Le të themi se Akili vrapon dhjetë herë më shpejt se breshka dhe është një mijë hapa pas saj. Gjatë kohës gjatë së cilës Akili vrapon në këtë distancë, breshka zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Kur Akili të ketë vrapuar njëqind hapa, breshka do të zvarritet edhe dhjetë hapa të tjerë, e kështu me radhë. Procesi do të vazhdojë pafundësisht, Akili nuk do ta arrijë kurrë breshkën.
Ky arsyetim u bë një tronditje logjike për të gjithë brezat pasardhës. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Gilberti... Të gjithë, në një mënyrë apo në një tjetër, i konsideronin aporiat e Zenonit. Goditja ishte aq e fortë sa " ... diskutimet vazhdojnë në kohën e tanishme, komuniteti shkencor ende nuk ka arritur të arrijë në një mendim të përbashkët për thelbin e paradokseve ... analiza matematikore, teoria e grupeve, qasje të reja fizike dhe filozofike; asnjëri prej tyre nuk u bë një zgjidhje e pranuar botërisht për problemin ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "] Të gjithë e kuptojnë se po mashtrohen, por askush nuk e kupton se çfarë është mashtrimi.
Nga pikëpamja e matematikës, Zeno në aporinë e tij demonstroi qartë kalimin nga vlera në. Ky tranzicion nënkupton aplikimin në vend të konstanteve. Me sa kuptoj unë, aparati matematikor për aplikimin e njësive matëse të ndryshueshme ose nuk është zhvilluar ende, ose nuk është aplikuar në aporinë e Zenoit. Zbatimi i logjikës sonë të zakonshme na çon në një kurth. Ne, me inercinë e të menduarit, aplikojmë njësi konstante kohore për reciprocitetin. Me pikë fizike Për syrin, duket sikur koha po ngadalësohet derisa të ndalojë plotësisht në momentin kur Akili kap breshkën. Nëse koha ndalon, Akili nuk mund ta kapërcejë më breshkën.
Nëse kthejmë logjikën me të cilën jemi mësuar, gjithçka bie në vend. Akili vrapon me shpejtësi konstante. Çdo segment pasues i rrugës së tij është dhjetë herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Prandaj, koha e shpenzuar për tejkalimin e saj është dhjetë herë më pak se ajo e mëparshme. Nëse zbatojmë konceptin e "pafundësisë" në këtë situatë, atëherë do të ishte e saktë të thoshim "Akili do ta kapë pafundësisht shpejt breshkën".
Si ta shmangni këtë kurth logjik? Qëndroni në njësi konstante kohore dhe mos kaloni në vlera reciproke. Në gjuhën e Zenonit, duket kështu:
Në kohën që i duhet Akilit për të bërë një mijë hapa, breshka zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Gjatë intervalit tjetër kohor, të barabartë me të parin, Akili do të vrapojë një mijë hapa të tjerë, dhe breshka do të zvarritet njëqind hapa. Tani Akili është tetëqind hapa përpara breshkës.
Kjo qasje përshkruan në mënyrë adekuate realitetin pa asnjë paradoks logjik. Por nuk është kështu zgjidhje e plotë Problemet. Deklarata e Ajnshtajnit për pakapërcyeshmërinë e shpejtësisë së dritës është shumë e ngjashme me aporinë e Zenonit "Akili dhe breshka". Ne ende duhet ta studiojmë, rimendojmë dhe zgjidhim këtë problem. Dhe zgjidhja duhet kërkuar jo në numër pafundësisht të madh, por në njësi matëse.
Një tjetër aporia interesante e Zenos tregon për një shigjetë fluturuese:
Një shigjetë fluturuese është e palëvizshme, pasi në çdo moment të kohës është në pushim, dhe duke qenë se është në prehje në çdo moment të kohës, ajo është gjithmonë në pushim.
Në këtë apori, paradoksi logjik kapërcehet shumë thjesht - mjafton të sqarohet se në çdo moment të kohës shigjeta fluturuese është në pushim në pika të ndryshme të hapësirës, që në fakt është lëvizje. Këtu duhet theksuar edhe një pikë tjetër. Nga një fotografi e një makine në rrugë, është e pamundur të përcaktohet as fakti i lëvizjes së saj, as distanca deri në të. Për të përcaktuar faktin e lëvizjes së makinës nevojiten dy fotografi të marra nga e njëjta pikë në momente të ndryshme kohore, por ato nuk mund të përdoren për të përcaktuar distancën. Për të përcaktuar distancën nga makina, ju nevojiten dy fotografi të marra nga pika të ndryshme në hapësirë në të njëjtën kohë, por nuk mund të përcaktoni faktin e lëvizjes prej tyre (natyrisht, ju duhen ende të dhëna shtesë për llogaritjet, trigonometria do t'ju ndihmojë) . Në çfarë dua të fokusohem Vëmendje e veçantë, është se dy pika në kohë dhe dy pika në hapësirë janë gjëra të ndryshme që nuk duhen ngatërruar, sepse ofrojnë mundësi të ndryshme për eksplorim.
E mërkurë, 4 korrik 2018
Shumë mirë ndryshimet midis grupit dhe multisetit janë përshkruar në Wikipedia. Ne shikojmë.
