Se dan 8 ejemplos de factorización de polinomios. Incluyen ejemplos con solución de cuadrado y ecuaciones bicuadráticas, ejemplos con polinomios recurrentes y ejemplos con encontrar raíces enteras de polinomios de tercer y cuarto grados.
1. Ejemplos con la solución de una ecuación cuadrática
Ejemplo 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Solución
Sacar x 2
fuera de los corchetes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Raíces de ecuación:
, .
.
Respuesta
Ejemplo 1.2
Factoriza un polinomio de tercer grado:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Solución
Saca x de los paréntesis:
.
Solucionamos ecuación cuadrática X 2 + 6 x + 9 = 0:
Su discriminante :.
Dado que el discriminante es cero, entonces las raíces de la ecuación son múltiples :;
.
De esto obtenemos la factorización del polinomio:
.
Respuesta
Ejemplo 1.3
Factoriza un polinomio de quinto grado:
X 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Solución
Sacar x 3
fuera de los corchetes:
.
Resolver la ecuación cuadrática x 2 - 2 x + 10 = 0.
Su discriminante :.
Dado que el discriminante es menor que cero, las raíces de la ecuación son complejas :;
, .
La factorización de un polinomio es:
.
Si nos interesa la factorización con coeficientes reales, entonces:
.
Respuesta
Ejemplos de factorización de polinomios usando fórmulas
Ejemplos con polinomios bicuadráticos
Ejemplo 2.1
Factoriza un polinomio bicuadrático:
X 4 + x 2 - 20.
Solución
Apliquemos las fórmulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - segundo 2 = (a - segundo) (a + b).
;
.
Respuesta
Ejemplo 2.2
Factoriza un polinomio que se reduce a uno bicuadrático:
X 8 + x 4 + 1.
Solución
Apliquemos las fórmulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - segundo 2 = (a - segundo) (a + b):
;
;
.
Respuesta
Ejemplo 2.3 con un polinomio retornable
Factoriza el polinomio de retorno:
.
Solución
El polinomio reflexivo tiene un grado impar. Por lo tanto, tiene una raíz x = - 1
... Dividimos el polinomio por x - (-1) = x + 1... Como resultado, obtenemos:
.
Hacemos la sustitución:
, ;
;
;
.
Respuesta
Ejemplos de factorización de polinomios con raíces enteras
Ejemplo 3.1
Factoriza el polinomio:
.
Solución
Suponga la ecuación
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3-6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3-6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3-6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3-6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3-6 1 2 + 11 1-6 = 0;
2 3-6 2 2 + 11 2-6 = 0;
3 3-6 3 2 + 11 3-6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Entonces, encontramos tres raíces:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Dado que el polinomio original es de tercer grado, tiene como máximo tres raíces. Dado que encontramos tres raíces, son simples. Luego
.
Respuesta
Ejemplo 3.2
Factoriza el polinomio:
.
Solución
Suponga la ecuación
tiene al menos una raíz completa. Entonces es un divisor del número 2
(término sin x). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
-2, -1, 1, 2
.
Sustituimos estos valores a su vez:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Si asumimos que esta ecuación tiene una raíz entera, entonces es un divisor del número 2
(término sin x). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2
.
Sustituir x = -1
:
.
Entonces, encontramos otra raíz x 2
= -1
... Sería posible, como en el caso anterior, dividir el polinomio por, pero agruparemos los miembros:
.
Dado que la ecuación x 2 + 2 = 0 no tiene raíces reales, entonces la factorización del polinomio tiene la forma.
Factorizar un polinomio. Parte 1
Factorización es una técnica universal para ayudar a resolver ecuaciones complejas y desigualdad. El primer pensamiento que debe venir a la mente al resolver ecuaciones y desigualdades en las que hay cero en el lado derecho es intentar factorizar el lado izquierdo.
Vamos a enumerar los principales métodos de factorización de un polinomio:
- paréntesis de un factor común
- usando fórmulas de multiplicación abreviadas
- por la fórmula de factorización del trinomio cuadrado
- método de agrupación
- división de un polinomio por un binomio
- método de coeficiente indefinido
En este artículo, nos detendremos en los primeros tres métodos, consideraremos el resto en los siguientes artículos.
1. Sacando el factor común del paréntesis.
Para factorizar el factor común, primero debes encontrarlo. Factor común es igual al máximo común divisor de todos los coeficientes.
Parte de la letra el factor común es igual al producto de las expresiones incluidas en cada término con el menor exponente.
El esquema para derivar el factor común se ve así:
¡Atención!
El número de términos entre paréntesis es igual al número de términos de la expresión original. Si uno de los términos coincide con el factor común, al dividirlo por el factor común, obtenemos la unidad.
Ejemplo 1.
Factorizar un polinomio:
Factoriza el factor común. Para hacer esto, primero lo encontraremos.
1. Encuentra el mayor común divisor de todos los coeficientes del polinomio, es decir números 20, 35 y 15. Es igual a 5.
2. Establecemos que la variable está contenida en todos los términos y el menor de sus exponentes es 2. La variable está contenida en todos los términos y el menor de sus exponentes es 3.
