Sot do të flasim për hulumtimin e funksionit. Është e rëndësishme të theksohet se matematika funksionon në të njëjtën mënyrë si shtëpi e zakonshme: Fillimisht vendoset themeli dhe më pas shtrohen tullat shtresë pas shtrese. Roli i themelit në matematikë luhet nga një funksion (korrespondencë midis dy grupeve). Pas prezantimit të konceptit të një funksioni, ata fillojnë ta studiojnë atë si një objekt në të njëjtën mënyrë siç u bë me numrat.
Në fakt, në jetë, ne gjithashtu përdorim shpesh jo vetëm objektet, por edhe korrespondencat midis tyre, marrëdhëniet midis objekteve. Një shembull janë librat për dashurinë (dashuria është një marrëdhënie midis njerëzve).
Pas ekzaminimit të funksioneve në matematikë, njeriu fillon të hetojë bashkësitë e funksioneve, pastaj hapësirat e funksioneve, e kështu me radhë. Por sot do të flasim për analizën parësore të funksionit.
Çfarë është një funksion? Një funksion është një korrespondencë midis grupeve. Në këtë mësim do të flasim për funksionet numerike, domethënë për korrespondencën midis tyre grupe numerike... Do të flasim gjithashtu për vetinë lokale të funksionit (sjelljen e funksionit në një pikë specifike të caktuar) dhe globale (vetinë e lidhur me të gjithë shtrirjen e përkufizimit të funksionit). Derivati është përshkrimi i vetive lokale të funksioneve, dhe integrali është përshkrimi i atyre globale.
Për shembull, ekzistojnë dy funksione të ndryshme, por grafikët e tyre përkojnë në një pikë (shih Fig. 1). Por cili është ndryshimi midis sjelljes së funksioneve në afërsi të kësaj pike? Kjo është ajo që do të diskutohet.
Oriz. 1. Prerje e grafikëve të dy funksioneve të ndryshme
Nga grafiku i funksionit, mund të përcaktoni lehtësisht vetitë e tij: monotoni (funksioni rritet ose zvogëlohet), barazia (çuditshmëria) dhe periodiciteti (shih Fig. 2).
Oriz. 2. Veçoritë e funksioneve
Të gjitha këto karakteristika janë matematikore. Por derivati përdoret shpesh në jetë. Më shpesh, kur përshkruajmë një proces duke përdorur një grafik, ne jemi të interesuar për dinamikën e këtij procesi, domethënë jo për vlerën e funksionit në një pikë specifike, por se si do të sillet funksioni në të ardhmen (a do të rritet ose ulje?). Për shembull, kur duam të analizojmë rritjen e çmimeve ose të krahasojmë çmimet për periudha të ndryshme kohore (vlerat absolute mund të kenë ndryshuar, por dinamika ka mbetur e njëjtë) (shih Fig. 3).
Oriz. 3. Dinamika e çmimeve të arit
Derivati ndihmon për të kuptuar se si do të sillet funksioni në afërsi të një pike të caktuar.
Vlen të sqarohet se në shkollë, më së shpeshti derivati i një funksioni kërkohet në të gjithë domenin e përkufizimit. Kjo për faktin se funksionet e hulumtuara janë “të mira”, pra sjellja e tyre është e parashikueshme në të gjithë aksin. Por në përgjithësi, një derivat është një karakteristikë lokale e një funksioni.
Për shembull, kur shikoni foto me shpejtësi të ndryshme shkrehëse, mund të ketë disa opsione:
- makinat janë në këmbë dhe njerëzit janë secili në vendin e vet (shih Fig. 4);
- foto e paqartë, ju mund të shihni se kush po shkon ku (shih Fig. 5).
Oriz. 4. Foto me ekspozim nga
Oriz. 5. Foto me ekspozim nga
Opsioni i dytë është ilustrim vizual derivat (turbullon figurën).
Në një moment, një funksion merr një kuptim specifik dhe prej tij është praktikisht e pamundur të nxirret ndonjë përfundim për sjelljen e tij. Dhe nëse marrim parasysh fqinjësinë e kësaj pike, atëherë tashmë mund të themi se cila anë është më e vogël (cila anë është më e madhe) dhe të konkludojmë nëse rritet apo zvogëlohet. Kjo do të thotë, kur shpejtësia e diafragmës është e vogël, ne shohim vlerën e funksionit në një pikë, dhe kur marrim parasysh vonesën e kornizës, tashmë mund të analizojmë sjelljen e funksionit (shih Fig. 6).
Oriz. 6. Analogjia ndërmjet derivatit dhe fotografisë
V Jeta e përditshme ne shpesh e analizojmë situatën si analiza e funksioneve në matematikë. Për shembull, kur themi se jashtë po ngrohet (më ftohtë), nuk tregojmë një temperaturë specifike për momentin, por nënkuptojmë se së shpejti temperatura do të rritet (ulet). Kjo është e ngjashme me llogaritjen e derivatit (shih Fig. 7).
Oriz. 7. Analiza e ndryshimeve të temperaturës
Prezantoni përcaktim i saktë derivatore.
Funksioni derivativnë pikën kufiri quhet kur raporti i rritjes së funksionit në këtë pikë me rritjen e argumentit (me kusht që ky kufi të ekzistojë):
Meqenëse duam të prezantojmë një koncept të tillë si shpejtësia e ndryshimit të një funksioni (fjala kryesore është shpejtësia), atëherë mund të vizatoni një paralele me fizikën. Shpejtësia e menjëhershme - Vektor sasi fizike, e barabartë me raportin e lëvizjes me intervalin kohor gjatë të cilit ka ndodhur kjo lëvizje, nëse intervali kohor tenton në zero:
Shpejtësia e menjëhershme, m / s; - lëvizja e trupit, m (at); - intervali kohor me tendencë zero, s.
Por është e rëndësishme të sqarojmë se kur folëm për temperaturën, ne treguam vetëm karakteristikat cilësore të procesit, por nuk folëm për shkallën e ndryshimit të temperaturës. Derivati merr parasysh shkallën e ndryshimit të funksionit. Funksionet mund të rriten në mënyra të ndryshme. Për shembull, parabola () rritet më shpejt se logaritmi () (shih Figurën 8).
Oriz. 8. Shkalla e rritjes së grafikëve të funksioneve dhe
Është për të krahasuar shkallën e rritjes (uljes) të një funksioni që ne prezantojmë një karakteristikë specifike të funksionit - derivatin. Duke tërhequr një analogji midis derivatit dhe shpejtësisë së lëvizjes së çdo objekti (shpejtësia është raporti i distancës së përshkuar me kohën, ose ndryshimi i koordinatës për njësi të kohës), mund të themi se në kufi derivati është raporti i ndryshimi i funksionit (d.m.th., rruga që kalon pika nëse ajo lëviz përgjatë grafikut të funksionit) në rritjen e argumentit (koha gjatë së cilës është kryer lëvizja) (shih Fig. 9). Ky është kuptimi mekanik (fizik) i derivatit.
