Kufijtë u japin shumë telashe të gjithë studentëve të matematikës. Për të zgjidhur një kufi, ndonjëherë ju duhet të përdorni shumë truke dhe të zgjidhni nga një shumëllojshmëri metodash zgjidhjeje pikërisht atë që është e përshtatshme për një shembull të veçantë.

Në këtë artikull ne nuk do t'ju ndihmojmë të kuptoni kufijtë e aftësive tuaja ose të kuptoni kufijtë e kontrollit, por do të përpiqemi t'i përgjigjemi pyetjes: si të kuptoni kufijtë në matematikën më të lartë? Të kuptuarit vjen me përvojë, kështu që në të njëjtën kohë do të japim disa shembuj të detajuar zgjidhje kufijsh me shpjegime.

Koncepti i kufirit në matematikë

Pyetja e parë është: cili është ky kufi dhe kufiri i çfarë? Mund të flasim për kufijtë e sekuencave dhe funksioneve numerike. Ne jemi të interesuar për konceptin e kufirit të një funksioni, pasi kjo është ajo që studentët hasin më shpesh. Por së pari - më së shumti përkufizim i përgjithshëm limit:

Le të themi se ka disa sasi e ndryshueshme. Nëse kjo vlerë në procesin e ndryshimit i afrohet në mënyrë të pakufizuar një numri të caktuar a , Kjo a – kufiri i kësaj vlere.

Për një funksion të përcaktuar në një interval të caktuar f(x)=y një numër i tillë quhet limit A , që funksioni tenton kur X , duke u përpjekur në një pikë të caktuar A . Pika A i përket intervalit në të cilin është përcaktuar funksioni.

Tingëllon e rëndë, por shkruhet shumë thjeshtë:

Lim- nga anglishtja limit- limit.

Ekziston edhe një shpjegim gjeometrik për përcaktimin e kufirit, por këtu nuk do të thellohemi në teori, pasi na intereson më shumë ana praktike dhe jo teorike e çështjes. Kur themi se X priret në një vlerë, kjo do të thotë se ndryshorja nuk merr vlerën e një numri, por i afrohet atij pafundësisht afër.

Le të japim shembull specifik. Detyra është të gjesh kufirin.

Për të zgjidhur këtë shembull, ne zëvendësojmë vlerën x=3 në një funksion. Ne marrim:

Nga rruga, nëse jeni të interesuar, lexoni një artikull të veçantë për këtë temë.

Në shembuj X mund të priret në çdo vlerë. Mund të jetë çdo numër ose pafundësi. Ja një shembull kur X priret në pafundësi:

Intuitivisht, sa më i madh të jetë numri në emërues, aq më e vogël do të jetë vlera e funksionit. Pra, me rritje të pakufizuar X kuptimi 1/x do të ulet dhe do t'i afrohet zeros.

Siç mund ta shihni, për të zgjidhur kufirin, thjesht duhet të zëvendësoni vlerën për të cilën përpiqeni në funksion X . Megjithatë, ky është rasti më i thjeshtë. Shpesh gjetja e kufirit nuk është aq e qartë. Brenda kufijve ka paqartësi të llojit 0/0 ose pafundësi/pafundësi . Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Përdorni truket!

Pasiguritë brenda

Pasiguria e formës pafundësi/pafundësi

Le të ketë një kufi:

Nëse përpiqemi të zëvendësojmë pafundësinë në funksion, do të marrim pafundësi si në numërues ashtu edhe në emërues. Në përgjithësi, vlen të thuhet se ekziston një element i caktuar i artit në zgjidhjen e pasigurive të tilla: duhet të vini re se si mund ta transformoni funksionin në atë mënyrë që pasiguria të largohet. Në rastin tonë, ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin me X në gradën e lartë. Çfarë do të ndodhë?

Nga shembulli i diskutuar tashmë më lart, ne e dimë se termat që përmbajnë x në emërues do të priren në zero. Atëherë zgjidhja e kufirit është:

Për të zgjidhur pasiguritë e tipit pafundësi/pafundësi pjesëtojeni numëruesin dhe emëruesin me X në shkallën më të lartë.

Meqe ra fjala! Për lexuesit tanë tani ka një zbritje prej 10%.