La variable está contenida solo en el segundo término, por lo que no está incluida en el factor común.
Entonces el factor común es
3. Sacamos el factor de los corchetes usando el esquema anterior:
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación:
Solución. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación. Saquemos el factor de los corchetes:
Entonces, tenemos la ecuación 
Igualemos cada factor a cero:
Obtenemos - la raíz de la primera ecuación.
Raíces:
Respuesta: -1, 2, 4
2. Factorización mediante fórmulas de multiplicación abreviadas.
Si el número de términos del polinomio que vamos a factorizar es menor o igual a tres, intentamos aplicar las fórmulas de multiplicación abreviadas.
1. Si el polinomio esdiferencia de dos términos, luego intentamos aplicar fórmula de diferencia de cuadrados:
o fórmula de diferencia de cubos:
Aquí las letras y denotan un número o una expresión algebraica.
2. Si el polinomio es la suma de dos términos, entonces quizás pueda factorizarse usando fórmulas de suma de cubos:
3. Si el polinomio consta de tres términos, intentamos aplicar fórmula de suma cuadrada:
o la fórmula de la diferencia al cuadrado:
O estamos tratando de factorizar por la fórmula de factorización del trinomio cuadrado:
Aquí y están las raíces de la ecuación cuadrática 
Ejemplo 3.Expresión factorial:
Solución. Ante nosotros está la suma de dos términos. Intentemos aplicar la fórmula para la suma de cubos. Para hacer esto, primero debe representar cada término en forma de un cubo de alguna expresión y luego aplicar la fórmula para la suma de cubos:
Ejemplo 4. Expresión factorial: 
Anuncio. Tenemos ante nosotros la diferencia de los cuadrados de las dos expresiones. Primera expresión :, segunda expresión:
Apliquemos la fórmula para la diferencia de cuadrados:
Abramos los corchetes y demos términos similares, obtenemos:
Ya sabemos cómo utilizar parcialmente la factorización de la diferencia de grados - al estudiar el tema "Diferencia de cuadrados" y "Diferencia de cubos" aprendimos a representar la diferencia de expresiones como un producto, que se puede representar como cuadrados o como cubos de algunas expresiones o números.
Fórmulas de multiplicación abreviadas
Según las fórmulas de multiplicación abreviadas:
la diferencia de cuadrados se puede representar como el producto de la diferencia de dos números o expresiones por su suma
La diferencia entre los cubos se puede representar como el producto de la diferencia de dos números por el cuadrado incompleto de la suma.
Transición a la diferencia de expresiones al 4o grado.
Con base en la fórmula para la diferencia de cuadrados, intentemos factorizar la expresión $ a ^ 4-b ^ 4 $
Recordemos cómo se eleva una potencia a una potencia; para esto, la base permanece igual y los exponentes se multiplican, es decir, $ ((a ^ n)) ^ m = a ^ (n * m) $
Entonces puedes imaginar:
$ a ^ 4 = (((a) ^ 2)) ^ 2 $
$ b ^ 4 = (((b) ^ 2)) ^ 2 $
Entonces, nuestra expresión se puede representar como $ a ^ 4-b ^ 4 = (((a) ^ 2)) ^ 2 $ - $ (((b) ^ 2)) ^ 2 $
Ahora, en el primer paréntesis, recibimos nuevamente la diferencia de números, lo que significa que podemos factorizar nuevamente como el producto de la diferencia de dos números o expresiones por su suma: $ a ^ 2-b ^ 2 = \ left (ab \ derecha) (a + b) $.
Ahora calculamos el producto del segundo y tercer paréntesis usando la regla del producto de polinomios: multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumamos el resultado. Para hacer esto, primero, el primer término del primer polinomio - $ a $ - se multiplica por el primer y segundo términos del segundo (por $ a ^ 2 $ y $ b ^ 2 $), es decir obtenemos $ a \ cdot a ^ 2 + a \ cdot b ^ 2 $, luego el segundo término del primer polinomio - $ b $ - multiplicamos por el primer y segundo términos del segundo polinomio (por $ a ^ 2 $ y $ b ^ 2 $), esos. obtenemos $ b \ cdot a ^ 2 + b \ cdot b ^ 2 $ y componimos la suma de las expresiones resultantes
$ \ left (a + b \ right) \ left (a ^ 2 + b ^ 2 \ right) = a \ cdot a ^ 2 + a \ cdot b ^ 2 + b \ cdot a ^ 2 + b \ cdot b ^ 2 = a ^ 3 + ab ^ 2 + a ^ 2b + b ^ 3 $
Escribamos la diferencia de monomios de grado 4, teniendo en cuenta el producto calculado:
$ a ^ 4-b ^ 4 = (((a) ^ 2)) ^ 2 $ - $ (((b) ^ 2)) ^ 2 = ((a) ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) $ = $ \ \ left (ab \ right) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2) \ $ =
Transición a la diferencia de expresiones en el sexto grado.
