Ekuacionet thyesore. ODZ.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë ..."
Dhe për ata që janë "shumë të barabartë ...")

Ne vazhdojmë të zotërojmë ekuacionet. Ne tashmë dimë se si të punojmë me ekuacione lineare dhe kuadratike. Qëndroi pamje e fundit – ekuacionet thyesore ... Ose ato quhen gjithashtu shumë më solide - ekuacionet racionale thyesore... Kjo është e njëjta gjë.

Ekuacionet thyesore.

Siç nënkupton edhe emri, thyesat janë gjithmonë të pranishme në këto ekuacione. Por jo vetëm thyesat, por thyesat që kanë i panjohur në emërues... Të paktën një. Për shembull:

Më lejoni t'ju kujtoj se nëse emëruesit përmbajnë vetëm numrat, këto janë ekuacione lineare.

Si të zgjidhet ekuacionet thyesore? Para së gjithash, hiqni qafe thyesat! Pas kësaj, ekuacioni, më së shpeshti, kthehet në linear ose kuadratik. Dhe atëherë ne e dimë se çfarë të bëjmë ... Në disa raste, ajo mund të kthehet në një identitet, si p.sh. 5 = 5, ose një shprehje e pasaktë, si p.sh. 7 = 2. Por kjo ndodh rrallë. Këtë do ta përmend më poshtë.

Por si të shpëtojmë nga fraksionet !? Shume e thjeshte. Aplikimi i të gjitha transformimeve të njëjta identike.

Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me të njëjtën shprehje. Kështu që të gjithë emëruesit reduktohen! Gjithçka do të bëhet më e lehtë menjëherë. Më lejoni të shpjegoj me një shembull. Supozoni se duhet të zgjidhim ekuacionin:

Si keni dhënë mësim në klasat e ulëta? Ne transferojmë gjithçka në një drejtim, sjellim në një emërues të përbashkët, etj. Harrojeni se si ëndërr e tmerrshme! Kjo duhet të bëhet kur shtoni ose zbritni shprehje thyesore. Ose duke punuar me pabarazitë. Dhe në ekuacione, ne i shumëzojmë menjëherë të dyja anët me një shprehje që do të na japë mundësinë të zvogëlojmë të gjithë emëruesit (d.m.th., në thelb, me një emërues të përbashkët). Dhe çfarë është kjo shprehje?

Në të majtë, duke shumëzuar me x + 2... Dhe në të djathtë, shumëzimi me 2. Kjo do të thotë se ekuacioni duhet të shumëzohet me 2 (x + 2)... Ne shumëzojmë:

Ky është shumëzimi i zakonshëm i thyesave, por unë do ta shkruaj në detaje:

Ju lutem vini re se nuk po zgjeroj ende kllapat. (x + 2)! Pra, në tërësi, po e shkruaj:

Në të majtë, është reduktuar plotësisht (x + 2), dhe në të djathtë 2. Që kërkohet! Pas reduktimit, marrim lineare ekuacioni:

Dhe të gjithë do ta zgjidhin këtë ekuacion! x = 2.

Le të zgjidhim një shembull më shumë, pak më të komplikuar:

Nëse kujtojmë se 3 = 3/1, dhe 2x = 2x / 1, mund të shkruani:

Dhe përsëri ne heqim qafe atë që nuk na pëlqen vërtet - thyesat.

Ne shohim që për të anuluar emëruesin me x, duhet të shumëzoni thyesën me (x - 2)... Disa nuk janë pengesë për ne. Epo, ne shumëzohemi. E gjitha anën e majtë dhe e gjitha ana e djathtë:

Përsëri kllapa (x - 2) nuk e zbuloj. Unë punoj me kllapa në tërësi, sikur të ishte një numër! Kjo duhet bërë gjithmonë, përndryshe asgjë nuk do të reduktohet.

Me një ndjenjë kënaqësie të thellë, ne prerë (x - 2) dhe marrim ekuacionin pa asnjë thyesë, në një vizore!

Dhe tani hapim kllapat:

Ne japim të ngjashme, transferojmë gjithçka në anën e majtë dhe marrim:

Por para kësaj do të mësojmë të zgjidhim probleme të tjera. Interesi. Ajo grabujë, meqë ra fjala!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi i menjëhershëm i vërtetimit. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

T. Kosyakova,
shkolla nr. 80, Krasnodar

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike dhe thyesore-racionale që përmbajnë parametra

Mësimi 4

Tema e mësimit:

Qëllimi i mësimit: për të formuar aftësinë për të zgjidhur ekuacionet thyesore-racionale që përmbajnë parametra.

Lloji i mësimit: prezantimi i materialit të ri.

1. (Me gojë) Zgjidh ekuacionet:

Shembulli 1... Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje.

Gjeni vlera të pavlefshme a:

Përgjigju. Nëse nëse a = – 19 , atëherë nuk ka rrënjë.

Shembulli 2... Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje.

Gjeni vlera të pavlefshme të parametrave a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Përgjigju. Nëse a = 5 a № 5 , pastaj x = 10- a .

Shembulli 3... Në cilat vlera të parametrit b ekuacionin Ajo ka:

a) dy rrënjë; b) një rrënjë të vetme?

Zgjidhje.

1) Gjeni vlera të pavlefshme të parametrave b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ose b = 2;
x = 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ose b = – 2.

2) Zgjidhe ekuacionin x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

a)

Duke përjashtuar vlerat e pavlefshme të parametrave b , marrim se ekuacioni ka dy rrënjë nëse b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, por kjo është një vlerë e pavlefshme parametri b ; nëse b 2 –1=0 , d.m.th. b=1 ose.

Përgjigje: a) nëse b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , pastaj dy rrënjë; b) nëse b=1 ose b = –1 , atëherë e vetmja rrënjë.