Oriz. 9. Analogjia ndërmjet shpejtësisë dhe derivatit
Një derivat është një veti lokale e një funksioni. Është e rëndësishme të bëhet dallimi midis llogaritjes së derivatit në të gjithë domenin e përkufizimit dhe në një seksion specifik, sepse funksioni mund të jetë kuadratik në një interval, linear në një tjetër, e kështu me radhë. Por ky është i gjithi një funksion, dhe në pika të ndryshme një funksion i tillë do të ketë kuptime të ndryshme derivatore.
Për shumicën e funksioneve të përcaktuara në mënyrë analitike (me një formulë specifike), ne kemi një tabelë të derivateve (shih Fig. 10). Ky është një analog i tabelës së shumëzimit, domethënë ka funksione bazë për të cilat derivatet tashmë janë llogaritur (mund të vërtetohet se ato kanë pikërisht këtë formë), dhe më pas ka disa rregulla (shih Fig. 11) ( analoge të shumëzimit ose pjesëtimit në një kolonë), me të cilat mund të përdoren për të llogaritur derivatet funksionet komplekse, vepra derivatore etj. Kështu, për pothuajse të gjitha funksionet e shprehura në terma të funksioneve të njohura për ne, ne mund të përshkruajmë sjelljen e funksionit në të gjithë domenin e përkufizimit.
Oriz. 10. Tabela e derivateve
Oriz. 11. Rregullat e diferencimit
Por gjithsesi, përkufizimi i derivatit, të cilin e dhamë më herët, është pikësor. Për të përgjithësuar derivatin në një pikë në të gjithë domenin e funksionit, është e nevojshme të vërtetohet se në çdo pikë vlera e derivatit do të përkojë me vlerat e të njëjtit funksion.
Nëse imagjinojmë një funksion të tillë që nuk shkruhet në mënyrë analitike, atëherë në afërsi të secilës pikë mund ta paraqesim atë si funksion linear. Derivati i një funksioni linear në një lagje të një pike është i lehtë për t'u llogaritur. Nëse e paraqesim një funksion në mënyrë lineare, atëherë ai përkon me tangjenten e tij (shih Fig. 12).
Oriz. 12. Paraqitja e një funksioni në çdo pikë si funksion linear
Nga trekëndësh kënddrejtë ne e dimë se tangjentja është e barabartë me raportin e këmbës së kundërt me këmbën ngjitur. Rrjedhimisht, kuptimi gjeometrik i derivatit është se derivati është tangjentja e këndit të prirjes së tangjentes në këtë pikë (shih Fig. 13).
Oriz. 13. Kuptimi gjeometrik i derivatit
Duke folur për derivatin si shpejtësi, mund të themi se nëse funksioni zvogëlohet, atëherë derivati i tij është negativ, dhe anasjelltas, nëse funksioni rritet, atëherë derivati i tij është pozitiv. Nga ana tjetër, derivatin e kemi përcaktuar si tangjente e pjerrësisë së tangjentes. Kjo është gjithashtu e lehtë për t'u shpjeguar. Nëse funksioni rritet, atëherë tangjentja formon një kënd akut dhe tangjentja e këndit akut është pozitive. Prandaj, derivati është pozitiv. Siç mund ta shihni, kuptimi fizik dhe gjeometrik i derivatit përkoi.
Nxitimi është shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë (d.m.th., derivati i shpejtësisë). Nga ana tjetër, shpejtësia është një derivat i zhvendosjes. Rezulton se nxitimi është derivati i dytë (derivati i derivatit) i zhvendosjes (shih Fig. 14).
Oriz. 14. Zbatimi i derivatit në fizikë
Një derivat është një mjet për të mësuar rreth vetive të një funksioni.
Derivati përdoret për të zgjidhur problemet e optimizimit. Ka një shpjegim për këtë. Meqenëse derivati tregon rritjen e funksionit, ai mund të përdoret për të gjetur maksimumin dhe minimumin lokal të funksionit. Duke ditur që në një seksion funksioni u rrit, dhe më pas filloi të zvogëlohej, supozojmë se ka një maksimum lokal në një moment. Në mënyrë të ngjashme, nëse funksioni u ul dhe më pas filloi të rritet, në një moment ekziston minimale lokale(shih fig. 15).
Oriz. 15. Minimumet dhe maksimalet lokale të funksionit
Në praktikë, kjo mund të përdoret për të gjetur, për shembull, fitimin maksimal në kushte të caktuara. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni pikën në të cilën do të ketë një maksimum lokal. Nëse duhet të përcaktojmë kosto minimale, atëherë, në përputhje me rrethanat, është e nevojshme të përcaktohet pika në të cilën ndodhet minimumi lokal (shih Fig. 16).
Oriz. 16. Gjetja e fitimit maksimal dhe kostos minimale
Shkolla zgjidh shumë probleme optimizimi. Le të shqyrtojmë një prej tyre.
Çfarë duhet të jetë një gardh drejtkëndor me gjatësi fikse për të mbyllur zonën maksimale (shih Figurën 17)?
Oriz. 17. Detyra e optimizimit
Rezulton se gardhi duhet të jetë katror.
Ka shumë detyra të tilla, kur një parametër fiksohet dhe i dyti duhet të optimizohet. Parametri që është fiksuar është të dhënat tona të detyrës (për shembull, materiali për gardhin). Dhe ekziston një parametër që ne duam të marrim minimumin ose maksimumin (për shembull, zona maksimale, madhësia minimale). Kjo do të thotë, formohet një çift "burim - efekt". Ekziston një burim i caktuar që është vendosur fillimisht, dhe një efekt që duam të marrim.
Tani le të kalojmë te vetitë globale të funksionit. Konsideroni rastin më të thjeshtë të një integrali. Le të marrim një seri numrash:. Një seri është gjithashtu një funksion (i një argumenti natyror), çdo numër ka të vetin numër serik dhe vlera. 
.
Le të shkruajmë formulën për gjetjen e shumës së kësaj serie:
Shuma deri në një vlerë të caktuar do të jetë vlera e integralit.
Për shembull, për:
Kjo do të thotë, integrali është në të vërtetë shuma (në këtë rast, shuma e vlerave të funksionit).
Shumica e studentëve e lidhin integralin me sipërfaqen. Le të përpiqemi ta lidhim shembullin me shumën e serisë dhe sipërfaqes. Le ta rishkruajmë këtë seri si një funksion linear:.
Atëherë shuma e kësaj serie do të jetë shuma e sipërfaqeve të pjesëve nën grafik (në këtë rast, trapezoidët) (shih Fig. 18).
