Le të shqyrtojmë temën e transformimit të shprehjeve me fuqi, por së pari do të ndalemi në një numër transformimesh që mund të kryhen me çdo shprehje, përfshirë ato të fuqisë. Do të mësojmë se si të hapim kllapa, të japim terma të ngjashëm, të punojmë me bazën dhe eksponentin, të përdorim vetitë e shkallëve.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Çfarë janë shprehjet e fuqisë?

Në kursin e shkollës, pak njerëz përdorin shprehjen "shprehje fuqie", por ky term gjendet vazhdimisht në koleksionet për përgatitjen e provimit. Në shumicën e rasteve, fraza tregon shprehje që përmbajnë shkallë në hyrjet e tyre. Kjo është ajo që ne do të pasqyrojmë në përkufizimin tonë.

Përkufizimi 1

Shprehja e fuqisëështë një shprehje që përmban fuqi.

Le të japim disa shembuj të shprehjeve të fuqisë, duke filluar nga shkalla me tregues natyror dhe duke përfunduar me një shkallë me një eksponent real.

Shprehjet më të thjeshta të fuqisë mund të konsiderohen fuqitë e një numri me një eksponent natyror: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Si dhe fuqitë me eksponent zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Dhe fuqitë me fuqi të plota negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Është pak më e vështirë të punosh me një shkallë që ka eksponentë racionalë dhe irracionalë: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Treguesi mund të jetë një variabël 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ose një logaritëm x 2 l g x − 5 x l g x.

Jemi marrë me çështjen se çfarë janë shprehjet e fuqisë. Tani le të hedhim një vështrim në transformimin e tyre.

Llojet kryesore të shndërrimeve të shprehjeve të fuqisë

Para së gjithash, do të shqyrtojmë transformimet themelore të identitetit të shprehjeve që mund të kryhen me shprehjet e fuqisë.

Shembulli 1

Llogaritni vlerën e shprehjes së fuqisë 2 3 (4 2 − 12).

Zgjidhje

Ne do t'i kryejmë të gjitha transformimet në përputhje me rendin e veprimeve. Në këtë rast, do të fillojmë duke kryer veprimet në kllapa: do të zëvendësojmë shkallën me një vlerë dixhitale dhe do të llogarisim diferencën midis dy numrave. Ne kemi 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Na mbetet ta zëvendësojmë diplomën 2 3 kuptimin e saj 8 dhe llogarisni produktin 8 4 = 32. Këtu është përgjigja jonë.

Përgjigje: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Shembulli 2

Thjeshtoni shprehjen me fuqi 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Zgjidhje

Shprehja që na është dhënë në kushtin e problemit përmban terma të ngjashëm, të cilët mund t'i sjellim: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Përgjigje: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Shembulli 3

Shprehni një shprehje me fuqi 9 - b 3 · π - 1 2 si produkt.

Zgjidhje

Le të paraqesim numrin 9 si fuqi 3 2 dhe zbatoni formulën e shkurtuar të shumëzimit:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Përgjigje: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Dhe tani le të kalojmë në analizën e transformimeve identike që mund të zbatohen posaçërisht për shprehjet e fuqisë.

Puna me bazën dhe eksponentin

Shkalla në bazë ose në eksponent mund të ketë numra, variabla dhe disa shprehje. Për shembull, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 Dhe . Është e vështirë të punosh me të dhëna të tilla. Është shumë më e lehtë të zëvendësohet shprehja në bazën e shkallës ose shprehja në eksponent në mënyrë identike shprehje e barabartë.

Shndërrimet e shkallës dhe treguesit kryhen sipas rregullave të njohura për ne veçmas nga njëri-tjetri. Gjëja më e rëndësishme është që si rezultat i transformimeve të fitohet një shprehje që është identike me atë origjinale.

Qëllimi i transformimeve është thjeshtimi i shprehjes origjinale ose gjetja e një zgjidhjeje për problemin. Për shembull, në shembullin që dhamë më sipër, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 mund të kryeni operacione për të shkuar në shkallë 4 , 1 1 , 3 . Duke hapur kllapat, mund të sjellim terma të ngjashëm në bazën e shkallës (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) dhe merrni një shprehje fuqie forme e thjeshte a 2 (x + 1).

Përdorimi i vetive të energjisë

Vetitë e shkallëve, të shkruara si barazi, janë një nga mjetet kryesore për transformimin e shprehjeve me gradë. Këtu paraqesim ato kryesore, duke pasur parasysh këtë a Dhe b janë ndonjë numër pozitiv, dhe r Dhe s- numra realë arbitrarë:

Përkufizimi 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s .

Në rastet kur kemi të bëjmë me eksponentë natyrorë, të plotë, pozitivë, kufizimet në numrat a dhe b mund të jenë shumë më pak të rrepta. Kështu, për shembull, nëse marrim parasysh barazinë a m a n = a m + n, ku m Dhe n janë numra natyrorë, atëherë do të jetë e vërtetë për çdo vlerë të a-së, pozitive dhe negative, si dhe për a = 0.

Ju mund të aplikoni vetitë e shkallëve pa kufizime në rastet kur bazat e shkallëve janë pozitive ose përmbajnë variabla, sipërfaqen vlerat e lejuara e cila është e tillë që mbi të arsyet pranojnë vetëm vlerat pozitive. Në fakt, në kuadrin e kurrikulës shkollore në matematikë, detyra e nxënësit është të zgjedhë vetinë e duhur dhe ta zbatojë atë drejt.

Kur përgatiteni për pranim në universitete, mund të ketë detyra në të cilat aplikimi i pasaktë i pronave do të çojë në një ngushtim të ODZ dhe vështirësi të tjera me zgjidhjen. Në këtë pjesë, ne do të shqyrtojmë vetëm dy raste të tilla. Më shumë informacion mbi temën mund të gjeni në temën "Transformimi i shprehjeve duke përdorur vetitë e eksponentit".

Shembulli 4

Paraqitni shprehjen a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 si shkallë me bazë a.

