Rregullat e pabarazisë logaritmike. Pabarazitë logaritmike. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur lini një kërkesë në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe të raportojmë oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose ngjarje të ngjashme promovuese, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar ato programe.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin e gjykatës, në procedurat gjyqësore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, zbatimin e ligjit ose arsye të tjera të rëndësishme shoqërore.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë përkatëse - pasardhësi ligjor.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe abuzimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respekt për privatësinë tuaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne sjellim rregullat e konfidencialitetit dhe sigurisë për punonjësit tanë dhe monitorojmë me përpikëri zbatimin e masave të konfidencialitetit.

Mendoni se ka ende kohë para provimit dhe do të keni kohë për t'u përgatitur? Ndoshta kjo është kështu. Por në çdo rast, sa më herët të fillojë trajnimi studenti, aq më me sukses i kalon provimet. Sot vendosëm t'i kushtojmë një artikull pabarazive logaritmike. Kjo është një nga detyrat, që do të thotë një mundësi për të marrë një pikë shtesë.

A e dini tashmë se çfarë është logaritmi? Ne vërtet shpresojmë kështu. Por edhe nëse nuk keni një përgjigje për këtë pyetje, nuk është problem. Është shumë e lehtë të kuptosh se çfarë është logaritmi.

Pse pikërisht 4? Ju duhet të ngrini numrin 3 në një fuqi të tillë për të marrë 81. Kur të kuptoni parimin, mund të vazhdoni me llogaritjet më komplekse.

Ju i keni kaluar pabarazitë disa vite më parë. Dhe që atëherë ato hasen vazhdimisht në matematikë. Nëse keni probleme me zgjidhjen e pabarazive, shihni seksionin përkatës.
Tani që kemi njohur konceptet veç e veç, le të kalojmë në shqyrtimin e tyre në përgjithësi.

Pabarazia më e thjeshtë logaritmike.

Pabarazitë logaritmike më të thjeshta nuk kufizohen në këtë shembull, ka edhe tre të tjera, vetëm me shenja të ndryshme. Pse është e nevojshme kjo? Për të kuptuar më mirë se si zgjidhet pabarazia me logaritme. Tani do të japim një shembull më të zbatueshëm, është ende mjaft i thjeshtë, pabarazitë logaritmike komplekse do t'i lëmë për më vonë.

Si ta zgjidhim këtë? Gjithçka fillon me ODZ. Vlen të dini më shumë për të nëse dëshironi të zgjidhni gjithmonë lehtësisht çdo pabarazi.

Çfarë është ODU? ODV për pabarazitë logaritmike

Shkurtesa qëndron për Region vlerat e pranueshme... Në detyrat për provim, ky formulim shpesh shfaqet. ODZ është i dobishëm për ju jo vetëm në rastin e pabarazive logaritmike.

Hidhini një sy shembullit të mësipërm. Ne do të shqyrtojmë DHS bazuar në të, në mënyrë që të kuptoni parimin, dhe zgjidhja e pabarazive logaritmike nuk ngre asnjë pyetje. Nga përkufizimi i logaritmit, rezulton se 2x + 4 duhet të jetë më i madh se zero. Në rastin tonë, kjo do të thotë sa vijon.

Ky numër, sipas definicionit, duhet të jetë pozitiv. Zgjidheni pabarazinë e mësipërme. Kjo mund të bëhet edhe gojarisht, këtu është e qartë se X nuk mund të jetë më i vogël se 2. Zgjidhja e pabarazisë do të jetë përcaktimi i diapazonit të vlerave të pranueshme.
Tani le të kalojmë në zgjidhjen e pabarazisë më të thjeshtë logaritmike.

Ne i hedhim vetë logaritmet nga të dy anët e pabarazisë. Çfarë na mbetet si rezultat? Pabarazi e thjeshtë.

Nuk është e vështirë ta zgjidhësh atë. X duhet të jetë më i madh se -0.5. Tani kombinojmë dy vlerat e marra në sistem. Kështu,

Ky do të jetë diapazoni i vlerave të pranueshme për pabarazinë logaritmike të konsideruar.

Pse keni nevojë fare për ODZ? Ky është një mundësi për të hequr qafe përgjigjet e pasakta dhe të pamundura. Nëse përgjigja nuk është brenda kufijve të vlerave të pranueshme, atëherë përgjigjja thjesht nuk ka kuptim. Kjo ia vlen të mbahet mend për një kohë të gjatë, pasi në provim shpesh lind nevoja për të kërkuar ODZ, dhe kjo ka të bëjë jo vetëm me pabarazitë logaritmike.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike

Zgjidhja përbëhet nga disa faza. Së pari, ju duhet të gjeni gamën e vlerave të vlefshme. Do të ketë dy vlera në ODZ, ne e diskutuam këtë më lart. Tjetra, ju duhet të zgjidhni vetë pabarazinë. Metodat e zgjidhjes janë si më poshtë:

metoda e zëvendësimit të shumëzuesit;
dekompozim;
metoda e racionalizimit.

