Piemēra darbība atver iekavas. Iekavu paplašināšana vairāku iekavu un izteiksmju produktos. Tiešsaistes kalkulators Polinoma vienkāršošana Polinomu reizināšana

Šajā nodarbībā jūs uzzināsit, kā pārveidot izteiksmi, kurā ir iekavas, par izteiksmi bez iekavām. Jūs uzzināsit, kā atvērt iekavas, pirms kurām ir plus zīme un mīnus zīme. Mēs atcerēsimies, kā atvērt iekavas, izmantojot reizināšanas sadales likumu. Apskatītie piemēri ļaus apvienot jaunu un iepriekš pētītu materiālu vienotā veselumā.

Tēma: Vienādojumu risināšana

Nodarbība: iekavu paplašināšana

Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir “+” zīme. Izmantojot asociatīvo saskaitīšanas likumu.

Ja skaitlim jāpievieno divu skaitļu summa, vispirms šim skaitlim varat pievienot pirmo vārdu un pēc tam otro.

Pa kreisi no vienādības zīmes ir izteiksme ar iekavām, bet labajā pusē ir izteiksme bez iekavām. Tas nozīmē, ka, pārejot no vienādības kreisās puses uz labo, notika iekavu atvēršana.

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs.

Atverot iekavas, mēs mainījām darbību secību. Ir kļuvis ērtāk skaitīt.

2. piemērs.

3. piemērs.

Ņemiet vērā, ka visos trīs piemēros mēs vienkārši noņēmām iekavas. Formulēsim noteikumu:

komentēt.

Ja pirmais termins iekavās ir neparakstīts, tad tas jāraksta ar plus zīmi.

Soli pa solim varat sekot šim piemēram. Vispirms pievienojiet 445 pie 889. Šo darbību var veikt garīgi, taču tas nav ļoti viegli. Atvērsim iekavas un redzēsim, ka mainītā kārtība ievērojami vienkāršos aprēķinus.

Ja sekojat norādītajai procedūrai, vispirms no 512 ir jāatņem 345, bet pēc tam rezultātam jāpievieno 1345. Atverot iekavas, mēs mainīsim procedūru un ievērojami vienkāršosim aprēķinus.

Ilustrējošs piemērs un noteikums.

Apskatīsim piemēru: . Izteiksmes vērtību var atrast, pievienojot 2 un 5 un pēc tam iegūstot iegūto skaitli no pretējā zīme. Mēs iegūstam -7.

No otras puses, tādu pašu rezultātu var iegūt, saskaitot pretējos skaitļus sākotnējiem.

Formulēsim noteikumu:

1. piemērs.

2. piemērs.

Noteikums nemainās, ja iekavās ir nevis divi, bet trīs vai vairāk termini.

3. piemērs.

komentēt. Zīmes ir apgrieztas tikai terminu priekšā.

Lai atvērtu iekavas, šajā gadījumā ir jāatceras sadales īpašība.

Vispirms reiziniet pirmo iekava ar 2 un otro ar 3.

Pirms pirmās iekavas ir zīme “+”, kas nozīmē, ka zīmes ir jāatstāj nemainīgas. Pirms otrās zīmes ir zīme “-”, tāpēc visas zīmes ir jāmaina uz pretējām

Bibliogrāfija

Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.g.
Merzļaks A.G., Polonskis V.V., Jakirs M.S. Matemātika 6. klase. - ģimnāzija, 2006. gads.
Depmans I.Ya., Viļenkins N.Ya. Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. - Apgaismība, 1989. gads.
Rurukins A.N., Čaikovskis I.V. Uzdevumi matemātikas kursa 5.-6.klasei - ZSh MEPhI, 2011.g.
Rurukins A.N., Sočilovs S.V., Čaikovskis K.G. Matemātika 5.-6. Rokasgrāmata MEPhI neklātienes skolas 6. klases skolēniem. - ZSh MEPhI, 2011.
Ševrins L.N., Geins A.G., Korjakovs I.O., Volkovs M.V. Matemātika: Mācību grāmata-sarunu biedrs vidusskolas 5-6 klasēm. Matemātikas skolotāja bibliotēka. - Apgaismība, 1989. gads.