Con base en la fórmula para la diferencia de cuadrados, intentaremos factorizar la expresión $ a ^ 6-b ^ 6 $
Recuerde cómo una potencia se eleva a una potencia; para esto, la base permanece igual y los exponentes se multiplican, es decir, $ ((a ^ n)) ^ m = a ^ (n \ cdot m) $
Entonces puedes imaginar:
$ a ^ 6 = (((a) ^ 3)) ^ 2 $
$ b ^ 6 = (((b) ^ 3)) ^ 2 $
Entonces nuestra expresión se puede representar como $ a ^ 6-b ^ 6 = (((a) ^ 3)) ^ 2 - (((b) ^ 3)) ^ 2 $
En el primer corchete obtuvimos la diferencia de cubos de monomios, en el segundo la suma de cubos de monomios, ahora podemos nuevamente factorizar la diferencia de cubos de monomios como el producto de la diferencia de dos números por el cuadrado incompleto de la suma $ a ^ 3-b ^ 3 = \ left (ab \ right) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) $
La expresión original toma la forma
$ a ^ 6-b ^ 6 = ((a) ^ 3-b ^ 3) \ left (a ^ 3 + b ^ 3 \ right) = \ left (ab \ right) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) (a ^ 3 + b ^ 3) $
Calculamos el producto del segundo y tercer paréntesis usando la regla del producto de polinomios, multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumamos el resultado.
$ (a ^ 2 + ab + b ^ 2) (a ^ 3 + b ^ 3) = a ^ 5 + a ^ 4b + a ^ 3b ^ 2 + a ^ 2b ^ 3 + ab ^ 4 + b ^ 5 $
Escribamos la diferencia de los monomios del sexto grado, teniendo en cuenta el producto calculado:
$ a ^ 6-b ^ 6 = ((a) ^ 3-b ^ 3) \ left (a ^ 3 + b ^ 3 \ right) = \ left (ab \ right) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) (a ^ 3 + b ^ 3) = (ab) (a ^ 5 + a ^ 4b + a ^ 3b ^ 2 + a ^ 2b ^ 3 + ab ^ 4 + b ^ 5) $
Factorización de diferencias de grados
Analicemos las fórmulas para la diferencia de cubos, diferencia de $ 4 $ grados, diferencia de $ 6 $ grados
Vemos que en cada una de estas expansiones hay alguna analogía, generalizando la que obtenemos:
Ejemplo 1
Factorizar $ (32x) ^ (10) - (243y) ^ (15) $
Solución: Primero, representamos cada monomio como un monomio de quinto grado:
\ [(32x) ^ (10) = ((2x ^ 2)) ^ 5 \] \ [(243y) ^ (15) = ((3y ^ 3)) ^ 5 \]
Usamos la fórmula de diferencia de potencia
Foto 1.
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Muy a menudo, el numerador y el denominador de una fracción son expresiones algebraicas, que primero deben descomponerse en factores, y luego, habiendo encontrado el mismo entre ellos, dividir tanto el numerador como el denominador por ellos, es decir, cancelar la fracción. Un capítulo completo del libro de texto de álgebra de séptimo grado está dedicado a las tareas de factorizar un polinomio. La factorización se puede hacer 3 vías, así como una combinación de estos métodos.
1. Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas
Se sabe que multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y sumar los productos resultantes. Hay al menos 7 (siete) casos frecuentes de multiplicación de polinomios que se incluyen en el concepto. Por ejemplo,
Tabla 1. Factorización de la 1ª forma
2. Sacando el factor común del paréntesis
Este método se basa en la aplicación de la ley de distribución de la multiplicación. Por ejemplo,
Dividimos cada término en la expresión original por un factor que sacamos, y obtenemos una expresión entre paréntesis (es decir, el resultado de dividir lo que fue por lo que sacamos queda entre paréntesis). Primero que todo lo que necesitas determinar correctamente el multiplicador, que debe sacarse del paréntesis.
El factor común también puede ser un polinomio entre paréntesis:
Al realizar la tarea de "factorizar", debe tener especial cuidado con los signos al quitar el factor común de los paréntesis. Para cambiar el signo de cada término entre paréntesis (b - a), sacamos el factor común -1 , y cada término entre paréntesis se dividirá entre -1: (b - a) = - (a - b).
En el caso de que la expresión entre paréntesis sea al cuadrado (oa cualquier potencia par), entonces los números entre corchetes se pueden intercambiar completamente gratis, ya que las desventajas fuera de los corchetes se convertirán en una ventaja durante la multiplicación: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 etc ...
3. Método de agrupación
A veces, no todos los términos de la expresión tienen un factor común, sino solo algunos. Entonces puedes intentar agrupar los términos entre paréntesis para que de cada uno fuera posible sacar algún factor. Método de agrupación es una doble factorización de factores comunes.
4. Usar varios métodos a la vez
A veces es necesario aplicar no uno, sino varios métodos para factorizar un polinomio a la vez.
Esta es una sinopsis sobre el tema. "Factorización"... Elija otras acciones:
- Vaya a la siguiente sinopsis: