Problemi 1 Mund të marrësh me qira një varkë në vendin e kampit. Çmimi i qirasë përcaktohet si më poshtë: për orën e parë duhet të paguani 100 rubla, dhe për secilën pasuese (të plotë ose jo të plotë) - 55 rubla. Sa rubla duhet të paguani për një varkë të marrë me qira për një orë, për dy orë, për tre orë, etj.?
Përfundim: 1. Nëse d> 0, atëherë progresioni aritmetik është në rritje. 2. Nëse d 0, atëherë progresioni aritmetik po rritet. 2. Nëse d "> 0, atëherë progresioni aritmetik është në rritje. 2. Nëse d"> 0, atëherë progresioni aritmetik është në rritje. 2. Nëse d "title =" (! GJUHA: Dalja: 1. Nëse d> 0, atëherë progresioni aritmetik po rritet. 2. Nëse d"> title="Përfundim: 1. Nëse d> 0, atëherë progresioni aritmetik është në rritje. 2. Nëse d"> !}
1. Anëtari pasues i progresionit aritmetik Anëtari i mëparshëm ap "title =" (! LANG :: Vetia karakteristike e progresionit aritmetik: Çdo anëtar i progresionit aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy termave fqinjë. dmth n> 1. Termi pasues i progresionit aritmetik Termi i mëparshëm ap" class="link_thumb"> 23 !}: Një veti karakteristike e një progresion aritmetik: Çdo anëtar i një progresion aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy termave fqinjë, d.m.th. n> 1. Anëtari pasues i progresionit aritmetik Anëtari i mëparshëm i progresionit aritmetik 1. Anëtari pasues i progresionit aritmetik Anëtari i mëparshëm ap "> 1. Anëtari pasues i progresionit aritmetik Anëtari i mëparshëm i progresionit aritmetik"> 1. Anëtari pasues i progresionit aritmetik Anëtari i mëparshëm ap "title =" (! LANG :: Veti karakteristike e progresionit aritmetik : Secili anëtar i aritmetikës së progresionit, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy termave fqinjë, dmth, n> 1. Termi pasues i progresionit aritmetik Termi i mëparshëm ap"> title=": Një veti karakteristike e një progresion aritmetik: Çdo anëtar i një progresion aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy termave fqinjë, d.m.th. n> 1. Termi pasues i progresionit aritmetik Termi i mëparshëm ap"> !}
Problemi 1 * Mund të marrësh me qira një varkë në vendin e kampit. Çmimi i qirasë përcaktohet si më poshtë: për orën e parë duhet të paguani 100 rubla, dhe për secilën pasuese (të plotë ose jo të plotë) - 55 rubla. Sa rubla duhet të paguani për një varkë të marrë me qira për dy ditë?
Çfarë thelbi kryesor formulat?
Kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë ME NUMRIN E TIJ" n " .
Sigurisht, duhet të dini edhe termin e parë. a 1 dhe ndryshimi i progresionit d, mirë, pa këto parametra, nuk mund të regjistroni një progresion specifik.
Nuk mjafton të mësosh përmendësh (ose të lëshosh) këtë formulë. Është e nevojshme të përvetësohet thelbi i saj dhe të zbatohet formula në detyra të ndryshme. Për më tepër, mos harroni në kohën e duhur, po ...) Si mos harro- Une nuk e di. Dhe këtu si të mbani mend nëse është e nevojshme, do t'ju them saktësisht. Ata që e zotërojnë mësimin deri në fund.)
Pra, le të merremi me formulën për mandatin e n-të të progresionit aritmetik.
Çfarë është një formulë në përgjithësi - ne mund ta imagjinojmë.) Çfarë është një progresion aritmetik, numri i një anëtari, ndryshimi në progresion - është në dispozicion në mësimin e mëparshëm. Meqë ra fjala, hidhini një sy nëse nuk e keni lexuar. Gjithçka është e thjeshtë atje. Mbetet për të kuptuar se çfarë është mandati i nëntë.
Përparimi në pamje e përgjithshme mund të shkruhet si një seri numrash:
një 1, një 2, një 3, një 4, një 5, .....
a 1- tregon anëtarin e parë të një progresion aritmetik, a 3- mandati i tretë, a 4- e katërta, e kështu me radhë. Nëse jemi të interesuar për mandatin e pestë, të themi se po punojmë a 5 nëse njëqind e njëzet - nga një 120.
Dhe si të caktoni në terma të përgjithshëm ndonjë anëtar i progresionit aritmetik, s ndonjë numri? Shume e thjeshte! Si kjo:
a n
Kjo është ajo që është termi i n-të i progresionit aritmetik. Shkronja n fsheh të gjithë numrat e anëtarëve menjëherë: 1, 2, 3, 4, e kështu me radhë.
