FUNKSIONET EKSPONETARE DHE LOGARITMIKE VIII
§ 179 Vetitë themelore të funksionit eksponencial
Në këtë seksion do të studiojmë vetitë themelore të funksionit eksponencial
y = a x (1)
Le të kujtojmë se nën A në formulën (1) nënkuptojmë çdo numër pozitiv fiks të ndryshëm nga 1.
Prona 1. Fusha e një funksioni eksponencial është bashkësia e të gjithë numrave realë.
Në fakt, me një pozitiv A shprehje A x të përcaktuara për çdo numër real X .
Prona 2. Funksioni eksponencial merr vetëm vlera pozitive.
Në të vërtetë, nëse X > 0, atëherë, siç u vërtetua në § 176,
A x > 0.
Nëse X <. 0, то
A x =
ku - X tashmë më shumë se zero. Kjo është arsyeja pse A - x > 0. Por pastaj
A x = > 0.
Më në fund, kur X = 0
A x = 1.
Vetia e dytë e funksionit eksponencial ka një interpretim të thjeshtë grafik. Ai qëndron në faktin se grafiku i këtij funksioni (shih Fig. 246 dhe 247) ndodhet tërësisht mbi boshtin e abshisë.
Prona 3. Nëse A >1, atehere kur X > 0 A x > 1, dhe kur X < 0 A x < 1. Nëse A < 1, тoh, përkundrazi, kur X > 0 A x < 1, dhe kur X < 0 A x > 1.
Kjo veti e funksionit eksponencial lejon gjithashtu një interpretim të thjeshtë gjeometrik. Në A > 1 (Fig. 246) kthesa y = a x ndodhet mbi vijën e drejtë në = 1 në X > 0 dhe më poshtë vijës së drejtë në = 1 në X < 0.
Nëse A < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x ndodhet poshtë vijës së drejtë në = 1 në X > 0 dhe mbi këtë vijë të drejtë në X < 0.
Le të japim një provë rigoroze të pronës së tretë. Le A > 1 dhe X - një numër pozitiv arbitrar. Le ta tregojmë atë
A x > 1.
Nëse numri X racionale ( X = m / n ), Kjo A x = A m/ n = n √a m .
Sepse A > 1, atëherë A m > 1, Por rrënja e një numri më të madh se një është padyshim gjithashtu më e madhe se 1.
Nëse X është iracionale, atëherë ka numra racionalë pozitivë X" Dhe X" , të cilat shërbejnë si përafërsi dhjetore të një numri x :
X"< х < х" .
Por më pas, sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent irracional
A x" < A x < A x"" .
Siç tregohet më lart, numri A x" me shume se nje. Prandaj numri A x , më i madh se A x" , gjithashtu duhet të jetë më i madh se 1,
Pra, ne kemi treguar se kur a >1 dhe arbitrare pozitive X
A x > 1.
Nëse numri X ishte negative, atëherë do të kishim
A x =
ku është numri X tashmë do të ishte pozitive. Kjo është arsyeja pse A - x > 1. Prandaj,
A x = < 1.
Kështu, kur A > 1 dhe negative arbitrare x
A x < 1.
Rasti kur 0< A < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Prona 4. Nëse x = 0, atëherë pavarësisht nga a A x =1.
Kjo rrjedh nga përkufizimi i shkallës zero; fuqia zero e çdo numri tjetër përveç zeros është e barabartë me 1. Grafikisht, kjo veti shprehet në faktin se për çdo A kurbë në = A x (shih Fig. 246 dhe 247) kryqëzon boshtin në në pikën me ordinaten 1.
Prona 5. Në A >1 funksioni eksponencial = A x është në rritje monotonike, dhe për a < 1 - në rënie monotonike.
Kjo veti lejon gjithashtu një interpretim të thjeshtë gjeometrik.
Në A > 1 (Fig. 246) kurba në = A x me rritje X ngrihet gjithnjë e më lart, dhe kur A < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Le të japim një provë rigoroze të pronës së 5-të.
