Përkufizimi i formulës së Njuton Leibniz. Llogaritja e një integrali të caktuar. Formula Njuton-Leibniz

integral i caktuar nga një funksion i vazhdueshëm f(x) në intervalin e fundëm [ a, b] (ku ) është shtimi i disa prej antiderivave të tij në këtë segment. (Në përgjithësi, kuptimi do të jetë dukshëm më i lehtë nëse përsëritni temën e integralit të pacaktuar) Në këtë rast, shënimi

Siç mund të shihet në grafikët e mëposhtëm (rritja e funksionit antiderivativ tregohet nga ), Integrali i caktuar mund të jetë ose pozitiv ose numër negativ (Llogaritet si diferencë ndërmjet vlerës së antiderivativit në kufirin e sipërm dhe vlerës së tij në kufirin e poshtëm, d.m.th. F(b) - F(a)).

Numrat a Dhe b quhen përkatësisht kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integrimit dhe intervali [ a, b] është segmenti i integrimit.

Kështu, nëse F(x) është një funksion antiderivativ për f(x), atëherë, sipas përcaktimit,

(38)

Barazimi (38) quhet Formula Njuton-Leibniz . Diferenca F(b) – F(a) shkruhet shkurt kështu:

Prandaj, formula e Newton-Leibniz do të shkruhet si më poshtë:

(39)

Le të vërtetojmë se integrali i caktuar nuk varet nga cili antideriv i integrandit merret gjatë njehsimit të tij. Le te jete F(x) dhe F( X) janë antiderivat arbitrarë të integrandit. Meqenëse këto janë antiderivate të të njëjtit funksion, ato ndryshojnë nga një term konstant: Ф( X) = F(x) + C. Kjo është arsyeja pse

Kështu, konstatohet se në segmentin [ a, b] rritje nga të gjitha funksionet antiderivative f(x) ndeshje.

Kështu, për të llogaritur integralin e caktuar, është e nevojshme të gjendet ndonjë antiderivativ i integrandit, d.m.th. Së pari ju duhet të gjeni integralin e pacaktuar. Konstante NGA përjashtuar nga llogaritjet e mëvonshme. Pastaj zbatohet formula e Njuton-Leibniz: vlera e kufirit të sipërm zëvendësohet në funksionin antiderivativ. b , më tej - vlera e kufirit të poshtëm a dhe llogarit diferencën F(b) - F(a) . Numri që rezulton do të jetë një integral i caktuar..

Në a = b pranuar sipas përkufizimit

Shembulli 1

Zgjidhje. Le të gjejmë fillimisht integralin e pacaktuar:

Zbatimi i formulës Njuton-Leibniz në antiderivativin

(në NGA= 0), marrim

Sidoqoftë, kur llogaritet një integral i caktuar, është më mirë të mos e gjejmë veçmas antiderivatin, por menjëherë ta shkruajmë integralin në formën (39).

Shembulli 2 Njehsoni një integral të caktuar

Zgjidhje. Duke përdorur formulën

Vetitë e integralit të caktuar

Teorema 2.Vlera e integralit të caktuar nuk varet nga përcaktimi i ndryshores së integrimit, d.m.th.

(40)

Le te jete F(x) është antiderivativ për f(x). Për f(t) antiderivati është i njëjti funksion F(t), në të cilën ndryshorja e pavarur shënohet ndryshe. Rrjedhimisht,

Bazuar në formulën (39), barazia e fundit nënkupton barazinë e integraleve

Teorema 3.Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e një integrali të caktuar, d.m.th.

(41)

Teorema 4.Integral i caktuar e shumës algjebrike të një numri të kufizuar funksionesh është e barabartë me shumën algjebrike të integraleve të caktuar të këtyre funksioneve, d.m.th.

(42)

Teorema 5.Nëse segmenti i integrimit ndahet në pjesë, atëherë integrali i caktuar mbi të gjithë segmentin është i barabartë me shumën e integraleve të caktuar mbi pjesët e tij, d.m.th. nëse

(43)

Teorema 6.Kur riorganizohen kufijtë e integrimit vlere absolute i një integrali të caktuar nuk ndryshon, por ndryshon vetëm shenja e tij, d.m.th.