Dhe çfarë na jep një regjistrim i tillë? Thjesht mendoni, në vend të një numri ata shkruan një letër ...
Kjo hyrje na jep një mjet të fuqishëm për të punuar me progresionin aritmetik. Duke përdorur shënimin a n, ne mund ta gjejmë shpejt ndonjë anëtar ndonjë progresion aritmetik. Dhe për të zgjidhur një mori problemesh në progresion. Do ta shihni vetë.
Në formulën për mandatin e n-të të progresionit aritmetik:
| a n = a 1 + (n-1) d |
a 1- anëtari i parë i progresionit aritmetik;
n- numri i anëtarit.
Formula lidh parametrat kryesorë të çdo progresi: a n; a 1; d dhe n. Të gjitha problemet në progresion sillen rreth këtyre parametrave.
Formula e termit të n-të mund të përdoret gjithashtu për të regjistruar një progresion specifik. Për shembull, problemi mund të thotë se përparimi specifikohet nga kushti:
a n = 5 + (n-1) 2.
Një problem i tillë madje mund të ngatërrojë ... Nuk ka asnjë rresht, asnjë ndryshim ... Por, duke krahasuar gjendjen me formulën, është e lehtë të kuptosh se në këtë progresion a 1 = 5 dhe d = 2.
Dhe kjo ndodh edhe më shumë!) Nëse marrim të njëjtin kusht: a n = 5 + (n-1) 2, po te hapen kllapat dhe te sjell te ngjashme? Le të marrim një formulë të re:
a n = 3 + 2n.
atë Vetëm jo e përgjithshme, por për një progresion specifik. Këtu fshihet gracka. Disa njerëz mendojnë se mandati i parë është një treshe. Edhe pse në realitet termi i parë është një pesë ... Pak më vonë do të punojmë me një formulë të tillë të modifikuar.
Në detyrat për përparimin, gjendet një përcaktim tjetër - a n + 1... Ky është, e keni marrë me mend, termi "en plus first" në progresion. Kuptimi i tij është i thjeshtë dhe i padëmshëm.) Është pjesëtar i progresionit, numri i të cilit është më i madh se n nga një. Për shembull, nëse në ndonjë problem marrim për a n mandati i pestë atëherë a n + 1 do të jetë anëtari i gjashtë. etj.
Më shpesh emërtimi a n + 1 ndodh në formula rekursive. Mos u frikësoni nga kjo fjalë e tmerrshme!) Kjo është vetëm një mënyrë për të shprehur një anëtar të një progresion aritmetik përmes të mëparshmit. Supozoni se na është dhënë një progresion aritmetik si ky, duke përdorur një formulë të përsëritur:
a n + 1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
E katërta - deri në të tretën, e pesta - deri në të katërtin, e kështu me radhë. Dhe si të numëroni menjëherë, të themi, termin e njëzetë, një 20? Por në asnjë mënyrë!) Derisa të njihet mandati i 19-të, i 20-ti nuk mund të llogaritet. Kjo është dallimi themelor formula rekursive nga formula e termit të n-të. Recurrent funksionon vetëm përmes e mëparshme termi, dhe formula e mandatit të n-të është përmes së pari dhe lejon menjëherë gjeni ndonjë anëtar me numrin e tij. Pa numëruar të gjithë serinë e numrave me radhë.
Në një progresion aritmetik, një formulë e përsëritur mund të shndërrohet lehtësisht në një të zakonshme. Numëroni një çift termash të njëpasnjëshëm, llogarisni diferencën d, gjeni, nëse është e nevojshme, termin e parë a 1, shkruani formulën në formën e saj të zakonshme dhe punoni me të. Në GIA, detyra të tilla hasen shpesh.
Zbatimi i formulës për anëtarin n të një progresion aritmetik.
Së pari, le të shohim zbatimin e drejtpërdrejtë të formulës. Në fund të mësimit të mëparshëm, kishte një problem:
Ju jepet një progresion aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 = 3 dhe d = 1/6.
Ky problem mund të zgjidhet pa asnjë formula, thjesht duke u nisur nga kuptimi i progresionit aritmetik. Shtoni, po shtoni ... një ose dy orë.)
Dhe sipas formulës, zgjidhja do të zgjasë më pak se një minutë. Mund ta caktoni.) Ne vendosim.