Le A > 1 dhe X 2 > X 1 . Le ta tregojmë atë
A x 2 > A x 1
Sepse X 2 > X 1., atëherë X 2 = X 1 + d , Ku d - një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse
A x 2 - A x 1 = A x 1 + d - A x 1 = A x 1 (A d - 1)
Nga vetia e dytë e funksionit eksponencial A x 1 > 0. Meqenëse d > 0, pastaj nga vetia e tretë e funksionit eksponencial A d > 1. Të dy faktorët në produkt A x 1 (A d - 1) janë pozitive, prandaj vetë ky produkt është pozitiv. Do të thotë, A x 2 - A x 1 > 0, ose A x 2 > A x 1, që është ajo që duhej vërtetuar.
Kështu që kur a > 1 funksion në = A x është në rritje monotonike. Po kështu vërtetohet se kur A < 1 функция në = A x është në rënie monotonike.
Pasoja. Nëse dy fuqi të të njëjtit numër pozitiv përveç 1 janë të barabarta, atëherë eksponentët e tyre janë të barabartë.
Me fjalë të tjera, nëse
A b = A c (A > 0 dhe A =/= 1),
b = c .
Në të vërtetë, nëse numrat b Dhe Me nuk ishin të barabarta, atëherë për shkak të monotonitetit të funksionit në = A x më i madhi prej tyre do t'i përgjigjej A > 1 më i madh dhe kur A < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или A b > A c , ose A b < A c . Të dyja bien ndesh me kushtin A b = A c . Mbetet ta pranojmë këtë b = c .
Prona 6. Nese nje > 1, pastaj me një rritje të pakufizuar të argumentit X (X -> ∞ ) vlerat e funksionit në = A x gjithashtu rriten pafundësisht (në -> ∞ ). Kur argumenti zvogëlohet pa kufi X (X -> -∞ ) vlerat e këtij funksioni priren në zero ndërsa mbeten pozitive (në->0; në > 0).
Duke marrë parasysh monotoninë e funksionit të provuar më sipër në = A x , mund të themi se në rastin në shqyrtim funksioni në = A x në mënyrë monotone rritet nga 0 në ∞ .
Nëse 0 <A < 1, atëherë me një rritje të pakufizuar të argumentit x (x -> ∞), vlerat e funksionit y = a x priren në zero, ndërsa mbeten pozitive (në->0; në > 0). Kur argumenti x zvogëlohet pa limit (X -> -∞ ) vlerat e këtij funksioni rriten në mënyrë të pakufizuar (në -> ∞ ).
Për shkak të monotonitetit të funksionit y = a x mund të themi se në këtë rast funksioni në = A x në mënyrë monotonike zvogëlohet nga ∞ në 0.
Vetia e 6-të e funksionit eksponencial është pasqyruar qartë në figurat 246 dhe 247. Nuk do ta vërtetojmë rreptësisht.
Gjithçka që duhet të bëjmë është të vendosim gamën e variacionit të funksionit eksponencial y = a x (A > 0, A =/= 1).
Më sipër vërtetuam se funksioni y = a x merr vetëm vlera pozitive dhe ose rritet në mënyrë monotonike nga 0 në ∞ (në A > 1), ose zvogëlohet në mënyrë monotonike nga ∞ në 0 (në 0< A <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x A ka ndonjë kërcim kur ndryshoni? A merr ndonjë vlerë pozitive? Kjo çështje është zgjidhur pozitivisht. Nëse A > 0 dhe A =/= 1, atëherë cilido qoftë numri pozitiv në 0 do të gjendet patjetër X 0, e tillë që
A x 0 = në 0 .
(Për shkak të monotonitetit të funksionit y = a x vlera e specifikuar X 0, sigurisht, do të jetë i vetmi.)
