Është koha për ta rregulluar atë Metodat e nxjerrjes së rrënjëve. Ato bazohen në vetitë e rrënjëve, në veçanti, në barazinë, e cila është e vërtetë për çdo numër negativ b.
Më poshtë do të shohim metodat kryesore të nxjerrjes së rrënjëve një nga një.
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - nxjerrjen e rrënjëve nga numrat natyrorë duke përdorur një tabelë katrorësh, një tabelë me kube, etj.
Nëse tabelat e katrorëve, kubeve etj. Nëse nuk e keni pranë, është logjike të përdorni metodën e nxjerrjes së rrënjës, e cila përfshin zbërthimin e numrit radikal në faktorët kryesorë.
Vlen të përmendet veçanërisht se çfarë është e mundur për rrënjët me eksponentë tek.
Së fundi, le të shqyrtojmë një metodë që na lejon të gjejmë në mënyrë sekuenciale shifrat e vlerës së rrënjës.
Le të fillojmë.
Përdorimi i një tabele me katrorë, një tabelë me kube, etj.
Në rastet më të thjeshta, tabelat e katrorëve, kubeve etj. ju lejojnë të nxirrni rrënjë. Cilat janë këto tabela?
Tabela e katrorëve të numrave të plotë nga 0 në 99 përfshirëse (treguar më poshtë) përbëhet nga dy zona. Zona e parë e tabelës është e vendosur në një sfond gri; duke zgjedhur një rresht specifik dhe një kolonë specifike, ju lejon të kompozoni një numër nga 0 në 99. Për shembull, le të zgjedhim një rresht me 8 dhjetëshe dhe një kolonë me 3 njësi, me këtë ne fiksuam numrin 83. Zona e dytë zë pjesën tjetër të tabelës. Çdo qelizë ndodhet në kryqëzimin e një rreshti të caktuar dhe një kolone të caktuar dhe përmban katrorin e numrit përkatës nga 0 në 99. Në kryqëzimin e rreshtit tonë të zgjedhur prej 8 dhjetëshe dhe kolonës 3 prej njësh ka një qelizë me numrin 6,889, që është katrori i numrit 83.
Tabelat e kubeve, tabelat e fuqive të katërta të numrave nga 0 deri në 99, e kështu me radhë janë të ngjashme me tabelën e katrorëve, vetëm ato përmbajnë kube, fuqi të katërt, etj. në zonën e dytë. numrat përkatës.
Tabelat e katrorëve, kubeve, fuqive të katërta etj. ju lejojnë të nxjerrni rrënjë katrore, rrënjët kubike, rrënjët e katërta etj. përkatësisht nga numrat në këto tabela. Le të shpjegojmë parimin e përdorimit të tyre gjatë nxjerrjes së rrënjëve.
Le të themi se duhet të nxjerrim rrënjën e n-të të numrit a, ndërsa numri a gjendet në tabelën e fuqive të n-të. Duke përdorur këtë tabelë gjejmë numrin b të tillë që a=b n. Pastaj 
, pra, numri b do të jetë rrënja e dëshiruar e shkallës së n-të.
Si shembull, le të tregojmë se si të përdorim një tabelë kubike për të nxjerrë rrënjën e kubit prej 19,683. Ne gjejmë numrin 19,683 në tabelën e kubeve, prej saj gjejmë se ky numër është kubi i numrit 27, pra, 
.
Është e qartë se tabelat e fuqive të n-të janë shumë të përshtatshme për nxjerrjen e rrënjëve. Megjithatë, ato shpesh nuk janë pranë, dhe përpilimi i tyre kërkon pak kohë. Për më tepër, shpesh është e nevojshme të nxirren rrënjë nga numrat që nuk përmbahen në tabelat përkatëse. Në këto raste, duhet të përdorni metoda të tjera të nxjerrjes së rrënjëve.
Faktorizimi i një numri radikal në faktorët kryesorë
Mjaft në një mënyrë të përshtatshme, që bën të mundur nxjerrjen e rrënjës nga një numër natyror (nëse, natyrisht, rrënja nxirret), është zbërthimi i numrit radikal në faktorë të thjeshtë. E tij çështja është kjo: pas kësaj është mjaft e lehtë ta përfaqësosh atë si një fuqi me eksponentin e dëshiruar, i cili ju lejon të merrni vlerën e rrënjës. Le ta sqarojmë këtë pikë.
Le të merret rrënja e n-të e një numri natyror a dhe vlera e tij është e barabartë b. Në këtë rast, barazia a=b n është e vërtetë. Numri b si çdo tjetër numri natyror mund të paraqitet si prodhim i të gjithë faktorëve të tij të thjeshtë p 1 , p 2 , …, p m në formën p 1 · p 2 · … · p m , dhe numri radikal a në këtë rast paraqitet si (p 1 · p 2 · … · p m) n. Meqenëse zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë është unik, zbërthimi i numrit radikal a në faktorë të thjeshtë do të ketë formën (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, gjë që bën të mundur llogaritjen e vlerës së rrënjës. si.
Vini re se nëse zbërthimi në faktorë të thjeshtë të një numri radikal a nuk mund të përfaqësohet në formën (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atëherë rrënja e n e një numri të tillë a nuk është nxjerrë plotësisht.
Le ta kuptojmë këtë kur zgjidhim shembuj.
Shembull.
Merrni rrënjën katrore të 144.
Zgjidhje.
Nëse shikoni tabelën e katrorëve të dhënë në paragrafin e mëparshëm, mund të shihni qartë se 144 = 12 2, nga e cila është e qartë se rrënja katrore e 144 është e barabartë me 12.