Punë e pavarur

opsioni 1

Zgjidh ekuacionet:

Opsioni 2

Zgjidh ekuacionet:

Përgjigjet

NË 1... po nese a=3 , atëherë nuk ka rrënjë; nëse b) nëse nëse a № 2 , atëherë nuk ka rrënjë.

NË 2. Nëse a=2 , atëherë nuk ka rrënjë; nëse a=0 , atëherë nuk ka rrënjë; nëse
b) nëse a=– 1 , atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse nuk ka rrënjë;
nëse

Detyrë në shtëpi.

Zgjidh ekuacionet:

Përgjigjet: a) Nëse a № –2 , pastaj x = a ; nëse a=–2 , atëherë nuk ka zgjidhje; b) nëse a № –2 , pastaj x = 2; nëse a=–2 , atëherë nuk ka zgjidhje; c) nëse a=–2 , pastaj x- çdo numër përveç 3 ; nëse a № –2 , pastaj x = 2; d) nëse a=–8 , atëherë nuk ka rrënjë; nëse a=2 , atëherë nuk ka rrënjë; nëse

Mësimi 5

Tema e mësimit:"Zgjidhja e ekuacioneve racionale thyesore që përmbajnë parametra."

Objektivat e mësimit:

mësimi i zgjidhjes së ekuacioneve me një kusht jo standard;
asimilimi i ndërgjegjshëm nga nxënësit i koncepteve algjebrike dhe i lidhjeve ndërmjet tyre.

Lloji i mësimit: sistemimi dhe përgjithësimi.

Kontrolli i detyrave të shtëpisë.

Shembulli 1... Zgjidhe ekuacionin

a) në lidhje me x; b) në lidhje me y.

Zgjidhje.

a) Gjeni vlera të pavlefshme y: y = 0, x = y, y 2 = y 2 –2y,

y = 0- vlerë e pavlefshme e parametrit y.

Nëse y№ 0 , pastaj x = y – 2; nëse y = 0, atëherë ekuacioni bëhet i pakuptimtë.

b) Gjeni vlera të pavlefshme të parametrave x: y = x, 2x – x 2 + x 2 = 0, x = 0- vlerë e pavlefshme e parametrit x; y (2 + x – y) = 0, y = 0 ose y = 2 + x;

y = 0 nuk e plotëson kushtin y (y – x)№ 0 .

Përgjigje: a) nëse y = 0, atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse y№ 0 , pastaj x = y – 2; b) nëse x = 0 x№ 0 , pastaj y = 2 + x .

Shembulli 2... Për cilat vlera të plota të parametrit a janë rrënjët e ekuacionit i përkasin intervalit

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Nëse a № 0 ose a № – 1 , pastaj

Përgjigje: 5 .

Shembulli 3... Gjeni relativisht x zgjidhje me numra të plotë të një ekuacioni

Përgjigju. Nëse y = 0 atëherë ekuacioni është i pakuptimtë; nëse y = –1, pastaj x- çdo numër i plotë përveç zeros; nëse y№ 0, y№ - 1, atëherë nuk ka zgjidhje.

Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin me parametra a dhe b .

Nëse a№ - b , pastaj

Përgjigju. Nëse a = 0 ose b = 0 , atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse a№ 0, b№ 0, a = –b , pastaj x- çdo numër tjetër përveç zeros; nëse a№ 0, b№ 0, a№ -B, pastaj x = –a, x = –b .

Shembulli 5... Vërtetoni se për çdo vlerë jozero të parametrit n, ekuacioni ka një rrënjë të vetme të barabartë me - n .

Zgjidhje.

d.m.th. x = –n, siç kërkohet.

Detyrë në shtëpi.

1. Gjeni zgjidhje të tëra të ekuacionit

2. Në cilat vlera të parametrit c ekuacionin Ajo ka:
a) dy rrënjë; b) një rrënjë të vetme?

3. Gjeni të gjitha rrënjët me numra të plotë të ekuacionit nëse a O N .

4. Zgjidheni ekuacionin 3xy - 5x + 5y = 7: a) në lidhje me y; b) relativisht x .

1. Ekuacioni plotësohet nga çdo vlerë e barabartë me numër të plotë të x dhe y, përveç zeros.
2.a) Për
b) në ose
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Nëse atëherë nuk ka rrënjë; nëse
b) nëse atëherë nuk ka rrënjë; nëse

Test

opsioni 1

1. Përcaktoni llojin e ekuacionit 7c (c + 3) x 2 + (c – 2) x – 8 = 0 në: a) c = –3; b) c = 2; v) c = 4 .

2. Zgjidh ekuacionet: a) x 2 –bx = 0; b) cx 2 –6x + 1 = 0; v)

3. Zgjidheni ekuacionin 3x – xy – 2y = 1:

a) në lidhje me x ;
b) relativisht y .

nx 2 - 26x + n = 0, duke ditur se parametri n merr vetëm vlera të plota.

5. Për cilat vlera të b-së bën ekuacioni Ajo ka:

a) dy rrënjë;
b) një rrënjë të vetme?

Opsioni 2

1. Përcaktoni llojin e ekuacionit 5c (c + 4) x 2 + (c – 7) x + 7 = 0 në: a) c = –4; b) c = 7; v) c = 1 .

2. Zgjidh ekuacionet: a) y 2 + cy = 0; b) ny 2 –8y + 2 = 0; v)

3. Zgjidheni ekuacionin 6x – xy + 2y = 5:

a) në lidhje me x ;
b) relativisht y .

4. Gjeni rrënjët e tëra të ekuacionit nx 2 –22x + 2n = 0, duke ditur se parametri n merr vetëm vlera të plota.

5. Për cilat vlera të parametrit është ekuacioni Ajo ka:

a) dy rrënjë;
b) një rrënjë të vetme?