Siç mund ta shihni, "bashkësia nuk mund të ketë dy elementë identikë", por nëse ka elementë identikë në grup, një grup i tillë quhet "multiset". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojnë kurrë një logjikë të tillë absurditeti. Ky është niveli i papagajve që flasin dhe majmunëve të stërvitur, në të cilin mendja mungon nga fjala "plotësisht". Matematikanët veprojnë si trajnerë të zakonshëm, duke na predikuar idetë e tyre absurde.
Njëherë e një kohë, inxhinierët që ndërtuan urën ishin në një varkë nën urë gjatë provave të urës. Nëse ura u shemb, inxhinieri mediokër vdiq nën rrënojat e krijimit të tij. Nëse ura mund të përballonte ngarkesën, inxhinieri i talentuar ndërtoi ura të tjera.
Pavarësisht se sa matematikanët fshihen pas shprehjes "mendoni mua, unë jam në shtëpi", ose më mirë "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston një kordon kërthizor që i lidh pazgjidhshmërisht me realitetin. Ky kordon i kërthizës është para. E aplikueshme teoria matematikore vendos për vetë matematikanët.
Ne kemi studiuar shumë mirë matematikën dhe tani jemi ulur në arkë, duke paguar rrogat. Këtu na vjen një matematikan për paratë e tij. I numërojmë të gjithë shumën dhe e shtrojmë në tryezën tonë në pirgje të ndryshme, në të cilat vendosim fatura të së njëjtës prerje. Më pas marrim një faturë nga çdo grumbull dhe i japim matematikanit "pagën e tij matematikore". Matematikën e shpjegojmë se pjesën tjetër të faturave do t'i marrë vetëm kur të vërtetojë se grupi pa elementë identikë nuk është i barabartë me grupin me elementë identikë. Këtu fillon argëtimi.
Para së gjithash, logjika e deputetëve do të funksionojë: “mund ta zbatoni për të tjerët, por jo për mua!”. Më tej, do të fillojnë garancitë se në kartëmonedhat e prerjes së njëjtë ka numra të ndryshëm kartëmonedhash, që do të thotë se ato nuk mund të konsiderohen elementë identikë. Epo, ne e llogarisim pagën në monedha - nuk ka numra në monedha. Këtu matematikani do të fillojë të kujtojë në mënyrë konvulsive fizikën: monedha të ndryshme në dispozicion sasi të ndryshme papastërtia, struktura kristalore dhe rregullimi atomik i secilës monedhë është unike...
Dhe tani kam pyetjen më interesante: ku është kufiri përtej të cilit elementët e një grupi të shumëfishtë kthehen në elementë të një grupi dhe anasjelltas? Një linjë e tillë nuk ekziston - gjithçka vendoset nga shamanët, shkenca këtu nuk është as afër.
Shikoni këtu. Ne zgjedhim stadiume futbolli me të njëjtën zonë. Sipërfaqja e fushave është e njëjtë, që do të thotë se kemi një multiset. Por nëse marrim parasysh emrat e të njëjtave stadiume, marrim shumë, sepse emrat janë të ndryshëm. Siç mund ta shihni, i njëjti grup elementësh është njëkohësisht një grup dhe një grup shumëfish. Sa e drejtë? Dhe këtu, matematikani-shaman-shuller nxjerr një ace atu nga mëngët e tij dhe fillon të na tregojë ose për një grup ose një multiset. Në çdo rast, ai do të na bindë se ka të drejtë.
Për të kuptuar se si shamanët modernë veprojnë me teorinë e grupeve, duke e lidhur atë me realitetin, mjafton t'i përgjigjemi një pyetjeje: si ndryshojnë elementët e një grupi nga elementët e një grupi tjetër? Unë do t'ju tregoj, pa asnjë "të konceptueshme si jo një tërësi e vetme" ose "jo e konceptueshme si një tërësi e vetme".
e diel, 18 mars 2018
Shuma e shifrave të një numri është një valle e shamanëve me një dajre, e cila nuk ka asnjë lidhje me matematikën. Po, në mësimet e matematikës ne jemi mësuar të gjejmë shumën e shifrave të një numri dhe ta përdorim atë, por ata janë shamanë për këtë, për t'u mësuar pasardhësve aftësitë dhe mençurinë e tyre, përndryshe shamanët thjesht do të vdesin.
Keni nevojë për prova? Hapni Wikipedia dhe provoni të gjeni faqen "Shuma e shifrave të një numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnjë formulë në matematikë me të cilën mund të gjesh shumën e shifrave të çdo numri. Në fund të fundit, numrat janë simbole grafike me të cilat shkruajmë numrat, dhe në gjuhën e matematikës, detyra tingëllon kështu: "Gjeni shumën e simboleve grafike që përfaqësojnë çdo numër". Matematikanët nuk mund ta zgjidhin këtë problem, por shamanët mund ta bëjnë atë në mënyrë elementare.
Le të kuptojmë se çfarë dhe si bëjmë për të gjetur shumën e shifrave të një numri të caktuar. Dhe kështu, le të themi se kemi numrin 12345. Çfarë duhet bërë për të gjetur shumën e shifrave të këtij numri? Le të shqyrtojmë të gjitha hapat në rend.
1. Shkruani numrin në një copë letër. Çfarë kemi bërë? Ne e kemi konvertuar numrin në një simbol grafik numerik. Ky nuk është një operacion matematikor.
2. Ne e premë një fotografi të marrë në disa figura që përmbajnë numra të veçantë. Prerja e një fotografie nuk është një operacion matematikor.