Vërtetimi i këtij fakti është përtej qëllimit të programit tonë. Interpretimi i tij gjeometrik është se për çdo vlerë pozitive në 0 grafiku i funksionit y = a x patjetër do të kryqëzohet me një vijë të drejtë në = në 0 dhe, për më tepër, vetëm në një pikë (Fig. 248).
Nga kjo mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm, të cilin e formulojmë si veti 7.
Prona 7. Zona e ndryshimit të funksionit eksponencial y = a x (A > 0, A =/= 1)është bashkësia e të gjithë numrave pozitivë.
Ushtrime
1368. Gjeni domenet e përkufizimit funksionet e mëposhtme:
1369. Cili nga këta numra është më i madh se 1 dhe cili është më i vogël se 1:
1370. Në bazë të cilës veti të funksionit eksponencial mund të thuhet se
a) (5 / 7) 2.6 > (5 / 7) 2.5; b) (4 / 3) 1.3 > (4 / 3) 1.2
1371. Cili numër është më i madh:
A) π - √3 ose (1/ π ) - √3 ; c) (2/3) 1 + √6 ose (2 / 3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 ose ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 ose (√3) √3 - 2 ?
1372. A janë ekuivalente pabarazitë:
1373. Çfarë mund të thuhet për numrat X Dhe në , Nëse një x = dhe y , Ku A - një numër i dhënë pozitiv?
1374. 1) A është e mundur midis të gjitha vlerave të funksionit në = 2x theksoj:
2) A është e mundur midis të gjitha vlerave të funksionit në = 2 | x| theksoj:
a) vlera më e madhe; b) vlera më e vogël?
Vendimi i shumicës problemet matematikore lidhet disi me transformimin e shprehjeve numerike, algjebrike ose funksionale. Sa më sipër vlen veçanërisht për vendimin. Në versionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë, ky lloj problemi përfshin, në veçanti, detyrën C3. Mësimi për të zgjidhur detyrat C3 është i rëndësishëm jo vetëm për qëllime të suksesshme dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, por edhe për arsye se kjo aftësi do të jetë e dobishme gjatë studimit të një kursi matematike në shkollë të mesme.
Kur përfundoni detyrat C3, duhet të vendosni lloje te ndryshme ekuacionet dhe pabarazitë. Midis tyre janë racionale, irracionale, eksponenciale, logaritmike, trigonometrike, që përmbajnë module ( vlerat absolute), si dhe ato të kombinuara. Ky artikull diskuton llojet kryesore të ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale, si dhe metoda të ndryshme vendimet e tyre. Lexoni rreth zgjidhjes së llojeve të tjera të ekuacioneve dhe pabarazive në seksionin "" në artikujt kushtuar metodave për zgjidhjen e problemeve C3 nga Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit matematikë.
Para se të fillojmë të analizojmë specifike ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë, si mësues matematike, ju sugjeroj të mësoni disa materiale teorike që do të na nevojiten.
Funksioni eksponencial
Çfarë është një funksion eksponencial?
Funksioni i formës y = një x, Ku a> 0 dhe a≠ 1 quhet funksioni eksponencial.
bazë vetitë e funksionit eksponencial y = një x:
Grafiku i një funksioni eksponencial
Grafiku i funksionit eksponencial është eksponent:
Grafikët e funksioneve eksponenciale (eksponentë)
Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale
Indikative quhen ekuacione në të cilat ndryshorja e panjohur gjendet vetëm në eksponentë të disa fuqive.
Për zgjidhje ekuacionet eksponenciale ju duhet të dini dhe të jeni në gjendje të përdorni teoremën e mëposhtme të thjeshtë:
Teorema 1. Ekuacioni eksponencial a f(x) = a g(x) (ku a > 0, a≠ 1) është ekuivalente me ekuacionin f(x) = g(x).
