Ndër shprehjet e ndryshme që konsiderohen në algjebër, një vend të rëndësishëm zënë shumat e monomëve. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \)

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në polinom quhen terma të polinomit. Monomeve quhen gjithashtu polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një term.

Për shembull, polinomi
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 \)
mund të thjeshtohet.

Ne i përfaqësojmë të gjithë termat si monomë pamje standarde:
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \)

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:
\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5 -8b + 16 \)
Rezultati është një polinom, të gjithë anëtarët e të cilit janë monomë të formës standarde dhe nuk ka të ngjashëm mes tyre. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Per shkallë polinomiale të formës standarde marrin shkallën më të madhe të anëtarëve të saj. Pra, binomi \ (12a ^ 2b - 7b \) ka shkallën e tretë, dhe trinomi \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - të dytën.

Zakonisht, anëtarët e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve të eksponentit të saj. Për shembull:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom standard.

Ndonjëherë anëtarët e një polinomi duhet të ndahen në grupe duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse kllapa është e kundërta e zgjerimit të kllapave, është e lehtë të formulohet Rregullat e zgjerimit të kllapave:

Nëse shenja "+" vendoset para kllapave, atëherë anëtarët e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse shenja “-” vendoset përpara kllapave, atëherë anëtarët e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetinë e shpërndarjes së shumëzimit, ju mund të transformoni (thjeshtoni) produktin e një monomi dhe një polinomi në një polinom. Për shembull:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \)

Prodhimi i një monomi dhe një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej anëtarëve të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet të shumëzoni këtë monom me secilin prej anëtarëve të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull për shumëzimin me një shumë shumë herë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit anëtar të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Shuma e katrorëve, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Disa shprehje në transformimet algjebrike duhet të trajtohen më shpesh se të tjerat. Ndoshta shprehjet më të zakonshme \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) dhe \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), domethënë katrori i shumës, katrori të diferencës dhe diferencës së katrorëve. Ju keni vënë re se emrat e këtyre shprehjeve duken të paplota, kështu që, për shembull, \ ((a + b) ^ 2 \) është, natyrisht, jo vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b. Sidoqoftë, katrori i shumës a dhe b nuk është aq i zakonshëm, si rregull, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) janë të lehta për t'u shndërruar (thjeshtuar) në polinome të formës standarde, në fakt, ju tashmë e keni hasur këtë detyrë kur shumëzoni polinomet:
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)

Është e dobishme të mbani mend dhe zbatoni identitetet e marra pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - katrori i shumës është i barabartë me shumën e katrorëve dhe produktin e dyfishuar.

\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishuar.

\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - ndryshimi i katrorëve është i barabartë me produktin e diferencës me shumën.

Këto tre identitete lejojnë në transformime të zëvendësojnë anët e tyre të majta me ato të djathta dhe anasjelltas - anët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se çfarë zëvendëson variablat a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Numrat dhe shprehjet nga të cilat përbëhet shprehja origjinale mund të zëvendësohen me shprehje identike të barabarta. Një transformim i tillë i shprehjes origjinale çon në një shprehje identike të barabartë me të.

Për shembull, në shprehjen 3 + x, numri 3 mund të zëvendësohet me shumën 1 + 2 dhe do të fitohet shprehja (1 + 2) + x, e cila është identike e barabartë me shprehjen origjinale. Një shembull tjetër: në shprehjen 1 + a 5, shkalla e një 5 mund të zëvendësohet me një produkt identikisht të barabartë, për shembull, të formës a · a 4. Kjo do të na japë shprehjen 1 + a · a 4.

Ky transformim është padyshim artificial dhe zakonisht përgatitet për ndonjë transformim të mëtejshëm. Për shembull, në shumën 4 · x 3 + 2 · x 2, duke marrë parasysh vetitë e shkallës, termi 4 · x 3 mund të përfaqësohet si prodhim 2 · x 2 · 2 · x. Pas këtij transformimi, shprehja origjinale do të marrë formën 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Natyrisht, termat në shumën që rezulton kanë një faktor të përbashkët 2 x 2, kështu që ne mund të kryejmë transformimin e mëposhtëm - kllapa. Pas kësaj, vijmë te shprehja: 2 x 2 (2 x + 1).

