Prezantimi
Edukimi matematikor i marrë në shkollë gjithëpërfshirëse, është një komponent thelbësor arsimi i përgjithshëm dhe kulturën e përgjithshme njeriu modern... Pothuajse gjithçka që rrethon një person modern është e lidhur disi me matematikën. Dhe arritjet më të fundit në fizikë, teknologji dhe teknologjia e informacionit mos lini asnjë dyshim se gjërat do të mbeten të njëjta në të ardhmen. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike reduktohet në zgjidhje tipe te ndryshme ekuacionet që duhen mësuar për të zgjidhur.
Në matematikën elementare dallohen dy lloje ekuacionesh: algjebrike dhe transcendentale.Ekuacionet algjebrike përfshijnë:
lineare;
katror; kub; bikuadratike; ekuacioni i përgjithshëm i shkallës së katërt; algjebrike binomiale ekuacioni i n-së shkallë; fuqia algjebrike; - e kthyeshme (algjebrike); - një ekuacion algjebrik i shkallës së th të formës së përgjithshme; Ekuacionet algjebrike thyesore, d.m.th. ekuacionet që përmbajnë polinome dhe thyesat algjebrike(fraksionet e formës
, ku dhe janë polinome);11. ekuacionet irracionale, d.m.th. ekuacionet që përmbajnë radikale nën të cilat ndodhen polinomet dhe thyesat algjebrike;
12. ekuacionet që përmbajnë një modul, moduli i të cilit përmban polinome dhe thyesa algjebrike.
Ekuacionet që përmbajnë funksione transcendentale si logaritmike, eksponenciale ose funksioni trigonometrik quhen transcendentale. Në punën tonë, ne do të shqyrtojmë më në detaje ekuacionet algjebrike.
Në literaturën arsimore dhe metodologjike, tradicionalisht konsiderohen metoda të veçanta për zgjidhjen e ekuacioneve. Ndërkohë, specifikat e zgjidhjes së ekuacioneve të çdo seksioni janë çështje dytësore. Në thelb, përdoren katër metoda kryesore:
Zëvendësimi i ekuacionit h (f (x)) = h (g (x)) me ekuacionin f (x) = g (x);
Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm;
Metoda e faktorizimit;
Metoda funksionale-grafike dhe modifikimet e ndryshme të tyre.
Më e zakonshme prej tyre është metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm.
Bazuar në këtë, ne formulojmë qëllimin e punës sonë: të studiojmë mundësitë e metodës së zëvendësimit të të panjohurës gjatë zgjidhjes ekuacionet algjebrike dhe demonstrojnë zbatimin e tyre në situata standarde dhe jo standarde. Për të arritur këtë qëllim, është e nevojshme të zgjidhen detyrat e mëposhtme:
1. Të zbulojë përmbajtjen e koncepteve dhe pohimeve bazë që lidhen me teorinë e zgjidhjes së ekuacioneve: zgjidhja e një ekuacioni, ekuivalenca dhe pasoja, metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve.
2. Të zbulojë mundësitë e përdorimit të metodës së zëvendësimit të së panjohurës gjatë zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike në situata standarde dhe jostandarde.
3. Të kryejë tipizimin e metodave të futjes së të panjohurave të reja gjatë zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike dhe të identifikojë kriteret e zbatueshmërisë së tyre.
4. Të hartojë një grup problemash tipike, të cilat reduktohen në përdorimin e metodës së zëvendësimit në zgjidhjen e ekuacioneve dhe të demonstrojë zgjidhjen e tyre.
1. Konceptet dhe pohimet bazë që lidhen me teorinë e zgjidhjes së ekuacioneve
Në kapitullin e parë të punës sonë, do të zbulojmë përmbajtjen e koncepteve dhe pohimeve bazë që lidhen me teorinë e zgjidhjes së ekuacioneve.