3. Shndërroni karakteret individuale grafike në numra. Ky nuk është një operacion matematikor.
4. Mblidhni numrat që rezultojnë. Tani kjo është matematika.
Shuma e shifrave të numrit 12345 është 15. Këto janë "kurset e prerjes dhe qepjes" nga shamanët që përdoren nga matematikanët. Por kjo nuk është e gjitha.
Nga pikëpamja e matematikës, nuk ka rëndësi se në cilin sistem numrash e shkruajmë numrin. Pra, në sisteme të ndryshme duke llogaritur, shuma e shifrave të të njëjtit numër do të jetë e ndryshme. Në matematikë, sistemi i numrave tregohet si nënshkrim në të djathtë të numrit. Me një numër të madh 12345, nuk dua të mashtroj kokën, merrni parasysh numrin 26 nga artikulli rreth. Le ta shkruajmë këtë numër në sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do të shqyrtojmë çdo hap nën një mikroskop, ne e kemi bërë tashmë këtë. Le të shohim rezultatin.
Siç mund ta shihni, në sisteme të ndryshme numrash, shuma e shifrave të të njëjtit numër është e ndryshme. Ky rezultat nuk ka të bëjë fare me matematikën. Është sikur gjetja e sipërfaqes së një drejtkëndëshi në metra dhe centimetra do t'ju jepte rezultate krejtësisht të ndryshme.
Zero në të gjitha sistemet e numrave duket e njëjtë dhe nuk ka shumë shifrash. Ky është një argument tjetër në favor të faktit se . Një pyetje për matematikanët: si shënohet në matematikë ai që nuk është numër? Çfarë, për matematikanët, nuk ekziston asgjë përveç numrave? Për shamanët, unë mund ta lejoj këtë, por për shkencëtarët, jo. Realiteti nuk ka të bëjë vetëm me numrat.
Rezultati i marrë duhet të konsiderohet si provë se sistemet e numrave janë njësi matëse të numrave. Sepse ne nuk mund të krahasojmë numrat me njësi të ndryshme matjet. Nëse të njëjtat veprime me njësi të ndryshme matëse të së njëjtës sasi çojnë në rezultate të ndryshme pas krahasimit të tyre, atëherë kjo nuk ka të bëjë fare me matematikën.
Çfarë është matematika e vërtetë? Kjo ndodh kur rezultati i një veprimi matematikor nuk varet nga vlera e numrit, njësia matëse e përdorur dhe nga kush e kryen këtë veprim.
Oh! A nuk është ky banja e grave?
- Grua e re! Ky është një laborator për studimin e shenjtërisë së pacaktuar të shpirtrave pas ngjitjes në qiell! Nimbus sipër dhe shigjeta lart. Çfarë tualeti tjetër?
Femër... Një aureolë sipër dhe një shigjetë poshtë është mashkull.
Nëse keni një vepër të tillë të artit të dizajnit që ju pulson para syve disa herë në ditë,
Atëherë nuk është për t'u habitur që papritmas gjeni një ikonë të çuditshme në makinën tuaj:
Personalisht, unë bëj një përpjekje për veten time për të parë minus katër gradë në një person të kulluar (një fotografi) (përbërja e disa fotografive: shenja minus, numri katër, përcaktimi i shkallëve). Dhe këtë vajzë nuk e konsideroj budallaqe që nuk di fizikë. Ajo thjesht ka një stereotip hark të perceptimit të imazheve grafike. Dhe matematikanët na mësojnë këtë gjatë gjithë kohës. Këtu është një shembull.
1A nuk është "minus katër gradë" ose "një a". Ky është "njeriu i kulluar" ose numri "njëzet e gjashtë" në sistemin e numrave heksadecimal. Ata njerëz që vazhdimisht punojnë në këtë sistem numrash e perceptojnë automatikisht numrin dhe shkronjën si një simbol grafik.
Shumëzimi i thyesave të zakonshme
Konsideroni një shembull.
Le të jetë $\frac(1)(3)$ pjesë e një molle në pjatë. Duhet të gjejmë pjesën $\frac(1)(2)$ të saj. Pjesa e kërkuar është rezultat i shumëzimit të thyesave $\frac(1)(3)$ dhe $\frac(1)(2)$. Rezultati i shumëzimit të dy thyesave të zakonshme është një thyesë e zakonshme.
Shumëzimi i dy thyesave të përbashkëta
Rregulla për shumëzimin e thyesave të zakonshme:
Rezultati i shumëzimit të një thyese me një thyesë është një thyesë, numëruesi i së cilës është i barabartë me produktin e numëruesve të thyesave të shumëzuara, dhe emëruesi është i barabartë me produktin e emëruesve:
Shembulli 1
Shumëzoni thyesat e zakonshme $\frac(3)(7)$ dhe $\frac(5)(11)$.
Vendimi.
Le të përdorim rregullin e shumëzimit të thyesave të zakonshme:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Përgjigje:$\frac(15)(77)$
Nëse, si rezultat i shumëzimit të thyesave, një i anulueshëm ose jo thyesa e duhur, atëherë ju duhet ta thjeshtoni atë.
Shembulli 2
Shumëzoni thyesat $\frac(3)(8)$ dhe $\frac(1)(9)$.
Vendimi.