Shtoni dhe zbritni të njëjtin numër

Një tjetër transformim artificial i një shprehjeje është mbledhja dhe zbritja e të njëjtit numër ose shprehje në të njëjtën kohë. Ky konvertim është identik, pasi në thelb është ekuivalent me shtimin e zeros, dhe shtimi i zeros nuk e ndryshon vlerën.

Le të shohim një shembull. Merrni shprehjen x 2 + 2 x. Nëse i shtojmë një dhe zbresim një, atëherë kjo do të na lejojë të kryejmë një transformim tjetër identik në të ardhmen - zgjidhni katrorin e binomit: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1−1 = (x + 1) 2 −1.

Bibliografi.

• Algjebra: studim. për 7 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008 .-- 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algjebra: studim. për 8 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008 .-- 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algjebër. klasën e 7-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër mësuesi për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 17-të, Shto. - M .: Mnemozina, 2013 .-- 175 f.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Vetitë themelore të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave.

Vetia e zhvendosjes së mbledhjes: vlera e shumës nuk ndryshon nga ndërrimi i termave. Për çdo numër a dhe b, barazia

Vetia e kombinimit të mbledhjes: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy numrave, mund të shtoni shumën e të dytit dhe të tretë në numrin e parë. Për çdo numër a, b dhe c, barazia

Vetia e zhvendosjes së shumëzimit: vlera e produktit nuk ndryshon nga ndërrimi i faktorëve. Për çdo numër a, b dhe c, barazia

Vetia e kombinimit të shumëzimit: për të shumëzuar produktin e dy numrave me numrin e tretë, mund të shumëzoni numrin e parë me prodhimin e të dytit dhe të tretë.

Për çdo numër a, b dhe c, barazia

Vetia shpërndarëse: për të shumëzuar një numër me një shumë, mund ta shumëzoni atë numër me çdo term dhe të shtoni rezultatet. Për çdo numër a, b dhe c, barazia

Nga vetitë e zhvendosshme dhe të kombinuara të mbledhjes rrjedh: në çdo shumë, ju mund t'i riorganizoni termat sipas dëshirës dhe t'i kombinoni në mënyrë arbitrare në grupe.

Shembulli 1 Le të llogarisim shumën 1,23 + 13,5 + 4,27.

Për këtë, është i përshtatshëm për të kombinuar termin e parë me të tretën. Ne marrim:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Nga vetitë e transpozueshme dhe të kombinuara të shumëzimit rrjedh: në çdo produkt, mund t'i riorganizoni faktorët sipas dëshirës dhe t'i kombinoni në mënyrë arbitrare në grupe.

Shembulli 2 Le të gjejmë vlerën e prodhimit 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.

Duke kombinuar faktorin e parë me të katërtin dhe të dytin me të tretën do të kemi:

1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.

Vetia shpërndarëse është gjithashtu e vërtetë kur numri shumëzohet me shumën e tre ose më shumë termave.

Për shembull, për çdo numër a, b, c dhe d, barazia

a (b + c + d) = ab + ac + ad.

Ne e dimë se zbritja mund të zëvendësohet me mbledhje duke shtuar numrin e kundërt me numrin e zbritur në numrin e zbritur:

Kjo lejon një shprehje numerike tipi a-b konsideroni shumën e numrave a dhe -b, shprehja numerike e formës a + bcd konsiderohet shuma e numrave a, b, -c, -d, etj. Vetitë e konsideruara të veprimeve janë gjithashtu të vlefshme për shuma të tilla .

Shembulli 3 Gjeni vlerën e shprehjes 3,27-6,5-2,5 + 1,73.

Kjo shprehje është shuma e numrave 3.27, -6.5, -2.5 dhe 1.73. Duke aplikuar vetitë e mbledhjes, marrim: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (- 6,5-2,5) = 5 + (- 9) = -4.

Shembulli 4 Le të llogarisim prodhimin 36 · ().

Shumëzuesi mund të konsiderohet si shuma e numrave dhe -. Duke përdorur vetinë e shpërndarjes së shumëzimit, marrim:

36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.