Tiešsaistes testi matemātikā ().
Jūs varat lejupielādēt 1.2. punktā norādītos. grāmatas ().

Mājasdarbs

Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (saiti sk. 1.2.)
Mājas darbs: Nr. 1254, Nr. 1255, Nr. 1256 (b, d)
Citi uzdevumi: Nr.1258(c), Nr.1248

Iekavas tiek izmantotas, lai norādītu secību, kādā tiek veiktas darbības ciparu, burtiskā un mainīgā izteiksmē. Ir ērti pāriet no izteiksmes ar iekavām uz identiski vienāds ar izteiksmi bez iekavām. Šo paņēmienu sauc par atvēršanas iekavām.

Iekavu izvēršana nozīmē iekavu noņemšanu no izteiksmes.

Vēl viens punkts ir pelnījis īpašu uzmanību, kas attiecas uz lēmumu ierakstīšanas īpatnībām, atverot iekavas. Sākotnējo izteiksmi varam uzrakstīt ar iekavām un pēc iekavu atvēršanas iegūto rezultātu kā vienādību. Piemēram, pēc iekavas izvēršanas izteiksmes vietā
3−(5−7) iegūstam izteiksmi 3−5+7. Abas šīs izteiksmes varam uzrakstīt kā vienādību 3−(5−7)=3−5+7.

Un vēl vienu svarīgs punkts. Matemātikā, lai saīsinātu apzīmējumus, ir pieņemts nerakstīt plus zīmi, ja tā izteiksmē vai iekavās parādās vispirms. Piemēram, ja saskaitām divus pozitīvus skaitļus, piemēram, septiņi un trīs, tad rakstām nevis +7+3, bet vienkārši 7+3, neskatoties uz to, ka arī septiņi ir pozitīvs skaitlis. Tāpat, ja redzat, piemēram, izteicienu (5+x) - ziniet, ka pirms iekavas ir pluss, kas nav rakstīts, un pirms piecinieka ir plus +(+5+x).

Noteikums iekavu atvēršanai pievienošanas laikā

Atverot iekavas, ja iekavām priekšā ir pluss, tad šis pluss tiek izlaists kopā ar iekavām.

Piemērs. Atveriet iekavas izteiksmē 2 + (7 + 3) Iekavās ir pluss, kas nozīmē, ka mēs nemainām zīmes iekavās esošo skaitļu priekšā.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Noteikums iekavu atvēršanai atņemot

Ja pirms iekavām ir mīnuss, tad šis mīnuss tiek izlaists kopā ar iekavām, bet termini, kas bija iekavās, maina savu zīmi uz pretējo. Zīmes neesamība pirms pirmā vārda iekavās nozīmē + zīmi.

Piemērs. Izvērsiet iekavas izteiksmē 2 − (7 + 3)

Pirms iekavām ir mīnuss, kas nozīmē, ka ir jāmaina zīmes iekavās esošo skaitļu priekšā. Iekavās pirms skaitļa 7 nav zīmes, tas nozīmē, ka septiņi ir pozitīvi, tiek uzskatīts, ka priekšā ir + zīme.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Atverot iekavas, mēs no piemēra noņemam mīnusu, kas bija iekavu priekšā, un pašas iekavas 2 − (+ 7 + 3), un nomainām zīmes, kas bija iekavās, uz pretējām.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Reizinot paplašina iekavas

Ja iekavu priekšā ir reizināšanas zīme, tad katrs skaitlis iekavās tiek reizināts ar koeficientu, kas atrodas iekavās. Šajā gadījumā, reizinot mīnusu ar mīnusu, tiek iegūts plus, un, reizinot mīnusu ar plusu, tāpat kā reizinot plusu ar mīnusu, tiek iegūts mīnuss.

