Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose një stimul të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi ndaj palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat juridike dhe/ose bazuar në kërkesa ose kërkesa publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për arsye sigurie, zbatimi të ligjit ose arsye të tjera të interesit publik.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Ruajtja e privatësisë tuaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
\(\bullet\) Një ekuacion racional është një ekuacion i shprehur si \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] ku \(P(x), \ Q(x)\) - polinomet (shuma e "xes" në shkallë të ndryshme, e shumëzuar me numra të ndryshëm).
Shprehja në anën e majtë të ekuacionit quhet shprehje racionale.
ODZ (rajon vlerat e lejuara) të një ekuacioni racional janë të gjitha vlerat \(x\) për të cilat emëruesi NUK zhduket, d.m.th. \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Për shembull, ekuacionet \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] janë ekuacione racionale.
Ne fillim ekuacioni ODZ janë të gjitha \(x\) të tilla që \(x\ne 3\) (shkruajnë \(x\in (-\infty;3)\kup (3;+\infty)\)); në ekuacionin e dytë, këto janë të gjitha \(x\) , të tilla që \(x\ne -1; x\ne 1\) (shkruaj \(x\in (-\infty;-1)\filxhan(-1;1)\kupa(1;+\infty)\)); dhe në ekuacionin e tretë nuk ka kufizime në ODZ, domethënë, ODZ është e gjitha \(x\) (ata shkruajnë \(x\in\mathbb(R)\) ). \(\bullet\) Teorema:
1) Prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse njëri prej tyre zero, ndërsa tjetra nuk e humb kuptimin e saj, prandaj, ekuacioni \(f(x)\cdot g(x)=0\) është ekuivalent me sistemin \[\fillimi(rastet) \majtas[ \fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(lidhur) \end(i mbledhur) \djathtas.\\ \ teksti (ekuacionet ODV) \fund (rastet)\] 2) Thyesa është e barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse numëruesi është i barabartë me zero dhe emëruesi nuk është i barabartë me zero, prandaj, ekuacioni \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) është ekuivalente me sistemin e ekuacioneve \[\fillimi(rastet) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \fund (rastet)\]\(\bullet\) Le të shohim disa shembuj.
1) Zgjidheni ekuacionin \(x+1=\dfrac 2x\) . Le të gjejmë ODZ-në e këtij ekuacioni - kjo është \(x\ne 0\) (pasi \(x\) është në emërues).
Pra, ODZ mund të shkruhet si më poshtë: .
Le t'i transferojmë të gjitha termat në një pjesë dhe t'i reduktojmë në një emërues të përbashkët: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Shigjeta majtas djathtas\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Shigjeta djathtas\katër \fillimi( raste) x^2+x-2=0\\x\ne 0\fund (raste)\] Zgjidhja e ekuacionit të parë të sistemit do të jetë \(x=-2, x=1\) . Shohim që të dyja rrënjët janë jo zero. Prandaj, përgjigja është: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Zgjidhe ekuacionin \(\majtas(\dfrac4x - 2\djathtas)\cdot (x^2-x)=0\). Le të gjejmë ODZ-në e këtij ekuacioni. Shohim që e vetmja vlerë \(x\) për të cilën ana e majtë nuk ka kuptim është \(x=0\) . Pra, OD mund të shkruhet si më poshtë: \(x\in (-\infty;0)\kup (0;+\infty)\).
Kështu, ky ekuacion është i barabartë me sistemin:
\[\fillimi(rastet) \majtas[ \fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(lidhur) \end(i mbledhur) \djathtas. \\ x\ne 0 \end(rastet) \quad \Shigjeta majtas \katër \fillimi(rastet) \majtas[ \fillimi(mbledhur)\fillimi(lidhur) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end (rrenjosur) \end (mbledhur) \djathtas.\\ x\ne 0 \end (rastet) \quad \Shigjeta majtas djathtas \katër \fillimi(rastet) \majtas[ \fillimi(mbledhur)\fillimi(radhitur) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \fund (radhitur) \fund (mbledhur) \djathtas.\\ x\ne 0 \fund (rastet) \katër \Shigjeta majtas djathtas \katër \majtas[ \fillimi (i mbledhur) \fillimi (rrenjosur) &x=2\\ &x=1 \fund (lidhur) \fund (mbledhur) \djathtas.\] Në të vërtetë, përkundër faktit se \(x=0\) është rrënja e faktorit të dytë, nëse zëvendësoni \(x=0\) në ekuacionin origjinal, nuk do të ketë kuptim, sepse shprehja \(\dfrac 40\) nuk është e përcaktuar.
