1. Një funksion eksponencial është një funksion i formës y(x) \u003d a x, në varësi të eksponentit x, me një vlerë konstante të bazës së shkallës a, ku a > 0, a ≠ 0, xϵR (R është bashkësia e numrave realë).
Merrni parasysh grafiku i funksionit nëse baza nuk e plotëson kushtin: a>0
a) a< 0
Nese nje< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Nëse a = 0, funksioni y = është përcaktuar dhe ka vlerë konstante 0
c) a \u003d 1
Nëse a = 1 - funksioni y = është i përcaktuar dhe ka një vlerë konstante prej 1
Domeni i funksionit (OOF) Zona e vlerave të lejuara të funksionit (ODZ) 3. Zerot e funksionit (y = 0) 4. Pikat e kryqëzimit me boshtin y (x = 0) 5. Funksioni rritës, pakësues Nëse , atëherë funksioni f(x) rritet 6. Funksionet çift, tek Funksioni y = nuk është simetrik në lidhje me boshtin 0y dhe me origjinën, prandaj nuk është as çift dhe as tek. (funksioni i përgjithshëm) 7. Funksioni y \u003d nuk ka ekstreme 8. Vetitë e një shkalle me një eksponent real: Le të jetë një > 0; a≠1 Pastaj për xϵR; yϵR: Karakteristikat e monotonitetit të shkallës: nese atehere Nëse a> 0, atëherë . 9. Vendndodhja relative e funksionit Sa më e madhe të jetë baza a, aq më afër boshteve x dhe y a > 1, a = 20 Shembulli 1 Funksioni eksponencial
Funksioni i formës y = a x , ku a është më e madhe se zero dhe a nuk është e barabartë me një quhet funksion eksponencial. Karakteristikat kryesore të funksionit eksponencial: 1. Fusha e funksionit eksponencial do të jetë bashkësia e numrave realë. 2. Gama e funksionit eksponencial do të jetë bashkësia e të gjithë numrave realë pozitivë. Ndonjëherë ky grup shënohet si R+ për shkurtësi. 3. Nëse në një funksion eksponencial baza a është më e madhe se një, atëherë funksioni do të rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nëse funksioni eksponencial për bazën a plotëson kushtin e mëposhtëm 0 4. Të gjitha vetitë themelore të diplomave do të jenë të vlefshme. Karakteristikat kryesore të gradave përfaqësohen nga barazitë e mëposhtme: a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x )
y = a (x*y) .
Këto barazime do të jenë të vlefshme për të gjitha vlerat reale të x dhe y. 5. Grafiku i funksionit eksponencial kalon gjithmonë nëpër pikën me koordinata (0;1) 6. Varësisht nëse funksioni eksponencial rritet apo zvogëlohet, grafiku i tij do të ketë një nga dy llojet. Figura e mëposhtme tregon një grafik të një funksioni eksponencial në rritje: a>0. Figura e mëposhtme është një grafik i një funksioni eksponencial në rënie: 0 Si grafiku i funksionit eksponencial rritës, ashtu edhe grafiku i funksionit eksponencial në rënie, sipas vetive të përshkruara në paragrafin e pestë, kalojnë nëpër pikën (0; 1). 7. Një funksion eksponencial nuk ka pika ekstreme, domethënë, nuk ka pika minimale dhe maksimale të funksionit. Nëse marrim parasysh funksionin në ndonjë segment të caktuar, atëherë funksioni do të marrë vlerat minimale dhe maksimale në fund të këtij intervali. 8. Funksioni nuk është çift ose tek. Një funksion eksponencial është një funksion i përgjithshëm. Kjo mund të shihet edhe nga grafikët, asnjëri prej tyre nuk është simetrik as për boshtin Oy, as për origjinën. Logaritmi
Logaritmet janë konsideruar gjithmonë një temë e vështirë në lëndën e matematikës shkollore. Ka shumë përkufizime të ndryshme të logaritmit, por për disa arsye shumica e teksteve përdorin më kompleksin dhe fatkeqin prej tyre. Logaritmin do ta përcaktojmë thjesht dhe qartë. Le të krijojmë një tabelë për këtë: Pra, ne kemi fuqi prej dy. Nëse e merrni numrin nga fundi, atëherë mund të gjeni lehtësisht fuqinë në të cilën duhet të ngrini dy për të marrë këtë numër. Për shembull, për të marrë 16, ju duhet të ngrini dy në fuqinë e katërt. Dhe për të marrë 64, ju duhet të ngrini dy në fuqinë e gjashtë. Kjo mund të shihet nga tabela. Dhe tani - në fakt, përkufizimi i logaritmit: Përkufizimi Logaritmi bazoni a nga argumenti x është fuqia në të cilën duhet të rritet numri a për të marrë numrin x. Emërtimi log a x = b Për shembull, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmi bazë 2 i 8 është tre sepse 2 3 = 8). Mund të regjistrohet gjithashtu 2 64 = 6, pasi 2 6 = 64. Operacioni i gjetjes së logaritmit të një numri në një bazë të caktuar quhetlogaritmi