Zgjidhje

Për të filluar, ne përdorim vetinë e fuqisë dhe transformojmë faktorin e dytë duke e përdorur atë (a 2) - 3. Pastaj përdorim vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit të fuqive me të njëjtën bazë:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Përgjigje: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Shndërrimi i shprehjeve të fuqisë sipas vetive të shkallëve mund të bëhet si nga e majta në të djathtë ashtu edhe në drejtim të kundërt.

Shembulli 5

Gjeni vlerën e shprehjes së fuqisë 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Zgjidhje

Nëse zbatojmë barazinë (a b) r = a r b r, nga e djathta në të majtë, atëherë marrim një prodhim të formës 3 7 1 3 21 2 3 dhe më pas 21 1 3 21 2 3 . Le të shtojmë eksponentët kur shumëzojmë fuqitë me të njëjtat baza: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Ekziston një mënyrë tjetër për të bërë transformime:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Përgjigje: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Shembulli 6

Jepet një shprehje fuqie a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, futni një ndryshore të re t = a 0, 5.

Zgjidhje

Imagjinoni gradën një 1, 5 si a 0, 5 3. Përdorimi i vetive gradë në një shkallë (a r) s = a r s nga e djathta në të majtë dhe merrni (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Në shprehjen që rezulton, mund të prezantoni lehtësisht një ndryshore të re t = a 0, 5: marr t 3 − t − 6.

Përgjigje: t 3 − t − 6 .

Shndërrimi i thyesave që përmbajnë fuqi

Zakonisht kemi të bëjmë me dy variante të shprehjeve të fuqisë me thyesa: shprehja është një thyesë me një shkallë ose përmban një thyesë të tillë. Të gjitha transformimet bazë të thyesave janë të zbatueshme për shprehje të tilla pa kufizime. Ato mund të reduktohen, të sillen në një emërues të ri, të punojnë veçmas me numëruesin dhe emëruesin. Le ta ilustrojmë këtë me shembuj.

Shembulli 7

Thjeshtoni shprehjen e fuqisë 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Zgjidhje

Kemi të bëjmë me një thyesë, kështu që do të kryejmë transformime si në numërues ashtu edhe në emërues:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Vendos një minus përpara thyesës për të ndryshuar shenjën e emëruesit: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Përgjigje: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Thyesat që përmbajnë fuqi reduktohen në një emërues të ri në të njëjtën mënyrë si thyesat racionale. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni një faktor shtesë dhe të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e fraksionit me të. Është e nevojshme të zgjidhni një faktor shtesë në mënyrë të tillë që të mos zhduket për asnjë vlerë të variablave nga variablat ODZ për shprehjen origjinale.

Shembulli 8

Sillni thyesat në një emërues të ri: a) a + 1 a 0, 7 në emërues a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 te emëruesi x + 8 y 1 2 .

Zgjidhje

a) Ne zgjedhim një faktor që do të na lejojë të reduktojmë në një emërues të ri. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, prandaj si faktor shtesë marrim a 0, 3. Gama e vlerave të pranueshme të ndryshores a përfshin grupin e të gjitha pozitiveve numra realë. Në këtë fushë, diploma a 0, 3 nuk shkon në zero.

Le të shumëzojmë me numëruesin dhe emëruesin e një thyese a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Kushtojini vëmendje emëruesit:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Shumëzojmë këtë shprehje me x 1 3 + 2 · y 1 6 , marrim shumën e kubeve x 1 3 dhe 2 · y 1 6 , d.m.th. x + 8 · y 1 2 . Ky është emëruesi ynë i ri, tek i cili duhet të sjellim thyesën origjinale.

Pra, gjetëm një faktor shtesë x 1 3 + 2 · y 1 6 . Në gamën e vlerave të pranueshme të variablave x Dhe y shprehja x 1 3 + 2 y 1 6 nuk zhduket, kështu që ne mund të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me të:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Përgjigje: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Shembulli 9

Zvogëlo fraksionin: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Zgjidhje

a) përdorni më të madhin emërues i përbashkët(gcd) me të cilin numëruesi dhe emëruesi mund të zvogëlohen. Për numrat 30 dhe 45, kjo është 15. Mund të zvogëlojmë gjithashtu x 0, 5 + 1 dhe në x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Ne marrim:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Këtu prania e faktorëve identikë nuk është e dukshme. Ju do të duhet të kryeni disa transformime në mënyrë që të merrni të njëjtët faktorë në numërues dhe emërues. Për ta bërë këtë, ne zgjerojmë emëruesin duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Përgjigje: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Veprimet kryesore me thyesat përfshijnë reduktimin në një emërues të ri dhe reduktimin e thyesave. Të dy veprimet kryhen në përputhje me një sërë rregullash. Gjatë mbledhjes dhe zbritjes së thyesave, thyesat fillimisht reduktohen në një emërues të përbashkët, pas së cilës veprimet (mbledhja ose zbritja) kryhen me numërues. Emëruesi mbetet i njëjtë. Rezultati i veprimeve tona është një thyesë e re, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve.

Shembulli 10

Kryeni hapat x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Zgjidhje

Le të fillojmë duke zbritur thyesat që janë në kllapa. Le t'i sjellim ato në një emërues të përbashkët:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Le të zbresim numëruesit:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Tani shumëzojmë thyesat:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Le të ulim me një shkallë x 1 2, marrim 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Për më tepër, mund të thjeshtoni shprehjen e fuqisë në emërues duke përdorur formulën për ndryshimin e katrorëve: katrorë: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Përgjigje: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Shembulli 11

Thjeshtoni shprehjen e fuqisë x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Zgjidhje

Mund ta zvogëlojmë thyesën me (x 2 , 7 + 1) 2. Marrim një fraksion x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Le të vazhdojmë transformimet e x fuqive x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Tani mund të përdorni vetinë e ndarjes së fuqisë me të njëjtat baza: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Kalojmë nga produkti i fundit në fraksionin x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Përgjigje: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Në shumicën e rasteve, është më i përshtatshëm transferimi i shumëzuesve me eksponentë negativ nga numëruesi në emërues dhe anasjelltas duke ndryshuar shenjën e eksponentit. Ky veprim thjeshton vendimin e mëtejshëm. Le të japim një shembull: shprehja e fuqisë (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 mund të zëvendësohet me x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Shndërrimi i shprehjeve me rrënjë dhe fuqi

Në detyra, ka shprehje fuqie që përmbajnë jo vetëm shkallë me eksponentë thyesorë, por edhe rrënjë. Është e dëshirueshme që shprehjet e tilla të reduktohen vetëm në rrënjë ose vetëm në fuqi. Kalimi në gradë është i preferueshëm, pasi ato janë më të lehta për t'u punuar. Një tranzicion i tillë është veçanërisht i favorshëm kur DPV e variablave për shprehjen origjinale ju lejon të zëvendësoni rrënjët me fuqi pa pasur nevojë të aksesoni modulin ose të ndani DPV në disa intervale.