Ne njihemi me konceptin e "ekuacionit" në mësimet e matematikës tashmë në Shkolla fillore, dhe problemi i "zgjidhjes së një ekuacioni" është ndoshta problemi që haset më shpesh. Akoma jepni përcaktim i saktë koncepti i "ekuacionit", për të përcaktuar me saktësi se çfarë do të thotë të "zgjidhësh ekuacionin", pa shkuar shumë përtej kursit matematikë elementare, ne nuk mund. Për këtë është e nevojshme të përfshihen kategori shumë serioze logjike, madje edhe filozofike. Na mjafton që të njihemi me këto koncepte në nivelin e “logjikës së shëndoshë”.
Konsideroni dy ekuacione A dhe B me të njëjtën të panjohur. Do të themi se ekuacioni B është pasojë e ekuacionit A nëse ndonjë rrënjë e ekuacionit A është një rrënjë e ekuacionit B.
Ekuacionet quhen ekuivalente, nëse ndonjë rrënjë e njërës prej tyre është rrënja e tjetrës dhe anasjelltas. Kështu, ekuacionet janë ekuivalente nëse secila është pasojë e tjetrës.
Nga këto përkufizime rezulton, për shembull, se dy ekuacione pa zgjidhje janë ekuivalente. Nëse A nuk ka zgjidhje, atëherë B është pasojë Dhe, cilido qoftë ekuacioni B.
Le të përkufizojmë konceptin e "zgjidhjes së një ekuacioni". Zgjidhe ekuacionin- do të thotë të gjesh të gjitha vlerat e tilla të të panjohurave të përfshira në të, të cilat e kthejnë ekuacionin në identitet. Këto vlera quhen rrënjët e ekuacionit.
Procesi i zgjidhjes së ekuacioneve konsiston kryesisht në zëvendësimin e një ekuacioni të caktuar me një tjetër, ekuivalent me të.
Siç u përmend më herët, ka katër nga më metodat e përgjithshme përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve të çdo lloji. Le të ndalemi në secilën metodë në më shumë detaje.
Metoda e zëvendësimit të ekuacionit h (f (x)) = h (g (x)) me ekuacionin f (x) = g (x) mund të përdoret vetëm nëse
është një funksion monoton që merr secilën nga vlerat e tij një herë. Nëse ky funksion është jo monotonik, atëherë metoda e specifikuar nuk mund të zbatohet, pasi humbja e rrënjëve është e mundur.Thelbi i metodës së faktorizimit është si vijon: ekuacioni
mund të zëvendësohet: Pasi të keni zgjidhur ekuacionet e këtij grupi, duhet të merrni ato rrënjë që i përkasin domenit të ekuacionit origjinal dhe të hidhni pjesën tjetër si të jashtme. metodë grafike zgjidhjet e ekuacionit
është kjo: ju duhet të ndërtoni grafikë funksionesh dhe të gjeni pikat e kryqëzimit të tyre. Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e këtyre pikave. Kjo metodë ju lejon të përcaktoni numrin e rrënjëve të një ekuacioni, të merrni me mend vlerën e rrënjës, të gjeni vlera të përafërta dhe ndonjëherë të sakta të rrënjëve. Në disa raste, ndërtimi i grafikëve të funksioneve mund të zëvendësohet me një referencë për disa veti të funksioneve (kjo është arsyeja pse nuk po flasim për një metodë grafike, por për një metodë funksionale-grafike për zgjidhjen e ekuacioneve). Nëse, për shembull, një nga funksionet
rritet dhe tjetri zvogëlohet, atëherë ekuacioni ose nuk ka rrënjë ose ka një rrënjë. Le të kujtojmë një metodë tjetër mjaft të bukur të metodës funksionale-grafike: nëse vlera më e madhe e njërit prej funksioneve në interval është e barabartë dhe vlera më e vogël e funksioni tjetër është gjithashtu i barabartë, atëherë ekuacioni është i barabartë me sistemin e ekuacioneve në interval. Le të zbulojmë thelbin e metodës së ndryshimit të ndryshores: nëse ekuacioni
Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur lini një kërkesë në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe të raportojmë oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose ngjarje të ngjashme promovuese, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar ato programe.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin e gjykatës, në procedurat gjyqësore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, zbatimin e ligjit ose arsye të tjera të rëndësishme shoqërore.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë përkatëse - pasardhësi ligjor.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe abuzimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respekt për privatësinë tuaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne sjellim rregullat e konfidencialitetit dhe sigurisë për punonjësit tanë dhe monitorojmë me përpikëri zbatimin e masave të konfidencialitetit.