. Pra, le të shtojmë një rresht të ri në tabelën tonë: Fatkeqësisht, jo të gjitha logaritmet konsiderohen kaq lehtë. Për shembull, përpiquni të gjeni regjistrin 2 5. Numri 5 nuk është në tabelë, por logjika dikton që logaritmi do të shtrihet diku në segment. Sepse 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Numra të tillë quhen irracionalë: numrat pas presjes dhjetore mund të shkruhen pafundësisht dhe nuk përsëriten kurrë. Nëse logaritmi rezulton irracional, është më mirë ta lini kështu: log 2 5, log 3 8, log 5 100. Është e rëndësishme të kuptohet se logaritmi është një shprehje me dy variabla (bazë dhe argument). Në fillim, shumë njerëz ngatërrojnë se ku është baza dhe ku është argumenti. Për të shmangur keqkuptimet e bezdisshme, mjafton të hidhni një sy fotos: Para nesh nuk është gjë tjetër veçse përkufizimi i logaritmit. Mbani mend: logaritmi është një fuqi , për të cilën duhet të ngrini bazën për të marrë argumentin.Është baza që është ngritur në një fuqi - në foto është e theksuar me të kuqe. Rezulton se baza është gjithmonë në fund! Unë ua them këtë rregull të mrekullueshëm studentëve të mi që në mësimin e parë - dhe nuk ka asnjë konfuzion. Ne e kuptuam përkufizimin - mbetet të mësojmë se si të numërojmë logaritmet, d.m.th. hiqni qafe shenjën "log". Për të filluar, ne vërejmë se Dy fakte të rëndësishme rrjedhin nga përkufizimi: Argumenti dhe baza duhet të jenë gjithmonë më të mëdha se zero. Kjo rrjedh nga përkufizimi i shkallës nga një eksponent racional, në të cilin është reduktuar përkufizimi i logaritmit. Baza duhet të jetë e ndryshme nga uniteti, pasi një njësi për çdo fuqi është ende një njësi. Për shkak të kësaj, pyetja "në çfarë fuqie duhet të ngrihet për të marrë dy" është e pakuptimtë. Nuk ka një diplomë të tillë! Kufizime të tilla thirrur diapazoni i vlefshëm(ODZ). Rezulton se ODZ e logaritmit duket kështu: log a x = b ⇒
x > 0, a > 0, a ≠ 1. Vini re se nuk ka kufi në numër b (vlera e logaritmit) nuk mbivendoset. Për shembull, logaritmi mund të jetë negativ: log 2 0,5 = −1, sepse 0,5 = 2 −1 . Megjithatë, tani po shqyrtojmë vetëm shprehjet numerike, ku nuk kërkohet të dihet ODZ e logaritmit. Të gjitha kufizimet tashmë janë marrë parasysh nga hartuesit e problemeve. Por kur ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë hyjnë në lojë, kërkesat e DHS do të bëhen të detyrueshme. Në të vërtetë, në bazë dhe argument mund të ketë ndërtime shumë të forta, të cilat jo domosdoshmërisht korrespondojnë me kufizimet e mësipërme. Tani konsideroni gjeneralin skema për llogaritjen e logaritmeve. Ai përbëhet nga tre hapa: Paraqisni Fondacionin a dhe argumenti x si një fuqi me bazën më të vogël të mundshme më të madhe se një. Gjatë rrugës, është më mirë të heqësh qafe thyesat dhjetore; Vendosni për një variabël b ekuacioni: x = a b ; Numri i marrë b do të jetë përgjigja. Kjo eshte e gjitha! Nëse logaritmi rezulton irracional, kjo do të shihet tashmë në hapin e parë. Kërkesa që baza të jetë më e madhe se një është shumë e rëndësishme: kjo zvogëlon gjasat e gabimit dhe thjeshton shumë llogaritjet. Në mënyrë të ngjashme me thyesat dhjetore: nëse i konvertoni menjëherë në ato të zakonshme, do të ketë shumë herë më pak gabime. Le të shohim se si funksionon kjo skemë në shembuj specifik: Llogaritni logaritmin: log 5 25 Le të paraqesim bazën dhe argumentin si një fuqi prej pesë: 5 = 5 1 ; 25 = 52; Le të bëjmë dhe zgjidhim ekuacionin: Mori një përgjigje: 2. Llogaritni logaritmin: Le të paraqesim bazën dhe argumentin si fuqi treshe: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4; Le të bëjmë dhe zgjidhim ekuacionin: Mora përgjigjen: -4. −4
