Progresioni gjeometrik- një sekuencë numerike jo zero e formuar si rezultat i shumëzimit të çdo termi pasues me një koeficient të caktuar që nuk është i barabartë me zero.
Përcaktimi i sekuencës
Para se të merret me progresion, duhet kuptuar përkufizimi i një sekuence numerike dhe ligjin me të cilin është vendosur. Kujtoni serinë natyrore - sekuenca e parë numerike që ne studiojmë përsëri kopshti i fëmijëve. Këta janë numra të plotë që përdoren për të rinumëruar artikujt. Fillimi duket si ky:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...n
Nëse çdo numër i serisë natyrore lidhet me një numër tjetër të formuar sipas formulë të caktuar, marrim një sekuencë të re:
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... an
Numri an është një anëtar i përbashkët i sekuencës dhe ligjit që formon elementet e serisë. Natyrisht, formula për vendosjen e serisë natyrore është thjesht n. Për një sekuencë numrash çift, çdo element dhe term i përbashkët jepet me formulën 2n, dhe për numrat tek - 2n − 1.
Progresione aritmetike dhe gjeometrike
Një shembull tjetër i përparimit eksponencial është përhapja epidemike e gripit. Për shembull, një pacient në ditë mund të infektojë 12 persona, secili nga 12 do të infektojë edhe 12 persona të tjerë, kështu që në ditën e dytë do të ketë 144 pacientë, në të tretën - 1,728, dhe në të katërtin - 20,736.
Programi ynë gjeneron një progresion gjeometrik të vlerës së zgjedhur. Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të vendosni vlerën e termit të parë në qelizën "Numri i parë", emëruesi i progresionit në qelizën "Diferenca (hapi)" dhe numri i elementeve të sekuencës në "E fundit". qelizë numër". Pas kësaj, programi do të sigurojë numra që korrespondojnë me ligjin e progresionit gjeometrik.
Le të shohim një shembull
Lojë me para me postë
Në kohët sovjetike, kishte një mashtrim të bazuar në parimin e progresionit gjeometrik. Thelbi i mashtrimit është si më poshtë. Njerëzit morën letra me 5 adresa dhe udhëzime:
- dërgoni në adresat për 1 rubla;
- kaloni adresën e parë dhe shkruani të pestën;
- dërgoni letra ftese me adresat e specifikuara për miqtë dhe të njohurit tuaj.
Aventurierët dhanë një shpjegim logjik për mekanizmin e pasurimit. Në të vërtetë, nëse njerëzit e ftuar nga ju dërgojnë nga 1 rubla secili, atëherë ju do t'i ktheni paratë e shpenzuara. Pesë pjesëmarrës të ftuar në lojë do t'u dërgojnë letra miqve të tyre, në të cilat adresa juaj tregohet në numrin 4. Numri i letrave të tilla është tashmë 25, dhe vala tjetër e të ftuarve do t'ju dërgojë gjithsej 25 rubla. Pas kësaj, 25 persona do të dërgojnë 5 letra secila, ku adresa juaj është e treta dhe kjo është tashmë 125 zarfe nga 1 rubla secila.
Sa para premtuan mashtruesit në fund të raundit të ftesave? Përgjigja qëndron në një progresion të thjeshtë gjeometrik. Sipas versionit të tyre, do të ketë 5 valë ftesash me adresën tuaj. Meqenëse nuk e marrim parasysh njësinë, por fillojmë me 5 shkronja, numri i fundit do të jetë i barabartë me 6. I pari, natyrisht, është 1. Hapi i progresionit tonë gjeometrik është 5. Ne i futim këto të dhëna në qeliza të kalkulatorit dhe merrni sekuencën:
1, 5, 25, 125, 625, 3125,
shuma e elementeve të sekuencës në këtë rast është 3906. Ishte fitimi prej 3906 rubla që mashtruesit u premtuan qytetarëve sylesh. Natyrisht, në praktikë, të gjitha paratë shkuan për organizatorët e lojës, pasi që në hapin e parë mashtruesit dërguan jo një letër, por qindra, në të cilat tregoheshin adresat e tyre. Edhe nëse në hapin e parë mashtruesit dërgojnë vetëm 200 letra, atëherë në hapin e pestë 625,000 njerëz duhet të bashkohen në lojë, dhe organizatorët do të marrin më shumë se 700,000 rubla prej tyre. Hapat e mëtejshëm nuk kanë më kuptim.
konkluzioni
Progresioni gjeometrik shpesh gjendet në realitet. Përdorni katalogun tonë të kalkulatorëve për të zgjidhur probleme interesante ose për të kontrolluar studimet e rasteve.
Niveli i parë
Progresioni gjeometrik. Udhëzues gjithëpërfshirës me shembuj (2019)
Sekuenca numerike
Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:
Sekuenca numerikeështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.
Për shembull, për sekuencën tonë:
Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër të sekuencës. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i -të) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.
Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .
Në rastin tonë:
Llojet më të zakonshme të progresionit janë aritmetik dhe gjeometrik. Në këtë temë, ne do të flasim për llojin e dytë - progresion gjeometrik.
Pse na duhet një progresion gjeometrik dhe historia e tij.