(44)

Teorema 7(teorema e vlerës mesatare). Integrali i caktuar është i barabartë me produktin e gjatësisë së segmentit të integrimit dhe vlerën e integrandit në një pikë brenda tij, d.m.th.

(45)

Teorema 8.Nëse kufiri i sipërm i integrimit është më i madh se ai i poshtëm dhe integrani është jonegativ (pozitiv), atëherë integrali i caktuar është gjithashtu jonegativ (pozitiv), d.m.th. nëse

Teorema 9.Nëse kufiri i sipërm i integrimit është më i madh se kufiri i poshtëm dhe funksionet dhe janë të vazhdueshme, atëherë pabarazia

mund të integrohet term pas termi, d.m.th.

(46)

Vetitë e integralit të caktuar na lejojnë të thjeshtojmë llogaritjen e drejtpërdrejtë të integraleve.

Shembulli 5 Njehsoni një integral të caktuar

Duke përdorur teoremat 4 dhe 3, dhe kur gjejmë antiderivativë - integrale tabelare (7) dhe (6), marrim

Integral i caktuar me kufirin e sipërm të ndryshueshëm

Le te jete f(x) është e vazhdueshme në segmentin [ a, b] funksion, dhe F(x) është prototipi i tij. Konsideroni integralin e caktuar

(47)

dhe përmes t e shënuar variabli i integrimit të mos ngatërrohet me kufirin e sipërm. Kur ndryshon X integrali i caktuar (47) gjithashtu ndryshon, d.m.th. është funksion i kufirit të sipërm të integrimit X, të cilin e shënojmë me F(X), d.m.th.

(48)

Le të vërtetojmë se funksioni F(X) është antiderivativ për f(x) = f(t). Në të vërtetë, duke dalluar F(X), marrim

sepse F(x) është antiderivativ për f(x), por F(a) është një vlerë konstante.

Funksioni F(X) është një nga grupet e pafundme të antiderivativëve për f(x), përkatësisht ai që x = a shkon në zero. Ky pohim fitohet nëse në barazi (48) vendosim x = a dhe përdorni Teoremën 1 të seksionit të mëparshëm.

Llogaritja e integraleve të caktuar me metodën e integrimit sipas pjesëve dhe metodën e ndryshimit të ndryshores

ku, sipas përkufizimit, F(x) është antiderivativ për f(x). Nëse në integrand bëjmë ndryshimin e ndryshores

atëherë, në përputhje me formulën (16), mund të shkruajmë

Në këtë shprehje

funksioni antiderivativ për

Në të vërtetë, derivati i tij, sipas rregulli i diferencimit të një funksioni kompleks, është e barabartë me

Le të jenë α dhe β vlerat e ndryshores t, për të cilin funksioni

merr respektivisht vlerat a Dhe b, d.m.th.

Por, sipas formulës Njuton-Leibniz, ndryshimi F(b) – F(a) hani

Newton Leibniz është një filozof gjerman i lindur më 1 korrik 1646. Përveç filozofisë, ai ishte i magjepsur shkencat ekzakte. Ai u dallua në logjikë, matematikë, mekanikë, fizikë, histori, diplomaci dhe mekanikë. Njutoni konsiderohet gjithashtu si një shpikës, si dhe një gjuhëtar. Ai ishte themeluesi dhe i pari që mundi të drejtonte Akademinë e Shkencave në Berlin. Leibniz zuri një vend nderi në Akademinë Franceze të Shkencave si anëtar i huaj.
Arritjet më të rëndësishme shkencore të Leibniz konsiderohen:
Krijim analiza matematikore. Llogaritja është diferenciale dhe integrale, të cilën ai e bazoi në infinitezimale.
Me ndihmën e saj, u hodhën themelet e logjikës matematikore.
Shkenca e kombinatorikës.
Sistemi binar i numrave me numrat 0 dhe 1. Tani e gjithë teknologjia moderne bazohet në to.
Për psikologjinë, pati një kontribut shumë të rëndësishëm, si koncepti i perceptimeve të vogla të pavetëdijshme. Për më tepër, u shfaq doktrina e jetës mendore të pavetëdijshme.
Ai zbuloi ligjin e ruajtjes së energjisë dhe prezantoi konceptin e fuqisë punëtore.

