Çfarë është një numër racional. Numrat. Numrat racionalë

Përkufizimi i numrave racionalë:

Një numër racional është një numër që mund të përfaqësohet si një thyesë. Numëruesi i një thyese të tillë i përket grupit të numrave të plotë, dhe emëruesi i përket grupit të numrave natyrorë.

Pse numrat quhen racionalë?

Në latinisht "raport" (raport) do të thotë raport. Numrat racionalë mund të paraqitet si një relacion, d.m.th. me fjalë të tjera, si një thyesë.

Shembull i numrave racional

Numri 2/3 është një numër racional. Pse? Ky numër paraqitet si një thyesë, numëruesi i së cilës i përket grupit të numrave të plotë, dhe emëruesi i së cilës i përket grupit të numrave natyrorë.

Për më shumë shembuj të numrave racionalë, shihni artikullin.

Numra racionalë të barabartë

Thyesa të ndryshme mund të përfaqësojë një numër të vetëm racional.

Konsideroni numrin racional 3/5. Ky numër racional është i barabartë me

Zvogëloni numëruesin dhe emëruesin me një faktor të përbashkët 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Morëm thyesën 3/5, që do të thotë se

) janë numra me shenjë pozitive ose negative (numër të plotë dhe thyesor) dhe zero. Më shumë koncept i saktë numra racionalë, tingëllon si kjo:

numër racionalështë numri që përfaqësohet fraksion i zakonshëm m/n, ku numëruesi m janë numra të plotë dhe emëruesi n- numra të plotë, për shembull 2/3.

Thyesat e pafundme jo periodike NUK përfshihen në bashkësinë e numrave racionalë.

a/b, ku a∈ Z (a i përket numrave të plotë) b∈ N (b i përket numrave natyrorë).

Përdorimi i numrave racionalë në jetën reale.

AT jeta reale grupi i numrave racionalë përdoret për të numëruar pjesët e disa objekteve të plotpjestueshëm, Për shembull, ëmbëlsira ose ushqime të tjera që priten në copa para konsumimit, ose për një vlerësim të përafërt të marrëdhënieve hapësinore të objekteve të zgjeruara.

Vetitë e numrave racionalë.

Vetitë themelore të numrave racionalë.

1. rregullsia a dhe b ekziston një rregull që ju lejon të identifikoni në mënyrë unike midis tyre 1-por dhe vetëm një nga 3 marrëdhëniet: "<», «>" ose "=". Ky rregull është - rregulli i renditjes dhe formulojeni kështu:

• 2 numra pozitivë a=m a /n a dhe b=m b /n b të lidhura me të njëjtën lidhje si 2 numra të plotë m a⋅ nb dhe m b⋅ n a;
• 2 numra negativë a dhe b lidhur me të njëjtën lidhje me 2 numra pozitivë |b| dhe |a|;
• kur a pozitive, dhe b- negative, atëherë a>b.

∀ a,b∈ P(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacioni i shtimit. Për të gjithë numrat racionalë a dhe b ka rregulli i përmbledhjes, që i vendos ato në korrespondencë me një numër të caktuar racional c. Megjithatë, vetë numri c- Kjo shuma numrat a dhe b dhe referohet si (a+b) përmbledhje.

Rregulli i përmbledhjes duket kështu:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ P∃ !(a+b)∈ P

3. operacioni i shumëzimit. Për të gjithë numrat racionalë a dhe b ka rregulli i shumëzimit, i lidh me një numër të caktuar racional c. Numri c quhet puna numrat a dhe b dhe shënojnë (a⋅b), dhe quhet procesi i gjetjes së këtij numri shumëzimi.

rregulli i shumëzimit duket kështu: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Kalueshmëria e relacionit të rendit. Për çdo tre numra racionalë a, b dhe c nëse a më të vogla b dhe b më të vogla c, pastaj a më të vogla c, dhe nëse a barazohet b dhe b barazohet c, pastaj a barazohet c.