Një lloj tjetër pasigurie: 0/0

Si gjithmonë, duke zëvendësuar vlerat në funksion x=-1 jep 0 në numërues dhe emërues. Shikoni pak më nga afër dhe do ta vini re këtë në numëruesin tonë ekuacioni kuadratik. Le të gjejmë rrënjët dhe të shkruajmë:

Le të zvogëlojmë dhe të marrim:

Pra, nëse përballeni me pasiguri të llojit 0/0 – faktorizoni numëruesin dhe emëruesin.

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e shembujve, ne paraqesim një tabelë me kufijtë e disa funksioneve:

Rregulli i L'Hopital brenda

Një mënyrë tjetër e fuqishme për të eliminuar të dy llojet e pasigurisë. Cili është thelbi i metodës?

Nëse ka pasiguri në kufi, merrni derivatin e numëruesit dhe emëruesit derisa pasiguria të zhduket.

Rregulli i L'Hopital duket si ky:

Pika e rëndësishme : duhet të ekzistojë kufiri në të cilin qëndrojnë derivatet e numëruesit dhe të emëruesit në vend të numëruesit dhe emëruesit.

Dhe tani - një shembull i vërtetë:

Ekziston një pasiguri tipike 0/0 . Le të marrim derivatet e numëruesit dhe të emëruesit:

Voila, pasiguria zgjidhet shpejt dhe me elegancë.

Shpresojmë që ju të jeni në gjendje ta zbatoni në mënyrë të dobishme këtë informacion në praktikë dhe të gjeni përgjigjen e pyetjes "si të zgjidhni kufijtë në matematikën më të lartë". Nëse keni nevojë të llogaritni kufirin e një sekuence ose kufirin e një funksioni në një pikë, dhe nuk ka absolutisht kohë për këtë punë, na kontaktoni për një zgjidhje të shpejtë dhe të detajuar.

Janë dhënë formulimet e teoremave kryesore dhe vetitë e sekuencave numerike që kanë një kufi. Përmban një përkufizim të sekuencës dhe kufirit të saj. Janë marrë në konsideratë veprimet aritmetike me sekuenca, vetitë që lidhen me pabarazitë, kriteret e konvergjencës, vetitë e sekuencave infinitimale dhe pafundësisht të mëdha.

Sekuencat

Sekuenca numerikeështë një ligj (rregull) sipas të cilit çdo numri natyror i caktohet një numër.
Numri thirret mandati i nëntë ose një element i një sekuence.
Më tej do të supozojmë se elementët e sekuencës janë numra realë.

kufizuar, nëse ka një numër M të tillë që për të gjitha n reale.

Buza e sipërme sekuencat quhen numri më i vogël që kufizon sekuencën nga lart. Kjo do të thotë, ky është një numër s për të cilin, për të gjitha n dhe për çdo , ekziston një element i sekuencës që tejkalon s′: .

Buza e poshtme sekuencat quhen numri më i madh që kufizon sekuencën nga poshtë. Kjo do të thotë, ky është një numër i për të cilin, për të gjitha n dhe për çdo , ka një element të sekuencës më të vogël se i′: .

Kufiri i sipërm quhet gjithashtu kufiri i saktë i sipërm, dhe kufiri i poshtëm është kufiri i saktë i poshtëm. Konceptet e supremum dhe infimum janë të vlefshme jo vetëm për sekuencat, por edhe për çdo grup numra realë.

Përcaktimi i kufirit të sekuencës

Numri a quhet kufiri i sekuencës, nëse për çdo numër pozitiv ka një numër natyror N në varësi të tillë që për të gjithë numrat natyrorë vlen mosbarazimi
.
Kufiri i sekuencës shënohet si më poshtë:
.
Ose në.

Duke përdorur simbolet logjike të ekzistencës dhe universalitetit, përkufizimi i një kufiri mund të shkruhet si më poshtë:
.

Intervali i hapur (a - ε, a + ε) quhet ε - fqinjësia e pikës a.

Një sekuencë që ka një kufi quhet sekuencë konvergjente. Thuhet gjithashtu se sekuenca konvergon te a. Një sekuencë që nuk ka kufi quhet divergjent.