Edhe në kohët e lashta, matematikani italian, murgu Leonardo i Pizës (i njohur më mirë si Fibonacci), merrej me nevojat praktike të tregtisë. Murgu u përball me detyrën për të përcaktuar se cili është numri më i vogël i peshave që mund të përdoren për të peshuar mallin? Në shkrimet e tij, Fibonacci dëshmon se një sistem i tillë peshash është optimal: Kjo është një nga situatat e para në të cilat njerëzit duhej të përballeshin me një progresion gjeometrik, për të cilin ndoshta keni dëgjuar dhe keni të paktën. koncept i përgjithshëm. Pasi ta kuptoni plotësisht temën, mendoni pse një sistem i tillë është optimal?
Aktualisht, në praktikën e jetës, një progresion gjeometrik manifestohet kur investoni para në një bankë, kur shuma e interesit ngarkohet në shumën e akumuluar në llogari për periudhën e mëparshme. Me fjalë të tjera, nëse vendosni para në një depozitë me afat në një bankë kursimi, atëherë në një vit depozita do të rritet nga shuma origjinale, d.m.th. shuma e re do të jetë e barabartë me kontributin e shumëzuar me. Në një vit tjetër, kjo shumë do të rritet me, d.m.th. shuma e fituar në atë kohë përsëri shumëzohet me e kështu me radhë. Një situatë e ngjashme përshkruhet në problemet e llogaritjes së të ashtuquajturave interesi i përbërë- përqindja merret çdo herë nga shuma që është në llogari, duke marrë parasysh interesin e mëparshëm. Për këto detyra do të flasim pak më vonë.
Ka shumë raste më të thjeshta kur aplikohet një progresion gjeometrik. Për shembull, përhapja e gripit: një person infektoi një person, ata, nga ana tjetër, infektuan një person tjetër, dhe kështu vala e dytë e infeksionit - një person, dhe ata, nga ana tjetër, infektuan një tjetër ... dhe kështu me radhë .. .
Nga rruga, një piramidë financiare, e njëjta MMM, është një llogaritje e thjeshtë dhe e thatë sipas vetive të një progresion gjeometrik. Interesante? Le ta kuptojmë.
Progresioni gjeometrik.
Le të themi se kemi një sekuencë numrash:
Do të përgjigjeni menjëherë se është e lehtë dhe emri i një sekuence të tillë është një progresion aritmetik me ndryshimin e anëtarëve të tij. Si thua për diçka të tillë:
Nëse zbritni numrin e mëparshëm nga numri tjetër, do ta shihni këtë sa herë që merrni ndryshim i ri(dhe kështu me radhë), por sekuenca ekziston patjetër dhe është e lehtë për t'u parë - secila numri tjetër herë më shumë se ai i mëparshmi!
Ky lloj sekuence quhet progresion gjeometrik dhe është shënuar.
Një progresion gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Kufizimet që termi i parë ( ) nuk është i barabartë dhe nuk janë të rastësishëm. Le të themi se nuk ka asnjë, dhe termi i parë është akoma i barabartë, dhe q është, hmm .. le, atëherë rezulton:
Dakord që ky nuk është përparim.
Siç e kuptoni, do të marrim të njëjtat rezultate nëse është ndonjë numër tjetër përveç zeros, por. Në këto raste, thjesht nuk do të ketë përparim, pasi e gjithë seria e numrave do të jetë ose të gjitha zero, ose një numër, dhe të gjitha zerat e tjera.
Tani le të flasim më në detaje për emëruesin e një progresion gjeometrik, domethënë rreth.
Le të përsërisim: - ky është një numër, sa herë ndryshon çdo term pasardhës progresion gjeometrik.
Çfarë mendoni se mund të jetë? Ashtu është, pozitive dhe negative, por jo zero (për këtë folëm pak më lart).
Le të themi se kemi një pozitiv. Le në rastin tonë, a. Cili është termi i dytë dhe? Ju lehtë mund t'i përgjigjeni kësaj:
Në rregull. Prandaj, nëse, atëherë të gjithë anëtarët pasues të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata pozitive.
Po sikur të jetë negative? Për shembull, a. Cili është termi i dytë dhe?
Është një histori krejtësisht tjetër
Mundohuni të numëroni afatin e këtij progresi. Sa keni marrë? Une kam. Kështu, nëse, atëherë alternojnë shenjat e termave të progresionit gjeometrik. Kjo do të thotë, nëse shihni një progresion me shenja të alternuara në anëtarët e tij, atëherë emëruesi i tij është negativ. Kjo njohuri mund t'ju ndihmojë të provoni veten kur zgjidhni probleme në këtë temë.
Tani le të praktikojmë pak: përpiquni të përcaktoni se cilat sekuenca numerike janë një progresion gjeometrik dhe cilat janë një aritmetik:
E kuptova? Krahasoni përgjigjet tona:
- Progresioni gjeometrik - 3, 6.
- Progresioni aritmetik - 2, 4.
- Nuk është as një progresion aritmetik dhe as gjeometrik - 1, 5, 7.
