Për të faktorizuar, është e nevojshme të thjeshtohen shprehjet. Kjo është e nevojshme në mënyrë që të mund të zvogëlohet më tej. Zbërthimi i një polinomi ka kuptim kur shkalla e tij është të paktën dy. Një polinom me shkallën e parë quhet linear.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Artikulli do të mbulojë të gjitha konceptet e dekompozimit, bazë teorike dhe metodat për faktorizimin e polinomit.
Teoria
Teorema 1Kur çdo polinom me shkallë n, që ka formën P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, përfaqësohen si një produkt me një faktor konstant me fuqinë më të madhe an dhe n faktorë linearë (x - xi), i = 1, 2, ..., n, pastaj P n (x) = një (x - xn) (x - xn - 1) ... ... · (X - x 1), ku x i, i = 1, 2,…, n - këto janë rrënjët e polinomit.
Teorema është menduar për rrënjët e tipit kompleks x i, i = 1, 2,…, n dhe për koeficientët kompleks a k, k = 0, 1, 2,…, n. Kjo është baza e çdo dekompozimi.
Kur koeficientët e formës a k, k = 0, 1, 2, ..., n janë numra realë, pastaj rrënjët komplekse që do të takohen në çifte të konjuguara. Për shembull, rrënjët x 1 dhe x 2 i referohen një polinomi të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 konsiderohen të konjuguara komplekse, atëherë rrënjët e tjera janë reale, nga të cilat marrim se polinomi merr formën P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) ·. ... ... (X - x 3) x 2 + p x + q, ku x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Komentoni
Rrënjët e polinomit mund të përsëriten. Konsideroni vërtetimin e teoremës së algjebrës, një pasojë e teoremës së Bezout.
Teorema kryesore e algjebrës
Teorema 2Çdo polinom me shkallë n ka të paktën një rrënjë.
Teorema e Bezout
Pasi është bërë pjesëtimi i një polinomi të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 on (x - s), atëherë marrim mbetjen, e cila është e barabartë me polinomin në pikën s, atëherë marrim
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s), ku Q n - 1 (x) është një polinom i shkallës n - 1.
Përfundim nga teorema e Bezout
Kur rrënja e polinomit P n (x) konsiderohet s, atëherë P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x). Kjo përfundim është e mjaftueshme kur përdoret për të përshkruar një zgjidhje.
Faktorizimi i një trinomi katror
Një trinom katror i formës a x 2 + b x + c mund të zbërthehet në faktorët linearë... atëherë marrim se a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2), ku x 1 dhe x 2 janë rrënjë (komplekse ose reale).
Nga kjo është e qartë se vetë zgjerimi reduktohet në zgjidhje ekuacioni kuadratik më pas.
Shembulli 1
Faktorizoni një trinom katror.
Zgjidhje
Gjeni rrënjët e ekuacionit 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerën e diskriminuesit sipas formulës, atëherë marrim D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Prandaj e kemi atë
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Nga kjo marrim se 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Kllapat duhet të zgjerohen për të kryer kontrollin. Pastaj marrim një shprehje të formës:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Pas kontrollit, vijmë te shprehja origjinale. Kjo do të thotë, mund të konkludojmë se dekompozimi është kryer në mënyrë korrekte.
Shembulli 2
Faktoroni një trinom katror të formës 3 x 2 - 7 x - 11.
Zgjidhje
Marrim se është e nevojshme të llogaritet ekuacioni kuadratik që rezulton i formës 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Për të gjetur rrënjët, duhet të përcaktoni vlerën e diskriminuesit. Ne e kuptojmë atë
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Nga kjo marrim se 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Shembulli 3
Faktoroni polinomin 2 x 2 + 1.
Zgjidhje
Tani ju duhet të zgjidhni ekuacionin kuadratik 2 x 2 + 1 = 0 dhe të gjeni rrënjët e tij. Ne e kuptojmë atë
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Këto rrënjë quhen konjugate komplekse, kështu që vetë zbërthimi mund të përfaqësohet si 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Shembulli 4
Zbërthehet trinomi katror x 2 + 1 3 x + 1.
Zgjidhje
Së pari ju duhet të zgjidhni një ekuacion kuadratik të formës x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dhe të gjeni rrënjët e tij.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 ix 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Pasi kemi marrë rrënjët, ne shkruajmë
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentoni
Nëse vlera e diskriminuesit është negative, atëherë polinomet mbeten polinome të rendit të dytë. Nga kjo rrjedh se ne nuk do t'i zbërthejmë ato në faktorë linearë.