∀ a,b,c∈ P(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutativiteti i mbledhjes. Nga një ndryshim në vendet e termave racionalë, shuma nuk ndryshon.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asociativiteti i shtimit. Rendi i mbledhjes së 3 numrave racionalë nuk ndikon në rezultatin.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prania e zeros. Ekziston një numër racional 0, ai ruan çdo numër tjetër racional kur shtohet.

∃ 0 ∈ P∀ a∈ Qa+0=a

8. Prania e numrave të kundërt. Çdo numër racional ka një numër racional të kundërt, duke i mbledhur së bashku rezulton 0.

∀ a∈ P∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Komutativiteti i shumëzimit. Duke ndryshuar vendet e faktorëve racional, produkti nuk ndryshon.

∀ a,b∈ P a⋅ b=b⋅ a

10. Asociativiteti i shumëzimit. Rendi i shumëzimit të 3 numrave racionalë nuk ndikon në rezultatin.

∀ a,b,c∈ P(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Disponueshmëria e një njësie. Ekziston një numër racional 1, ai ruan çdo numër tjetër racional në procesin e shumëzimit.

∃ 1 ∈ P∀ a∈ P a⋅ 1=a

12. Disponueshmëria numrat reciprokë . Çdo numër racional i ndryshëm nga zero ka një numër racional të anasjelltë, duke shumëzuar me të cilin marrim 1 .

∀ a∈ P∃ a−1∈ P a⋅ a−1=1

13. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Operacioni i shumëzimit lidhet me mbledhjen duke përdorur ligjin e shpërndarjes:

∀ a,b,c∈ P(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Lidhja e relacionit të porosisë me operacionin e mbledhjes. Në të majtë dhe në të djathtë pabarazia racionale shtoni të njëjtin numër racional.

∀ a,b,c∈ P a ⇒ a+c

15. Lidhja e relacionit të rendit me veprimin e shumëzimit. Ana e majtë dhe e djathtë e një pabarazie racionale mund të shumëzohen me të njëjtin numër racional jo negativ.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Aksioma e Arkimedit. Cilido qoftë numri racional a, është e lehtë të marrësh kaq shumë njësi sa që shuma e tyre të jetë më e madhe a.

Përkufizimi i numrave racionalë

Numrat racional janë:

• Numrat natyrorë që mund të paraqiten si thyesë. Për shembull, $7=\frac(7)(1)$.
• Numrat e plotë, duke përfshirë numrin zero, që mund të përfaqësohen si një thyesë pozitive ose negative, ose si zero. Për shembull, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Thyesat e zakonshme (pozitive ose negative).
• Numra të përzier që mund të paraqiten si një thyesë e zakonshme e papërshtatshme. Për shembull, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ dhe $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Një thyesë dhjetore e fundme dhe një thyesë periodike e pafundme, e cila mund të paraqitet si një thyesë e zakonshme. Për shembull, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Vërejtje 1

Vini re se një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike nuk vlen për numrat racionalë, sepse nuk mund të paraqitet si thyesë e zakonshme.

Shembulli 1

Numrat natyrorë $7, 670, 21 \ 456 $ janë racionalë.

Numrat e plotë $76, -76, 0, -555 \ 666$ janë racionalë.

Thyesat e zakonshme $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ janë numra racional .

Kështu, numrat racionalë ndahen në pozitivë dhe negativë. Zero është një numër racional, por nuk është një numër racional pozitiv ose negativ.

Le të formulojmë më shumë përkufizim i shkurtër numrat racionalë.

Përkufizimi 3

Racionale telefononi numrat që mund të përfaqësohen si një periodik i fundëm ose i pafund thyesë dhjetore.

Mund të nxirren përfundimet e mëposhtme:

• numra të plotë pozitivë dhe negativë dhe numrat thyesorë bëjnë pjesë në bashkësinë e numrave racionalë;
• numrat racional mund të paraqiten si një thyesë që ka një numërues të plotë dhe një emërues natyror dhe është një numër racional;
• numrat racional mund të përfaqësohen si çdo dhjetor periodik që është një numër racional.