Le të kthehemi në progresionin tonë të fundit dhe le të përpiqemi të gjejmë termin e tij në të njëjtën mënyrë si në aritmetikë. Siç mund ta keni marrë me mend, ka dy mënyra për ta gjetur atë.
Ne e shumëzojmë me radhë çdo term me.
Pra, anëtari i -të i progresionit gjeometrik të përshkruar është i barabartë me.
Siç e keni marrë tashmë me mend, tani ju vetë do të nxirrni një formulë që do t'ju ndihmojë të gjeni ndonjë anëtar të një progresion gjeometrik. Apo e keni nxjerrë tashmë për veten tuaj, duke përshkruar se si ta gjeni anëtarin e th në faza? Nëse po, atëherë kontrolloni korrektësinë e arsyetimit tuaj.
Le ta ilustrojmë këtë me shembullin e gjetjes së anëtarit -të të këtij progresioni:
Me fjale te tjera:
Gjeni vetë vlerën e një anëtari të një progresion të caktuar gjeometrik.
Ka ndodhur? Krahasoni përgjigjet tona:
Kushtojini vëmendje që morët saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur shumëzuam në mënyrë të njëpasnjëshme me çdo anëtar të mëparshëm të progresionit gjeometrik.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - e sjellim atë në një formë të përgjithshme dhe marrim:
Formula e përftuar është e vërtetë për të gjitha vlerat - pozitive dhe negative. Kontrolloni vetë duke llogaritur kushtet e një progresion gjeometrik me kushtet e mëposhtme: , por.
A keni numëruar? Le të krahasojmë rezultatet:
Pajtohu që do të ishte e mundur të gjesh një anëtar të progresionit në të njëjtën mënyrë si një anëtar, megjithatë, ekziston mundësia e llogaritjes së gabuar. Dhe nëse kemi gjetur tashmë termin e th të një progresion gjeometrik, a, atëherë çfarë mund të jetë më e lehtë sesa përdorimi i pjesës "të cunguar" të formulës.
Një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.
Kohët e fundit, ne folëm për atë që mund të jetë ose më e madhe ose më e vogël se zero, megjithatë, ka vlera të veçanta për të cilat quhet përparimi gjeometrik pafundësisht në rënie.
Pse mendoni se ka një emër të tillë?
Për të filluar, le të shkruajmë disa progresion gjeometrik të përbërë nga anëtarë.
Le të themi, atëherë:
Ne shohim se çdo term pasues është më pak se ai i mëparshmi në kohë, por a do të ketë ndonjë numër? Ju menjëherë përgjigjeni - "jo". Kjo është arsyeja pse pafundësisht në rënie - zvogëlohet, zvogëlohet, por kurrë nuk bëhet zero.
Për të kuptuar qartë se si duket vizualisht, le të përpiqemi të vizatojmë një grafik të përparimit tonë. Pra, për rastin tonë, formula merr formën e mëposhtme:
Në grafikët, ne jemi mësuar të ndërtojmë varësi nga, prandaj:
Thelbi i shprehjes nuk ka ndryshuar: në hyrjen e parë, ne treguam varësinë e vlerës së një anëtari të progresionit gjeometrik nga numri i tij rendor, dhe në hyrjen e dytë, thjesht morëm vlerën e një anëtari të progresionit gjeometrik për, dhe numri rendor u caktua jo si, por si. Gjithçka që mbetet për të bërë është të vizatoni grafikun.
Le të shohim se çfarë keni. Këtu është grafiku që kam marrë:
Shiko? Funksioni zvogëlohet, priret në zero, por nuk e kalon kurrë atë, pra është pafundësisht në rënie. Le të shënojmë pikat tona në grafik, dhe në të njëjtën kohë çfarë do të thotë koordinata dhe:
Përpiquni të përshkruani skematikisht një grafik të një progresion gjeometrik nëse termi i parë i tij është gjithashtu i barabartë. Analizoni cili është ndryshimi me grafikun tonë të mëparshëm?
A ia dolët? Këtu është grafiku që kam marrë:
Tani që i keni kuptuar plotësisht bazat e temës së progresionit gjeometrik: ju e dini se çfarë është, ju e dini se si ta gjeni termin e tij dhe gjithashtu e dini se çfarë është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, le të kalojmë te vetia e tij kryesore.
veti e një progresion gjeometrik.
Mbani mend pronën e anëtarëve progresion aritmetik? Po, po, si të gjesh vlerën e një numri të caktuar të një progresioni kur ka vlera të mëparshme dhe të mëvonshme të anëtarëve të këtij progresioni. kujtohet? Kjo:
Tani përballemi me të njëjtën pyetje për termat e një progresion gjeometrik. Për të nxjerrë një formulë të tillë, le të fillojmë të vizatojmë dhe të arsyetojmë. Do ta shihni, është shumë e lehtë, dhe nëse harroni, mund ta nxirrni vetë.
Le të marrim një tjetër progresion të thjeshtë gjeometrik, në të cilin dimë dhe. Si të gjeni? Me një progresion aritmetik, kjo është e lehtë dhe e thjeshtë, por si është këtu? Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar as në gjeometri - thjesht duhet të pikturoni secilën vlerë të dhënë sipas formulës.