Metodat për faktorizimin e polinomeve të shkallës më të lartë se dy
Zbërthimi supozon metodë universale... Shumica e të gjitha rasteve bazohen në një përfundim nga teorema e Bezout. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhni vlerën e rrënjës x 1 dhe të ulni shkallën e saj duke e ndarë me një polinom me 1 duke e ndarë me (x - x 1). Polinomi që rezulton duhet të gjejë rrënjën x 2 dhe procesi i kërkimit është ciklik derisa të marrim një zbërthim të plotë.
Nëse rrënja nuk gjendet, atëherë përdoren metoda të tjera të faktorizimit: grupimi, termat shtesë. Kjo temë supozon zgjidhjen e ekuacioneve me gradat më të larta dhe koeficientët e plotë.
Faktorizimi i faktorit të përbashkët
Shqyrtoni rastin kur termi i lirë është i barabartë me zero, atëherë forma e polinomit bëhet si P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x.
Mund të shihet se rrënja e një polinomi të tillë do të jetë e barabartë me x 1 = 0, atëherë polinomi mund të përfaqësohet si shprehja P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 +... + a 1)
Kjo metodë konsiderohet si nxjerrja e faktorit të përbashkët nga kllapat.
Shembulli 5
Faktoroni polinomin e shkallës së tretë 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Zgjidhje
Shohim se x 1 = 0 është rrënja e një polinomi të dhënë, atëherë mund të marrim x jashtë kllapave të të gjithë shprehjes. Ne marrim:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Ne i drejtohemi gjetjes së rrënjëve të trinomit katror 4 x 2 + 8 x - 1. Le të gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Pastaj rrjedh se
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Për të filluar, le të shqyrtojmë një metodë dekompozimi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, ku koeficienti në fuqinë më të lartë është 1.
Kur një polinom ka rrënjë integrale, atëherë ato konsiderohen pjesëtues të termit të lirë.
Shembulli 6
Zgjero shprehjen f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Zgjidhje
Konsideroni nëse ka rrënjë të tëra. Është e nevojshme të shkruani pjesëtuesit e numrit - 18. Marrim atë ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Nga kjo rezulton se ky polinom ka rrënjë integrale. Ju mund të kontrolloni skemën Horner. Është shumë i përshtatshëm dhe ju lejon të merrni shpejt koeficientët e zgjerimit të polinomit:
Nga kjo rrjedh se x = 2 dhe x = - 3 janë rrënjët e polinomit origjinal, i cili mund të përfaqësohet si produkt i formës:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Kalojmë në zbërthimin e një trinomi katror të formës x 2 + 2 x + 3.
Meqenëse diskriminuesi është negativ, do të thotë se nuk ka rrënjë të vërteta.
Përgjigje: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentoni
Lejohet të përdoret një përzgjedhje e një rrënjë dhe pjesëtimi i një polinomi me një polinom në vend të skemës Horner. Ne vazhdojmë të shqyrtojmë zgjerimin e një polinomi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, më e vjetra prej të cilave është e barabartë me një.
Ky rast ndodh për thyesat racionale thyesore.
Shembulli 7
Faktori f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.
Zgjidhje
Është e nevojshme të ndryshohet ndryshorja y = 2 x, të shkohet në një polinom me koeficientë të barabartë me 1 në shkallën më të lartë. Ju duhet të filloni duke shumëzuar shprehjen me 4. Ne e kuptojmë atë
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kur funksioni rezultues i formës g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ka rrënjë të plota, atëherë gjetja e tyre midis pjesëtuesve të termit të lirë. Hyrja do të marrë formën:
± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60
Le të vazhdojmë me llogaritjen e funksionit g (y) në këto pika në mënyrë që të marrim zero si rezultat. Ne e kuptojmë atë
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Marrim se y = - 5 është rrënja e një ekuacioni të formës y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, që do të thotë se x = y 2 = - 5 2 është rrënja e funksionit origjinal.
Shembulli 8
Është e nevojshme të ndahet me një kolonë 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 me x + 5 2.
Zgjidhje
Le të shkruajmë dhe të marrim:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kontrollimi i pjesëtuesve do të marrë shumë kohë, kështu që është më e dobishme të merret faktorizimi i trinomit katror që rezulton i formës x 2 + 7 x + 3. Barazimi me zero dhe gjeni diskriminuesin.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Prandaj rrjedh se
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Truke artificiale për faktorizimin e një polinomi
Rrënjët racionale nuk janë të natyrshme në të gjithë polinomet. Për ta bërë këtë, duhet të përdorni metoda speciale për gjetjen e shumëzuesve. Por jo të gjithë polinomet mund të zgjerohen ose paraqiten si produkt.
Metoda e grupimit
Ka raste kur mund të gruponi termat e një polinomi për të gjetur faktorin e përbashkët dhe për ta vendosur atë jashtë kllapave.