Kushtet ofrojnë të gjitha të dhënat për përdorimin e formulës: a 1 = 3, d = 1/6. Mbetet për të kuptuar se me çfarë është e barabartë n. Nuk ka problem! Duhet të gjejmë një 121... Kështu shkruajmë:
Ju lutemi kushtojini vëmendje! Në vend të një indeksi n u shfaq një numër specifik: 121. që është mjaft logjike.) Na intereson një anëtar i progresionit aritmetik numri njëqind e njëzet e një. Kjo do të jetë e jona n.Është ky kuptimi n= 121 ne do të zëvendësojmë më tej në formulë, në kllapa. Ne zëvendësojmë të gjithë numrat në formulë dhe llogarisim:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23
Kjo është gjithçka që ka për të. Po aq shpejt dikush mund të gjente termin e pesëqind e dhjetë, dhe një mijë e tre, cilindo. Ne vendosëm në vend n numrin e dëshiruar në indeksin në shkronjën " nje " dhe në kllapa, dhe ne numërojmë.
Më lejoni t'ju kujtoj pikën: kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë termi i progresionit aritmetik ME NUMRIN E TIJ" n " .
Le ta zgjidhim detyrën më dinake. Le të kemi një problem të tillë:
Gjeni termin e parë të progresionit aritmetik (a n) nëse a 17 = -2; d = -0,5.
Nëse keni ndonjë vështirësi, unë do t'ju tregoj hapin e parë. Shkruani formulën për mandatin e n-të të progresionit aritmetik! Po Po. Shkruani me duart tuaja, pikërisht në fletoren tuaj:
| a n = a 1 + (n-1) d |
Dhe tani, duke parë shkronjat e formulës, kuptojmë se çfarë të dhënash kemi dhe çfarë mungon? ka d = -0.5, ka një anëtar të shtatëmbëdhjetë ... A është kjo e gjitha? Nëse mendoni se kjo është e gjitha, atëherë nuk do ta zgjidhni problemin, po...
Kemi ende një numër n! Ne gjendje a 17 = -2 i fshehur dy parametra. Kjo është edhe vlera e termit të shtatëmbëdhjetë (-2) dhe numri i tij (17). ato. n = 17. Kjo “gjakësi” shpesh rrëshqet nga koka dhe pa të, (pa “të vogël”, dhe jo kokën!) Problemi nuk mund të zgjidhet. Edhe pse ... pa kokë, gjithashtu.)
Tani thjesht mund të zëvendësoni marrëzi të dhënat tona në formulën:
a 17 = a 1 + (17-1) (-0,5)
Oh po, një 17 ne e dimë se është -2. Mirë, le të zëvendësojmë:
-2 = a 1 + (17-1) (-0,5)
Kjo, në thelb, është e gjitha. Mbetet të shprehim termin e parë të progresionit aritmetik nga formula dhe të llogarisim. Përgjigja do të jetë: a 1 = 6.
Kjo teknikë - shkrimi i një formule dhe një zëvendësim i thjeshtë i të dhënave të njohura - ndihmon shumë në detyra të thjeshta. Epo, sigurisht, duhet të jeni në gjendje të shprehni një ndryshore nga një formulë, por çfarë të bëni !? Pa këtë aftësi, matematika mund të shmanget fare ...
Një tjetër enigmë popullore:
Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik (a n) nëse a 1 = 2; a 15 = 12.
Cfare po bejme? Do të habiteni, ne po shkruajmë formulën!)
| a n = a 1 + (n-1) d |
Konsideroni atë që dimë: a 1 = 2; a 15 = 12; dhe (do ta theksoj posaçërisht!) n = 15. Mos ngurroni të zëvendësoni në formulën:
12 = 2 + (15-1) d
Ne numërojmë aritmetikë.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Kjo është përgjigja e saktë.
Pra, detyra për a n, a 1 dhe d zgjidhur. Mbetet për të mësuar se si të gjeni numrin:
Numri 99 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), ku a 1 = 12; d = 3. Gjeni numrin e këtij anëtari.
Ne zëvendësojmë sasitë e njohura për ne në formulën për termin e n-të:
a n = 12 + (n-1) 3
Në shikim të parë, ka dy të panjohura: një n dhe n. Por a nështë ndonjë anëtar i progresionit me një numër n... Dhe ne e njohim këtë anëtar të progresionit! Është 99. Nuk e dimë numrin e tij. n, kështu që kërkohet të gjendet ky numër. Ne e zëvendësojmë termin e progresionit 99 në formulën:
99 = 12 + (n-1) 3
Ne shprehemi nga formula n, konsideroni. Ne marrim përgjigjen: n = 30.