Oriz. 18. Zona nën grafikun e funksionit
Shuma e sipërfaqeve është e barabartë me sipërfaqen e shumës (nëse pjesët në të cilat ndahet figura nuk kryqëzohen). Prandaj, integrali është zona nën grafikun e funksionit. Kështu, pasi kemi gjetur integralin, mund të gjejmë sipërfaqen e një pjese të aeroplanit. Për shembull, mund të gjeni zonën nën grafik.
Nëse duam të prezantojmë rreptësisht përkufizimin e integralit për sa i përket sipërfaqes së figurës nën funksion, atëherë duhet ta ndajmë vetë figurën në copa shumë të vogla. Nuk është gjithmonë aq i përshtatshëm për të llogaritur sipërfaqen si në rastin e një funksioni linear. Merrni një funksion, për shembull. Nëse e përafrojmë funksionin në mënyrë lineare (siç sugjeruam të bënim në rastin e derivatit), atëherë, ashtu si në shembullin e mëparshëm, do të marrim ndarjen e të gjithë sipërfaqes në shumën e sipërfaqeve të trapezoideve (shih Fig. 19).
Atëherë, në kufi, shuma është integrali, domethënë sipërfaqja nën grafikun e funksionit.
Oriz. 19. Zona nën grafikun e funksionit
Por si mund ta llogarisim këtë sipërfaqe (integrale)? Për funksionet e njohura, ekziston një tabelë integralesh (e ngjashme me tabelën e derivateve). Por në rastin e përgjithshëm, ne e përafrojmë funksionin sipas segmenteve dhe marrim parasysh shumën e sipërfaqeve të trapezoideve nën këto segmente. Duke ulur intervalet, në kufi fitojmë vlerën e integralit.
Ndryshe nga derivati, kur një derivat "i mirë" merret gjithmonë për një funksion "të mirë", kjo nuk ndodh në rastin e një integrali. Për shembull, për një funksion kaq të thjeshtë si llogaritja e integralit dhe përfaqësimi i tij në formën e funksioneve analitike, ne nuk mundemi (shih Fig. 20).
Llogaritja e integralit nuk është një detyrë e lehtë, dhe për këtë arsye ekzistenca e një formule kaq të thjeshtë të Njuton-Leibnizit (shih Fig. 20), e cila na lejon të llogarisim shpejt vlerën e integralit, nëse e dimë formën e tij, lehtëson shumë llogaritjet. . Përndryshe, do të ishte e vështirë për të llogaritur zonën kufizuese çdo herë.
Oriz. 20. Formula e Njuton-Leibnizit për llogaritjen e integraleve
Prandaj, metodat kryesore të llogaritjes përfshijnë:
- një tabelë integralesh për ato funksione që mund të llogarisim (shih Fig. 21);
- vetitë integrale që ju lejojnë të llogaritni kombinime të ndryshme të funksioneve të tabelës (shih Fig. 22);
- Formula e Njuton-Leibnizit (nëse e numërojmë vlerën në pikën më të djathtë dhe e zbresim vlerën në pikën më të majtë, marrim sipërfaqen) (shih Fig. 20).
Oriz. 21. Tabela e integraleve
Oriz. 22. Vetitë e një integrali të caktuar
Në shkollë, formula e Newton-Leibniz nuk është nxjerrë, megjithëse kjo nuk është e vështirë të bëhet nëse e përcaktoni integralin si sipërfaqe nën grafik.
Më shumë për nxjerrjen e formulës Newton-Leibniz:
Për të kuptuar më mirë ndryshimin midis vetive lokale dhe globale të një funksioni, merrni parasysh shembullin e gjuajtjes së objektivit. Nëse bëni disa të shtëna përreth (asnjëra prej tyre nuk godet në qendër) dhe llogaritni mesataren, ju merrni praktikisht (shih Fig. 23). Edhe pse në fakt gjuajtësi mund të godiste gjatë gjithë kohës mbi ose poshtë objektivit, mesatarja do të jetë sërish afër.
Oriz. 23. Qitje me objektiv
Ju mund të jepni një shembull nga fizika - qendra e gravitetit. E njëjta masë me të njëjtën qendër graviteti mund të shpërndahet në mënyra krejtësisht të ndryshme (shih Fig. 24).
Oriz. 24. Variantet e shpërndarjes së masës me të njëjtën qendër graviteti
Një shembull tjetër është temperature mesatare përmes spitalit. Nëse dikush ka temperaturë, dhe dikush tjetër, atëherë mesatarisht rezulton dhe duket se pacientët nuk janë aq të sëmurë.
Nëse flasim për marrëdhënien midis një derivati (karakteristike lokale) dhe një integrali (karakteristikë globale), atëherë është e qartë intuitivisht se këto janë koncepte reciproke. Në fakt, është. Nëse marrim derivatin e integralit ose integralin e derivatit, atëherë marrim funksionin origjinal. Për ta shpjeguar këtë, merrni parasysh lëvizjen e trupit. Ne tashmë e dimë se shpejtësia është një derivat i zhvendosjes. Le të përpiqemi të kryejmë operacionin e kundërt. Për ta bërë këtë, ne shprehim lëvizjen në terma të shpejtësisë dhe kohës:
Dhe nëse shikojmë grafikun (shpejtësia ndryshon në mënyrë lineare), do të shohim se rruga është produkt i shpejtësisë dhe kohës. Nga ana tjetër, është zona nën grafik (shih Figurën 25).
Oriz. 25. Marrëdhënia midis derivatit dhe integralit
Nëse llogaritni integralin e shpejtësisë, merrni vlerën për shtegun. Dhe shpejtësia është një derivat i rrugës.
Prandaj, derivati dhe integrali janë funksione reciproke. Ka një provë rigoroze për këtë.
Oriz. 26. Lidhja midis derivatit dhe integralit
Por për të analizuar, kuptuar se çfarë është në lojë dhe për të punuar me veprimet e diferencimit (llogaritja e derivatit) dhe integrimit (llogaritja e integralit), do të mjaftojë ajo që është thënë në këtë mësim dhe materialet nga mësimet kryesore.
Kur duhet të gjejmë një shtëpi në rr. Nevskaya, dhe ne u larguam para shtëpisë, pastaj shkojmë majtas ose djathtas nga kjo shtëpi për të kuptuar se si po shkon numërimi.
\ (\ DeclareMathOperator (\ tg) (tg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ ctg) (ctg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ arctg) (arctg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ arcctg) (arcctg) \)
përmbajtjaElementet e përmbajtjes
Derivati, tangjenti, antiderivativi, grafikët e funksioneve dhe derivatet.
Derivat Le të përcaktohet funksioni \ (f (x) \) në një fqinjësi të pikës \ (x_0 \).
Derivati i funksionit \ (f \) në pikën \ (x_0 \) quhet limit
\ (f "(x_0) = \ lim_ (x \ shigjeta djathtas x_0) \ dfrac (f (x) -f (x_0)) (x-x_0), \)
nëse ekziston ky kufi.