Mësim dhe prezantim me temën: "Metoda e zëvendësimit të variablave. Shembuj"
Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.
Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 11
1C: Shkolla. Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë për klasat 10-11
Probleme algjebrike me parametra, klasat 9-11
Kjo metodë është mjaft e zakonshme në zgjidhjen e ekuacioneve dhe ne e kemi përdorur më shumë se një herë. Mund të përdoret në rastet e mëposhtme:
- Nëse ekuacioni origjinal $ f (x) = 0 $ ka pamje komplekse, por ishte e mundur që të transformohej në një ekuacion të formës $ h (g (x)) = 0 $.
- Ju duhet të ndryshoni variablat $ u = g (x) $.
- Zgjidheni ekuacionin $ h (u) = 0 $, gjeni rrënjët $ u_1 $, $ u_2 $,… $ u_n $.
- Prezantoni zëvendësimin e kundërt $ g (x) = u_1 $, $ g (x) = u_2 $,…, $ g (x) = u_n $.
- Zgjidheni secilin nga ekuacionet $ g (x) = u_1 $, $ g (x) = u_2 $,…, $ g (x) = u_n $. Rrënjët e secilit prej ekuacioneve do të jenë zgjidhjet e ekuacionit origjinal.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $ 8x ^ 6 + 7x ^ 3-1 = 0 $.
Zgjidhje.
Ne prezantojmë zëvendësimin $ y = x ^ 3 $. Atëherë ekuacioni ynë reduktohet në një ekuacion kuadratik:
$ 8y ^ 2 + 7y-1 = 0 $,
$ (8vj-1) (y + 1) = 0 $,
$ y_1 = \ frac (1) (8) $ dhe $ y_2 = -1 $.
Në këtë fazë kur zgjidhni më shumë ekuacione komplekse rrënjët që rezultojnë duhet të kontrollohen.
Le të prezantojmë ndryshimin e anasjelltë: $ x ^ 3 = \ frac (1) (8) $ dhe $ x ^ 3 = -1 $.
Rrënjët e këtyre ekuacioneve janë të lehta për t'u gjetur: $ x_1 = \ frac (1) (2) $ dhe $ x_2 = -1 $.
Përgjigje: $ x = 0,5 $ dhe $ x = -1 $.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $ \ sqrt (\ frac (2x + 3) (2x-1)) + 4 \ sqrt (\ frac (2x-1) (2x + 3)) = 4 $.
Zgjidhje.
Le të bëjmë transformime ekuivalente:
$ \ sqrt (\ frac (2x-1) (2x + 3)) = (\ frac (2x-1) (2x + 3)) ^ (\ frac (1) (2)) = (\ frac (2x + 3) (2x-1)) ^ (- \ frac (1) (2)) = ((\ frac (2x + 3) (2x-1)) ^ (\ frac (1) (2))) ^ ( -1) = \ frac (1) (\ sqrt (\ frac (2x + 3) (2x-1))) $.
Ne prezantojmë zëvendësimin: $ u = \ sqrt (\ frac (2x + 3) (2x-1)) $, atëherë ekuacioni ynë reduktohet në $ u + \ frac (4) (u) = 4 $. $ u ^ 2-4u + 4 = 0 $, prej nga $ u = 2 $.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt: $ \ sqrt (\ frac (2x + 3) (2x-1)) = 2 $.
$ 2x + 3 = 4 (2x-1) $, duke vendosur ekuacioni linear$ x = 1 \ frak (1) (6) $.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $ 2 ^ x + 2 ^ (1-x) = 3 $.
Zgjidhje.
Ekuacioni ynë reduktohet në ekuacionin ekuivalent: $ 2 ^ x + \ frac (2) (2 ^ x) = 3 $.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $ t = 2 ^ x $.
$ t + \ frak (2) (t) = 3 $,
$ t ^ 2-3t + 2 = 0 $,
$ (t-2) (t-1) = 0 $,
$ t_1 = 2 $ dhe $ t_2 = 1 $.