Shembulli 12

Shprehni shprehjen x 1 9 x x 3 6 si fuqi.

Zgjidhje

Gama e vlefshme e një ndryshoreje x përcaktohet nga dy pabarazi x ≥ 0 dhe x · x 3 ≥ 0 , të cilat përcaktojnë bashkësinë [ 0 , + ∞) .

Në këtë grup, ne kemi të drejtë të kalojmë nga rrënjët në fuqi:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Duke përdorur vetitë e shkallëve, ne thjeshtojmë shprehjen e fuqisë që rezulton.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Përgjigje: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Shndërrimi i fuqive me ndryshore në eksponent

Këto transformime janë mjaft të thjeshta për t'u bërë nëse përdorni saktë vetitë e shkallës. Për shembull, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Mund të zëvendësojmë prodhimin e shkallës, në termat e së cilës gjendet shuma e disa ndryshoreve dhe një numri. Në anën e majtë, kjo mund të bëhet me termat e parë dhe të fundit në anën e majtë të shprehjes:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Tani le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 7 2 x. Kjo shprehje në ODZ të ndryshores x merr vetëm vlera pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Le të zvogëlojmë thyesat me fuqi, marrim: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Së fundi, raporti i fuqive me eksponentë të njëjtë zëvendësohet me fuqitë e raporteve, i cili çon në ekuacionin 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , i cili është i barabartë me 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Ne prezantojmë një ndryshore të re t = 5 7 x , e cila redukton zgjidhjen e ekuacionit origjinal eksponencial në zgjidhje ekuacioni kuadratik 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Shndërrimi i shprehjeve me fuqi dhe logaritme

Shprehjet që përmbajnë fuqi dhe logaritme gjenden gjithashtu në problema. Shembuj të shprehjeve të tilla janë: 1 4 1 - 5 log 2 3 ose log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformimi i shprehjeve të tilla kryhet duke përdorur qasjet e diskutuara më sipër dhe vetitë e logaritmeve, të cilat i kemi analizuar në detaje në temën "Transformimi i shprehjeve logaritmike".

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Math-Lalculator-Online v.1.0

Llogaritësi kryen veprimet e mëposhtme: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, punë me dhjetore, nxjerrje të rrënjës, ngritje në fuqi, llogaritje të përqindjeve dhe veprime të tjera.

Zgjidhja:

Si të përdorni kalkulatorin e matematikës

Celës	Emërtimi	Shpjegim
5	numrat 0-9	Numrat arabë. Futni numra të plotë natyrorë, zero. Për të marrë një numër të plotë negativ, shtypni tastin +/-
.	pikëpresje)	Një ndarës dhjetore. Nëse nuk ka asnjë shifër përpara pikës (presje), kalkulatori do të zëvendësojë automatikisht një zero para pikës. Për shembull: .5 - 0.5 do të shkruhet
+	shenjë plus	Mbledhja e numrave (thyesat e plota, dhjetore)
-	shenjë minus	Zbritja e numrave (thyesat e plota, dhjetore)
÷	shenjë e ndarjes	Ndarja e numrave (thyesat e plota, dhjetore)
X	shenjë shumëzimi	Shumëzimi i numrave (numra të plotë, dhjetorë)
√	rrënjë	Nxjerrja e rrënjës nga një numër. Kur shtypni përsëri butonin "rrënjë", rrënja llogaritet nga rezultati. Për shembull: rrënja katrore e 16 = 4; rrënjë katrore 4 = 2
x2	katrore	Katrorja e një numri. Kur shtypni përsëri butonin "katror", rezultati është katror, ​​për shembull: katrori 2 = 4; katror 4 = 16
1/x	fraksion	Dalje në dhjetore. Në numëruesin 1, në emërues numrin e hyrjes
%	për qind	Merrni një përqindje të një numri. Për të punuar, duhet të futni: numrin nga i cili do të llogaritet përqindja, shenjën (plus, minus, pjesëto, shumëzo), sa përqind në formë numerike, butonin "%".
(	kllapa e hapur	Një kllapa e hapur për të vendosur prioritetin e vlerësimit. Kërkohet një kllapa e mbyllur. Shembull: (2+3)*2=10
)	kllapa e mbyllur	Një kllapa e mbyllur për të vendosur prioritetin e vlerësimit. Kllapa e hapur e detyrueshme
±	plus minus	Ndryshon shenjën në të kundërt
=	barazohet	Shfaq rezultatin e zgjidhjes. Gjithashtu, llogaritjet e ndërmjetme dhe rezultati shfaqen sipër kalkulatorit në fushën "Zgjidhja".
←	fshirja e një karakteri	Fshin karakterin e fundit
NGA	rivendosur	Butoni i rivendosjes. Rivendos plotësisht kalkulatorin në "0"

Algoritmi i kalkulatorit online me shembuj

Shtimi.

Shtimi i numrave të plotë numrat natyrorë { 5 + 7 = 12 }

Shtimi i të gjithë natyrore dhe numrat negativë { 5 + (-2) = 3 }

Shtesa dhjetore numrat thyesorë { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Zbritja.

Zbritja e numrave të plotë natyrorë ( 7 - 5 = 2 )

Zbritja e numrave të plotë natyrorë dhe negativë ( 5 - (-2) = 7 )

Zbritja e numrave thyesorë dhjetorë ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Shumëzimi.