Por në dritën e kësaj pike, ne jemi të interesuar se si nxirret rrënja duke zbërthyer numrin radikal 144 në faktorët kryesorë. Le të shohim këtë zgjidhje.
Le të shpërbëhemi 144 tek faktorët kryesorë:
Domethënë 144=2·2·2·2·3·3. Bazuar në dekompozimin që rezulton, mund të kryhen transformimet e mëposhtme: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prandaj, 
.
Duke përdorur vetitë e shkallës dhe vetitë e rrënjëve, zgjidhja mund të formulohet pak më ndryshe: .
Përgjigje:
Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjet e dy shembujve të tjerë.
Shembull.
Llogaritni vlerën e rrënjës.
Zgjidhje.
Faktorizimi i thjeshtë i numrit radikal 243 ka formën 243=3 5 . Kështu, 
.
Përgjigje:
Shembull.
A është vlera e rrënjës një numër i plotë?
Zgjidhje.
Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të faktorizojmë numrin radikal në faktorë të thjeshtë dhe të shohim nëse ai mund të përfaqësohet si një kub i një numri të plotë.
Kemi 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2. Zgjerimi që rezulton nuk përfaqësohet si një kub i një numri të plotë, që nga shkalla faktor kryesor 7 nuk është shumëfish i tre. Prandaj, rrënja e kubit e 285,768 nuk mund të nxirret plotësisht.
Përgjigje:
Nr.
Nxjerrja e rrënjëve nga numrat thyesorë
Është koha për të kuptuar se si të nxjerrni rrënjën nga numër thyesor. Le të shkruhet numri radikal thyesor si p/q. Sipas vetive të rrënjës së një herësi, barazia e mëposhtme është e vërtetë. Nga kjo barazi rrjedh rregull për nxjerrjen e rrënjës së një thyese: Rrënja e një thyese është e barabartë me herësin e rrënjës së numëruesit pjesëtuar me rrënjën e emëruesit.
Le të shohim një shembull të nxjerrjes së një rrënjë nga një fraksion.
Shembull.
Cila është rrënja katrore e thyesë e zakonshme 25/169 .
Zgjidhje.
Duke përdorur tabelën e katrorëve, gjejmë se rrënja katrore e numëruesit të thyesës origjinale është e barabartë me 5, dhe rrënja katrore e emëruesit është e barabartë me 13. Pastaj 
. Kjo përfundon nxjerrjen e rrënjës së thyesës së përbashkët 25/169.
Përgjigje:
Rrënja e një thyese dhjetore ose numri i përzier nxirret pas zëvendësimit të numrave radikalë me thyesa të zakonshme.
Shembull.
Merrni rrënjën kubike të thyesës dhjetore 474.552.
Zgjidhje.
Le të imagjinojmë origjinalin dhjetore si thyesë e përbashkët: 474.552=474552/1000. Pastaj 
. Mbetet për të nxjerrë rrënjët e kubit që janë në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton. Sepse 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 dhe 1 000 = 10 3, atëherë 
Dhe 
. Mbetet vetëm për të përfunduar llogaritjet 
.
Përgjigje:
.
Marrja e rrënjës së një numri negativ
Vlen të ndalemi në nxjerrjen e rrënjëve nga numrat negativë. Kur studiojmë rrënjët, thamë se kur eksponenti i rrënjës është një numër tek, atëherë mund të ketë një numër negativ nën shenjën e rrënjës. Ne u dhamë këtyre hyrjeve kuptimin e mëposhtëm: për një numër negativ −a dhe një eksponent tek i rrënjës 2 n−1, 
. Kjo barazi jep rregull për nxjerrjen e rrënjëve tek nga numrat negativë: për të nxjerrë rrënjën e një numri negativ, duhet të merrni rrënjën e numrit pozitiv të kundërt dhe të vendosni një shenjë minus përpara rezultatit.
Le të shohim shembullin e zgjidhjes.
Shembull.
Gjeni vlerën e rrënjës.
Zgjidhje.
Le të transformojmë shprehjen origjinale në mënyrë që të ketë një numër pozitiv nën shenjën e rrënjës: 
. Tani numër i përzier zëvendësojeni atë me një fraksion të zakonshëm: 
. Ne zbatojmë rregullin për nxjerrjen e rrënjës së një fraksioni të zakonshëm: 
. Mbetet për të llogaritur rrënjët në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton: 
.
Këtu është një përmbledhje e shkurtër e zgjidhjes: 
.
Përgjigje:
.
Përcaktimi në bit i vlerës së rrënjës
Në rastin e përgjithshëm, nën rrënjë ka një numër që, duke përdorur teknikat e diskutuara më sipër, nuk mund të përfaqësohet si fuqia e n-të e çdo numri. Por në këtë rast ka nevojë të dihet kuptimi i një rrënje të caktuar, të paktën deri në një shenjë të caktuar. Në këtë rast, për të nxjerrë rrënjën, mund të përdorni një algoritëm që ju lejon të merrni vazhdimisht sasi të mjaftueshme vlerat e shifrave të numrit të kërkuar.
Në hapin e parë të këtij algoritmi ju duhet të gjeni se cili është pjesa më e rëndësishme e vlerës së rrënjës. Për ta bërë këtë, numrat 0, 10, 100, ... ngrihen në mënyrë sekuenciale në fuqinë n deri në momentin kur një numër tejkalon numrin radikal. Atëherë numri që kemi ngritur në fuqinë n në fazën e mëparshme do të tregojë shifrën përkatëse më domethënëse.