Le të prezantojmë ndryshimin e anasjelltë: $ 2 ^ x = 2 $ dhe $ 2 ^ x = 1 $. Ku: $ x = 1 $ dhe $ x = 0 $.
Përgjigje: $ x = 1 $ dhe $ x = 0 $.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $ lg ^ 2 (x ^ 2) + lg (10x) -6 = 0 $.
Zgjidhje.
Le të transformojmë ekuacionin tonë.
$ lg ^ 2 (x ^ 2) = (lg (x ^ 2)) ^ 2 = (2lg (x)) ^ 2 = 4lg ^ 2x $.
$ lg (10x) = lg10 + lgx = 1 + lgx $.
Ekuacioni origjinal është i barabartë me ekuacionin: $ 4lg ^ 2x + lgx-5 = 0 $.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $ u = lg (x) $.
$ 4u ^ 2 + u-5 = 0 $,
$ (4u + 5) (u-1) = 0 $.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt: $ lgx = -1,25 $ dhe $ lgx = 1 $.
Përgjigje: $ x = 10 ^ (- \ frac (5) (4)) $ dhe $ x = 10 $.
Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $ sin (x) cos (x) -6sin (x) + 6cos (x) + 6 = 0 $.
Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $ cos (x) -sin (x) = y $.
Pastaj: $ (cos (x) -sin (x)) ^ 2 = 1-2sin (x) cos (x) $.
$ sin (x) cos (x) = \ frac (1-y ^ 2) (2) $.
Ekuacioni origjinal është i barabartë me:
$ \ frac (1-y ^ 2) (2) + 6y + 6 = 0 $,
$ 1-v ^ 2 + 12v + 12 = 0 $,
$ y ^ 2-12y-13 = 0 $,
$ (y-13) (y + 1) = 0 $.
Ne prezantojmë ndryshimin e anasjelltë: $ cos (x) -sin (x) = 13 $ - është e qartë se nuk ka zgjidhje, pasi kosinusi dhe sinusi janë të kufizuar në modul me një.
$ cos (x) -sin (x) = - 1 $ - shumëzojini të dyja anët e ekuacionit me $ \ frac (\ sqrt (2)) (2) $.
$ \ frac (\ sqrt (2)) (2) cos (x) - \ frac (\ sqrt (2)) (2) sin (x) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2) $.
$ sin (\ frac (π) (4) -x) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2) $.
$ \ fillojë (rastet) \ frac (π) (4) -x = - \ frac (π) (4) + 2πn, \\ \ frac (π) (4) -x = - \ frac (3π) (4 ) + 2πn. \ fundi (rastet) $
$ \ fillojë (rastet) x = \ frac (π) (2) + 2πn, \\ x = π + 2πn. \ fundi (rastet) $
Përgjigje: $ x = \ frac (π) (2) + 2πn $ dhe $ π + 2πn $.
Detyrat për zgjidhje të pavarur
Zgjidh ekuacionet e mëposhtme:1. $ x ^ 8 + 3x ^ 4-4 = 0 $.
2. $ \ sqrt (\ frac (5x-1) (x + 3)) + 5 \ sqrt (\ frac (x + 3) (5x-1)) = 6 $.
3. 5 $ ^ x + 5 ^ (2x + 1) = - 4 $.
4. $ 2cos ^ 2 (x) -7cos-4 = 0 $.
5. $ 5sin (2x) -11sin (x) = 11cos (x) -7 $.
Zgjidhja e ekuacioneve me ndryshim të ndryshoreve
Shumica e detyrave të jetës
zgjidhen si ekuacione algjebrike:
duke i sjellë në formën më të thjeshtë.
Leo Tolstoi.
Qëllimi i mësimit: organizoj veprimtaritë mësimore nxënësit të zotërojnë metodat e zgjidhjes së ekuacioneve të tëra të shkallëve më të larta me metodën e zëvendësimit të variablave; të njohë nxënësit me konceptet, metodat e zgjidhjes së ekuacioneve periodike dhe simetrike.