Pra, zgjidhja e këtij ekuacioni është \(x\in \(1;2\)\) .
3) Zgjidhe ekuacionin \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Në ekuacionin tonë \(4x^2-1\ne 0\) , prej nga \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , d.m.th. \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Ne transferojmë të gjitha termat në anën e majtë dhe reduktojmë në një emërues të përbashkët:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Shigjeta djathtas \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\katërsh \Shigjeta majtas djathtas \katër \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \katërsh \Shigjeta majtas djathtas\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(rastet) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(rastet) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(rastet) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end (rastet) \quad \Shigjeta majtas djathtas \katër \fillimi(rastet) \left[ \fillimi(mbledhur) \fillimi( i rreshtuar) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(linjëzuar)\end(i mbledhur) \djathtas.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(rastet) \quad \ Shigjeta majtas \quad x=-3\)
Përgjigje: \(x\në \(-3\)\) .
Koment. Nëse përgjigja përbëhet nga një grup i kufizuar numrash, atëherë ato mund të shkruhen të ndara me pikëpresje në kllapa kaçurrelë, siç tregohet në shembujt e mëparshëm.
Detyrat që kërkojnë zgjidhjen e ekuacioneve racionale hasen në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë çdo vit, prandaj, në përgatitje për kalimin e testit të certifikimit, maturantët duhet patjetër të përsërisin teorinë për këtë temë vetë. Për të përballuar detyra të tilla, të diplomuarit duhet të kalojnë si bazën ashtu edhe niveli i profilit provim. Pasi kanë zotëruar teorinë dhe janë marrë me ushtrime praktike me temën "Ekuacionet racionale", studentët do të jenë në gjendje të zgjidhin probleme me çdo numër veprimesh dhe të presin të marrin pikë konkurruese në fund të provimit.
Si të përgatiteni për provimin me portalin arsimor "Shkolkovo"?
Ndonjëherë gjeni një burim që paraqet plotësisht teorinë themelore për zgjidhjen problemet e matematikës rezulton mjaft e vështirë. Libri shkollor thjesht mund të mos jetë pranë. Dhe ndonjëherë është mjaft e vështirë të gjesh formulat e nevojshme edhe në internet.
Portali arsimor "Shkolkovo" do t'ju shpëtojë nga nevoja për të kërkuar materialin e duhur dhe do t'ju ndihmojë të përgatiteni mirë për të kaluar testin e certifikimit.
E gjithë teoria e nevojshme mbi temën "Ekuacionet racionale" u përgatit nga specialistët tanë dhe u prezantua në maksimum formë e aksesueshme. Duke studiuar informacionin e paraqitur, studentët do të jenë në gjendje të plotësojnë boshllëqet në njohuri.
Për t'u përgatitur me sukses për PËRDORIMI për të diplomuaritështë e nevojshme jo vetëm të përpunohet materiali bazë teorik në temën "Ekuacionet racionale", por të praktikohet kryerja e detyrave në shembuj konkretë. Zgjedhje e madhe detyrat janë paraqitur në seksionin "Katalog".
Për çdo ushtrim në sit, ekspertët tanë kanë përshkruar një algoritëm zgjidhjeje dhe kanë treguar përgjigjen e saktë. Nxënësit mund të praktikojnë zgjidhjen e problemeve shkallë të ndryshme vështirësi në varësi të nivelit të trajnimit. Lista e detyrave në seksionin përkatës plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.
Ju mund të studioni materialin teorik dhe të përmirësoni aftësitë tuaja në zgjidhjen e problemeve në temën "Ekuacionet racionale", të ngjashme me ato të përfshira në testet USE, në internet. Nëse është e nevojshme, ndonjë nga detyrat e paraqitura mund të shtohet në seksionin "Të preferuarat". Pasi ka përsëritur edhe një herë teorinë bazë për temën "Ekuacionet racionale", gjimnazisti do të mund t'i rikthehet problemit në të ardhmen për të diskutuar me mësuesin në orën e algjebrës ecurinë e zgjidhjes së tij.