Si të përcaktohet nëse një numër është racional

1. Numri është dhënë si shprehje numerike, i cili përbëhet vetëm nga numra racionalë dhe shenja të veprimeve aritmetike. Në këtë rast, vlera e shprehjes do të jetë një numër racional.
2. Rrënja katrore e një numri natyror është një numër racional vetëm nëse rrënja katrore është një numër që është katror i plotë ndonjë numër natyror. Për shembull, $\sqrt(9)$ dhe $\sqrt(121)$ janë numra racional pasi $9=3^2$ dhe $121=11^2$.
3. Rrënja $n$th e një numri të plotë është një numër racional vetëm nëse numri nën shenjën e rrënjës është fuqia $n$th e një numri të plotë. Për shembull, $\sqrt(8)$ është një numër racional, sepse $8=2^3$.

Numrat racional janë të dendur kudo në boshtin e numrave: ndërmjet çdo dy numrash racional që nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin, mund të vendoset të paktën një numër racional (prandaj, një numër i pafund numrash racionalë). Në të njëjtën kohë, grupi i numrave racionalë karakterizohet nga një kardinalitet i numërueshëm (d.m.th., të gjithë elementët e grupit mund të numërohen). Grekët e lashtë vërtetuan se ka numra që nuk mund të shkruhen si thyesë. Ata treguan se nuk ka asnjë numër racional katrori i të cilit është i barabartë me $2. Atëherë numrat racionalë nuk mjaftuan për të shprehur të gjitha sasitë, gjë që më vonë çoi në shfaqjen e numrave realë. Bashkësia e numrave racionalë, ndryshe nga numrat realë, është zero-dimensionale.

Numrat racionalë

lagjet

1. Rregullsia. a dhe b ekziston një rregull që ju lejon të identifikoni në mënyrë unike midis tyre një dhe vetëm një nga tre marrëdhëniet: "< », « >'ose ' = '. Ky rregull quhet rregulli i renditjes dhe formulohet si më poshtë: dy numra jonegativë dhe janë të lidhura me të njëjtën marrëdhënie si dy numra të plotë dhe ; dy numra jo pozitiv a dhe b lidhen me të njëjtën lidhje si dy numra jonegativë dhe ; nëse papritur a jo negative, dhe b- negative, atëherë a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   përmbledhja e thyesave

2. operacion shtesë. Për çdo numër racional a dhe b ekziston një i ashtuquajtur rregulli i përmbledhjes c. Megjithatë, vetë numri c thirrur shuma numrat a dhe b dhe shënohet , dhe quhet procesi i gjetjes së një numri të tillë përmbledhje. Rregulli i përmbledhjes ka formën e mëposhtme: .
3. operacioni i shumëzimit. Për çdo numër racional a dhe b ekziston një i ashtuquajtur rregulli i shumëzimit, që i vendos ato në korrespondencë me një numër racional c. Megjithatë, vetë numri c thirrur puna numrat a dhe b dhe shënohet , dhe quhet gjithashtu procesi i gjetjes së një numri të tillë shumëzimi. Rregulli i shumëzimit është si më poshtë: .
4. Kalueshmëria e relacionit të rendit. Për çdo treshe të numrave racionalë a , b dhe c nëse a më të vogla b dhe b më të vogla c, pastaj a më të vogla c, dhe nëse a barazohet b dhe b barazohet c, pastaj a barazohet c. 6435">Konutativiteti i mbledhjes. Shuma nuk ndryshon nga ndryshimi i vendeve të termave racionalë.
5. Asociativiteti i shtimit. Rendi në të cilin shtohen tre numra racional nuk ndikon në rezultatin.
6. Prania e zeros. Ekziston një numër racional 0 që ruan çdo numër tjetër racional kur mblidhet.
7. Prania e numrave të kundërt.Çdo numër racional ka një numër racional të kundërt, i cili, kur mblidhet, jep 0.
8. Komutativiteti i shumëzimit. Duke ndryshuar vendet e faktorëve racional, produkti nuk ndryshon.
9. Asociativiteti i shumëzimit. Rendi në të cilin shumëzohen tre numra racional nuk ndikon në rezultatin.
10. Prania e një njësie. Ekziston një numër racional 1 që ruan çdo numër tjetër racional kur shumëzohet.
11. Prania e reciprokeve.Çdo numër racional ka një numër racional të anasjelltë, i cili, kur shumëzohet, jep 1.
12. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Operacioni i shumëzimit është në përputhje me operacionin e mbledhjes përmes ligjit të shpërndarjes:
13. Lidhja e relacionit të rendit me veprimin e mbledhjes. I njëjti numër racional mund t'i shtohet anës së majtë dhe të djathtë të një pabarazie racionale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksioma e Arkimedit. Cilido qoftë numri racional a, ju mund të merrni kaq shumë njësi sa që shuma e tyre do të kalojë a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Vetitë shtesë

Të gjitha vetitë e tjera të qenësishme në numrat racional nuk veçohen si ato themelore, sepse, në përgjithësi, ato nuk bazohen më drejtpërdrejt në vetitë e numrave të plotë, por mund të vërtetohen në bazë të vetive themelore të dhëna ose drejtpërdrejt me përcaktimin e disa objekte matematikore. Ka shumë prona të tilla shtesë. Këtu ka kuptim të citojmë vetëm disa prej tyre.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Vendosni numërueshmërinë

Numërimi i numrave racionalë

Për të vlerësuar numrin e numrave racionalë, duhet të gjeni kardinalitetin e grupit të tyre. Është e lehtë të vërtetohet se bashkësia e numrave racionalë është e numërueshme. Për ta bërë këtë, mjafton të jepet një algoritëm që numëron numrat racionalë, domethënë vendos një bijeksion midis grupeve të numrave racional dhe natyror.

Më e thjeshta nga këto algoritme është si më poshtë. Për secilën është përpiluar një tabelë e pafundme thyesash të zakonshme i rreshti i -të në secilën j kolona e së cilës është një thyesë. Për saktësi, supozohet se rreshtat dhe kolonat e kësaj tabele janë të numëruara nga një. Qelizat e tabelës shënohen , ku i- numri i rreshtit të tabelës në të cilën ndodhet qeliza, dhe j- numri i kolonës.

Tabela që rezulton menaxhohet nga një "gjarpër" sipas algoritmit formal të mëposhtëm.

Këto rregulla kërkohen nga lart poshtë dhe pozicioni tjetër zgjidhet nga ndeshja e parë.

Në procesin e një anashkalimi të tillë, çdo numër i ri racional i caktohet tjetrit numri natyror. Kjo do të thotë, thyesave 1/1 u caktohet numri 1, thyesave 2/1 - numri 2, etj. Duhet të theksohet se numërohen vetëm thyesat e pakalueshme. Shenja formale e pareduktueshmërisë është barazia në unitetin e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të numëruesit dhe emëruesit të thyesës.

Duke ndjekur këtë algoritëm, mund të numërohen të gjithë numrat racionalë pozitivë. Kjo do të thotë se bashkësia e numrave racionalë pozitivë është e numërueshme. Është e lehtë të vendosësh një bijeksion midis grupeve të numrave racionalë pozitivë dhe negativë, thjesht duke i caktuar çdo numri racional të kundërtën e tij. Se. bashkësia e numrave racionalë negativë është gjithashtu e numërueshme. Bashkimi i tyre është gjithashtu i numërueshëm nga vetia e bashkësive të numërueshme. Bashkësia e numrave racionalë është gjithashtu e numërueshme si bashkim i një bashkësie të numërueshme me një të fundme.

Deklarata për numërueshmërinë e grupit të numrave racionalë mund të shkaktojë njëfarë hutimi, pasi që në shikim të parë të krijohet përshtypja se është shumë më i madh se grupi i numrave natyrorë. Në fakt, nuk është kështu, dhe ka mjaft numra natyrorë për të numëruar të gjithë ata racionalë.

Pamjaftueshmëria e numrave racionalë

Hipotenuza e një trekëndëshi të tillë nuk shprehet me ndonjë numër racional

Numrat racional të formës 1 / n në liri n mund të maten në mënyrë arbitrare sasi të vogla. Ky fakt krijon një përshtypje mashtruese se numrat racionalë mund të matin çdo distancë gjeometrike në përgjithësi. Është e lehtë të tregosh se kjo nuk është e vërtetë.

Shënime

Letërsia

• I. Kushnir. Manual i matematikës për nxënësit e shkollës. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 f.
• P. S. Alexandrov. Hyrje në teorinë e grupeve dhe topologjinë e përgjithshme. - M.: kokë. ed. Fiz.-Math. ndezur. ed. "Shkenca", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Hyrje në teorinë e sistemeve algjebrike

Lidhjet

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Në këtë nënseksion ne japim disa përkufizime të numrave racionalë. Pavarësisht dallimeve në formulim, të gjitha këto përkufizime kanë të njëjtin kuptim: numrat racional kombinojnë numra të plotë dhe numra thyesorë, ashtu si numrat e plotë kombinojnë numrat natyrorë, numrat e tyre të kundërt dhe numrin zero. Me fjalë të tjera, numrat racional përgjithësojnë numrat e plotë dhe të pjesshëm.

Le të fillojmë me përkufizimet e numrave racionalë e cila perceptohet si më e natyrshme.

Përkufizimi.

Numrat racionalë janë numra që mund të shkruhen pozitivë thyesë e zakonshme, një thyesë e zakonshme negative, ose numri zero.

Nga përkufizimi i tingëlluar rrjedh se një numër racional është:

çdo numër natyror n. Në të vërtetë, çdo numër natyror mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme, për shembull, 3=3/1 .

· Çdo numër i plotë, në veçanti, numri zero. Në të vërtetë, çdo numër i plotë mund të shkruhet ose si një fraksion i përbashkët pozitiv, si një thyesë e zakonshme negative ose si zero. Për shembull, 26=26/1 , .

Çdo thyesë e zakonshme (pozitive ose negative). Kjo shprehet drejtpërdrejt nga përkufizimi i dhënë i numrave racionalë.

Çdo numër i përzier. Në të vërtetë, është gjithmonë e mundur të përfaqësohet një numër i përzier si një thyesë e zakonshme e papërshtatshme. Për shembull, dhe.

· Çdo thyesë dhjetore e fundme ose thyesë periodike e pafundme. Kjo është kështu sepse thyesat dhjetore të specifikuara konvertohen në thyesa të zakonshme. Për shembull, a 0,(3)=1/3 .

Është gjithashtu e qartë se çdo dhjetore e pafundme që nuk përsëritet NUK është një numër racional, pasi nuk mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme.

Tani mund të sjellim lehtësisht shembuj të numrave racionalë. Numrat 4 ,903 , 100 321 janë numra racionalë, pasi janë numra natyrorë. Numrat e plotë 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 janë edhe shembuj të numrave racionalë. Thyesat e zakonshme 4/9 , 99/3 , janë gjithashtu shembuj të numrave racionalë. Numrat racional janë gjithashtu numra.

Nga shembujt e mësipërm mund të shihet se ekzistojnë numra racionalë pozitivë dhe negativë, dhe numri racional zero nuk është as pozitiv as negativ.

Përkufizimi i mësipërm i numrave racionalë mund të formulohet në një formë më të shkurtër.

Përkufizimi.

Numrat racionalë emërtoni një numër që mund të shkruhet si thyesë z/n, ku zështë një numër i plotë, dhe n- numri natyror.

Le të vërtetojmë se ky përkufizim i numrave racional është i barabartë me përkufizimin e mëparshëm. Dimë se shiritin e thyesës mund ta konsiderojmë si shenjë pjesëtimi, pastaj nga vetitë e pjesëtimit të numrave të plotë dhe rregullat për pjesëtimin e numrave të plotë rrjedh vlefshmëria e barazive të mëposhtme dhe. Pra, kjo është prova.