Shembulli 9
Faktorizoni polinomin x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Zgjidhje
Për shkak se koeficientët janë numra të plotë, atëherë rrënjët, me sa duket, mund të jenë gjithashtu numra të plotë. Për të kontrolluar, merrni vlerat 1, - 1, 2 dhe - 2 për të llogaritur vlerën e polinomit në këto pika. Ne e kuptojmë atë
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Prandaj është e qartë se nuk ka rrënjë, është e nevojshme të përdoret një metodë tjetër e dekompozimit dhe zgjidhjes.
Është e nevojshme të grupohen:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Pas grupimit të polinomit origjinal, është e nevojshme të paraqitet si prodhim i dy trinomet katrore... Për ta bërë këtë, ne duhet të bëjmë faktorizimin. ne e marrim atë
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentoni
Thjeshtësia e grupimit nuk do të thotë se është mjaft e lehtë për të zgjedhur termat. Nuk ka zgjidhje të caktuar, prandaj është e nevojshme të përdoren teorema dhe rregulla të veçanta.
Shembulli 10
Faktoroni polinomin x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Zgjidhje
Polinomi i dhënë nuk ka rrënjë integrale. Është e nevojshme të grupohen termat. Ne e kuptojmë atë
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Pas faktorizimit, ne e marrim atë
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe binomit të Njutonit për faktorizimin e një polinomi
Pamja shpesh nuk e bën të qartë se cila metodë duhet të përdoret gjatë dekompozimit. Pasi të jenë bërë transformimet, mund të ndërtoni një vijë të përbërë nga trekëndëshi i Paskalit, përndryshe ato quhen binomi i Njutonit.
Shembulli 11
Faktoroni polinomin x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Zgjidhje
Është e nevojshme të konvertohet shprehja në formë
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Shprehja x + 1 4 tregon sekuencën e shumës së koeficientëve në kllapa.
Prandaj, ne kemi x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Pas aplikimit të diferencës së katrorëve, marrim
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Merrni parasysh shprehjen në kllapa të dytë. Është e qartë se aty nuk ka kuaj, ndaj duhet të zbatohet sërish formula për diferencën e katrorëve. Marrim një shprehje të formës
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Shembulli 12
Faktori x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.
Zgjidhje
Le të bëjmë transformimin e shprehjes. Ne e kuptojmë atë
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Është e nevojshme të zbatohet formula për shumëzimin e shkurtuar të diferencës së kubeve. Ne marrim:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Një mënyrë për të zëvendësuar një ndryshore kur faktorizon një polinom
Kur ndryshoni një ndryshore, shkalla zvogëlohet dhe polinomi zbërthehet në faktorë.
Shembulli 13
Faktoroni një polinom të formës x 6 + 5 x 3 + 6.
Zgjidhje
Sipas kushtit, është e qartë se është e nevojshme të bëhet zëvendësimi y = x 3. Ne marrim:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton janë të barabarta me y = - 2 dhe y = - 3, atëherë
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Është e nevojshme të zbatohet formula për shumëzimin e shkurtuar të shumës së kubeve. Marrim shprehje të formës:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Kjo do të thotë, ne morëm dekompozimin e kërkuar.
Rastet e diskutuara më sipër do të ndihmojnë në shqyrtimin dhe faktorizimin e një polinomi në mënyra të ndryshme.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter
Faktorizimi i polinomeve është një transformim identitar, si rezultat i të cilit një polinom shndërrohet në një produkt të disa faktorëve - polinomeve ose monomëve.
Ka disa mënyra për të faktorizuar polinomet.
Metoda 1. Nxjerrja e faktorit të përbashkët nga kllapa.
Ky transformim bazohet në ligjin e shumëzimit shpërndarës: ac + bc = c (a + b). Thelbi i transformimit është të zgjedhësh faktorin e përbashkët në dy komponentët në shqyrtim dhe ta "heqësh" atë nga kllapat.
Faktoroni polinomin 28x 3 - 35x 4.
Zgjidhje.
1. Gjeni elementet 28x 3 dhe 35x 4 pjesëtues i përbashkët... Për 28 dhe 35 kjo do të ishte 7; për x 3 dhe x 4 - x 3. Me fjalë të tjera, faktori ynë i përbashkët është 7x3.
2. Secili prej elementeve përfaqësohet si produkt i faktorëve, njëri prej të cilëve
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Faktoroni faktorin e përbashkët
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).
Metoda 2. Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. "Shkathtësia" për të zotëruar këtë metodë është të vëreni në shprehje një nga formulat e shumëzimit të shkurtuar.
Faktoroni polinomin x 6 - 1.
Zgjidhje.