Tādējādi iekavas darbos tiek atklātas saskaņā ar sadales īpašums reizināšana.

Piemērs. 2 (9–7) = 2 9–2 7

Reizinot iekavu ar iekava, katrs vārds pirmajā iekavā tiek reizināts ar katru vārdu otrajā iekavā.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Patiesībā nav jāatceras visi noteikumi, pietiek atcerēties tikai vienu, šo: c(a−b)=ca−cb. Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājat vienu, jūs iegūstat noteikumu (a-b)=a-b. Un, ja mēs aizvietojam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu −(a−b)=−a+b. Nu, ja aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.

Atvērt iekavas dalot

Ja aiz iekavām ir dalījuma zīme, tad katrs skaitlis iekavās tiek dalīts ar dalītāju aiz iekavām un otrādi.

Piemērs. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Kā izvērst ligzdotas iekavas

Ja izteiksmē ir ligzdotas iekavas, tās tiek izvērstas secībā, sākot ar ārējām vai iekšējām.

Šajā gadījumā ir svarīgi, lai, atverot kādu no iekavām, nepieskartos atlikušajām iekavām, vienkārši pārrakstot tās kā ir.

Piemērs. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Iekavu galvenā funkcija ir mainīt darbību secību, aprēķinot vērtības. Piemēram, V skaitliski\(5·3+7\) vispirms tiks aprēķināts reizinājums un pēc tam saskaitīšana: \(5·3+7 =15+7=22\). Bet izteiksmē \(5·(3+7)\) vispirms tiks aprēķināta saskaitīšana iekavās un tikai pēc tam reizināšana: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Piemērs. Izvērsiet kronšteinu: \(-(4m+3)\).
Risinājums : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Piemērs. Atveriet iekava un ievadiet līdzīgus terminus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Risinājums : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Piemērs. Izvērsiet iekavas \(5(3-x)\).
Risinājums : iekavās ir \(3\) un \(-x\), un pirms iekavas ir piecinieks. Tas nozīmē, ka katrs iekavas elements tiek reizināts ar \(5\) — es jums to atgādinu Reizināšanas zīme starp skaitli un iekavām nav rakstīta matemātikā, lai samazinātu ierakstu lielumu.

Piemērs. Izvērsiet iekavas \(-2(-3x+5)\).
Risinājums : tāpat kā iepriekšējā piemērā, \(-3x\) un \(5\) iekavās tiek reizināti ar \(-2\).

Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Risinājums : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Atliek apsvērt pēdējo situāciju.

Reizinot iekavu ar iekavu, katrs pirmās iekavas vārds tiek reizināts ar katru otrās iekavas vārdu:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Piemērs. Izvērsiet iekavas \((2-x)(3x-1)\).
Risinājums : Mums ir iekavu produkts, un to var nekavējoties paplašināt, izmantojot iepriekš minēto formulu. Bet, lai neapjuktu, darīsim visu soli pa solim.
1. darbība. Noņemiet pirmo iekavu — reiziniet katru tās vārdu ar otro iekava:

2. darbība. Izvērsiet iekavu un koeficienta produktus, kā aprakstīts iepriekš:
- Pirmās lietas vispirms...

Tad otrais.

3. darbība. Tagad mēs reizinām un parādām līdzīgus terminus:

Nav nepieciešams tik detalizēti aprakstīt visas pārvērtības, tās var pavairot uzreiz. Bet, ja jūs tikai mācāties atvērt iekavas, rakstiet detalizēti, būs mazāka iespēja kļūdīties.

Piezīme visai sadaļai. Patiesībā jums nav jāatceras visi četri noteikumi, jums ir jāatceras tikai viens, šis: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājat vienu, jūs iegūsit noteikumu \((a-b)=a-b\) . Un, ja mēs aizstājam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu \(-(a-b)=-a+b\) . Nu, ja aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.