Në varësi të situatës, duhet të përdorni një nga metodat e mësipërme. Le të shkojmë drejtpërdrejt te zgjidhja. Ne do të zbulojmë metodën më të njohur që është e përshtatshme për zgjidhjen e detyrave USE në pothuajse të gjitha rastet. Më pas, ne do të shikojmë metodën e dekompozimit. Mund të ndihmojë nëse hasni pabarazi veçanërisht të ndërlikuara. Pra, algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike.

Shembuj zgjidhjesh :

Ne nuk e kemi marrë kot vetëm një pabarazi të tillë! Kushtojini vëmendje bazës. Mos harroni: nëse është më i madh se një, shenja mbetet e njëjtë kur gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme; përndryshe, shenja e pabarazisë duhet të ndryshohet.

Si rezultat, marrim pabarazinë:

Tani e sjellim anën e majtë në formën e ekuacionit, e barabartë me zero... Në vend të shenjës "më pak" vendosim "barabartë", zgjidhni ekuacionin. Kështu, ne do të gjejmë ODZ. Shpresojmë që me një zgjidhje për këtë ekuacion i thjeshtë nuk do kesh problem. Përgjigjet janë -4 dhe -2. Kjo nuk është e gjitha. Ju duhet t'i shfaqni këto pika në tabelë, vendosni "+" dhe "-". Çfarë duhet bërë për këtë? Zëvendësoni numrat nga intervalet në shprehje. Aty ku vlerat janë pozitive, vendosim "+".

Përgjigju: x nuk mund të jetë më shumë se -4 dhe më e vogël se -2.

Ne gjetëm gamën e vlerave të vlefshme vetëm për anën e majtë, tani duhet të gjejmë gamën e vlerave të vlefshme për anën e djathtë. Kjo është shumë më e lehtë. Përgjigje: -2. Ne kryqëzojmë të dy zonat e marra.

Dhe vetëm tani kemi filluar të trajtojmë vetë pabarazinë.

Le ta thjeshtojmë sa më shumë që të jetë e mundur për ta bërë më të lehtë zgjidhjen.

Aplikoni përsëri metodën e ndarjes në tretësirë. Le të heqim llogaritjet, me të gjithçka është tashmë e qartë nga shembulli i mëparshëm. Përgjigju.

Por kjo metodë është e përshtatshme nëse pabarazia logaritmike ka të njëjtën bazë.

Zgjidhje ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë me arsye të ndryshme presupozon një reduktim fillestar në një bazë. Pastaj ndiqni metodën e mësipërme. Por ka më shumë rast i vështirë... Konsideroni një nga më specie komplekse pabarazitë logaritmike.

Pabarazitë logaritmike me bazë të ndryshueshme

Si të zgjidhen pabarazitë me karakteristika të tilla? Po, dhe të tilla mund të gjenden në provim. Zgjidhja e pabarazive në mënyrën e mëposhtme do të jetë gjithashtu e dobishme për procesin tuaj arsimor. Le ta kuptojmë hollësisht... Le të hedhim poshtë teorinë, le të shkojmë direkt në praktikë. Për të zgjidhur pabarazitë logaritmike, mjafton të lexoni shembullin një herë.

Për të zgjidhur pabarazinë logaritmike të formës së paraqitur, është e nevojshme të zvogëlohet ana e djathtë në logaritëm me të njëjtën bazë. Parimi i ngjan tranzicioneve ekuivalente. Si rezultat, pabarazia do të duket kështu.

Në fakt, mbetet të krijohet një sistem pabarazish pa logaritme. Duke përdorur metodën e racionalizimit, kalojmë në një sistem ekuivalent pabarazish. Do ta kuptoni vetë rregullin kur të zëvendësoni vlerat e duhura dhe të gjurmoni ndryshimet e tyre. Sistemi do të ketë pabarazitë e mëposhtme.

Duke përdorur metodën e racionalizimit kur zgjidhni pabarazitë, duhet të mbani mend sa vijon: është e nevojshme të zbritet një nga baza, x, me përcaktimin e logaritmit, zbritet nga të dy anët e pabarazisë (djathtas nga e majta), dy shprehje shumëzohen dhe vendosen nën shenjën origjinale në lidhje me zero.

Zgjidhja e mëtejshme kryhet me metodën e intervaleve, gjithçka është e thjeshtë këtu. Është e rëndësishme që ju të kuptoni ndryshimet në metodat e zgjidhjes, atëherë gjithçka do të fillojë të funksionojë lehtësisht.