1 TE kjo shprehje mund të zbatojmë formulën e diferencës së katrorëve. Për ta bërë këtë, ne përfaqësojmë x 6 si (x 3) 2, dhe 1 si 1 2, d.m.th. 1. Shprehja do të marrë formën:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. Për shprehjen që rezulton, mund të zbatojmë formulën për shumën dhe ndryshimin e kubeve:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Kështu që,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Grupimi. Metoda e grupimit konsiston në kombinimin e përbërësve të një polinomi në atë mënyrë që të jetë e lehtë të kryhen veprime mbi to (mbledhja, zbritja, heqja e një faktori të përbashkët).
Faktoroni polinomin x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Zgjidhje.
1. Le t'i grupojmë përbërësit në këtë mënyrë: 1 me 2 dhe 3 me 4
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. Në shprehjen që rezulton, vendosni faktorët e përbashkët jashtë kllapave: x 2 në rastin e parë dhe 5 në të dytin.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Faktoroni faktorin e përbashkët x - 3 dhe merrni:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).
Kështu që,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Le të rregullojmë materialin.
Faktoroni polinomin a 2 - 7ab + 12b 2.
Zgjidhje.
1. Le të paraqesim monomin 7ab si shumë 3ab + 4ab. Shprehja do të marrë formën:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Le të hapim kllapat dhe të marrim:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.
2. Le t'i grupojmë përbërësit e polinomit si më poshtë: 1 me 2 dhe 3 me 4. Ne marrim:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Le t'i heqim faktorët e zakonshëm nga kllapat:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Faktoroni faktorin e përbashkët (a - 3b):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).
Kështu që,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) ∙ (a - 4b).
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Çfarë duhet të bëni nëse, në procesin e zgjidhjes së një problemi nga provimi ose në provimin pranues në matematikë, keni marrë një polinom që nuk mund të faktorizohet duke përdorur metodat standarde që keni mësuar në shkollë? Në këtë artikull, një mësues matematike do t'ju tregojë për një mënyrë efektive, e cila është jashtë fushëveprimit të kurrikulës shkollore, por me të cilën nuk do të jetë e vështirë të faktorizohet një polinom në faktorë. Lexoni këtë artikull deri në fund dhe shikoni video tutorialin e bashkangjitur. Njohuritë që fitoni do t'ju ndihmojnë në provim.
Faktorizimi i pjesëtimit të një polinomi
Në rast se keni marrë një polinom më të madh se shkalla e dytë dhe keni qenë në gjendje të merrni me mend vlerën e ndryshores në të cilën ky polinom bëhet e barabartë me zero(për shembull, kjo vlerë është e barabartë), kini parasysh! Ky polinom mund të ndahet me.
Për shembull, është e lehtë të shihet se polinomi i shkallës së katërt zhduket në. Kjo do të thotë se mund të ndahet pa mbetje me, duke marrë kështu një polinom të shkallës së tretë (më pak me një). Kjo do të thotë, për ta përfaqësuar atë në formën:
ku A, B, C dhe D- disa numra. Le të zgjerojmë kllapat:
Meqenëse koeficientët në të njëjtat shkallë duhet të jenë të njëjtë, marrim:
Kështu që ne morëm:
Leviz. Mjafton të përsërisim disa numra të plotë të vegjël për të parë që polinomi i shkallës së tretë është i pjesëtueshëm përsëri me. Kjo jep një polinom të shkallës së dytë (më pak për një). Pastaj le të kalojmë në hyrjen e re:
ku E, F dhe G- disa numra. Hapim përsëri kllapat dhe arrijmë në shprehjen e mëposhtme:
Përsëri, nga kushti i barazisë së koeficientëve në të njëjtat shkallë, marrim:
Pastaj marrim:
Kjo do të thotë, polinomi origjinal mund të faktorizohet si më poshtë:
Në parim, nëse dëshironi, duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve, rezultati mund të paraqitet edhe në formën e mëposhtme:
Kaq e thjeshtë dhe metodë efektive faktorizimi i polinomeve. Mbani mend, mund të jetë i dobishëm për një provim ose olimpiadë matematike. Kontrolloni nëse keni mësuar se si ta përdorni këtë metodë. Përpiquni ta zgjidhni vetë problemin tjetër.
Faktoroni polinomin:
Shkruani përgjigjet tuaja në komente.
Përgatitur nga Sergey Valerievich
Në këtë artikull do të gjeni të gjitha informacionin e nevojshëm duke iu përgjigjur pyetjes si të faktorizojmë një numër në faktorë të thjeshtë... E dhënë së pari ide e pergjithshme mbi zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë jepen shembuj zbërthimesh. Më poshtë tregon formën kanonike të faktorizimit të një numri në faktorë të thjeshtë. Pas kësaj, jepet një algoritëm për zbërthimin e numrave arbitrar në faktorë të thjeshtë dhe jepen shembuj të zbërthimit të numrave duke përdorur këtë algoritëm. Gjithashtu konsiderohet mënyra alternative që ju lejojnë të zbërtheni shpejt numrat e plotë të vegjël në faktorë të thjeshtë duke përdorur kriteret e pjesëtueshmërisë dhe tabelat e shumëzimit.