Derivati i një funksioni në një pikë karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të këtij funksioni në një pikë të caktuar.
| Funksioni | Derivat |
| \ (konst \) | \(0\) |
| \ (x \) | \(1\) |
| \ (x ^ n \) | \ (n \ cdot x ^ (n-1) \) |
| \ (\ dfrac (1) (x) \) | \ (- \ dfrac (1) (x ^ 2) \) |
| \ (\ sqrt (x) \) | \ (\ dfrac (1) (2 \ sqrt (x)) \) |
| \ (e ^ x \) | \ (e ^ x \) |
| \ (a ^ x \) | \ (a ^ x \ cdot \ ln (a) \) |
| \ (\ ln (x) \) | \ (\ dfrac (1) (x) \) |
| \ (\ log_a (x) \) | \ (\ dfrac (1) (x \ ln (a)) \) |
| \ (\ sin x \) | \ (\ cos x \) |
| \ (\ cos x \) | \ (- \ mëkat x \) |
| \ (\ tg x \) | \ (\ dfrac (1) (\ cos ^ 2 x) \) |
| \ (\ ctg x \) | \ (- \ dfrac (1) (\ sin ^ 2x) \) |
Rregullat e diferencimit\ (f \) dhe \ (g \) - funksionet në varësi të ndryshores \ (x \); \ (c \) është një numër.
2) \ ((c \ cdot f) "= c \ cdot f" \)
3) \ ((f + g) "= f" + g "\)
4) \ ((f \ cdot g) "= f" g + g "f \)
5) \ (\ majtas (\ dfrac (f) (g) \ djathtas) "= \ dfrac (f" g-g "f) (g ^ 2) \)
6) \ (\ majtas (f \ majtas (g (x) \ djathtas) \ djathtas) "= f" \ majtas (g (x) \ djathtas) \ cdot g "(x) \) - derivat i një funksioni kompleks
Kuptimi gjeometrik i derivatit Ekuacioni i një drejtëze- jo paralel me boshtin \ (Oy \) mund të shkruhet si \ (y = kx + b \). Koeficienti \ (k \) në këtë ekuacion quhet pjerrësia e vijës së drejtë... Është e barabartë me tangjenten këndi i prirjes këtë vijë të drejtë.
Këndi i prirjes së vijës së drejtë- këndi midis drejtimit pozitiv të boshtit \ (Ox \) dhe vijës së drejtë të dhënë, i matur në drejtim të këndeve pozitive (d.m.th., në drejtimin e rrotullimit më të vogël nga boshti \ (Ox \) në \ (Oy \) boshti).
Derivati i funksionit \ (f (x) \) në pikën \ (x_0 \) është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit në këtë pikë: \ (f "(x_0) = \ tg \ alfa. \)
Nëse \ (f "(x_0) = 0 \), atëherë tangjentja me grafikun e funksionit \ (f (x) \) në pikën \ (x_0 \) është paralel me boshtin \ (Ox \).
Ekuacioni tangjent
Ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit \ (f (x) \) në pikën \ (x_0 \):
\ (y = f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0) \)
Monotonia e një funksioni Nëse derivati i një funksioni është pozitiv në të gjitha pikat e intervalit, atëherë funksioni rritet në këtë interval.
Nëse derivati i një funksioni është negativ në të gjitha pikat e intervalit, atëherë funksioni zvogëlohet në këtë interval.
Pikat minimale, maksimale dhe të lakimit pozitive në negativ në këtë pikë, atëherë \ (x_0 \) është pika maksimale e funksionit \ (f \).
Nëse funksioni \ (f \) është i vazhdueshëm në pikën \ (x_0 \), dhe vlera e derivatit të këtij funksioni \ (f "\) ndryshon nga negativ në pozitive në këtë pikë, atëherë \ (x_0 \) është pika minimale e funksionit \ (f \).
Quhen pikat në të cilat derivati \ (f "\) është zero ose nuk ekziston pikat kritike funksioni \ (f \).
Pikat e brendshme të fushës së përcaktimit të funksionit \ (f (x) \), në të cilat \ (f "(x) = 0 \) mund të jenë pika minimale, maksimale ose lakimi.
Kuptimi fizik i derivatit Nëse një pikë materiale lëviz drejtvizore dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit \ (x = x (t) \), atëherë shpejtësia e kësaj pike është e barabartë me derivatin e koordinatës në lidhje me kohën:
Nxitimi i një pike materiale është i barabartë me derivatin e shpejtësisë së kësaj pike në lidhje me kohën:
\ (a (t) = v "(t). \)
Ky tutorial është i pari në një seri videosh mbi integrimin. Në të do të analizojmë se çfarë është antiderivati i një funksioni, si dhe do të studiojmë teknikat elementare për llogaritjen e këtyre antiderivativëve.
Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar këtu: në thelb, gjithçka zbret në konceptin e një derivati, me të cilin tashmë duhet të jeni njohur. :)
Vëre menjëherë se pasi ky është mësimi i parë në tonë temë e re, sot nuk do të ketë llogaritje dhe formula komplekse, por ajo që do të mësojmë sot do të krijojë bazën për llogaritje dhe ndërtime shumë më komplekse gjatë llogaritjes së integraleve dhe zonave komplekse.
Përveç kësaj, duke filluar studimin e integrimit dhe integraleve në veçanti, supozojmë në mënyrë implicite se studenti tashmë të paktën është i njohur me konceptet e derivatit dhe ka të paktën aftësi elementare në llogaritjen e tyre. Pa një kuptim të qartë të kësaj, nuk ka absolutisht asgjë për të bërë në integrim.
Megjithatë, ky është një nga problemet më të zakonshme dhe tinëzare. Fakti është se, duke filluar të llogaritin antiderivativët e tyre të parë, shumë studentë i ngatërrojnë ato me derivatet. Si rezultat, bëhen gabime të trashë dhe fyese në provime dhe punë të pavarur.
Prandaj, tani nuk do të jap një përkufizim të qartë të antiderivativit. Në këmbim, ju sugjeroj të shihni se si llogaritet duke përdorur një shembull të thjeshtë konkret.
Çfarë është një antiderivativ dhe si llogaritet
Ne e dimë këtë formulë:
\ [((\ majtas (((x) ^ (n)) \ djathtas)) ^ (\ prim)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]
Ky derivat konsiderohet elementar:
\ [(f) "\ majtas (x \ djathtas) = ((\ majtas (((x) ^ (3)) \ djathtas)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]
Le të shohim me kujdes shprehjen që rezulton dhe të shprehim $ ((x) ^ (2)) $:
\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ majtas (((x) ^ (3)) \ djathtas)) ^ (\ prim))) (3) \]
Por ne mund ta shkruajmë kështu, sipas përkufizimit të derivatit:
\ [((x) ^ (2)) = ((\ majtas (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ djathtas)) ^ (\ prim)) \]
Tani vëmendje: ajo që sapo shkruam është përkufizimi i një antiderivati. Por për ta shkruar saktë, duhet të shkruani sa vijon:
Le të shkruajmë shprehjen e mëposhtme në një mënyrë të ngjashme:
Nëse e përgjithësojmë këtë rregull, mund të nxjerrim formulën e mëposhtme:
\ [((x) ^ (n)) \ në \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
Tani mund të formulojmë një përkufizim të qartë.
