Regjistrimet e etiketuara "shembuj mbi vetitë e një shkalle me një eksponent natyror". Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Video mësimi 2: Diplomë me një tregues natyror dhe vetitë e tij

Ligjërata:


Diplomë me një tregues natyror


Nën shkallë disa numra "por" me disa tregues "n" kuptojnë prodhimin e një numri "por" më vete "n" një herë.

Kur flasim për një diplomë me një tregues natyror, kjo do të thotë se numri "n" duhet të jetë numër i plotë dhe jo negativ.

por- baza e shkallës, e cila tregon se cili numër duhet të shumëzohet me vetveten,

n- eksponent - tregon se sa herë baza duhet të shumëzohet në vetvete.


Për shembull:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Në këtë rast, baza e shkallës është numri "8", eksponenti është numri "4", vlera e shkallës është numri "4096".

Gabimi më i madh dhe më i zakonshëm në llogaritjen e shkallës është shumëzimi i eksponentit me bazën - KJO NUK ËSHTË E VËRTETË!


Kur bëhet fjalë për një shkallë me një eksponent natyror, do të thotë se vetëm eksponenti (n) ajo duhet të jetë numri natyror.


Çdo numër në vijën numerike mund të përdoret si bazë.


Për shembull,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Veprimi matematikor që kryhet mbi bazën dhe eksponentin quhet fuqizim.

Mbledhja / zbritja është operacioni matematikor i fazës së parë, shumëzimi / pjesëtimi është operacioni i fazës së dytë, eksponentimi është operacioni matematikor i fazës së tretë, domethënë një nga më të lartat.

Kjo hierarki e veprimeve matematikore përcakton rendin në llogaritje. Nëse ky veprim ndodh në detyrat midis dy të mëparshmeve, atëherë ai kryhet së pari.


Për shembull:

15 + 6 *2 2 = 39

NË ky shembull së pari duhet të ngrini 2 në fuqi, d.m.th

pastaj shumëzojeni rezultatin me 6, domethënë

Një shkallë me një tregues natyror përdoret jo vetëm për llogaritjet specifike, por edhe për lehtësinë e shënimit numra të mëdhenj. Në këtë rast, koncepti përdoret gjithashtu "Formulari standard i numrave". Kjo hyrje nënkupton shumëzimin e një numri të caktuar nga 1 në 9 me një bazë fuqie të barabartë me 10 me disa eksponent.


Për shembull, për të shkruar rrezen e Tokës në formë standarde përdorni shënimin e mëposhtëm:

6400000 m = 6.4 * 10 6 m,

dhe masa e Tokës, për shembull, shkruhet si më poshtë:

vetitë e shkallës

Për lehtësinë e zgjidhjes së shembujve me gradë, është e nevojshme të njihen vetitë e tyre kryesore:


1. Nëse keni nevojë të shumëzoni dy fuqi që kanë të njëjtën bazë, atëherë në këtë rast baza duhet të lihet e pandryshuar dhe treguesit të shtohen.

a n * a m = a n+m

Për shembull:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Nëse është e nevojshme të ndahen dy shkallë që kanë të njëjtën bazë, atëherë në këtë rast baza duhet të lihet e pandryshuar dhe treguesit të zbriten. Ju lutemi vini re se për veprimet me fuqi me një eksponent natyror, eksponenti i dividentit duhet të jetë më i madh se eksponenti i pjesëtuesit. Përndryshe, herësi i këtij veprimi do të jetë një numër me eksponent negativ.

a n / a m = a n-m

Për shembull,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Nëse është e nevojshme të ngrihet një fuqi në një tjetër, baza e rezultatit mbetet i njëjti numër dhe eksponentët shumëzohen.

(a n) m = a n*m

Për shembull,

4. Nëse është e nevojshme të ngrihet prodhimi i numrave arbitrar në një fuqi të caktuar, atëherë mund të përdorim një ligj të caktuar të shpërndarjes, sipas të cilit marrim produktin e bazave të ndryshme në të njëjtën shkallë.

(a * b) m = a m * b m

Për shembull,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .


5. Një pronë e ngjashme mund të përdoret për të ndarë fuqitë, me fjalë të tjera, për të ngritur një dyshe të zakonshme në një fuqi.

(a / b) m = a m / b m

6. Çdo numër që është ngritur në një eksponent e barabartë me një, e barabartë me numrin origjinal.

a 1 = a

Për shembull,

7. Kur ngrihet një numër në një fuqi me një eksponent zero, rezultati i kësaj llogaritjeje do të jetë gjithmonë një.

dhe 0 = 1

Për shembull,

Unë. Puna n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë me por thirrur n-fuqia e një numri por dhe shënohet porn.

Shembuj. Shkruani produktin si një shkallë.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Zgjidhje.

1) mmmm=m 4, pasi, sipas përcaktimit të shkallës, prodhimi i katër faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me m, do fuqia e katërt e m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .

II. Veprimi me të cilin gjendet produkti i disa faktorëve të barabartë quhet fuqizim. Numri që rritet në një fuqi quhet baza e fuqisë. Numri që tregon se në çfarë fuqie është ngritur baza quhet eksponent. Kështu që, porn- diplomë, por- baza e shkallës n- eksponent. Për shembull:

2 3 — është një diplomë. Numri 2 - baza e shkallës, eksponenti është i barabartë me 3 . Vlera e gradës 2 3 barazohet 8, sepse 2 3 =2 2 2=8.

Shembuj. Shkruani shprehjet e mëposhtme pa eksponent.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Zgjidhje.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. dhe 0 =1 Çdo numër (përveç zeros) në fuqinë zero është i barabartë me një. Për shembull, 25 0 = 1.
IV. a 1 = aÇdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten.

v. jam∙ a n= jam + n Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtat baza baza lihet e njëjtë, dhe treguesit shtoni deri.

Shembuj. Thjeshtoni:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Zgjidhje.

9) një 3 në 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. jam: a n= jam - nKur pjesëtohen fuqitë me të njëjtën bazë, baza lihet e njëjtë dhe eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividentit.

Shembuj. Thjeshtoni:

12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7; katërmbëdhjetë ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (jam) n= amn Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza mbetet e njëjtë dhe eksponentët shumëzohen.

Shembuj. Thjeshtoni:

15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

shënim, e cila, meqenëse produkti nuk ndryshon nga një ndërrim faktorësh, pastaj:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .

VUnë II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Kur ngrihet një produkt në një fuqi, secili nga faktorët ngrihet në atë fuqi.

§ 1 Shkallë me eksponent natyror

Le të kujtojmë një operacion të tillë të njohur për ne si shtimi i disa termave identikë. Për shembull, 5 + 5 + 5. Matematikani do të zëvendësojë një hyrje të tillë me një më të shkurtër:

5 ∙ 3. Ose 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 do të shkruhet si 7 ∙ 6

Dhe të shkruash a + a + a + ... + a (ku n termat a) - nuk do të shkruhet fare, por do të shkruhet një ∙ n. Në të njëjtën mënyrë, një matematikan nuk do të shkruajë produktin e disa faktorëve identikë gjatë. Prodhimi 2 ∙ 2 ∙ 2 do të shkruhet si 23 (2 në fuqinë e tretë). Dhe prodhimi 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 si 46 (4 në fuqinë e gjashtë). Por nëse është e nevojshme, mund të zëvendësoni një hyrje të shkurtër me një më të gjatë. Për shembull, 74 (7 në fuqinë e katërt) shkruhet si 7∙7∙7∙7. Tani le të japim një përkufizim.

Shënimi an (ku n është një numër natyror) është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a.

Vetë rekordi an quhet shkalla e numrit a, numri a është baza e shkallës, numri n është eksponent.

Shënimi an mund të lexohet si "a në fuqinë e n-të" ose si "a në fuqinë e en". Shënimet a2 (a në fuqinë e dytë) mund të lexohen si "a në katror", dhe hyrja a3 (a në fuqinë e tretë) mund të lexohet si "një kub". Një rast tjetër i veçantë është një shkallë me një eksponent 1. Këtu është e nevojshme të vihet re si më poshtë:

Shkalla e një numri a me eksponent 1 është vetë numri. ato. a1 = a.