Ne përdorim rregullin për shumëzimin e thyesave të zakonshme:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Si rezultat, kemi marrë një thyesë të reduktueshme (në bazë të pjesëtimit me $3$. Pjestoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me $3$, marrim:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Zgjidhje e shkurtër:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Përgjigje:$\frac(1)(24).$
Kur shumëzoni thyesat, mund të zvogëloni numëruesit dhe emëruesit për të gjetur produktin e tyre. Në këtë rast, numëruesi dhe emëruesi i thyesës zbërthehet në faktorët kryesorë, pas së cilës reduktohen faktorët e përsëritur dhe gjendet rezultati.
Shembulli 3
Llogaritni prodhimin e thyesave $\frac(6)(75)$ dhe $\frac(15)(24)$.
Vendimi.
Le të përdorim formulën për shumëzimin e thyesave të zakonshme:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Natyrisht, numëruesi dhe emëruesi përmbajnë numra që mund të reduktohen në çift nga numrat $2$, $3$ dhe $5$. Ne zbërthejmë numëruesin dhe emëruesin në faktorë të thjeshtë dhe bëjmë reduktimin:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Përgjigje:$\frac(1)(20).$
Gjatë shumëzimit të thyesave, ligji komutativ mund të zbatohet:
Shumëzimi i një thyese me një numër natyror
rregulli i shumëzimit thyesë e zakonshme në numri natyror:
Rezultati i shumëzimit të një thyese me një numër natyror është një thyesë në të cilën numëruesi është i barabartë me produktin e numëruesit të thyesës së shumëzuar me numrin natyror, dhe emëruesi është i barabartë me emëruesin e thyesës së shumëzuar:
ku $\frac(a)(b)$ është një thyesë e zakonshme, $n$ është një numër natyror.
Shembulli 4
Shumëzoni thyesën $\frac(3)(17)$ me $4$.
Vendimi.
Le të përdorim rregullin e shumëzimit të një thyese të zakonshme me një numër natyror:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Përgjigje:$\frac(12)(17).$
Mos harroni të kontrolloni rezultatin e shumëzimit për kontraktueshmërinë e një fraksioni ose për një fraksion të pahijshëm.
Shembulli 5
Shumëzoni thyesën $\frac(7)(15)$ me $3$.
Vendimi.
Le të përdorim formulën për shumëzimin e një thyese me një numër natyror:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Me kriterin e pjesëtimit me numrin $3$), mund të përcaktohet se fraksioni që rezulton mund të zvogëlohet:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Rezultati është një fraksion i papërshtatshëm. Le të marrim të gjithë pjesën:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Zgjidhje e shkurtër:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Gjithashtu ishte e mundur të zvogëloheshin thyesat duke zëvendësuar numrat në numërues dhe emërues me zgjerimet e tyre në faktorë të thjeshtë. Në këtë rast, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Përgjigje:$1\frac(2)(5).$
Kur shumëzoni një thyesë me një numër natyror, mund të përdorni ligjin komutativ:
Ndarja e thyesave të zakonshme
Operacioni i pjesëtimit është inversi i shumëzimit dhe rezultati i tij është një fraksion me të cilin duhet të shumëzoni një fraksion të njohur për të marrë një produkt të njohur të dy thyesave.
Ndarja e dy thyesave të përbashkëta
Rregulli për ndarjen e thyesave të zakonshme: Natyrisht, numëruesi dhe emëruesi i fraksionit që rezulton mund të zbërthehet në faktorë të thjeshtë dhe të zvogëlohet:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Si rezultat, morëm një fraksion të pahijshëm, nga i cili zgjedhim pjesën e plotë:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Përgjigje:$1\frac(5)(9).$
Shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë është një detyrë e thjeshtë. Por ka hollësi që me siguri i keni kuptuar në shkollë, por që atëherë i keni harruar.
Si të shumëzoni një numër të plotë me një fraksion - disa terma
Nëse ju kujtohet se çfarë janë numëruesi dhe emëruesi dhe si ndryshon një thyesë e duhur nga një e pahijshme, kaloni këtë paragraf. Është për ata që e kanë harruar plotësisht teorinë.
Numëruesi është pjesa e sipërme thyesat janë ato që ne ndajmë. Emëruesi është ai i fundit. Kjo është ajo që ne ndajmë.
Një thyesë e duhur është ajo, numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi. Një thyesë e papërshtatshme është një thyesë, numëruesi i së cilës është më i madh ose i barabartë me emëruesin.
Si të shumëzojmë një numër të plotë me një thyesë
Rregulli për shumëzimin e një numri të plotë me një thyesë është shumë i thjeshtë - ne shumëzojmë numëruesin me numrin e plotë dhe nuk e prekim emëruesin. Për shembull: dy shumëzuar me një të pestën - marrim dy të pestat. Katër herë tre të gjashtëmbëdhjetët janë dymbëdhjetë të gjashtëmbëdhjetët.
Reduktimi
Në shembullin e dytë, fraksioni që rezulton mund të reduktohet.
Çfarë do të thotë? Vini re se si numëruesi ashtu edhe emëruesi i kësaj thyese janë të pjesëtueshëm me katër. Pjesëtoni të dy numrat me pjesëtues i përbashkët dhe quhet - zvogëlo thyesën. Ne marrim tre të katërtat.
Thyesat e gabuara
Por supozojmë se shumëzojmë katër herë dy të pestat. Mori tetë të pestat. Kjo është thyesë e papërshtatshme.