Për më tepër, është e dobishme të mbani mend formulat dhe operacionet themelore me gradë:
Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: Ne përdorim formulat dhe zëvendësimin e mësipërm:
Ekuacioni atëherë bëhet:
Diskriminues i të pranuarve ekuacioni kuadratik pozitive:
Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Kjo do të thotë se ky ekuacion ka dy rrënjë. Ne i gjejmë ato:
Duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, marrim:
Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi funksioni eksponencial është rreptësisht pozitiv në të gjithë fushën e përkufizimit. Le të zgjidhim të dytën:
Duke marrë parasysh atë që u tha në Teoremën 1, kalojmë në ekuacionin ekuivalent: x= 3. Kjo do të jetë përgjigja e detyrës.
Përgjigje: x = 3.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: kufizimet në zonë vlerat e pranueshme ekuacioni nuk ka, pasi shprehja radikale ka kuptim për çdo vlerë x(funksioni eksponencial y = 9 4 -x pozitive dhe jo e barabartë me zero).
Ne e zgjidhim ekuacionin me transformime ekuivalente duke përdorur rregullat e shumëzimit dhe ndarjes së fuqive:
Tranzicioni i fundit u krye në përputhje me Teoremën 1.
Përgjigje:x= 6.
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: të dyja anët e ekuacionit origjinal mund të ndahen me 0.2 x. Ky tranzicion do të jetë ekuivalent, pasi kjo shprehje është më e madhe se zero për çdo vlerë x(funksioni eksponencial është rreptësisht pozitiv në fushën e tij të përkufizimit). Atëherë ekuacioni merr formën:
Përgjigje: x = 0.
Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: ne thjeshtojmë ekuacionin në një elementar me anë të transformimeve ekuivalente duke përdorur rregullat e ndarjes dhe shumëzimit të fuqive të dhëna në fillim të artikullit:
Pjesëtimi i të dyja anët e ekuacionit me 4 x, si në shembullin e mëparshëm, është një transformim ekuivalent, pasi kjo shprehje nuk është e barabartë me zero për asnjë vlerë x.
Përgjigje: x = 0.
Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: funksionin y = 3x, duke qëndruar në anën e majtë të ekuacionit, po rritet. Funksioni y = —x-2/3 në anën e djathtë të ekuacionit është në rënie. Kjo do të thotë se nëse grafikët e këtyre funksioneve kryqëzohen, atëherë më së shumti një pikë. Në këtë rast, është e lehtë të merret me mend se grafikët kryqëzohen në pikë x= -1. Nuk do të ketë rrënjë të tjera.
Përgjigje: x = -1.
Shembulli 6. Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja: ne thjeshtojmë ekuacionin me anë të transformimeve ekuivalente, duke mbajtur parasysh kudo se funksioni eksponencial është rreptësisht më i madh se zero për çdo vlerë x dhe duke përdorur rregullat për llogaritjen e produktit dhe koeficientit të fuqive të dhëna në fillim të artikullit:
Përgjigje: x = 2.
Zgjidhja e pabarazive eksponenciale
Indikative quhen pabarazi në të cilat ndryshorja e panjohur përmbahet vetëm në eksponentë të disa fuqive.
Për zgjidhje pabarazitë eksponenciale kërkohet njohja e teoremës së mëposhtme:
Teorema 2. Nëse a> 1, pastaj pabarazia a f(x) > a g(x) është ekuivalente me një pabarazi me të njëjtin kuptim: f(x) > g(x). Nëse 0< a < 1, то pabarazia eksponenciale a f(x) > a g(x) është ekuivalente me një pabarazi me kuptimin e kundërt: f(x) < g(x).
Shembulli 7. Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja: Le të paraqesim pabarazinë origjinale në formën:
Le të pjesëtojmë të dyja anët e kësaj pabarazie me 3 2 x, në këtë rast (për shkak të pozitivitetit të funksionit y= 3 2x) shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë:
Le të përdorim zëvendësimin:
Atëherë pabarazia do të marrë formën:
Pra, zgjidhja e pabarazisë është intervali:
duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, marrim:
Për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial, pabarazia e majtë plotësohet automatikisht. Duke përfituar pasuri e njohur logaritmi, ne vazhdojmë me pabarazinë ekuivalente:
Meqenëse baza e shkallës është një numër më i madh se një, ekuivalent (nga Teorema 2) është kalimi në pabarazinë e mëposhtme:
Pra, më në fund arrijmë përgjigje:
Shembulli 8. Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja: Duke përdorur vetitë e shumëzimit dhe ndarjes së fuqive, ne rishkruajmë pabarazinë në formën:
Le të prezantojmë një variabël të ri:
Duke marrë parasysh këtë zëvendësim, pabarazia merr formën:
Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 7, marrim pabarazinë ekuivalente të mëposhtme:
Pra, vlerat e mëposhtme të ndryshores plotësojnë pabarazinë t:
Pastaj, duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, marrim:
Meqenëse baza e shkallës këtu është më e madhe se një, kalimi në pabarazi do të jetë ekuivalent (nga Teorema 2):
Më në fund arrijmë përgjigje:
Shembulli 9. Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja:
Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me shprehjen:
Është gjithmonë më i madh se zero (për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial), kështu që nuk ka nevojë të ndryshohet shenja e pabarazisë. Ne marrim:
t e vendosur në intervalin:
Duke kaluar në zëvendësimin e kundërt, gjejmë se pabarazia origjinale ndahet në dy raste:
Pabarazia e parë nuk ka zgjidhje për shkak të pozitivitetit të funksionit eksponencial. Le të zgjidhim të dytën:
Shembulli 10. Zgjidh pabarazinë:
Zgjidhja:
Degët e parabolës y = 2x+2-x 2 janë të drejtuara poshtë, prandaj kufizohet nga lart nga vlera që arrin në kulmin e saj:
Degët e parabolës y = x 2 -2x+2 në tregues janë të drejtuara lart, që do të thotë se kufizohet nga poshtë nga vlera që arrin në kulmin e tij:
Në të njëjtën kohë, funksioni gjithashtu rezulton të jetë i kufizuar nga poshtë y = 3 x 2 -2x+2, e cila është në anën e djathtë të ekuacionit. Ajo arrin vlerën e saj më të vogël në të njëjtën pikë me parabolën në eksponent, dhe kjo vlerë është 3 1 = 3. Pra, pabarazia fillestare mund të jetë e vërtetë vetëm nëse funksioni në të majtë dhe funksioni në të djathtë marrin vlerën , e barabartë me 3 (kryqëzimi i vargjeve të vlerave të këtyre funksioneve është vetëm ky numër). Ky kusht plotësohet në një pikë të vetme x = 1.
Përgjigje: x= 1.
Për të mësuar të vendosni ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitëështë e nevojshme të stërviteni vazhdimisht në zgjidhjen e tyre. Gjëra të ndryshme mund t'ju ndihmojnë në këtë detyrë të vështirë. manuale metodologjike, libra me probleme në matematikë elementare, koleksione problemash konkurruese, orët e matematikës në shkollë, si dhe seanca individuale me një mësues profesionist. Ju uroj sinqerisht suksese në përgatitjen tuaj dhe rezultate të shkëlqyera në provim.
Sergej Valerieviç
P.S. Të nderuar të ftuar! Ju lutemi mos shkruani kërkesa për të zgjidhur ekuacionet tuaja në komente. Fatkeqësisht, nuk kam absolutisht kohë për këtë. Mesazhe të tilla do të fshihen. Ju lutemi lexoni artikullin. Ndoshta në të do të gjeni përgjigje për pyetjet që nuk ju lejuan të zgjidhni vetë detyrën tuaj.
Le të gjejmë vlerën e shprehjes për vlera të ndryshme racionale të ndryshores x=2; 0; -3; -
Vini re se pavarësisht se cilin numër e zëvendësojmë ndryshoren x, gjithmonë mund ta gjejmë vlerën shprehje e dhënë. Kjo do të thotë që ne po shqyrtojmë një funksion eksponencial (y është i barabartë me tre me fuqinë e x) të përcaktuar në grup numrat racionalë: .
Le të ndërtojmë një grafik të këtij funksioni duke përpiluar një tabelë të vlerave të tij.
Le të kryejmë vijë e lëmuar, duke kaluar nëpër këto pika (Figura 1)
Duke përdorur grafikun e këtij funksioni, le të shqyrtojmë vetitë e tij:
3.Rritet në të gjithë zonën e përcaktimit.
- varg vlerash nga zero në plus pafundësi.
8. Funksioni është konveks poshtë.
Nëse ndërtojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ; y=(y është e barabartë me dy me fuqinë e x, y është e barabartë me pesë me fuqinë e x, y është e barabartë me shtatë me fuqinë e x), atëherë mund të shihni se ato kanë të njëjtat veti si y= (y është e barabartë me tre me fuqinë e x) (Fig. .2), domethënë, të gjitha funksionet e formës y = (y është e barabartë me a me fuqinë x, për një më të madhe se një) do të kenë të tillë Vetitë.
Le të vizatojmë funksionin:
1. Përpilimi i një tabele të vlerave të saj.
Le të shënojmë pikat e marra në planin koordinativ.
Le të vizatojmë një vijë të lëmuar që kalon nëpër këto pika (Figura 3).
Duke përdorur grafikun e këtij funksioni, ne tregojmë vetitë e tij:
1. Fusha e përkufizimit është bashkësia e të gjithë numrave realë.
2. Nuk është as çift dhe as tek.
3. Zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit.
4. Nuk ka as vlerat më të mëdha dhe as më të voglat.
5.I kufizuar më poshtë, por jo i kufizuar më lart.
6. E vazhdueshme në të gjithë fushën e përkufizimit.
7. varg vlerash nga zero në plus pafundësi.
8. Funksioni është konveks poshtë.
Në mënyrë të ngjashme, nëse vizatojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ; y = (y është e barabartë me gjysmën e fuqisë së x, y është e barabartë me një të pestën e fuqisë së x, y është e barabartë me një të shtatën e fuqisë së x), atëherë mund të vëreni se ata kanë të njëjtat veti si y = (y është e barabartë me një të tretën e fuqisë x (Fig. 4), domethënë të gjitha funksionet e formës y = (y është e barabartë me një pjesëtuar me a me fuqinë x, me një më e madhe se zero por më e vogël se një) do të ketë veti të tilla.
Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ
Kjo do të thotë se grafikët e funksioneve y=y= do të jenë gjithashtu simetrik (y është i barabartë me a me fuqinë e x dhe y e barabartë me një, pjesëtuar me a në fuqinë x) për të njëjtën vlerë të a.
Le të përmbledhim atë që është thënë duke përcaktuar funksionin eksponencial dhe duke treguar vetitë kryesore të tij:
Përkufizimi: Një funksion i formës y=, ku (a është e barabartë me a me fuqinë x, ku a është pozitive dhe e ndryshme nga një), quhet funksion eksponencial.
Është e nevojshme të mbani mend ndryshimet midis funksionit eksponencial y= dhe funksionit të fuqisë y=, a=2,3,4,…. si dëgjimisht ashtu edhe vizualisht. Funksioni eksponencial Xështë një fuqi, dhe për një funksion fuqie Xështë baza.
Shembulli 1: Zgjidheni ekuacionin (tre në fuqinë x është e barabartë me nëntë)
(Y është e barabartë me tre me fuqinë e X dhe Y është e barabartë me nëntë) Fig. 7
Vini re se ata kanë një pikë të përbashkët M (2; 9) (em me koordinatat dy; nëntë), që do të thotë se abshisa e pikës do të jetë rrënja e këtij ekuacioni. Kjo do të thotë, ekuacioni ka një rrënjë të vetme x = 2.
Shembulli 2: Zgjidheni ekuacionin
Në një sistem koordinativ, do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y= (y është i barabartë me pesë me fuqinë e x dhe y është i barabartë me një të njëzetepestën) Fig. 8. Grafikët priten në një pikë T (-2; (te me koordinatat minus dy; një e njëzetepestën). Kjo do të thotë se rrënja e ekuacionit është x = -2 (numri minus dy).
Shembulli 3: Zgjidhja e pabarazisë
Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y=
(Y është e barabartë me tre me fuqinë e X dhe Y është e barabartë me njëzet e shtatë).
Fig.9 Grafiku i funksionit ndodhet mbi grafikun e funksionit y=at
x Prandaj, zgjidhja e pabarazisë është intervali (nga minus pafundësia në tre)
Shembulli 4: Zgjidhja e pabarazisë
Në një sistem koordinativ, do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y= (y është i barabartë me një të katërtën e fuqisë së x dhe y është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë). (Fig. 10). Grafikët kryqëzohen në një pikë K (-2;16). Kjo do të thotë se zgjidhja e pabarazisë është intervali (-2; (nga minus dy në plus pafundësi), pasi grafiku i funksionit y= ndodhet poshtë grafikut të funksionit në x
Arsyetimi ynë na lejon të verifikojmë vlefshmërinë e teoremave të mëposhtme:
Tema 1: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse m=n.
Teorema 2: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse, pabarazia është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse (Fig. *)
Teorema 4: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse (Fig.**), pabarazia është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse Teorema 3: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse m=n.
Shembulli 5: Grafikoni funksionin y=
Le të modifikojmë funksionin duke zbatuar vetinë e shkallës y=
Le të ndërtojmë sistem shtesë koordinatat dhe në sistemi i ri koordinatat, do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = (y është i barabartë me dy me fuqinë x) Fig. 11.
Shembulli 6: Zgjidheni ekuacionin
Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y=
(Y është e barabartë me shtatë me fuqinë e X dhe Y është e barabartë me tetë minus X) Fig. 12.
Grafikët kryqëzohen në një pikë E (1; (e me koordinatat një; shtatë). Kjo do të thotë se rrënja e ekuacionit është x = 1 (x e barabartë me një).
Shembulli 7: Zgjidhja e pabarazisë
Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y=
(Y është e barabartë me një të katërtën e fuqisë së X dhe Y është e barabartë me X plus pesë). Grafiku i funksionit y= ndodhet poshtë grafikut të funksionit y=x+5 kur zgjidhja e mosbarazimit është intervali x (nga minus një në plus pafundësi).
Ofron të dhëna referencë për funksionin eksponencial - vetitë bazë, grafikët dhe formulat. Janë marrë në konsideratë çështjet e mëposhtme: fusha e përkufizimit, grupi i vlerave, monotonia, funksioni i anasjelltë, derivat, integral, zgjerim në seri fuqie dhe paraqitje duke përdorur numra kompleks.
Përkufizimi
Funksioni eksponencialështë një përgjithësim i prodhimit të n numrave të barabartë me a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
në bashkësinë e numrave realë x:
y (x) = a x.
Këtu a është fiksuar numër real që quhet baza e funksionit eksponencial.
Një funksion eksponencial me bazë a quhet gjithashtu eksponent ndaj bazës a.
Përgjithësimi kryhet si më poshtë.
Për x = natyrore 1, 2, 3,...
, funksioni eksponencial është produkt i x faktorëve:
.
Për më tepër, ai ka veti (1.5-8) (), të cilat rrjedhin nga rregullat për shumëzimin e numrave. Për vlerat zero dhe negative të numrave të plotë, funksioni eksponencial përcaktohet duke përdorur formulat (1.9-10). Për vlerat thyesore x = m/n numra racionalë, , përcaktohet me formulën (1.11). Për realet, funksioni eksponencial përcaktohet si kufiri i sekuencës:
,
ku është një sekuencë arbitrare e numrave racionalë që konvergojnë në x: .
Me këtë përkufizim, funksioni eksponencial përcaktohet për të gjitha , dhe plotëson vetitë (1.5-8), si për x natyral.
Një formulim rigoroz matematik i përkufizimit të një funksioni eksponencial dhe vërtetimi i vetive të tij është dhënë në faqen "Përkufizimi dhe vërtetimi i vetive të një funksioni eksponencial".
Vetitë e funksionit eksponencial
Funksioni eksponencial y = a x ka këto veti në bashkësinë e numrave realë ():
(1.1)
të përcaktuara dhe të vazhdueshme, për , për të gjithë;
(1.2)
për një ≠ 1
ka shumë kuptime;
(1.3)
rritet rreptësisht në, zvogëlohet rreptësisht në,
është konstante në ;
(1.4)
në ;
në ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Formula të tjera të dobishme.
.
Formula për konvertimin në një funksion eksponencial me një bazë të ndryshme eksponenciale:
Kur b = e, marrim shprehjen e funksionit eksponencial përmes eksponencialit:
Vlerat private
, , , , .
Figura tregon grafikët e funksionit eksponencial
y (x) = a x
për katër vlera bazat e shkallës: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
dhe a = 1/8
. Mund të shihet se për një > 1
funksioni eksponencial rritet në mënyrë monotonike. Sa më e madhe të jetë baza e shkallës a, aq më e fortë është rritja. Në 0
< a < 1
funksioni eksponencial zvogëlohet në mënyrë monotonike. Sa më i vogël të jetë eksponenti a, aq më i fortë është ulja.
Duke u ngjitur, duke zbritur
Funksioni eksponencial për është rreptësisht monoton dhe për këtë arsye nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë.
| y = a x, a > 1 | y = sëpatë, 0 < a < 1 | |
| Domeni | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama e vlerave | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotone | rritet në mënyrë monotone | zvogëlohet në mënyrë monotone |
| Zero, y = 0 | Nr | Nr |
| Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Funksioni i anasjelltë
Anasjellta e një funksioni eksponencial me bazë a është logaritmi me bazën a.
Nese atehere
.
Nese atehere
.
Diferencimi i një funksioni eksponencial
Për të diferencuar një funksion eksponencial, baza e tij duhet të reduktohet në numrin e, të aplikoni tabelën e derivateve dhe rregullin e diferencimit funksion kompleks.
Për ta bërë këtë ju duhet të përdorni vetinë e logaritmeve
dhe formula nga tabela e derivateve:
.
Le të jepet një funksion eksponencial:
.
Ne e sjellim atë në bazën e:
Të zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse. Për ta bërë këtë, prezantoni variablin
Pastaj
Nga tabela e derivateve kemi (zëvendësojmë variablin x me z):
.
Meqenëse është një konstante, derivati i z në lidhje me x është i barabartë me
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:
.
Derivat i një funksioni eksponencial
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >
Një shembull i diferencimit të një funksioni eksponencial
Gjeni derivatin e një funksioni
y = 3 5 x
Zgjidhje
Le të shprehim bazën e funksionit eksponencial përmes numrit e.
3 = e ln 3
Pastaj
.
Futni një variabël
.
Pastaj
Nga tabela e derivateve gjejmë:
.
Sepse 5ln 3është një konstante, atëherë derivati i z në lidhje me x është i barabartë me:
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks, kemi:
.
Përgjigju
Integrale
Shprehje duke përdorur numra kompleks
Merrni parasysh funksionin e numrit kompleks z:
f (z) = a z
ku z = x + iy; i 2 = - 1
.
Le të shprehim konstanten komplekse a në terma të modulit r dhe argumentit φ:
a = r e i φ
Pastaj
.
Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. NË pamje e përgjithshme
φ = φ 0 + 2 πn,
ku n është një numër i plotë. Prandaj funksioni f (z) gjithashtu nuk është e qartë. Rëndësia e tij kryesore shpesh konsiderohet
.
Zgjerimi i serisë
.
Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.