Çdo fuqi prej 1 është 1.

Tani le të shohim disa fuqi me bazën 10.

A keni vënë re se fuqitë e dhjetë janë një me aq zero sa eksponenti? Në përgjithësi, 10n = 100..0 (ku ka n zero në shënim).

§ 2 Shembuj mbi temën e mësimit

Shembulli 1. Shkruani prodhimin (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) si fuqi.

Meqenëse ka 4 faktorë identikë, secili prej të cilëve është i barabartë me -2, kemi shënimin (-2)4.

Shembulli 2. Llogaritni 1.52.

Indeksi 2 thotë se ne duhet të gjejmë produktin e dy faktorëve identikë, secili prej të cilëve është i barabartë me 1.5. ato. njehso produktin 1,5∙1,5 = 2,25.

Shembulli 3. Njehsoni prodhimin 102 ∙ (-1)3.

Fillimisht llogarisim 102 = 100. Më pas llogarisim (-1)3 = -1. Dhe së fundi, shumëzoni 100 dhe -1. Ne marrim -100.

Lista e literaturës së përdorur:

  1. Mordkovich A.G., Algjebër klasa 7 në 2 pjesë, Pjesa 1, Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. - Botimi i 10-të, i rishikuar - Moskë, "Mnemosyne", 2007
  2. Mordkovich A.G., Klasa e Algjebrës 7 në 2 pjesë, Pjesa 2, Libri i detyrave për institucionet arsimore / [A.G. Mordkovich dhe të tjerët]; redaktuar nga A.G. Mordkovich - botimi i 10-të, i rishikuar - Moskë, "Mnemosyne", 2007
  3. SAJ. Tulchinskaya, Algjebër Klasa 7. Sondazhi Blitz: një udhëzues për studentët e institucioneve arsimore, botimi i 4-të, i rishikuar dhe plotësuar, Moskë, "Mnemozina", 2008
  4. Alexandrova L.A., Algjebër Klasa 7. Tematike punë verifikimi në formë e re për studentët e institucioneve arsimore, redaktuar nga A.G. Mordkovich, Moskë, "Mnemosyne", 2011
  5. Aleksandrova L.A. Algjebër klasa e 7-të. Punë e pavarur për studentët e institucioneve arsimore, redaktuar nga A.G. Mordkovich - botimi i 6-të, stereotip, Moskë, "Mnemosyne", 2010

Pasi të përcaktohet shkalla e numrit, është logjike të flasim vetitë e shkallës. Në këtë artikull, ne do të japim vetitë themelore të shkallës së një numri, duke prekur të gjithë eksponentët e mundshëm. Këtu do të japim prova të të gjitha vetive të shkallës, dhe gjithashtu do të tregojmë se si zbatohen këto veti gjatë zgjidhjes së shembujve.

Navigimi i faqes.

Vetitë e gradave me tregues natyrorë

Sipas përcaktimit të një fuqie me një eksponent natyror, fuqia e një n është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Bazuar në këtë përkufizim, dhe duke përdorur vetitë e shumëzimit numra realë , ne mund të marrim dhe justifikojmë sa vijon vetitë e shkallës me eksponent natyror:

  1. vetia kryesore e shkallës a m ·a n =a m+n , përgjithësimi i saj ;
  2. vetia e fuqive të pjesshme me baza të njëjta a m:a n =a m−n ;
  3. vetia e shkallës së produktit (a b) n =a n b n , shtrirja e tij ;
  4. veti herës në natyrë (a:b) n =a n:b n ;
  5. fuqizimi (a m) n =a m n , përgjithësimi i tij ((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. duke krahasuar shkallën me zero:
    • nëse a>0, atëherë a n >0 për çdo n natyrore;
    • nëse a=0 , atëherë a n =0 ;
    • nese nje<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 nëse a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. nëse a dhe b janë numra pozitivë dhe a
  8. nëse m dhe n janë numra natyrorë të tillë që m>n , atëherë në 0 0 pabarazia a m >a n është e vërtetë.