Duhet të sillet në formën e saktë. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni një pjesë të tërë prej saj.
Këtu ju duhet të përdorni ndarjen me një mbetje. Ne marrim një dhe tre në pjesën e mbetur.
Një e tërë dhe tre të pestat është thyesa jonë e duhur.
Korrigjimi i tridhjetë e pesë të tetës është pak më i vështirë.Numri më i afërt me tridhjetë e shtatë që pjesëtohet me tetë është tridhjetë e dy. Kur ndahemi, marrim katër. Ne zbresim tridhjetë e dy nga tridhjetë e pesë - marrim tre. Rezultati: katër të plota dhe tre të tetat.
Barazia e numëruesit dhe emëruesit. Dhe këtu gjithçka është shumë e thjeshtë dhe e bukur. Kur numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë, rezultati është vetëm një.
) dhe emëruesi nga emëruesi (marrim emëruesin e prodhimit).
Formula e shumëzimit të thyesave:
Për shembull:
Para se të vazhdohet me shumëzimin e numëruesve dhe emëruesve, është e nevojshme të kontrollohet mundësia e zvogëlimit të thyesave. Nëse arrini të zvogëloni fraksionin, atëherë do ta keni më të lehtë të vazhdoni të bëni llogaritjet.
Pjesëtimi i një thyese të zakonshme me një thyesë.
Ndarja e thyesave që përfshijnë një numër natyror.
Nuk është aq e frikshme sa duket. Ashtu si në rastin e mbledhjes, ne shndërrojmë një numër të plotë në një thyesë me një njësi në emërues. Për shembull:
Shumëzimi i thyesave të përziera.
Rregullat për shumëzimin e thyesave (të përziera):
- shndërroni fraksionet e përziera në të pahijshme;
- të shumëzojë numëruesit dhe emëruesit e thyesave;
- zvogëlojmë thyesën;
- nëse marrim një thyesë jo të duhur, atëherë thyesën e papërshtatshme e shndërrojmë në një të përzier.
Shënim! Të shumohen fraksion i përzier në një fraksion tjetër të përzier, së pari duhet t'i sillni ato në formën e fraksioneve të pahijshme, dhe më pas shumëzoni sipas rregullit të shumëzimit për fraksionet e zakonshme.
Mënyra e dytë për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror.
Është më i përshtatshëm të përdoret metoda e dytë e shumëzimit të një fraksioni të zakonshëm me një numër.
Shënim! Për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror, është e nevojshme të pjesëtohet emëruesi i thyesës me këtë numër dhe të lihet numëruesi i pandryshuar.
Nga shembulli i mësipërm, është e qartë se ky opsion është më i përshtatshëm për t'u përdorur kur emëruesi i një thyese ndahet pa mbetje me një numër natyror.
Thyesat me shumë nivele.
Në shkollën e mesme, shpesh gjenden thyesa trekatëshe (ose më shumë). Shembull:
Për ta sjellë një fraksion të tillë në formën e tij të zakonshme, përdoret ndarja në 2 pika:
Shënim! Gjatë pjesëtimit të thyesave, radha e pjesëtimit është shumë e rëndësishme. Kini kujdes, këtu është e lehtë të ngatërrohesh.
Shënim, Për shembull:
Kur pjesëtohet një me çdo thyesë, rezultati do të jetë i njëjti thyesë, vetëm i përmbysur:
Këshilla praktike për shumëzimin dhe pjesëtimin e thyesave:
1. Gjëja më e rëndësishme në punën me shprehjet thyesore është saktësia dhe vëmendja. Bëni të gjitha llogaritjet me kujdes dhe saktësi, të përqendruar dhe qartë. Është më mirë të shkruani disa rreshta shtesë në një draft sesa të hutoheni në llogaritjet në kokën tuaj.
2. Në detyrat me tipe te ndryshme thyesat - shkoni në formën e thyesave të zakonshme.
3. Zvogëlojmë të gjitha thyesat derisa të mos jetë më e mundur të zvogëlohen.
4. Shumëkatëshe shprehjet thyesore i sjellim në formë të zakonshme, duke përdorur ndarjen me 2 pikë.
5. Ne e ndajmë njësinë në një thyesë në mendjen tonë, thjesht duke e kthyer thyesën.
Përmbajtja e mësimitMbledhja e thyesave me emërues të njëjtë
Shtimi i thyesave është dy llojesh:
- Mbledhja e thyesave me emërues të njëjtë
- Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm
Le të fillojmë me mbledhjen e thyesave me emërues të njëjtë. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Për shembull, le të shtojmë thyesat dhe . Shtojmë numëruesit dhe e lëmë emëruesin të pandryshuar:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në katër pjesë. Nëse shtoni pica në picë, ju merrni pica:
Shembulli 2 Shtoni thyesat dhe .
Përgjigja është një fraksion i papërshtatshëm. Nëse vjen fundi i detyrës, atëherë është zakon të heqësh qafe fraksionet e pahijshme. Për të hequr qafe një fraksion të pahijshëm, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të. Në rastin tonë, e gjithë pjesa dallohet lehtësisht - dy të ndara me dy janë të barabarta me një:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në dy pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni një picë të plotë:
Shembulli 3. Shtoni thyesat dhe .
Përsëri, shtoni numëruesit dhe lini emëruesin të pandryshuar:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë që është e ndarë në tre pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni pica:
Shembulli 4 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Numëruesit duhet të shtohen dhe emëruesi të lihet i pandryshuar:
Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse shtoni pica në picë dhe shtoni më shumë pica, ju merrni 1 pica të plota dhe më shumë.