Prodhimi i numrave të plotë natyrorë ( 3 * 7 = 21 )

Prodhimi i numrave të plotë natyrorë dhe negativë ( 5 * (-3) = -15 )

Prodhimi i numrave thyesorë dhjetorë ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Divizioni.

Pjesëtimi i numrave të plotë natyrorë ( 27 / 3 = 9 )

Pjesëtimi i numrave të plotë natyrorë dhe negativë ( 15 / (-3) = -5 )

Pjesëtimi i numrave thyesorë dhjetorë (6.2 / 2 = 3.1)

Nxjerrja e rrënjës nga një numër.

Nxjerrja e rrënjës së një numri të plotë (rrënja (9) = 3)

Nxjerrja e rrënjës nga thyesat dhjetore(rrënja (2.5) = 1.58)

Nxjerrja e rrënjës nga shuma e numrave (rrënja (56 + 25) = 9)

Nxjerrja e rrënjës së diferencës në numra (rrënja (32 - 7) = 5)

Katrorja e një numri.

Katrorja e një numri të plotë ( (3) 2 = 9 )

Katrorja e numrave dhjetorë ( (2.2) 2 = 4.84 )

Shndërroni në thyesa dhjetore.

Llogaritja e përqindjeve të një numri

Rritja 230 me 15% (230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Zvogëloni numrin 510 me 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18% e numrit 140 është (140 * 0.18 = 25.2)

Shprehjet, shndërrimi i shprehjes

Shprehjet e fuqisë (shprehjet me fuqi) dhe shndërrimi i tyre

Në këtë artikull, ne do të flasim për transformimin e shprehjeve me fuqi. Së pari, do të fokusohemi në transformimet që kryhen me shprehje të çdo lloji, duke përfshirë shprehjet e fuqisë, si hapja e kllapave, reduktimi i termave të ngjashëm. Dhe më pas do të analizojmë transformimet e qenësishme në mënyrë specifike në shprehjet me shkallë: duke punuar me bazën dhe eksponentin, duke përdorur vetitë e shkallëve, etj.

Navigimi i faqes.

Çfarë janë shprehjet e fuqisë?

Termi "shprehje fuqie" praktikisht nuk gjendet në tekstet shkollore të matematikës, por shpesh shfaqet në koleksionet e detyrave, të krijuara veçanërisht për t'u përgatitur për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe OGE, për shembull,. Pas analizimit të detyrave në të cilat kërkohet të kryhet ndonjë veprim me shprehje fuqie, bëhet e qartë se shprehjet e fuqisë kuptohen si shprehje që përmbajnë shkallë në hyrjet e tyre. Prandaj, për veten tuaj, mund të merrni përkufizimin e mëposhtëm:

Përkufizimi.

Shprehjet e fuqisë janë shprehje që përmbajnë fuqi.

Le të sjellim shembuj të shprehjeve të fuqisë. Për më tepër, ne do t'i paraqesim ato sipas mënyrës se si zhvillohet zhvillimi i pikëpamjeve nga një shkallë me tregues natyror në një shkallë me një tregues real.

Siç e dini, fillimisht ka një njohje me shkallën e një numri me një eksponent natyror, në këtë fazë shprehjet e para më të thjeshta të fuqisë të tipit 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etj.

Pak më vonë, studiohet fuqia e një numri me një eksponent numër të plotë, gjë që çon në shfaqjen e shprehjeve të fuqisë me fuqi të plota negative, si më poshtë: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Në klasat e larta kthehen sërish në diploma. Aty prezantohet një shkallë me një eksponent racional, i cili çon në shfaqjen e shprehjeve përkatëse të fuqisë: , , etj. Së fundi, konsiderohen shkallët me eksponentë irracionalë dhe shprehjet që i përmbajnë: , .

Çështja nuk kufizohet në shprehjet e renditura të fuqisë: më tej ndryshorja depërton në eksponent dhe ka, për shembull, shprehje të tilla 2 x 2 +1 ose . Dhe pas njohjes, shprehjet me fuqi dhe logaritme fillojnë të shfaqen, për shembull, x 2 lgx −5 x lgx.

Pra, ne kuptuam pyetjen se çfarë janë shprehjet e fuqisë. Më tej, ne do të mësojmë se si t'i transformojmë ato.

Llojet kryesore të shndërrimeve të shprehjeve të fuqisë

Me shprehjet e fuqisë, ju mund të kryeni cilindo nga transformimet bazë të identitetit të shprehjeve. Për shembull, mund të hapni kllapa, të zëvendësoni shprehjet numerike vlerat e tyre, sjellin terma të ngjashëm, etj. Natyrisht, në këtë rast është e nevojshme të ndiqet procedura e pranuar për kryerjen e veprimeve. Le të japim shembuj.

Shembull.

Llogaritni vlerën e shprehjes së fuqisë 2 3 ·(4 2 −12) .

Zgjidhje.

Sipas renditjes së veprimeve, fillimisht kryejmë veprimet në kllapa. Aty, së pari, zëvendësojmë fuqinë e 4 2 me vlerën e saj 16 (shiko nëse është e nevojshme), dhe së dyti, llogarisim diferencën 16−12=4 . Ne kemi 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Në shprehjen që rezulton, fuqinë e 2 3 e zëvendësojmë me vlerën e saj 8, pas së cilës llogarisim prodhimin 8·4=32. Kjo është vlera e dëshiruar.

Kështu që, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Përgjigje:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Shembull.

Thjeshtoni shprehjet e fuqisë 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Zgjidhje.

Natyrisht, kjo shprehje përmban terma të ngjashëm 3 · a 4 · b − 7 dhe 2 · a 4 · b − 7 , dhe ne mund t'i zvogëlojmë ato: .

Përgjigje:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Shembull.

Shprehni një shprehje me fuqi si produkt.

Zgjidhje.

Për të përballuar detyrën lejon paraqitjen e numrit 9 si fuqi 3 2 dhe përdorimin pasues të formulës së shkurtuar të shumëzimit, ndryshimin e katrorëve:

Përgjigje:

Ekzistojnë gjithashtu një numër transformimesh identike të natyrshme në shprehjet e fuqisë. Më tej, ne do t'i analizojmë ato.