Iekavas iekavās

Dažreiz praksē rodas problēmas ar iekavām, kas ir ligzdotas citās iekavās. Šeit ir šāda uzdevuma piemērs: vienkāršojiet izteiksmi \(7x+2(5-(3x+y))\).

Lai veiksmīgi atrisinātu šādus uzdevumus, jums ir nepieciešams:
- rūpīgi jāsaprot iekavu ligzdošana - kura kurā atrodas;
- secīgi atveriet kronšteinus, sākot, piemēram, ar visdziļāko.

Tas ir svarīgi, atverot kādu no kronšteiniem nepieskarieties pārējai izteiksmei, vienkārši pārrakstot to kā ir.
Kā piemēru aplūkosim iepriekš rakstīto uzdevumu.

Piemērs. Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus vārdus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Risinājums:

Piemērs. Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus terminus \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Risinājums :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Šeit ir trīskārša iekavu ligzda. Sāksim ar visdziļāko (izcelts zaļā krāsā). Kronšteina priekšā ir pluss, tāpēc tas vienkārši nāk nost.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Tagad jums ir jāatver otrā kronšteina, starpposma. Bet pirms tam mēs vienkāršosim spokiem līdzīgo terminu izteiksmi šajā otrajā iekavā.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Tagad mēs atveram otro kronšteinu (izcelts zilā krāsā). Pirms iekava ir faktors – tāpēc katrs iekavās esošais termins tiek reizināts ar to.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Un atveriet pēdējo iekava. Iekavas priekšā ir mīnusa zīme, tāpēc visas zīmes ir apgrieztas.

Iekavu izvēršana ir matemātikas pamatprasme. Bez šīs prasmes 8. un 9. klasē nav iespējams iegūt atzīmi virs C. Tāpēc es iesaku jums labi izprast šo tēmu.

Šajā rakstā mēs detalizēti aplūkosim tik svarīgas tēmas pamatnoteikumus matemātikas kursā kā sākuma iekavas. Lai pareizi atrisinātu vienādojumus, kuros tie tiek izmantoti, jums jāzina iekavu atvēršanas noteikumi.

Kā pareizi atvērt iekavas pievienojot

Izvērsiet iekavas, pirms kurām ir “+” zīme

Šis ir vienkāršākais gadījums, jo, ja iekavām priekšā ir pievienošanas zīme, tad, atverot kronšteinus, zīmes to iekšpusē nemainās. Piemērs:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir zīme "-".

Šajā gadījumā jums ir jāpārraksta visi termini bez iekavām, bet tajā pašā laikā jāmaina visas tajos esošās zīmes uz pretējām. Zīmes mainās tikai tiem terminiem no tām iekavām, kurām priekšā ir zīme “-”. Piemērs:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Kā reizināšanas laikā atvērt iekavas

Pirms iekavām ir reizinātāja skaitlis

Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs termins ar koeficientu un jāatver iekavas, nemainot zīmes. Ja reizinātājam ir “-” zīme, tad reizināšanas laikā vārdu zīmes tiek apgrieztas. Piemērs:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Kā atvērt divas iekavas ar reizināšanas zīmi starp tām

Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs vārds no pirmajām iekavām ar katru vārdu no otrajām iekavām un pēc tam jāpievieno rezultāti. Piemērs:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Kā kvadrātā atvērt iekavas

Ja divu vārdu summa vai starpība ir kvadrātā, iekavas jāatver pēc šādas formulas:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Ja iekavās ir mīnuss, formula nemainās. Piemērs:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Kā paplašināt iekavas citā pakāpē

Ja terminu summa vai starpība tiek palielināta, piemēram, līdz 3. vai 4. pakāpei, tad jums vienkārši ir jāsadala iekavas jauda “kvadrātos”. Identisku faktoru pakāpes tiek saskaitītas, un, dalot, dalītāja jauda tiek atņemta no dividendes jaudas. Piemērs:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Kā atvērt 3 iekavas

Ir vienādojumi, kuros uzreiz tiek reizinātas 3 iekavas. Šajā gadījumā vispirms ir jāreizina pirmo divu iekavu vārdi un pēc tam jāreizina šī reizinājuma summa ar trešās iekavas vārdiem. Piemērs:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Šie iekavu atvēršanas noteikumi vienlīdz attiecas gan uz lineāro, gan trigonometrisko vienādojumu risināšanu.