Përgjigjet

NË 1. 1. a) Ekuacioni linear;
b) ekuacioni kuadratik jo i plotë; c) ekuacioni kuadratik.
2.a) Nëse b = 0, pastaj x = 0; nëse b # 0, pastaj x = 0, x = b;
b) nëse cО (9; + Ґ), atëherë nuk ka rrënjë;
c) nëse a=–4 , atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse a№ –4 , pastaj x = - a .
3.a) Nëse y = 3, atëherë nuk ka rrënjë; nëse);
b) a=–3, a=1.

Detyra shtesë

Zgjidh ekuacionet:

Letërsia

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Rreth parametrave që në fillim. - Tutor, nr 2/1991, f. 3-13.
2. Gronshtein PI, Polonsky VB, Yakir M.S. Kushtet e nevojshme në problemet me parametrat. - Kvant, nr 11/1991, f. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Zgjidhja e problemeve që përmbajnë parametra. Pjesa 2. - M., Perspektiva, 1990, f. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pesëqind e katërmbëdhjetë detyra me parametra. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetskiy G.A. Detyrat me parametra. - M., Edukimi, 1986.

§ 1 Ekuacion racional i plotë dhe thyesor

Në këtë mësim, ne do të analizojmë koncepte të tilla si ekuacioni racional, shprehja racionale, shprehja e plotë, shprehja thyesore. Shqyrtoni zgjidhjen e ekuacioneve racionale.

Një ekuacion racional është një ekuacion në të cilin ana e majtë dhe e djathtë janë shprehje racionale.

Shprehjet racionale janë:

Thyesore.

Një shprehje me numër të plotë përbëhet nga numra, ndryshore, fuqi të plota duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit me një numër të ndryshëm nga zero.

Për shembull:

V shprehjet thyesore ka një ndarje me një ndryshore ose një shprehje me një ndryshore. Për shembull:

Një shprehje e pjesshme nuk ka kuptim për të gjitha vlerat e ndryshoreve të përfshira në të. Për shembull, shprehja

në x = -9 nuk ka kuptim, pasi në x = -9 emëruesi zhduket.

Kjo do të thotë që një ekuacion racional mund të jetë i plotë dhe i pjesshëm.

Një ekuacion i plotë racional është një ekuacion racional në të cilin anët e majta dhe të djathta janë shprehje të plota.

Për shembull:

Një ekuacion racional thyesor është një ekuacion racional në të cilin ose ana e majtë ose ana e djathtë janë shprehje thyesore.

Për shembull:

§ 2 Zgjidhja e një ekuacioni të tërë racional

Shqyrtoni zgjidhjen e një ekuacioni të tërë racional.

Për shembull:

Ne i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me emëruesin më të ulët të përbashkët të emëruesve të thyesave të përfshira në të.

Për këtë:

1. gjeni një emërues të përbashkët për emëruesit 2, 3, 6. Është e barabartë me 6;

2. gjeni një faktor shtesë për çdo thyesë. Për ta bërë këtë, ndani emëruesin e përbashkët 6 me secilin emërues

shumëzues shtesë për thyesën

shumëzues shtesë për thyesën

3. Shumëzoni numëruesit e thyesave me faktorët shtesë që u përgjigjen atyre. Kështu, marrim ekuacionin

që është ekuivalente me ekuacionin e dhënë

Hapni kllapat në të majtë, lëvizni anën e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjën e termit gjatë transferimit në të kundërtën.

Le të paraqesim terma të ngjashëm të polinomit dhe të marrim

Ne shohim që ekuacioni është linear.

Pasi e kemi zgjidhur, gjejmë se x = 0.5.

§ 3 Zgjidhja e një ekuacioni racional thyesor

Shqyrtoni zgjidhjen e një ekuacioni racional thyesor.

Për shembull:

1. Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me emëruesin më të vogël të përbashkët të emëruesve të thyesave racionale të përfshira në të.

Gjeni një emërues të përbashkët për emëruesit x + 7 dhe x - 1.

Është e barabartë me produktin e tyre (x + 7) (x - 1).

2. Gjeni një faktor shtesë për çdo thyesë racionale.

Për ta bërë këtë, emëruesi i përbashkët (x + 7) (x - 1) ndahet me secilin emërues. Shumëzues shtesë për thyesën

është e barabartë me x - 1,

shumëzues shtesë për thyesën

është e barabartë me x + 7.

3. T'i shumëzojmë numëruesit e thyesave me faktorët shtesë që u përgjigjen atyre.

Ne marrim ekuacionin (2x - 1) (x - 1) = (3x + 4) (x + 7), i cili është ekuivalent me këtë ekuacion

4. Në të majtë dhe në të djathtë, shumëzojmë binomin me binomin dhe marrim ekuacionin e mëposhtëm

5. Lëvizni anën e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjën e secilit term kur transferoni në të kundërtën:

6. Le të japim terma të ngjashëm të polinomit:

7.A mund të ndahen të dyja pjesët me -1. Ne marrim një ekuacion kuadratik:

8 pasi e keni zgjidhur, gjeni rrënjët

Meqenëse në ekuacion

ana e majtë dhe e djathtë janë shprehje thyesore, dhe në shprehjet thyesore për disa vlera të ndryshoreve emëruesi mund të zhduket, atëherë duhet të kontrollohet nëse emëruesi i përbashkët nuk zhduket kur gjenden x1 dhe x2.

Kur x = -27, emëruesi i përbashkët (x + 7) (x - 1) nuk zhduket, kur x = -1, emëruesi i përbashkët gjithashtu nuk zhduket është zero.

Prandaj, të dy rrënjët -27 dhe -1 janë rrënjët e ekuacionit.

Kur zgjidhni një ekuacion racional të pjesshëm, është më mirë të tregoni menjëherë zonën vlerat e pranueshme... Eliminoni ato vlera ku emëruesi i përbashkët zhduket.

Shqyrtoni një shembull tjetër të zgjidhjes së një ekuacioni racional thyesor.

Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin

Faktorizohet emëruesi i thyesës në anën e djathtë të ekuacionit

Ne marrim ekuacionin

Gjeni një emërues të përbashkët për emëruesit (x - 5), x, x (x - 5).

Do të jetë shprehja x (x - 5).

tani gjejmë gamën e vlerave të pranueshme të ekuacionit

Për ta bërë këtë, ne barazojmë emëruesin e përbashkët me zero x (x - 5) = 0.

Ne marrim një ekuacion, duke e zgjidhur të cilin, gjejmë se në x = 0 ose në x = 5, emëruesi i përbashkët zhduket.

Prandaj, x = 0 ose x = 5 nuk mund të jenë rrënjët e ekuacionit tonë.

Tani mund të gjenden faktorë shtesë.

Një faktor shtesë për thyesën racionale

faktor shtesë për thyesën

do të jetë (x - 5),

dhe faktorin shtesë të thyesës

Ne i shumëzojmë numëruesit me faktorët shtesë përkatës.

Marrim ekuacionin x (x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5).

Le të hapim kllapat majtas dhe djathtas, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Ne transferojmë kushtet nga e djathta në të majtë, duke ndryshuar shenjën e kushteve të transferuara:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Dhe pasi sjellim terma të ngjashëm, marrim ekuacionin kuadratik x2 - 3x - 10 = 0. Pasi e kemi zgjidhur, gjejmë rrënjët x1 = -2; x2 = 5.

Por ne kemi zbuluar tashmë se për x = 5 emëruesi i përbashkët x (x - 5) zhduket. Prandaj, rrënja e ekuacionit tonë

do të jetë x = -2.

§ 4 Përmbledhje e shkurtër mësim

Është e rëndësishme të mbani mend:

Kur zgjidhni ekuacione racionale thyesore, duhet të veproni si më poshtë:

1. Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave të përfshira në ekuacion. Për më tepër, nëse emëruesit e thyesave mund të faktorizohen, atëherë faktorizoni ato dhe më pas gjeni një emërues të përbashkët.

2. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një emërues të përbashkët: gjeni faktorë shtesë, shumëzoni numëruesit me faktorë shtesë.

3. Zgjidheni ekuacionin e plotë që rezulton.

4. Përjashtoni nga rrënjët e tij ato që e bëjnë zero emëruesin e përbashkët.

Lista e literaturës së përdorur:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Redaktuar nga S.A. Telyakovsky. Algjebra: tekst shkollor. për 8 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet. - M .: Arsimi, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algjebër. Kl. 8: Në dy pjesë. Pjesa 1: Libër mësuesi. për arsimin e përgjithshëm. institucionet. - M .: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Zhvillimi i mësimit në algjebër: klasa 8 - M .: VAKO, 2010.
4. Algjebra klasa 8: planet e mësimit për librin shkollor Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Autor-përmbledhës. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilin. -Volgograd: Mësues, 2005.

Le të njihemi me ekuacionet racionale racionale dhe thyesore, të japim përkufizimin e tyre, të japim shembuj dhe gjithashtu të analizojmë llojet më të zakonshme të problemeve.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ekuacioni racional: përkufizimi dhe shembuj

Njohja me shprehjet racionale fillon në klasën e 8-të të shkollës. Në këtë kohë, në mësimet e algjebrës, nxënësit gjithnjë e më shumë fillojnë të përmbushin detyrat me ekuacione që përmbajnë shprehje racionale në shënimet e tyre. Le të shqyrtojmë se çfarë është.

Përkufizimi 1

Ekuacioni racionalËshtë një ekuacion në të cilin të dyja anët përmbajnë shprehje racionale.

Një formulim tjetër mund të gjendet në manuale të ndryshme.

Përkufizimi 2

Ekuacioni racional- ky është një ekuacion i tillë, rekordi i anës së majtë të të cilit përmban një shprehje racionale, dhe ana e djathtë përmban zero.

Përkufizimet që dhamë për ekuacionet racionale janë ekuivalente, pasi thonë të njëjtën gjë. Ajo që vërteton korrektësinë e fjalëve tona është fakti se për çdo shprehje racionale P dhe P ekuacionet P = Q dhe P - Q = 0 janë shprehje ekuivalente.

Tani le të kthehemi te disa shembuj.

Shembulli 1

Ekuacionet racionale:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Ekuacionet racionale, ashtu si ekuacionet e llojeve të tjera, mund të përmbajnë çdo numër variablash nga 1 në disa. Për të filluar, ne do të shqyrtojmë shembuj të thjeshtë në të cilin ekuacionet do të përmbajnë vetëm një ndryshore. Dhe pastaj ne do të fillojmë të komplikojmë gradualisht detyrën.

Ekuacionet racionale ndahen në dy grupe të mëdha: të plota dhe të pjesshme. Le të shohim se çfarë ekuacionesh do të zbatohen për secilin nga grupet.

Përkufizimi 3

Një ekuacion racional do të jetë i plotë nëse regjistrimi i pjesës së majtë dhe të djathtë të tij përmban shprehje të tëra racionale.

Përkufizimi 4

Një ekuacion racional do të jetë i pjesshëm nëse një ose të dyja pjesët e tij përmbajnë një thyesë.

Ekuacionet racionale thyesore përmbajnë domosdoshmërisht pjesëtimin me një ndryshore, ose ndryshorja është në emërues. Nuk ka një ndarje të tillë në shkrimin e ekuacioneve të tëra.

Shembulli 2

3 x + 2 = 0 dhe (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0,5- ekuacione të tëra racionale. Këtu, të dyja anët e ekuacionit përfaqësohen me shprehje të tëra.

1 x - 1 = x 3 dhe x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 Janë ekuacione fraksionale racionale.