Dhe tani një enigmë për të njëjtën temë, por më kreative):
Përcaktoni nëse numri 117 është anëtar i progresionit aritmetik (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Ne shkruajmë formulën përsëri. Çfarë, nuk ka parametra? Hm ... Pse na janë dhënë sytë?) Shihni anëtarin e parë të progresionit? Ne shohim. Kjo është -3.6. Ju mund të shkruani me siguri: a 1 = -3,6. Diferenca d mund të përcaktohet nga një numër? Është e lehtë nëse e dini se cili është ndryshimi i një progresion aritmetik:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Pra, bëmë gjënë më të thjeshtë. Mbetet të merremi me një numër të panjohur n dhe një numër i pakuptueshëm 117. Në problemin e mëparshëm të paktën dihej se ishte pjesëtar i progresionit që jepej. Dhe këtu ne as nuk e dimë ... Si të jemi !? Epo, si të jesh, si të jesh ... Përfshi Aftësitë krijuese!)
ne supozojmë se 117 është, në fund të fundit, një anëtar i progresionit tonë. Me një numër të panjohur n... Dhe, ashtu si në detyrën e mëparshme, le të përpiqemi të gjejmë këtë numër. ato. ne shkruajmë formulën (po, po!)) dhe zëvendësojmë numrat tanë:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Përsëri shprehemi nga formulan, numërojmë dhe marrim:
Oops! Numri doli thyesore! Njëqind e një e gjysmë. Dhe numrat thyesorë në progresione nuk mund të jetë.Çfarë përfundimi mund të nxjerrim? Po! Numri 117 nuk eshte një anëtar i përparimit tonë. Është diku midis anëtarëve të njëqind e parë dhe njëqind e dytë. Nëse numri doli i natyrshëm, d.m.th. një numër i plotë pozitiv, atëherë numri do të ishte anëtar i progresionit me numrin e gjetur. Dhe në rastin tonë, përgjigja e problemit do të jetë: nr.
Bazuar në detyrë opsion real GIA:
Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushti:
a n = -4 + 6,8n
Gjeni anëtarët e parë dhe të dhjetë të progresionit.
Këtu përparimi nuk është vendosur në një mënyrë krejtësisht të njohur. Një lloj formule ... Ndodh.) Sidoqoftë, kjo formulë (siç kam shkruar më lart) - është gjithashtu një formulë për termin e n-të të një progresion aritmetik! Ajo gjithashtu lejon gjeni ndonjë anëtar të progresionit sipas numrit të tij.
Ne jemi në kërkim të anëtarit të parë. Ai që mendon. se termi i parë është minus katër, është gabim fatal!) Sepse formula në problem është modifikuar. Termi i parë i progresionit aritmetik në të i fshehur. Asgjë, do ta gjejmë tani.)
Ashtu si në detyrat e mëparshme, ne zëvendësojmë n = 1 në këtë formulë:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Këtu! Termi i parë është 2.8, jo -4!
Në mënyrë të ngjashme, ne kërkojmë termin e dhjetë:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Kjo është gjithçka që ka për të.
Dhe tani, për ata që kanë lexuar në këto rreshta - bonusi i premtuar.)
Supozoni, në një situatë të vështirë luftarake të GIA ose USE, ju keni harruar një formulë të dobishme për termin e n-të të një progresion aritmetik. Diçka kujtohet, por disi e pasigurt ... Ose n atje ose n + 1, ose n-1 ... Si të jesh !?
Qete! Kjo formulë është e lehtë për t'u nxjerrë në përfundimin. Jo shumë strikte, por për besim dhe vendim i saktë mjafton!) Për një përfundim, mjafton të mbani mend kuptimin elementar të progresionit aritmetik dhe të keni disa minuta kohë. Thjesht duhet të vizatoni një figurë. Për qartësi.
Vizatoni një bosht numerik dhe shënoni të parin në të. e dyta, e treta etj. anëtarët. Dhe vini re ndryshimin d ndërmjet anëtarëve. Si kjo:
Ne shikojmë figurën dhe kuptojmë: me çfarë është i barabartë termi i dytë? Së dyti nje gje d:
a 2 = a 1 + 1 D
Cili është termi i tretë? Së treti termi është i barabartë me termin e parë plus dy d.
a 3 = a 1 + 2 D
E kuptoni? Jo më kot i veçoj disa fjalë me shkronja të zeza. Mirë, një hap më shumë).