Pika a nuk është kufiri i sekuencës, nëse ka të tillë që për çdo numër natyror n ka një m të tillë natyror > n, Çfarë
.
.
Kjo do të thotë që ju mund të zgjidhni një ε - lagje të tillë të pikës a, jashtë së cilës do të ketë një numër të pafund elementësh të sekuencës.

Vetitë e kufijve të fundëm të sekuencave

Vetitë themelore

Një pikë a është një kufi i një sekuence nëse dhe vetëm nëse ka jashtë çdo lagjeje të kësaj pike numër i kufizuar i elementeve sekuencat ose grupi bosh.

Nëse numri a nuk është kufiri i sekuencës, atëherë ekziston një fqinjësi e pikës a përtej së cilës ka numër i pafund i elementeve të sekuencës.

Teorema e unike për kufirin e një sekuence numrash. Nëse një sekuencë ka një kufi, atëherë ajo është unike.

Nëse një sekuencë ka një kufi të fundëm, atëherë ai kufizuar.

Nëse secili element i sekuencës e barabartë me të njëjtin numër C: atëherë kjo sekuencë ka një kufi të barabartë me numrin C.

Nëse sekuenca shtoni, hidhni ose ndryshoni m elementët e parë, atëherë kjo nuk do të ndikojë në konvergjencën e tij.

Dëshmitë e vetive themelore jepen në faqe
Vetitë themelore të kufijve të fundëm të sekuencave >>>.

Veprimet aritmetike me kufij

Le të ketë kufij të fundëm të të dy sekuencave dhe . Dhe le të jetë C një konstante, domethënë një numër i dhënë. Pastaj
;
;
;
, Nëse .
Në rastin e një herësi, supozohet se për të gjitha n.

Nese atehere.

Dëshmi vetitë aritmetike jepen në faqe
Vetitë aritmetike të kufijve të fundëm të sekuencave >>>.

Vetitë që lidhen me pabarazitë

Nëse elementet e një sekuence, duke filluar nga një numër i caktuar, plotësojnë pabarazinë, atëherë kufiri a i kësaj sekuence plotëson edhe pabarazinë.

Nëse elementet e vargut, duke filluar nga një numër i caktuar, i përkasin një intervali (segmenti) të mbyllur, atëherë këtij intervali i përket edhe kufiri a: .

Nëse dhe dhe elementet e sekuencave, duke filluar nga një numër i caktuar, plotësojnë pabarazinë , atëherë .

Nëse dhe, duke filluar nga një numër, , atëherë .
Në veçanti, nëse, duke u nisur nga një numër, , atëherë
nese atehere ;
nese atehere .

Nëse dhe, atëherë.

Lëre të jetë. Nese nje < b , atëherë ekziston një numër natyror N i tillë që për të gjithë n > N pabarazia qëndron.

Vërtetimet e vetive që lidhen me pabarazitë jepen në faqe
Vetitë e kufijve të sekuencës që lidhen me pabarazitë >>>.

Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla

Sekuenca infiniteminale

Pasoja quhet një sekuencë infiniteminale, nëse kufiri i tij është zero:
.

Shuma dhe diferenca i një numri të fundëm sekuencash infinitimale është një sekuencë infinite vogël.

Produkt i një sekuence të kufizuar në infinitimal është një sekuencë infinite vogël.

Prodhimi i një numri të fundëm sekuenca infinitimale është një sekuencë infinitimale.

Në mënyrë që një sekuencë të ketë një kufi a, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që , ku të jetë një sekuencë pafundësisht e vogël.

Vërtetimet e vetive të sekuencave infiniteminale jepen në faqe
Sekuenca pafundësisht të vogla - përkufizimi dhe vetitë >>>.

Sekuencë pafundësisht e madhe

Pasoja quhet një sekuencë pafundësisht e madhe, nëse për çdo numër pozitiv ka një numër natyror N në varësi të tillë që për të gjithë numrat natyrorë vlen mosbarazimi
.
Në këtë rast ata shkruajnë
.
Ose në.
Ata thonë se priret në pafundësi.

Nëse, duke u nisur nga një numër N, atëherë
.
Nese atehere
.