Detyrat:arsimore: vazhdojnë të zhvillojnë aftësinë për të aplikuar metodën e zëvendësimit
ndryshore gjatë zgjidhjes së ekuacioneve; formimi i aftësisë për të parë të njëjtën metodë të zgjidhjes së ekuacioneve në situata të ndryshme; për të krijuar një ide për metodat dhe mënyrat e zgjidhjes detyra jo standarde dhe ekuacionet algjebrike në një nivel që tejkalon nivelin e standardeve arsimore shtetërore;
duke zhvilluar: zhvillimi i të menduarit të nxënësve; zhvillimi i kujtesës; zhvillimin
të menduarit logjik, aftësia për të formuluar qartë mendimet e tyre; zhvillimi i imagjinatës së nxënësve; zhvillimin e të folurit gojor.
arsimore: edukimi i vëzhgimit; edukimi i saktësisë
kur bën shënime në tabelë dhe në një fletore; edukimi i pavarësisë në kryerjen e punës praktike.
Gjatë orëve të mësimit
Koha e organizimit.
Aktualizimi dhe sistematizimi i njohurive.
Detyra numër 1... Zgjidheni fjalëkryqin. Shkruani përgjigjet vetëm në rasën emërore.
Horizontalisht:4. Cila është shprehja për ekuacionin kuadratik? (diskriminues)
6. Vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë. (rrënjë)
8.Ekuacioni i formës 
, ku 
. (bikuadratike)
9.Matematikan francez lidhur me ekuacionet kuadratike. (Viet)
10. Një ekuacion në të cilin ana e majtë dhe e djathtë janë shprehje të plota. (e tere)
11. Ekuacionet me një ndryshore që ka të njëjtin grup rrënjësh. (ekuivalente)
Vertikalisht:
1. Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit. (zgjidhje)
2 zgjidhje e ekuacionit 
. (zero)
3. Barazi që përmban variablin. (ekuacioni)
5. Një ekuacion kuadratik në të cilin njëri nga koeficientët b ose c është 0. (i paplotë)
7. Ekuacioni kuadratik në të cilin koeficienti i parë është e barabartë me një. (e dhënë)
Çfarë do t'i kushtojmë mësimin tonë sot? ( Zgjidhja e ekuacioneve )
Detyra numër 2... Si do t'i zgjidhnit ekuacionet për secilin nga grupet?
PËRGJIGJE: Shembujt e grupit 1) më së miri zgjidhen me faktorizim duke përdorur faktorin e përbashkët jashtë kllapave ose duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.
Shembujt e grupit 2) më së miri zgjidhen duke grupuar dhe faktorizuar.
Shembujt e grupit 3) zgjidhen më së miri duke futur një ndryshore të re dhe duke kaluar në një ekuacion kuadratik.
1 Çfarë faktori do të vendosnit jashtë kllapave në shembujt e grupit 1?
PËRGJIGJE:
Si do t'i gruponi termat në shembujt e grupit 2?
PËRGJIGJE:
Çfarë do të shënonit me variablin e ri në shembujt e grupit 3?
PËRGJIGJE:
Si mund të faktorizohet polinomi 
?
PËRGJIGJE:.
Sot në mësim do të tregoni njohuritë tuaja mbi temën "Zgjidhja e ekuacioneve duke zëvendësuar një ndryshore"
Shkruani temën e mësimit në fletoret tuaja.
Sot në mësim do të shqyrtojmë një nga mënyrat për të zgjidhur ekuacionet e shkallëve më të larta - metodën e ndryshimit të një ndryshoreje; le të njihemi me konceptet, metodat e zgjidhjes së ekuacioneve rekurente dhe simetrike.
Arti i shkëmbimit të variablave është të shihet se cili zëvendësim është më racional dhe çon drejt suksesit më shpejt.
Detyra numër 3.
Zgjidhe ekuacionin.(2 nxënës zgjidhin detyrën në dërrasën e zezë në të njëjtën kohë.)
a) (Nxënësi i parë vendos në dërrasën e zezë me një shpjegim.)
b) (Nxënësi i dytë zgjidh ekuacionin në heshtje, më pas shpjegon zgjidhjen, klasa dëgjon dhe bën pyetje nëse diçka nuk është e qartë.)