Për shembull, merrni parasysh këtë hap të algoritmit kur nxjerrni rrënjën katrore të pesë. Merrni numrat 0, 10, 100, ... dhe katrori i tyre derisa të marrim një numër më të madh se 5. Kemi 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, që do të thotë se shifra më e rëndësishme do të jetë shifra njësh. Vlera e këtij biti, si dhe e atyre më të ulëta, do të gjendet në hapat e ardhshëm të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës.
Të gjithë hapat e mëvonshëm të algoritmit synojnë të sqarojnë në mënyrë sekuenciale vlerën e rrënjës duke gjetur vlerat e pjesëve të ardhshme të vlerës së dëshiruar të rrënjës, duke filluar nga më e larta dhe duke kaluar në ato më të ulëtat. Për shembull, vlera e rrënjës në hapin e parë rezulton të jetë 2, në të dytin - 2.2, në të tretën - 2.23, dhe kështu me radhë 2.236067977…. Le të përshkruajmë se si gjenden vlerat e shifrave.
Shifrat gjenden duke kërkuar nëpër to vlerat e mundshme 0, 1, 2, ..., 9. Në këtë rast, fuqitë e n-të të numrave përkatës llogariten paralelisht dhe ato krahasohen me numrin radikal. Nëse në një fazë vlera e shkallës tejkalon numrin radikal, atëherë vlera e shifrës që korrespondon me vlerën e mëparshme konsiderohet e gjetur dhe bëhet kalimi në hapin tjetër të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës; nëse kjo nuk ndodh, atëherë vlera e kësaj shifre është 9.
Le t'i shpjegojmë këto pika duke përdorur të njëjtin shembull të nxjerrjes së rrënjës katrore të pesë.
Së pari gjejmë vlerën e shifrës së njësive. Ne do të kalojmë në vlerat 0, 1, 2, ..., 9, duke llogaritur përkatësisht 0 2, 1 2, ..., 9 2, derisa të marrim një vlerë më të madhe se numri radikal 5. Është e përshtatshme për të paraqitur të gjitha këto llogaritje në formën e një tabele: 
Pra, vlera e shifrës së njësive është 2 (pasi 2 2<5
, а 2 3 >5). Le të kalojmë në gjetjen e vlerës së vendit të dhjetë. Në këtë rast, ne do të vendosim në katror numrat 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, duke krahasuar vlerat që rezultojnë me numrin radikal 5: 
Që nga 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, atëherë vlera e vendit të dhjetës është 2. Mund të vazhdoni të gjeni vlerën e vendit të qindtave: 
Kështu u gjet vlera tjetër e rrënjës së pesë, është e barabartë me 2.23. Dhe kështu mund të vazhdoni të gjeni vlera: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë nxjerrjen e rrënjës me një saktësi prej të qindtave duke përdorur algoritmin e konsideruar.
Së pari ne përcaktojmë shifrën më domethënëse. Për ta bërë këtë, ne kubojmë numrat 0, 10, 100, etj. derisa të marrim një numër më të madh se 2,151,186. Kemi 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, pra shifra më domethënëse është shifra e dhjetësheve.
Le të përcaktojmë vlerën e saj. 
Që nga 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, atëherë vlera e vendit të dhjetësheve është 1. Le të kalojmë te njësitë. 
Kështu, vlera e shifrës së njëshit është 2. Le të kalojmë në të dhjetat. 
Meqenëse edhe 12.9 3 është më pak se numri radikal 2 151.186, atëherë vlera e vendit të dhjetës është 9. Mbetet për të kryer hapin e fundit të algoritmit; ai do të na japë vlerën e rrënjës me saktësinë e kërkuar. 
Në këtë fazë, vlera e rrënjës gjendet e saktë në të qindtat: 
.
Në përfundim të këtij artikulli, dua të them se ka shumë mënyra të tjera për të nxjerrë rrënjët. Por për shumicën e detyrave, ato që studiuam më sipër janë të mjaftueshme.
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).
Përhapja përfshin shumëzimin e një numri të caktuar me vete një numër të caktuar herë. Për shembull, ngritja e numrit 2 në fuqinë e pestë do të dukej kështu:
Numri që duhet të shumëzohet në vetvete quhet bazë e fuqisë dhe numri i shumëzimeve quhet eksponent i tij. Ngritja në fuqi korrespondon me dy veprime të kundërta: gjetjen e eksponentit dhe gjetjen e bazës.
Nxjerrja e rrënjëve
Gjetja e bazës së një fuqie quhet nxjerrja e rrënjës. Kjo do të thotë që ju duhet të gjeni numrin që duhet të rritet në fuqinë n për të marrë atë të dhënë.
Për shembull, është e nevojshme të nxirret rrënja e 4-të e numrit 16, d.m.th. për të përcaktuar, ju duhet të shumëzoni në vetvete 4 herë për të marrë në fund 16. Ky numër është 2.
Ky operacion aritmetik shkruhet duke përdorur një shenjë të veçantë - radikalin: √, mbi të cilin tregohet eksponenti në të majtë.
Rrënja aritmetike
Nëse eksponenti është numër çift, atëherë rrënja mund të jetë dy numra me të njëjtën vlerë absolute, por c është pozitiv dhe negativ. Pra, në shembullin e dhënë, këta mund të jenë numrat 2 dhe -2.
Shprehja duhet të jetë e paqartë, d.m.th. kanë një rezultat. Për këtë qëllim, u prezantua koncepti i një rrënjë aritmetike, e cila mund të përfaqësojë vetëm një numër pozitiv. Një rrënjë aritmetike nuk mund të jetë më e vogël se zero.
Kështu, në shembullin e diskutuar më lart, vetëm numri 2 do të jetë rrënja aritmetike, dhe opsioni i dytë i përgjigjes - -2 - përjashtohet me përkufizim.