Nëse sekuenca është pafundësisht e madhe, atëherë, duke u nisur nga një numër N, përcaktohet një sekuencë që është pafundësisht e vogël. Nëse është një sekuencë pafundësisht e vogël me elementë jo zero, atëherë sekuenca është pafundësisht e madhe.

Nëse sekuenca është pafundësisht e madhe dhe sekuenca është e kufizuar, atëherë
.

Nëse vlerat absolute të elementeve të sekuencës janë të kufizuara nga poshtë me një numër pozitiv () dhe është një infinit i vogël me elementë të pabarabartë me zero, atëherë
.

Ne detaje përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe me shembuj jepet në faqe
Përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe >>>.
Provat e vetive të sekuencave pafundësisht të mëdha jepen në faqe
Vetitë e sekuencave pafundësisht të mëdha >>> .

Kriteret e konvergjencës së sekuencës

Sekuenca monotone

Sekuenca quhet rreptësisht në rritje, nëse për të gjithë n vlen pabarazia e mëposhtme:
.
Prandaj, për rreptësisht në rënie sekuenca vlen pabarazia e mëposhtme:
.
Për jo në rënie:
.
Për jo në rritje:
.

Nga kjo rrjedh se një sekuencë rreptësisht në rritje nuk është gjithashtu në rënie. Një sekuencë rreptësisht në rënie nuk është gjithashtu në rritje.

Sekuenca quhet monotone, nëse nuk është në rënie ose jo në rritje.

Një sekuencë monotonike është e kufizuar në të paktën njërën anë nga vlera . Një sekuencë që nuk zvogëlohet kufizohet më poshtë: . Një sekuencë jo në rritje është e kufizuar nga lart: .

Teorema e Weierstrass. Që një sekuencë jozitëse (jo rritje) të ketë një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të kufizohet nga lart (nga poshtë). Këtu M është një numër.

Meqenëse çdo sekuencë jo-zvogëluese (jo rritje) është e kufizuar nga poshtë (nga lart), teorema e Weierstrass mund të riformulohet si më poshtë:

Që një sekuencë monotonike të ketë një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të jetë i kufizuar: .

Sekuencë monotonike e pakufizuar Ajo ka kufi i pafund, e barabartë për sekuencat që nuk zvogëlohen dhe nuk rriten.

Vërtetim i teoremës së Weierstrass dhënë në faqe
Teorema e Weierstrass-it mbi kufirin e një sekuence monotone >>>.

Kriteri Cauchy për konvergjencën e sekuencës

Gjendje cauchy. Një sekuencë plotëson kushtin Cauchy nëse për ndonjë ka një numër natyror të tillë që për të gjithë numrat natyrorë n dhe m plotësojnë kushtin, pabarazia plotësohet
.
Quhen gjithashtu sekuenca që plotësojnë kushtin Cauchy sekuencat themelore.

Kriteri Cauchy për konvergjencën e sekuencës. Në mënyrë që një sekuencë të ketë një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të plotësojë kushtin Cauchy.

Vërtetimi i kriterit të konvergjencës së Cauchy dhënë në faqe
Kriteri Cauchy për konvergjencën e sekuencës >>>.

Pasojat

Teorema Bolzano-Weierstrass. Nga çdo sekuencë e kufizuar mund të zgjidhni një nënsekuencë konvergjente. Dhe nga çdo sekuencë e pakufishme - një nënsekuencë pafundësisht e madhe që konvergon në ose në .

Vërtetimi i teoremës Bolzano-Weierstrass dhënë në faqe
Teorema Bolzano–Weierstrass >>> .

Përkufizimet, teoremat dhe vetitë e nënsekuencave dhe kufijve të pjesshëm diskutohen në faqe
Nënsekuenca dhe kufijtë e pjesshëm të sekuencave >>>.

Referencat:
CM. Nikolsky. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 2003.
V.A. Zorich. Analiza matematikore. Pjesa 1. Moskë, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Bazat e analizës matematikore. Pjesa 1. Moskë, 2005.