Një antiderivativ i një funksioni është një funksion derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal.
Pyetje antiderivative
Do të duket një përkufizim mjaft i thjeshtë dhe i drejtpërdrejtë. Sidoqoftë, duke e dëgjuar atë, një student i vëmendshëm do të ketë menjëherë disa pyetje:
- Le të themi në rregull, kjo formulë është e saktë. Sidoqoftë, në këtë rast, për $ n = 1 $, kemi probleme: "zero" shfaqet në emërues dhe është e pamundur të pjesëtohet me "zero".
- Formula është e kufizuar vetëm në shkallë. Si të numëroni antiderivativin, për shembull, sinus, kosinus dhe çdo trigonometri tjetër, si dhe konstante.
- Një pyetje ekzistenciale: a është gjithmonë e mundur të gjendet një antiderivativ fare? Nëse po, çfarë ndodh me shumën primitive, diferencën, produktin, etj.?
Pyetjes së fundit do t'i përgjigjem menjëherë. Fatkeqësisht, antiderivati, në ndryshim nga derivati, nuk merret gjithmonë parasysh. Nuk ka të tillë formula universale, sipas të cilit nga çdo ndërtim fillestar fitojmë një funksion që do të jetë i barabartë me këtë ndërtim të ngjashëm. Sa i përket shkallëve dhe konstanteve - tani do të flasim për këtë.
Zgjidhja e problemeve me funksionet e fuqisë
\ [((x) ^ (- 1)) \ në \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]
Siç mund ta shihni, kjo formulë nuk funksionon për $ ((x) ^ (- 1)) $. Shtrohet pyetja: çfarë funksionon atëherë? Nuk mund të numërojmë $ ((x) ^ (- 1)) $? Sigurisht që mundemi. Le të kujtojmë së pari këtë:
\ [((x) ^ (- 1)) = \ frak (1) (x) \]
Tani le të mendojmë: derivati i të cilit funksion është $ \ frac (1) (x) $. Natyrisht, çdo student që e ka studiuar këtë temë të paktën pak do të kujtojë se derivati i logaritmit natyror është i barabartë me këtë shprehje:
\ [((\ majtas (\ ln x \ djathtas)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (x) \]
Prandaj, mund të shkruajmë me besim sa vijon:
\ [\ frac (1) (x) = ((x) ^ (- 1)) \ në \ ln x \]
Ju duhet ta dini këtë formulë, ashtu si derivati i funksionit të fuqisë.
Pra, ajo që ne dimë për momentin:
- Për një funksion fuqie - $ ((x) ^ (n)) \ në \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
- Për një konstante - $ = konst \ në \ cdot x $
- Një rast i veçantë i një funksioni fuqie - $ \ frac (1) (x) \ në \ ln x $
Dhe nëse fillojmë të shumëzojmë dhe pjesëtojmë funksionet më të thjeshta, atëherë si mund të llogarisim antiderivativin e një produkti ose një herësi. Fatkeqësisht, analogjitë me një derivat të një vepre ose një të veçantë nuk funksionojnë këtu. Nuk ka asnjë formulë standarde. Për disa raste, ekzistojnë formula speciale të ndërlikuara - ne do të njihemi me to në mësimet e ardhshme video.
Megjithatë, mbani mend: formulë e përgjithshme, analoge me formulën për llogaritjen e derivatit të herësit dhe produktit nuk ekziston.
Zgjidhja e problemeve reale
Problemi numër 1
Le të marrim secilën prej funksionet e fuqisë le të numërojmë veçmas:
\ [((x) ^ (2)) \ në \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
Duke u kthyer në shprehjen tonë, ne do të shkruajmë ndërtimin e përgjithshëm:
Problemi numër 2
Siç e kam thënë tashmë, primitivët e veprave dhe ato private nuk llogariten. Sidoqoftë, këtu mund të veproni si më poshtë:
Thyesin e ndajmë në shumën e dy thyesave.
Le të numërojmë:
Lajmi i mirë është se duke ditur formulat për llogaritjen e antiderivativëve, tashmë jeni në gjendje të numëroni më shumë struktura komplekse... Megjithatë, le të shkojmë përpara dhe të zgjerojmë njohuritë tona pak më shumë. Fakti është se shumë ndërtime dhe shprehje që, në shikim të parë, nuk kanë asnjë lidhje me $ ((x) ^ (n)) $, mund të përfaqësohen si një fuqi me një eksponent racional, përkatësisht:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]
\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]
\ [\ frac (1) (((x) ^ (n))) = ((x) ^ (- n)) \]
Të gjitha këto teknika mund dhe duhet të kombinohen. Shprehjet e fuqisë mund
- shumëzoj (fuqitë mblidhen);
- pjesëtoj (gradat zbriten);
- shumëzohet me një konstante;
- etj.
Zgjidhja e shprehjeve me një fuqi me një eksponent racional
Shembulli nr. 1
Le të numërojmë secilën rrënjë veç e veç:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ në \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ frac (1) (2) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (\ frac (3) (2)) = \ frac (2 \ cdot (( x) ^ (\ frak (3) (2)))) (3) \]
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ në \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4))) (\ frac ( 1) (4) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (\ frac (5) (4)) = \ frac (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]
Në total, i gjithë ndërtimi ynë mund të shkruhet si më poshtë:
Shembulli nr. 2
\ [\ frac (1) (\ sqrt (x)) = ((\ majtas (\ sqrt (x) \ djathtas)) ^ (- 1)) = ((\ majtas ((x) ^ (\ frac ( 1) (2))) \ djathtas)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) \]
Prandaj, marrim:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (3))) = ((x) ^ (- 3)) \ në \ frac (((x) ^ (- 3 + 1))) (- 3 +1) = \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ frak (1) (2 ((x) ^ (2))) \]
Në total, duke mbledhur gjithçka në një shprehje, mund të shkruani:
Shembulli nr. 3
Së pari, vini re se ne kemi konsideruar tashmë $ \ sqrt (x) $:
\ [\ sqrt (x) \ në \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ frac (3) (2))) \ në \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2) +1))) (\ frac (3) (2 ) +1) = \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (2)))) (5) \]
Le të rishkruajmë:
Shpresoj se nuk do të befasoj askënd nëse them se ajo që sapo kemi studiuar është vetëm llogaritjet më të thjeshta të antiderivativëve, ndërtimet më elementare. Le të shohim tani pak më shumë shembuj kompleks, në të cilën, përveç antiderivativëve tabelare, do t'ju duhet të rikujtoni edhe kurrikulën e shkollës, përkatësisht, formulat e shkurtuara të shumëzimit.