Rrenja katrore
Për disa gradë, të cilat përdoren më shpesh se të tjerat, ka emra të veçantë që fillimisht lidhen me gjeometrinë. Po flasim për ngritjen në pushtetin e dytë dhe të tretë.
Në fuqinë e dytë gjatësia e një ane të një katrori kur duhet të llogarisni sipërfaqen e tij. Nëse keni nevojë të gjeni vëllimin e një kubi, gjatësia e skajit të tij rritet në fuqinë e tretë. Prandaj quhet katrori i numrit dhe i treti quhet kub.
Prandaj, rrënja e shkallës së dytë quhet katrore, dhe rrënja e shkallës së tretë quhet kubike. Rrënja katrore është e vetmja rrënjë që nuk shkruhet me një eksponent mbi radikalin:
Pra, rrënja katrore aritmetike e numri i dhënëështë një numër pozitiv që duhet të ngrihet në fuqinë e dytë për të marrë numrin e dhënë.
Shumë shpesh, kur zgjidhim probleme, përballemi me numra të mëdhenj nga të cilët duhet të nxjerrim Rrenja katrore. Shumë studentë vendosin se ky është një gabim dhe fillojnë të rizgjidhin të gjithë shembullin. Në asnjë rrethanë nuk duhet ta bëni këtë! Ka dy arsye për këtë:
- Rrënjët e një numri të madh shfaqen në probleme. Sidomos në ato tekst;
- Ekziston një algoritëm me të cilin këto rrënjë llogariten pothuajse gojarisht.
Ne do ta shqyrtojmë këtë algoritëm sot. Ndoshta disa gjëra do t'ju duken të pakuptueshme. Por nëse i kushtoni vëmendje këtij mësimi, do të merrni një armë të fuqishme kundër rrënjë katrore.
Pra, algoritmi:
- Kufizoni rrënjën e kërkuar sipër dhe poshtë në numra që janë shumëfish të 10. Kështu, ne do ta reduktojmë diapazonin e kërkimit në 10 numra;
- Nga këta 10 numra, hiqni ato që definitivisht nuk mund të jenë rrënjë. Si rezultat, 1-2 numra do të mbeten;
- Sheshi i këtyre 1-2 numrave. Ai katrori i të cilit është i barabartë me numrin origjinal do të jetë rrënja.
Përpara se ta zbatojmë këtë algoritëm në praktikë, le të shohim secilin hap individual.
Kufizimi i rrënjës
Para së gjithash, ne duhet të zbulojmë se midis cilit numra ndodhet rrënja jonë. Është shumë e dëshirueshme që numrat të jenë shumëfish të dhjetë:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Ne marrim një seri numrash:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Çfarë na thonë këto shifra? Është e thjeshtë: ne kemi kufij. Merrni, për shembull, numrin 1296. Ai shtrihet midis 900 dhe 1600. Prandaj, rrënja e tij nuk mund të jetë më e vogël se 30 dhe më e madhe se 40:
[Diçitura për foton]
E njëjta gjë vlen edhe për çdo numër tjetër nga i cili mund të gjeni rrënjën katrore. Për shembull, 3364:
[Diçitura për foton]Kështu, në vend të një numri të pakuptueshëm, marrim një gamë shumë specifike në të cilën qëndron rrënja origjinale. Për të ngushtuar më tej zonën e kërkimit, kaloni në hapin e dytë.
Eliminimi i numrave dukshëm të panevojshëm
Pra, kemi 10 numra - kandidatë për rrënjë. I morëm shumë shpejt, pa menduar komplekse dhe shumëzim në një kolonë. Është koha për të ecur përpara.
Besoni apo jo, tani do ta zvogëlojmë numrin e numrave të kandidatëve në dy - përsëri pa ndonjë llogaritje të komplikuar! Mjafton të njohësh rregullin e veçantë. Ja ku eshte:
Shifra e fundit e katrorit varet vetëm nga shifra e fundit numri origjinal.
Me fjalë të tjera, thjesht shikoni shifrën e fundit të katrorit dhe menjëherë do të kuptojmë se ku përfundon numri origjinal.
Ka vetëm 10 shifra që mund të vijnë në vendin e fundit. Le të përpiqemi të zbulojmë se në çfarë shndërrohen në katrorë. Hidhini një sy tabelës:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Kjo tabelë është një hap tjetër drejt llogaritjes së rrënjës. Siç mund ta shihni, numrat në rreshtin e dytë doli të ishin simetrik në lidhje me pesë. Për shembull:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Siç mund ta shihni, shifra e fundit është e njëjtë në të dyja rastet. Kjo do të thotë që, për shembull, rrënja e 3364 duhet të përfundojë në 2 ose 8. Nga ana tjetër, ne kujtojmë kufizimin nga paragrafi i mëparshëm. Ne marrim:
[Diçitura për foton] Sheshat e kuq tregojnë se ne ende nuk e dimë këtë shifër. Por rrënja qëndron në rangun nga 50 në 60, në të cilin ka vetëm dy numra që përfundojnë me 2 dhe 8:
[Diçitura për foton]Kjo eshte e gjitha! Nga të gjitha rrënjët e mundshme, ne lamë vetëm dy opsione! Dhe kjo është në rastin më të vështirë, sepse shifra e fundit mund të jetë 5 ose 0. Dhe atëherë do të ketë vetëm një kandidat për rrënjët!
Llogaritjet përfundimtare
Pra, na kanë mbetur 2 numra kandidatësh. Si e dini se cila është rrënja? Përgjigja është e qartë: katrore të dy numrat. Ai që në katror jep numrin origjinal do të jetë rrënja.