Zgjidhje kufijtë e funksionit në internet. Gjeni vlerën kufizuese të një funksioni ose sekuence funksionale në një pikë, llogarisni përfundimtare vlera e funksionit në pafundësi. të përcaktojë konvergjencën e një serie numrash dhe shumë më tepër mund të bëhet falë tonë shërbim online- . Ne ju lejojmë të gjeni kufijtë e funksioneve në internet shpejt dhe saktë. Ju e futni vetë variabli i funksionit dhe kufirin për të cilin përpiqet, shërbimi ynë kryen të gjitha llogaritjet për ju, duke dhënë një përgjigje të saktë dhe të thjeshtë. Dhe për gjetja e kufirit në internet mund të futni si seritë numerike ashtu edhe funksionet analitike që përmbajnë konstante në shprehjen e mirëfilltë. Në këtë rast, kufiri i gjetur i funksionit do të përmbajë këto konstante si argumente konstante në shprehje. Shërbimi ynë zgjidh çdo detyra komplekse duke gjetur kufijtë online, mjafton të tregohet funksioni dhe pika në të cilën është e nevojshme të llogaritet vlera kufi e funksionit. Duke llogaritur kufijtë online, ju mund të përdorni metoda të ndryshme dhe rregullat për zgjidhjen e tyre, duke kontrolluar rezultatin e marrë me zgjidhja e kufijve në internet në faqen www.site, e cila do të çojë në përfundimin e suksesshëm të detyrës - ju do të shmangni gabimet tuaja dhe gabimet klerikale. Ose mund të na besoni plotësisht dhe të përdorni rezultatet tona në punën tuaj pa shpenzime përpjekje shtesë dhe koha për të llogaritur në mënyrë të pavarur kufirin e funksionit. Ne lejojmë futjen e vlerave kufitare të tilla si pafundësia. Është e nevojshme të futni një anëtar të përbashkët të një sekuence numrash dhe www.site do të llogarisë vlerën limit online në pafundësi plus ose minus.

Një nga konceptet bazë të analizës matematikore është kufiri i funksionit Dhe kufiri i sekuencës në një pikë dhe në pafundësi, është e rëndësishme të jesh në gjendje të zgjidhësh saktë kufijtë. Me shërbimin tonë kjo nuk do të jetë e vështirë. Është marrë një vendim kufijtë online brenda pak sekondash, përgjigja është e saktë dhe e plotë. Studimi i analizës matematikore fillon me kalimi në kufi, kufijtë përdoren pothuajse në të gjitha fushat e matematikës së lartë, kështu që është e dobishme të keni një server në dorë zgjidhje kufitare në internet, që është faqja.

Teoria e kufijve- një nga seksionet e analizës matematikore që disa mund ta zotërojnë, ndërsa të tjerët kanë vështirësi në llogaritjen e kufijve. Çështja e gjetjes së kufijve është mjaft e përgjithshme, pasi ka dhjetëra teknika kufijtë e zgjidhjes lloje të ndryshme. Të njëjtat kufij mund të gjenden si duke përdorur rregullin e L'Hopital ashtu edhe pa të. Ndodh që planifikimi i një sërë funksionesh infiniteminale ju lejon të merrni shpejt rezultatin e dëshiruar. Ka një sërë teknikash dhe trukesh që ju lejojnë të gjeni kufirin e një funksioni të çdo kompleksiteti. Në këtë artikull do të përpiqemi të kuptojmë llojet kryesore të kufijve që hasen më shpesh në praktikë. Ne nuk do të japim teorinë dhe përkufizimin e kufirit këtu; ka shumë burime në internet ku diskutohet kjo. Prandaj, le të zbresim në llogaritjet praktike, këtu është ajo ku "Nuk e di! Nuk mundem! Nuk na mësuan!"

Llogaritja e kufijve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Shembulli 1. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Zgjidhja: Shembuj të këtij lloji mund të llogariten teorikisht duke përdorur zëvendësimin e zakonshëm

Kufiri është 18/11.
Nuk ka asgjë të komplikuar ose të mençur në lidhje me kufijtë e tillë - ne e zëvendësuam vlerën, e llogaritëm dhe e shënuam kufirin si përgjigje. Megjithatë, në bazë të kufijve të tillë, të gjithë mësohen se para së gjithash duhet të zëvendësojnë vlerën në funksion. Më tej, kufijtë bëhen më të ndërlikuar, duke futur konceptin e pafundësisë, pasigurisë dhe të ngjashme.