Llogaritni logaritmin: log 4 64 Le të paraqesim bazën dhe argumentin si fuqi dyshe: 4 = 2 2 ; 64 = 26; Le të bëjmë dhe zgjidhim ekuacionin: Mori një përgjigje: 3. Llogaritni logaritmin: log 16 1 Le të paraqesim bazën dhe argumentin si fuqi dyshe: 16 = 2 4 ; 1 = 20; Le të bëjmë dhe zgjidhim ekuacionin: Mori një përgjigje: 0. Llogaritni logaritmin: log 7 14 Le të paraqesim bazën dhe argumentin si një fuqi prej shtatë: 7 = 7 1 ; 14 nuk përfaqësohet si fuqi e shtatë, sepse 7 1< 14 < 7 2 ; Nga paragrafi i mëparshëm rezulton se logaritmi nuk merret parasysh; Përgjigja është pa ndryshim: log 7 14. regjistri 7 14 Një shënim i vogël në shembullin e fundit. Si të sigurohemi që një numër nuk është fuqia e saktë e një numri tjetër? Shumë e thjeshtë - thjesht zbërthejeni atë në faktorët kryesorë. Nëse ka të paktën dy faktorë të veçantë në zgjerim, numri nuk është një fuqi e saktë. Zbuloni nëse fuqitë e sakta të numrit janë: 8; 48; 81; 35; katërmbëdhjetë. 8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - shkalla e saktë, sepse ka vetëm një shumëzues; 8, 81 - shkalla e saktë; 48, 35, 14 - nr. Vini re gjithashtu se vetë numrat e thjeshtë janë gjithmonë fuqi të sakta të tyre. Logaritmi dhjetor
Disa logaritme janë aq të zakonshme sa kanë një emër dhe emërtim të veçantë. Përkufizimi Logaritmi dhjetor nga argumenti x është logaritmi me bazën 10, d.m.th. fuqia në të cilën ju duhet të ngrini numrin 10 për të marrë numrin x. Emërtimi lg x Për shembull, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etj. Që tani e tutje, kur një frazë si "Gjeni lg 0.01" shfaqet në tekstin shkollor, dijeni se kjo nuk është një gabim shtypi. Ky është logaritmi dhjetor. Sidoqoftë, nëse nuk jeni mësuar me një përcaktim të tillë, gjithmonë mund ta rishkruani atë: Çdo gjë që është e vërtetë për logaritmet e zakonshme është gjithashtu e vërtetë për numrat dhjetorë. logaritmi natyror
Ekziston një logaritëm tjetër që ka shënimin e vet. Në një farë kuptimi, është edhe më i rëndësishëm se dhjetori. Ky është logaritmi natyror. Përkufizimi logaritmi natyror nga argumenti x është logaritmi bazë e , d.m.th. fuqia në të cilën duhet të rritet numri e për të marrë numrin x. Emërtimi në x Shumë do të pyesin: cili është numri e? Ky është një numër irracional, vlera e tij e saktë nuk mund të gjendet dhe të shkruhet. Këtu janë vetëm numrat e parë: Ne nuk do të thellojmë se çfarë është ky numër dhe pse është i nevojshëm. Vetëm mbani mend se e është baza e logaritmit natyror: Kështu ln e = 1; log e 2 = 2; Në 16 = 16 - etj. Nga ana tjetër, ln 2 është një numër irracional. Në përgjithësi, logaritmi natyror i çdo numri racional është irracional. Përveç, natyrisht, unitetit: ln 1 = 0. Për logaritmet natyrore, të gjitha rregullat që janë të vërteta për logaritmet e zakonshme janë të vlefshme. Vetitë themelore të logaritmeve Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe konvertohen në çdo mënyrë të mundshme. Por meqenëse logaritmet nuk janë numra mjaft të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat quhen veti themelore. Këto rregulla duhet të dihen - asnjë problem serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet pa to. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - gjithçka mund të mësohet brenda një dite. Pra, le të fillojmë. Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve
Konsideroni dy logaritme me të njëjtën bazë: log a x dhe log a y . Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe: log një x +log një y = log a (
x ·
y );
log një x −log një y = log a (
x :
y ).