Puna me bazën dhe eksponentin

Ka shkallë, në bazën dhe/ose treguesin e të cilave nuk janë vetëm numra apo variabla, por disa shprehje. Si shembull, le të shkruajmë (2+0.3 7) 5−3.7 dhe (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kur punoni me shprehje të tilla, është e mundur të zëvendësoni si shprehjen në bazën e shkallës ashtu edhe shprehjen në tregues me një shprehje identike të barabartë në DPV të ndryshoreve të saj. Me fjalë të tjera, sipas rregullave të njohura për ne, ne mund të konvertojmë veçmas bazën e shkallës, dhe veçmas - treguesin. Është e qartë se si rezultat i këtij transformimi, fitohet një shprehje që është identike e barabartë me atë origjinale.

Transformime të tilla na lejojnë të thjeshtojmë shprehjet me fuqi ose të arrijmë qëllime të tjera që na duhen. Për shembull, në shprehjen e fuqisë (2+0.3 7) 5−3.7 të përmendur më sipër, mund të kryeni veprime me numra në bazë dhe në eksponent, gjë që do t'ju lejojë të shkoni në fuqinë 4.1 1.3. Dhe pasi hapim kllapat dhe sjellim terma të ngjashëm në bazën e shkallës (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) marrim një shprehje fuqie të një forme më të thjeshtë nga 2 (x+1) .

Përdorimi i vetive të energjisë

Një nga mjetet kryesore për transformimin e shprehjeve me fuqi janë barazitë që reflektojnë . Le të kujtojmë ato kryesore. Për çdo numër pozitiv a dhe b dhe numra realë arbitrarë r dhe s, vlejnë vetitë e mëposhtme të fuqisë:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Vini re se për eksponentët natyrorë, numra të plotë dhe pozitivë, kufizimet në numrat a dhe b mund të mos jenë aq të rrepta. Për shembull, për numrat natyrorë m dhe n, barazia a m ·a n =a m+n është e vërtetë jo vetëm për numrat pozitivë a , por edhe për ata negativë dhe për a=0 .

Në shkollë, vëmendja kryesore në transformimin e shprehjeve të fuqisë përqendrohet pikërisht në aftësinë për të zgjedhur vetinë e duhur dhe për ta zbatuar atë drejt. Në këtë rast, bazat e gradave janë zakonisht pozitive, gjë që ju lejon të përdorni vetitë e gradave pa kufizime. E njëjta gjë vlen edhe për transformimin e shprehjeve që përmbajnë variabla në bazat e shkallëve - diapazoni i vlerave të pranueshme të variablave është zakonisht i tillë që bazat marrin vetëm vlera pozitive mbi të, gjë që ju lejon të përdorni lirshëm vetitë të gradave. Në përgjithësi, duhet të pyesni vazhdimisht veten nëse është e mundur të aplikoni ndonjë pronë të gradave në këtë rast, sepse përdorimi i pasaktë i pronave mund të çojë në një ngushtim të ODZ dhe telashe të tjera. Këto pika diskutohen në detaje dhe me shembuj në artikullin e transformimit të shprehjeve duke përdorur vetitë e shkallëve. Këtu kufizohemi në disa shembuj të thjeshtë.

Shembull.

Shprehni shprehjen a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 si fuqi me bazë a .

Zgjidhje.

Së pari, ne transformojmë faktorin e dytë (a 2) −3 me vetinë e rritjes së një fuqie në një fuqi: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Në këtë rast, shprehja fillestare e fuqisë do të marrë formën a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Natyrisht, mbetet të përdorim vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit të fuqive me të njëjtën bazë, kemi
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Përgjigje:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Karakteristikat e fuqisë përdoren kur transformohen shprehjet e fuqisë nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë.

Shembull.

Gjeni vlerën e shprehjes së fuqisë.

Zgjidhje.

Barazia (a·b) r =a r ·b r, e aplikuar nga e djathta në të majtë, ju lejon të kaloni nga shprehja origjinale te produkti i formës dhe më tej. Dhe kur shumëzoni fuqitë me të njëjtën bazë, treguesit mblidhen: .

Ishte e mundur të kryhej transformimi i shprehjes origjinale në një mënyrë tjetër:

Përgjigje:

.

Shembull.

Duke pasur një shprehje fuqie a 1.5 −a 0.5 −6, vendosni një ndryshore të re t=a 0.5.

Zgjidhje.

Shkalla a 1.5 mund të përfaqësohet si 0.5 3 dhe më tej në bazë të vetive të shkallës në shkallën (a r) s =a r s, e aplikuar nga e djathta në të majtë, konvertohet në formën (a 0.5) 3 . Në këtë mënyrë, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tani është e lehtë të prezantosh një ndryshore të re t=a 0.5, marrim t 3 −t−6.

Përgjigje:

t 3 −t−6 .

Shndërrimi i thyesave që përmbajnë fuqi

Shprehjet e fuqisë mund të përmbajnë thyesa me fuqi ose të përfaqësojnë thyesa të tilla. Çdo nga transformimet bazë të thyesave që janë të natyrshme në thyesat e çdo lloji është plotësisht i zbatueshëm për thyesat e tilla. Domethënë, thyesat që përmbajnë gradë mund të reduktohen, të reduktohen në një emërues të ri, të punojnë veçmas me numëruesin e tyre dhe veçmas me emëruesin etj. Për të ilustruar fjalët e mësipërme, merrni parasysh zgjidhjet e disa shembujve.

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen e fuqisë .

Zgjidhje.

Kjo shprehje e fuqisë është një fraksion. Le të punojmë me numëruesin dhe emëruesin e tij. Në numërues hapim kllapat dhe thjeshtojmë shprehjen e marrë më pas duke përdorur vetitë e fuqive, dhe në emërues paraqesim terma të ngjashëm:

Dhe ne gjithashtu ndryshojmë shenjën e emëruesit duke vendosur një minus përpara thyesës: .

Përgjigje:

.