T. Kosyakova,
shkolla N№ 80, Krasnodar
Zgjidhje katrore dhe thyesore ekuacionet racionale, që përmban parametra
Mësimi 4
Tema e mësimit:
Qëllimi i mësimit: për të formuar aftësinë për të zgjidhur ekuacionet thyesore-racionale që përmbajnë parametra.
Lloji i mësimit: prezantimi i materialit të ri.
1. (Me gojë.) Zgjidh barazimet:
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin 
Zgjidhje. 
Gjeni vlera të pavlefshme a: 
Përgjigju. Nese nje 
nëse a = – 19
, atëherë nuk ka rrënjë.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin 
Zgjidhje.
Gjeni vlera të pavlefshme të parametrave a :
10 – a = 5, a = 5;
10 – a = a, a = 5.
Përgjigju. Nese nje a = 5 a № 5 , pastaj x=10- a .
Shembulli 3. Në cilat vlera të parametrit b
ekuacionin 
Ajo ka:
a) dy rrënjë b) rrënja e vetme?
Zgjidhje.
1) Gjeni vlera të pavlefshme të parametrave b :
x= b, b 2 (b 2
– 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4
– 2b 3 = 0,
b= 0 ose b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2
= 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ose b = – 2.
2) Zgjidhe ekuacionin x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:
D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .
a) 
Duke përjashtuar vlerat e pavlefshme të parametrave b , marrim se ekuacioni ka dy rrënjë, nëse b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .
b) 4b 2 = 0, b = 0, por kjo është një vlerë e pavlefshme parametri b ; nëse b 2 –1=0 , d.m.th. b=1 ose.
Përgjigje: a) nëse b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , pastaj dy rrënjë; b) nëse b=1 ose b=-1 , atëherë e vetmja rrënjë.
Punë e pavarur
opsioni 1
Zgjidh ekuacionet:
Opsioni 2
Zgjidh ekuacionet:
Përgjigjet
NË 1. po nese a=3
, atëherë nuk ka rrënjë; nëse 
b) nëse nëse a
№
2
, atëherë nuk ka rrënjë.
NË 2. Nese nje a=2
, atëherë nuk ka rrënjë; nëse a=0
, atëherë nuk ka rrënjë; nëse 
b) nëse a=– 1
, atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse atëherë nuk ka rrënjë;
nëse
Detyrë shtëpie.
Zgjidh ekuacionet:
Përgjigjet: a) Nëse a № –2 , pastaj x= a ; nëse a=–2 , atëherë nuk ka zgjidhje; b) nëse a № –2 , pastaj x=2; nëse a=–2 , atëherë nuk ka zgjidhje; c) nëse a=–2 , pastaj x- çdo numër tjetër përveç 3 ; nëse a № –2 , pastaj x=2; d) nëse a=–8 , atëherë nuk ka rrënjë; nëse a=2 , atëherë nuk ka rrënjë; nëse
Mësimi 5
Tema e mësimit:“Zgjidhja e ekuacioneve thyesore-racionale që përmbajnë parametra”.
Objektivat e mësimit:
mësimi i zgjidhjes së ekuacioneve me një kusht jo standard;
asimilimi i vetëdijshëm nga nxënësit i koncepteve algjebrike dhe i marrëdhënieve ndërmjet tyre.
Lloji i mësimit: sistemimi dhe përgjithësimi.
Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin 
a) në lidhje me x; b) në lidhje me y.
Zgjidhje.
a) Gjeni vlera të pavlefshme y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,
y=0– vlera e pavlefshme e parametrit y.
Nese nje y№ 0 , pastaj x=y-2; nëse y=0, atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij.
b) Gjeni vlera të pavlefshme të parametrave x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– vlera e pavlefshme e parametrit x; y(2+x-y)=0, y=0 ose y=2+x;
y=0 nuk e plotëson kushtin y (y–x)№ 0 .
Përgjigje: a) nëse y=0, atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse y№ 0 , pastaj x=y-2; b) nëse x=0 x№ 0 , pastaj y=2+x .
Shembulli 2. Për cilat vlera të plota të parametrit a janë rrënjët e ekuacionit 
i përkasin intervalit 
D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,
D = ( a + 2) 2 .
Nese nje a № 0 ose a № – 1 , pastaj
Përgjigje: 5 .
Shembulli 3. Gjeni relativisht x zgjidhje të tëra të ekuacionit 
Përgjigju. Nese nje y=0, atëherë ekuacioni nuk ka kuptim; nëse y=–1, pastaj x- çdo numër i plotë përveç zeros; nëse y# 0, y# – 1, atëherë nuk ka zgjidhje.