Kështu që, shuma e logaritmave është e barabartë me logaritmin e produktit dhe ndryshimi është logaritmi i herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu janë të njëjtat baza. Nëse bazat janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë! Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni shprehjen logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "
"). Hidhini një sy shembujve - dhe shikoni: Gjeni vlerën e shprehjes: log 6 4 + log 6 9. Meqenëse bazat e logaritmeve janë të njëjta, ne përdorim formulën e shumës: Gjeni vlerën e shprehjes: log 2 48 − log 2 3. Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit: Gjeni vlerën e shprehjes: log 3 135 − log 3 5. Përsëri, bazat janë të njëjta, kështu që kemi: Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk konsiderohen veçmas. Por pas transformimeve dalin numra mjaft normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, ai kontroll - shprehje të ngjashme me gjithë seriozitetin (nganjëherë - praktikisht pa ndryshime) ofrohen në provim. Heqja e eksponentit nga logaritmi
Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur të ketë një shkallë në bazën ose argumentin e logaritmit? Pastaj Eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme: Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parat e tyre. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve. Sigurisht të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet logaritmi ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 mund të futni numrat para shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh. Gjeni vlerën e shprehjes: log 7 49 6 . Le të heqim qafe shkallën në argument sipas formulës së parë: Gjeni vlerën e shprehjes: Vini re se emëruesi është një logaritëm baza dhe argumenti i të cilit janë fuqi të sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ne kemi: Mendoj se shembulli i fundit ka nevojë për sqarim. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit, ne punojmë vetëm me emëruesin. Ata paraqitën bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e shkallëve dhe nxorën treguesit - morën një fraksion "trekatësh". Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin numër: log 2 7. Meqenëse log 2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që u bë. Rezultati është përgjigja: 2. Kalimi në një themel të ri
Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po sikur bazat të jenë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër? Formulat për kalimin në një bazë të re vijnë në shpëtim. Ne i formulojmë ato në formën e një teoreme: Teorema Lëreni logaritmin të regjistrohet një x . Pastaj për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë: Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim: Nga formula e dytë rezulton se është e mundur të ndërrohet baza dhe argumenti i logaritmit, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi është në emërues.
Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë. Megjithatë, ka detyra që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shqyrtojmë disa nga këto: Gjeni vlerën e shprehjes: log 5 16 log 2 25. Vini re se argumentet e të dy logaritmave janë eksponentë të saktë. Le të nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5; Tani le të kthejmë logaritmin e dytë: Meqenëse produkti nuk ndryshon nga ndërrimi i faktorëve, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas kuptuam logaritmet. Gjeni vlerën e shprehjes: log 9 100 lg 3. Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë dhe të heqim qafe treguesit: Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re: Identiteti bazë logaritmik
Shpesh në procesin e zgjidhjes kërkohet të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat do të na ndihmojnë: Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent i argumentit. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm vlera e logaritmit. Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Quhet kështu:identiteti bazë logaritmik.
Në të vërtetë, çfarë do të ndodhë nëse numri b ngrihet në një shkallë të tillë që numri b në këtë shkallë të japë numrin a? Është e drejtë: ky është i njëjti numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz "varen" në të. Ashtu si formulat e reja të konvertimit të bazës, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë e vetmja zgjidhje e mundshme. Një detyrë Gjeni vlerën e shprehjes: Zgjidhje Vini re se regjistri 25 64 = log 5 8 - sapo nxori katrorin nga baza dhe argumentin e logaritmit. Duke pasur parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim: 200
Nëse dikush nuk është në dijeni, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga provimi :) Njësia logaritmike dhe zero logaritmike
Si përfundim, unë do të jap dy identitete që është e vështirë të quhen veti - përkundrazi, këto janë pasoja nga përkufizimi i logaritmit. Gjenden vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për nxënësit “të avancuar”. log a a = 1 është njësi logaritmike. Mos harroni një herë e përgjithmonë: logaritmin për çdo bazë a nga kjo bazë vetë është e barabartë me një. log a 1 = 0 është zero logaritmike. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti është një - logaritmi është zero! sepse a 0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit. Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Përqendrimi i vëmendjes: Përkufizimi. Funksioni
specie quhet funksioni eksponencial
. Komentoni. Përjashtimi i bazës a numrat 0; 1 dhe vlerat negative a shpjegohet nga rrethanat e mëposhtme: Vetë shprehja analitike një x në këto raste ruan kuptimin dhe mund të ndeshet në zgjidhjen e problemeve. Për shembull, për shprehjen x y pika x = 1; y = 1
hyn në diapazonin e vlerave të pranueshme. Ndërtoni grafikët e funksioneve: dhe . Vetitë e funksionit eksponencial Kur plotësohet tabela, detyrat zgjidhen paralelisht me plotësimin. Detyra numër 1. (Për të gjetur domenin e funksionit). Cilat vlera të argumenteve janë të vlefshme për funksionet: Detyra numër 2. (Për të gjetur diapazonin e funksionit). Figura tregon një grafik të një funksioni. Specifikoni shtrirjen dhe shtrirjen e funksionit: Detyra numër 3. (Për të treguar intervalet e krahasimit me njësinë). Krahasoni secilën nga fuqitë e mëposhtme me një: Detyra numër 4. (Të studiojë funksionin për monotoninë). Krahasoni numrat realë sipas madhësisë m dhe n nëse: Detyra numër 5. (Të studiojë funksionin për monotoninë). Bëni një përfundim për bazën a, nëse: y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x Si janë grafikët e funksioneve eksponenciale në raport me njëri-tjetrin për x > 0, x = 0, x<
0? Në një plan koordinativ, grafikët e funksioneve paraqiten: y(x) = (0,1) x; f(x) = (0.5) x; z(x) = (0.8) x. Si janë grafikët e funksioneve eksponenciale në raport me njëri-tjetrin për x > 0, x = 0, x<
0? Numri e luan një rol të veçantë në analizën matematikore. Funksioni eksponencial
me bazë e, quhet eksponent
dhe shënohet y = e x. Shenjat e para numrat
e lehtë për t'u mbajtur mend: dy, një presje, shtatë, viti i lindjes së Leo Tolstoit - dy herë, dyzet e pesë, nëntëdhjetë, dyzet e pesë.
Detyre shtepie: Kolmogorov fq 35; nr 445-447; 451; 453. Përsëriteni algoritmin për ndërtimin e grafikëve të funksioneve që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e modulit. Hipermarketi i njohurive >>Matematika >>Matematika Klasa 10 >> Funksioni eksponencial, vetitë dhe grafiku i tij Merrni parasysh shprehjen 2x dhe gjeni vlerat e saj për vlera të ndryshme racionale të ndryshores x, për shembull, për x=2; Në përgjithësi, pavarësisht se çfarë vlere racionale i japim ndryshores x, gjithmonë mund të llogarisim vlerën numerike përkatëse të shprehjes 2x. Kështu, mund të flitet për një eksponencial funksione y=2 x e përcaktuar në bashkësinë Q të numrave racional: Le të shqyrtojmë disa veti të këtij funksioni. Prona 1.është një funksion në rritje. Ne e kryejmë vërtetimin në dy faza. Në anën e majtë të pabarazisë së fundit kemi , dhe në anën e djathtë 1. Prandaj, pabarazia e fundit mund të rishkruhet si Faza e dytë. Le të jenë numra x 1 dhe x 2, dhe x 1 dhe x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования: (diferencën x 2 -x 1 e shënuam me shkronjën r). Meqenëse r është një numër racional pozitiv, atëherë, me atë që u vërtetua në fazën e parë, 2 r > 1, d.m.th. 2 r -1 >0. Numri 2x" është gjithashtu pozitiv, që do të thotë se produkti 2 x-1 (2 Г -1) është gjithashtu pozitiv. Kështu, ne kemi vërtetuar se pabarazia 2 Xr -2x "\u003e 0. Pra, nga pabarazia x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая. Prona 2. i kufizuar nga poshtë dhe jo i kufizuar nga lart. Është e qartë se ky funksion nuk është i rëndësisë më të madhe, pasi, siç e pamë, nuk kufizohet nga lart. Por kufizohet nga poshtë, pse nuk e ka vlerën më të vogël? Supozoni se 2r është vlera më e vogël e funksionit (r është një eksponent racional). Merrni një numër racional q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции. E gjithë kjo është e mirë, thoni ju, por pse e konsiderojmë funksionin y-2 x vetëm në bashkësinë e numrave racionalë, pse nuk e konsiderojmë atë, si funksionet e tjera të njohura, në të gjithë vijën numerike ose në ndonjë interval të vazhdueshëm të vijën numerike? Çfarë po na pengon? Le të mendojmë për situatën. Linja numerike përmban jo vetëm numra racional, por edhe iracional. Për funksionet e studiuara më parë, kjo nuk na shqetësoi. Për shembull, ne i gjetëm vlerat e funksionit y \u003d x 2 në mënyrë të barabartë si për vlerat racionale ashtu edhe për ato irracionale të x: mjaftonte të kuadrosh vlerën e dhënë të x. Por me funksionin y \u003d 2 x, situata është më e ndërlikuar. Nëse argumentit x i jepet një vlerë racionale, atëherë në parim x mund të llogaritet (kthehuni në fillim të paragrafit, ku bëmë pikërisht atë). Dhe nëse argumentit x i jepet një vlerë irracionale? Si, për shembull, të llogaritet? Ne nuk e dimë këtë ende. Dihet se 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... . Është e qartë se 1,732 = 1,7320 dhe 1,732050 = 1,73205. Për të shmangur përsëritje të tilla, ne i hedhim poshtë ata anëtarë të sekuencës që përfundojnë me numrin 0. Pastaj marrim një sekuencë në rritje: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... . Në përputhje me rrethanat, sekuenca gjithashtu rritet. Të gjithë anëtarët e kësaj sekuence janë numra pozitivë më të vegjël se 22, d.m.th. kjo sekuencë është e kufizuar. Nga teorema e Weierstrass (shih § 30), nëse një sekuencë është në rritje dhe e kufizuar, atëherë ajo konvergon. Për më tepër, nga § 30 ne e dimë se nëse një sekuencë konvergon, atëherë vetëm në një kufi. Ky kufi i vetëm u ra dakord që të konsiderohet si vlera e një shprehjeje numerike. Dhe nuk ka rëndësi se është shumë e vështirë të gjesh qoftë edhe një vlerë të përafërt të shprehjes numerike 2; është e rëndësishme që ky të jetë një numër specifik (në fund të fundit, ne nuk kishim frikë