Zgjidhja e shembujve më kompleksë
Problemi numër 1
Le të kujtojmë formulën për katrorin e diferencës:
\ [((\ majtas (a-b \ djathtas)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \]
Le të rishkruajmë funksionin tonë:
Tani duhet të gjejmë antiderivativin e një funksioni të tillë:
\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ në \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ në \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3))) (4) \]
Duke bashkuar gjithçka në një dizajn të përbashkët:
Problemi numër 2
Në këtë rast, ne duhet të zgjerojmë kubin e diferencës. Le të kujtojmë:
\ [((\ majtas (ab \ djathtas)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((b) ^ (3)) \]
Duke marrë parasysh këtë fakt, mund të shkruhet si më poshtë:
Le ta transformojmë pak funksionin tonë:
Ne numërojmë si gjithmonë - për secilin term veç e veç:
\ [((x) ^ (- 3)) \ në \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]
\ [((x) ^ (- 2)) \ në \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]
\ [((x) ^ (- 1)) \ në \ ln x \]
Le të shkruajmë ndërtimin që rezulton:
Problemi numër 3
Në krye kemi katrorin e shumës, le ta zgjerojmë atë:
\ [\ frac (((\ majtas (x + \ sqrt (x) \ djathtas)) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt ( x ) + ((\ majtas (\ sqrt (x) \ djathtas)) ^ (2))) (x) = \]
\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ frac (1) (2))) + 1 \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ në \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2))) (3) \]
Le të shkruajmë zgjidhjen përfundimtare:
Tani vëmendje! Shumë gjë e rëndësishme, e cila lidhet me pjesën më të madhe të gabimeve dhe keqkuptimeve. Fakti është se deri më tani, duke numëruar antiderivativët me ndihmën e derivateve, duke sjellë transformime, nuk kemi menduar se me çfarë është i barabartë derivati i një konstante. Por derivati i konstantës është i barabartë me "zero". Kjo do të thotë që ju mund të shkruani opsionet e mëposhtme:
- $ ((x) ^ (2)) \ në \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
- $ ((x) ^ (2)) \ në \ frac (((x) ^ (3))) (3) + 1 $
- $ ((x) ^ (2)) \ në \ frac (((x) ^ (3))) (3) + C $
Kjo është shumë e rëndësishme për t'u kuptuar: nëse derivati i një funksioni është gjithmonë i njëjtë, atëherë ka pafundësisht shumë antiderivativë për të njëjtin funksion. Thjesht mund të shtojmë çdo numër konstant në antiderivativët tanë dhe të marrim të rinj.
Nuk është rastësi që në shpjegimin e detyrave që sapo kemi zgjidhur shkruhej “Shkruani formë e përgjithshme antiderivatet”. ato. tashmë supozohet paraprakisht se nuk ka një, por një mori të tërë prej tyre. Por, në fakt, ato ndryshojnë vetëm në konstanten $ C $ në fund. Prandaj, në detyrat tona, ne do të korrigjojmë atë që nuk kemi përfunduar.
Ne i rishkruajmë konstruksionet tona përsëri:
Në raste të tilla, duhet të shtoni se $ C $ është një konstante - $ C = konst $.
Në funksionin tonë të dytë, marrim ndërtimin e mëposhtëm:
Dhe e fundit:
Dhe tani morëm vërtet atë që kërkohej prej nesh në gjendjen fillestare të problemit.
Zgjidhja e problemave të gjetjes së antiderivativëve me një pikë të caktuar
Tani, kur dimë për konstantet dhe për veçoritë e shkrimit të antiderivativëve, është mjaft logjike që lloji tjetër problemet kur nga bashkësia e të gjithë antiderivativëve kërkohet të gjendet një dhe vetëm një që do të kalonte në një pikë të caktuar. Çfarë është kjo detyrë?
Fakti është se të gjithë antiderivativët e këtij funksioni ndryshojnë vetëm në atë që ato zhvendosen vertikalisht me një numër. Dhe kjo do të thotë që pavarësisht se në cilën pikë në planin koordinativ marrim, një antiderivativ do të kalojë domosdoshmërisht, dhe, për më tepër, vetëm një.
Pra, detyrat që do të zgjidhim tani janë formuluar si më poshtë: jo vetëm të gjejmë antiderivativin, duke ditur formulën e funksionit origjinal, por të zgjedhim saktësisht njërën prej tyre që kalon në një pikë të caktuar, koordinatat e së cilës do të jepen në deklaratë problemi.
Shembulli nr. 1
Së pari, le të numërojmë çdo term:
\ [((x) ^ (4)) \ në \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]
\ [((x) ^ (3)) \ në \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]
Tani ne i zëvendësojmë këto shprehje në ndërtimin tonë:
Ky funksion duhet të kalojë në pikën $ M \ majtas (-1; 4 \ djathtas) $. Çfarë do të thotë që kalon nëpër një pikë? Kjo do të thotë që nëse në vend të $ x $ vendosim $ -1 $ kudo, dhe në vend të $ F \ majtas (x \ djathtas) $ - $ -4 $, atëherë duhet të marrim barazinë numerike të saktë. Le ta bejme kete:
Ne shohim që kemi një ekuacion për $ C $, kështu që le të përpiqemi ta zgjidhim atë:
Le të shkruajmë vetë zgjidhjen që po kërkonim:
Shembulli nr. 2
Para së gjithash, është e nevojshme të hapni katrorin e diferencës sipas formulës së shumëzimit të shkurtuar:
\ [((x) ^ (2)) \ në \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
Ndërtimi origjinal do të shkruhet si më poshtë:
Tani le të gjejmë $ C $: zëvendësojmë koordinatat e pikës $ M $:
\ [- 1 = \ frak (8) (3) -12 + 18 + C \]
Duke shprehur $ C $:
Mbetet për të shfaqur shprehjen përfundimtare:
Zgjidhja e problemeve trigonometrike
Si akord i fundit i asaj që sapo kemi analizuar, unë propozoj të shqyrtojmë edhe dy të tjera detyra sfiduese të cilat përmbajnë trigonometri. Në to, në të njëjtën mënyrë, do t'ju duhet të gjeni antiderivativë për të gjitha funksionet, pastaj zgjidhni nga ky grup të vetmin që kalon në pikën $ M $ në planin koordinativ.
Duke parë përpara, dua të vërej se teknika që ne tani do të përdorim për të gjetur antiderivativët e funksionet trigonometrike, në fakt, është një teknikë universale për vetë-testim.