Shembulli 4 Zgjidheni ekuacionin 
me parametra a
dhe b
.
Nese nje a№
– b
, pastaj 
Përgjigju. Nese nje a= 0 ose b= 0 , atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse a№ 0,b№ 0, a=-b , pastaj x- çdo numër tjetër përveç zeros; nëse a№ 0,b№ 0,a№ -b pastaj x=-a, x=-b .
Shembulli 5. Vërtetoni se për çdo vlerë jozero të parametrit n, ekuacioni 
ka një rrënjë të vetme të barabartë me – n
.
Zgjidhje. 
dmth. x=-n, që duhej vërtetuar.
Detyrë shtëpie.
1. Gjeni zgjidhje të tëra të ekuacionit 
2. Në cilat vlera të parametrit c ekuacionin 
Ajo ka:
a) dy rrënjë b) rrënja e vetme?
3. Gjeni të gjitha rrënjët me numra të plotë të ekuacionit 
nëse a O N
.
4. Zgjidheni ekuacionin 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativisht y; b) relativisht x .
1. Ekuacioni plotësohet nga çdo vlerë e plotë e barabartë e x dhe y përveç zeros.
2. a) Kur
b) në ose 
3. – 12; – 9; 0
.
4. a) Nëse atëherë nuk ka rrënjë; nëse 
b) nëse atëherë nuk ka rrënjë; nëse 
Test
opsioni 1
1. Përcaktoni llojin e ekuacionit 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 në: a) c=-3; b) c=2; në) c=4 .
2. Zgjidh ekuacionet: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; në) 
3. Zgjidhe ekuacionin 3x-xy-2y=1:
a) relativisht x ;
b) relativisht y .
nx 2 - 26x + n \u003d 0, duke ditur se parametri n merr vetëm vlera të plota.
5. Për cilat vlera të b-së bën ekuacioni 
Ajo ka:
a) dy rrënjë
b) rrënja e vetme?
Opsioni 2
1. Përcaktoni llojin e ekuacionit 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 në: a) c=-4; b) c=7; në) c=1 .
2. Zgjidh ekuacionet: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; në) 
3. Zgjidhe ekuacionin 6x-xy+2y=5:
a) relativisht x ;
b) relativisht y .
4. Gjeni rrënjët me numra të plotë të ekuacionit nx 2 -22x+2n=0 , duke ditur se parametri n merr vetëm vlera të plota.
5. Për cilat vlera të parametrit është ekuacioni 
Ajo ka:
a) dy rrënjë
b) rrënja e vetme?
Përgjigjet
NË 1. 1. a) Ekuacioni linear;
b) ekuacioni kuadratik jo i plotë; c) një ekuacion kuadratik.
2. a) Nëse b=0, pastaj x=0; nëse b#0, pastaj x=0, x=b;
b) 
nëse cО (9;+Ґ ), atëherë nuk ka rrënjë;
c) nëse a=–4
, atëherë ekuacioni humbet kuptimin e tij; nëse a№
–4
, pastaj x=- a
.
3. a) Nëse y=3, atëherë nuk ka rrënjë; nëse);
b) a=–3, a=1.
Detyra shtesë
Zgjidh ekuacionet:
Letërsia
1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Rreth parametrave që në fillim. - Tutor, nr 2/1991, f. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Kushtet e nevojshme në detyrat me parametra. – Kvant, nr 11/1991, f. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Zgjidhja e problemeve, që përmban parametra. Pjesa 2. - M., Perspektiva, 1990, f. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pesëqind e katërmbëdhjetë detyra me parametra. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Detyrat me parametra. - M., Edukimi, 1986.
§ 1 Ekuacione racionale të plota dhe thyesore
Në këtë mësim, ne do të analizojmë koncepte të tilla si një ekuacion racional, një shprehje racionale, një shprehje me numër të plotë, një shprehje thyesore. Shqyrtoni zgjidhjen e ekuacioneve racionale.
Një ekuacion racional është një ekuacion në të cilin anët e majta dhe të djathta janë shprehje racionale.
Shprehjet racionale janë:
Thyesore.
Një shprehje numër i plotë përbëhet nga numra, ndryshore, fuqi të plota duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit me një numër të ndryshëm nga zero.