Cili është termi i katërt? Së katërti termi është i barabartë me termin e parë plus tre d.
a 4 = a 1 + 3 D
Është koha të kuptojmë se numri i boshllëqeve, d.m.th. d, gjithmonë një më pak se numri i termit të kërkuar n. Kjo është, në numrin n, numri i intervaleve do n-1. Prandaj, formula do të jetë (pa opsione!):
| a n = a 1 + (n-1) d |
Në përgjithësi, fotografitë pikturale janë shumë të dobishme për zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë. Mos i lini pas dore fotot. Por nëse është e vështirë të vizatoni një figurë, atëherë ... vetëm një formulë!) Për më tepër, formula e termit të nëntë ju lejon të lidhni me zgjidhjen të gjithë arsenalin e fuqishëm të matematikës - ekuacione, pabarazi, sisteme, etj. Ju nuk mund të vendosni një fotografi në një ekuacion ...
Detyrat për zgjidhje të pavarur.
Për tu ngrohur:
1. Në një progresion aritmetik (a n) a 2 = 3; a 5 = 5.1. Gjeni një 3.
Këshillë: sipas figurës, problemi zgjidhet në 20 sekonda ... Sipas formulës, rezulton më e vështirë. Por për të zotëruar formulën është më e dobishme.) Seksioni 555 e zgjidhi këtë problem si me figurë ashtu edhe me formulë. Ndjeje ndryshimin!)
Dhe kjo nuk është më një ngrohje.)
2. Në progresionin aritmetik (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Gjeni një 3.
Çfarë, ngurroni të vizatoni një foto?) Sigurisht! Më mirë sipas formulës, po...
3. Progresioni aritmetik specifikohet nga kushti:a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Gjeni termin e njëqind e njëzet e pestë të këtij progresioni.
Në këtë detyrë, përparimi jepet në mënyrë të përsëritur. Por duke numëruar deri në termin e njëqind e njëzet e pestë ... Jo të gjithë mund ta bëjnë një sukses të tillë.) Por formula e termit të n-të është në fuqinë e të gjithëve!
4. Jepet një progresion aritmetik (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Gjeni numrin e termit pozitiv më të vogël në progresion.
5. Sipas kushtit të detyrës 4, gjeni shumën e anëtarëve më të vegjël pozitivë dhe më të mëdhenj negativë të progresionit.
6. Prodhimi i anëtarëve të pestë dhe të dymbëdhjetë të progresionit aritmetik në rritje është -2,5, dhe shuma e anëtarëve të tretë dhe të njëmbëdhjetë është zero. Gjeni një 14.
Jo detyra më e lehtë, po ...) Këtu, metoda "në gishta" nuk do të funksionojë. Do të na duhet të shkruajmë formula dhe të zgjidhim ekuacione.
Përgjigjet (në rrëmujë):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Ka ndodhur? Eshte mire!)
Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Nga rruga, ka një pikë delikate në detyrën e fundit. Do të kërkohet kujdes gjatë leximit të problemit. Dhe logjika.
Zgjidhja e të gjitha këtyre problemeve diskutohet në detaje në seksionin 555. Dhe elementi i fantazisë për të katërtin, dhe momenti delikat për të gjashtën, dhe qasjet e përgjithshme për zgjidhjen e çdo problemi mbi formulën e termit të nëntë - gjithçka është shkruar. . Rekomandoni.
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi i menjëhershëm i vërtetimit. Mësimi - me interes!)
mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Skica e mësimit me temën: "Formulananëtari progresion gjeometrik". Përgatitja për provim.
qëllimi kryesor: për të konsoliduar konceptin e një progresion gjeometrik;
t'i njohë nxënësit me formulën e mandatit të n-të të një progresion gjeometrik;
zbatimi i kësaj formule dhe vetitë me shembuj dhe problema.
UMK: Algjebra. Klasa e 9. Libër mësuesi për studentët e institucioneve arsimore / (A.G. Mordkovich dhe të tjerë); nën redaksinë e A.G. Mordkovich.-ed. 11, ster. - M .: Mnemozina, 2009.-255 f.: ill.
Klasa: 9
Lloji i mësimit: një mësim për të mësuar materiale të reja.
Gjatë orëve të mësimit.
Koha e organizimit (1 minutë)
Mësuesja përshëndet fëmijët.
Punë me gojë. (9 min)
Gjeni mesataren gjeometrike të numrave 16 dhe 25; 9 dhe 36; 49 dhe 81; 12 dhe 25.
Zgjidheni ekuacionin: b 2 = 3, b 2 = -3, b 3 = -27, x 6 = 164.
Ekziston një substancë radioaktive me peshë 256 g, pesha e së cilës përgjysmohet në ditë. Sa do të jetë masa e substancës në ditën e dytë? Në ditën e tretë? Në ditën e tetë? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)
Ju dhe unë shohim se sekuenca që kemi marrë është ... një progresion gjeometrik. Le të kujtojmë përkufizimin e tij.