Reduktimi i thyesave që përmbajnë fuqi në një emërues të ri kryhet në mënyrë të ngjashme me reduktimin e thyesave racionale në një emërues të ri. Në të njëjtën kohë, gjendet edhe një faktor shtesë dhe me të shumëzohen numëruesi dhe emëruesi i thyesës. Kur kryeni këtë veprim, ia vlen të mbani mend se reduktimi në një emërues të ri mund të çojë në një ngushtim të DPV. Për të parandaluar që kjo të ndodhë, është e nevojshme që faktori shtesë të mos zhduket për asnjë vlerë të variablave nga variablat ODZ për shprehjen origjinale.

Shembull.

Sillni thyesat në një emërues të ri: a) në emëruesin a, b) tek emëruesi.

Zgjidhje.

a) Në këtë rast, është mjaft e lehtë të kuptosh se cili faktor shtesë ndihmon për të arritur rezultatin e dëshiruar. Ky është një shumëzues a 0.3, pasi një 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Vini re se në rangun e vlerave të pranueshme të ndryshores a (ky është grupi i të gjithë numrave realë pozitivë), shkalla a 0.3 nuk zhduket, prandaj, ne kemi të drejtë të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e fraksionit të dhënë. nga ky faktor shtesë:

b) Duke parë më nga afër emëruesin, gjejmë se

dhe duke shumëzuar këtë shprehje me do të japë shumën e kubeve dhe , që është, . Dhe ky është emëruesi i ri tek i cili duhet të sjellim thyesën origjinale.

Kështu ne gjetëm një faktor shtesë. Shprehja nuk zhduket në gamën e vlerave të pranueshme të ndryshoreve x dhe y, prandaj, ne mund të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e fraksionit me të:

Përgjigje:

por) , b) .

Gjithashtu nuk ka asgjë të re në reduktimin e thyesave që përmbajnë gradë: numëruesi dhe emëruesi paraqiten si një numër i caktuar faktorësh, dhe të njëjtët faktorë të numëruesit dhe emëruesit zvogëlohen.

Shembull.

Zvogëlo thyesën: a) , b).

Zgjidhje.

a) Së pari, numëruesi dhe emëruesi mund të reduktohen me numrat 30 dhe 45, që është e barabartë me 15. Gjithashtu, padyshim, ju mund të zvogëloni me x 0,5 +1 dhe me . Ja çfarë kemi:

b) Në këtë rast, të njëjtët faktorë në numërues dhe emërues nuk janë të dukshëm menjëherë. Për t'i marrë ato, duhet të kryeni transformime paraprake. Në këtë rast, ato konsistojnë në zbërthimin e emëruesit në faktorë sipas formulës së ndryshimit të katrorëve:

Përgjigje:

por)

b) .

Reduktimi i thyesave në një emërues të ri dhe zvogëlimi i thyesave përdoret kryesisht për të kryer veprime mbi thyesat. Veprimet kryhen sipas rregullat e njohura. Kur mblidhen (zbriten) thyesat, ato reduktohen në një emërues të përbashkët, pas së cilës numëruesit shtohen (zbriten) dhe emëruesi mbetet i njëjtë. Rezultati është një thyesë, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve. Pjesëtimi me një thyesë është shumëzim me reciprocitetin e saj.

Shembull.

Ndiqni hapat .

Zgjidhje.

Së pari, ne zbresim fraksionet në kllapa. Për ta bërë këtë, ne i sjellim ato në një emërues të përbashkët, i cili është , pastaj zbritni numëruesit:

Tani shumëzojmë thyesat:

Natyrisht, një reduktim me fuqinë x 1/2 është i mundur, pas së cilës kemi .

Ju gjithashtu mund të thjeshtoni shprehjen e fuqisë në emërues duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve: .

Përgjigje:

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen e fuqisë .

Zgjidhje.

Natyrisht, kjo thyesë mund të reduktohet me (x 2,7 +1) 2, kjo jep thyesën . Është e qartë se diçka tjetër duhet bërë me fuqitë e x. Për ta bërë këtë, ne e kthejmë fraksionin që rezulton në një produkt. Kjo na jep mundësinë të përdorim vetinë e fuqive ndarëse me të njëjtat baza: . Dhe në fund të procesit, kalojmë nga produkti i fundit në fraksion.

Përgjigje:

.

Dhe shtojmë se është e mundur dhe në shumë raste e dëshirueshme që të transferohen faktorët me eksponentë negativ nga numëruesi në emërues ose nga emëruesi në numërues duke ndryshuar shenjën e eksponentit. Transformime të tilla shpesh thjeshtojnë veprimet e mëtejshme. Për shembull, një shprehje fuqie mund të zëvendësohet me .

Shndërrimi i shprehjeve me rrënjë dhe fuqi

Shpesh, në shprehjet në të cilat kërkohen disa shndërrime, së bashku me shkallët me eksponentë thyesorë, ka edhe rrënjë. Për të kthyer një shprehje të tillë në lloji i duhur, në shumicën e rasteve mjafton të shkosh vetëm te rrënjët ose vetëm te pushtetet. Por meqenëse është më e përshtatshme të punosh me gradë, ato zakonisht lëvizin nga rrënjët në gradë. Sidoqoftë, këshillohet të kryhet një tranzicion i tillë kur ODZ e variablave për shprehjen origjinale ju lejon të zëvendësoni rrënjët me gradë pa pasur nevojë të aksesoni modulin ose të ndani ODZ në disa intervale (e kemi diskutuar në detaje në neni, kalimi nga rrënjët në fuqi dhe anasjelltas Pas njohjes me shkallën me një eksponent racional paraqitet një shkallë me një tregues irracional, i cili bën të mundur që të flitet për një shkallë me një tregues real arbitrar. Në këtë fazë, shkolla fillon të studiojë funksioni eksponencial, e cila jepet analitikisht nga shkalla, në bazë të së cilës ekziston një numër, dhe në tregues - një ndryshore. Pra, përballemi me shprehje eksponenciale që përmbajnë numra në bazë të shkallës, dhe në eksponent - shprehje me ndryshore, dhe natyrshëm lind nevoja për të kryer transformime të shprehjeve të tilla.