Njutoni konsiderohet finalisti i filozofisë së shekullit të 17-të. Ai u bë paraardhës sistemi i ri dhe i dha një emër - monadologji. Përveç arritjeve në filozofi, ai ishte në gjendje të identifikonte doktrinën e sintezës dhe analizës. Leibniz e formuloi atë si ligj të arsyes së mjaftueshme. Siç theksoi ai, e gjithë kjo nuk nisi vetëm nga të menduarit dhe logjika, por edhe nga qenia dhe ontologjia. Filozofit mund t'i caktohet autorësia formulimi modern ligji i identitetit. Ishte ai që solli në botë kuptimin e termit "model".
Në shkrimet e tij, Leibniz shkroi për shumëllojshmërinë e mundësive të simulimit të makinerive në trurin e njeriut. Siç doli, ai ka një numër të madh funksionesh. Ishte ky shkencëtar që e ekspozoi për herë të parë botën ndaj idesë se disa lloje të energjisë mund të transferohen te të tjerët. Këto studime kanë dhënë një kontribut të madh në fizikë. Sigurisht, vepra më e rëndësishme dhe më e famshme e jetës së tij ishte formula. Ata e quajtën atë formula Njuton-Leibniz.
Formula e Njuton Leibniz

Le të jepen disa segmente të boshtit x funksion të vazhdueshëm f. Supozojmë se ky funksion nuk e ndryshon shenjën e tij në të gjithë intervalin.
Nëse f është një funksion i vazhdueshëm dhe jo negativ në një segment të caktuar, dhe F është disa nga antiderivativët e tij në këtë segment, atëherë sipërfaqja e trapezit lakor S është e barabartë me rritjen e antiderivativit në këtë segment.
Kjo teoremë mund të shkruhet në formulën e mëposhtme:
S = F(b) – F(a)
Integrali i funksionit f(x) nga a në b do të jetë i barabartë me S. Këtu dhe më poshtë, për të treguar integralin e caktuar të një funksioni f(x), me kufijtë e integrimit nga a në b, do të përdorim shënimin e mëposhtëm (a;b)∫f( x). Më poshtë është një shembull se si do të dukej.

Pra, ne mund t'i barazojmë këto dy rezultate. Marrim: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), me kusht që F të jetë një antiderivativ për funksionin f në . Kjo formulë quhet formula Njuton-Leibniz. Do të jetë e vërtetë për çdo funksion të vazhdueshëm f në interval.
Formula Njuton-Leibniz përdoret për llogaritjen e integraleve. Le të shohim disa shembuj:
Shembulli 1: njehsoni integralin. Gjejmë antiderivativin për integrandin x2. Një nga antiderivativët do të jetë funksioni (x3)/3.
Tani ne përdorim formulën Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Përgjigje: (-1;2)∫x2dx = 3.
Shembulli 2: njehsoni integralin (0;pi)∫sin(x)dx.
Gjeni antiderivativin për integrandin sin(x). Një nga antiderivativët do të jetë funksioni –cos(x). Le të përdorim formulën Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Përgjigje: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Ndonjëherë, për thjeshtësi dhe lehtësi të shënimit, rritja e funksionit F në segmentin (F(b)-F(a)) shkruhet si më poshtë:

Duke përdorur këtë shënim për rritje, formula e Newton-Leibniz mund të rishkruhet si më poshtë:

Siç u përmend më lart, kjo është vetëm një shkurtim për lehtësinë e regjistrimit, asgjë tjetër nuk preket nga ky regjistrim. Ky shënim dhe formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) do të jenë ekuivalente.

Kjo formulë përdoret ende nga një numër i madh shkencëtarësh dhe kalkulatorësh. Me ndihmën e tij, Leibniz solli zhvillim në shumë shkenca.

Zgjidhja e problemeve të aplikuara reduktohet në llogaritjen e integralit, por nuk është gjithmonë e mundur të bëhet kjo me saktësi. Ndonjëherë është e nevojshme të dihet vlera e një integrali të caktuar me një shkallë saktësie, për shembull, në një të mijtën.