Vëmë re menjëherë se të gjitha barazitë e shkruara janë identike në kushtet e specifikuara, dhe pjesët e tyre të djathta dhe të majta mund të ndërrohen. Për shembull, vetia kryesore e thyesës a m a n = a m + n me thjeshtimi i shprehjeve përdoret shpesh në formën a m+n = a m a n.

Tani le të shohim secilën prej tyre në detaje.

    Le të fillojmë me vetinë e prodhimit të dy fuqive me baza të njëjta, e cila quhet vetia kryesore e diplomës: për çdo numër real a dhe çdo numër natyror m dhe n, barazia a m ·a n =a m+n është e vërtetë.

    Le të vërtetojmë vetinë kryesore të gradës. Me përcaktimin e një shkalle me një eksponent natyror, prodhimi i fuqive me baza të njëjta të formës a m ·a n mund të shkruhet si prodhim. Për shkak të vetive të shumëzimit, shprehja që rezulton mund të shkruhet si , dhe ky produkt është fuqia e a me eksponent natyror m+n , pra një m+n . Kjo plotëson provën.

    Le të japim një shembull që konfirmon vetinë kryesore të gradës. Marrim gradë me baza 2 të njëjta dhe fuqi natyrore 2 dhe 3, sipas vetive kryesore të shkallës, mund të shkruajmë barazinë 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Le të kontrollojmë vlefshmërinë e tij, për të cilën llogarisim vlerat e shprehjeve 2 2 · 2 3 dhe 2 5 . Kryerja e eksponentimit, ne kemi 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 dhe 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, pasi fitohen vlera të barabarta, atëherë barazia 2 2 2 3 \u003d 2 5 është e saktë dhe konfirmon vetinë kryesore të shkallës.

    Vetia kryesore e një shkalle bazuar në vetitë e shumëzimit mund të përgjithësohet në produktin e tre ose më shumë fuqive me të njëjtat baza dhe eksponentë natyrorë. Pra, për çdo numër k të numrave natyrorë n 1 , n 2 , …, n k barazia a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Për shembull, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Mund të kaloni te vetia tjetër e shkallëve me një tregues natyror - pasuria e fuqive të pjesshme me baza të njëjta: për çdo numër real jozero a dhe numra natyrorë arbitrarë m dhe n që plotësojnë kushtin m>n , barazia a m:a n =a m−n është e vërtetë.

    Përpara se të japim vërtetimin e kësaj prone, le të diskutojmë kuptimin e kushteve shtesë në deklaratë. Kushti a≠0 është i nevojshëm për të shmangur pjesëtimin me zero, pasi 0 n =0, dhe kur u njohëm me pjesëtimin, ramë dakord që është e pamundur të pjesëtohet me zero. Parashtrohet kushti m>n që të mos shkojmë përtej eksponentëve natyrorë. Në të vërtetë, për m>n, eksponenti a m−n është një numër natyror, përndryshe ose do të jetë zero (që ndodh për m−n ) ose numër negativ(çfarë ndodh kur m

    Dëshmi. Vetia kryesore e një thyese na lejon të shkruajmë barazinë a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Nga barazia e fituar a m−n ·a n =a m dhe prej tij del se një m−n është një herës fuqish të a m dhe a n. Kjo dëshmon vetinë e fuqive të pjesshme me të njëjtat baza.

    Le të marrim një shembull. Le të marrim dy gradë me të njëjtat baza π dhe eksponentë natyrorë 5 dhe 2, vetia e konsideruar e shkallës korrespondon me barazinë π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    Tani merrni parasysh vetia e shkallës së produktit: shkalla natyrore n e prodhimit të çdo dy numrash realë a dhe b është e barabartë me prodhimin e shkallëve a n dhe b n , pra (a b) n =a n b n .

    Në të vërtetë, sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent natyror, ne kemi . Prodhimi i fundit, bazuar në vetitë e shumëzimit, mund të rishkruhet si , e cila është e barabartë me një n b n.

    Ja një shembull: .

    Kjo veti shtrihet në shkallën e prodhimit të tre ose më shumë faktorëve. Kjo do të thotë, vetia e fuqisë natyrore n e prodhimit të k faktorëve shkruhet si (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Për qartësi, ne e tregojmë këtë pronë me një shembull. Për produktin e tre faktorëve në fuqinë 7, kemi .