Identitetet

Përkufizimi. Dy shprehje, vlerat përkatëse të të cilave janë të barabarta për çdo vlerë të variablave, quhen identike të barabarta.

Përkufizimi. Barazia, e vërtetë për çdo vlerë të variablave, quhet identitet.

Gjeni vlerat e shprehjeve 3 (x + y) dhe 3x + 3y në x = 5, y = 4:

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,

3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.

Ne morëm të njëjtin rezultat. Nga vetia e shpërndarjes rrjedh se, në përgjithësi, për çdo vlerë të variablave, vlerat përkatëse të shprehjeve 3 (x + y) dhe 3x + 3y janë të barabarta.

Merrni parasysh tani shprehjet 2x + y dhe 2xy. Për x = 1, y = 2, ato marrin vlera të barabarta:

Sidoqoftë, mund të specifikoni vlerat për x dhe y në mënyrë që vlerat e këtyre shprehjeve të mos jenë të barabarta. Për shembull, nëse x = 3, y = 4, atëherë

Shprehjet 3 (x + y) dhe 3x + 3y janë identikisht të barabarta, por shprehjet 2x + y dhe 2xy nuk janë identike të barabarta.

Barazia 3 (x + y) = x + 3y, e vërtetë për çdo vlerë të x dhe y, është një identitet.

Barazitë e vërteta numerike konsiderohen gjithashtu identitete.

Pra, identitetet janë barazi që shprehin vetitë themelore të veprimeve në numra:

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.

Shembuj të tjerë identitetesh mund të citohen:

a + 0 = a, a + (- a) = 0, a-b = a + (- b),

a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (- b) = ab.

Konvertime të shprehjeve identike

Zëvendësimi i një shprehjeje me një shprehje identike të barabartë me të quhet shndërrim identik ose thjesht shndërrim i shprehjes.

Shndërrimet identike të shprehjeve me ndryshore kryhen në bazë të vetive të veprimeve mbi numrat.

Për të gjetur vlerën e shprehjes xy-xz duke pasur parasysh vlerat e x, y, z, duhet të kryeni tre hapa. Për shembull, për x = 2.3, y = 0.8, z = 0.2 marrim:

xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Ky rezultat mund të merret duke kryer vetëm dy hapa, nëse përdorim shprehjen x (y-z), e cila është identike me shprehjen xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Ne thjeshtuam llogaritjet duke zëvendësuar shprehjen xy-xz me shprehjen identike të barabartë x (y-z).

Transformimet identike të shprehjeve përdoren gjerësisht në llogaritjen e vlerave të shprehjeve dhe zgjidhjen e problemeve të tjera. Disa nga transformimet identike janë kryer tashmë, për shembull, reduktimi i termave të ngjashëm, zgjerimi i kllapave. Le të kujtojmë rregullat për kryerjen e këtyre transformimeve:

për të dhënë terma të tillë, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin me pjesën e përgjithshme të shkronjës;

nëse ka një shenjë plus përpara kllapave, atëherë kllapat mund të hiqen, duke mbajtur shenjën e secilit term të mbyllur në kllapa;

nëse ka një shenjë minus para kllapave, atëherë kllapat mund të hiqen duke ndryshuar shenjën e secilit term të mbyllur në kllapa.

Shembulli 1 Le të japim terma të ngjashëm në shumën 5x + 2x-3x.

Ne do të përdorim rregullin e reduktimit të termave të tillë:

5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.

Ky transformim bazohet në vetinë e shpërndarjes së shumëzimit.

Shembulli 2 Zgjeroni kllapat në shprehjen 2a + (b-3c).

Zbatimi i rregullit për zgjerimin e kllapave të paraprirë nga një shenjë plus:

2a + (b-3c) = 2a + b-3c.

Konvertimi i kryer bazohet në veti e kombinimit shtesë.

Shembulli 3 Zgjeroni kllapat në shprehjen a- (4b-c).

Le të përdorim rregullin për zgjerimin e kllapave të paraprirë nga një shenjë minus:

a- (4b-c) = a-4b + c.

