Vektori ir spēcīgs instruments matemātikā un fizikā. Mehānikas un elektrodinamikas pamatlikumi ir formulēti vektoru valodā. Lai saprastu fiziku, jums jāiemācās strādāt ar vektoriem.
Šajā nodaļā ir sīki aprakstīts materiāls, kas nepieciešams, lai uzsāktu mehānikas izpēti:
! Vektoru pievienošana
! Reiziniet skalāru ar vektoru
! Leņķis starp vektoriem
! Vektora projekcija uz asi
! Vektori un koordinātas plaknē
! Vektori un koordinātas telpā
! Vektoru punktu reizinājums
Pirmajā kursā, pētot analītisko ģeometriju un lineāro algebru, būs noderīgi atgriezties pie šī pielikuma teksta, lai saprastu, piemēram, no kurienes nāk lineārās un eiklīda telpas aksiomas.
7.1 Skalārie un vektoru lielumi
Fizikas studiju procesā mēs sastopam divu veidu lielumus - skalāru un vektoru.
Definīcija. Skalārā vērtība jeb skalārs ir fiziskais daudzums, kam (piemērotās vienībās) pietiek ar vienu skaitli.
Fizikā ir daudz skalāru. Ķermeņa svars 3 kg, gaisa temperatūra 10 C, tīkla spriegums 220 V. . . Visos šajos gadījumos mūs interesējošo daudzumu norāda ar vienu skaitli. Tāpēc masa, temperatūra un elektriskais spriegums ir skalāri.
Bet skalārs fizikā nav tikai skaitlis. Skalārs ir skaitlis, kas aprīkots ar izmēru 1. Tātad, ņemot vērā masu, mēs nevaram uzrakstīt m = 3; jānorāda mērvienība, piemēram, m = 3 kg. Un, ja matemātikā var pievienot skaitļus 3 un 220, tad fizikā 3 kilogramus un 220 voltus pievienot nedarbosies: mums ir tiesības pievienot tikai tos skalārus, kuriem ir vienāds izmērs (masa ar masu, spriegums ar spriegumu). utt.) .
Definīcija. Vektora daudzums jeb vektors ir fizisks lielums, ko raksturo: 1) nenegatīvs skalārs; 2) virziens telpā. Šajā gadījumā skalāru sauc par vektora moduli vai tā absolūto vērtību.
Pieņemsim, ka automašīna pārvietojas ar ātrumu 60 km/h. Bet tā ir nepilnīga satiksmes informācija, vai ne? Svarīgi var būt arī tas, kur mašīna brauc, kurā virzienā. Tāpēc ir svarīgi zināt ne tikai transportlīdzekļa ātruma moduli (absolūto vērtību) šajā gadījumā, tas ir 60 km/h, bet arī tā virzienu telpā. Tātad ātrums ir vektors.
Vēl viens piemērs. Pieņemsim, ka uz grīdas ir ķieģelis ar masu 1 kg. Uz ķieģeli iedarbojas 100 N spēks (tas ir spēka modulis vai tā absolūtā vērtība). Kā ķieģelis kustēsies? Jautājums ir bezjēdzīgs, kamēr nav norādīts spēka virziens. Ja spēks darbojas uz augšu, ķieģelis virzīsies uz augšu. Ja spēks darbojas horizontāli, tad ķieģelis pārvietosies horizontāli. Un, ja spēks darbojas vertikāli uz leju, tad ķieģelis nemaz nekustēsies, tas tiks tikai iespiests grīdā. Tāpēc mēs redzam, ka spēks ir arī vektors.
Vektora daudzumam fizikā ir arī dimensija. Vektora dimensija ir tā moduļa dimensija.
Vektorus apzīmēsim ar burtiem ar bultiņu. Tātad ātruma vektoru var apzīmēt
caur ~v un spēka vektoru caur F . Faktiski šis vektors ir bultiņa vai, kā saka, virzīts segments (7.1. att.).
Rīsi. 7.1. Vektors ~ v
Bultas sākumpunktu sauc par vektora sākumu, bet bultiņas beigu punktu (galu)
vektora beigas. Matemātikā tiek apzīmēts vektors, kas sākas punktā A un beidzas punktā B
arī AB; mums dažreiz būs vajadzīgs šāds apzīmējums.
Vektoru, kura sākums un beigas sakrīt, sauc par nulles vektoru (vai nulli) un
apzīmē ar ~ . Nulles vektors ir vienkārši punkts; tai nav noteikta virziena.
Nulles vektora garums, protams, ir nulle.
1 Ir arī bezdimensiju skalāri: berzes koeficients, efektivitāte, vides laušanas koeficients. . . Tātad ūdens refrakcijas indekss ir 1; 33 tā ir visaptveroša informācija, bez dimensijas dotais numurs nepieder.