Problemi numër 1
Le të kujtojmë formulën e mëposhtme:
\ [((\ majtas (\ teksti (tg) x \ djathtas)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]
Bazuar në këtë, ne mund të shkruajmë:
Le të lidhim koordinatat e $ M $ në shprehjen tonë:
\ [- 1 = \ tekst (tg) \ frac (\ tekst () \! \! \ Pi \! \! \ Tekst ()) (\ tekst (4)) + C \]
Le ta rishkruajmë shprehjen duke pasur parasysh këtë fakt:
Problemi numër 2
Këtu do të jetë pak më e vështirë. Tani do të shihni pse.
Le të kujtojmë këtë formulë:
\ [((\ majtas (\ teksti (ctg) x \ djathtas)) ^ (\ prim)) = - \ frac (1) (((\ mëkat) ^ (2)) x) \]
Për të hequr qafe "minusin", duhet të bëni sa më poshtë:
\ [((\ majtas (- \ teksti (ctg) x \ djathtas)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (((\ mëkat) ^ (2)) x) \]
Këtu është ndërtimi ynë
Zëvendësoni koordinatat e pikës $ M $:
Në total, ne shkruajmë ndërtimin përfundimtar:
Kjo është gjithçka për të cilën doja t'ju tregoja sot. Ne kemi studiuar vetë termin antiderivativë, si t'i numërojmë ato nga funksionet elementare dhe gjithashtu si të gjejmë antiderivativin që kalon nëpër një pikë specifike në planin koordinativ.
Shpresoj se ky tutorial do t'ju ndihmojë të paktën pak për ta kuptuar këtë temë komplekse... Në çdo rast, është në antiderivativët që të pacaktuar dhe integrale të pacaktuara prandaj është absolutisht e nevojshme numërimi i tyre. Kjo është e gjitha për mua. Deri herën tjetër!
Drejtëza y = 3x + 2 është tangjente me grafikun e funksionit y = -12x ^ 2 + bx-10. Gjeni b, duke pasur parasysh se abshisa e pikës së prekjes është më e vogël se zero.
Trego zgjidhjeZgjidhje
Le të jetë x_0 abshisa e pikës në grafikun e funksionit y = -12x ^ 2 + bx-10, nëpër të cilën kalon tangjentja e këtij grafiku.
Vlera e derivatit në pikën x_0 është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes, pra y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Nga ana tjetër, pika tangjente i përket të dy grafikut të funksionit. dhe tangjenten, pra -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Marrim sistemin e ekuacioneve \ fillimi (rastet) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ fundi (rastet)
Duke zgjidhur këtë sistem, marrim x_0 ^ 2 = 1, që do të thotë ose x_0 = -1, ose x_0 = 1. Sipas kushtit, abshisa e pikës së prekjes është më e vogël se zero, prandaj x_0 = -1, pastaj b = 3 + 24x_0 = -21.
Përgjigju
gjendja
Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) (i cili është një vijë e thyer e përbërë nga tre segmente të drejtëza). Duke përdorur figurën, llogaritni F (9) -F (5), ku F (x) është një nga antiderivativët e f (x).
Trego zgjidhjeZgjidhje
Sipas formulës Newton-Leibniz, diferenca F (9) -F (5), ku F (x) është një nga antiderivativët e funksionit f (x), është e barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor të kufizuar. nga grafiku i funksionit y = f (x), nga drejtëzat y = 0 , x = 9 dhe x = 5. Sipas grafikut, ne përcaktojmë se trapezi i lakuar i treguar është një trapez me baza të barabarta me 4 dhe 3 dhe një lartësi 3.
Zona e saj është \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Figura tregon grafikun e y = f "(x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (-4; 10). Gjeni intervalet e zvogëlimit të funksionit f (x). Në përgjigjuni, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.
Zgjidhje
Siç e dini, funksioni f (x) zvogëlohet në ato intervale në secilën pikë të të cilave derivati f "(x) është më i vogël se zero. Duke marrë parasysh se është e nevojshme të gjendet gjatësia e më të madhit prej tyre, tre të tilla intervalet dallohen natyrshëm nga figura: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).
Gjatësia e më të madhit prej tyre - (5; 9) është e barabartë me 4.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Figura tregon grafikun e y = f "(x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (-8; 7). Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f (x) që i përkasin intervali [-6; -2].
.png)
Zgjidhje
Grafiku tregon se derivati f "(x) i funksionit f (x) ndryshon shenjën nga plus në minus (është në pika të tilla që do të ketë një maksimum) saktësisht në një pikë (midis -5 dhe -4) nga intervali [-6; -2 ] Prandaj, ekziston saktësisht një pikë maksimale në intervalin [-6; -2].
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Figura tregon një grafik të funksionit y = f (x), të përcaktuar në intervalin (-2; 8). Përcaktoni numrin e pikave në të cilat derivati i funksionit f (x) është 0.
Zgjidhje
Barazia me zero e derivatit në një pikë do të thotë që tangjentja me grafikun e funksionit, të vizatuar në këtë pikë, është paralele me boshtin Ox. Prandaj, gjejmë pika në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me boshtin Ox. Në këtë grafik, pika të tilla janë pika ekstreme (pikat maksimale ose minimale). Siç mund ta shihni, ka 5 pika ekstreme.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Drejtëza y = -3x + 4 është paralele me tangjenten me grafikun e funksionit y = -x ^ 2 + 5x-7. Gjeni abshisën e pikës së prekjes.
Trego zgjidhjeZgjidhje
Pjerrësia e drejtëzës në grafikun e funksionit y = -x ^ 2 + 5x-7 në një pikë arbitrare x_0 është e barabartë me y "(x_0). Por y" = - 2x + 5, pra y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. Këndore koeficienti i drejtëzës y = -3x + 4, i specifikuar në kusht, është i barabartë me -3 Vijat paralele kanë të njëjtin pjerrësi Prandaj gjejmë një vlerë të tillë prej x_0 që = -2x_0 + 5 = -3.
Ne marrim: x_0 = 4.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Në figurë është paraqitur grafiku i funksionit y = f (x) dhe pikat -6, -1, 1, 4 janë shënuar në boshtin e abshisës. Në cilën nga këto pika është më e vogla vlera e derivatit? Tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.
Dosja e mësimit 29.
Derivat. Aplikimi derivat. Antiderivativ.
Pjerrësia e tangjentes me grafikun e funksionit në pikën me abshisën x 0 është e barabartë me derivatin e funksionit në pikën x 0. .
ato. derivati i funksionit në pikën x 0 është i barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në pikën (x 0; f (x 0)).
Ushtrimi 1. Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) dhe tangjenten e këtij grafiku, të vizatuar në një pikë me abshisë. x x 0 .
Përgjigje: 0.25
Ushtrimi 2. Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) dhe tangjenten e këtij grafiku, të vizatuar në një pikë me abshisë. x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f (x) në pikë x 0. Përgjigje: 0.6
Ushtrimi 3. Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) dhe tangjenten me këtë grafik, të vizatuar në një pikë me abshisë. x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f (x) në pikë x 0. Përgjigje: -0.25
Ushtrimi 4. Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) dhe tangjenten e këtij grafiku, të vizatuar në një pikë me abshisë. x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f (x) në pikë x 0. Përgjigje: -0.2.