Siç mund ta shihni, shtimi i thyesave me emërues të njëjtë nuk është i vështirë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:
- Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar;
Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm
Tani do të mësojmë se si të mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Kur mblidhen thyesat, emëruesit e atyre thyesave duhet të jenë të njëjtë. Por ato nuk janë gjithmonë të njëjta.
Për shembull, thyesat mund të shtohen sepse kanë të njëjtët emërues.
Por thyesat nuk mund të shtohen menjëherë, sepse këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Ka disa mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues. Sot do të shqyrtojmë vetëm njërën prej tyre, pasi pjesa tjetër e metodave mund të duken të ndërlikuara për një fillestar.
Thelbi i kësaj metode qëndron në faktin se së pari kërkohet (LCM) e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë. Ata bëjnë të njëjtën gjë me thyesën e dytë - LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet faktori i dytë shtesë.
Pastaj numëruesit dhe emëruesit e thyesave shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla.
Shembulli 1. Shtoni thyesat dhe
Para së gjithash, gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 6.
LCM (2 dhe 3) = 6
Tani kthehemi te thyesat dhe . Së pari, ne e ndajmë LCM me emëruesin e fraksionit të parë dhe marrim faktorin e parë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 6 me 3, marrim 2.
Numri 2 që rezulton është faktori i parë shtesë. E shkruajmë në thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ne bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksion dhe shkruajmë faktorin shtesë të gjetur mbi të:
Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. Ne e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë dhe marrim faktorin e dytë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Pjestoni 6 me 2, marrim 3.
Numri 3 që rezulton është faktori i dytë shtesë. E shkruajmë në thyesën e dytë. Përsëri, ne bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksionin e dytë dhe shkruajmë faktorin shtesë të gjetur mbi të:
Tani jemi gati të shtojmë. Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë:
Shikoni nga afër se në çfarë kemi ardhur. Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla. Le ta plotësojmë këtë shembull deri në fund:
Kështu përfundon shembulli. Për të shtuar rezulton.
Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse shtoni pica në një picë, ju merrni një picë të plotë dhe një të gjashtën tjetër të picës:
Reduktimi i thyesave në të njëjtin emërues (të përbashkët) mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i sjellë thyesat dhe në një emërues të përbashkët, marrim thyesat dhe . Këto dy fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta picash. I vetmi ndryshim do të jetë se këtë herë ato do të ndahen në pjesë të barabarta (reduktohen në të njëjtin emërues).
Vizatimi i parë tregon një fraksion (katër pjesë nga gjashtë) dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga gjashtë). Duke i bashkuar këto pjesë marrim (shtatë nga gjashtë). Kjo thyesë është e pasaktë, kështu që ne kemi theksuar pjesën e plotë në të. Rezultati ishte (një pica e plotë dhe një tjetër pica e gjashtë).
Vini re se ne kemi pikturuar shembulli i dhënë tepër i detajuar. AT institucionet arsimore nuk është zakon të shkruhet në mënyrë kaq të detajuar. Ju duhet të jeni në gjendje të gjeni shpejt LCM-në e të dy emëruesve dhe faktorëve shtesë ndaj tyre, si dhe të shumëzoni shpejt faktorët shtesë të gjetur nga numëruesit dhe emëruesit tuaj. Ndërsa jemi në shkollë, do të na duhej ta shkruajmë këtë shembull si më poshtë:
Por ka edhe anën e pasme medalje. Nëse nuk bëhen shënime të hollësishme në fazat e para të studimit të matematikës, atëherë pyetje të këtij lloji "Nga vjen ai numër?", "Pse thyesat kthehen papritur në thyesa krejtësisht të ndryshme? «.
Për ta bërë më të lehtë shtimin e thyesave me emërues të ndryshëm, mund të përdorni udhëzimet e mëposhtme hap pas hapi:
- Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave;
- Ndani LCM me emëruesin e secilës thyesë dhe merrni një shumëzues shtesë për secilën thyesë;
- Të shumëzojë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë;
- Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë;
- Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën e saj;
Shembulli 2 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
.
Le të përdorim udhëzimet e mësipërme.
Hapi 1. Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave
Gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesit e thyesave janë numrat 2, 3 dhe 4
Hapi 2. Ndani LCM me emëruesin e çdo thyese dhe merrni një shumëzues shtesë për secilën thyesë
Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 2. Pjestoni 12 me 2, marrim 6. Morëm faktorin e parë shtesë 6. E shkruajmë mbi thyesën e parë:
Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjesëtojmë 12 me 3, marrim 4. Morëm faktorin e dytë shtesë 4. E shkruajmë mbi thyesën e dytë:
Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Morëm faktorin e tretë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:
Hapi 3. Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët tuaj shtesë
Ne i shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit me faktorët tanë shtesë:
Hapi 4. Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë
Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kanë emërues (të përbashkët) të njëjtë. Mbetet për të shtuar këto fraksione. Shtoni:
Shtesa nuk përshtatej në një rresht, kështu që ne e zhvendosëm shprehjen e mbetur në rreshtin tjetër. Kjo lejohet në matematikë. Kur një shprehje nuk përshtatet në një rresht, ajo bartet në rreshtin tjetër dhe është e nevojshme të vendoset një shenjë e barabartë (=) në fund të rreshtit të parë dhe në fillim të një rreshti të ri. Shenja e barazimit në rreshtin e dytë tregon se kjo është një vazhdim i shprehjes që ishte në rreshtin e parë.