Bultiņu zīmēšana pilnībā atrisina vektora daudzumu grafiskā attēlojuma problēmu. Bultiņas virziens norāda dotā vektora virzienu, un bultiņas garums piemērotā mērogā ir šī vektora modulis.
Pieņemsim, piemēram, ka divas automašīnas virzās viena pret otru ar ātrumu u = 30 km/h un v = 60 km/h. Tad automobiļu ātrumu vektoriem ~u un ~v būs pretēji virzieni, un vektora ~v garums ir divreiz lielāks (7.2. att.).
Rīsi. 7.2. Vektors ~ v ir divreiz garāks
Kā jūs jau sapratāt, burts bez bultiņas (piemēram, u vai v iepriekšējā punktā) apzīmē atbilstošā vektora moduli. Matemātikā vektora ~v moduli parasti apzīmē ar j~vj, bet fiziķi, ja situācija atļauj, dos priekšroku v bez bultiņas.
Vektorus sauc par kolineāriem, ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām.
Lai ir divi kolineāri vektori. Ja to virzieni sakrīt, tad vektorus sauc par līdzvirziena; ja to virzieni ir atšķirīgi, tad vektorus sauc par pretēji vērstiem. Tātad, augstāk attēlā. 7.2 vektori ~u un ~v ir pretēji vērsti.
Divus vektorus sauc par vienādiem, ja tie ir līdzvirziena un tiem ir vienādi moduļi (7.3. att.).
Rīsi. 7.3. Vektori ~a un b ir vienādi: ~a = b
Tādējādi vektoru vienādība nebūt nenozīmē to sākuma un beigu neaizvietojamu sakritību: mēs varam pārvietot vektoru paralēli sev, un šajā gadījumā mēs iegūstam vektoru, kas vienāds ar sākotnējo. Šāds pārnesums tiek pastāvīgi izmantots gadījumos, kad vektoru sākumus vēlams samazināt līdz vienam punktam, piemēram, atrodot vektoru summu vai starpību. Tagad mēs pievēršamies vektoru operāciju izskatīšanai.
Fizikas kursā bieži sastopami tādi lielumi, kuru aprakstam pietiek zināt tikai skaitliskās vērtības. Piemēram, masa, laiks, garums.
Tiek saukti daudzumi, kurus raksturo tikai skaitliska vērtība skalārs vai skalāri.
Papildus skalārajiem lielumiem tiek izmantoti lielumi, kuriem ir gan skaitliskā vērtība, gan virziens. Piemēram, ātrums, paātrinājums, spēks.
Tiek saukti daudzumi, kurus raksturo skaitliskā vērtība un virziens vektors vai vektori.
Norādīts vektoru lielumi atbilstošos burtus ar bultiņu augšpusē vai treknrakstā. Piemēram, spēka vektoru apzīmē ar \(\vec F\) vai F . Vektora lieluma skaitlisko vērtību sauc par vektora moduli vai garumu. Spēka vektora vērtība ir apzīmēta F vai \(\left|\vec F\right|\).
Vektora attēls
Vektorus attēlo virzīti segmenti. Vektora sākums ir punkts, no kura sākas virzītais segments (punkts A att. 1), vektora beigas ir punkts, kur beidzas bultiņa (punkts B att. 1).
Rīsi. 1.
Abi vektori tiek saukti vienāds ja tiem ir vienāds garums un tie ir vērsti vienā virzienā. Šādi vektori tiek attēloti kā virzīti segmenti ar vienādu garumu un virzienu. Piemēram, attēlā. 2 parāda vektori \(\vec F_1 =\vec F_2\).
Rīsi. 2. Vienā attēlā attēlojot divus vai vairākus vektorus, segmenti tiek veidoti iepriekš izvēlētā mērogā. Piemēram, attēlā. 3. attēlā parādīti vektori, kuru garumi \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.
Rīsi. 3. Vektoru specifikācijas metode
Plaknē vektoru var norādīt vairākos veidos:
1. Norādiet vektora sākuma un beigu koordinātas. Piemēram, vektors \(\Delta\vec r\) attēlā. 4 nosaka vektora sākuma koordinātas - (2, 4) (m), beigas - (6, 8) (m).
Rīsi. 4. 2. Norādiet vektora moduli (tā vērtību) un leņķi starp vektora virzienu un kādu iepriekš izvēlētu virzienu plaknē. Bieži par šādu virzienu iekšā pozitīvā puse ass 0 X. Leņķi, kas mērīti pretēji pulksteņrādītāja virzienam no šī virziena, tiek uzskatīti par pozitīviem. Uz att. 5 vektors \(\Delta\vec r\) ir dots ar diviem skaitļiem b un \(\alpha\) , kas norāda vektora garumu un virzienu.