    Prona tjetër është pasuri natyrore: herësi i numrave realë a dhe b , b≠0 ndaj fuqisë natyrore n është i barabartë me herësin e fuqive a n dhe b n , pra (a:b) n =a n:b n .

    Prova mund të kryhet duke përdorur pronën e mëparshme. Kështu që (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, dhe barazia (a:b) n b n =a n nënkupton që (a:b) n është herësi i një n i pjesëtuar me b n .

    Le ta shkruajmë këtë veti duke përdorur shembullin e numrave specifikë: .

    Tani le të zëmë vetia e eksponencës: për çdo numër real a dhe çdo numër natyror m dhe n, fuqia e a m në fuqinë e n është e barabartë me fuqinë e a me eksponent m·n , pra (a m) n =a m·n .

    Për shembull, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Vërtetimi i vetive të fuqisë në një shkallë është zinxhiri i mëposhtëm i barazive: .

    Prona e konsideruar mund të zgjerohet në shkallë brenda shkallës, e kështu me radhë. Për shembull, për çdo numër natyror p, q, r dhe s, barazia . Për qartësi më të madhe, këtu është një shembull me numra specifikë: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Mbetet të ndalemi në vetitë e krahasimit të shkallëve me një eksponent natyror.

    Fillojmë duke vërtetuar vetinë e krahasimit të zeros dhe fuqisë me një eksponent natyror.

    Së pari, le të justifikojmë se a n >0 për çdo a>0 .

    Prodhimi i dy numrave pozitivë është një numër pozitiv, siç del nga përkufizimi i shumëzimit. Ky fakt dhe vetitë e shumëzimit na lejojnë të pohojmë se rezultati i shumëzimit të çdo numri numrash pozitivë do të jetë gjithashtu një numër pozitiv. Dhe fuqia e a me eksponent natyror n është, sipas përkufizimit, prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Këto argumente na lejojnë të pohojmë se për çdo bazë pozitive a, shkalla e a n është një numër pozitiv. Në bazë të pasurisë së provuar 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 dhe .

    Është mjaft e qartë se për çdo n natyrore me a=0 shkalla e a n është zero. Në të vërtetë, 0 n =0·0·…·0=0 . Për shembull, 0 3 =0 dhe 0 762 =0.

    Le të kalojmë në baza negative.

    Le të fillojmë me rastin kur eksponenti është numër çift, e shënojmë si 2 m , ku m është një numër natyror. Pastaj . Për secilin prej produkteve të formës a·a është i barabartë me produktin e moduleve të numrave a dhe a, pra, është një numër pozitiv. Prandaj, produkti do të jetë gjithashtu pozitiv. dhe shkalla a 2 m . Këtu janë shembuj: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dhe .

    Së fundi, kur baza e a është një numër negativ dhe eksponenti është një numër tek 2 m−1, atëherë . Të gjithë prodhimet a·a janë numra pozitivë, prodhimi i këtyre numrave pozitivë është gjithashtu pozitiv dhe shumëzimi i tij me numrin e mbetur negativ a rezulton në një numër negativ. Për shkak të kësaj vetie (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Kthehemi te vetia e krahasimit të shkallëve me eksponentë të njëjtë natyrorë, e cila ka formulimin e mëposhtëm: prej dy shkallësh me eksponentë të njëjtë natyrorë, n është më e vogël se ajo që ka bazën më të vogël dhe më shumë se ajo që ka bazën më të madhe. Le ta vërtetojmë.

    Pabarazi a n vetitë e pabarazive pabarazia që vërtetohet e formës a n .

    Mbetet për të vërtetuar të fundit nga vetitë e renditura të fuqive me eksponentë natyrorë. Le ta formulojmë. Nga dy shkallët me tregues natyrorë dhe me të njëjtat baza pozitive më pak se një, shkalla është më e madhe, treguesi i së cilës është më i vogël; dhe prej dy shkallësh me tregues natyrorë dhe baza të njëjta më të mëdha se një, shkalla është më e madhe, treguesi i së cilës është më i madh. Ne i drejtohemi vërtetimit të kësaj prone.