Hapi 5. Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën në të
Përgjigja jonë është një fraksion i gabuar. Duhet të veçojmë të gjithë pjesën e tij. Theksojmë:
Mori një përgjigje
Zbritja e thyesave me emërues të njëjtë
Ekzistojnë dy lloje të zbritjes së thyesave:
- Zbritja e thyesave me emërues të njëjtë
- Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm
Së pari, le të mësojmë se si të zbresim thyesat me emërues të njëjtë. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të njëjtë.
Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes . Për të zgjidhur këtë shembull, është e nevojshme të zbritet numëruesi i thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lihet emëruesi i pandryshuar. Le ta bejme kete:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në katër pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:
Shembulli 2 Gjeni vlerën e shprehjes.
Përsëri, nga numëruesi i thyesës së parë, zbritni numëruesin e thyesës së dytë dhe lëreni emëruesin të pandryshuar:
Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë që është e ndarë në tre pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:
Shembulli 3 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Nga numëruesi i thyesës së parë, duhet të zbritni numëruesit e thyesave të mbetura:
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:
- Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e fraksionit të dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të pandryshuar;
- Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të.
Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm
Për shembull, një thyesë mund të zbritet nga një thyesë, pasi këto thyesa kanë të njëjtët emërues. Por një thyesë nuk mund të zbritet nga një thyesë, sepse këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Emëruesi i përbashkët gjendet sipas të njëjtit parim që kemi përdorur kur mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Para së gjithash, gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e parë. Në mënyrë të ngjashme, LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet një faktor i dytë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e dytë.
Më pas thyesat shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla.
Shembulli 1 Gjeni vlerën e një shprehjeje:
Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që ju duhet t'i sillni ato në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Së pari, gjejmë LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 12
LCM (3 dhe 4) = 12
Tani kthehemi te thyesat dhe
Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë LCM me emëruesin e fraksionit të parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Shkruajmë katër mbi thyesën e parë:
Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. LCM-në e ndajmë me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Shkruani një trefish mbi thyesën e dytë:
Tani jemi të gjithë të vendosur për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:
Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla. Le ta plotësojmë këtë shembull deri në fund:
Mori një përgjigje
Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica.
Ky është versioni i detajuar i zgjidhjes. Duke qenë në shkollë, do të duhej ta zgjidhim këtë shembull në një mënyrë më të shkurtër. Një zgjidhje e tillë do të duket si kjo:
Reduktimi i thyesave dhe në një emërues të përbashkët mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i sjellë këto thyesa në një emërues të përbashkët, marrim thyesat dhe . Këto fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta pice, por këtë herë ato do të ndahen në të njëjtat thyesa (të reduktuara në të njëjtin emërues):
Vizatimi i parë tregon një fraksion (tetë pjesë nga dymbëdhjetë), dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga dymbëdhjetë). Duke prerë tre pjesë nga tetë pjesë, marrim pesë pjesë nga dymbëdhjetë. Fraksioni përshkruan këto pesë pjesë.
Shembulli 2 Gjeni vlerën e një shprehjeje 
Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që së pari duhet t'i sillni në të njëjtin emërues (të përbashkët).
Gjeni LCM-në e emëruesve të këtyre thyesave.
Emëruesit e thyesave janë numrat 10, 3 dhe 5. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Tani gjejmë faktorë shtesë për secilën fraksion. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë LCM me emëruesin e secilës fraksion.
Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 10. Pjestoni 30 me 10, marrim faktorin e parë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e parë:
Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e dytë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 30 me 3, marrim faktorin e dytë shtesë 10. E shkruajmë mbi thyesën e dytë:
Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e tretë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 5. Pjestoni 30 me 5, marrim faktorin e tretë shtesë 6. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:
Tani gjithçka është gati për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:
Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kanë emërues të njëjtë (të përbashkët). Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla. Le ta përfundojmë këtë shembull.
Vazhdimi i shembullit nuk do të përshtatet në një rresht, kështu që ne e zhvendosim vazhdimin në rreshtin tjetër. Mos harroni për shenjën e barabartë (=) në rreshtin e ri:
Përgjigja doli të ishte një fraksion i saktë, dhe gjithçka duket se na përshtatet, por është shumë e rëndë dhe e shëmtuar. Duhet ta bëjmë më të lehtë. Çfarë mund të bëhet? Ju mund ta zvogëloni këtë pjesë.
Për të zvogëluar një thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e saj me (gcd) numrat 20 dhe 30.
Pra, gjejmë GCD-në e numrave 20 dhe 30:
Tani kthehemi te shembulli ynë dhe ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me GCD-në e gjetur, domethënë me 10
Mori një përgjigje
Shumëzimi i një thyese me një numër
Për të shumëzuar një thyesë me një numër, duhet të shumëzoni numëruesin e thyesës së dhënë me këtë numër dhe të lini emëruesin të njëjtë.
Shembulli 1. Shumëzojeni thyesën me numrin 1.