Rīsi. 5. Skalārie un vektoru lielumi
- Vektora aprēķins (piemēram, pārvietojums (s), spēks (F), paātrinājums (a), ātrums (V) enerģija (E)).
skalārie lielumi, kas ir pilnībā definēti, norādot to skaitliskās vērtības (garums (L), laukums (S), tilpums (V), laiks (t), masa (m) utt.);
- Skalārās vērtības: temperatūra, tilpums, blīvums, elektriskais potenciāls, ķermeņa potenciālā enerģija (piemēram, gravitācijas laukā). Arī jebkura vektora modulis (piemēram, zemāk uzskaitītie).
Vektoru lielumi: rādiuss-vektors, ātrums, paātrinājums, spriegums elektriskais lauks, spriedze magnētiskais lauks. Un daudzi citi 🙂
- vektora daudzumam ir skaitliska izteiksme un virziens: ātrums, paātrinājums, spēks, elektromagnētiskā indukcija, pārvietojums utt., un skalārs ir tikai tilpuma, blīvuma, garuma, platuma, augstuma, masas (nejaukt ar svaru) temperatūras skaitliska izteiksme.
- vektors, piemēram, ātrums (v), spēks (F), pārvietojums (s), impulss (p), enerģija (E). virs katra no šiem burtiem ir novietots bultiņas vektors. tāpēc tie ir vektori. un skalāri ir masa (m), tilpums (V), laukums (S), laiks (t), augstums (h)
- Vektors ir taisnleņķa, tangenciāla kustība.
Skalārās kustības ir slēgtas kustības, kas aizsargā vektora kustības.
Vektoru kustības tiek pārraidītas caur skalārajām kustībām, piemēram, caur starpniekiem, jo strāva tiek pārsūtīta no atoma uz atomu caur vadītāju. - Skalārās vērtības: temperatūra, tilpums, blīvums, elektriskais potenciāls, ķermeņa potenciālā enerģija (piemēram, gravitācijas laukā). Arī jebkura vektora modulis (piemēram, zemāk uzskaitītie).
Vektoru lielumi: rādiuss-vektors, ātrums, paātrinājums, elektriskā lauka stiprums, magnētiskā lauka stiprums. Un daudzi citi:-
- Skalārais lielums (skalārs) ir fizisks lielums, kam ir tikai viens raksturlielums, skaitliska vērtība.
Skalārā vērtība var būt pozitīva vai negatīva.
Skalāro vērtību piemēri: masa, temperatūra, attālums, darbs, laiks, periods, frekvence, blīvums, enerģija, tilpums, elektriskā jauda, spriegums, strāva utt.
Matemātiskās darbības ar skalārajiem lielumiem ir algebriskas darbības.
Vektoru daudzums
Vektora daudzums (vektors) ir fizisks lielums, kam ir divi raksturlielumi, modulis un virziens telpā.
Vektoru lielumu piemēri: ātrums, spēks, paātrinājums, spriegums utt.
Ģeometriski vektors tiek attēlots kā taisnas līnijas virzīts segments, kura garums ir vektora modulis.
Daudzumi (stingri sakot, 2. vai augstāka ranga tenzori). To var arī pretstatīt noteiktiem objektiem ar pilnīgi atšķirīgu matemātisku raksturu.
Vairumā gadījumu termins vektors fizikā tiek lietots, lai apzīmētu vektoru tā sauktajā "fiziskajā telpā", tas ir, klasiskajā fizikas parastajā trīsdimensiju telpā vai mūsdienu fizikā četrdimensiju telpā-laikā ( pēdējā gadījumā vektora un vektora daudzuma jēdziens sakrīt ar 4 vektoru un 4 vektoru daudzuma jēdzienu).
Frāzes "vektora daudzums" lietojums ir praktiski izsmelts. Kas attiecas uz termina "vektors" lietošanu, tas, neskatoties uz noklusējuma noslieci uz vienu un to pašu piemērojamības jomu, daudzos gadījumos joprojām ievērojami pārsniedz šādas robežas. Plašāku informāciju par to skatiet tālāk.
Enciklopēdisks YouTube
1 / 3
8. nodarbība Darbības uz vektoriem.
VEKTORS - kas tas ir un kāpēc tas vajadzīgs, skaidrojums
FIZISKO DAUDZUMU MĒRĪŠANA 7. klase | Romanovs
Subtitri
Terminu lietošana vektors Un vektora daudzums fizikā
Kopumā fizikā vektora jēdziens gandrīz pilnībā sakrīt ar matemātikas jēdzienu. Tomēr pastāv terminoloģiska specifika, kas saistīta ar to, ka mūsdienu matemātikā šis jēdziens ir nedaudz pārāk abstrakts (attiecībā uz fizikas vajadzībām).
Matemātikā teiciens "vektors" drīzāk nozīmē vektoru kopumā, tas ir, jebkuru jebkuras dimensijas un rakstura patvaļīgi abstraktas lineāras telpas vektoru, kas, ja nepieliek īpašas pūles, var pat radīt neskaidrības (ne tik daudz , protams, pēc būtības, kas attiecas uz lietošanas ērtumu). Ja nepieciešams konkretizēt, matemātiskā stilā ir vai nu jārunā diezgan gari (“tādas un tādas telpas vektors”), vai arī jāpatur prātā tas, ko nozīmē skaidri aprakstītais konteksts.
Fizikā gandrīz vienmēr mēs runājam nevis par matemātiskiem objektiem (kuriem ir noteiktas formālas īpašības) kopumā, bet gan par to noteiktu specifisku (“fizisku”) saistīšanu. Ņemot vērā šos konkrētības apsvērumus ar īsuma un ērtības apsvērumiem, var saprast, ka terminoloģiskā prakse fizikā ievērojami atšķiras no matemātiskās prakses. Tomēr tas nenonāk skaidrā pretrunā ar pēdējo. To var panākt ar dažiem vienkāršiem "trikiem". Pirmkārt, tie ietver termina lietošanu pēc noklusējuma (ja konteksts nav īpaši norādīts). Tātad fizikā, atšķirībā no matemātikas, vārds vektors bez papildu precizējumiem parasti tiek saprasts nevis kā "kaut kāds lineāras telpas vektors kopumā", bet gan, pirmkārt, vektors, kas saistīts ar "parasto fizisko telpu" (trīs- klasiskās fizikas dimensiju telpa vai četrdimensiju telpa - relatīvistiskās fizikas laiks). Telpu vektoriem, kas nav tieši un tieši saistīti ar "fizisko telpu" vai "telpa-laiku", vienkārši izmantojiet īpašus nosaukumus (dažreiz iekļaujot vārdu "vektors", bet ar precizējumu). Ja teorijā tiek ieviests kādas telpas vektors, kas nav tieši un tieši saistīts ar "fizisko telpu" vai "telpu-laiku" (un kuru ir grūti kaut kādā noteiktā veidā uzreiz raksturot), tas bieži tiek īpaši aprakstīts kā "abstrakts vektors".
Viss iepriekš minētais, pat vairāk nekā termins "vektors", attiecas uz terminu "vektora daudzums". Noklusējums šajā gadījumā nozīmē vēl stingrāku saistību ar “parasto telpu” vai laiktelpu, un abstraktu vektortelpu izmantošana attiecībā pret elementiem gandrīz nekad nav sastopama, vismaz šāda izmantošana tiek uzskatīta par retāko izņēmumu (ja ne rezervācija vispār).
Fizikā vektorus visbiežāk un vektoru daudzumus - gandrīz vienmēr - sauc par divu līdzīgu klašu vektoriem:
Vektoru fizisko lielumu piemēri: ātrums, spēks, siltuma plūsma.
Vektoru lielumu ģenēze
Kā fiziskie "vektoru daudzumi" ir saistīti ar telpu? Pirmkārt, ir pārsteidzoši, ka vektoru lielumu dimensija (šī termina parastajā lietojuma nozīmē, kas izskaidrota iepriekš) sakrīt, piemēram, ar tās pašas "fiziskās" (un "ģeometriskās") telpas dimensiju. , telpa ir trīsdimensiju un elektriskie vektoru lauki ir trīsdimensiju. Intuitīvi var pamanīt arī to, ka jebkuram vektora fiziskajam lielumam, lai cik neskaidri tas būtu saistīts ar ierasto telpisko paplašinājumu, tomēr ir diezgan noteikts virziens tieši šajā parastajā telpā.
Taču izrādās, ka daudz vairāk var panākt, tieši "samazinot" visu fizikas vektoru daudzumu kopumu uz vienkāršākajiem "ģeometriskajiem" vektoriem, pareizāk sakot, pat uz vienu vektoru - elementārās nobīdes vektoru, bet tas būtu pareizāk teikt - ģenerējot tos visus no tā.
Šai procedūrai ir divas dažādas (lai gan būtībā viena otru detalizēti atkārto) implementācijas klasiskās fizikas trīsdimensiju gadījumam un četrdimensiju telpas-laika formulējumam, kas ir kopīgs mūsdienu fizikā.
Klasisks 3D futrālis
Mēs turpināsim no parastās trīsdimensiju "ģeometriskās" telpas, kurā mēs dzīvojam un varam pārvietoties.
Par sākotnējo un paraugvektoru pieņemsim bezgalīgi mazo nobīdes vektoru. Ir diezgan skaidrs, ka šis ir parasts "ģeometriskais" vektors (kā arī ierobežots nobīdes vektors).