Numri i ekuacioneve të plota racionale përfshin ekuacione lineare dhe kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të tëra

Zgjidhja e ekuacioneve të tilla zakonisht reduktohet në shndërrimin e tyre në ekuacione algjebrike ekuivalente. Kjo mund të arrihet duke kryer transformime ekuivalente të ekuacioneve në përputhje me algoritmin e mëposhtëm:

• së pari marrim zero në anën e djathtë të ekuacionit, për këtë ju duhet të transferoni shprehjen që është në anën e djathtë të ekuacionit në anën e majtë të tij dhe të ndryshoni shenjën;
• atëherë shprehjen në anën e majtë të ekuacionit e shndërrojmë në polinom pamje standarde.

Duhet të marrim një ekuacion algjebrik. Ky ekuacion do të jetë i njëjtë me ekuacionin origjinal. Rastet e lehta na lejojnë të reduktojmë të gjithë ekuacionin në një ekuacion linear ose kuadratik për të zgjidhur problemin. Në përgjithësi, ne zgjidhim ekuacionin algjebrik të shkallës n.

Shembulli 3

Është e nevojshme të gjenden rrënjët e të gjithë ekuacionit 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Zgjidhje

Le të transformojmë shprehjen origjinale në mënyrë që të marrim një ekuacion algjebrik të barabartë me të. Për ta bërë këtë, ne do të kryejmë transferimin e shprehjes që përmbahet në anën e djathtë të ekuacionit në anën e majtë dhe do të zëvendësojmë shenjën me të kundërtën. Si rezultat, marrim: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Tani do ta transformojmë shprehjen në anën e majtë në një polinom të formës standarde dhe do të kryejmë veprimet e nevojshme me këtë polinom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Ne arritëm të reduktojmë zgjidhjen e ekuacionit origjinal në zgjidhje ekuacioni kuadratik të llojit x 2 - 5 x - 6 = 0... Diskriminuesi i këtij ekuacioni është pozitiv: D = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49. Kjo do të thotë se do të ketë dy rrënjë të vërteta. Ne i gjejmë ato duke përdorur formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ose x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 ose x 2 = - 1

Le të kontrollojmë saktësinë e rrënjëve të ekuacionit që gjetëm gjatë zgjidhjes. Për këtë, numrat që morëm do të zëvendësohen në ekuacionin origjinal: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 dhe 3 (- 1 + 1) (- 1 - 3) = (- 1) (2 (- 1) - 1) - 3... Në rastin e parë 63 = 63 , në të dytën 0 = 0 ... Rrënjët x = 6 dhe x = - 1 janë në të vërtetë rrënjët e ekuacionit të dhënë në kushtin e shembullit.

Përgjigje: 6 , − 1 .

Le të hedhim një vështrim se çfarë do të thotë "shkalla e të gjithë ekuacionit". Këtë term do ta hasim shpesh në ato raste kur duhet të paraqesim të gjithë ekuacionin në formën e një ekuacioni algjebrik. Le të japim një përkufizim të konceptit.

Përkufizimi 5

Shkalla e të gjithë ekuacionitËshtë diploma ekuacioni algjebrik ekuivalente me ekuacionin e tërësishëm origjinal.

Nëse shikoni ekuacionet nga shembulli i mësipërm, mund të përcaktoni: shkalla e gjithë këtij ekuacioni është e dyta.

Nëse kursi ynë do të kufizohej në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së dytë, atëherë shqyrtimi i temës mund të përfundonte këtu. Por nuk është aq e thjeshtë. Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së tretë është e mbushur me vështirësi. Dhe për ekuacionet më të larta se shkalla e katërt, ajo nuk ekziston fare formulat e përgjithshme rrënjët. Në këtë drejtim, zgjidhja e të gjitha ekuacioneve të shkallës së tretë, të katërt dhe të tjera kërkon që ne të përdorim një sërë teknikash dhe metodash të tjera.

Qasja më e përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve të tëra racionale, e cila bazohet në metodën e faktorizimit. Algoritmi i veprimeve në këtë rast është si më poshtë:

• ne e transferojmë shprehjen nga ana e djathtë në të majtë në mënyrë që zeroja të mbetet në anën e djathtë të rekordit;
• ne paraqesim shprehjen në të majtë si produkt faktorësh dhe më pas kalojmë në një koleksion të disa ekuacioneve më të thjeshta.

Shembulli 4

Gjeni zgjidhjen e ekuacionit (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13).

Zgjidhje

Ne e transferojmë shprehjen nga ana e djathtë e rekordit në të majtë me shenjë e kundërt: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0... Shndërrimi i anës së majtë në një polinom të formës standarde është jopraktik për faktin se kjo do të na japë një ekuacion algjebrik të shkallës së katërt: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0... Lehtësia e konvertimit nuk justifikon të gjitha vështirësitë me zgjidhjen e një ekuacioni të tillë.

Është shumë më e lehtë të shkosh në anën tjetër: hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat x 2 - 10 x + 13. Pra, arrijmë në një ekuacion të formës (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0... Tani ne e zëvendësojmë ekuacionin që rezulton me një grup prej dy ekuacionesh kuadratike x 2 - 10 x + 13 = 0 dhe x 2 - 2 x - 1 = 0 dhe gjeni rrënjët e tyre përmes diskriminuesit: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Përgjigje: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të përdorim metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re. Kjo metodë na lejon të shkojmë në ekuacione ekuivalente me gradë më të ulëta se sa ishin gradët në ekuacionin e plotë origjinal.

Shembulli 5

A ka rrënjë ekuacioni (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Zgjidhje

Nëse tani përpiqemi ta reduktojmë të gjithë ekuacionin racional në një algjebrik, marrim një ekuacion të shkallës 4, i cili nuk ka rrënjë racionale. Prandaj, do të jetë më e lehtë për ne të shkojmë në anën tjetër: të prezantojmë një ndryshore të re y, e cila do të zëvendësojë shprehjen në ekuacion x 2 + 3 x.