Transformimi i kryer bazohet në vetinë e shpërndarjes së shumëzimit dhe në vetinë e kombinimit të mbledhjes. Le ta tregojmë. Imagjinoni në kjo shprehje termi i dytë është (4b-c) si produkt (-1) (4b-c):

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).

Duke aplikuar vetitë e specifikuara të veprimit, marrim:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.

Shprehje numerike dhe algjebrike. Shndërrimi i shprehjeve.

Çfarë është një shprehje në matematikë? Pse keni nevojë për konvertime të shprehjes?

Pyetja, siç thonë ata, është interesante ... Fakti është se këto koncepte janë baza e të gjithë matematikës. E gjithë matematika përbëhet nga shprehjet dhe shndërrimet e tyre. Jo shumë e qartë? Më lejo të shpjegohem.

Le të themi se keni një shembull të keq përpara jush. Shumë i madh dhe shumë kompleks. Le të themi se jeni të fortë në matematikë dhe nuk keni frikë nga asgjë! Mund të jepni një përgjigje menjëherë?

Do të duhet vendosin ky shembull. Sekuencialisht, hap pas hapi, ky shembull thjeshtoj... Sipas rregullave të caktuara, natyrisht. ato. bëjnë shndërrimi i shprehjes... Sa i suksesshëm jeni në këto transformime, është sa i fortë jeni në matematikë. Nëse nuk dini të bëni transformime të sakta, në matematikë nuk mund t'i bëni asgjë...

Për të shmangur një të ardhme kaq të pakëndshme (ose të tashme ...), nuk është e dëmshme ta kuptoni këtë temë.)

Së pari, le të zbulojmë çfarë është një shprehje në matematikë... Çfarë shprehje numerike dhe çfarë është shprehje algjebrike.

Çfarë është një shprehje në matematikë?

Shprehja në matematikëështë një koncept shumë i gjerë. Pothuajse gjithçka me të cilën trajtojmë në matematikë është një koleksion shprehjesh matematikore. Çdo shembull, formula, fraksion, ekuacion e kështu me radhë - të gjitha përbëhet nga shprehjet matematikore.

3 + 2 është një shprehje matematikore. s 2 - d 2është gjithashtu një shprehje matematikore. Dhe një fraksion i madh, madje edhe një numër - të gjitha këto janë shprehje matematikore. Ekuacioni, për shembull, është si ky:

5x + 2 = 12

përbëhet nga dy shprehje matematikore të lidhura me një shenjë të barabartë. Njëra shprehje është në të majtë, tjetra në të djathtë.

V pamje e përgjithshme termi " shprehje matematikore"Përdoret, më shpesh, për të mos qarë. Do t'ju pyesin se çfarë është një thyesë e zakonshme p.sh.? Dhe si të përgjigjeni?!

Përgjigja e parë është: "Kjo ... hmmm... një gjë e tillë ... në të cilën ... A mund të shkruaj një thyesë më mirë? Cilën dëshironi?"

Përgjigja e dytë është: " Thyesë e zakonshme- kjo (me gëzim dhe gëzim!) shprehje matematikore , i cili përbëhet nga një numërues dhe një emërues! "

Opsioni i dytë do të jetë disi më mbresëlënës, apo jo?)

Për këtë qëllim, shprehja " shprehje matematikore "Shumë mirë. Edhe e drejtë edhe solide. Por për aplikim praktik ju duhet të jeni të përgatitur mirë lloje të veçanta të shprehjeve në matematikë .

Lloji specifik është një çështje tjetër. atë krejt tjetër çështje!Çdo lloj shprehjeje matematikore ka e imja një grup rregullash dhe teknikash që duhen përdorur gjatë zgjidhjes. Për të punuar me fraksione - një grup. Për shprehjet trigonometrike - e dyta. Për punën me logaritme - e treta. etj. Diku këto rregulla përkojnë, diku ndryshojnë ashpër. Por mos u trembni nga këto fjalë të tmerrshme. Ne do të zotërojmë logaritmet, trigonometrinë dhe gjëra të tjera misterioze në seksionet përkatëse.

Këtu do të zotërojmë (ose - do të përsërisim, si kushdo ...) dy lloje themelore të shprehjeve matematikore. Shprehje numerike dhe shprehje algjebrike.