1 student Zëvendësimi: 
.
2 student Zëvendësimi: 
.
(Opsionale për ata që kanë punuar me ekuacionet e mëparshme më parë).
. .
3 student
(Nxënësit komentojnë zgjidhjen nga vendndodhja.)
ZGJIDHJA: Hiqni faktorin e përbashkët:,
ku 
ose 
, d.m.th. 
Përgjigje: 
Thellimi dhe zgjerimi i njohurive
Ne vazhdojmë të punojmë. Ju mund të shihni ekuacionin në rrëshqitje: x 4 -5x 3 + 6x 2 -5x + 1 = 0.
Në çfarë mënyre propozoni ta zgjidhni atë? Si të jemi?
A është e mundur të zgjidhet në kuadër të programeve të matematikës shkollore? Mund të përgjigjeni jo. Në fund të fundit, metodat standarde për zgjidhjen e ekuacioneve në shkollë parashikojnë zgjidhjen e ekuacioneve jo më të larta se shkalla e dytë. Por ju mund të mbani mend se ekuacionet individuale janë më shumë shkallë të lartë në shkollë vendosën. Vërtetë, metodat e zgjidhjes së tyre janë aplikimi krijues i metodave të njohura, reduktimi i tyre në zgjidhjen e një ose disa ekuacioneve të shkallës jo më të lartë se e dyta.
Shikoni nga afër këtë ekuacion? Çfarë keni vënë re ?(në këtë ekuacion koeficientët në distancë të barabartë nga skajet janë të barabartë)
Djema, një ekuacion i këtij lloji, kur koeficientët në distancë të barabartë nga skajet përkojnë, quhet e kthyeshme... Ky ekuacion reduktohet në kuadratik duke përdorur zëvendësimin.
Unë ju ofroj algoritmin e mëposhtëm për zgjidhjen e tyre:
Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të përsëritura.
1. Ndani të dyja anët e ekuacionit me x 2.
2.Gruponi termat (i pari me të fundit, i dyti me të katërtin).
Sillni ekuacionin në formë a
+ c = 0
3.Prezantoni një ndryshore të re t = , pastaj t 2 =, d.m.th. = t 2 - 2.
4. Zëvendësoni dhe zgjidhni ekuacionin kuadratik.
5. Kthehuni te zëvendësimi dhe zgjidhni ekuacionet që rezultojnë.
6. Shkruani përgjigjen.
Djemtë po studiojnë algoritmin.
Nxënësi në dërrasën e zezë, sipas algoritmit dhe me ndihmën e mësuesit, zgjidh ekuacionin, pjesa tjetër shkruajnë në fletore.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.
Zgjidhje.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 = 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 = 0.
Shkruani t: zëvendësim (x + 1 / x) = t. Zëvendësimi: (x 2 + 1 / x 2) = t 2 - 2, kemi:
6t 2 - 5t - 50 = 0.
t = -5/2 ose t = 10/3.
Le të kthehemi te ndryshorja x. Pas zëvendësimit të kundërt, ne zgjidhim dy ekuacionet e marra:
1) x + 1 / x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 ose x = -1/2.
2) x + 1 / x = 10/3;
x 2 - 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 ose x = 1/3.
Përgjigje: -2; -1/2; 1/3; 3.
Një kontribut të madh në problemin e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4 dhanë matematikanët italianë të shekullit të 16-të N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano e të tjerë.Në vitin 1535 u zhvillua një duel shkencor midis A. Fiore dhe N. Tartaglia, në të cilën fitoi kjo e fundit. Në 2 orë ai zgjidhi 30 probleme të propozuara nga Fiore dhe vetë Fiore nuk mundi të zgjidhte asnjë nga problemet që i kishte caktuar Tartaglia.
Djema, dhe unë dua t'ju ofroj një ekuacion më shumë sot, e mora nga koleksioni i problemeve për t'u përgatitur për OGE.
. ((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Duke bërë zëvendësimin x 2 + 5x + 4 = t, kemi ekuacionin
t (t + 2) = 24, është katror:
t 2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 ose t = 4.