Navigimi i faqes.
Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?
Së pari, le të kuptojmë se cilët janë faktorët kryesorë.
Është e qartë se meqenëse fjala "faktorë" është e pranishme në këtë frazë, atëherë ka një produkt të disa numrave, dhe fjala kualifikuese "i thjeshtë" do të thotë se çdo faktor është një numër i thjeshtë. Për shembull, në një prodhim të formës 2 · 7 · 7 · 23 ka katër faktorë kryesorë: 2, 7, 7 dhe 23.
Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?
Do të thotë se numri i dhënë duhet të paraqitet si prodhim i faktorëve kryesorë dhe vlera e këtij produkti duhet të jetë e barabartë me numrin origjinal. Si shembull, merrni parasysh prodhimin e tre numrave të thjeshtë 2, 3 dhe 5, ai është i barabartë me 30, kështu që faktorizimi i 30 në faktorët kryesorë është 2 · 3 · 5. Zakonisht, zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë shkruhet si një barazi, në shembullin tonë do të jetë kështu: 30 = 2 · 3 · 5. Theksojmë veçmas se faktorët kryesorë në zgjerim mund të përsëriten. Kjo ilustrohet qartë nga shembulli i mëposhtëm: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Por paraqitja e formës 45 = 3 · 15 nuk është faktorizim i thjeshtë, pasi numri 15 është i përbërë.
Shtrohet pyetja e mëposhtme: “Cilët numra në përgjithësi mund të zbërthehen në faktorë të thjeshtë”?
Në kërkim të një përgjigjeje për të, ne paraqesim arsyetimin e mëposhtëm. Numrat e thjeshtë janë, sipas përkufizimit, ndër ata më të mëdhenj se një. Duke marrë parasysh këtë fakt dhe, mund të argumentohet se produkti i disa faktorëve kryesorë është një numër i plotë pozitiv më i madh se një. Prandaj, faktorizimi kryesor ndodh vetëm për numrat e plotë pozitivë më të mëdhenj se 1.
Por a shndërrohen të gjithë numrat e plotë më të mëdhenj se një faktor në faktorë kryesorë?
Është e qartë se nuk ka asnjë mënyrë për të zbërthyer numrat e plotë të thjeshtë në faktorët kryesorë. Kjo është për shkak se numrat e thjeshtë kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë - një dhe ata vetë, kështu që ata nuk mund të përfaqësohen si prodhim i dy ose më shumë numrat e thjeshtë. Nëse numri i plotë z mund të përfaqësohet si prodhim i numrave të thjeshtë a dhe b, atëherë nocioni i pjesëtueshmërisë do të na lejonte të konkludojmë se z është i pjesëtueshëm me a dhe b, gjë që është e pamundur për shkak të thjeshtësisë së numrit z. Megjithatë, besohet se çdo numër i thjeshtë në vetvete është zgjerimi i tij.
Po në lidhje me numrat e përbërë? A zbërthehen numrat e përbërë në faktorë të thjeshtë dhe a i nënshtrohen të gjithë numrat e përbërë një zbërthimi të tillë? Një numër i këtyre pyetjeve u përgjigjet në mënyrë pozitive nga teorema kryesore e aritmetikës. Teorema kryesore e aritmetikës thotë se çdo numër i plotë a që është më i madh se 1 mund të zbërthehet në produktin e faktorëve të thjeshtë p 1, p 2, ..., pn, dhe zbërthimi ka formën a = p 1 p 2 .. zbërthimi është unik, nëse nuk marrim parasysh renditjen e faktorëve
Faktorizimi kanonik i kryeministres
Në zgjerimin e një numri, faktorët kryesorë mund të përsëriten. Faktorët kryesorë të dyfishtë mund të shkruhen në mënyrë më kompakte duke përdorur. Supozoni se në zgjerimin e një numri një faktor i thjeshtë p 1 ndodh s 1 herë, një faktor i thjeshtë p 2 - s 2 herë, dhe kështu me radhë, p n - s n herë. Atëherë faktorizimi i thjeshtë i numrit a mund të shkruhet si a = p 1 s 1 p 2 s 2… p n s n... Kjo formë regjistrimi është e ashtuquajtura faktorizimi kanonik kryesor.
Le të japim një shembull të faktorizimit kanonik të një numri në faktorë të thjeshtë. Na tregoni dekompozimin 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, shënimi i tij kanonik është 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2.
Faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë ju lejon të gjeni të gjithë pjesëtuesit e një numri dhe numrin e pjesëtuesve të një numri.
Algoritmi për faktorizimin e një numri në faktorë të thjeshtë
Për të përballuar me sukses problemin e faktorizimit të një numri në faktorë të thjeshtë, duhet të jeni shumë të njohur me informacionin në artikullin mbi numrat e thjeshtë dhe të përbërë.
Thelbi i procesit të zbërthimit të një numri të plotë pozitiv dhe më të madh se një numër a është i qartë nga vërtetimi i teoremës kryesore të aritmetikës. Ideja është të gjejmë në mënyrë sekuenciale pjesëtuesit kryesorë më të vegjël p 1, p 2, ..., pn të numrave a, a 1, a 2, ..., një n-1, gjë që na lejon të marrim një seri barazish a = p 1 · a 1, ku a 1 = a: p 1, a = p 1 a 1 = p 1 p 2 a 2, ku a 2 = a 1: p 2,…, a = p 1 p 2… = a n-1: pn. Kur marrim një n = 1, atëherë barazia a = p 1 · p 2 ·… · p n do të na japë zbërthimin e kërkuar të numrit a në faktorë të thjeshtë. Këtu duhet theksuar se p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤… ≤p n.
Mbetet të kuptojmë se si të gjejmë faktorët kryesorë më të vegjël në çdo hap dhe do të kemi një algoritëm për faktorizimin e numrit në faktorë të thjeshtë. Tabela e numrave të thjeshtë do të na ndihmojë të gjejmë faktorët e thjeshtë. Le të tregojmë se si ta përdorim atë për të marrë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit z.
Në mënyrë sekuenciale marrim numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë (2, 3, 5, 7, 11, e kështu me radhë) dhe pjesëtojmë numrin e dhënë z me to. Numri i parë i thjeshtë z pjesëtohet me një numër të plotë do të jetë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël. Nëse numri z është i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël do të jetë vetë numri z. Duhet të kujtojmë këtu se nëse z nuk është numër i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël nuk e kalon numrin, ku është nga z. Kështu, nëse midis numrave të thjeshtë që nuk tejkalojnë, nuk kishte një pjesëtues të vetëm të numrit z, atëherë mund të konkludojmë se z është një numër i thjeshtë (për më shumë detaje, shihni seksionin e teorisë nën titullin, ky numër është i thjeshtë ose i përbërë) .
Si shembull, ne do t'ju tregojmë se si të gjeni pjesëtuesin kryesor më të vogël të 87. Ne marrim numrin 2. Ndani 87 me 2, marrim 87: 2 = 43 (pushimi 1) (nëse është e nevojshme, shihni artikullin). Kjo do të thotë, pjesëtimi i 87 me 2 rezulton në një mbetje prej 1, pra 2 nuk është pjesëtues i 87. Marrim numrin tjetër të thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë, i cili është 3. Ne ndajmë 87 me 3, marrim 87: 3 = 29. Kështu, 87 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 3, kështu që 3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i 87.
Vini re se në rastin e përgjithshëm, për të faktorizuar një numër a në faktorë të thjeshtë, na duhet një tabelë me numra të thjeshtë deri në një numër jo më të vogël se. Ne do të duhet t'i referohemi kësaj tabele në çdo hap, ndaj duhet ta keni pranë. Për shembull, për të faktorizuar 95 në faktorët kryesorë, do të mjaftojë një tabelë me numra të thjeshtë deri në 10 (pasi 10 është më e madhe se). Dhe për të zbërthyer numrin 846 653, do t'ju duhet tashmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në 1000 (pasi 1000 është më shumë se).
Tani kemi informacion të mjaftueshëm për të shkruar algoritmi kryesor i faktorizimit... Algoritmi i zbërthimit për numrin a është si më poshtë:
- Duke kaluar në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 1 të numrit a, pas të cilit llogarisim a 1 = a: p 1. Nëse a 1 = 1, atëherë numri a është i thjeshtë dhe është vetë faktorizimi i tij kryesor. Nëse a 1 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a = p 1 · a 1 dhe kalojmë në hapin tjetër.
- Gjeni pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 2 të një 1, për këtë ne përsërisim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1, dhe më pas llogarisim a 2 = a 1: p 2. Nëse a 2 = 1, atëherë faktorizimi i kërkuar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a = p 1 · p 2. Nëse a 2 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a = p 1 · p 2 · a 2 dhe kalojmë në hapin tjetër.
- Duke kaluar nëpër numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2, gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 3 të numrit a 2, pas së cilës llogarisim a 3 = a 2: p 3. Nëse a 3 = 1, atëherë faktorizimi i kërkuar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a = p 1 · p 2 · p 3. Nëse a 3 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 dhe kalojmë në hapin tjetër.