Për shembull:
Në shprehjet thyesore, ekziston një ndarje me një ndryshore ose një shprehje me një ndryshore. Për shembull:
Një shprehje e pjesshme nuk ka kuptim për të gjitha vlerat e ndryshoreve të përfshira në të. Për shembull, shprehja
në x = -9 nuk ka kuptim, sepse në x = -9 emëruesi shkon në zero.
Kjo do të thotë që një ekuacion racional mund të jetë numër i plotë dhe i pjesshëm.
Një ekuacion i plotë racional është një ekuacion racional në të cilin anët e majta dhe të djathta janë shprehje me numra të plotë.
Për shembull:
Një ekuacion racional thyesor është një ekuacion racional në të cilin ana e majtë ose e djathtë janë shprehje të pjesshme.
Për shembull:
§ 2 Zgjidhja e një ekuacioni të tërë racional
Shqyrtoni zgjidhjen e një ekuacioni të tërë racional.
Për shembull:
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me më të voglin emërues i përbashkët emëruesit e thyesave të tij.
Për këtë:
1. gjeni një emërues të përbashkët për emëruesit 2, 3, 6. Është e barabartë me 6;
2. gjeni një faktor shtesë për çdo thyesë. Për ta bërë këtë, ndani emëruesin e përbashkët 6 me secilin emërues
shumëzues shtesë për thyesën
shumëzues shtesë për thyesën
3. shumëzojnë numëruesit e thyesave me faktorët shtesë që u përgjigjen atyre. Kështu, marrim ekuacionin
që është ekuivalente me këtë ekuacion
Le të hapim kllapat në të majtë, të lëvizim pjesën e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjën e termit gjatë transferimit në të kundërtën.
Ne japim terma të ngjashëm të polinomit dhe marrim
Shohim që ekuacioni është linear.
Duke e zgjidhur atë, gjejmë se x = 0,5.
§ 3 Zgjidhja e një ekuacioni racional thyesor
Shqyrtoni zgjidhjen e një ekuacioni racional thyesor.
Për shembull:
1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me emëruesin më të vogël të përbashkët të emëruesve të thyesave racionale të përfshira në të.
Gjeni emëruesin e përbashkët për emëruesit x + 7 dhe x - 1.
Është e barabartë me produktin e tyre (x + 7) (x - 1).
2. Le të gjejmë një faktor shtesë për çdo thyesë racionale.
Për ta bërë këtë, ne ndajmë emëruesin e përbashkët (x + 7) (x - 1) me secilin emërues. Shumëzues shtesë për thyesat
është e barabartë me x - 1,
shumëzues shtesë për thyesën
barazohet me x+7.
3. Shumëzoni numëruesit e thyesave me faktorët plotësues përkatës.
Marrim ekuacionin (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), i cili është i barabartë me këtë ekuacion
4.Majtas dhe djathtas shumëzojnë binomin me binomin dhe marrin ekuacionin e mëposhtëm
5. Ne transferojmë pjesën e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjën e secilit term kur transferojmë në të kundërtën:
6. Paraqesim anëtarë të ngjashëm të polinomit:
7. Mund t'i ndani të dyja pjesët me -1. Ne marrim një ekuacion kuadratik:
8. Pasi e kemi zgjidhur, do të gjejmë rrënjët
Meqenëse në ekuacion
pjesa e majtë dhe e djathtë janë shprehje thyesore, dhe në shprehjet thyesore, për disa vlera të ndryshoreve, emëruesi mund të zhduket, atëherë është e nevojshme të kontrollohet nëse emëruesi i përbashkët nuk zhduket kur gjenden x1 dhe x2.
Në x = -27, emëruesi i përbashkët (x + 7) (x - 1) nuk zhduket, në x = -1, emëruesi i përbashkët është gjithashtu jo zero.
Prandaj, të dy rrënjët -27 dhe -1 janë rrënjë të ekuacionit.
Kur zgjidhni një ekuacion racional të pjesshëm, është më mirë të tregoni menjëherë zonën e vlerave të lejuara. Eliminoni ato vlera në të cilat emëruesi i përbashkët shkon në zero.
Shqyrtoni një shembull tjetër të zgjidhjes së një ekuacioni racional thyesor.
Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin
Emëruesin e thyesës në anën e djathtë të ekuacionit e zbërthejmë në faktorë
Ne marrim ekuacionin
Gjeni një emërues të përbashkët për emëruesit (x - 5), x, x (x - 5).