Një kufi me pasiguri si pafundësia e ndarë me pafundësinë. Teknikat e zbulimit të pasigurisë

Shembulli 2. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=pafundësi).
Zgjidhje: Jepet një kufi i formës polinom të ndarë me një polinom dhe ndryshorja priret në pafundësi.

Thjesht zëvendësimi i vlerës së cilës duhet gjetur ndryshorja për të gjetur kufijtë, nuk do të ndihmojë, ne marrim një pasiguri të formës pafundësi pjesëtuar me pafundësi.
Sipas teorisë së kufijve, algoritmi për llogaritjen e kufirit është gjetja e fuqisë më të madhe të "x" në numërues ose emërues. Më pas, numëruesi dhe emëruesi thjeshtohen në të dhe gjendet kufiri i funksionit

Meqenëse vlera priret në zero kur ndryshorja i afrohet pafundësisë, ato neglizhohen ose shkruhen në shprehjen përfundimtare në formën e zeros.

Menjëherë nga praktika, mund të merrni dy përfundime që janë një aluzion në llogaritjet. Nëse një variabël priret në pafundësi dhe shkalla e numëruesit është më e madhe se shkalla e emëruesit, atëherë kufiri është i barabartë me pafundësinë. Përndryshe, nëse polinomi në emërues është i rendit më të lartë se në numërues, kufiri është zero.
Kufiri mund të shkruhet në formula si kjo:

Nëse kemi një funksion të formës së një fushe të zakonshme pa thyesa, atëherë kufiri i saj është i barabartë me pafundësinë

Lloji tjetër kufijtë kanë të bëjnë me sjelljen e funksioneve afër zeros.

Shembulli 3. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Zgjidhja: Nuk ka nevojë të hiqet faktori kryesor i polinomit këtu. Pikërisht e kundërta, ju duhet të gjeni fuqinë më të vogël të numëruesit dhe emëruesit dhe të llogarisni kufirin

Vlera x^2; x priren në zero kur ndryshorja tenton në zero.Prandaj, ato neglizhohen, kështu që marrim

se kufiri është 2.5.

Tani ju e dini si të gjejmë kufirin e një funksioni të formës, ndani një polinom me një polinom nëse ndryshorja priret në pafundësi ose 0. Por kjo është vetëm një pjesë e vogël dhe e lehtë e shembujve. Nga materiali i mëposhtëm do të mësoni si të zbulohen pasiguritë në kufijtë e një funksioni.

Kufiri me pasiguri të tipit 0/0 dhe metodat e llogaritjes së tij

Të gjithë e kujtojnë menjëherë rregullin që nuk mund ta ndani me zero. Megjithatë, teoria e kufijve në këtë kontekst nënkupton funksione infiniteminale.
Le të shohim disa shembuj për qartësi.

Shembulli 4. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Zgjidhje: Kur e zëvendësojmë vlerën e ndryshores x = -1 me emërues, marrim zero dhe marrim të njëjtën gjë në numërues. Pra kemi pasiguria e formës 0/0.
Përballja me një pasiguri të tillë është e thjeshtë: ju duhet të faktorizoni polinomin, ose më mirë, të zgjidhni faktorin që e kthen funksionin në zero.

Pas zgjerimit, kufiri i funksionit mund të shkruhet si

Kjo është e gjithë metoda për llogaritjen e kufirit të një funksioni. Ne bëjmë të njëjtën gjë nëse ka një kufi të formës polinom të ndarë me një polinom.

Shembulli 5. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Zgjidhja: Zëvendësimi i drejtpërdrejtë tregon
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
çfarë kemi ne pasiguria e tipit 0/0.
Le t'i ndajmë polinomet me faktorin që paraqet singularitetin


Ka mësues që japin mësim se polinomet e rendit të dytë, pra të tipit “ekuacione kuadratike”, duhet të zgjidhen përmes diskriminuesit. Por praktika e vërtetë tregon se kjo është më e gjatë dhe më konfuze, kështu që hiqni qafe veçoritë brenda kufijve sipas algoritmit të specifikuar. Kështu e shkruajmë funksionin në formë faktorët kryesorë dhe llogarisni deri në kufi

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në llogaritjen e kufijve të tillë. Në kohën kur studioni kufijtë, ju dini të ndani polinomet, të paktën sipas programit duhet ta kishit kaluar tashmë.
Ndër detyrat në pasiguria e tipit 0/0 Ka disa në të cilat duhet të përdorni formula të shkurtuara të shumëzimit. Por nëse nuk i njihni, atëherë duke ndarë një polinom me një monom, mund të merrni formulën e dëshiruar.