Pas kryerjes së zëvendësimit të kundërt, mund të gjejmë lehtësisht rrënjët e ekuacionit origjinal.
Përgjigje: -5; 0.
Transferimi krijues i njohurive dhe aftësive në kushte të reja.
Në fillim të orës së mësimit ata thanë se nëse në ekuacion ka elemente të dyfishta, atëherë mund të përdoret metoda e zëvendësimit të variablave. Ne ende nuk dimë të zgjidhim ekuacionet trigonometrike dhe irracionale. Le të shohim nëse mund ta zbatojmë këtë metodë për ta nëse dimë të zgjidhim ekuacionet më të thjeshta trigonometrike dhe irracionale.
Ushtrimi 1: Emërtoni ndryshimin e ndryshores në ekuacionet e mëposhtme.
Detyra 2: Shkruani disa ekuacione bazuar në metodën e ndryshimit të ndryshoreve.
Duke përmbledhur.
Pra, djema, mësimi ynë ka marrë fund. Le të përmbledhim mësimin tonë.
Çfarë synimesh vendosëm në fillim të mësimit?
A janë arritur qëllimet tona?
Çfarë të re kemi mësuar në mësim?
Detyre shtepie.
4x 4 - 8x 3 + 3x 2 - 8x + 4 = 0
(x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 5) = 40
... (ekuacioni i matematikanëve italianë)
Dhe do të doja ta përfundoja mësimin me fjalët e shkencëtarit të madh A. Einstein:
“Më duhet ta ndaj kohën time mes politikës dhe ekuacioneve. Megjithatë, ekuacioni, për mendimin tim, është shumë më i rëndësishëm, sepse politika ekziston vetëm për momentin e caktuar dhe ekuacioni do të ekzistojë përgjithmonë”.
Faleminderit për mësimin! Mirupafshim!
Matematika është një pus përmes të cilit mendja logjike mund të shikojë botën ideale.
Krotov Victor
Në shkollë, vendin kryesor në kursin e algjebrës e zënë ekuacionet racionale. Pikërisht për studimin e tyre është lënë më shumë kohë se për çdo temë tjetër. Kjo kryesisht për faktin se ekuacionet nuk kanë vetëm rëndësi të madhe teorike, por shërbejnë edhe për shumë qëllime praktike. Një numër i madh detyrash bota reale reduktohen pikërisht në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme dhe vetëm pasi të keni zotëruar metodat e zgjidhjes së tyre, do të gjeni përgjigje për pyetje të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë.
Për formimin e aftësisë për zgjidhjen e ekuacioneve racionale, rëndësi të madhe ka puna e pavarur e nxënësit. Sidoqoftë, përpara se të vazhdoni në mënyrë specifike në punë të pavarur, është e nevojshme të njihni qartë dhe të jeni në gjendje të aplikoni në praktikë të gjitha metodat e mundshme të zgjidhjes ekuacionet racionale.
Le t'i hedhim një vështrim më të afërt shembujve metoda e ndryshimit të ndryshueshëm për të zgjidhur ekuacionet racionale.
Shembulli 1.
Zgjidheni ekuacionin (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.
Zgjidhje.
E rishkruajmë ekuacionin si
(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11 (2x 2 - 3x) + 1. Le të bëjmë një zëvendësim. Le të jetë 2x 2 - 3x = t, atëherë ekuacioni do të marrë formën:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Tani le të hapim kllapat dhe të japim të ngjashme, marrim:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
Në rezultuar jo të plotë kuadratike nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat, do të kemi:
t = 0 ose t = 9.
Tani ju duhet të bëni zëvendësimin e kundërt dhe të zgjidhni secilin prej ekuacioneve që rezultojnë:
2x 2 - 3x = 0 ose 2x 2 - 3x = 9
x (2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0
x = 0 ose x = 3/2 x = 3 ose x = -3/2
Përgjigje: -1,5; 0; 1,5; 3.
Shembulli 2.
Zgjidheni ekuacionin (x 2 - 6x) 2 - 2 (x - 3) 2 = 81.
Zgjidhje.