Tani do të punojmë me të gjithë ekuacionin (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4)... Lëvizni anën e djathtë të ekuacionit në të majtë me shenjën e kundërt dhe kryeni shndërrimet e nevojshme. Ne marrim: y 2 + 4 y + 3 = 0... Gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik: y = - 1 dhe y = - 3.

Tani le të bëjmë zëvendësimin e kundërt. Marrim dy ekuacione x 2 + 3 x = - 1 dhe x 2 + 3 x = - 3. Rishkruajini ato si x 2 + 3 x + 1 = 0 dhe x 2 + 3 x + 3 = 0... Ne përdorim formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik për të gjetur rrënjët e ekuacionit të parë nga ato të marra: - 3 ± 5 2. Diskriminuesi i ekuacionit të dytë është negativ. Kjo do të thotë se ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë reale.

Përgjigje:- 3 ± 5 2

Ekuacione të tëra shkallë të lartë ndeshen në detyra mjaft shpesh. Nuk duhet të kesh frikë prej tyre. Duhet të jeni gati për të aplikuar metodë jo standarde zgjidhjet e tyre, duke përfshirë një numër transformimesh artificiale.

Zgjidhja e ekuacioneve racionale thyesore

Ne e fillojmë shqyrtimin tonë të kësaj nënteme me një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore të formës p (x) q (x) = 0, ku p (x) dhe q (x)- shprehje të tëra racionale. Zgjidhja e ekuacioneve të mbetura thyesore racionale gjithmonë mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacioneve të formës së treguar.

Metoda më e përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve p (x) q (x) = 0 bazohet në deklaratën e mëposhtme: thyesë numerike u v, ku vËshtë një numër që është i ndryshëm nga zero, i barabartë me zero vetëm në ato raste kur numëruesi i thyesës është i barabartë me zero. Duke ndjekur logjikën e pohimit të mësipërm, mund të pohojmë se zgjidhja e ekuacionit p (x) q (x) = 0 mund të reduktohet në përmbushjen e dy kushteve: p (x) = 0 dhe q (x) ≠ 0... Kjo përdoret për të ndërtuar një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore të formës p (x) q (x) = 0:

• gjeni zgjidhjen e të gjithë ekuacionit racional p (x) = 0;
• kontrollojmë nëse kushti është i kënaqur për rrënjët e gjetura gjatë zgjidhjes q (x) ≠ 0.

Nëse plotësohet ky kusht, atëherë rrënja e gjetur, nëse jo, atëherë rrënja nuk është zgjidhje e problemit.

Shembulli 6

Gjeni rrënjët e ekuacionit 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0.

Zgjidhje

Kemi të bëjmë me një ekuacion racional thyesor të formës p (x) q (x) = 0, në të cilin p (x) = 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Le të fillojmë të zgjidhim ekuacionin linear 3 x - 2 = 0... Rrënja e këtij ekuacioni do të jetë x = 2 3.

Le të kontrollojmë rrënjën e gjetur, nëse e plotëson kushtin 5 x 2 - 2 ≠ 0... Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë një vlerë numerike në shprehje. Marrim: 5 2 3 2 - 2 = 5 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Kushti eshte plotesuar. Do të thotë se x = 2 3është rrënja e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: 2 3 .

Ekziston një mundësi tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve racionale pjesore p (x) q (x) = 0. Kujtojmë se ky ekuacion është i barabartë me të gjithë ekuacionin p (x) = 0 në diapazonin e vlerave të pranueshme të ndryshores x të ekuacionit origjinal. Kjo na lejon të përdorim algoritmin e mëposhtëm në zgjidhjen e ekuacioneve p (x) q (x) = 0:

• zgjidhim ekuacionin p (x) = 0;
• gjeni gamën e vlerave të pranueshme të ndryshores x;
• ne marrim rrënjët që shtrihen në diapazonin e vlerave të pranueshme të ndryshores x si rrënjët e dëshiruara të ekuacionit racional thyesor origjinal.

Shembulli 7

Zgjidheni ekuacionin x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Zgjidhje

Së pari, le të zgjidhim ekuacionin kuadratik x 2 - 2 x - 11 = 0... Për të llogaritur rrënjët e tij, ne përdorim formulën e rrënjës për një koeficient të dytë. marrim D 1 = (- 1) 2 - 1 (- 11) = 12, dhe x = 1 ± 2 3.

Tani mund të gjejmë ODV-në e ndryshores x për ekuacionin origjinal. Të gjithë këta janë numra për të cilët x 2 + 3 x ≠ 0... Kjo është njësoj si x (x + 3) ≠ 0, prej nga x ≠ 0, x ≠ - 3.

Tani le të kontrollojmë nëse rrënjët x = 1 ± 2 3 të marra në fazën e parë përfshihen në rangun e vlerave të pranueshme të ndryshores x. Ne shohim se çfarë vjen. Kjo do të thotë që ekuacioni racional thyesor origjinal ka dy rrënjë x = 1 ± 2 3.

Përgjigje: x = 1 ± 2 3

Metoda e dytë e përshkruar e zgjidhjes është më e thjeshtë se e para në rastet kur diapazoni i vlerave të pranueshme të ndryshores x gjendet lehtësisht, dhe rrënjët e ekuacionit p (x) = 0 irracionale. Për shembull, 7 ± 4 26 9. Rrënjët mund të jenë racionale, por me një numërues ose emërues të madh. Për shembull, 127 1101 dhe − 31 59 ... Kjo kursen kohë për të kontrolluar gjendjen. q (x) ≠ 0: është shumë më e lehtë të përjashtohen rrënjët që nuk përshtaten sipas DHS.

Në rastet kur rrënjët e ekuacionit p (x) = 0 numra të plotë, është më e përshtatshme të përdoret i pari nga algoritmet e përshkruara për zgjidhjen e ekuacioneve të formës p (x) q (x) = 0. Gjeni më shpejt rrënjët e një ekuacioni të tërë p (x) = 0 dhe më pas kontrolloni nëse gjendja q (x) ≠ 0, por mos gjeni ODV, dhe pastaj zgjidhni ekuacionin p (x) = 0 në këtë ODZ. Kjo për faktin se në raste të tilla zakonisht është më e lehtë të bësh një kontroll sesa të gjesh një LDZ.