Jepet një përkufizim : Progresioni gjeometrik është një sekuencë numrash jozero, secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër.
Pyetje: - Si fitohet termi i dytë i vargut? E treta? E teta? (Duke pjesëtuar termin e mëparshëm me 2 ose duke e shumëzuar me12 ). Ky numër quhet emërues gjeometrik progresionet dhe shënojnë q .
Ekzaminimi detyre shtepie(5 minuta)
Mësimi i materialit të ri. (10 min)
Shkruani sekuencën që korrespondon me gjendjen e problemit.
V kushte të favorshme bakteret shumohen në mënyrë që brenda një minute secila prej tyre ndahet në dysh. Sa baktere u shfaqën në minutën e 5-të? (shih fig. 1)
Sa do të jenë në tre minuta?
Në minutën e 1 - 2
në minutën e 2-të - 4
në minutën e 3-të - 8
në minutën e 4-të - 16
në minutën e 5-të - 32
A mund të vazhdojmë?
në minutën e 6-64
në minutën e 7-të - 128
në minutën e 8-të - 256
në minutën e 9-të - 512
në minutën e 10-të - 1024
në minutën e 11-të - 2048
në minutën e 12-të - 4096
në minutën e 13-të - 8192
Prodhimi: prandaj, nevojitet një formulë për të gjetur termin e n-të të një progresion gjeometrik.
Konsideroni një progresion gjeometrik b 1; b 2; b 3, ..., b n, me emërues q. Ne kemi:
b 1 = b 1
b 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q 2
b 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 3
b 5 = b 3 q = (b 1 q 3) q = b 1 q 4, etj.
Është e lehtë të merret me mend se për çdo n pabarazi
b n = b 1 q n - 1
atënanëtari i një progresion gjeometrik.
Le të përpiqemi të kontrollojmë vlefshmërinë e kësaj formule për problemin me bakteret tashmë të njohura për ne. Le të numërojmë termin e 5-të të sekuencës
b n = b 1 q n - 1= b 5 = b 1 q 5-1 = 1 2 4 = 1 16 = 16.
b n = b 1 q n - 1 = b 11 = b 1 q 11 - 1 = 1 2 10 = 1 10 1024 = 1024.
Konsolidimi i materialit të studiuar: (10)
OL Shembulli 1-2.
UCH: Nr. 17.10 (a, b),
Nr. 17.11 (a, b),
Nr. 17.12 (a, b)
Edukim fizik (1 min)
Përgatitja për provim. (15 minuta)
Kartat
Detyrë shtëpie: (1 min.)
Nr. 17.10 (c, d), 17.12 (c, d), 17.14, 17.16
Përmbledhja e mësimit (1 min)
Problemi nr.1
Për të gjetur shumën progresion aritmetik ne kemi dy formula.
përparimi i diferencës.
d = a2-a1 = -5 - (- 7) = 2.
Ne zëvendësojmë gjithçka në formulën:
S50 = 50 * (2 * (- 7) + (50-1) * 2) / 2 = 50 * (- 14 + 98) / 2 = 50 * 42 = 2100
Përgjigje: S50 = 2100
Problemi nr.2
d = a2-a1 = 3-1 = 2.
Ne zëvendësojmë gjithçka në formulën:
S60 = 60 * (2 * 1 + (60-1) * 2) / 2 = 30 * (2 + 118) = 30 * 120 = 3600
Përgjigje: S60 = 3600
Problemi nr.3
Duke ditur se an + 1 = an + 4, d.m.th. a10 = a9 + 4, sigurisht që mund të llogaritni të gjitha 10 kushtet e para të sekuencës, por kjo është e mundimshme. Për më tepër, nëse do të kërkohej llogaritja e mandatit të 300-të, do të duhej një kohë shumë e gjatë.
Ekziston një mënyrë më e lehtë:
V progresion aritmetik an = a1 + (n-1) d, vetëm d është i panjohur për ne. Mund ta llogaritni me formulën: d = an + 1-an
Duke përdorur këtë formulë dhe deklaratën e problemit, shohim se d = 4. Pastaj:
a10 = a1 + (10-1) 4
a10 = 3 + 9 * 4 = 39 Përgjigje: a10 = 39
Problemi nr.4
Duke ditur se bn + 1 = 1/2 * bn, d.m.th. b7 = 1/2 * b6, sigurisht që mund të llogaritni të gjitha 7 termat e parë të sekuencës, por kjo është e mundimshme. Për më tepër, nëse do të kërkohej llogaritja e mandatit të 300-të, do të duhej një kohë shumë e gjatë.