Le të japim shembuj të numrave racionalë, bazuar në këtë përkufizim. Numrat −5 , 0 , 3 , dhe janë numra racionalë, pasi mund të shkruhen si thyesa me numërues të plotë dhe emërues natyror të formës dhe përkatësisht.

Përkufizimi i numrave racional mund të jepet edhe në formulimin e mëposhtëm.

Përkufizimi.

Numrat racionalë janë numra që mund të shkruhen si thyesë dhjetore periodike të fundme ose të pafundme.

Ky përkufizim është gjithashtu ekuivalent me përkufizimin e parë, pasi çdo thyesë e zakonshme i korrespondon një thyese dhjetore të fundme ose periodike dhe anasjelltas, dhe çdo numër i plotë mund të shoqërohet me një thyesë dhjetore me zero pas presjes dhjetore.

Për shembull, numrat 5 , 0 , −13 , janë shembuj të numrave racionalë, pasi mund të shkruhen si thyesat dhjetore të mëposhtme 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 dhe −7,(18) .

Le të përfundojmë teorinë e këtij paragrafi deklaratat e mëposhtme:

numrat e plotë dhe thyesorë (pozitiv dhe negativ) përbëjnë bashkësinë e numrave racionalë;

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë me një numërues të plotë dhe një emërues natyror, dhe çdo thyesë e tillë është një numër racional;

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme, dhe çdo thyesë e tillë përfaqëson një numër racional.

Në krye të faqes

Shtimi i numrave racionalë pozitivë është komutativ dhe asociativ,

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Para se të formuloni përkufizimin e shumëzimit të numrave racionalë pozitivë, merrni parasysh problemin e mëposhtëm: dihet se gjatësia e segmentit X shprehet si fraksion në njësinë e gjatësisë E, dhe gjatësia e segmentit njësi matet duke përdorur njësinë E 1. dhe shprehet si thyesë. Si të gjeni numrin që do të përfaqësojë gjatësinë e segmentit X, nëse e matni duke përdorur njësinë e gjatësisë E 1?

Meqenëse X=E, atëherë nX=mE, dhe nga fakti që E =E 1 del se qE=pE 1 . Barazimin e parë të marrë e shumëzojmë me q, dhe të dytin me m. Pastaj (nq)X \u003d (mq)E dhe (mq)E \u003d (mp)E 1, prej nga (nq)X \u003d (mp)E 1. Kjo barazi tregon se gjatësia e segmentit x në gjatësinë e njësisë shprehet si thyesë, dhe për këtë arsye , =, d.m.th. shumëzimi i thyesave shoqërohet me kalimin nga një njësi gjatësie në tjetrën kur matet gjatësia e të njëjtit segment.

Përkufizim Nëse një numër pozitiv a përfaqësohet me një thyesë, dhe një numër racional pozitiv b me një thyesë, atëherë prodhimi i tyre quhet numri a b, i cili përfaqësohet me një thyesë.

Shumëzimi i numrave racionalë pozitivë komutativ, asociativ dhe shpërndarës në lidhje me mbledhjen dhe zbritjen. Vërtetimi i këtyre vetive bazohet në përkufizimin e shumëzimit dhe mbledhjes së numrave racionalë pozitivë, si dhe në vetitë përkatëse të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë.

46. ​​Siç e dini zbritjeështë e kundërta e shtimit.