Do të jetë shprehja x (x - 5).
tani le të gjejmë gamën e vlerave të pranueshme të ekuacionit
Për ta bërë këtë, ne barazojmë emëruesin e përbashkët me zero x (x - 5) \u003d 0.
Marrim një ekuacion, duke e zgjidhur të cilin, gjejmë se në x \u003d 0 ose në x \u003d 5, emëruesi i përbashkët zhduket.
Pra, x = 0 ose x = 5 nuk mund të jenë rrënjët e ekuacionit tonë.
Tani mund të gjeni shumëzues shtesë.
Shumëzues shtesë për thyesat racionale
shumëzues shtesë për thyesat
do të jetë (x - 5),
dhe faktorin shtesë të thyesës
Ne i shumëzojmë numëruesit me faktorët shtesë përkatës.
Marrim ekuacionin x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Le të hapim kllapat majtas dhe djathtas, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Le t'i lëvizim termat nga e djathta në të majtë duke ndryshuar shenjën e termave që do të zhvendosen:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Dhe pasi sjellim terma të ngjashëm, marrim ekuacionin kuadratik x2 - 3x - 10 \u003d 0. Pasi e kemi zgjidhur, gjejmë rrënjët x1 \u003d -2; x2 = 5.
Por ne kemi zbuluar tashmë se në x = 5 emëruesi i përbashkët x(x - 5) zhduket. Prandaj, rrënja e ekuacionit tonë
do të jetë x = -2.
§ katër Përmbledhje e shkurtër mësim
E rëndësishme të mbani mend:
Kur zgjidhni ekuacione racionale thyesore, duhet të bëni sa më poshtë:
1. Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave të përfshira në ekuacion. Për më tepër, nëse emëruesit e thyesave mund të zbërthehen në faktorë, atëherë zbërthejini ata në faktorë dhe më pas gjeni emëruesin e përbashkët.
2. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një emërues të përbashkët: gjeni faktorë shtesë, shumëzoni numëruesit me faktorë shtesë.
3. Zgjidheni ekuacionin e plotë që rezulton.
4. Përjashtoni nga rrënjët e tij ato që e kthejnë emëruesin e përbashkët në zero.
Lista e literaturës së përdorur:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Nën redaksinë e Telyakovsky S.A. Algjebra: tekst shkollor. për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet. - M.: Arsimi, 2013.
- Mordkovich A.G. Algjebër. Klasa 8: Në dy pjesë. Pjesa 1: Proc. për arsimin e përgjithshëm institucionet. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Zhvillimet e mësimit në algjebër: Klasa 8. - M .: VAKO, 2010.
- Algjebra klasa 8: planet e mësimit sipas tekstit shkollor nga Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Mësues, 2005.
Prezantimi dhe mësimi me temën: "Ekuacionet racionale. Algoritmi dhe shembuj për zgjidhjen e ekuacioneve racionale"
Materiale shtesë
Të nderuar përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, sugjerimet tuaja! Të gjitha materialet kontrollohen nga një program antivirus.
Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online "Integral" për klasën 8
Manual për librin shkollor Makarychev Yu.N. Manual për librin shkollor Mordkovich A.G.
Hyrje në ekuacionet irracionale
Djema, ne kemi mësuar të zgjidhim ekuacionet kuadratike. Por matematika nuk kufizohet vetëm me to. Sot do të mësojmë se si të zgjidhim ekuacionet racionale. Koncepti i ekuacioneve racionale është në shumë mënyra i ngjashëm me konceptin numrat racionalë. Vetëm përveç numrave, tani kemi prezantuar disa variabla $x$. Dhe kështu marrim një shprehje në të cilën ka veprime të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe ngritjes në një fuqi të plotë.Le të jetë $r(x)$ shprehje racionale. Një shprehje e tillë mund të jetë një polinom i thjeshtë në ndryshoren $x$ ose një raport polinomesh (futet operacioni i pjesëtimit, si për numrat racionalë).
Quhet ekuacioni $r(x)=0$ ekuacioni racional.
Çdo ekuacion i formës $p(x)=q(x)$, ku $p(x)$ dhe $q(x)$ janë shprehje racionale, do të jetë gjithashtu ekuacioni racional.
Shqyrtoni shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve racionale.
Shembulli 1Zgjidheni ekuacionin: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Zgjidhje.