Shembulli 6. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Zgjidhja: Kemi një pasiguri të tipit 0/0. Në numërues përdorim formulën e shkurtuar të shumëzimit

dhe llogaritni kufirin e kërkuar

Metoda për zbulimin e pasigurisë duke shumëzuar me konjugatin e saj

Metoda zbatohet në kufijtë në të cilët gjenerohet pasiguria nga funksionet irracionale. Numëruesi ose emëruesi kthehet në zero në pikën e llogaritjes dhe nuk dihet si të gjendet kufiri.

Shembulli 7. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Zgjidhja: Le të paraqesim variablin në formulën limit

Kur zëvendësojmë, marrim një pasiguri të tipit 0/0.
Sipas teorisë së kufijve, mënyra për të anashkaluar këtë veçori është të shumëzosh shprehjen irracionale me konjugatin e saj. Për të siguruar që shprehja të mos ndryshojë, emëruesi duhet të ndahet me të njëjtën vlerë

Duke përdorur rregullin e diferencës së katrorëve, ne thjeshtojmë numëruesin dhe llogarisim kufirin e funksionit

Thjeshtojmë termat që krijojnë singularitetin në kufi dhe kryejmë zëvendësimin

Shembulli 8. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Zgjidhje: Zëvendësimi i drejtpërdrejtë tregon se kufiri ka një singularitet të formës 0/0.

Për t'u zgjeruar, ne shumëzojmë dhe pjesëtojmë me konjugatin e numëruesit

Shkruajmë ndryshimin e katrorëve

Thjeshtojmë termat që prezantojnë singularitetin dhe gjejmë kufirin e funksionit

Shembulli 9. Gjeni kufirin e një funksioni
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Zgjidhja: Zëvendësoni dy në formulë

marrim pasiguria 0/0.
Emëruesi duhet të shumëzohet me shprehjen e konjuguar dhe në numërues duhet të zgjidhet ose të faktorizohet ekuacioni kuadratik, duke marrë parasysh singularitetin. Meqenëse dihet që 2 është një rrënjë, rrënjën e dytë e gjejmë duke përdorur teoremën e Vieta-s

Kështu, ne shkruajmë numëruesin në formë

dhe zëvendësojeni atë në kufi

Duke reduktuar diferencën e katrorëve, heqim qafe singularitetet në numërues dhe emërues.

Në këtë mënyrë, ju mund të shpëtoni nga singularitetet në shumë shembuj, dhe aplikimi duhet të shënohet kudo ku një ndryshim i caktuar i rrënjëve kthehet në zero gjatë zëvendësimit. Llojet e tjera të kufizimeve kanë të bëjnë funksionet eksponenciale, funksione infiniteminale, logaritme, limite speciale dhe teknika të tjera. Por ju mund të lexoni për këtë në artikujt e listuar më poshtë rreth kufijve.

Për ata që duan të mësojnë se si të gjejnë kufizime, në këtë artikull do t'ju tregojmë për këtë. Ne nuk do të thellohemi në teori; mësuesit zakonisht e japin atë në leksione. Pra, "teoria e mërzitshme" duhet të shënohet në fletoret tuaja. Nëse nuk është kështu, atëherë mund të lexoni libra shkollorë të huazuar nga biblioteka. institucion arsimor ose në burime të tjera të internetit.

Pra, koncepti i kufirit është mjaft i rëndësishëm në studimin e matematikës së lartë, veçanërisht kur hasni në llogaritjen integrale dhe kuptoni lidhjen midis kufirit dhe integralit. Në materialin aktual do të shqyrtojmë shembuj të thjeshtë, si dhe mënyra për t'i zgjidhur ato.