Shprehje numerike.

Çfarë shprehje numerike? Ky është një koncept shumë i thjeshtë. Vetë emri lë të kuptohet se kjo është një shprehje me numra. Kështu është. Një shprehje matematikore e përbërë nga numra, kllapa dhe shenja aritmetike quhet shprehje numerike.

7-3 është një shprehje numerike.

(8 + 3.2) 5.4 është gjithashtu një shprehje numerike.

Dhe ky përbindësh:

gjithashtu një shprehje numerike, po ...

Numër i rregullt, thyesë, çdo shembull për llogaritje pa x dhe shkronja të tjera - të gjitha këto janë shprehje numerike.

Tipari kryesor numerike shprehjet - në të pa shkronja... Asnje. Vetëm numra dhe ikona matematikore (nëse nevojitet). Është e thjeshtë, apo jo?

Dhe çfarë mund të bëni me shprehjet numerike? Shprehjet numerike zakonisht mund të lexohen. Për ta bërë këtë, ndodh, duhet të hapni kllapa, të ndryshoni shenjat, të shkurtoni, të ndryshoni vendet e termave - d.m.th. bëjnë shndërrimet e shprehjes... Por më shumë për këtë më poshtë.

Këtu do të merremi me një rast kaq qesharak kur me një shprehje numerike asgje per te bere. Epo, asgjë fare! Ky operacion i këndshëm - Për të mos bërë asgjë)- ekzekutohet kur shprehja nuk ka kuptim.

Kur një shprehje numerike është e pakuptimtë?

Është e qartë nëse shohim një lloj dërdëllitjeje përpara nesh, si p.sh

atëherë nuk do të bëjmë asgjë. Meqenëse nuk është e qartë se çfarë të bëhet me këtë. Një lloj marrëzie. Përveç nëse, numëroni numrin e shenjave plus ...

Por nga jashtë ka shprehje mjaft të mira. Për shembull kjo:

(2 + 3): (16 - 2 8)

Megjithatë, kjo shprehje është gjithashtu nuk ka kuptim! Për arsyen e thjeshtë se në kllapat e dytë - po të numërosh - del zero. Dhe nuk mund të ndash me zero! Ky është një veprim i ndaluar në matematikë. Prandaj, as me këtë shprehje nuk keni nevojë të bëni asgjë. Për çdo detyrë me një shprehje të tillë, përgjigja do të jetë gjithmonë e njëjtë: "Shprehja nuk ka kuptim!"

Për të dhënë një përgjigje të tillë, sigurisht që më duhej të llogarisja se çfarë do të ishte në kllapa. Dhe ndonjëherë në kllapa një emërtim i tillë i gabuar ... Epo, nuk mund të bësh asgjë për këtë.

Nuk ka aq shumë veprime të ndaluara në matematikë. Ka vetëm një në këtë temë. Pjestimi me zero. Ndalimet shtesë që lindin në rrënjë dhe logaritme diskutohen në temat përkatëse.

Pra, një ide se çfarë është shprehje numerike- mora. Koncepti shprehja numerike nuk ka kuptim- kuptoi. Le të shkojmë më tej.

Shprehjet algjebrike.

Nëse shkronjat shfaqen në një shprehje numerike, kjo shprehje bëhet ... Shprehja bëhet ... Po! bëhet shprehje algjebrike... Për shembull:

5a 2; 3x-2vje; 3 (z-2); 3,4 m / n; x 2 + 4x-4; (a + b) 2; ...

Quhen edhe shprehje të tilla shprehjet e shkronjave. Ose shprehjet me variabla. Ato janë praktikisht e njëjta gjë. Shprehje 5a + c, për shembull - edhe fjalë për fjalë edhe algjebrike, dhe një shprehje me ndryshore.

Koncepti shprehje algjebrike - më e gjerë se numerike. Ajo përfshin dhe të gjitha shprehjet numerike. ato. një shprehje numerike është gjithashtu një shprehje algjebrike, vetëm pa shkronja. Çdo harengë është një peshk, por jo çdo peshk është një harengë ...)