    Le të vërtetojmë se për m>n dhe 0 0 për shkak të kushtit fillestar m>n , nga ku rrjedh se në 0

    Mbetet të vërtetohet pjesa e dytë e pasurisë. Le të vërtetojmë se për m>n dhe a>1, a m >a n është e vërtetë. Ndryshimi a m −a n pas nxjerrjes së një n nga kllapat merr formën a n ·(a m−n −1) . Ky produkt është pozitiv, pasi për a>1 shkalla e an është një numër pozitiv, dhe ndryshimi am−n−1 është një numër pozitiv, pasi m−n>0 për shkak të kushtit fillestar, dhe për a>1 shkalla e am−n është më e madhe se një. Prandaj, a m − a n >0 dhe a m >a n, që duhej vërtetuar. Kjo veti ilustrohet nga pabarazia 3 7 >3 2 .

Vetitë e shkallëve me eksponentë numër të plotë

Meqenëse numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë, atëherë të gjitha vetitë e fuqive me eksponentë të numrave të plotë pozitivë përkojnë saktësisht me vetitë e fuqive me eksponentë natyrorë të renditur dhe të provuar në paragrafin e mëparshëm.

Shkallën me një eksponent negativ të numrit të plotë, si dhe shkallën me një eksponent zero, e përcaktuam në atë mënyrë që të gjitha vetitë e shkallëve me eksponentë natyrorë të shprehur me barazi të mbeten të vlefshme. Prandaj, të gjitha këto veti vlejnë si për eksponentë zero ashtu edhe për eksponentë negativë, ndërsa, natyrisht, bazat e shkallëve janë jozero.

Pra, për çdo numër real dhe jozero a dhe b, si dhe për çdo numër të plotë m dhe n, sa vijon janë të vërteta vetitë e shkallëve me eksponentë numër të plotë:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m n;
  6. nëse n është një numër i plotë pozitiv, a dhe b janë numra pozitivë dhe a b-n;
  7. nëse m dhe n janë numra të plotë, dhe m>n, atëherë në 0 1 plotësohet pabarazia a m >a n.

Për a=0, fuqitë a m dhe a n kanë kuptim vetëm kur të dy m dhe n janë numra të plotë pozitivë, pra numra natyrorë. Kështu, vetitë e sapo shkruara vlejnë edhe për rastet kur a=0 dhe numrat m dhe n janë numra të plotë pozitiv.

Nuk është e vështirë të vërtetosh secilën nga këto veti, për këtë mjafton të përdoren përkufizimet e shkallës me një eksponent natyror dhe numër të plotë, si dhe vetitë e veprimeve me numra realë. Si shembull, le të vërtetojmë se vetia e fuqisë vlen si për numrat e plotë pozitivë ashtu edhe për ato jopozitive. Për ta bërë këtë, ne duhet të tregojmë se nëse p është zero ose një numër natyror dhe q është zero ose një numër natyror, atëherë barazitë (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q , (ap ) −q =ap (−q) dhe (a−p)−q =a (−p) (−q). Le ta bejme.

Për p dhe q pozitive, barazia (a p) q =a p·q u vërtetua në nënseksionin e mëparshëm. Nëse p=0 , atëherë kemi (a 0) q =1 q =1 dhe a 0 q =a 0 =1 , prej nga (a 0) q =a 0 q . Në mënyrë të ngjashme, nëse q=0 , atëherë (a p) 0 =1 dhe a p 0 =a 0 =1 , prej nga (a p) 0 =a p 0 . Nëse edhe p=0 edhe q=0 , atëherë (a 0) 0 =1 0 =1 dhe a 0 0 =a 0 =1 , prej nga (a 0) 0 =a 0 0 .

Le të vërtetojmë tani se (a −p) q =a (−p) q . Sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent negativ të numrit të plotë, atëherë . Nga vetia e herësit në shkallë, kemi . Meqenëse 1 p =1·1·…·1=1 dhe , atëherë . Shprehja e fundit është, sipas përkufizimit, një fuqi e formës a −(p q) , e cila, në bazë të rregullave të shumëzimit, mund të shkruhet si a (−p) q .