Ka detyra kur do të ishte e nevojshme gjetja e vlerës së përafërt të një integrali të caktuar me saktësinë e kërkuar, atëherë përdoret integrimi numerik si metoda Simposn, trapezoidët, drejtkëndëshat. Jo të gjitha rastet na lejojnë ta llogarisim atë me një saktësi të caktuar.

Ky artikull shqyrton zbatimin e formulës Njuton-Leibniz. Kjo është e nevojshme për llogaritjen e saktë të integralit të caktuar. Do të jepet shembuj të detajuar, marrim parasysh ndryshimin e ndryshores në integralin e caktuar dhe gjejmë vlerat e integralit të caktuar kur integrojmë sipas pjesëve.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formula Njuton-Leibniz

Përkufizimi 1

Kur funksioni y = y (x) është i vazhdueshëm nga segmenti [ a ; b ], dhe F (x) është një nga antiderivativët e funksionit të këtij segmenti, atëherë Formula Njuton-Leibniz konsiderohet e drejtë. Le ta shkruajmë kështu ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Kjo formulë konsiderohet formula bazë e llogaritjes integrale.

Për të vërtetuar këtë formulë, është e nevojshme të përdoret koncepti i një integrali me kufirin e sipërm të variablit të disponueshëm.

Kur funksioni y = f (x) është i vazhdueshëm nga segmenti [ a ; b ] , atëherë vlera e argumentit x ∈ a ; b , dhe integrali ka formën ∫ a x f (t) d t dhe konsiderohet funksion i kufirit të sipërm. Është e nevojshme të pranohet që shënimi i funksionit do të marrë formën ∫ axf (t) dt = Φ (x) , është i vazhdueshëm, dhe pabarazia e formës ∫ axf (t) dt " = Φ " (x) = f (x) është e vlefshme për të.

Rregullojmë që rritja e funksionit Φ (x) korrespondon me shtimin e argumentit ∆ x, është e nevojshme të përdoret vetia e pestë kryesore e një integrali të caktuar dhe të merret

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ axf + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

ku vlera c ∈ x ; x + ∆x .

Barazimin e rregullojmë në formën Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Me përcaktimin e derivatit të një funksioni, është e nevojshme të kalohet në kufi si ∆ x → 0, atëherë marrim një formulë të formës që ndodhet në [ a ; b ] Përndryshe, shprehja mund të shkruhet.

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , ku vlera e C është konstante.

Le të llogarisim F (a) duke përdorur vetinë e parë të integralit të caktuar. Pastaj e marrim atë

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , pra C = F (a) . Rezultati është i zbatueshëm kur llogaritet F (b) dhe marrim:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a) , me fjalë të tjera, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (a) . Barazia vërteton formulën e Njuton-Leibnizit ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Rritja e funksionit merret si F x a b = F (b) - F (a) . Me ndihmën e shënimit, formula e Njuton-Leibniz-it bëhet ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Për të zbatuar formulën, është e nevojshme të dihet një nga antiderivativët y = F (x) të integrandit y = f (x) nga segmenti [ a ; b ] , njehsoni shtimin e antiderivativit nga ky segment. Shqyrtoni disa shembuj të llogaritjeve duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

Shembulli 1

Njehso integralin e caktuar ∫ 1 3 x 2 d x duke përdorur formulën Njuton-Leibniz.

Zgjidhje

Konsideroni se integrandi i formës y = x 2 është i vazhdueshëm nga intervali [1; 3 ] , atëherë dhe është i integrueshëm në këtë segment. Sipas tabelës së integraleve të pacaktuar, shohim se funksioni y \u003d x 2 ka një grup antiderivativësh për të gjitha vlerat reale të x, që do të thotë se x ∈ 1; 3 do të shkruhet si F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Është e nevojshme të merret antiderivati me C \u003d 0, atëherë marrim që F (x) \u003d x 3 3.

Le të përdorim formulën Njuton-Leibniz dhe të marrim se llogaritja e integralit të caktuar do të marrë formën ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Përgjigje:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Shembulli 2

Njehso integralin e caktuar ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x duke përdorur formulën Njuton-Leibniz.

Zgjidhje

Funksioni i dhënë është i vazhdueshëm nga segmenti [-1; 2 ], që do të thotë se është i integrueshëm në të. Është e nevojshme të gjejmë vlerën e integralit të pacaktuar ∫ x ex 2 + 1 dx duke përdorur metodën e mbledhjes nën shenjën diferenciale, atëherë marrim ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2+1+C.