Ju pyesni, dhe tani çfarë të bëjmë me të? Po, shumë e thjeshtë. Për të filluar, le t'i përshkruajmë këto formula në figurë dhe të përpiqemi të bëjmë manipulime të ndryshme me to për të arritur një vlerë.
Ne abstragojmë nga numrat që na janë dhënë, do të përqendrohemi vetëm në shprehjen e tyre përmes një formule. Duhet të gjejmë vlerën e theksuar portokalli, duke ditur termat ngjitur me të. Le të përpiqemi të prodhojmë me ta aktivitete të ndryshme, si rezultat i të cilit mund të marrim.
Shtimi.
Le të përpiqemi të shtojmë dy shprehje dhe marrim:
Nga shprehje e dhënë, siç mund ta shihni, ne nuk do të jemi në gjendje të shprehemi në asnjë mënyrë, prandaj, do të provojmë një opsion tjetër - zbritjen.
Zbritja.
Siç mund ta shihni, as nga kjo nuk mund të shprehemi, prandaj do të përpiqemi t'i shumëzojmë këto shprehje me njëra-tjetrën.
Shumëzimi.
Tani shikoni me kujdes atë që kemi, duke shumëzuar termat e një progresion gjeometrik që na është dhënë në krahasim me atë që duhet gjetur:
Mendoni se për çfarë po flas? E drejtë, për të gjetur duhet të marrim Rrenja katrore nga numrat e progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar të shumëzuar me njëri-tjetrin:
Ja ku shkoni. Ju vetë e keni nxjerrë vetinë e një progresion gjeometrik. Provoni ta shkruani këtë formulë në pamje e përgjithshme. Ka ndodhur?
Keni harruar kushtin kur? Mendoni pse është e rëndësishme, për shembull, përpiquni ta llogaritni vetë, në. Çfarë ndodh në këtë rast? Kjo është e drejtë, absurditet i plotë, pasi formula duket si kjo:
Prandaj, mos harroni këtë kufizim.
Tani le të llogarisim se çfarë është
Përgjigje e saktë - ! Nëse nuk e keni harruar të dytën kuptimi i mundshëm, atëherë ju jeni një shok i shkëlqyeshëm dhe mund të vazhdoni menjëherë në stërvitje, dhe nëse keni harruar, lexoni atë që është analizuar më poshtë dhe kushtojini vëmendje pse është e nevojshme të shkruani të dy rrënjët në përgjigje.
Le të vizatojmë të dy progresionet tona gjeometrike - njëra me një vlerë dhe tjetra me një vlerë, dhe të kontrollojmë nëse të dy kanë të drejtë të ekzistojnë:
Për të kontrolluar nëse një progresion i tillë gjeometrik ekziston apo jo, është e nevojshme të shihet nëse është i njëjtë midis të gjithë anëtarëve të tij të dhënë? Njehsoni q për rastin e parë dhe të dytë.
Shihni pse duhet të shkruajmë dy përgjigje? Sepse shenja e termit të kërkuar varet nëse është pozitive apo negative! Dhe meqenëse nuk e dimë se çfarë është, duhet të shkruajmë të dyja përgjigjet me një plus dhe një minus.
Tani që keni zotëruar pikat kryesore dhe keni nxjerrë formulën për vetinë e një progresion gjeometrik, gjeni, duke ditur dhe
Krahasoni përgjigjet tuaja me ato të sakta:
Çfarë mendoni, po sikur të mos na jepeshin vlerat e anëtarëve të progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar, por në distancë të barabartë prej tij. Për shembull, ne duhet të gjejmë, dhe të japim dhe. A mund të përdorim formulën që kemi nxjerrë në këtë rast? Përpiquni të konfirmoni ose kundërshtoni këtë mundësi në të njëjtën mënyrë, duke përshkruar se nga çfarë përbëhet secila vlerë, siç bëtë kur nxorët formulën fillimisht, me.
Çfarë more?
Tani shikoni me kujdes përsëri.
dhe përkatësisht:
Nga kjo mund të konkludojmë se formula funksionon jo vetëm me fqinjët me termat e dëshiruar të një progresion gjeometrik, por edhe me të barabarta nga ajo që anëtarët kërkojnë.
Kështu, formula jonë origjinale bëhet:
Domethënë, nëse në rastin e parë e thamë këtë, tani themi se mund të jetë i barabartë me cilindo numri natyror, që është më pak. Gjëja kryesore është të jetë e njëjtë për të dy numrat e dhënë.
Praktikoni për shembuj konkretë thjesht jini jashtëzakonisht të kujdesshëm!
- , . Per te gjetur.
- , . Per te gjetur.
- , . Per te gjetur.
E vendosur? Shpresoj se keni qenë jashtëzakonisht të vëmendshëm dhe keni vënë re një kapje të vogël.
Ne krahasojmë rezultatet.
Në dy rastet e para, ne zbatojmë me qetësi formulën e mësipërme dhe marrim vlerat e mëposhtme:
Në rastin e tretë, në një ekzaminim më të afërt numrat serialë numrat që na janë dhënë, kuptojmë se nuk janë në distancë të barabartë nga numri që kërkojmë: është numri i mëparshëm, por i hequr në pozicion, kështu që nuk është e mundur të zbatohet formula.