Nese nje a dhe b - numra pozitiv, pastaj zbritja e numrit b nga numri a do të thotë gjetja e një numri c që, kur i shtohet numrit b, jep numrin a.
a - b = c ose c + b = a
Përkufizimi i zbritjes vlen për të gjithë numrat racionalë. Kjo do të thotë, zbritja e numrave pozitivë dhe negativë mund të zëvendësohet me mbledhje.
Për të zbritur një tjetër nga një numër, duhet të shtoni numrin e kundërt në minuend.
Ose, në një mënyrë tjetër, mund të themi se zbritja e numrit b është e njëjta mbledhje, por me numër numër i kundërt b.
a - b = a + (- b)
Shembull.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Shembull.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vlen të kujtohen shprehjet e mëposhtme.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Rregullat për zbritjen e numrave negativë
Zbritja e numrit b është mbledhja me numrin e kundërt me numrin b.
Ky rregull ruhet jo vetëm kur zbritet një numër më i vogël nga një numër më i madh, por gjithashtu lejon zbritjen nga një numër më i vogël. më shumë, domethënë, gjithmonë mund të gjesh ndryshimin e dy numrave.
Ndryshimi mund të jetë një numër pozitiv, numër negativ ose numri zero.
Shembuj të zbritjes së numrave negativë dhe pozitivë.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Është e përshtatshme të mbani mend rregullin e shenjës, i cili ju lejon të zvogëloni numrin e kllapave.
Shenja plus nuk e ndryshon shenjën e numrit, kështu që nëse ka një plus përpara kllapës, shenja në kllapa nuk ndryshon.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Shenja minus përpara kllapave e kthen mbrapsht shenjën e numrit në kllapa.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Nga barazitë shihet se nëse ka shenja identike para dhe brenda kllapave, atëherë marrim "+", dhe nëse shenjat janë të ndryshme, atëherë marrim "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Rregulli i shenjave ruhet gjithashtu nëse nuk ka një numër në kllapa, por një shumë algjebrike numrash.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Ju lutemi vini re se nëse ka disa numra në kllapa dhe ka një shenjë minus para kllapave, atëherë shenjat para të gjithë numrave në këto kllapa duhet të ndryshojnë.
Për të kujtuar rregullin e shenjave, mund të bëni një tabelë për përcaktimin e shenjave të një numri.
Rregulli i shenjës për numrat + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ose mësoni një rregull të thjeshtë.
Dy negative bëjnë një pohuese,
Plus herë minus është i barabartë me minus.

Rregullat për pjesëtimin e numrave negativë.
Për të gjetur modulin e herësit, duhet të ndani modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit.
Pra, për të ndarë dy numra me të njëjtat shenja, ju duhet:

Të pjesëtohet moduli i dividendit me modulin e pjesëtuesit;

Vendosni një shenjë "+" përpara rezultatit.

Shembuj të pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme:

Ju gjithashtu mund të përdorni tabelën e mëposhtme për të përcaktuar shenjën e herësit.
Rregulli i shenjave gjatë ndarjes
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Gjatë llogaritjes së shprehjeve "të gjata", në të cilat shfaqen vetëm shumëzimi dhe pjesëtimi, është shumë i përshtatshëm të përdoret rregulli i shenjës. Për shembull, për të llogaritur një fraksion
Mund t'i kushtoni vëmendje që në numërues ka 2 shenja "minus", të cilat, kur shumëzohen, do të japin një "plus". Ka edhe tre shenja minus në emërues, të cilat, kur shumëzohen, japin një minus. Prandaj, në fund, rezultati do të jetë me një shenjë minus.
Reduktimi i fraksionit (veprimet e mëtejshme me modulet e numrave) kryhet në të njëjtën mënyrë si më parë:
Herësi i pjesëtimit të zeros me një numër jozero është zero.
0: a = 0, a ≠ 0
MOS ndani me zero!
Të gjitha rregullat e njohura më parë për pjesëtimin me një vlejnë edhe për grupin e numrave racionalë.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, ku a është çdo numër racional.
Varësia midis rezultateve të shumëzimit dhe pjesëtimit, të njohura për numrat pozitivë, ruhen gjithashtu për të gjithë numrat racionalë (përveç numrit zero):
nëse a × b = c; a = c: b; b = c: a;
nëse a: b = c; a = c × b; b=a:c
Këto varësi përdoren për të gjetur shumëzues i panjohur, divident dhe pjesëtues (gjatë zgjidhjes së ekuacioneve), si dhe për të kontrolluar rezultatet e shumëzimit dhe pjesëtimit.
Një shembull i gjetjes së të panjohurës.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

Informacione të ngjashme.