Tagad ņemiet vērā, ka, reizinot vektoru ar skalāru, vienmēr tiek iegūts jauns vektors. To pašu var teikt par vektoru summu un starpību. Šajā nodaļā mēs nenošķirsim polāros un aksiālos vektorus, tāpēc ņemiet vērā, ka divu vektoru krustreizinājums arī dod jaunu vektoru.
Tāpat jaunais vektors dod vektora diferenciāciju attiecībā pret skalāru (jo šāds atvasinājums ir vektoru starpības attiecības robeža ar skalāru). To var teikt tālāk par visu augstāko ordeņu atvasinājumiem. Tas pats attiecas uz integrāciju pēc skalāriem (laiks, apjoms).
Tagad ņemiet vērā, ka, pamatojoties uz rādiusa vektoru r vai no elementāras pārvietošanas d r, mēs viegli saprotam, ka vektori ir (tā kā laiks ir skalārs) tādi kinemātiski lielumi kā
No ātruma un paātrinājuma, kas reizināts ar skalāru (masu), parādās
Tā kā tagad mūs interesē arī pseidovektori, mēs to atzīmējam
- izmantojot Lorenca spēka formulu, elektriskā lauka stiprums un magnētiskās indukcijas vektors ir piesaistīti spēka un ātruma vektoriem.
Turpinot šo procedūru, mēs atklājam, ka visi mums zināmie vektoru lielumi tagad ir ne tikai intuitīvi, bet arī formāli saistīti ar sākotnējo telpu. Proti, tie visi zināmā mērā ir tā elementi, jo pēc būtības tiek izteikti kā citu vektoru lineāras kombinācijas (ar skalārajiem faktoriem, iespējams, dimensiju, bet skalāriem, tāpēc formāli diezgan legāli).
Mūsdienīgs četrdimensiju korpuss
To pašu procedūru var veikt, sākot no četrdimensiju pārvietošanas. Izrādās, ka visi 4-vektoru lielumi "nāk" no 4-pārvietojuma, tāpēc savā ziņā ir tādi paši laiktelpas vektori kā pati 4-pārvietošanās.
Vektoru veidi saistībā ar fiziku
- Polārais vai patiesais vektors ir parasts vektors.
- Aksiālais vektors (pseidovektors) - patiesībā tas nav reāls vektors, bet formāli gandrīz neatšķiras no pēdējā, izņemot to, ka maina virzienu uz pretējo, mainoties koordinātu sistēmas orientācijai (piemēram, kad koordināte sistēma ir atspoguļota). Pseidovektoru piemēri: visi lielumi, kas definēti, izmantojot divu polāru vektoru krustojumu.
- Spēkiem ir vairāki dažādi
Fizika un matemātika nevar iztikt bez jēdziena "vektora daudzums". Tas ir jāzina un jāatpazīst, kā arī jāprot ar to operēt. Tas noteikti jāiemācās, lai neapjuktu un nepieļautu stulbas kļūdas.
Kā atšķirt skalāro vērtību no vektora vērtības?
Pirmajam vienmēr ir tikai viena īpašība. Šī ir tā skaitliskā vērtība. Lielākajai daļai skalāru var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Viņu piemēri ir elektriskais lādiņš, darbs vai temperatūra. Bet ir daži skalāri, kas nevar būt negatīvi, piemēram, garums un masa.
Vektora lielumu papildus skaitliskajam daudzumam, kas vienmēr tiek ņemts modulo, raksturo arī virziens. Tāpēc to var attēlot grafiski, tas ir, bultiņas formā, kuras garums ir vienāds ar vērtības moduli, kas vērsta noteiktā virzienā.
Rakstot, katrs vektora lielums ir norādīts ar bultiņas zīmi uz burta. Ja mēs runājam par skaitlisko vērtību, tad bultiņa netiek rakstīta vai tiek ņemta modulo.
Kādas darbības visbiežāk veic ar vektoriem?
Pirmkārt, salīdzinājums. Tie var būt vai nebūt vienādi. Pirmajā gadījumā to moduļi ir vienādi. Bet tas nav vienīgais nosacījums. Tiem jābūt arī vienādiem vai pretējiem virzieniem. Pirmajā gadījumā tos vajadzētu saukt par vienādiem vektoriem. Otrajā tie ir pretēji. Ja vismaz viens no šiem nosacījumiem nav izpildīts, tad vektori nav vienādi.
Tad nāk papildinājums. To var izdarīt saskaņā ar diviem noteikumiem: trīsstūri vai paralelogramu. Pirmais nosaka vispirms atlikt vienu vektoru, pēc tam no tā beigām otro. Papildinājuma rezultāts būs tāds, kas jāizlozē no pirmā sākuma līdz otrās beigām.