Për shembull, për numrin 3364 kemi gjetur dy numra kandidatë: 52 dhe 58. Le t'i vendosim në katror:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
Kjo eshte e gjitha! Doli që rrënja është 58! Në të njëjtën kohë, për të thjeshtuar llogaritjet, përdora formulën për katrorët e shumës dhe diferencës. Falë kësaj, as që më duhej të shumëzoja numrat në një kolonë! Ky është një nivel tjetër i optimizimit të llogaritjes, por, natyrisht, është plotësisht opsional :)
Shembuj të llogaritjes së rrënjëve
Teoria është, natyrisht, e mirë. Por le ta kontrollojmë në praktikë.
[Diçitura për foton]
Së pari, le të zbulojmë se në cilat numra qëndron numri 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Tani le të shohim numrin e fundit. Është e barabartë me 6. Kur ndodh kjo? Vetëm nëse rrënja përfundon me 4 ose 6. Marrim dy numra:
Gjithçka që mbetet është të vendosni në katror çdo numër dhe ta krahasoni atë me origjinalin:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
E madhe! Sheshi i parë doli të jetë i barabartë me numrin origjinal. Pra, kjo është rrënja.
Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:
[Diçitura për foton]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Le të shohim shifrën e fundit:
1369 → 9;
33; 37.
Sheshoni atë:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.
Këtu është përgjigja: 37.
Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:
[Diçitura për foton]
Ne kufizojmë numrin:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Le të shohim shifrën e fundit:
2704 → 4;
52; 58.
Sheshoni atë:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Morëm përgjigjen: 52. Numri i dytë nuk do të ketë më nevojë të vendoset në katror.
Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:
[Diçitura për foton]
Ne kufizojmë numrin:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Le të shohim shifrën e fundit:
4225 → 5;
65.
Siç mund ta shihni, pas hapit të dytë ka mbetur vetëm një opsion: 65. Kjo është rrënja e dëshiruar. Por le ta rrafshojmë dhe të kontrollojmë:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Gjithçka është e saktë. Ne e shkruajmë përgjigjen.
konkluzioni
Mjerisht, jo më mirë. Le të shohim arsyet. Janë dy prej tyre:
- Në çdo provim normal të matematikës, qoftë Provimi i Shtetit apo Provimi i Unifikuar i Shtetit, përdorimi i makinave llogaritëse është i ndaluar. Dhe nëse sillni një makinë llogaritëse në klasë, lehtë mund të përjashtoheni nga provimi.
- Mos u bëni si amerikanët budallenj. Që nuk janë si rrënjët - nuk mund të shtojnë dy numra të thjeshtë. Dhe kur shohin fraksione, në përgjithësi bëhen histerikë.
Rrënja katrore jo negative e një numri pozitiv quhet rrënjë katrore aritmetike dhe shënohet duke përdorur shenjën radikale.
Numrat kompleks
Mbi fushën e numrave kompleksë ka gjithmonë dy zgjidhje, të ndryshme vetëm në shenjë (me përjashtim të rrënjës katrore të zeros). Rrënja e një numri kompleks shpesh shënohet si , por ky shënim duhet të përdoret me kujdes. Gabim i zakonshëm:
Për të nxjerrë rrënjën katrore të një numri kompleks, është e përshtatshme të përdoret forma eksponenciale e shkrimit të një numri kompleks: nëse
,
,
ku rrënja e modulit kuptohet në kuptimin e një vlere aritmetike, dhe k mund të marrë vlerat k=0 dhe k=1, kështu që përgjigja përfundon me dy rezultate të ndryshme.
Përgjithësimet
Rrënjët katrore prezantohen si zgjidhje për ekuacionet e formës për objekte të tjera: matricat, funksionet, operatorët, etj. Veprimet shumëzuese mjaft arbitrare mund të përdoren si një veprim, për shembull, mbivendosje.
Rrënja katrore në shkencat kompjuterike
Në shumë gjuhë programimi të nivelit të funksionit (si dhe gjuhët e shënjimit si LaTeX), funksioni i rrënjës katrore shkruhet si sqrt(nga anglishtja rrenja katrore"Rrenja katrore").
Algoritmet për gjetjen e rrënjës katrore
Gjetja ose llogaritja e rrënjës katrore të një numri të caktuar quhet nxjerrjes(rrenja katrore.
Zgjerimi i serisë Taylor
në .Rrënja katrore aritmetike
Për katrorët e numrave barazitë e mëposhtme janë të vërteta:
Kjo do të thotë, ju mund të zbuloni pjesën e plotë të rrënjës katrore të një numri duke zbritur prej tij të gjithë numrat tek me radhë derisa pjesa e mbetur të jetë më e vogël se numri tjetër i zbritur ose i barabartë me zero, dhe duke numëruar numrin e veprimeve të kryera. Për shembull, si kjo:
Kanë përfunduar 3 hapa, rrënja katrore e 9 është 3.
Disavantazhi i kësaj metode është se nëse rrënja që nxirret nuk është një numër i plotë, atëherë mund të zbuloni vetëm të gjithë pjesën e saj, por jo më saktë. Në të njëjtën kohë, kjo metodë është mjaft e arritshme për fëmijët që zgjidhin probleme të thjeshta matematikore që kërkojnë nxjerrjen e rrënjës katrore.