Duhet thënë se transformimi i shprehjeve të tipit të treguar zakonisht duhet të kryhet gjatë zgjidhjes ekuacionet eksponenciale Dhe pabarazitë eksponenciale , dhe këto transformime janë mjaft të thjeshta. Në shumicën dërrmuese të rasteve, ato bazohen në vetitë e diplomës dhe synojnë kryesisht futjen e një variabli të ri në të ardhmen. Ekuacioni do të na lejojë t'i demonstrojmë ato 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Së pari, eksponentët, në eksponentët e të cilëve gjendet shuma e disa ndryshoreve (ose shprehjeve me ndryshore) dhe një numri, zëvendësohen me prodhime. Kjo vlen për termat e parë dhe të fundit të shprehjes në anën e majtë:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Më pas, të dyja pjesët e barazisë ndahen me shprehjen 7 2 x, e cila merr vetëm vlera pozitive në ODZ të ndryshores x për ekuacionin origjinal (kjo është një teknikë standarde për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji, ne nuk jemi duke folur për të tani, prandaj përqendrohuni në transformimet e mëvonshme të shprehjeve me fuqi):

Tani fraksionet me fuqi janë anuluar, gjë që jep .

Së fundi, raporti i fuqive me eksponentë të njëjtë zëvendësohet me fuqitë e raporteve, gjë që çon në ekuacionin , e cila është e barabartë me . Transformimet e bëra na lejojnë të prezantojmë një ndryshore të re, e cila redukton zgjidhjen e ekuacionit origjinal eksponencial në zgjidhjen e ekuacionit kuadratik.

I. V. Boikov, L. D. Romanova Mbledhja e detyrave për përgatitjen për provim. Pjesa 1. Penza 2003.

Një shprehje algjebrike në regjistrimin e së cilës, së bashku me veprimet e mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit, përdor edhe ndarjen në shprehje fjalë për fjalë, quhet shprehje algjebrike thyesore. Të tilla janë, për shembull, shprehjet

Thyesë algjebrike quajmë shprehje algjebrike që ka formën e një herësi nga pjesëtimi i dy numrave të plotë. shprehjet algjebrike(për shembull, monomë ose polinom). Të tilla janë, për shembull, shprehjet

e treta e shprehjeve).

Transformimet e identitetit të shprehjeve algjebrike të pjesshme kanë për qëllim në pjesën më të madhe t'i përfaqësojnë ato në formën thyesa algjebrike. Për të gjetur një emërues të përbashkët, faktorizimi i emëruesve të thyesave - termave përdoret për të gjetur shumëfishin e tyre më të vogël të përbashkët. Kur zvogëloni fraksionet algjebrike, identiteti i rreptë i shprehjeve mund të cenohet: është e nevojshme të përjashtohen vlerat e sasive në të cilat faktori me të cilin bëhet zvogëlimi zhduket.

Le të japim shembuj të shndërrimeve identike të shprehjeve algjebrike thyesore.

Shembulli 1: Thjeshtoni një shprehje

Të gjithë termat mund të reduktohen në një emërues të përbashkët (është i përshtatshëm për të ndryshuar shenjën në emëruesin e termit të fundit dhe shenjën përpara tij):

Shprehja jonë është e barabartë me një për të gjitha vlerat, përveç këtyre vlerave, nuk është e përcaktuar dhe reduktimi i fraksionit është i paligjshëm).

Shembulli 2. Paraqisni shprehjen si një thyesë algjebrike

Zgjidhje. Shprehja mund të merret si emërues i përbashkët. Gjejmë radhazi:

Ushtrime

1. Gjeni vlerat e shprehjeve algjebrike për vlerat e specifikuara të parametrave:

2. Faktorizoni.

Eksponenti përdoret për ta bërë më të lehtë shkrimin e veprimit të shumëzimit të një numri në vetvete. Për shembull, në vend që të shkruani, mund të shkruani 4 5 (\displaystyle 4^(5))(një shpjegim i një tranzicioni të tillë është dhënë në pjesën e parë të këtij neni). Eksponentët e bëjnë më të lehtë shkrimin e gjatë ose shprehje komplekse ose ekuacionet; gjithashtu, fuqitë shtohen dhe zbriten lehtësisht, duke rezultuar në një thjeshtim të një shprehjeje ose ekuacioni (për shembull, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Shënim: nëse duhet të vendosni ekuacioni eksponencial(në një ekuacion të tillë e panjohura është në eksponent), lexoni .

Hapat

Zgjidhja e problemeve të thjeshta me fuqi

Shumëzoni bazën e eksponentit me vete disa herë të barabartë me eksponentin. Nëse duhet të zgjidhni një problem me eksponentët me dorë, rishkruani eksponentin si një operacion shumëzimi, ku baza e eksponentit shumëzohet në vetvete. Për shembull, duke pasur parasysh gradën 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Në këtë rast, baza e shkallës 3 duhet të shumëzohet me vetveten 4 herë: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Këtu janë shembuj të tjerë:

Së pari, shumëzoni dy numrat e parë. Për shembull, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Mos u shqetësoni - procesi i llogaritjes nuk është aq i komplikuar sa duket në shikim të parë. Së pari shumëzoni dy katërfishat e para dhe më pas zëvendësojini me rezultatin. Si kjo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Shumëzojeni rezultatin (në shembullin tonë 16) me numri tjetër. Çdo rezultat pasues do të rritet proporcionalisht. Në shembullin tonë, shumëzojeni 16 me 4. Si kjo:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Vazhdoni të shumëzoni rezultatin e shumëzimit të dy numrave të parë me numrin tjetër derisa të merrni përgjigjen përfundimtare. Për ta bërë këtë, shumëzoni dy numrat e parë dhe më pas shumëzoni rezultatin me numrin tjetër në sekuencë. Kjo metodë është e vlefshme për çdo diplomë. Në shembullin tonë, ju duhet të merrni: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Zgjidh problemet e mëposhtme. Kontrolloni përgjigjen tuaj me një kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Në kalkulator, kërkoni çelësin e emërtuar "exp" ose " x n (\displaystyle x^(n))", ose "^". Me këtë çelës ju do të ngrini një numër në një fuqi. Është praktikisht e pamundur të llogaritet manualisht shkalla me një eksponent të madh (për shembull, shkalla 9 15 (\displaystyle 9^(15))), por kalkulatori mund ta përballojë lehtësisht këtë detyrë. Në Windows 7, kalkulatori standard mund të kalohet në modalitetin inxhinierik; për ta bërë këtë, klikoni "Shiko" -\u003e "Inxhinieri". Për të kaluar në modalitetin normal, klikoni "Shiko" -\u003e "Normal".