Le t'i zhvendosim të gjitha shprehjet në anën e majtë: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Nëse paraqitet ana e majtë e ekuacionit numra të rregullt, atëherë do të sillnim dy thyesa në një emërues të përbashkët.
Le të bëjmë këtë: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Ne morëm ekuacionin: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Një thyesë është zero nëse dhe vetëm nëse numëruesi i thyesës është zero dhe emëruesi është jo zero. Pastaj barazoni veçmas numëruesin me zero dhe gjeni rrënjët e numëruesit.
$3(x^2+2x-3)=0$ ose $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Tani le të kontrollojmë emëruesin e thyesës: $(x-3)*x≠0$.
Prodhimi i dy numrave është i barabartë me zero kur të paktën njëri prej këtyre numrave është i barabartë me zero. Pastaj: $x≠0$ ose $x-3≠0$.
$x≠0$ ose $x≠3$.
Rrënjët e marra në numërues dhe emërues nuk përputhen. Pra, si përgjigje ne shkruajmë të dy rrënjët e numëruesit.
Përgjigje: $x=1$ ose $x=-3$.
Nëse papritmas, një nga rrënjët e numëruesit përkoi me rrënjën e emëruesit, atëherë duhet të përjashtohet. Rrënjë të tilla quhen të jashtme!
Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve racionale:
1. Të gjitha shprehjet e përfshira në ekuacion duhet të transferohen në ana e majte nga shenja e barazimit.2. Shndërroni këtë pjesë të ekuacionit në thyesa algjebrike: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Numëruesi që rezulton barazoni me zero, pra zgjidhni ekuacionin $p(x)=0$.
4. Barazoni emëruesin me zero dhe zgjidhni ekuacionin që rezulton. Nëse rrënjët e emëruesit përkonin me rrënjët e numëruesit, atëherë ato duhet të përjashtohen nga përgjigja.
Shembulli 2
Zgjidheni ekuacionin: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Zgjidhje.
Do ta zgjidhim sipas pikave të algoritmit.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Barazoni numëruesin me zero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1$.
4. Barazoni emëruesin me zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dhe $x=-1$.
Njëra prej rrënjëve $x=1$ përkoi me rrënjën e numëruesit, atëherë ne nuk e shkruajmë atë si përgjigje.
Përgjigje: $x=-1$.
Është i përshtatshëm për të zgjidhur ekuacionet racionale duke përdorur metodën e ndryshimit të ndryshoreve. Le ta demonstrojmë.
Shembulli 3
Zgjidheni ekuacionin: $x^4+12x^2-64=0$.
Zgjidhje.
Ne prezantojmë një zëvendësim: $t=x^2$.
Atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën:
$t^2+12t-64=0$ është një ekuacion i zakonshëm kuadratik.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollarë.
Le të prezantojmë një zëvendësim të anasjelltë: $x^2=4$ ose $x^2=-16$.
Rrënjët e ekuacionit të parë janë një çift numrash $x=±2$. E dyta nuk ka rrënjë.
Përgjigje: $x=±2$.
Shembulli 4
Zgjidheni ekuacionin: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Zgjidhje.
Le të prezantojmë një ndryshore të re: $t=x^2+x+1$.
Atëherë ekuacioni do të marrë formën: $t=\frac(15)(t+2)$.
Më pas, ne do të veprojmë sipas algoritmit.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollarë.
4. $t≠-2$ - rrënjët nuk përputhen.
Ne prezantojmë një zëvendësim të kundërt.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Le të zgjidhim secilin ekuacion veç e veç:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - jo rrënjët.
Dhe ekuacioni i dytë: $x^2+x-2=0$.
Rrënjët e këtij ekuacioni do të jenë numrat $x=-2$ dhe $x=1$.
Përgjigje: $x=-2$ dhe $x=1$.
Shembulli 5
Zgjidheni ekuacionin: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Zgjidhje.
Ne prezantojmë një zëvendësim: $t=x+\frac(1)(x)$.
Pastaj:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ose $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Ne morëm ekuacionin: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rrënjët e këtij ekuacioni janë çifti:
$t=-3$ dhe $t=2$.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ne do të vendosim veçmas.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Le të zgjidhim ekuacionin e dytë:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Rrënja e këtij ekuacioni është numri $x=1$.
Përgjigje: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Detyrat për zgjidhje të pavarur
Zgjidh ekuacionet:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.