Shembulli 8

Gjeni rrënjët e ekuacionit (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Zgjidhje

Le të fillojmë duke parë të gjithë ekuacionin (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 dhe gjetja e rrënjëve të saj. Për ta bërë këtë, ne do të aplikojmë metodën e zgjidhjes së ekuacioneve përmes faktorizimit. Rezulton se ekuacioni origjinal është i barabartë me një grup prej katër ekuacionesh 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, nga të cilat tre janë lineare dhe njëri është katror. Gjeni rrënjët: nga barazimi i parë x = 1 2, nga e dyta - x = 6, nga e treta - x = 7, x = - 2, nga e katërta - x = - 1.

Le të kontrollojmë rrënjët e marra. Është e vështirë për ne të përcaktojmë ODZ në këtë rast, pasi për këtë do të duhet të zgjidhim ekuacionin algjebrik të shkallës së pestë. Do të jetë më e lehtë të kontrollohet kushti që emëruesi i thyesës në anën e majtë të ekuacionit të mos zhduket.

Nga ana tjetër, zëvendësoni rrënjët në vend të ndryshores x në shprehje x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 dhe llogaritni vlerën e tij:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 302;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(- 2) 5 - 15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3 - 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(- 1) 5 - 15 (- 1) 4 + 57 (- 1) 3 - 13 (- 1) 2 + 26 (- 1) + 112 = 0.

Kontrolli i kryer na lejon të përcaktojmë se rrënjët e ekuacionit racional thyesor origjinal janë 1 2, 6 dhe − 2 .

Përgjigje: 1 2 , 6 , - 2

Shembulli 9

Gjeni rrënjët e ekuacionit racional thyesor 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Zgjidhje

Le të fillojmë me ekuacionin (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0... Le të gjejmë rrënjët e saj. Është më e lehtë për ne që ta paraqesim këtë ekuacion si një bashkësi katrorësh dhe ekuacionet lineare 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 dhe x - 2 = 0.

Ne përdorim formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik për të gjetur rrënjët. Ne marrim nga ekuacioni i parë dy rrënjë x = 7 ± 69 10, dhe nga i dyti x = 2.

Do të jetë mjaft e vështirë për ne që të zëvendësojmë vlerën e rrënjëve në ekuacionin origjinal për të testuar kushtet. Do të jetë më e lehtë të përcaktohet ODV e ndryshores x. Në këtë rast, ODZ e ndryshores x janë të gjithë numrat, përveç atyre për të cilët kushti x 2 + 5 x - 14 = 0... Marrim: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Tani le të kontrollojmë nëse rrënjët që gjetëm i përkasin diapazonit të vlerave të vlefshme të ndryshores x.

Rrënjët x = 7 ± 69 10 - i përkasin, prandaj, ato janë rrënjët e ekuacionit origjinal, dhe x = 2- nuk i përket, pra, është një rrënjë e jashtme.

Përgjigje: x = 7 ± 69 10.

Le të shqyrtojmë veçmas rastet kur një numër gjendet në numëruesin e një ekuacioni racional thyesor të formës p (x) q (x) = 0. Në raste të tilla, nëse numëruesi përmban një numër jozero, atëherë ekuacioni nuk do të ketë rrënjë. Nëse ky numër është i barabartë me zero, atëherë rrënja e ekuacionit do të jetë çdo numër nga ODZ.

Shembulli 10

Zgjidheni ekuacionin racional thyesor - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Zgjidhje

Ky ekuacion nuk do të ketë rrënjë, pasi ka një numër jozero në numëruesin e thyesës në anën e majtë të ekuacionit. Kjo do të thotë se në asnjë vlerë të x, vlera e fraksionit të dhënë në deklaratën e problemit nuk do të jetë e barabartë me zero.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 11

Zgjidheni ekuacionin 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Zgjidhje

Meqenëse ka zero në numëruesin e thyesës, zgjidhja e ekuacionit do të jetë çdo vlerë prej x nga ODZ e ndryshores x.

Tani le të përcaktojmë ODZ. Ai do të përfshijë të gjitha vlerat e x për të cilat x 4 + 5 x 3 ≠ 0... Zgjidhjet e ekuacioneve x 4 + 5 x 3 = 0 janë 0 dhe − 5 , pasi ky ekuacion është ekuivalent me ekuacionin x 3 (x + 5) = 0, dhe ai, nga ana tjetër, është ekuivalent me kombinimin e dy ekuacioneve x 3 = 0 dhe x + 5 = 0 nga ku duken këto rrënjë. Arrijmë në përfundimin se çdo x, përveç x = 0 dhe x = - 5.

Rezulton se ekuacioni racional thyesor 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ka një grup të pafund zgjidhjesh, të cilat janë çdo numër tjetër përveç zeros dhe - 5.

Përgjigje: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Tani le të flasim për ekuacionet racionale thyesore ndonjë lloj dhe metodat e zgjidhjes së tyre. Ato mund të shkruhen si r (x) = s (x), ku r (x) dhe s (x)- shprehje racionale, dhe të paktën njëra prej tyre është thyesore. Zgjidhja e ekuacioneve të tilla reduktohet në zgjidhjen e ekuacioneve të formës p (x) q (x) = 0.

Ne tashmë e dimë se mund të marrim një ekuacion ekuivalent duke transferuar shprehjen nga ana e djathtë e ekuacionit në të majtë me shenjën e kundërt. Kjo do të thotë se ekuacioni r (x) = s (x)është ekuivalente me ekuacionin r (x) - s (x) = 0... Gjithashtu, ne kemi analizuar tashmë mënyrat e shndërrimit të një shprehjeje racionale në një thyesë racionale. Falë kësaj, ne mund ta transformojmë lehtësisht ekuacionin r (x) - s (x) = 0 në thyesën e saj racionale identike të formës p (x) q (x).