   • Kontrolloni përgjigjen e marrë duke përdorur një motor kërkimi (Google ose Yandex). Duke përdorur tastin "^" në tastierën e kompjuterit, futni shprehjen në motorin e kërkimit, i cili do të shfaqë menjëherë përgjigjen e saktë (dhe ndoshta do të sugjerojë shprehje të ngjashme për studim).

   Mbledhja, zbritja, shumëzimi i fuqive

   1. Ju mund të shtoni dhe zbritni fuqi vetëm nëse ato kanë të njëjtën bazë. Nëse duhet të shtoni fuqi me të njëjtat baza dhe eksponentë, atëherë mund ta zëvendësoni veprimin e mbledhjes me një operacion shumëzimi. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Mos harroni se diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) mund të përfaqësohet si 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); kështu, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ku 1 +1 =2). Kjo do të thotë, numëroni numrin e shkallëve të ngjashme, dhe pastaj shumëzoni një shkallë të tillë dhe këtë numër. Në shembullin tonë, ngrini 4 në fuqinë e pestë dhe më pas shumëzojeni rezultatin me 2. Mos harroni se operacioni i mbledhjes mund të zëvendësohet nga një operacion shumëzimi, për shembull, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Këtu janë shembuj të tjerë:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, shtohen eksponentët e tyre (baza nuk ndryshon). Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen x 2 ∗ x 5 (\style ekrani x^(2)*x^(5)). Në këtë rast, ju vetëm duhet të shtoni treguesit, duke e lënë bazën të pandryshuar. Në këtë mënyrë, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Këtu është një shpjegim vizual i këtij rregulli:

      Kur rritet një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen. Për shembull, me një diplomë. Meqenëse eksponentët janë shumëzuar, atëherë (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Kuptimi i këtij rregulli është që ju të shumëfishoni fuqinë (x 2) (\displaystyle (x^(2))) në vetvete pesë herë. Si kjo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Meqenëse baza është e njëjtë, eksponentët thjesht mblidhen: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Një eksponent me një eksponent negativ duhet të shndërrohet në një fraksion (në fuqinë e kundërt). Nuk ka rëndësi nëse nuk e dini se çfarë është reciprociteti. Nëse ju jepet një diplomë me një eksponent negativ, për shembull, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), shkruani këtë fuqi në emëruesin e thyesës (vendosni 1 në numërues) dhe bëni eksponentin pozitiv. Në shembullin tonë: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Këtu janë shembuj të tjerë:

      Kur ndahen fuqitë me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre (baza nuk ndryshon). Operacioni i pjesëtimit është i kundërt i operacionit të shumëzimit. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Zbrisni eksponentin në emërues nga eksponenti në numërues (mos e ndryshoni bazën). Në këtë mënyrë, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Shkalla në emërues mund të shkruhet si më poshtë: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Mos harroni se një thyesë është një numër (fuqi, shprehje) me një eksponent negativ.

   4. Më poshtë janë disa shprehje për t'ju ndihmuar të mësoni se si të zgjidhni problemet e energjisë. Shprehjet e mësipërme mbulojnë materialin e paraqitur në këtë seksion. Për të parë përgjigjen, thjesht theksoni hapësirën boshe pas shenjës së barazimit.

      Zgjidhja e problemave me eksponentë thyesorë

      1. Një shkallë me një eksponent thyesor (për shembull, ) konvertohet në një operacion të nxjerrjes së rrënjës. Në shembullin tonë: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\style ekrani(\sqrt(x))). Nuk ka rëndësi se cili numër është në emëruesin e eksponentit thyesor. Për shembull, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))është rrënja e katërt e "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Nëse eksponenti është thyesë e papërshtatshme, atëherë një fuqi e tillë mund të zbërthehet në dy fuqi për të thjeshtuar zgjidhjen e problemit. Nuk ka asgjë të komplikuar për këtë - thjesht mbani mend rregullin për shumëzimin e fuqive. Për shembull, me një diplomë. Kthejeni atë eksponent në një rrënjë, eksponenti i së cilës është i barabartë me emëruesin e eksponentit thyesor, dhe pastaj ngrijeni atë rrënjë në eksponentin e barabartë me numëruesin e eksponentit thyesor. Për ta bërë këtë, mbani mend atë 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Në shembullin tonë:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Disa kalkulatorë kanë një buton për llogaritjen e eksponentëve (së pari duhet të futni bazën, më pas shtypni butonin dhe më pas futni eksponentin). Ajo shënohet si ^ ose x^y.
      4. Mos harroni se çdo numër është i barabartë me vetveten me fuqinë e parë, për shembull, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Për më tepër, çdo numër i shumëzuar ose pjesëtuar me një është i barabartë me vetveten, për shembull, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Dhe 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Dije që shkalla 0 0 nuk ekziston (një shkallë e tillë nuk ka zgjidhje). Kur përpiqeni të zgjidhni një diplomë të tillë në një kalkulator ose në një kompjuter, do të merrni një gabim. Por mbani mend se çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me 1, për shembull, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. Në matematikën e lartë, e cila funksionon me numra imagjinarë: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ku i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e është një konstante afërsisht e barabartë me 2.7; a është një konstante arbitrare. Dëshmia e kësaj barazie mund të gjendet në çdo tekst shkollor të matematikës së lartë.

      Paralajmërimet

      • Me rritjen e eksponentit, vlera e tij rritet shumë. Prandaj, nëse përgjigja ju duket e gabuar, në fakt mund të dalë e vërtetë. Ju mund ta kontrolloni këtë duke vizatuar ndonjë funksioni eksponencial, për shembull, 2 x.