Në mënyrë të ngjashme .

DHE .

Me të njëjtin parim, ju mund të provoni të gjitha vetitë e tjera të shkallës me një eksponent numër të plotë, të shkruar në formën e barazive.

Në të parafundit nga vetitë e shkruara, vlen të ndalemi te vërtetimi i pabarazisë a −n >b −n , e cila është e vërtetë për çdo numër të plotë negativ −n dhe çdo pozitiv a dhe b për të cilin kushti a . Meqenëse sipas kushtit a 0 . Prodhimi a n ·b n është gjithashtu pozitiv si prodhimi i numrave pozitivë a n dhe b n . Atëherë thyesa që rezulton është pozitive si herës i numrave pozitivë b n − a n dhe a n b n . Prandaj, prej nga a −n >b −n , që duhej vërtetuar.

Vetia e fundit e shkallëve me eksponentë të plotë vërtetohet në të njëjtën mënyrë si vetia analoge e shkallëve me eksponentë natyrorë.

Vetitë e fuqive me eksponentë racional

Ne e përkufizuam shkallën me një eksponent thyesor duke zgjeruar vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë në të. Me fjalë të tjera, shkallët me eksponentë thyesorë kanë të njëjtat veti si shkallët me eksponentë të plotë. Gjegjësisht:

Vërtetimi i vetive të shkallëve me eksponentë thyesorë bazohet në përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor, mbi dhe në vetitë e një shkalle me një eksponent të plotë. Le të japim prova.

Nga përkufizimi i shkallës me një eksponent thyesor dhe , atëherë . Vetitë e rrënjës aritmetike na lejojnë të shkruajmë barazitë e mëposhtme. Më tej, duke përdorur veçorinë e shkallës me një eksponent numër të plotë, marrim , prej nga, me përcaktimin e një shkalle me një eksponent të pjesshëm, kemi , dhe eksponenti i shkallës së fituar mund të konvertohet si më poshtë: . Kjo plotëson provën.

Vetia e dytë e fuqive me eksponentë thyesorë vërtetohet saktësisht në të njëjtën mënyrë:

Pjesa tjetër e barazive vërtetohet nga parime të ngjashme:

I drejtohemi vërtetimit të pasurisë së radhës. Le të vërtetojmë se për çdo pozitiv a dhe b , a b p . Numrin racional p e shkruajmë si m/n , ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Kushtet f<0 и p>0 në këtë rast do të jetë ekuivalente me kushtet m<0 и m>0 respektivisht. Për m>0 dhe a

Në mënyrë të ngjashme, për m<0 имеем a m >b m , prej nga , domethënë, dhe a p >b p .

Mbetet për të vërtetuar të fundit nga pronat e listuara. Le të vërtetojmë se për numrat racional p dhe q, p>q për 0 0 – pabarazi a p >a q . Ne gjithmonë mund t'i reduktojmë numrat racional p dhe q në një emërues të përbashkët, le të marrim thyesat e zakonshme dhe, ku m 1 dhe m 2 janë numra të plotë, dhe n është një numër natyror. Në këtë rast, kushti p>q do t'i korrespondojë kushtit m 1 >m 2, i cili rrjedh nga . Pastaj, nga vetia e krahasimit të fuqive me të njëjtat baza dhe eksponentë natyrorë në 0 1 – pabarazi a m 1 >a m 2 . Këto pabarazi për nga vetitë e rrënjëve mund të rishkruhen, përkatësisht, si Dhe . Dhe përcaktimi i një shkalle me një eksponent racional na lejon të kalojmë në pabarazitë dhe, përkatësisht. Nga kjo nxjerrim përfundimin përfundimtar: për p>q dhe 0 0 – pabarazi a p >a q .

