atëherë ka një kënd të tillë që
,
(ato.
).

Ne kemi

Sepse
, atëherë më në fund marrim:

.

Vini re se një ekuacion i formës ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse

16) Zgjidheni ekuacionin:

Për të zgjidhur këtë ekuacion, ne grupojmë funksionet trigonometrike me të njëjtat argumente

Ndani të dyja anët e ekuacionit me dy

Ne e transformojmë shumën e funksioneve trigonometrike në një produkt:

Përgjigje:

VI. Shndërroni produktin në shumë.

Këtu përdoren formulat përkatëse.

17) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhje. Le ta kthejmë anën e majtë në një shumë:

VII.Zëvendësimi universal.

,

këto formula janë të vërteta për të gjithë

Zëvendësimi
quhet universale.

18) Zgjidheni ekuacionin:

Zgjidhja: Zëvendësoni dhe
për shprehjen e tyre nëpërmjet
dhe shënojnë
.

Ne marrim një ekuacion racional
, i cili shndërrohet në katror
.

Rrënjët e këtij ekuacioni janë numrat
.

Prandaj, problemi u reduktua në zgjidhjen e dy ekuacioneve
.

Ne e gjejmë atë
.

Shiko vlerën
nuk plotëson ekuacionin origjinal, i cili vërtetohet me kontroll - zëvendësim vlerën e dhënë t në ekuacionin origjinal.

Përgjigje:
.

Koment. Ekuacioni 18 mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër.

Pjesëtoni të dyja anët e këtij ekuacioni me 5 (d.m.th. me
):
.

Sepse
, atëherë ka një numër
, çfarë
dhe
. Pra, ekuacioni bëhet:
ose
. Nga këtu e gjejmë atë
ku
.

19) Zgjidheni ekuacionin
.

Zgjidhje. Që nga funksionet
dhe
kanë vlerën më të madhe të barabartë me 1, atëherë shuma e tyre është e barabartë me 2 nëse
dhe
, në të njëjtën kohë, d.m.th
.

Përgjigje:
.

Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni, është përdorur kufiri i funksioneve dhe.

konkluzioni.

Duke punuar në temën "Zgjidhjet e ekuacioneve trigonometrike", është e dobishme që secili mësues të ndjekë rekomandimet e mëposhtme:

Sistematizoni metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidhni vetë hapat për të kryer analizën e ekuacionit dhe shenjat e përshtatshmërisë së përdorimit të një ose një metode tjetër zgjidhjeje.

Të mendosh për mënyrat e vetëkontrollit të aktivitetit për zbatimin e metodës.

Mësoni të bëni ekuacionet "tuaj" për secilën nga metodat e studiuara.

Aplikimi nr. 1

Të zgjidhin ekuacione homogjene ose të reduktueshme.

1.	Reps.
	Reps.
	Reps.
5.	Reps.
	Reps.
7.	Reps.
	Reps.

Kur zgjidhni shumë problemet e matematikës , sidomos ato që ndodhin para klasës 10, është e përcaktuar qartë radha e veprimeve të kryera që do të çojnë te qëllimi. Probleme të tilla përfshijnë, për shembull, ekuacionet lineare dhe kuadratike, lineare dhe pabarazitë katrore, ekuacionet thyesore dhe ekuacionet që reduktohen në ekuacione kuadratike. Parimi i zgjidhjes së suksesshme të secilës prej detyrave të përmendura është si vijon: është e nevojshme të përcaktohet se cilit lloj i përket problemi që zgjidhet, mbani mend sekuencën e nevojshme të veprimeve që do të çojnë në rezultatin e dëshiruar, d.m.th. përgjigjuni dhe ndiqni këto hapa.

Natyrisht, suksesi ose dështimi në zgjidhjen e një problemi të caktuar varet kryesisht nga sa saktë përcaktohet lloji i ekuacionit që zgjidhet, sa saktë riprodhohet sekuenca e të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Natyrisht, në këtë rast, është e nevojshme të keni aftësi për të kryer transformime dhe llogaritje identike.

Një situatë e ndryshme ndodh me ekuacionet trigonometrike. Nuk është e vështirë të përcaktohet fakti që ekuacioni është trigonometrik. Vështirësitë lindin gjatë përcaktimit të sekuencës së veprimeve që do të çonin në përgjigjen e saktë.

Ndonjëherë është e vështirë të përcaktohet lloji i tij nga pamja e një ekuacioni. Dhe pa e ditur llojin e ekuacionit, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh atë të duhurin nga disa dhjetëra formula trigonometrike.

Për të zgjidhur ekuacionin trigonometrik, duhet të provojmë:

1. sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";
2. sillni ekuacionin në "funksionet e njëjta";
3. faktorizoni anën e majtë të ekuacionit etj.

Konsideroni metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

I. Reduktimi në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Shprehni funksionin trigonometrik me komponentë të njohur.

Hapi 2 Gjeni argumentin e funksionit duke përdorur formulat:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n harksin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hapi 3 Gjeni një ndryshore të panjohur.

Shembull.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Zgjidhje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Përgjigje: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Zëvendësimi i ndryshueshëm

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni ekuacionin në një formë algjebrike në lidhje me një nga funksionet trigonometrike.

Hapi 2 Shënoni funksionin që rezulton me ndryshoren t (nëse është e nevojshme, vendosni kufizime në t).

Hapi 3 Shkruani dhe zgjidhni ekuacionin algjebrik që rezulton.

Hapi 4 Bëni një zëvendësim të kundërt.

Hapi 5 Të zgjidhë ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë.

Shembull.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Zgjidhje.

1) 2 (1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Le të sin (x/2) = t, ku |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ose e = -3/2 nuk e plotëson kushtin |t| ≤ 1.

4) mëkat (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Përgjigje: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda e reduktimit të rendit të ekuacionit

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Zëvendësoni këtë ekuacion me një linear duke përdorur formulat e reduktimit të fuqisë:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metodat I dhe II.

Shembull.

cos2x + cos2x = 5/4.

Zgjidhje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Përgjigje: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ekuacionet homogjene

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Sillni këtë ekuacion në formë

a) një sin x + b cos x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së parë)

ose te pamja

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Hapi 2 Ndani të dyja anët e ekuacionit me

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dhe merrni ekuacionin për tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hapi 3 Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Zgjidhje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Le të tg x = t, atëherë

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ose t = -4, pra

tg x = 1 ose tg x = -4.

Nga ekuacioni i parë x = π/4 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Përgjigje: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda për transformimin e një ekuacioni duke përdorur formulat trigonometrike

Skema e zgjidhjes

Hapi 1. Duke përdorur të gjitha llojet e formulave trigonometrike, sillni këtë ekuacion në një ekuacion që mund të zgjidhet me metodat I, II, III, IV.

Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Zgjidhje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ose 2cos x + 1 = 0;

Nga ekuacioni i parë 2x = π/2 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë cos x = -1/2.

Kemi x = π/4 + πn/2, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Si rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Përgjigje: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Aftësia dhe aftësitë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike janë shumë e rëndësishme, zhvillimi i tyre kërkon përpjekje të konsiderueshme, si nga nxënësi ashtu edhe nga mësuesi.

Me zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike shoqërohen shumë probleme të stereometrisë, fizikës etj.. Procesi i zgjidhjes së problemeve të tilla, si të thuash, përmban shumë nga njohuritë dhe aftësitë që fitohen gjatë studimit të elementeve të trigonometrisë.

Ekuacionet trigonometrike zënë një vend të rëndësishëm në procesin e mësimdhënies së matematikës dhe zhvillimit të personalitetit në përgjithësi.

A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.