Paralelograma noteikumu var izmantot, ja fizikā jāpievieno vektoru lielumi. Atšķirībā no pirmā noteikuma, šeit tie ir jāatliek no viena punkta. Pēc tam izveidojiet tos līdz paralelogramam. Darbības rezultāts jāuzskata par paralelograma diagonāli, kas novilkta no tā paša punkta.
Ja vektora lielumu atņem no cita, tad tos atkal attēlo no viena punkta. Tikai rezultāts būs vektors, kas atbilst tam, kas novilkts no otrās beigām līdz pirmā beigām.
Kādus vektorus pēta fizikā?
Viņu ir tik daudz, cik skalāru. Jūs varat vienkārši atcerēties, kādi vektoru lielumi pastāv fizikā. Vai arī zināt zīmes, pēc kurām tās var aprēķināt. Tiem, kas dod priekšroku pirmajam variantam, šāda tabula noderēs. Tas satur galvenos vektora fiziskos lielumus.
Tagad nedaudz vairāk par dažiem no šiem daudzumiem.
Pirmā vērtība ir ātrums
No tā ir vērts sākt sniegt vektoru daudzumu piemērus. Tas ir saistīts ar faktu, ka tas tiek pētīts starp pirmajiem.
Ātrums tiek definēts kā ķermeņa kustības īpašība telpā. Tas norāda skaitlisko vērtību un virzienu. Tāpēc ātrums ir vektora lielums. Turklāt ir ierasts to iedalīt tipos. Pirmais ir lineārais ātrums. Tas tiek ieviests, apsverot taisnvirzienu vienmērīga kustība. Šajā gadījumā tas izrādās vienāds ar ķermeņa noietā ceļa attiecību pret kustības laiku.
To pašu formulu var izmantot nevienmērīgai kustībai. Tikai tad tas būs vidējs. Turklāt izvēlētajam laika intervālam noteikti jābūt pēc iespējas īsākam. Kad laika intervālam ir tendence uz nulli, ātruma vērtība jau ir momentāna.
Ja ņem vērā patvaļīgu kustību, tad šeit ātrums vienmēr ir vektora lielums. Galu galā tas ir jāsadala komponentos, kas virzīti pa katru vektoru, kas virza koordinātu līnijas. Turklāt tas tiek definēts kā rādiusa vektora atvasinājums, ņemot vērā laiku.
Otrā vērtība ir spēks
Tas nosaka ietekmes intensitātes mēru, ko uz ķermeni iedarbojas citi ķermeņi vai lauki. Tā kā spēks ir vektora lielums, tam noteikti ir sava moduļa vērtība un virziens. Tā kā tas iedarbojas uz ķermeni, svarīgs ir arī punkts, uz kuru tiek pielikts spēks. Lai iegūtu vizuālu spēka vektoru attēlojumu, varat atsaukties uz šo tabulu.
Arī rezultējošais spēks ir arī vektora lielums. To definē kā visu mehānisko spēku summu, kas iedarbojas uz ķermeni. Lai to noteiktu, ir jāveic saskaitīšana pēc trīsstūra noteikuma principa. Tikai jums ir nepieciešams atlikt vektorus pēc kārtas no iepriekšējā beigām. Rezultāts būs tāds, kas savienos pirmā sākumu ar pēdējās beigām.
Trešais lielums ir nobīde
Kustības laikā ķermenis apraksta noteiktu līniju. To sauc par trajektoriju. Šī līnija var būt pilnīgi atšķirīga. Svarīgāka nav viņa izskats, kā arī kustības sākuma un beigu punkti. Tos savieno segments, ko sauc par pārvietojumu. Tas ir arī vektora lielums. Turklāt tas vienmēr tiek virzīts no kustības sākuma līdz vietai, kur kustība tika apturēta. Ierasts to apzīmēt ar latīņu burtu r.
Šeit var rasties šāds jautājums: "Vai ceļš ir vektora lielums?". Kopumā šis apgalvojums nav patiess. Ceļš ir vienāds ar trajektorijas garumu, un tam nav noteikta virziena. Izņēmums ir situācija, kad tiek apsvērta taisna kustība vienā virzienā. Tad nobīdes vektora modulis pēc vērtības sakrīt ar ceļu, un to virziens izrādās vienāds. Tāpēc, apsverot kustību pa taisnu līniju, nemainot kustības virzienu, ceļu var iekļaut vektora lielumu piemēros.
Ceturtā vērtība ir paātrinājums
Tā ir ātruma maiņas ātruma īpašība. Turklāt paātrinājumam var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Plkst taisnvirziena kustība tas ir vērsts lielāka ātruma virzienā. Ja kustība notiek pa līknes trajektoriju, tad tā paātrinājuma vektors tiek sadalīts divās komponentēs, no kurām viena ir vērsta uz izliekuma centru pa rādiusu.