Vetitë e shkallëve me eksponentë irracionalë

Nga mënyra se si përkufizohet një shkallë me një eksponent irracional, mund të konkludohet se ajo i ka të gjitha vetitë e shkallëve me eksponentë racionalë. Pra, për çdo a>0 , b>0 dhe numra irracionalë p dhe q sa vijon janë të vërteta vetitë e shkallëve me eksponentë irracionalë:

  1. a p a q = a p + q ;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q ;
  6. për çdo numër pozitiv a dhe b , a 0 pabarazia a p b p ;
  7. për numrat irracionalë p dhe q, p>q në 0 0 – pabarazi a p >a q .

Nga kjo mund të konkludojmë se fuqitë me çdo eksponent real p dhe q për a>0 kanë të njëjtat veti.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksti mësimor Matematika Zh për 5 qeliza. institucionet arsimore.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: një libër shkollor për 7 qeliza. institucionet arsimore.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për 8 qeliza. institucionet arsimore.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: një libër shkollor për 9 qeliza. institucionet arsimore.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike).

Formula e mëposhtme do të jetë përkufizimi gradë me një tregues natyror(a është baza e eksponentit dhe faktorit të përsëritur, dhe n është eksponenti, i cili tregon sa herë përsëritet faktori):

Kjo shprehje do të thotë se fuqia e një numri me një eksponent natyror n është prodhim i n faktorëve, duke qenë se secili prej faktorëve është i barabartë me a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - baza e shkallës,

5 - eksponent,

1419857 është vlera e shkallës.

Eksponenti me eksponent zero është 1 , me kusht që një \neq 0 :

a^0=1.

Për shembull: 2^0=1

Kur duhet të shkruani një numër të madh, zakonisht përdoret fuqia 10.

Për shembull, një nga dinosaurët më të lashtë në Tokë ka jetuar rreth 280 milionë vjet më parë. Mosha e tij shkruhet si më poshtë: 2,8 \cdot 10^8 .

Çdo numër më i madh se 10 mund të shkruhet si një \cdot 10^n, me kusht që 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют forma standarde e numrit.

Shembuj të numrave të tillë: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Ju mund të thoni si "a në fuqinë e n-të", dhe "fuqinë e n-të të numrit a" dhe "a me fuqinë e n".

4^5 - "katër në fuqinë e 5" ose "4 në fuqinë e pestë" ose mund të thoni gjithashtu "fuqia e pestë e numrit 4"

Në këtë shembull, 4 është baza e shkallës, 5 është eksponent.

Tani japim një shembull me thyesa dhe numra negativë. Për të shmangur konfuzionin, është e zakonshme të shkruani baza të ndryshme nga numrat natyrorë në kllapa:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \djathtas)^7, (-1)^4 etj.

Vini re gjithashtu ndryshimin:

(-5)^6 - nënkupton fuqinë e një numri negativ −5 me eksponent natyror 6.

5^6 - korrespondon me numrin e kundërt prej 5^6.

Vetitë e shkallëve me eksponent natyror

Vetia kryesore e diplomës

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Baza mbetet e njëjtë, por eksponentët janë shtuar.

Për shembull: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Pasuri e fuqive të pjesshme me baza të njëjta

a^n: a^k=a^(n-k) nëse n > k .

Eksponentët zbriten, por baza mbetet e njëjtë.

Ky kufizim n > k është futur për të mos shkuar përtej eksponentëve natyrorë. Në të vërtetë, për n > k, eksponenti a^(n-k) do të jetë një numër natyror, përndryshe ose do të jetë një numër negativ (k< n ), либо нулем (k-n ).

Për shembull: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Vetia e fuqisë së fuqisë

(a^n)^k=a^(nk)

Baza mbetet e njëjtë, vetëm eksponentët shumëzohen.

Për shembull: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Vetia e fuqizimit të produktit

Çdo faktor është ngritur në fuqinë e n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Për shembull: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Vetia e fuqizimit të një thyese

\frac(a^n)(b^n)=\majtas(\frac(a)(b) \djathtas) ^n, b \neq 0

Si numëruesi ashtu edhe emëruesi i një thyese janë ngritur në një fuqi. \left(\frac(2)(5) \djathtas)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)



© 2022 Ne dimë gjithçka rreth fondacioneve. Punë. Materiale. Zgjedhja. Dokumentacioni