Ekziston një mënyrë më e lehtë:
V progresion gjeometrik bn = b1qn-1, nuk dimë vetëm q. Mund ta llogaritni me formulën: bn + 1 / bn = q
Duke përdorur këtë formulë dhe deklaratën e problemit, shohim se q = 1/2. Pastaj:
b7 = b1 (1/2) (7-1)
b7 = -128 * (1/2) 6 = -128 * 1/64 = -2.
Përgjigje: b7 = -2
Problemi nr.5
Për të gjetur shumën e 4 termave të parë të një të dhënë progresion gjeometrik, do të përdorim formulat... Në rastin tonë, është më i përshtatshëm për të përdorur të parën. Për ta bërë këtë, duhet të zbuloni b1 - termin e parë të progresionit dhe q - emërues i progresionit.
b1 = 62,5 * 21 = 125 (nga deklarata e problemit). Dhe q = 2.
Atëherë S4 = 125 * (1-24) / (1-2) = 125 * (1-16) / (- 1) = 125 * 15 = 1875
Përgjigje: S4 = 1875
Problemi nr. 6
Në një progresion eksponencial, shuma e anëtarëve të parë dhe të dytë është 75, dhe shuma e anëtarëve të dytë dhe të tretë është 150. Gjeni tre anëtarët e parë të këtij progresioni.
bn = b1qn-1
Atëherë b2 = b1q2-1 = b1q
Sipas kushtit:
1) b1 + b2 = 75
b1 + b1q = 75
b1 (1 + q) = 75
2) b2 + b3 = 150
b1q + b1q2 = 150
b1 (q + q2) = 150
b1 (q + 1) q = 150
Zëvendësim nga pika 1)
75q = 150 = q = 2, pastaj b1 (1 + 2) = 75 = b1 = 25
b2 = 25 * 2 = 50
b3 = 25 * 22 = 100
Përgjigje: b1 = 25, b2 = 50, b3 = 100
Problemi nr.7
Në këtë rast, në vend të përdorimit formulat për progresion gjeometrik, është më e lehtë ta zgjidhësh këtë problem “kokë më kokë”. ato. gjeni b2, b3, ..., b7.
b1 = 64 (sipas kushtit).
b2 = b1 * 1/2 = 64 * 1/2 = 64/2 = 32
b3 = b2 * 1/2 = 32/2 = 16
b4 = 16/2 = 8
b5 = 8/2 = 4
b6 = 4/2 = 2
b7 = 2/2 = 1 Përgjigje: b7 = 1
| Karta 1 №1 . Është dhënë një progresion aritmetik: -7; -5; -3; ... Gjeni shumën e pesëdhjetë të parëve të anëtarëve të saj. №2 . Është dhënë një progresion aritmetik: 1; 3; 5; …. Gjeni shumën e gjashtëdhjetë të parëve të anëtarëve të saj. №3. Progresioni aritmetik (a n) jepet nga kushtet: a 1 = 3, a n + 1 = a n +4. Gjeni një 10. №4. Progresioni gjeometrik (b n) jepet nga kushtet: b 1 = –128, b n + 1 = 1/2 * b n. Gjeni b 7. №5. Progresioni gjeometrik specifikohet nga kushti b n = 62,5 * 2 n. Gjeni shumën e 4 anëtarëve të tij të parë. №6 №7. Progresioni gjeometrik (b n) jepet nga kushtet: b 1 = 64, b n + 1 = b n * 1/2. Gjeni b 7. |
| Karta 1 №1 . Është dhënë një progresion aritmetik: -7; -5; -3; ... Gjeni shumën e pesëdhjetë të parëve të anëtarëve të saj. №2 . Është dhënë një progresion aritmetik: 1; 3; 5; …. Gjeni shumën e gjashtëdhjetë të parëve të anëtarëve të saj. №3. Progresioni aritmetik (a n) jepet nga kushtet: a 1 = 3, a n + 1 = a n +4. Gjeni një 10. №4. Progresioni gjeometrik (b n) jepet nga kushtet: b 1 = –128, b n + 1 = 1/2 * b n. Gjeni b 7. №5. Progresioni gjeometrik specifikohet nga kushti b n = 62,5 * 2 n. Gjeni shumën e 4 anëtarëve të tij të parë. №6 ... Në një progresion eksponencial, shuma e anëtarëve të parë dhe të dytë është 75, dhe shuma e anëtarëve të dytë dhe të tretë është 150. Gjeni tre anëtarët e parë të këtij progresioni. № 7. Progresioni gjeometrik (bn) jepet nga kushtet: b 1 = 64, bn + 1= bn* 1/2. Gjeni b 7 . |
Problemi # 3 nga 127. Numri i problemit në WWW.FIPI.RU - 1C5D03
Trego zgjidhjen e problemit
Është dhënë një progresion aritmetik: -6; -2; 2; ... Gjeni shumën e pesëdhjetë të parëve të anëtarëve të saj.