Vlerësim i përafërt
Shumë algoritme për llogaritjen e rrënjëve katrore të pozitive numër real S kërkojnë një vlerë fillestare. Nëse vlera fillestare është shumë larg nga vlera reale e rrënjës, llogaritjet bëhen më të ngadalta. Prandaj, është e dobishme të kemi një vlerësim të përafërt, i cili mund të jetë shumë i pasaktë, por është i lehtë për t'u llogaritur. Nëse S≥ 1, le D do të jetë numri i shifrave S në të majtë të pikës dhjetore. Nëse S < 1, пусть D do të jetë numri i zerove të njëpasnjëshme në të djathtë të presjes dhjetore, të marra me shenjën minus. Atëherë vlerësimi i përafërt duket si ky:
Nëse D i çuditshëm, D = 2n+ 1, pastaj përdorni 
Nëse D madje, D = 2n+ 2, pastaj përdorni 
Dy dhe gjashtë përdoren sepse 
Dhe
Kur punoni në një sistem binar (si brenda kompjuterëve), duhet të përdoret një vlerësim i ndryshëm (këtu Dështë numri i shifrave binare).
Rrënja katrore gjeometrike
Për të nxjerrë me dorë rrënjën, përdoret një shënim i ngjashëm me ndarjen e gjatë. Numri rrënja e të cilit po kërkojmë është shkruar. Në të djathtë të saj gradualisht do të marrim numrat e rrënjës së dëshiruar. Le të marrim rrënjën e një numri me një numër të fundëm të numrave dhjetorë. Për të filluar, mendërisht ose me shenja, e ndajmë numrin N në grupe me dy shifra në të majtë dhe në të djathtë të presjes dhjetore. Nëse është e nevojshme, grupet janë të mbushura me zero - pjesa e plotë është e mbushur në të majtë, pjesa e pjesshme në të djathtë. Pra, 31234.567 mund të përfaqësohet si 03 12 34. 56 70. Ndryshe nga ndarja, prishja kryhet në grupe të tilla me 2 shifra.
Një përshkrim vizual i algoritmit:
Në këtë artikull do të prezantojmë koncepti i rrënjës së një numri. Ne do të vazhdojmë në mënyrë sekuenciale: do të fillojmë me rrënjën katrore, prej andej do të kalojmë në përshkrimin e rrënjës kubike, pas së cilës do të përgjithësojmë konceptin e një rrënjë, duke përcaktuar rrënjën e n-të. Në të njëjtën kohë do të prezantojmë përkufizime, shënime, do të japim shembuj të rrënjëve dhe do të japim shpjegimet dhe komentet e nevojshme.
Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike
Për të kuptuar përkufizimin e rrënjës së një numri, dhe rrënjës katrore në veçanti, duhet të keni . Në këtë pikë shpesh do të hasim fuqinë e dytë të një numri - katrorin e një numri.
Le të fillojmë me përkufizimet e rrënjës katrore.
Përkufizimi
Rrënja katrore e aështë një numër katrori i të cilit është i barabartë me a.
Për të sjellë shembuj të rrënjëve katrore, marrim disa numra, për shembull, 5, −0.3, 0.3, 0 dhe i vendosim në katror, marrim përkatësisht numrat 25, 0.09, 0.09 dhe 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 dhe 0 2 =0·0=0 ). Pastaj, sipas përkufizimit të dhënë më sipër, numri 5 është rrënja katrore e numrit 25, numrat -0.3 dhe 0.3 janë rrënjët katrore të 0.09 dhe 0 është rrënja katrore e zeros.
Duhet të theksohet se për asnjë numër a nuk ekziston a katrori i të cilit është i barabartë me a. Domethënë, për çdo numër negativ a nuk ka numër real b katrori i të cilit është i barabartë me a. Në fakt, barazia a=b 2 është e pamundur për çdo negativ a, pasi b 2 është numër jo negativ për çdo b. Kështu, nuk ka rrënjë katrore të një numri negativ në bashkësinë e numrave realë. Me fjalë të tjera, në bashkësinë e numrave realë rrënja katrore e një numri negativ nuk është e përcaktuar dhe nuk ka kuptim.
Kjo çon në një pyetje logjike: "A ka një rrënjë katrore të a-së për ndonjë jo-negativ a"? Përgjigja është po. Ky fakt mund të justifikohet me metodën konstruktive të përdorur për të gjetur vlerën e rrënjës katrore.
Atëherë lind pyetja tjetër logjike: "Sa është numri i të gjitha rrënjëve katrore të një numri të caktuar jo negativ a - një, dy, tre, apo edhe më shumë"? Këtu është përgjigja: nëse a është zero, atëherë e vetmja rrënjë katrore e zeros është zero; nëse a është një numër pozitiv, atëherë numri i rrënjëve katrore të numrit a është dy, dhe rrënjët janë . Le ta justifikojmë këtë.
Le të fillojmë me rastin a=0. Së pari, le të tregojmë se zero është me të vërtetë rrënja katrore e zeros. Kjo rrjedh nga barazia e dukshme 0 2 =0·0=0 dhe përkufizimi i rrënjës katrore.
Tani le të vërtetojmë se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros. Le të përdorim metodën e kundërt. Supozoni se ka një numër b jozero që është rrënja katrore e zeros. Atëherë duhet të plotësohet kushti b 2 =0, i cili është i pamundur, pasi për çdo b jozero vlera e shprehjes b 2 është pozitive. Kemi arritur në një kontradiktë. Kjo vërteton se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros.
Le të kalojmë në rastet kur a është një numër pozitiv. Thamë më lart se çdo numër jo negativ ka gjithmonë një rrënjë katrore, le të jetë rrënja katrore e a numri b. Le të themi se ekziston një numër c, i cili është edhe rrënja katrore e a. Atëherë, me përcaktimin e rrënjës katrore, barazitë b 2 =a dhe c 2 =a janë të vërteta, nga ku del se b 2 −c 2 =a−a=0, por meqë b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , pastaj (b−c)·(b+c)=0 . Barazia që rezulton është e vlefshme vetitë e veprimeve me numra realë e mundur vetëm kur b−c=0 ose b+c=0 . Kështu, numrat b dhe c janë të barabartë ose të kundërt.