Shembuj zgjidhjesh

Shembulli 1

Llogaritni a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \në \infty) \frac(1)(x) $

Zgjidhje

a) $$ \lim \limits_(x \në 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Njerëzit shpesh na dërgojnë këto kufizime me një kërkesë për të ndihmuar në zgjidhjen e tyre. Ne vendosëm t'i theksojmë ato si një shembull më vete dhe të shpjegojmë se këto kufij thjesht duhet të mbahen mend, si rregull. Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë na dërgoni atë. Ne do të ofrojmë zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të shikoni ecurinë e llogaritjes dhe të merrni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni notën tuaj nga mësuesi juaj në kohën e duhur!

Përgjigju

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Çfarë duhet bërë me pasigurinë e formës: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Shembulli 3

Zgjidh $ \lim \limits_(x \në -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Zgjidhje

Si gjithmonë, ne fillojmë duke zëvendësuar vlerën $ x $ në shprehjen nën shenjën kufi. $$ \lim \limits_(x \ deri -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ Çfarë është më pas tani? Çfarë duhet të ndodhë në fund? Meqenëse kjo është pasiguri, kjo nuk është ende një përgjigje dhe ne vazhdojmë llogaritjen. Meqenëse kemi një polinom në numërues, do ta faktorizojmë duke përdorur formulën e njohur për të gjithë nga shkolla $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Të kujtohet? E shkëlqyeshme! Tani vazhdo dhe përdore me këngën :) Gjejmë se numëruesi $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Ne vazhdojmë të zgjidhim duke marrë parasysh transformimin e mësipërm: $$ \lim \limits_(x \deri -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \në -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Përgjigju

$$ \lim \limits_(x \në -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Le ta shtyjmë kufirin në dy shembujt e fundit në pafundësi dhe të marrim parasysh pasigurinë: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Shembulli 5

Llogarit $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Zgjidhje

$ \lim \limits_(x \në \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Çfarë duhet bërë? Cfare duhet te bej? Mos u frikësoni, sepse e pamundura është e mundur. Është e nevojshme të hiqni x si në numërues ashtu edhe në emërues, dhe pastaj ta zvogëloni atë. Pas kësaj, përpiquni të llogarisni kufirin. Le te perpiqemi... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \në \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Duke përdorur përkufizimin nga Shembulli 2 dhe duke zëvendësuar pafundësinë me x, marrim: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Përgjigju

$$ \lim \limits_(x \në \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmi për llogaritjen e limiteve

Pra, le të përmbledhim shkurtimisht shembujt dhe të krijojmë një algoritëm për zgjidhjen e kufijve:

1. Zëvendësoni pikën x në shprehjen pas shenjës kufitare. Nëse fitohet një numër ose pafundësi e caktuar, atëherë kufiri zgjidhet plotësisht. Përndryshe, kemi pasiguri: “zero pjesëtuar me zero” ose “pafundësi pjesëtuar me pafundësi” dhe kalojmë në hapat e mëtejshëm të udhëzimeve.
2. Për të eliminuar pasigurinë e "zeros pjesëtuar me zero", duhet të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin. Zvogëloni të ngjashmet. Zëvendësoni pikën x në shprehjen nën shenjën e kufirit.
3. Nëse pasiguria është "pafundësia e ndarë me pafundësinë", atëherë ne nxjerrim si numëruesin ashtu edhe emëruesin x në shkallën më të madhe. Ne shkurtojmë X-të. Ne zëvendësojmë vlerat e x nga poshtë kufirit në shprehjen e mbetur.

Në këtë artikull, ju mësuat bazat e zgjidhjes së kufijve që përdoren shpesh në kurs. Analiza matematikore. Sigurisht, këto nuk janë të gjitha llojet e problemeve të ofruara nga ekzaminuesit, por vetëm kufijtë më të thjeshtë. Ne do të flasim për lloje të tjera detyrash në artikujt e ardhshëm, por së pari ju duhet të mësoni këtë mësim në mënyrë që të ecni përpara. Le të diskutojmë se çfarë të bëjmë nëse ka rrënjë, gradë, të studiojmë funksione ekuivalente pafundësisht të vogla, kufij të mrekullueshëm, rregullin e L'Hopital.

Nëse nuk mund t'i kuptoni vetë kufijtë, mos u frikësoni. Ne jemi gjithmonë të lumtur të ndihmojmë!