Zbato formulën për katrorin e diferencës (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2. E shkruajmë ekuacionin origjinal në formë
(x 2 - 6x) 2 - 2 (x 2 - 6x + 9) = 81. Tani mund të bëni një zëvendësim.
Le të jetë x 2 - 6x = t, atëherë ekuacioni do të ketë formën:
t 2 - 2 (t + 9) = 81.
t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t 2 - 2t - 99 = 0.
Sipas teoremës së Vietës, rrënjët e ekuacionit që rezulton do të jenë numrat -9 dhe 11.
Le të bëjmë një zëvendësim të kundërt:
x 2 - 6x = -9 ose x 2 - 6x = 11
x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 - 2√5.
Përgjigje: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.
Shembulli 3.
Zgjidheni ekuacionin (x - 1) (x - 3) (x + 5) (x + 7) = 297 dhe gjeni prodhimin e rrënjëve të tij.
Zgjidhje.
Le të gjejmë një mënyrë "fitimprurëse" për të grupuar faktorët dhe për të zgjeruar çiftet e kllapave:
((x - 1) (x + 5)) ((x - 3) (x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
Le të bëjmë ndryshimin x 2 + 4x = t, atëherë ekuacioni do të duket kështu:
(t - 5) (t - 21) = 297.
Le të hapim kllapat, do të japim terma të ngjashëm:
t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t 2 - 26t - 192 = 0.
Nga teorema e Vieta, ne përcaktojmë se rrënjët e ekuacionit që rezulton do të jenë numrat -6 dhe 32.
Pas zëvendësimit të kundërt, do të kemi:
x 2 + 4x = -6 ose x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Nuk ka rrënjë x 1 = -8; x 2 = 4
Gjeni prodhimin e rrënjëve: -8 4 = -32.
Përgjigje: -32.
Shembulli 4.
Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x (x 2 - 2x + 2) = 10x 2.
Zgjidhje.
Le të x 2 - 2x + 2 = t, atëherë ekuacioni do të marrë formën:
t 2 + 3xt - 10x 2 = 0.
Konsideroni ekuacionin që rezulton si kuadratik në lidhje me t.
D = (3x) 2 - 4 (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2; ≥≤
t 1 = (-3x - 7x) / 2 dhe t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x dhe t 2 = 2x.
Meqenëse t = x 2 - 2x + 2, atëherë
x 2 - 2x + 2 = -5x ose x 2 - 2x + 2 = 2x. Le të zgjidhim secilin nga ekuacionet e fituara.
x 2 + 3x + 2 = 0 ose x 2 - 4x + 2 = 0.
Të dy ekuacionet kanë rrënjë sepse D> 0.
Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të konkludojmë se shuma e rrënjëve të ekuacionit të parë është -3, dhe ekuacioni i dytë është 4. Marrim se shuma e rrënjëve të ekuacionit origjinal është -3 + 4 = 1
Përgjigje: 1.
Shembulli 5.
Gjeni rrënjën e ekuacionit (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, i shtrirë [-5; 10].
Zgjidhje.
Le të x = t - 3, pastaj x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 dhe ekuacioni origjinal bëhet:
(t - 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Për të ngritur shprehjet në fuqinë e katërt, mund të përdorni trekëndëshin e Paskalit (Fig. 1); 
(t - 2) 4 = t 4 - 4t 3 2 + 6t 2 2 2 - 4t 2 3 + 2 4;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4.
Pas uljes së këtyre kushteve, marrim:
2t 4 - 2 6t 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 · 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 ose t 2 = -24.
Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, që do të thotë se t = 0 dhe pas zëvendësimit të kundërt
x = t - 3 = 0 - 3 = -3. Rrënja e ekuacionit -3 i përket intervalit [-5; 10].
Përgjigje: -3.
Siç mund ta shihni, kur zgjidhni ekuacione racionale, duhet të dini formulat e mësipërme dhe të jeni në gjendje të numëroni saktë. Gabimet ndodhin më shpesh gjatë zgjedhjes së një zëvendësimi dhe gjatë zëvendësimit të kundërt. Për të shmangur këtë, ju duhet të përshkruani në detaje çdo veprim, atëherë nuk do të ketë gabime në vendimet tuaja.
faqja e blogut, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.