Nëse supozojmë se ekziston një numër d, i cili është një rrënjë tjetër katrore e numrit a, atëherë me arsyetim të ngjashëm me ato të dhëna tashmë, vërtetohet se d është i barabartë me numrin b ose me numrin c. Pra, numri i rrënjëve katrore të një numri pozitiv është dy, dhe rrënjët katrorë janë numra të kundërt.
Për lehtësinë e punës me rrënjë katrore, rrënja negative "ndahet" nga ajo pozitive. Për këtë qëllim është prezantuar përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike.
Përkufizimi
Rrënja katrore aritmetike e një numri jo negativ aështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me a.
Shënimi për rrënjën katrore aritmetike të a është . Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore. Quhet edhe shenja radikale. Prandaj, ndonjëherë mund të dëgjoni si "rrënjë" dhe "radikale", që do të thotë i njëjti objekt.
Numri nën shenjën aritmetike të rrënjës katrore quhet numër radikal, dhe shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale, ndërsa termi "numër radikal" shpesh zëvendësohet me "shprehje radikale". Për shembull, në shënim numri 151 është një numër radikal, dhe në shënim shprehja a është një shprehje radikale.
Gjatë leximit, fjala "aritmetikë" shpesh hiqet, për shembull, hyrja lexohet si "rrënja katrore e shtatë pikës njëzet e nëntë". Fjala "aritmetikë" përdoret vetëm kur duan të theksojnë se po flasim konkretisht për rrënjën katrore pozitive të një numri.
Në dritën e shënimit të paraqitur, nga përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike rrjedh se për çdo numër jo negativ a .
Rrënjët katrore të një numri pozitiv a shkruhen duke përdorur shenjën aritmetike të rrënjës katrore si dhe . Për shembull, rrënjët katrore të 13 janë dhe . Rrënja katrore aritmetike e zeros është zero, domethënë . Për numrat negativ a, ne nuk do t'i bashkojmë kuptimin shënimit derisa të studiojmë numra komplekse. Për shembull, shprehjet dhe janë të pakuptimta.
Në bazë të përkufizimit të rrënjës katrore, vërtetohen vetitë e rrënjëve katrore, të cilat përdoren shpesh në praktikë.
Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se rrënjët katrore të numrit a janë zgjidhje të formës x 2 =a në lidhje me ndryshoren x.
Rrënja kubike e një numri
Përkufizimi i rrënjës së kubit i numrit a jepet në mënyrë të ngjashme me përkufizimin e rrënjës katrore. Vetëm ai bazohet në konceptin e një kubi të një numri, jo një katror.
Përkufizimi
Rrënja kubike e aështë një numër kubi i të cilit është i barabartë me a.
Le të japim shembuj të rrënjëve kubike. Për ta bërë këtë, merrni disa numra, për shembull, 7, 0, −2/3 dhe vendosini në kubike: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Pastaj, bazuar në përkufizimin e rrënjës kubike, mund të themi se numri 7 është rrënja kubike e 343, 0 është rrënja kubike e zeros dhe −2/3 është rrënja e kubit e −8/27.
Mund të tregohet se rrënja kubike e një numri, ndryshe nga rrënja katrore, ekziston gjithmonë, jo vetëm për jonegativin a, por edhe për çdo numër real a. Për ta bërë këtë, mund të përdorni të njëjtën metodë që përmendëm kur studiojmë rrënjët katrore.
Për më tepër, ekziston vetëm një rrënjë e vetme kubike e një numri të caktuar a. Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh tre raste veç e veç: a është një numër pozitiv, a=0 dhe a është një numër negativ.
Është e lehtë të tregohet se nëse a është pozitive, rrënja kubike e a nuk mund të jetë as numër negativ dhe as zero. Në të vërtetë, le të jetë b rrënja kubike e a-së, atëherë sipas përkufizimit mund të shkruajmë barazinë b 3 =a. Është e qartë se kjo barazi nuk mund të jetë e vërtetë për negativin b dhe për b=0, pasi në këto raste b 3 =b·b·b do të jetë përkatësisht një numër negativ ose zero. Pra, rrënja kubike e një numri pozitiv a është një numër pozitiv.
Tani supozojmë se përveç numrit b ka një rrënjë tjetër kubike të numrit a, le ta shënojmë atë c. Pastaj c 3 =a. Prandaj, b 3 −c 3 =a−a=0, por b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(kjo është formula e shkurtuar e shumëzimit dallimi i kubeve), prej nga (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Barazia që rezulton është e mundur vetëm kur b−c=0 ose b 2 +b·c+c 2 =0. Nga barazia e parë kemi b=c, dhe barazia e dytë nuk ka zgjidhje, pasi ana e majtë e saj është një numër pozitiv për çdo numër pozitiv b dhe c si shuma e tre termave pozitivë b 2, b·c dhe c 2. Kjo vërteton veçantinë e rrënjës kubike të një numri pozitiv a.
Kur a=0, rrënja kubike e numrit a është vetëm numri zero. Në të vërtetë, nëse supozojmë se ekziston një numër b, i cili është një rrënjë kubike jo zero e zeros, atëherë duhet të jetë barazia b 3 =0, e cila është e mundur vetëm kur b=0.