të themi se, për shembull, është rrënja e një ekuacioni racional, Le të shënojmë pikat në planin koordinativ (Fig. 194), ato përvijojnë një vijë të caktuar, e vizatojnë atë (Fig. 195). Në lëndën e matematikës së lartë jepen vërtetime strikte të vetive të renditura të funksionit y-2 x. Disa nga këto veti që diskutuam më herët në një shkallë ose në një tjetër, disa prej tyre janë demonstruar qartë nga grafiku i ndërtuar (shih Fig. 195). Për shembull, mungesa e barazisë ose e rastësisë së një funksioni lidhet gjeometrikisht me mungesën e simetrisë së grafikut, përkatësisht, rreth boshtit y ose rreth origjinës. Çdo funksion i formës y=a x, ku a >1, ka veti të ngjashme. Në fig. 196 në një sistem koordinativ janë ndërtuar, grafikët e funksioneve y=2 x, y=3 x, y=5 x. Tani le të shqyrtojmë funksionin, le të bëjmë një tabelë vlerash për të: 1) Përkufizimi. Funksioni i pamjes quhet funksioni eksponencial. Grafiku i funksionit y \u003d a x për a> 1 është paraqitur në fig. 201 dhe për 0<а < 1 - на рис. 202. Kurba e paraqitur në Fig. 201 ose 202 quhet eksponent. Në fakt, matematikanët zakonisht e quajnë vetë funksionin eksponencial y = a x. Pra, termi "eksponent" përdoret në dy kuptime: si për emrin e funksionit eksponencial, ashtu edhe për emrin e grafikut të funksionit eksponencial. Zakonisht, është e qartë në kuptim nëse bëhet fjalë për një funksion eksponencial apo për grafikun e tij. Kushtojini vëmendje veçorisë gjeometrike të grafikut të funksionit eksponencial y \u003d bosht: boshti x është asimptota horizontale e grafikut. Vërtetë, kjo deklaratë zakonisht përpunohet si më poshtë. Me fjale te tjera Këta janë shembuj të funksioneve të fuqisë; Në përgjithësi, y \u003d x r, ku r është një numër specifik, është një funksion fuqie (argumenti x përmbahet në bazën e shkallës); Një funksion "ekzotik" sulmues si y = x" nuk konsiderohet as eksponencial dhe as ligji i fuqisë (nganjëherë quhet funksioni i fuqisë eksponenciale). Shënim i dytë i rëndësishëm. Zakonisht, nuk merret parasysh një funksion eksponencial me një bazë a = 1 ose me një bazë a që plotëson pabarazinë a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0dhe a Fakti është se nëse a \u003d 1, atëherë për çdo vlerë x barazia Ix \u003d 1 është e vërtetë. Kështu, funksioni eksponencial y \u003d a "për një \u003d 1" degjeneron "në një funksion konstant y \u003d u003d 1 - kjo nuk është interesante. Nëse a \u003d 0, atëherë 0x \u003d 0 për çdo vlerë pozitive të x, d.m.th. ne marrim funksionin y \u003d 0 të përcaktuar për x\u003e 0 - kjo gjithashtu nuk është interesante.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках. Para se të kalojmë në zgjidhjen e shembujve, vërejmë se funksioni eksponencial është dukshëm i ndryshëm nga të gjitha funksionet që keni studiuar deri më tani. Për të studiuar tërësisht një objekt të ri, duhet ta konsideroni atë nga këndvështrime të ndryshme, në situata të ndryshme, kështu që do të ketë shumë shembuj. Zgjidhje, a) Pasi të kemi paraqitur grafikët e funksioneve y \u003d 2 x dhe y \u003d 1 në një sistem koordinativ, vërejmë (Fig. 203) se ato kanë një pikë të përbashkët (0; 1). Pra, ekuacioni 2x = 1 ka një rrënjë të vetme x = 0. Pra, nga ekuacioni 2x = 2° kemi marrë x = 0. b) Pasi kemi ndërtuar grafikët e funksioneve y \u003d 2 x dhe y \u003d 4 në një sistem koordinativ, vërejmë (Fig. 203) se ato kanë një pikë të përbashkët (2; 4). Pra, ekuacioni 2x = 4 ka një rrënjë të vetme x = 2. Pra, nga ekuacioni 2 x \u003d 2 2 kemi marrë x \u003d 2. c) dhe d) Bazuar në të njëjtat konsiderata, arrijmë në përfundimin se ekuacioni 2 x \u003d 8 ka një rrënjë të vetme, dhe për ta gjetur atë, grafikët e funksioneve përkatëse mund të mos ndërtohen; është e qartë se x=3, pasi 2 3 =8. Në mënyrë të ngjashme, gjejmë rrënjën e vetme të ekuacionit