Pse alfabetik- qartë. Epo, pasi ka shkronja ... Frazë shprehje e ndryshueshme gjithashtu jo shumë e çuditshme. Nëse e kuptoni që numrat janë të fshehur nën shkronja. Çdo numër mund të fshihet nën shkronjat ... Dhe 5, dhe -18, dhe çfarëdo. Kjo është, letra mund të jetë zëvendësojnë në numra të ndryshëm... Prandaj, shkronjat quhen variablave.

Në shprehje y + 5, për shembull, në - e ndryshueshme... Ose ata thjesht thonë " e ndryshueshme", pa fjalën "madhësi". Ndryshe nga pesë, që është një vlerë konstante. Ose thjesht - konstante.

Afati shprehje algjebrike do të thotë që ju duhet të përdorni ligje dhe rregullore për të punuar me këtë shprehje algjebrat... Nëse aritmetike punon me numra të caktuar, atëherë algjebër- me të gjithë numrat në të njëjtën kohë. Një shembull i thjeshtë për sqarim.

Në aritmetikë, ne mund ta shkruajmë atë

Por nëse shkruajmë një barazi të tillë përmes shprehjeve algjebrike:

a + b = b + a

do të vendosim menjëherë të gjitha pyetje. Për të gjithë numrat goditje në tru. Për një numër të pafund gjërash. Sepse nën letra a dhe b të nënkuptuara të gjitha numrat. Dhe jo vetëm numra, por edhe shprehje të tjera matematikore. Kështu funksionon algjebra.

Kur një shprehje algjebrike nuk ka kuptim?

Gjithçka është e qartë në lidhje me shprehjen numerike. Atje nuk mund të pjesëtosh me zero. Dhe me shkronja, si mund të zbuloni se në çfarë ndahemi ?!

Le të marrim këtë shprehje me variabla si shembull:

2: (a - 5)

A ka kuptim? Kush e di? a- çdo numër ...

Çdo gjë, çfarëdo... Por ka një kuptim a ku kjo shprehje pikërisht nuk ka kuptim! Dhe cili është ky numër? Po! Është 5! Nëse ndryshorja a zëvendësoni (të themi - "zëvendësoj") me numrin 5, në kllapa do të dalë zero. Të cilat nuk mund të ndahen në. Pra, rezulton se shprehja jonë nuk ka kuptim, nëse a = 5... Por me kuptime të tjera a A ka kuptim? A mund të zëvendësoj numra të tjerë?

Sigurisht. Vetëm se në raste të tilla thonë se shprehja

2: (a - 5)

ka kuptim për çdo vlerë a, përveç a = 5 .

Tërë grupi i numrave që mund zëvendësues në një shprehje të caktuar quhet zonë vlerat e pranueshme kjo shprehje.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të ndërlikuar. Ne shikojmë një shprehje me ndryshore, por kuptojmë: në cilën vlerë të ndryshores fitohet një veprim i ndaluar (pjestimi me zero)?

Dhe pastaj sigurohuni që të shikoni çështjen e detyrës. Çfarë pyesin ata?

nuk ka kuptim, kuptimi ynë i ndaluar do të jetë përgjigja.

Nëse pyesni se cila vlerë e një ndryshore është shprehja ka kuptimin(ndjeje ndryshimin!), përgjigjja është të gjithë numrat e tjerë përveç të ndaluarave.

Pse na duhet kuptimi i shprehjes? Ai është ai, ai nuk është ... Cili është ndryshimi ?! Fakti është se ky koncept bëhet shumë i rëndësishëm në shkollën e mesme. Jashtëzakonisht e rëndësishme! Kjo është baza për koncepte të forta si diapazoni ose diapazoni i funksioneve. Pa të, nuk do të jeni në gjendje të zgjidhni fare ekuacione ose pabarazi serioze. Si kjo.

Shndërrimi i shprehjeve. Transformime identike.

U njohëm me shprehjet numerike dhe algjebrike. Kuptuam se çfarë do të thotë shprehja "shprehja nuk ka kuptim". Tani duhet të kuptojmë se çfarë është transformimi i shprehjeve. Përgjigjja është jashtëzakonisht e thjeshtë.) Ky është çdo veprim me shprehje. Dhe kjo eshte e gjitha. Këto transformime i bëtë që në klasën e parë.