Si ta zgjidhim atë? Në fakt nuk është aq e vështirë sa duket! Le të shkruajmë me ju se nga çfarë përbëhet secili numër që na është dhënë dhe numri i dëshiruar.
Pra kemi dhe. Le të shohim se çfarë mund të bëjmë me ta. Unë sugjeroj ndarjen. Ne marrim:
Ne i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën:
Hapi tjetër që mund të gjejmë - për këtë duhet të marrim rrënjën kubike të numrit që rezulton.
Tani le të shohim përsëri se çfarë kemi. Ne kemi, por duhet të gjejmë, dhe kjo, nga ana tjetër, është e barabartë me:
Ne gjetëm të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen. Zëvendësoni në formulë:
Përgjigja jonë: .
Mundohuni të zgjidhni vetë një problem tjetër të njëjtë:
E dhënë:,
Per te gjetur:
Sa keni marrë? Une kam - .
Siç mund ta shihni, në fakt, keni nevojë mbani mend vetëm një formulë- . Të gjitha të tjerat mund t'i tërhiqni pa asnjë vështirësi vetë në çdo kohë. Për ta bërë këtë, thjesht shkruani progresionin më të thjeshtë gjeometrik në një copë letër dhe shkruani se me çfarë është i barabartë, sipas formulës së mësipërme, secili nga numrat e tij.
Shuma e termave të një progresion gjeometrik.
Tani merrni parasysh formulat që na lejojnë të llogarisim shpejt shumën e termave të një progresion gjeometrik në një interval të caktuar:
Për të nxjerrë formulën për shumën e termave të një progresion të fundëm gjeometrik, ne i shumëzojmë të gjitha pjesët e ekuacionit të mësipërm me. Ne marrim:
Shikoni me kujdes: çfarë kanë të përbashkët dy formulat e fundit? Ashtu është, anëtarët e zakonshëm, për shembull e kështu me radhë, përveç anëtarit të parë dhe të fundit. Le të përpiqemi të zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i 2-të. Çfarë more?
Tani shprehuni përmes formulës së një anëtari të një progresion gjeometrik dhe zëvendësoni shprehjen që rezulton në formulën tonë të fundit:
Gruponi shprehjen. Ju duhet të merrni:
Gjithçka që mbetet për të bërë është të shprehni:
Prandaj, në këtë rast.
Po nese? Cila formulë funksionon atëherë? Imagjinoni një progresion gjeometrik në. Si është ajo? Rreshti i saktë numra të njëjtë, kështu formula do të duket si kjo:
Ashtu si me progresionin aritmetik dhe gjeometrik, ka shumë legjenda. Një prej tyre është legjenda e Sethit, krijuesit të shahut.
Shumë njerëz e dinë se loja e shahut u shpik në Indi. Kur mbreti hindu e takoi atë, ai ishte i kënaqur me zgjuarsinë e saj dhe shumëllojshmërinë e pozicioneve të mundshme në të. Pasi mësoi se ishte shpikur nga një prej nënshtetasve të tij, mbreti vendosi ta shpërblente personalisht. Ai e thirri shpikësin pranë vetes dhe urdhëroi t'i kërkonte çfarë të donte, duke i premtuar se do të përmbushte edhe dëshirën më të shkathët.
Seta kërkoi kohë për të menduar dhe kur të nesërmen Seta doli para mbretit, ai e befasoi mbretin me modestinë e pashoqe të kërkesës së tij. Kërkoi një kokërr grurë për katrorin e parë të tabelës së shahut, grurë për të dytin, për të tretën, për të katërtin etj.
Mbreti u zemërua dhe e përzuri Sethin, duke thënë se kërkesa e shërbëtorit ishte e padenjë për bujarinë mbretërore, por premtoi se shërbëtori do të merrte kokrrat e tij për të gjitha qelitë e dërrasës.
Dhe tani pyetja është: duke përdorur formulën për shumën e anëtarëve të një progresion gjeometrik, llogaritni sa kokrra duhet të marrë Seth?
Le të fillojmë të diskutojmë. Meqenëse, sipas kushtit, Sethi kërkoi një kokërr gruri për qelizën e parë të tabelës së shahut, për të dytën, për të tretën, për të katërtën etj., shohim se problemi ka të bëjë me një progresion gjeometrik. Çfarë është e barabartë në këtë rast?
E drejta.
Totali i qelizave të tabelës së shahut. Përkatësisht,. Ne i kemi të gjitha të dhënat, mbetet vetëm të zëvendësojmë në formulë dhe të llogarisim.
Për të dhënë të paktën një "shkallë" të përafërt numri i dhënë, transformohet duke përdorur vetitë e shkallës:
Sigurisht, nëse dëshironi, mund të merrni një kalkulator dhe të llogarisni se me çfarë numri përfundoni, dhe nëse jo, do të duhet të pranoni fjalën time për të: vlera përfundimtare e shprehjes do të jetë.
Dmth:
kuintilion kuadrilion trilion miliardë miliardë milion mijë.