Zgjidhje. Mund të veproni kështu: ndërtoni një grafik të funksionit y-3 x, më pas shtrijeni nga boshti x me një faktor 3 dhe më pas ngrini grafikun që rezulton me 2 njësi shkallë. Por është më i përshtatshëm të përdoret fakti që 3- 3* \u003d 3 * + 1, dhe, për rrjedhojë, vizatoni funksionin y \u003d 3 x * 1 + 2. Le të kalojmë, siç kemi bërë vazhdimisht në raste të tilla, në një sistem koordinativ ndihmës me origjinë në pikën (-1; 2) - vijat me pika x = - 1 dhe 1x = 2 në Fig. 207. T'i bashkojmë një sistem të ri koordinativ funksionin y=3*. Për ta bërë këtë, ne zgjedhim pikat e kontrollit për funksionin Shembulli 4 Zgjidheni ekuacionin dhe pabarazitë: Zgjidhje, a) Të ndërtojmë grafikët e funksioneve y=5* dhe y=6-x në një sistem koordinativ (Fig. 208). Ata kryqëzohen në një pikë; duke gjykuar nga vizatimi, kjo është pika (1; 5). Kontrolli tregon se në fakt pika (1; 5) plotëson edhe ekuacionin y = 5* dhe ekuacionin y=6x. Abshisa e kësaj pike shërben si rrënja e vetme e ekuacionit të dhënë. Pra, ekuacioni 5 x = 6-x ka një rrënjë të vetme x = 1. b) dhe c) Eksponenti y-5x shtrihet mbi drejtëzën y=6-x, nëse x>1, - kjo shihet qartë në fig. 208. Prandaj, zgjidhja e mosbarazimit 5*>6-x mund të shkruhet si më poshtë: x>1. Dhe zgjidhja e pabarazisë 5x<6 - х можно записать так: х < 1. Shembulli 5 Jepet një funksion 
2. Shqyrtoni funksionin eksponencial në më shumë detaje:
0
Nëse , atëherë funksioni f(x) zvogëlohet
Funksioni y= , në 0
Kjo rrjedh nga vetitë e monotonitetit të një shkalle me një eksponent real.
b > 0; b≠1
Për shembull:
Funksioni eksponencial është i vazhdueshëm në çdo pikë ϵ R.
Nëse a0, atëherë funksioni eksponencial merr një formë afër y = 0.
Nëse a1, atëherë më tej nga boshtet x dhe y dhe grafiku merr formën afër funksionit y \u003d 1.
Komploti y=
ku a është baza, x është argumenti, b Çfarë saktësisht është logaritmi.
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nuk është një fuqi e saktë sepse ka dy faktorë: 3 dhe 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - shkalla e saktë;
35 = 7 5 - përsëri jo një shkallë e saktë;
14 \u003d 7 2 - përsëri jo një shkallë e saktë;
log x = log 10 x
e = 2,718281828459...
ln x = log e x
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Grafiku i një funksioni eksponencial
y= a x, a > 1
y= a x , 0< a < 1
Vetitë e funksionit eksponencial
y= a x, a > 1
y= a x , 0< a <
1
2. Gama e vlerave të funksionit
3. Intervalet e krahasimit me njësinë
në x> 0, a x
>
1
në x > 0, 0< a x < 1
në x < 0, 0< a x < 1
në x < 0, a x
>
1
4. Çift, tek.
Funksioni nuk është as çift, as tek (funksioni i përgjithshëm).
5. Monotonia.
rritet në mënyrë monotone nga R
zvogëlohet në mënyrë monotone nga R
6. Ekstreme.
Funksioni eksponencial nuk ka ekstreme.
7.Asimptotë
Boshti O xështë një asimptotë horizontale.
8. Për çdo vlerë reale x dhe y;
Numri
një nga konstantet më të rëndësishme në matematikë. Sipas përkufizimit, ajo e barabartë me kufirin e sekuencës
me të pakufizuar
në rritje n
. Emërtimi e prezantuar Leonhard Euler
në vitin 1736. Ai llogariti 23 shifrat e para të këtij numri në shënim dhjetor, dhe vetë numri u emërua pas Napier "numër jo-peer".
Faza e parë. Le të vërtetojmë se nëse r është pozitiv numër racional, pastaj 2 r >1.
Dy raste janë të mundshme: 1) r - numri natyror, r = n; 2) i pareduktueshëm i zakonshëm fraksioni, 
Kështu, në çdo rast, pabarazia 2 r > 1 vlen, siç kërkohet.
Kufiri i funksionit nga poshtë rrjedh nga pabarazia 2 x > 0, e cila është e vlefshme për çdo vlerë të x nga domeni i funksionit. Në të njëjtën kohë, pavarësisht nga numri pozitiv M që merret, gjithmonë mund të zgjidhni një tregues të tillë x që të plotësohet pabarazia 2 x > M - e cila karakterizon pakufizimin e funksionit nga lart. Le të japim disa shembuj. 
Prona 3. nuk ka as vlerë minimale dhe as maksimale.