Atdaliet vidējo un momentānā vērtība paātrinājums. Pirmais ir jāaprēķina kā ātruma izmaiņu attiecība noteiktā laika periodā pret šo laiku. Ja aplūkojamajam laika intervālam ir tendence uz nulli, tiek runāts par momentānu paātrinājumu.
Piektā vērtība – impulss
Citā veidā to sauc arī par kustības apjomu. Impulss ir vektora lielums, jo tas ir tieši saistīts ar ātrumu un spēku, kas pielikts ķermenim. Abiem ir virziens un tas dod impulsu.
Pēc definīcijas pēdējais ir vienāds ar ķermeņa masas un ātruma reizinājumu. Izmantojot ķermeņa impulsa jēdzienu, labi zināmo Ņūtona likumu var uzrakstīt citādi. Izrādās, ka impulsa izmaiņas ir vienādas ar spēka un laika intervāla reizinājumu.
Fizikā liela nozīme ir impulsa nezūdamības likumam, kas nosaka, ka slēgtā ķermeņu sistēmā tā kopējais impulss ir nemainīgs.
Mēs esam ļoti īsi uzskaitījuši, kādi lielumi (vektori) tiek pētīti fizikas kursā.
Neelastīgās ietekmes problēma
Stāvoklis. Uz sliedēm ir fiksēta platforma. Tam tuvojas automašīna ar ātrumu 4 m/s. Platformas un vagona masa ir attiecīgi 10 un 40 tonnas. Automašīna ietriecas platformā, notiek automātiskā sakabe. Nepieciešams aprēķināt vagona-platformas sistēmas ātrumu pēc trieciena.
Risinājums. Vispirms jāievada apzīmējums: automašīnas ātrums pirms trieciena - v1, automašīna ar platformu pēc sakabes - v, automašīnas masa m1, platformas svars - m2. Atbilstoši problēmas stāvoklim nepieciešams noskaidrot ātruma v vērtību.
Šādu uzdevumu risināšanas noteikumi prasa shematisku sistēmas attēlojumu pirms un pēc mijiedarbības. Ir saprātīgi virzīt OX asi pa sliedēm virzienā, kurā automašīna pārvietojas.
Šādos apstākļos vagonu sistēmu var uzskatīt par slēgtu. To nosaka fakts, ka ārējos spēkus var atstāt novārtā. Smaguma spēks un atbalsta reakcija ir līdzsvaroti, un berze uz sliedēm netiek ņemta vērā.
Saskaņā ar impulsa saglabāšanas likumu to vektoru summa pirms automašīnas un platformas mijiedarbības ir vienāda ar kopējo savienotājelementu pēc trieciena. Sākumā platforma nekustējās, tāpēc tās impulss bija nulle. Kustējās tikai mašīna, tās impulss ir m1 un v1 reizinājums.
Tā kā trieciens bija neelastīgs, t.i., vagons pieķērās platformai un pēc tam sāka kopā ripot vienā virzienā, sistēmas impulss virzienu nemainīja. Bet tā nozīme ir mainījusies. Proti, vagona masas ar platformu un vēlamā ātruma summas reizinājums.
Varat uzrakstīt šādu vienādību: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Tas attiecas uz impulsa vektoru projekciju uz izvēlētās ass. No tā ir viegli iegūt vienādību, kas būs nepieciešama, lai aprēķinātu vēlamo ātrumu: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Saskaņā ar noteikumiem jums jāpārvērš masas vērtības no tonnām uz kilogramiem. Tāpēc, aizstājot tos formulā, vispirms zināmās vērtības jāreizina ar tūkstoti. Vienkārši aprēķini dod skaitli 0,75 m/s.
Atbilde. Vagona ātrums ar platformu ir 0,75 m/s.
Ķermeņa sadalīšana daļās
Stāvoklis. Lidojošas granātas ātrums ir 20 m/s. Tas sadalās divās daļās. Pirmā masa ir 1,8 kg. Tā turpina kustību virzienā, kurā lidoja granāta ar ātrumu 50 m/s. Otrā fragmenta masa ir 1,2 kg. Kāds ir tā ātrums?
Risinājums. Lai fragmentu masas tiek apzīmētas ar burtiem m1 un m2. To ātrums būs attiecīgi v1 un v2. sākuma ātrums granātas v. Uzdevumā jums jāaprēķina vērtība v2.
Lai lielākais fragments turpinātu kustību tajā pašā virzienā kā visa granāta, otrajam ir jāielido otrā puse. Ja ass virzienam izvēlamies to, kas bija pie sākuma impulsa, tad pēc pārtraukuma lielais fragments lido pa asi, bet mazais fragments lido pret asi.