Shumëzoni numëruesin e thyesës me numrin 1
Hyrja mund të kuptohet si një gjysmë 1 herë. Për shembull, nëse merrni pica 1 herë, ju merrni pica
Nga ligjet e shumëzimit, ne e dimë se nëse shumëzuesi dhe shumëzuesi ndërrohen, atëherë prodhimi nuk do të ndryshojë. Nëse shprehja shkruhet si , atëherë produkti do të vazhdojë të jetë i barabartë me . Përsëri, rregulli për shumëzimin e një numri të plotë dhe një thyese funksionon:
Kjo hyrje mund të kuptohet si marrja e gjysmës së njësisë. Për shembull, nëse ka 1 picë të plotë dhe marrim gjysmën e saj, atëherë do të kemi pica:
Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje
Shumëzoni numëruesin e thyesës me 4
Përgjigja është një fraksion i papërshtatshëm. Le të marrim një pjesë të plotë të tij:
Shprehja mund të kuptohet si të marrë dy të katërtat 4 herë. Për shembull, nëse merrni pica 4 herë, ju merrni dy pica të plota.
Dhe nëse ndërrojmë shumëzuesin dhe shumëzuesin në vende, marrim shprehjen. Do të jetë gjithashtu e barabartë me 2. Kjo shprehje mund të kuptohet si marrja e dy picave nga katër pica të plota:
Shumëzimi i thyesave
Për të shumëzuar thyesat, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre. Nëse përgjigja është një fraksion i gabuar, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të.
Shembulli 1 Gjeni vlerën e shprehjes.
Mori një përgjigje. Është e dëshirueshme të zvogëlohet ky fraksion. Pjesa mund të zvogëlohet me 2. Atëherë zgjidhja përfundimtare do të marrë formën e mëposhtme:
Shprehja mund të kuptohet si marrja e një pice nga një gjysmë pice. Le të themi se kemi gjysmë pice:
Si të merrni dy të tretat nga kjo gjysmë? Së pari ju duhet ta ndani këtë gjysmë në tre pjesë të barabarta:
Dhe merrni dy nga këto tre pjesë:
Do marrim pica. Mos harroni se si duket një pizza e ndarë në tre pjesë:
Një fetë nga kjo picë dhe dy fetat që morëm do të kenë të njëjtat dimensione:
Me fjalë të tjera, ne po flasim për të njëjtën madhësi pice. Prandaj, vlera e shprehjes është
Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje
Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:
Përgjigja është një fraksion i papërshtatshëm. Le të marrim një pjesë të plotë të tij:
Shembulli 3 Gjeni vlerën e një shprehjeje
Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:
Përgjigja doli të ishte një thyesë e saktë, por do të jetë mirë nëse zvogëlohet. Për të zvogëluar këtë thyesë, duhet të pjesëtoni numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të numrave 105 dhe 450.
Pra, le të gjejmë GCD-në e numrave 105 dhe 450:
Tani ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin e përgjigjes sonë në GCD që kemi gjetur tani, domethënë me 15
Paraqitja e një numri të plotë si thyesë
Çdo numër i plotë mund të paraqitet si thyesë. Për shembull, numri 5 mund të përfaqësohet si . Nga kjo, pesë nuk do të ndryshojnë kuptimin e saj, pasi shprehja do të thotë "numri pesë i ndarë me një", dhe kjo, siç e dini, është e barabartë me pesë:
Numrat e kundërt
Tani do të njihemi me temë interesante në matematikë. Quhet "numra të kundërt".
Përkufizimi. Kthehet në numëra është numri që, kur shumëzohet mea jep një njësi.
Le të zëvendësojmë në këtë përkufizim në vend të një ndryshoreje a numri 5 dhe përpiquni të lexoni përkufizimin:
Kthehet në numër 5 është numri që, kur shumëzohet me 5 jep një njësi.
A është e mundur të gjendet një numër që, kur shumëzohet me 5, jep një? Rezulton se mundesh. Le të paraqesim pesë si thyesë:
Pastaj shumëzojeni këtë thyesë me vete, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Me fjalë të tjera, le të shumëzojmë thyesën me vetveten, vetëm të përmbysur:
Cili do të jetë rezultati i kësaj? Nëse vazhdojmë ta zgjidhim këtë shembull, marrim një:
Kjo do të thotë se anasjellta e numrit 5 është numri, pasi kur 5 shumëzohet me një, fitohet një.
Reciproku mund të gjendet edhe për çdo numër tjetër të plotë.
Ju gjithashtu mund të gjeni reciproke për çdo thyesë tjetër. Për ta bërë këtë, mjafton ta ktheni atë.
Pjesëtimi i një thyese me një numër
Le të themi se kemi gjysmë pice:
Le ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë në dy. Sa pica do të marrë secili?
Shihet se pas ndarjes së gjysmës së picës, janë marrë dy pjesë të barabarta, secila prej të cilave përbën një picë. Kështu që të gjithë marrin një pica.
Ndarja e thyesave bëhet duke përdorur reciproke. Numrat e kundërt ju lejon të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim.
Për të pjesëtuar një thyesë me një numër, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprocitetin e pjesëtuesit.
Duke përdorur këtë rregull, ne do të shkruajmë ndarjen e gjysmës sonë të picës në dy pjesë.
Pra, duhet ta ndani thyesën me numrin 2. Këtu dividenti është një thyesë dhe pjesëtuesi është 2.
Për të pjesëtuar një thyesë me numrin 2, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprokun e pjesëtuesit 2. Reciproku i pjesëtuesit 2 është një thyesë. Kështu që ju duhet të shumëzoni me