Le të marrim shprehjen e numrave të ftohtë 3 + 5. Si mund të konvertohet? Është shumë e thjeshtë! Llogaritni:

Kjo llogaritje do të jetë transformimi i shprehjes. Ju mund të shkruani të njëjtën shprehje ndryshe:

Këtu nuk kemi llogaritur asgjë. Thjesht shkruani shprehjen në një formë tjetër. Ky do të jetë edhe transformimi i shprehjes. Mund të shkruhet kështu:

Dhe kjo, gjithashtu, është një konvertim i shprehjes. Ju mund të bëni transformime të tilla sa të doni.

Çdo veprim në shprehje, ndonjë shkrimi i tij në një formë tjetër quhet shndërrim i shprehjes. Dhe kjo eshte e gjitha. Gjithçka është shumë e thjeshtë. Por këtu ka një gjë një rregull shumë i rëndësishëm. Aq e rëndësishme sa mund të quhet me siguri rregulli kryesor gjithë matematikën. Duke thyer këtë rregull në mënyrë të pashmangshmeçon në gabime. A po thellohemi në të?)

Supozoni se e transformuam shprehjen tonë në mënyrë të rastësishme, si kjo:

Konvertimi? Sigurisht. E kemi shkruar shprehjen në një formë tjetër, çfarë nuk shkon këtu?

Nuk është kështu.) Çështja është se transformimet "gjithsesi" matematika nuk është aspak e interesuar.) E gjithë matematika ndërtohet mbi transformimet në të cilat ndryshon pamjen, por thelbi i shprehjes nuk ndryshon. Tre plus pesë mund të shkruhen në çfarëdo forme që dëshironi, por duhet të jetë tetë.

Konvertimet, shprehje të pakuptimta quhen identike.

Pikërisht transformime identike dhe na lejoni, hap pas hapi, të transformohemi shembull kompleks në një shprehje të thjeshtë, duke mbajtur thelbi i shembullit. Nëse në zinxhirin e transformimeve bëjmë një gabim, bëjmë një transformim JO identik, atëherë do të vendosim tashmë një tjetër shembull. Me përgjigje të tjera që nuk kanë lidhje me ato të sakta.)

Ky është rregulli kryesor për zgjidhjen e çdo detyre: respektimi i identitetit të transformimeve.

Shembull me shprehjet numerike Unë solla 3 + 5 për qartësi. V shprehjet algjebrike shndërrime identike jepen me formula dhe rregulla. Le të themi se ekziston një formulë në algjebër:

a (b + c) = ab + ac

Kjo do të thotë se në çdo shembull ne mundemi në vend të shprehjes a (b + c) mos ngurroni të shkruani një shprehje ab + ac... Dhe anasjelltas. atë transformim identik. Matematika na ofron një zgjedhje të këtyre dy shprehjeve. Dhe cila të shkruani - nga shembull konkret varet.

Një shembull tjetër. Një nga shndërrimet më të rëndësishme dhe më të nevojshme është vetia themelore e një thyese. Më shumë detaje mund të gjenden në lidhjen, por këtu do të kujtoj vetëm rregullin: nëse numëruesi dhe emëruesi i thyesës shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër, ose një shprehje që nuk është e barabartë me zero, thyesa nuk do të ndryshojë. Këtu është një shembull i transformimeve identike për këtë pronë:

Siç e keni menduar ndoshta, ky zinxhir mund të vazhdojë pafundësisht ...) Një pronë shumë e rëndësishme. Është kjo që ju lejon të ktheni të gjitha llojet e përbindëshave-shembuj në të bardhë dhe me gëzof.)

Ka shumë formula që përcaktojnë transformime identike. Por ato më të rëndësishmet janë një sasi mjaft e arsyeshme. Një nga transformimet bazë është faktorizimi. Përdoret në të gjitha lëndët matematikore, nga fillore në të avancuar. Le të fillojmë me të. Në mësimin tjetër.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi i menjëhershëm i vërtetimit. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.