- Gjeni pjesëtuesin kryesor më të vogël p n të një n-1 duke kaluar nëpër numra të thjeshtë, duke filluar me p n-1, dhe gjithashtu a n = a n-1: p n, dhe a n është e barabartë me 1. Ky hap është hapi i fundit i algoritmit, këtu marrim zbërthimin e kërkuar të numrit a në faktorë të thjeshtë: a = p 1 · p 2 ·… · p n.
Për qartësi, të gjitha rezultatet e marra në çdo hap të algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë janë paraqitur në formën e tabelës së mëposhtme, në të cilën, në të majtë të vijës vertikale, numrat a, a 1, a 2. , ..., an shkruhen në mënyrë sekuenciale në një kolonë, dhe në të djathtë të rreshtit - pjesëtuesit më të vegjël të thjeshtë përkatës p 1, p 2, ..., pn.
Mbetet vetëm të shqyrtojmë disa shembuj të aplikimit të algoritmit të marrë për zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë.
Shembuj kryesor të faktoringut
Tani do të analizojmë në detaje shembuj të faktorizimit të numrave në faktorë të thjeshtë... Në zbërthim, do të zbatojmë algoritmin nga paragrafi i mëparshëm. Le të fillojmë me raste të thjeshta dhe gradualisht t'i ndërlikojmë ato në mënyrë që të përballemi me të gjitha nuancat e mundshme që lindin gjatë faktorizimit të numrave në faktorë të thjeshtë.
Shembull.
Ndani 78 në faktorët kryesorë.
Zgjidhje.
Fillojmë të kërkojmë pjesëtuesin e parë më të vogël p 1 të numrit a = 78. Për ta bërë këtë, ne fillojmë të përsërisim në mënyrë sekuenciale mbi numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë. Marrim numrin 2 dhe ndajmë 78 me të, marrim 78: 2 = 39. Numri 78 u nda me 2 pa mbetje, kështu që p 1 = 2 është pjesëtuesi kryesor i parë i gjetur i 78. Në këtë rast, a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Kështu vijmë te barazia a = p 1 · a 1 që ka formën 78 = 2 · 39. Natyrisht, një 1 = 39 është e ndryshme nga 1, kështu që kalojmë në hapin e dytë të algoritmit.
Tani po kërkojmë pjesëtuesin kryesor më të vogël p 2 të numrit a 1 = 39. Fillojmë të përsërisim numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1 = 2. Ndani 39 me 2, marrim 39: 2 = 19 (pushimi 1). Meqenëse 39 nuk pjesëtohet me 2, 2 nuk është pjesëtues i tij. Pastaj marrim numri tjetër Nga tabela e numrave të thjeshtë (numri 3) dhe pjesëtojeni me 39, marrim 39: 3 = 13. Prandaj, p 2 = 3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i 39, ndërsa a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Ne kemi barazinë a = p 1 · p 2 · a 2 në formën 78 = 2 · 3 · 13. Meqenëse një 2 = 13 është e ndryshme nga 1, atëherë shkoni në hapin tjetër të algoritmit.
Këtu duhet të gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 2 = 13. Në kërkim të pjesëtuesit më të vogël të thjeshtë p 3 nga 13, ne do të përsërisim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2 = 3. Numri 13 nuk pjesëtohet me 3, pasi 13: 3 = 4 (pushim 1), gjithashtu 13 nuk pjesëtohet me 5, 7 dhe 11, pasi 13: 5 = 2 (pushim 3), 13: 7 = 1 (pushimi 6) dhe 13:11 = 1 (pushimi 2). Numri tjetër i thjeshtë është 13, dhe 13 është i pjesëtueshëm me të pa mbetje, prandaj, pjesëtuesi kryesor më i vogël p 3 i 13 është vetë numri 13, dhe a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Meqenëse një 3 = 1, ky hap i algoritmit është i fundit, dhe faktorizimi i kërkuar i 78 në faktorët kryesorë ka formën 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3).
Përgjigje:
78 = 2 3 13.
Shembull.
Paraqisni numrin 83.006 si prodhim të faktorëve kryesorë.
Zgjidhje.
Në hapin e parë të algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë, gjejmë p 1 = 2 dhe a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, prej nga 83 006 = 2 · 41 503.
Në hapin e dytë, zbulojmë se 2, 3 dhe 5 nuk janë pjesëtues kryesorë të numrit a 1 = 41 503, dhe numri 7 është, pasi 41 503: 7 = 5 929. Kemi p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Kështu, 83 006 = 2 7 5 929.