Fuh) Nëse dëshironi të imagjinoni përmasat e këtij numri, atëherë vlerësoni se çfarë madhësie do të kërkohet për të akomoduar të gjithë sasinë e grurit.
Me një lartësi hambari m dhe gjerësi m, gjatësia e tij do të duhej të shtrihej në km, d.m.th. dy herë më shumë se nga Toka në Diell.
Nëse mbreti do të ishte i fortë në matematikë, ai mund t'i ofronte vetë shkencëtarit të numëronte kokrrat, sepse për të numëruar një milion kokrra, do t'i duhej të paktën një ditë numërimi i palodhshëm dhe duke qenë se është e nevojshme të numërohen kuintilionat, kokrrat do të duhej të numëroheshin gjithë jetën.
Dhe tani do të zgjidhim një problem të thjeshtë mbi shumën e kushteve të një progresion gjeometrik.
Vasya, një nxënëse e klasës së 5-të, u sëmur nga gripi, por vazhdon të shkojë në shkollë. Çdo ditë, Vasya infekton dy persona, të cilët, nga ana tjetër, infektojnë dy persona të tjerë, e kështu me radhë. Vetëm një person në klasë. Për sa ditë e gjithë klasa do të sëmuret nga gripi?
Pra, anëtari i parë i një progresion gjeometrik është Vasya, domethënë një person. Anëtari i th i progresionit gjeometrik, këta janë dy personat të cilët ai i infektoi në ditën e parë të mbërritjes së tij. Shuma totale e anëtarëve të progresionit është e barabartë me numrin e nxënësve 5A. Prandaj, ne po flasim për një përparim në të cilin:
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik:
E gjithë klasa do të sëmuret brenda disa ditësh. Nuk besoni në formula dhe numra? Mundohuni ta portretizoni vetë “infeksionin” e nxënësve. Ka ndodhur? Shikoni si duket për mua:
Llogaritni vetë se sa ditë do të merreshin studentët nga gripi nëse të gjithë do të infektonin një person dhe do të kishte një person në klasë.
Çfarë vlere keni marrë? Doli që të gjithë filluan të sëmuren pas një dite.
Siç mund ta shihni, një detyrë e tillë dhe vizatimi për të i ngjan një piramide, në të cilën çdo pasues "sjell" njerëz të rinj. Megjithatë, herët a vonë vjen një moment kur ky i fundit nuk mund të tërheqë askënd. Në rastin tonë, nëse imagjinojmë se klasa është e izoluar, personi nga mbyll zinxhirin (). Kështu, nëse një person është i përfshirë në piramida financiare, në të cilën jepeshin para nëse sillni dy pjesëmarrës të tjerë, atëherë personi (ose në përgjithësi) nuk do të sillte askënd, përkatësisht, do të humbiste gjithçka që ka investuar në këtë mashtrim financiar.
Gjithçka që u tha më lart i referohet një progresion gjeometrik në rënie ose në rritje, por, siç e mbani mend, ne kemi një lloj të veçantë - një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Si të llogaritet shuma e anëtarëve të saj? Dhe pse ky lloj progresi ka disa veçori? Le ta kuptojmë së bashku.
Pra, për fillestarët, le të shohim përsëri këtë pamje të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie nga shembulli ynë:
Dhe tani le të shohim formulën për shumën e një progresion gjeometrik, të nxjerrë pak më herët:
ose
Për çfarë po përpiqemi? Është e drejtë, grafiku tregon se priret në zero. Kjo është, kur, do të jetë pothuajse e barabartë, përkatësisht, kur llogaritim shprehjen, do të marrim pothuajse. Në këtë drejtim, ne besojmë se gjatë llogaritjes së shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, kjo kllapa mund të neglizhohet, pasi do të jetë e barabartë.
- formula është shuma e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie.
E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite që duhet të gjejmë shumën pafund numri i anëtarëve.
Nëse tregohet një numër specifik n, atëherë ne përdorim formulën për shumën e n termave, edhe nëse ose.
Dhe tani le të praktikojmë.
- Gjeni shumën e termave të parë të një progresion gjeometrik me dhe.
- Gjeni shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me dhe.
Shpresoj se keni qenë shumë të kujdesshëm. Krahasoni përgjigjet tona:
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik dhe është koha për të kaluar nga teoria në praktikë. Problemet më të zakonshme eksponenciale të gjetura në provim janë problemet e interesit të përbërë. Ne do të flasim për to.
Probleme për llogaritjen e interesit të përbërë.
Ju duhet të keni dëgjuar për të ashtuquajturën formula të interesit të përbërë. E kuptoni se çfarë do të thotë ajo? Nëse jo, le ta kuptojmë, sepse pasi të keni kuptuar vetë procesin, do të kuptoni menjëherë se çfarë lidhje ka progresioni gjeometrik me të.
Të gjithë shkojmë në bankë dhe e dimë që ka kushte të ndryshme për depozitat: kjo është edhe një afat, edhe mirëmbajtje shtesë, dhe një përqindje me dy menyra te ndryshme llogaritja e saj - e thjeshtë dhe komplekse.