Matematikanët kanë gjetur një rrugëdalje; kështu flisnin ata.
Konsideroni një sekuencë të numrave racionalë - përafrimet dhjetore të një numri sipas mungesës:
rrënja e ekuacionit trigonometrik, pa menduar vërtet se çfarë janë saktësisht këta numra: 
Pra, zbuluam se çfarë kuptimi vendosin matematikanët në simbolin 2 ^. Në mënyrë të ngjashme, mund të përcaktohet se çfarë është dhe në përgjithësi çfarë është a, ku a është një numër irracional dhe a > 1.
Por çfarë ndodh kur 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Tani mund të flasim jo vetëm për fuqi me eksponentë racionalë arbitrarë, por edhe për fuqi me eksponentë realë arbitrarë. Është vërtetuar se shkallët me çdo eksponent real kanë të gjitha vetitë e zakonshme të shkallëve: kur shumëzohen shkallët me të njëjtat baza, shtohen eksponentët, kur ndahen, zbriten, kur një shkallë ngrihet në një fuqi, ata shumëzohen, etj. . Por gjëja më e rëndësishme është se tani mund të flasim për funksionin y-ax të përcaktuar në grupin e të gjithë numrave realë.
Le të kthehemi te funksioni y \u003d 2 x, të ndërtojmë grafikun e tij. Për ta bërë këtë, ne do të përpilojmë një tabelë të vlerave të funksionit nga 2 x:
Karakteristikat e funksionit y - 2 x:
1)
2) nuk është as çift, as tek; 248
3) rritet;
5) nuk ka as vlerat më të mëdha e as më të vogla;
6) e vazhdueshme;
7)
8) konveks poshtë.
Le të shënojmë pikat në planin koordinativ (Fig. 197), ato përvijojnë një vijë të caktuar, e vizatojnë atë (Fig. 198).
Vetitë e funksionit
2) nuk është as çift, as tek;
3) zvogëlohet;
4) jo i kufizuar nga lart, i kufizuar nga poshtë;
5) nuk ka as vlerat më të mëdha e as më të vogla;
6) e vazhdueshme;
7)
8) konveks poshtë.
Çdo funksion i formës y \u003d a x, ku O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Ju lutemi vini re: grafikët e funksionit 
ato. y \u003d 2 x, simetrike rreth boshtit y (Fig. 201). Kjo është pasojë e pohimit të përgjithshëm (shih § 13): grafikët e funksioneve y = f(x) dhe y = f(-x) janë simetrike rreth boshtit y. Në mënyrë të ngjashme, grafikët e funksioneve y \u003d 3 x dhe
Duke përmbledhur atë që u tha, le të përcaktojmë funksioni eksponencial dhe nxjerr në pah veçoritë e tij më të rëndësishme.
Karakteristikat kryesore të funksionit eksponencial y \u003d a x
Boshti x është asimptota horizontale e grafikut të funksionit
Shënimi i parë i rëndësishëm. Nxënësit e shkollës shpesh ngatërrojnë termat: funksioni i fuqisë, funksioni eksponencial. Krahaso:
janë shembuj të funksioneve eksponenciale.
y \u003d a", ku a është një numër specifik (pozitiv dhe i ndryshëm nga 1), është një funksion eksponencial (argumenti x përmbahet në eksponent).
Shembulli 1 
Pra, nga ekuacioni 2x = 2 3 kemi marrë x = 3, dhe nga ekuacioni 2 x = 2 x kemi marrë x = -4.
e) Grafiku i funksionit y \u003d 2 x ndodhet mbi grafikun e funksionit y \u003d 1 për x\u003e 0 - kjo lexohet mirë në Fig. 203. Prandaj, zgjidhja e pabarazisë 2x > 1 është intervali
f) Grafiku i funksionit y \u003d 2 x ndodhet poshtë grafikut të funksionit y \u003d 4 në x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Ju ndoshta keni vënë re se baza e të gjitha përfundimeve të bëra gjatë zgjidhjes së shembullit 1 ishte vetia e monotonitetit (rritjes) e funksionit y \u003d 2 x. Një arsyetim i ngjashëm na lejon të verifikojmë vlefshmërinë e dy teoremave të mëposhtme. 
, por do t'i ndërtojmë jo në sistemin e vjetër, por në sistemin e ri të koordinatave (këto pika janë shënuar në Fig. 207). Pastaj do të ndërtojmë një eksponent me pika - ky do të jetë grafiku i kërkuar (shih Fig. 207).
Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të caktuar në segmentin [-2, 2], ne përdorim faktin që funksioni i dhënë është në rritje, dhe për këtë arsye ai merr vlerat e tij më të vogla dhe më të mëdha, përkatësisht në të majtë dhe skajet e djathta të segmentit.
Kështu që:
Përgjigje: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.
Vërtetoni këtë 
Zgjidhje. Me kusht Ne kemi.