Prandaj kemi një grup antiderivativësh të funksionit y = x · e x 2 + 1 , të cilat janë të vlefshme për të gjitha x , x ∈ - 1 ; 2.

Është e nevojshme të merret antiderivati në C = 0 dhe të zbatohet formula Njuton-Leibniz. Pastaj marrim një shprehje të formës

∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Përgjigje:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Shembulli 3

Njehsoni integralet ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x dhe ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Zgjidhje

Segmenti - 4; - 1 2 thotë se funksioni nën shenjën integrale është i vazhdueshëm, që do të thotë se është i integrueshëm. Nga këtu gjejmë bashkësinë e antiderivativëve të funksionit y = 4 x 3 + 2 x 2 . Ne e kuptojmë atë

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Është e nevojshme të merret antiderivati F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, më pas, duke aplikuar formulën Newton-Leibniz, marrim integralin, të cilin e llogarisim:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Ne bëjmë kalimin në llogaritjen e integralit të dytë.

Nga segmenti [-1; 1 ] kemi që integrandi konsiderohet i pakufizuar, sepse lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , atëherë rrjedh se kusht i nevojshëm integrueshmëria nga një segment. Atëherë F (x) = 2 x 2 - 2 x nuk është një antiderivativ për y = 4 x 3 + 2 x 2 nga intervali [ - 1 ; 1 ] , pasi pika O i përket segmentit, por nuk përfshihet në domenin e përkufizimit. Kjo do të thotë se ekziston një integral i caktuar i Riemann dhe Newton-Leibniz për funksionin y = 4 x 3 + 2 x 2 nga intervali [ - 1 ; një].

Përgjigje: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, ekziston një integral i caktuar i Riemann dhe Njuton-Leibniz për funksionin y = 4 x 3 + 2 x 2 nga intervali [ - 1 ; një].

Përpara se të përdorni formulën Newton-Leibniz, duhet të dini saktësisht për ekzistencën e një integrali të caktuar.

Ndryshimi i ndryshores në një integral të caktuar

Kur funksioni y = f (x) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm nga segmenti [ a ; b], pastaj grupi ekzistues [a; b ] konsiderohet të jetë diapazoni i funksionit x = g (z) i përcaktuar në intervalin α ; β me derivatin ekzistues të vazhdueshëm, ku g (α) = a dhe g β = b, pra marrim se ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Kjo formulë përdoret kur është e nevojshme të llogaritet integrali ∫ a b f (x) d x, ku integrali i pacaktuar ka formën ∫ f (x) d x, e llogarisim duke përdorur metodën e zëvendësimit.

Shembulli 4

Njehsoni një integral të caktuar të formës ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Zgjidhje

Integrandi konsiderohet i vazhdueshëm në intervalin e integrimit, që do të thotë se ekziston integrali i caktuar. Le të japim shënimin se 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Vlera x \u003d 9 do të thotë që z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, dhe për x \u003d 18 marrim që z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 \u003d 3, pastaj g u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Duke zëvendësuar vlerat e marra në formulën ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, marrim se

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

Sipas tabelës së integraleve të pacaktuar kemi që një nga antiderivativët e funksionit 2 z 2 + 9 merr vlerën 2 3 a r c t g z 3 . Pastaj, duke zbatuar formulën Njuton-Leibniz, marrim atë

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4 π4

Gjetja mund të bëhet pa përdorur formulën ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Nëse metoda e zëvendësimit përdor një integral të formës ∫ 1 x 2 x - 9 d x , atëherë mund të arrijmë në rezultatin ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Nga këtu do të kryejmë llogaritjet duke përdorur formulën Newton-Leibniz dhe do të llogarisim integralin e caktuar. Ne e kuptojmë atë

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 18 - 9 3 - arctg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctg 3 - arctg 1 = 2 3 π 3 - π4 \u003d π 18

Rezultatet përputheshin.

Përgjigje: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrimi sipas pjesëve në llogaritjen e një integrali të caktuar

Nëse në segmentin [a; b ] funksionet u (x) dhe v (x) janë të përcaktuar dhe të vazhdueshëm, atëherë derivatet e tyre të rendit të parë v " (x) u (x) janë të integrueshëm, kështu që nga ky interval për funksionin e integrueshëm u " (x) v ( x) barazia ∫ abv " (x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu " (x) v (x) dx është e vërtetë.