Për të gjetur shumën progresion aritmetik ne kemi dy formula.
ne nuk e dimë a50, kështu që ne do të përdorim formulën e dytë. Për këtë, ne gjejmë d - përparimi i diferencës.
d = a2-a1 = -2 - (- 6) = 4.
Ne zëvendësojmë gjithçka në formulën:
S50 = 50 * (2 * (- 6) + (50-1) * 4) / 2 = 50 * (- 12 + 196) / 2 = 50 * 92 = 4600
Përgjigje: S50 = 4600
Problemi # 4 nga 127. Numri i problemit në WWW.FIPI.RU - FD1ABB
Trego zgjidhjen e problemit
Është dhënë një progresion aritmetik: -1; 2; 5; …. Gjeni shumën e pesëdhjetë e pesë anëtarëve të parë të tij.
Për të gjetur shumën progresion aritmetik ne kemi dy formula.
ne nuk e dimë a55, prandaj le të përdorim formulën e dytë. Për këtë, ne gjejmë d - përparimi i diferencës.
d = a2-a1 = 2 - (- 1) = 3.
Ne zëvendësojmë gjithçka në formulën:
S55 = 55 * (2 * (- 1) + (55-1) * 3) / 2 = 55 * (- 2 + 162) / 2 = 55 * 80 = 4400
Përgjigje: S55 = 4400
Problemi # 19 nga 127. Numri i problemit në WWW.FIPI.RU - 34D7F8
Trego zgjidhjen e problemit
Tre anëtarët e parë të progresionit aritmetik shkruhen: 20; 17; 14. Cili numër ndodhet në vendin e 91-të në këtë progresion aritmetik?
mandati i nëntë progresion aritmetikështë e barabartë me a1 + (n-1) d
a1 = 20
d = a2-a1 = 17-20 = -3
a91 = a1 + (n-1) d = 20 + (91-1) (- 3) = 20-270 = -250
Përgjigje: a91 = -250
Problemi numër 22 nga 127. Numri i problemit në WWW.FIPI.RU - 4CBA5B
Trego zgjidhjen e problemit
Shkruhen tre anëtarët e parë të progresionit aritmetik: -4; 2; tetë; … Cili numër është në vendin e 81-të në këtë progresion aritmetik?
mandati i nëntë progresion aritmetikështë e barabartë me a1 + (n-1) d
a1 = -4
d = a2-a1 = 2 - (- 4) = 6
a81 = a1 + (n-1) d = -4 + (81-1) 6 = -4 + 480 = 476
Përgjigje: a81 = 476
Numri i problemit 79 nga 127. Numri i problemit në WWW.FIPI.RU - 4C12DC
Trego zgjidhjen e problemit
Anëtarët e parë të progresionit aritmetik shkruhen: -7; -5; -3; ... Gjeni termin e tij të gjashtëmbëdhjetë.
mandati i nëntë progresion aritmetikështë e barabartë me a1 + (n-1) d
a1 = -7 (sipas kushtit)
a2 = -5 (sipas kushtit)
d = a2-a1 = -5 - (- 7) = 2
a16 = a1 + (n-1) d = -7 + (16-1) 2 = -7 + 30 = 23
Përgjigje: a16 = 23
Problemi # 82 nga 127. Numri i problemit në WWW.FIPI.RU - 4D6C7C
Trego zgjidhjen e problemit
Ju jepet një progresion gjeometrik (b n), emëruesi i të cilit është 2, b 1 = 16. Gjeni b 4.
Çdo anëtar progresion gjeometrik mund të shprehet në termat e termit të parë.
bn = b1qn-1
Prandaj, b4 = b1q4-1 = b1q3 = 16 * 23 = 16 * 8 = 128
Përgjigje: 128
Depozita me afat në bankën e kursimeve u rrit me 5% në vit. Cili do të jetë kontributi në 8 vjet, nëse në fillim ishte i barabartë me 1000 rubla? (1000; 1050; 1102.5; 1157.625; ...) Pyetje: Si fitohet termi i dytë i vargut? E treta? E teta? (Duke shumëzuar atë të mëparshmen me 1.05).