Kuptimi mekanik derivatore.
v ( t 0 ) = x' ( t 0 )
shpejtësia është derivat i koordinatës në koha. Në mënyrë të ngjashme, nxitimi është derivati kohor i shpejtësisë :
a = v' ( t ).
Ushtrimi 5 . Pika materiale lëviz në mënyrë drejtvizore sipas ligjit x (t) = 12 t 2 +4 t + 27, ku x është distanca nga pika e referencës në metra, t është koha në sekonda, e matur nga momenti kur filloi lëvizja. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 2 s. Përgjigje: 52
Detyra 6... Pika materiale lëviz në vijë të drejtë sipas ligjitx (t) = 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180, ku x- distanca nga pika e referencës në metra,t- koha në sekonda, e matur nga momenti i fillimit të lëvizjes. Në cilën pikë të kohës (në sekonda) ishte shpejtësia e saj e barabartë me 42 m / s? Përgjigje: 1
Shenjë e mjaftueshme e funksionit në rritje (ulje).
1. Nëse f `(x) në çdo pikë të intervalit (, atëherë funksioni rritet me (.
2. Nëse f `(x) në çdo pikë të intervalit (, atëherë funksioni zvogëlohet me (.
Kusht i domosdoshëm ekstreme
Nëse pika x 0 është pika ekstreme e funksionit dhe ka një derivat në këtë pikë, atëherë f `( x 0 )=0
Gjendje ekstreme të mjaftueshme
Nëse f `( x 0 x 0 vlera e derivatit ndryshon shenjën nga "+" në "-", pastaj x 0 është pika maksimale e funksionit.
Nëse f `( x 0 ) = 0 dhe kur kalon nëpër pikë x 0 vlera e derivatit ndryshon shenjën nga "-" në "+", pastaj x 0 është pika minimale e funksionit.
Detyra 7. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f (x) përcaktuar në intervalin (−7; 10). Gjeni numrin e pikave minimale të funksionit f (x) në segmentin [-3; tetë].
Zgjidhje. Pikat minimale korrespondojnë me pikat ku derivati ndryshon shenjën nga minus në plus. Në segmentin [-3; 8] funksioni ka një pikë minimale x= 4. Pra kjo pikë është 1. Përgjigje: 1.
Detyra 8... Figura tregon grafikun e funksionit të diferencueshëm y = f (x) dhe shtatë pika janë shënuar në boshtin e abshisës: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7. Në sa nga këto pika derivati i funksionit f (x) është negativ? Përgjigje: 3
Detyra 9... Figura tregon grafikun e funksionit të diferencueshëm y = f (x), të përcaktuar në intervalin (- 11; - 1). Gjeni një pikë nga segmenti [- 7; - 2], në të cilin derivati i funksionit f (x) është 0. Përgjigje: -4
Detyra 10... Figura tregon grafikun e funksionit y = f ′ (x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (2; 13). Gjeni pikën maksimale të funksionit f (x). Përgjigje: 9
Detyra 11... Figura tregon grafikun y = f ′ (x) të derivatit të funksionit f (x), të përcaktuar në intervalin (- 3; 8). Në cilën pikë të segmentit [- 2; 3] funksioni f (x) merr vlerën më të vogël? Përgjigje: -2
Detyra 12. Figura tregon grafikun y = f "(x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (- 2; 11). Gjeni abshisën e pikës në të cilën tangjentja me grafikun e funksionit y = f (x) është paralel me boshtin e abshisave ose përkon me të Përgjigjja: 3
Detyra 13. Figura tregon grafikun e y = f "(x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (- 4; 6). Gjeni abshisën e pikës në të cilën tangjentja me grafikun e funksioni y = f (x) është paralel me drejtëzën y = 3x ose përputhet me të Përgjigjja: 5
Detyra 14... Figura tregon grafikun e y = f "(x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (- 4; 13). Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit y = f (x) është paralel me drejtëzën y = - 2x − 10 ose është e njëjtë Përgjigjja: 5
Detyra 15. Drejtëza y = 5x -8 është tangjente me grafikun e funksionit 4x 2 -15x + c. Gjej c... Përgjigje: 17.
Antiderivativ
Funksioni antiderivativ F (x) për funksionin f (x) funksioni quhet, derivatore që është e barabartë me funksionin origjinal. F " ( x )= f ( x ).
Detyra 16. Figura tregon një grafik y = F (x) të njërit prej antiderivativëve të disa funksioneve f(x) të përcaktuara në intervalin (1; 13). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f (x) = 0 në segment. Përgjigje: 4
Detyra 17. Figura tregon grafikun y = F (x) të njërit prej antiderivativëve të një funksioni f (x), të përcaktuar në intervalin (- 7; 8). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f (x) = 0 në segment. Përgjigje: 1
Detyra 18... Figura tregon grafikun y = F (x) të njërit prej antiderivativëve të ndonjë funksioni f (x) dhe shënon tetë pika në boshtin e abshisave: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Në sa nga këto pika funksioni f (x) është negativ? Përgjigje: 3
Detyra 19. Figura tregon një grafik të disa funksioneve y = f (x). Funksioni F (x) = 12x 3 −3x 2 + 152x − 92 është një nga antiderivativët e funksionit f (x). Gjeni sipërfaqen e formës së mbushur. Përgjigje: 592
Algoritmi për gjetjen e pikave ekstreme
Gjeni domenin e funksionit.
Gjeni derivatin e një funksioni f "( x)
Gjeni pikat në të cilat f "( x) = 0.
Shënoni në vijën numerike domenin e funksionit dhe të gjitha zerot e derivatit.
Përcaktoni shenjën derivatorepër çdo hapësirë. (Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerën "e përshtatshme". x nga ky interval në f "( x)).
Përcaktoni zonat e rritjes dhe uljes së funksionit nga shenjat e derivatit dhe nxirrni përfundime në lidhje me praninë ose mungesën e një ekstremi dhe natyrën e tij ( maksimumi osemin ) në secilën nga këto pika.
Detyra 20. Gjeni pikën maksimale të funksionit y = (2x − 1) cosx − 2sinx + 5, që i përkasin hendekut(0; π / 2). Përgjigje: 0.5
Detyra 21.Gjeni pikën maksimale të funksionity =. Përgjigje: 6
Algoritmi për gjetjen vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit në segment
Detyra 22. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y = x −6x +1 në segment. Përgjigje: -31
Detyra 23. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y = 8cosx + 30x / π + 19 në segmentin [- 2π / 3; 0]. Përgjigje: -5
Për më tepër. 1. Gjeni pikën maksimale të funksionit y = (x − 11) 2 ⋅e x - 7.
2. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y = x 5 -5x 3 -20x në segmentin [- 9; 1]. Përgjigje: 48