Formula mund të përdoret atëherë, është e nevojshme të llogaritet integrali ∫ a b f (x) d x, dhe ∫ f (x) d x ishte e nevojshme për ta gjetur atë duke përdorur integrimin sipas pjesëve.

Shembulli 5

Njehsoni integralin e caktuar ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x.

Zgjidhje

Funksioni x sin x 3 + π 6 është i integrueshëm në segmentin - π 2; 3 π 2 , pra është i vazhdueshëm.

Le të u (x) \u003d x, pastaj d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx, dhe d (u (x)) \u003d u "(x) dx \u003d dx, dhe v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Nga formula ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x marrim atë

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - mëkat - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Zgjidhja e shembullit mund të bëhet në një mënyrë tjetër.

Gjeni grupin e antiderivativëve të funksionit x sin x 3 + π 6 duke përdorur integrimin sipas pjesëve duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

∫ x sin xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = sin x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Përgjigje: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Le të jepet një funksion i vazhdueshëm f në një segment të boshtit Ox. Supozojmë se ky funksion nuk e ndryshon shenjën e tij në të gjithë intervalin.

Nëse f është një funksion i vazhdueshëm dhe jo negativ në një segment të caktuar, dhe F është disa nga antiderivativët e tij në këtë segment, atëherë sipërfaqja e trapezit lakor S është e barabartë me rritjen e antiderivativit në këtë segment.

Kjo teoremë mund të shkruhet në formulën e mëposhtme:

S = F(b) - F(a)

Integrali i funksionit f(x) nga a në b do të jetë i barabartë me S. Këtu dhe më poshtë, për të treguar integralin e caktuar të një funksioni f(x), me kufijtë e integrimit nga a në b, do të përdorim shënimin e mëposhtëm (a;b)∫f( x). Më poshtë është një shembull se si do të dukej.

Formula Njuton-Leibniz

Pra, ne mund t'i barazojmë këto dy rezultate. Marrim: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), me kusht që F të jetë një antiderivativ për funksionin f në . Kjo formulë quhet Formulat e Njuton-Leibniz. Do të jetë e vërtetë për çdo funksion të vazhdueshëm f në interval.

Formula Njuton-Leibniz përdoret për llogaritjen e integraleve. Le të shohim disa shembuj:

Shembulli 1: njehsoni integralin. Gjeni antiderivativin për integrandin x 2 . Një nga antiderivativët do të jetë funksioni (x 3)/3.

Tani ne përdorim formulën Newton-Leibniz:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Përgjigje: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Shembulli 2: njehsoni integralin (0;pi)∫sin(x)dx.

Gjeni antiderivativin për integrandin sin(x). Një nga antiderivativët do të jetë funksioni -cos(x). Le të përdorim formulën Newton-Leibniz:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Përgjigje: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Ndonjëherë, për thjeshtësi dhe lehtësi të shënimit, rritja e funksionit F në segmentin (F(b)-F(a)) shkruhet si më poshtë:

Duke përdorur këtë shënim për rritje, formula e Newton-Leibniz mund të rishkruhet si më poshtë:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Integrale. Formula Njuton-Leibniz. përpiluesi: mësuesi i matematikës GOUNPO PU nr. 27 f. Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Qëllimi i orës së mësimit: Prezantoni konceptin e një integrali dhe llogaritjen e tij duke përdorur formulën Njuton-Leibniz, duke përdorur njohuritë për antiderivativin dhe rregullat për llogaritjen e tij; Ilustroni zbatimin praktik të integralit me shembuj të gjetjes së sipërfaqes së një trapezi lakor; Përforconi atë që keni mësuar përmes ushtrimeve.

Përkufizim: Le të jepet një funksion pozitiv f(x), i përcaktuar në një segment të fundëm [ a;b ] . Integrali i një funksioni f(x) në [a;b] është zona e trapezit të tij lakor. y=f(x) b a 0 x y

Emërtimi:  "integral nga a në b ef nga x de x"

Referenca historike: Emërtimi i integralit Leibniz rrjedh nga shkronja e parë e fjalës "Summa" (Summa). Njutoni nuk ofroi një simbolikë alternative të integralit në veprat e tij, megjithëse u përpoq opsione të ndryshme. Termi integral u krijua nga Jacob Bernoulli. S umma Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Emërtimi integral i pacaktuar prezantuar nga Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler Fourier shpiku formulimin e një integrali të caktuar në formën me të cilën jemi mësuar.

Formula Njuton - Leibniz

Shembulli 1. Njehsoni integralin e caktuar: = Zgjidhje:

Shembulli 2. Njehsoni integrale të caktuar: 5 9 1

Shembulli 3. S y x Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshti x. Së pari, le të gjejmë pikat e kryqëzimit të boshtit x me grafikun e funksionit. Për ta bërë këtë, ne do të zgjidhim ekuacionin. = Zgjidhje: S =

y x S A B D C Shembulli 4 . Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar me drejtëza dhe gjeni pikat e prerjes (abshisave) të këtyre drejtëzave duke zgjidhur ekuacionin S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4,5 = 4,5

RREGULLAT E SINQWINE 1 rresht - tema e sinkronizimit 1 fjalë 2 rresht - 2 mbiemra që përshkruajnë veçoritë dhe vetitë e temës 3 rresht - 3 folje që përshkruajnë natyrën e veprimit 4 rresht - ofertë e shkurtër prej 4 fjalësh, duke treguar qëndrimin tuaj personal ndaj temës 5 rresht - 1 fjalë, një sinonim ose lidhjen tuaj me temën e temës.

Integral 2. Numëroni definitiv, pozitiv, shtoni, shumëzoni 4. Llogaritni me formulën e Njuton-Leibnizit 5. Sipërfaqja

Lista e literaturës së përdorur: teksti shkollor Kolmagorov A.N. dhe të tjera.Algjebra dhe fillimi i analizës 10 - 11 qeliza.

Faleminderit për vëmendjen! "TALENTI është 99% punë dhe 1% aftësi" urtësi popullore

Shembulli 1. Njehsoni integralin e caktuar: = Zgjidhje: shembulli 4

Pamja paraprake:

Lënda: matematikë (algjebra dhe fillimi i analizës), nota: klasa e 11-të.

Tema e mësimit: "Integral. Formula e Njuton-Leibnizit.

Lloji i mësimit: Mësimi i materialit të ri.

Kohëzgjatja e mësimit: 45 minuta.

Objektivat e mësimit: të prezantojë konceptin e një integrali dhe llogaritjen e tij duke përdorur formulën Njuton-Leibniz, duke përdorur njohuritë për antiderivativin dhe rregullat për llogaritjen e tij; ilustroni zbatimin praktik të integralit në shembuj të gjetjes së sipërfaqes së një trapezi lakor; përforconi atë që keni mësuar gjatë ushtrimeve.

Objektivat e mësimit:

Edukative:

formojnë konceptin e një integrali;
formimi i aftësive për llogaritjen e një integrali të caktuar;
formimi i aftësive aplikim praktik integrale për të gjetur zonën e një trapezi lakor.

Zhvillimi:

zhvillimi i interesit njohës të studentëve, zhvillimi i të folurit matematikor, aftësia për të vëzhguar, krahasuar, nxjerrë përfundime;
zhvillojnë interesin për lëndën me ndihmën e TIK-ut.

Edukative:

për të intensifikuar interesin për marrjen e njohurive të reja, formimin e saktësisë dhe saktësisë në llogaritjen e integralit dhe në ekzekutimin e vizatimeve.

Pajisjet: PC, sistemi operativ Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; projektor multimedial, ekran.

Literatura: teksti shkollor Kolmagorova A.N. e të tjera.Algjebra dhe fillimi i analizës 10-11 qeliza.

Teknologjitë: TIK, trajnime individuale.

GJATË ORËSVE

Faza e mësimit	Veprimtaria e mësuesit	Veprimtaritë e nxënësve	Koha
Prezantimi
Koha e organizimit	Përshëndet, kontrollon gatishmërinë e nxënësve për mësimin, organizon vëmendjen. Jep një përmbledhje.	Dëgjoni, shkruani datën.	3 min
Raportimi i temës dhe objektivave të orës së mësimit	Aktualizimi i njohurive bazë dhe përvojës subjektive me akses në objektivat e orës së mësimit.	Dëgjoni, shkruani temën e mësimit në një fletore.Të përfshirë në mënyrë aktive në aktivitetin mendor. Analizoni, krahasoni, nxirrni përfundime me qasje në objektivat e mësimit.	Prezantimi TIK 3 min
Pjesa kryesore e mësimit Një prezantim i materialit të ri me një test kalues të njohurive për temat e kaluara.
Përkufizimi i integralit (rrëshqitje 3)	Jep një përkufizim. TIK Çfarë është një trapezoid lakor?	Një figurë e kufizuar nga një grafik i një funksioni, një segment dhe drejtëza x=a dhe x=b.	10 min
Shënim integral (rrëshqitje 4)	Prezanton shënimin për integralin dhe mënyrën se si lexohet.	Dëgjo, shkruaj.
Historia e integralit (rrëshqitje 5 dhe 6)	Tregon historinë e termit "integral".	Dëgjoni, mbani shënime.
Formula e Njuton-Leibnizit (rrëshqitja 7)	Jep formulën Njuton-Leibniz. Çfarë do të thotë F në formulë?	Dëgjoni, mbani shënime, përgjigjuni pyetjeve nga mësuesi. primitive.
Pjesa e fundit e mësimit.
Rregullimi i materialit. Zgjidhja e shembujve duke përdorur materialin e studiuar
Shembulli 1 (rrëshqitje 8)	Analizon zgjidhjen e shembullit, duke bërë pyetje për gjetjen e antiderivativëve për integrandët.	Dëgjoni, shkruani, tregoni njohuri për tabelën e antiderivativëve.	20 minuta
Shembulli 2 (rrëshqitje 9). Shembuj për zgjidhje e pavarur nxënësit.	Kontrollon zgjidhjen e shembujve.	Kryeni detyrën me radhë, duke komentuar (teknologjia e të mësuarit individual), dëgjoni njëri-tjetrin, shkruani, tregoni njohuri për temat e kaluara.
Shembulli 3 (rrëshqitje 10)	Analizon zgjidhjen e shembullit. Si të gjejmë pikat e kryqëzimit të boshtit të abshisave me grafikun e një funksioni?	Dëgjoni, përgjigjuni pyetjeve, tregoni njohuri për temat e kaluara, shkruani. Barazoni integrandin me 0 dhe zgjidhni ekuacionin.
Shembulli 4 (rrëshqitja 11)	Analizon zgjidhjen e shembullit. Si të gjejmë pikat e kryqëzimit (abshisat) të grafikëve të funksionit? Përcaktoni llojin e trekëndëshit ABC. Sa është sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë?	Dëgjoni, përgjigjuni pyetjeve. Barazoni funksionet me njëri-tjetrin dhe zgjidhni ekuacionin që rezulton. Drejtkëndëshe. ku a dhe b janë këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë.
Përmbledhja e mësimit (rrëshqitjet 12 dhe 13)	Organizon punën për përpilimin e syncwine.	Merrni pjesë në përpilimin e syncwine. Analizoni, krahasoni, nxirrni përfundime mbi temën.	5 minuta.
Detyrat e shtëpisë sipas nivelit të vështirësisë.	Jep detyrat e shtëpisë dhe shpjegon.	Dëgjo, shkruaj.	1 minutë.
Vlerësimi i punës së nxënësve në mësim.	Vlerëson punën e nxënësve në mësim, analizon.	Dëgjo.	1 minutë

Pamja paraprake:

Abstrakt referencë me temën “Integral. Formula e Njuton-Leibnizit.

	Përkufizimi: Le të jepet një funksion pozitiv f(x) , i përcaktuar në një segment të fundëm.Integrali i funksionit f(x) onështë zona e trapezit të saj lakor.
	Përcaktimi: Lexohet: "integral nga a në b ef nga x de x"
	Formula Njuton - Leibniz
	Shembulli 1 Llogaritni integralin e caktuar: Zgjidhja:
	Shembulli 3. dhe boshti x. Zgjidhja:
	Shembulli 3 Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija Dhe .