Šajā problēmā ir atļauts izmantot impulsa saglabāšanas likumu, jo granātas sprādziens notiek uzreiz. Tāpēc, neskatoties uz to, ka gravitācija iedarbojas uz granātu un tās daļām, tai nav laika rīkoties un mainīt impulsa vektora virzienu ar tā moduļa vērtību.
Impulsa vektora vērtību summa pēc granātas sprādziena ir vienāda ar vērtību pirms tā. Ja mēs pierakstām ķermeņa impulsa saglabāšanas likumu projekcijā uz OX asi, tad tas izskatīsies šādi: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. No tā ir viegli izteikt vēlamo ātrumu. To nosaka pēc formulas: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Pēc skaitlisko vērtību aizstāšanas un aprēķiniem tiek iegūts 25 m / s.
Atbilde. Neliela fragmenta ātrums ir 25 m/s.
Problēma ar fotografēšanu leņķī
Stāvoklis. Instruments ir uzstādīts uz platformas ar masu M. No tā tiek izšauts šāviņš ar masu m. Tas paceļas leņķī α pret horizontu ar ātrumu v (norādīts attiecībā pret zemi). Pēc šāviena ir jānoskaidro platformas ātrums.
Risinājums. Šajā uzdevumā jūs varat izmantot impulsa saglabāšanas likumu projekcijā uz OX asi. Bet tikai tad, ja ārējo rezultējošo spēku projekcija ir vienāda ar nulli.
VĒRŠA ass virzienam jāizvēlas tā puse, kurā lidos šāviņš, un paralēli horizontālajai līnijai. Šajā gadījumā gravitācijas spēku un atbalsta reakcijas uz OX projekcijas būs vienādas ar nulli.
Problēma tiks atrisināta vispārējs skats, jo nav īpašu datu par zināmajiem daudzumiem. Formula ir atbilde.
Sistēmas impulss pirms šāviena bija vienāds ar nulli, jo platforma un šāviņš bija nekustīgi. Lai platformas vēlamo ātrumu apzīmē ar latīņu burtu u. Tad tā impulsu pēc šāviena nosaka kā masas un ātruma projekcijas reizinājumu. Tā kā platforma ripo atpakaļ (pret OX ass virzienu), impulsa vērtība būs ar mīnusa zīmi.
Šāviņa impulss ir tā masas un ātruma projekcijas reizinājums uz OX asi. Sakarā ar to, ka ātrums ir vērsts leņķī pret horizontu, tā projekcija ir vienāda ar ātrumu, kas reizināts ar leņķa kosinusu. Burtiskā vienlīdzībā tas izskatīsies šādi: 0 = - Mu + mv * cos α. No tā ar vienkāršiem pārveidojumiem iegūst atbildes formulu: u = (mv * cos α) / M.
Atbilde. Platformas ātrumu nosaka pēc formulas u = (mv * cos α) / M.
Upes šķērsošanas problēma
Stāvoklis. Upes platums visā garumā ir vienāds un vienāds ar l, tās krasti ir paralēli. Ir zināms ūdens plūsmas ātrums upē v1 un paša laivas ātrums v2. 1). Šķērsojot, laivas priekšgals ir stingri vērsts uz pretējo krastu. Cik tālu tas tiks vests lejup pa straumi? 2). Kādā leņķī α jānovirza laivas priekšgals, lai tas sasniegtu pretējo krastu stingri perpendikulāri izbraukšanas vietai? Cik daudz laika t prasīs šāda šķērsošana?
Risinājums. 1). Pilns laivas ātrums ir divu lielumu vektoru summa. Pirmā no tām ir upes tecējums, kas virzīts gar krastiem. Otrais ir pašas laivas ātrums, perpendikulāri krastiem. Zīmējumā redzami divi līdzīgi trīsstūri. Pirmo veido upes platums un attālums, ko veic laiva. Otrais ir ātruma vektori.
No tiem izriet šāds ieraksts: s / l = v1 / v2. Pēc transformācijas tiek iegūta vēlamās vērtības formula: s = l * (v1 / v2).
2). Šajā problēmas versijā kopējais ātruma vektors ir perpendikulārs krastiem. Tas ir vienāds ar v1 un v2 vektoru summu. Leņķa sinuss, par kādu jānovirzās paša ātruma vektoram, ir vienāds ar moduļu v1 un v2 attiecību. Lai aprēķinātu ceļojuma laiku, jums būs jādala upes platums ar aprēķināto kopējo ātrumu. Pēdējās vērtību aprēķina pēc Pitagora teorēmas.
v = √(v22 – v12), tad t = l / (√(v22 – v12)).
Atbilde. 1). s = l * (v1/v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).