Tēma: Vienādojumu risināšana

Nodarbība: iekavu paplašināšana

Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir “+” zīme. Izmantojot asociatīvo saskaitīšanas likumu.

Ja skaitlim jāpievieno divu skaitļu summa, vispirms šim skaitlim varat pievienot pirmo vārdu un pēc tam otro.

Pa kreisi no vienādības zīmes ir izteiksme ar iekavām, bet labajā pusē ir izteiksme bez iekavām. Tas nozīmē, ka, pārejot no vienādības kreisās puses uz labo, notika iekavu atvēršana.

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs.

Atverot iekavas, mēs mainījām darbību secību. Ir kļuvis ērtāk skaitīt.

2. piemērs.

3. piemērs.

Ņemiet vērā, ka visos trīs piemēros mēs vienkārši noņēmām iekavas. Formulēsim noteikumu:

komentēt.

Ja pirmais termins iekavās ir neparakstīts, tad tas jāraksta ar plus zīmi.

Ilustrējošs piemērs un noteikums.

Apskatīsim piemēru: . Izteiksmes vērtību var atrast, pievienojot 2 un 5 un pēc tam iegūstot iegūto skaitli ar pretējo zīmi. Mēs iegūstam -7.

No otras puses, tādu pašu rezultātu var iegūt, saskaitot pretējos skaitļus sākotnējiem.

Formulēsim noteikumu:

1. piemērs.

2. piemērs.

Noteikums nemainās, ja iekavās ir nevis divi, bet trīs vai vairāk termini.

3. piemērs.

komentēt. Zīmes ir apgrieztas tikai terminu priekšā.

Lai atvērtu iekavas, šajā gadījumā ir jāatceras sadales īpašība.

Vispirms reiziniet pirmo iekava ar 2 un otro ar 3.

Pirms pirmās iekavas ir zīme “+”, kas nozīmē, ka zīmes ir jāatstāj nemainīgas. Pirms otrās zīmes ir zīme “-”, tāpēc visas zīmes ir jāmaina uz pretējām

Bibliogrāfija

Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.g.
Merzļaks A.G., Polonskis V.V., Jakirs M.S. Matemātika 6. klase. - ģimnāzija, 2006. gads.
Depmans I.Ya., Viļenkins N.Ya. Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. - Apgaismība, 1989. gads.
Rurukins A.N., Čaikovskis I.V. Uzdevumi matemātikas kursa 5.-6.klasei - ZSh MEPhI, 2011.g.
Rurukins A.N., Sočilovs S.V., Čaikovskis K.G. Matemātika 5.-6. Rokasgrāmata MEPhI neklātienes skolas 6. klases skolēniem. - ZSh MEPhI, 2011.
Ševrins L.N., Geins A.G., Korjakovs I.O., Volkovs M.V. Matemātika: Mācību grāmata-sarunu biedrs vidusskolas 5-6 klasēm. Matemātikas skolotāja bibliotēka. - Apgaismība, 1989. gads.

Tiešsaistes testi matemātikā ().
Jūs varat lejupielādēt 1.2. punktā norādītos. grāmatas ().

Mājasdarbs

Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (saiti sk. 1.2.)
Mājas darbs: Nr. 1254, Nr. 1255, Nr. 1256 (b, d)
Citi uzdevumi: Nr.1258(c), Nr.1248