NGA interes i thjeshtë gjithçka është pak a shumë e qartë: interesi paguhet një herë në fund të afatit të depozitës. Kjo do të thotë, nëse po flasim për vendosjen e 100 rublave në vit, atëherë ato do të kreditohen vetëm në fund të vitit. Prandaj, deri në fund të depozitës, ne do të marrim rubla.
Interesi i përbërëështë një opsion në të cilin kapitalizimi i interesit, d.m.th. shtimi i tyre në shumën e depozitës dhe llogaritja e mëvonshme e të ardhurave jo nga fillestari, por nga shuma e grumbulluar e depozitës. Kapitalizimi nuk ndodh vazhdimisht, por me një farë periodiciteti. Si rregull, periudha të tilla janë të barabarta dhe më shpesh bankat përdorin një muaj, një çerek ose një vit.
Le të themi se kemi vënë të gjitha të njëjtat rubla në vit, por me një kapitalizim mujor të depozitës. Çfarë marrim?
A kupton gjithçka këtu? Nëse jo, le ta bëjmë hap pas hapi.
Ne sollëm rubla në bankë. Deri në fund të muajit, ne duhet të kemi një shumë në llogarinë tonë të përbërë nga rublat tona plus interesat mbi to, domethënë:
Dakord?
Mund ta nxjerrim nga kllapa dhe më pas marrim:
Dakord, kjo formulë është tashmë më e ngjashme me atë që shkruam në fillim. Mbetet të merremi me përqindje
Në gjendjen e problemit na thuhet për vjetore. Siç e dini, ne nuk shumëzojmë me - ne i konvertojmë përqindjet në dhjetore, dmth:
E drejtë? Tani ju pyesni, nga erdhi numri? Shume e thjeshte!
E përsëris: gjendja e problemit thotë rreth VJETOR interesi i përllogaritur MUJOR. Siç e dini, në një vit, respektivisht, banka do të na ngarkojë një pjesë të interesit vjetor në muaj:
E realizuar? Tani përpiquni të shkruani se si do të dukej kjo pjesë e formulës nëse do të thoja që interesi llogaritet çdo ditë.
A ia dolët? Le të krahasojmë rezultatet:
Te lumte! Le t'i kthehemi detyrës sonë: shkruani se sa do të kreditohet në llogarinë tonë për muajin e dytë, duke marrë parasysh që interesi ngarkohet në shumën e depozitës së akumuluar.
Ja çfarë më ndodhi:
Ose, me fjalë të tjera:
Unë mendoj se ju tashmë keni vënë re një model dhe keni parë një progresion gjeometrik në të gjithë këtë. Shkruani se me çfarë do të jetë anëtari i tij, ose, me fjalë të tjera, sa para do të marrim në fund të muajit.
U krye? Duke kontrolluar!
Siç mund ta shihni, nëse vendosni para në një bankë për një vit me një interes të thjeshtë, atëherë do të merrni rubla, dhe nëse i vendosni me një normë të përbërë, do të merrni rubla. Përfitimi është i vogël, por kjo ndodh vetëm gjatë vitit të th, por për një periudhë më të gjatë kapitalizimi është shumë më fitimprurës:
Konsideroni një lloj tjetër problemi të interesit të përbërë. Pas asaj që keni kuptuar, do të jetë elementare për ju. Pra, detyra është:
Zvezda filloi të investojë në industri në vitin 2000 me një kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2001 ka realizuar një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Sa fitim do të marrë kompania Zvezda në fund të vitit 2003, nëse fitimi nuk tërhiqej nga qarkullimi?
Kapitali i kompanisë Zvezda në vitin 2000.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2001.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2002.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2003.
Ose mund të shkruajmë shkurt:
Për rastin tonë:
2000, 2001, 2002 dhe 2003.
Përkatësisht:
rubla
Vini re se në këtë problem nuk kemi pjesëtim as me as me, pasi përqindja jepet VJETOR dhe llogaritet VJETOR. Kjo do të thotë, kur lexoni problemin për interesin e përbërë, kushtojini vëmendje se çfarë përqindje është dhënë dhe në cilën periudhë tarifohet dhe vetëm atëherë vazhdoni me llogaritjet.
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik.
Trajnimi.
- Gjeni një term të një progresion gjeometrik nëse dihet se, dhe
- Gjeni shumën e termave të parë të një progresion gjeometrik, nëse dihet se, dhe
- MDM Capital filloi të investojë në industri në vitin 2003 me një kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2004, ajo ka realizuar një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Kompania "MSK" flukset monetare” filloi të investonte në industri në vitin 2005 në vlerën 10,000 dollarë, duke filluar të fitonte nga viti 2006 në shumën prej. Me sa dollarë tejkalon kapitali i një shoqërie në fund të vitit 2007, nëse fitimet nuk do të tërhiqeshin nga qarkullimi?
Përgjigjet:
- Meqenëse gjendja e problemit nuk thotë që progresioni është i pafund dhe kërkohet të gjendet shuma e një numri specifik të anëtarëve të tij, llogaritja kryhet sipas formulës:
Kompania "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- rritet me 100%, pra 2 herë.
Përkatësisht:
rubla
Rrjedhat e parave të MSK:2005, 2006, 2007.
- rritet me, domethënë herë.