Pra kalojmë nga ekuacioni racional thyesor origjinal r (x) = s (x) në një ekuacion të formës p (x) q (x) = 0, të cilin tashmë kemi mësuar se si ta zgjidhim.

Duhet të kihet parasysh se kur bëhen kalime nga r (x) - s (x) = 0 në p (x) q (x) = 0 dhe pastaj në p (x) = 0 ne mund të injorojmë zgjerimin e gamës së vlerave të pranueshme të ndryshores x.

Situata është mjaft reale kur ekuacioni origjinal r (x) = s (x) dhe ekuacioni p (x) = 0 si rezultat i transformimeve, ato do të pushojnë së qeni ekuivalente. Pastaj zgjidhja e ekuacionit p (x) = 0 mund të na japë rrënjë që do të jenë të huaja r (x) = s (x)... Në këtë drejtim, në çdo rast, është e nevojshme të kontrollohet me ndonjë nga metodat e përshkruara më sipër.

Për ta bërë më të lehtë për ju studimin e temës, ne përgjithësuam të gjithë informacionin në një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni racional të pjesshëm të formës r (x) = s (x):

• e transferojmë shprehjen nga ana e djathtë me shenjën e kundërt dhe marrim zero në të djathtë;
• të transformojë shprehjen origjinale në një thyesë racionale p (x) q (x), duke kryer në mënyrë sekuenciale veprime me thyesa dhe polinome;
• zgjidhim ekuacionin p (x) = 0;
• ne identifikojmë rrënjët e jashtme duke kontrolluar përkatësinë e tyre në ODZ ose duke i zëvendësuar ato në ekuacionin origjinal.

Vizualisht, zinxhiri i veprimeve do të duket si ky:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → pas

Shembulli 12

Zgjidheni ekuacionin racional thyesor x x + 1 = 1 x + 1.

Zgjidhje

Le të shkojmë te ekuacioni x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Shprehjen racionale thyesore në anën e majtë të ekuacionit e transformojmë në formën p (x) q (x).

Për ta bërë këtë, do të duhet të sjellim thyesat racionale në një emërues të përbashkët dhe të thjeshtojmë shprehjen:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (X + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Për të gjetur rrënjët e ekuacionit - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, duhet të zgjidhim ekuacionin - 2 x - 1 = 0... Ne marrim një rrënjë x = - 1 2.

Na mbetet të kontrollojmë me ndonjë nga metodat. Le t'i shqyrtojmë të dyja.

Zëvendësoni këtë vlerë në ekuacionin origjinal. Ne marrim - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Kemi arritur në barazinë e saktë numerike − 1 = − 1 ... Do të thotë se x = - 1 2është rrënja e ekuacionit origjinal.

Tani le të kontrollojmë përmes ODZ. Le të përcaktojmë gamën e vlerave të pranueshme të ndryshores x. Ky do të jetë i gjithë grupi i numrave, përveç - 1 dhe 0 (për x = - 1 dhe x = 0, emëruesit e thyesave zhduken). Rrënja që kemi marrë x = - 1 2 i përket ODZ. Kjo do të thotë se është rrënja e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: − 1 2 .

Shembulli 13

Gjeni rrënjët e ekuacionit x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x.

Zgjidhje

Kemi të bëjmë me një ekuacion racional thyesor. Prandaj, ne do të veprojmë sipas algoritmit.

Zhvendosni shprehjen nga ana e djathtë në të majtë me shenjën e kundërt: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Le të bëjmë transformimet e nevojshme: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Arrijmë te ekuacioni x = 0... Rrënja e këtij ekuacioni është zero.

Le të kontrollojmë nëse kjo rrënjë është e jashtme për ekuacionin origjinal. Zëvendësoni vlerën në ekuacionin origjinal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0. Siç mund ta shihni, ekuacioni që rezulton nuk ka kuptim. Kjo do të thotë që 0 është një rrënjë e jashtme dhe ekuacioni racional thyesor origjinal nuk ka rrënjë.

Përgjigje: pa rrënjë.

Nëse nuk kemi përfshirë transformime të tjera ekuivalente në algoritëm, kjo nuk do të thotë aspak se ato nuk mund të përdoren. Algoritmi është universal, por është krijuar për të ndihmuar, jo për të kufizuar.

Shembulli 14

Zgjidhe ekuacionin 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Zgjidhje

Mënyra më e lehtë është zgjidhja e ekuacionit racional thyesor të dhënë sipas algoritmit. Por ka edhe një mënyrë tjetër. Le ta konsiderojmë atë.

Zbrisni 7 nga pjesa e djathtë dhe e majtë, marrim: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Nga kjo mund të konkludojmë se shprehja në emëruesin e anës së majtë duhet të jetë e barabartë me numrin, numër i kundërt nga ana e djathtë, domethënë 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Zbrisni 3 nga të dyja pjesët: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Për analogji 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, prej nga 1 5 - x 2 = 1 3, dhe më tej 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Le të kontrollojmë për të përcaktuar nëse rrënjët e gjetura janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: x = ± 2

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur lini një kërkesë në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe të raportojmë oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose ngjarje të ngjashme promovuese, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin e gjykatës, në procedurat gjyqësore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, zbatimin e ligjit ose arsye të tjera të rëndësishme shoqërore.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë përkatëse - pasardhësi ligjor.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe abuzimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respekt për privatësinë tuaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që të dhënat tuaja personale janë të sigurta, ne sjellim rregullat e konfidencialitetit dhe sigurisë për punonjësit tanë dhe monitorojmë në mënyrë rigoroze zbatimin e masave të konfidencialitetit.