Faktori kryesor më i vogël i një 2 = 5 929 është 7, pasi 5 929: 7 = 847. Kështu, p 3 = 7, a 3 = a 2: p 3 = 5 929: 7 = 847, prej nga 83 006 = 2 7 7 847.
Pastaj gjejmë se pjesëtuesi kryesor më i vogël p 4 i numrit a 3 = 847 është 7. Pastaj a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, pra 83 006 = 2 7 7 7 7 121.
Tani gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 4 = 121, ai është numri p 5 = 11 (pasi 121 pjesëtohet me 11 dhe nuk pjesëtohet me 7). Pastaj a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 dhe 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.
Së fundi, faktori kryesor më i vogël i një 5 = 11 është p 6 = 11. Pastaj a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Meqenëse një 6 = 1, atëherë ky hap i algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë është i fundit, dhe zbërthimi i kërkuar ka formën 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.
Rezultati i marrë mund të shkruhet si faktorizim kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.
Përgjigje:
83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 991 është një numër i thjeshtë. Në të vërtetë, ai nuk ka një pjesëtues të vetëm kryesor që nuk tejkalon (mund të vlerësohet përafërsisht si, pasi është e qartë se 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Përgjigje:
897 924 289 = 937 967 991.
Përdorimi i kritereve të pjesëtueshmërisë për faktorizimin e thjeshtë
Në raste të thjeshta, ju mund të zbërtheni një numër në faktorë të thjeshtë pa përdorur algoritmin e zbërthimit nga paragrafi i parë i këtij neni. Nëse numrat nuk janë të mëdhenj, atëherë për zbërthimin e tyre në faktorë të thjeshtë shpesh mjafton të njihen kriteret e pjesëtueshmërisë. Këtu janë disa shembuj për sqarim.
Për shembull, ne duhet të faktorizojmë 10 në faktorët kryesorë. Nga tabela e shumëzimit, ne e dimë se 2 · 5 = 10, dhe numrat 2 dhe 5 janë padyshim të thjeshtë, kështu që faktorizimi i thjeshtë i 10 është 10 = 2 · 5.
Një shembull tjetër. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, faktori 48 në faktorët kryesorë. Ne e dimë se gjashtë tetë janë dyzet e tetë, domethënë 48 = 6 · 8. Megjithatë, as 6 dhe as 8 nuk janë numra të thjeshtë. Por ne e dimë se dy herë tre është gjashtë, dhe dy herë katër është tetë, domethënë 6 = 2 · 3 dhe 8 = 2 · 4. Pastaj 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Mbetet të kujtojmë se dy herë dy është katër, atëherë marrim zbërthimin e kërkuar në faktorët kryesorë 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2. Ne e shkruajmë këtë zbërthim në formën kanonike: 48 = 2 4 · 3.
Por kur zbërthehet numri 3 400 në faktorët kryesorë, mund të përdorni kriteret e pjesëtueshmërisë. Pjesëtueshmëria me 10, 100 na lejon të pohojmë se 3400 është i pjesëtueshëm me 100, ndërsa 3400 = 34100, dhe 100 pjesëtohet me 10, ndërsa 100 = 1010, pra, 3400 = 341010. Dhe në bazë të kriterit të pjesëtueshmërisë me 2, mund të argumentohet se secili nga faktorët 34, 10 dhe 10 është i pjesëtueshëm me 2, marrim 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5... Të gjithë faktorët në zbërthimin që rezulton janë të parë, kështu që ky zbërthim është ai i dëshiruari. Mbetet vetëm për të riorganizuar faktorët në mënyrë që ata të shkojnë në rend rritës: 3400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17. Ne gjithashtu shkruajmë faktorizimin kanonik të këtij numri në faktorët kryesorë: 3 400 = 2 3 · 5 2 · 17.
Kur zbërtheni një numër të caktuar në faktorë të thjeshtë, mund të përdorni me radhë kriteret e pjesëtueshmërisë dhe tabelën e shumëzimit. Le të paraqesim numrin 75 si produkt i faktorëve kryesorë. Pjesëtueshmëria me 5 na lejon të pohojmë se 75 është i pjesëtueshëm me 5, dhe marrim se 75 = 5 15. Dhe nga tabela e shumëzimit dimë se 15 = 3 · 5, pra, 75 = 5 · 3 · 5. Ky është faktorizimi kryesor i kërkuar i 75.
Bibliografi.
- Vilenkin N. Ya. dhe matematikë të tjera. Klasa 6: Libër shkollor për institucionet arsimore.
- Vinogradov I.M. Bazat e teorisë së numrave.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teoria e numrave.
- Kulikov L.Ya. dhe të tjera.Përmbledhja e problemave në algjebër dhe teoria e numrave: një tekst shkollor për studentët e fizikës dhe matematikës. specialitete të instituteve pedagogjike.