Përkatësisht:
rubla
rubla
Le të përmbledhim.
1) Një progresion gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
2) Ekuacioni i anëtarëve të një progresion gjeometrik -.
3) mund të marrë çdo vlerë, përveç dhe.
- nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata pozitive;
- nëse, atëherë të gjithë anëtarët pasues të progresionit shenja alternative;
- kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.
4) , at - veti e një progresion gjeometrik (anëtarët fqinjë)
ose
, në ( terma të barabarta)
Kur ta gjeni, mos harroni këtë duhet të ketë dy përgjigje..
Për shembull,
5) Shuma e anëtarëve të një progresion gjeometrik llogaritet me formulën:
ose
Nëse progresioni është pafundësisht në rënie, atëherë:
ose
E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite se është e nevojshme të gjendet shuma e një numri të pafund termash.
6) Detyrat për interesin e përbërë llogariten edhe sipas formulës së anëtarit të th të një progresion gjeometrik, me kusht që fondet të mos jenë tërhequr nga qarkullimi:
PROGRESIONI GJEOMETRIK. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN
Progresioni gjeometrik( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Emëruesi i një progresion gjeometrik mund të marrë çdo vlerë përveç dhe.
- Nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata janë pozitivë;
- nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit alternojnë shenjën;
- kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.
Ekuacioni i anëtarëve të një progresion gjeometrik - .
Shuma e termave të një progresion gjeometrik llogaritur me formulën:
ose
Progresioni gjeometrik jo më pak e rëndësishme në matematikë sesa në aritmetikë. Një progresion gjeometrik është një sekuencë e tillë e numrave b1, b2,..., b[n] secili anëtar i ardhshëm i të cilit fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër konstant. Ky numër, i cili karakterizon edhe shkallën e rritjes ose uljes së progresionit, quhet emëruesi i një progresion gjeometrik dhe shënojnë
Për detyrë e plotë progresioni gjeometrik, përveç emëruesit, është e nevojshme të njihet ose të përcaktohet termi i parë i tij. Për vlerë pozitive Progresioni i emëruesit është një sekuencë monotone, dhe nëse kjo sekuencë numrash është në rënie monotonike dhe në rritje monotonike në. Rasti kur emëruesi e barabartë me një nuk konsiderohet në praktikë, pasi kemi një sekuencë numrash identikë dhe mbledhja e tyre nuk është me interes praktik
Termi i përgjithshëm i një progresion gjeometrik llogaritet sipas formulës
Shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik përcaktuar nga formula
Le të shqyrtojmë zgjidhjet e problemeve klasike të progresionit gjeometrik. Le të fillojmë me më të thjeshtat për t'u kuptuar.
Shembulli 1. Termi i parë i një progresion gjeometrik është 27, dhe emëruesi i tij është 1/3. Gjeni gjashtë termat e parë të një progresion gjeometrik.
Zgjidhja: Gjendjen e problemës e shkruajmë në formë
Për llogaritjet, ne përdorim formulën për anëtarin e n-të të një progresion gjeometrik
Bazuar në të, ne gjejmë anëtarë të panjohur të progresionit
Siç mund ta shihni, llogaritja e kushteve të një progresion gjeometrik nuk është e vështirë. Vetë progresioni do të duket kështu
Shembulli 2. Janë dhënë tre anëtarët e parë të progresionit gjeometrik: 6; -12; 24. Gjeni emëruesin dhe anëtarin e shtatë.
Zgjidhje: Emëruesin e progresionit gjeometrik e llogarisim në bazë të përcaktimit të tij
Ne morëm një progresion gjeometrik të alternuar, emëruesi i të cilit është -2. Termi i shtatë llogaritet me formulë
Mbi këtë detyrë është zgjidhur.
Shembulli 3. Një progresion gjeometrik jepet nga dy anëtarë të tij 
. Gjeni termin e dhjetë të progresionit.
Zgjidhja:
Le të shkruajmë vlerat e dhëna përmes formulave
Sipas rregullave, do të ishte e nevojshme të gjejmë emëruesin dhe më pas të kërkojmë vlerën e dëshiruar, por për termin e dhjetë kemi
E njëjta formulë mund të merret në bazë të manipulimeve të thjeshta me të dhënat hyrëse. Ne e ndajmë termin e gjashtë të serisë me një tjetër, si rezultat marrim
Nëse vlera që rezulton shumëzohet me termin e gjashtë, marrim të dhjetën
Kështu, për probleme të tilla, me ndihmën e transformimeve të thjeshta në mënyrë të shpejtë ju mund të gjeni zgjidhjen e duhur.
Shembulli 4. Progresioni gjeometrik jepet me formula rekurente
Gjeni emëruesin e progresionit gjeometrik dhe shumën e gjashtë anëtarëve të parë.
Zgjidhja:
Të dhënat e dhëna i shkruajmë në formën e një sistemi ekuacionesh
Shprehni emëruesin duke pjesëtuar ekuacionin e dytë me të parin
Gjeni termin e parë të progresionit nga ekuacioni i parë
Llogaritni pesë termat e mëposhtëm për të gjetur shumën e progresionit gjeometrik