Për negative a, mund të jepen argumente të ngjashme me rastin për pozitiv a. Së pari, ne tregojmë se rrënja kubike e një numri negativ nuk mund të jetë e barabartë me një numër pozitiv ose zero. Së dyti, supozojmë se ekziston një rrënjë e dytë kubike e një numri negativ dhe tregojmë se do të përkojë domosdoshmërisht me të parën.
Pra, ekziston gjithmonë një rrënjë kubike e çdo numri real të dhënë a, dhe një unik.
Le të japim përkufizimi i rrënjës së kubit aritmetik.
Përkufizimi
Rrënja kubike aritmetike e një numri jonegativ aështë një numër jo negativ kubi i të cilit është i barabartë me a.
Rrënja e kubit aritmetik e një numri jonegativ a shënohet si , shenja quhet shenja e rrënjës së kubit aritmetik, numri 3 në këtë shënim quhet indeksi rrënjë. Numri nën shenjën e rrënjës është numër radikal, shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale.
Megjithëse rrënja e kubit aritmetik përcaktohet vetëm për numrat jonegativë a, është gjithashtu e përshtatshme të përdoren shënime në të cilat numrat negativë gjenden nën shenjën e rrënjës së kubit aritmetik. Do t'i kuptojmë si më poshtë: , ku a është një numër pozitiv. Për shembull, 
.
Ne do të flasim për vetitë e rrënjëve të kubit në artikullin e përgjithshëm vetitë e rrënjëve.
Llogaritja e vlerës së rrënjës së kubit quhet nxjerrja e rrënjës së kubit; ky veprim diskutohet në artikullin për nxjerrjen e rrënjëve: metoda, shembuj, zgjidhje.
Për të përfunduar këtë pikë, le të themi se rrënja kubike e numrit a është zgjidhje e formës x 3 =a.
rrënja e n-të, rrënja aritmetike e shkallës n
Le të përgjithësojmë konceptin e rrënjës së një numri - ne prezantojmë përkufizimi i rrënjës së n-të për n.
Përkufizimi
rrënja e n-të e aështë një numër, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.
Nga ky përkufizim është e qartë se rrënja e shkallës së parë të numrit a është vetë numri a, pasi gjatë studimit të shkallës me një eksponent natyror kemi marrë 1 =a.
Më sipër shikuam raste të veçanta të rrënjës së n-të për n=2 dhe n=3 - rrënjë katrore dhe rrënjë kubike. Kjo do të thotë, një rrënjë katrore është një rrënjë e shkallës së dytë, dhe një rrënjë kubike është një rrënjë e shkallës së tretë. Për të studiuar rrënjët e shkallës së n-të për n=4, 5, 6, ..., është e përshtatshme t'i ndani ato në dy grupe: grupi i parë - rrënjët me gradë çift (d.m.th., për n = 4, 6, 8 , ...), grupi i dytë - rrënjët shkallë tek (pra me n=5, 7, 9, ...). Kjo për faktin se rrënjët e fuqive çift janë të ngjashme me rrënjët katrore, dhe rrënjët e fuqive tek janë të ngjashme me rrënjët kubike. Le të merremi me ta një nga një.
Le të fillojmë me rrënjët, fuqitë e të cilave janë numrat çift 4, 6, 8, ... Siç e thamë tashmë, ato janë të ngjashme me rrënjën katrore të numrit a. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle çift të numrit a ekziston vetëm për jonegativin a. Për më tepër, nëse a=0, atëherë rrënja e a është unike dhe e barabartë me zero, dhe nëse a>0, atëherë ka dy rrënjë të shkallës çift të numrit a, dhe ata janë numra të kundërt.
Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Le të jetë b një rrënjë çift (e shënojmë si 2·m, ku m është një numër natyror) i numrit a. Supozoni se ka një numër c - një rrënjë tjetër e shkallës 2·m nga numri a. Atëherë b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Por ne e dimë formën b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atëherë (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Nga kjo barazi rrjedh se b−c=0, ose b+c=0, ose b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dy barazitë e para nënkuptojnë se numrat b dhe c janë të barabartë ose b dhe c janë të kundërt. Dhe barazia e fundit vlen vetëm për b=c=0, pasi në anën e majtë të saj ka një shprehje që është jonegative për çdo b dhe c si shuma e numrave jonegativë.
Sa i përket rrënjëve të shkallës së n-të për n tek, ato janë të ngjashme me rrënjën e kubit. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle tek e numrit a ekziston për çdo numër real a, dhe për një numër të caktuar a është unik.
Veçantia e rrënjës me shkallë tek 2·m+1 e numrit a vërtetohet me analogji me vërtetimin e veçantisë së rrënjës kubike të a. Vetëm këtu në vend të barazisë a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) përdoret një barazi e formës b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Shprehja në kllapa e fundit mund të rishkruhet si b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Për shembull, me m=2 kemi b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Kur a dhe b janë të dyja pozitive ose të dyja negative, prodhimi i tyre është një numër pozitiv, atëherë shprehja b 2 +c 2 +b·c në kllapa vetë shkallë të lartë foleja, është pozitive si shuma e numrave pozitivë. Tani, duke kaluar në mënyrë sekuenciale te shprehjet në kllapa të shkallëve të mëparshme të foleve, ne jemi të bindur se ato janë gjithashtu pozitive si shuma e numrave pozitivë. Si rezultat, marrim se barazia b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 e mundur vetëm kur b−c=0, pra kur numri b është i barabartë me numrin c.
Është koha për të kuptuar shënimin e rrënjëve të n-të. Për këtë qëllim jepet përkufizimi i rrënjës aritmetike të shkallës së n-të.
Përkufizimi
Rrënja aritmetike fuqia e n-të e një numri jonegativ aështë një numër jo negativ, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.