Ka shumë nuanca në pabarazitë logaritmike. Më të thjeshtat prej tyre janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur. Si të siguroheni që mund ta zgjidhni secilën prej tyre pa probleme? Ju keni marrë tashmë të gjitha përgjigjet në këtë artikull. Tani keni një praktikë të gjatë përpara jush. Praktikoni zgjidhjen e vazhdueshme të një sërë problemesh brenda provimit dhe do të jeni në gjendje të merrni rezultatin më të lartë. Fat i mirë në biznesin tuaj të vështirë!

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur lini një kërkesë në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe të raportojmë oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose ngjarje të ngjashme promovuese, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar ato programe.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin e gjykatës, në procedurat gjyqësore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - të zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, zbatimin e ligjit ose arsye të tjera të rëndësishme shoqërore.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë përkatëse - pasardhësi ligjor.

Mbrojtja e informacionit personal

Respekt për privatësinë tuaj në nivel kompanie

Midis gjithë shumëllojshmërisë së pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për ndonjë arsye rrallë thuhet në shkollë:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Në vend të kutisë "∨", mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta.

Pra, ne heqim qafe logaritmet dhe e reduktojmë problemin në pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hedhim logaritmet, mund të shfaqen rrënjë të panevojshme. Për t'i prerë ato, mjafton të gjesh gamën e vlerave të pranueshme. Nëse e keni harruar ODZ-në e logaritmit, unë rekomandoj fuqimisht ta përsërisni atë - shihni "Çfarë është logaritmi".

Gjithçka që lidhet me gamën e vlerave të lejueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas:

f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.

Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të përmbushen njëkohësisht. Kur të gjendet diapazoni i vlerave të vlefshme, mbetet ta kryqëzojmë atë me zgjidhjen pabarazia racionale- dhe përgjigja është gati.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Për të filluar, le të shkruajmë ODZ-në e logaritmit:

Dy pabarazitë e para plotësohen automatikisht dhe e fundit do të duhet të përshkruhet. Meqenëse katrori i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është zero, kemi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezulton se ODZ e logaritmit janë të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore:

Ne kryejmë kalimin nga një pabarazi logaritmike në atë racionale. Në pabarazinë origjinale ka një shenjë "më pak", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të jetë gjithashtu me një shenjë "më pak". Ne kemi:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Zerot e kësaj shprehjeje: x = 3; x = −3; x = 0. Për më tepër, x = 0 është një rrënjë e shumëzimit të dytë, që do të thotë se kur kaloni nëpër të, shenja e funksionit nuk ndryshon. Ne kemi:

Marrim x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Ky grup është plotësisht i përfshirë në ODZ të logaritmit, që do të thotë se kjo është përgjigja.

Transformimi i pabarazive logaritmike

Shpesh pabarazia origjinale ndryshon nga ajo e mësipërme. Është e lehtë për ta rregulluar atë sipas rregullave standarde për të punuar me logaritme - shihni "Vetitë themelore të logaritmeve". Gjegjësisht:

Çdo numër mund të paraqitet si një logaritëm me një bazë të caktuar;
Shuma dhe diferenca e logaritmeve me baza të njëjta mund të zëvendësohet me një logaritëm.

Do të doja t'ju kujtoja gjithashtu për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse pabarazia origjinale mund të përmbajë disa logaritme, kërkohet të gjendet ODV për secilën prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme Zgjidhjet e pabarazive logaritmike janë si më poshtë:

Gjeni ODV-në e çdo logaritmi të përfshirë në pabarazi;
Të zvogëlojë pabarazinë në atë standarde sipas formulave të mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve;
Zgjidheni pabarazinë që rezulton sipas skemës së dhënë më sipër.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Le të gjejmë domenin e përkufizimit (ODZ) të logaritmit të parë:

Ne zgjidhim me metodën e intervaleve. Gjeni zerot e numëruesit:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Pastaj - zerot e emëruesit:

x - 1 = 0;
x = 1.

Ne shënojmë zerot dhe shenjat në shigjetën e koordinatave:

Marrim x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Logaritmi i dytë i ODV do të jetë i njëjtë. Nëse nuk e besoni, mund ta kontrolloni. Tani e transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që të ketë dy në bazë:

Siç mund ta shihni, trenjakët në bazë dhe përballë logaritmit janë tkurrur. Mori dy logaritme me mbi të njëjtën bazë... Ne i shtojmë ato:

regjistri 2 (x - 1) 2< 2;
regjistri 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Mori pabarazinë logaritmike standarde. Ne i heqim qafe logaritmet me formulë. Meqenëse pabarazia origjinale përmban një shenjë më të vogël se, shprehja racionale që rezulton duhet gjithashtu të jetë më e vogël se zero. Ne kemi:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Ne morëm dy grupe:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
Përgjigjja e kandidatit: x ∈ (−1; 3).

Mbetet të kalojmë këto grupe - marrim përgjigjen e vërtetë:

Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që zgjidhni intervalet e plotësuara në të dy shigjetat. Marrim x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar.