Daudzumus sauc par skalāriem (skalāriem), ja pēc mērvienības izvēles tos pilnībā raksturo viens skaitlis. Skalāro lielumu piemēri ir leņķis, virsma, tilpums, masa, blīvums, elektriskais lādiņš, pretestība, temperatūra.
Jāizšķir divu veidu skalāri: tīrie skalāri un pseidoskalāri.
3.1.1. Tīri skalāri.
Tīrie skalāri ir pilnībā definēti ar vienu skaitli, neatkarīgi no atskaites asu izvēles. Temperatūra un masa ir tīru skalāru piemēri.
3.1.2. Pseidoskalāri.
Tāpat kā tīrie skalāri, arī pseidoskalāri tiek definēti, izmantojot vienu skaitli, kura absolūtā vērtība nav atkarīga no atskaites asu izvēles. Tomēr šī skaitļa zīme ir atkarīga no pozitīvo virzienu izvēles uz koordinātu asīm.
Apsveriet, piemēram, kuboīds, kuru malu projekcijas uz taisnstūra koordinātu asīm ir attiecīgi vienādas. Šī paralēlskaldņa tilpumu nosaka, izmantojot determinantu
kuras absolūtā vērtība nav atkarīga no taisnstūra koordinātu asu izvēles. Tomēr, ja maināt pozitīvo virzienu uz vienas no koordinātu asīm, tad determinants mainīs zīmi. Skaļums ir pseidoskalārs. Pseidoskalāri ir arī leņķis, laukums, virsma. Tālāk (5.1.8. sadaļa) mēs redzēsim, ka pseidoskalārs patiesībā ir īpaša veida tenzors.
Vektoru daudzumi
3.1.3. Ass.
Ass ir bezgalīga taisna līnija, uz kuras ir izvēlēts pozitīvais virziens. Lai tāda taisna līnija, un virziens no
uzskatīts par pozitīvu. Aplūkosim segmentu uz šīs taisnes un pieņemsim, ka garumu mērošais skaitlis ir a (3.1. att.). Tad segmenta algebriskais garums ir vienāds ar a, segmenta algebriskais garums ir vienāds ar - a.
Ja ņemam vairākas paralēlas līnijas, tad, nosakot pozitīvo virzienu vienai no tām, mēs to nosakām pārējām. Situācija ir citāda, ja līnijas nav paralēlas; tad ir nepieciešams veikt īpašus pasākumus attiecībā uz katras taisnes pozitīvā virziena izvēli.
3.1.4. Rotācijas virziens.
Ļaujiet asij. Rotāciju ap asi sauc par pozitīvu vai tiešu, ja to veic novērotājam, kurš stāv pa ass pozitīvo virzienu, pa labi un pa kreisi (3.2. att.). Pretējā gadījumā to sauc par negatīvu vai apgrieztu.
3.1.5. Tiešie un apgrieztie trīsskaldņi.
Lai kāds trīsstūris (taisnstūrveida vai netaisnstūrveida). Pozitīvie virzieni tiek izvēlēti uz asīm attiecīgi no O līdz x, no O līdz y un no O līdz z.
Vektoru daudzums
Vektoru daudzums- fiziskais daudzums , kas ir vektors (1. ranga tenzors). No vienas puses, tas ir pretstats skalāram (0. ranga tenzoriem), no otras puses, tenzoru daudzumiem (stingri sakot, 2. vai vairāk ranga tenzoriem). To var arī pretstatīt noteiktiem objektiem ar pilnīgi atšķirīgu matemātisku raksturu.
Vairumā gadījumu termins vektors fizikā tiek lietots, lai apzīmētu vektoru tā saucamajā "fiziskajā telpā", t.i. parastajā trīsdimensiju telpā klasiskajā fizikā vai četrdimensiju laiktelpā mūsdienu fizikā (pēdējā gadījumā vektora un vektora daudzuma jēdziens sakrīt ar 4 vektoru un 4 vektoru daudzuma jēdzienu).
Frāzes "vektora daudzums" lietojums ir praktiski izsmelts. Kas attiecas uz termina "vektors" lietošanu, tas, neskatoties uz noklusējuma noslieci uz vienu un to pašu piemērojamības jomu, daudzos gadījumos joprojām pārsniedz šādas robežas. Plašāku informāciju par to skatiet tālāk.
Terminu lietošana vektors Un vektora daudzums fizikā
Kopumā fizikā vektora jēdziens gandrīz pilnībā sakrīt ar matemātikas jēdzienu. Tomēr pastāv terminoloģiska specifika, kas saistīta ar to, ka mūsdienu matemātikā šis jēdziens ir nedaudz pārāk abstrakts (attiecībā uz fizikas vajadzībām).
Matemātikā teiciens "vektors" drīzāk nozīmē vektoru kopumā, t.i. jebkurš jebkuras dimensijas un rakstura patvaļīgi abstraktas lineāras telpas vektors, kas, ja īpaši nepieliek pūles, var pat radīt apjukumu (protams, ne tik daudz pēc būtības, bet gan lietošanas ērtuma ziņā). Ja nepieciešams būt konkrētam, matemātiskā stilā ir vai nu jārunā diezgan ilgi ("tādas un tādas telpas vektors"), vai arī jāpatur prātā tas, ko nozīmē skaidri aprakstītais konteksts.
Taču fizikā gandrīz vienmēr runa nav par matemātiskiem objektiem (kuriem piemīt noteiktas formālas īpašības) kopumā, bet gan par to noteiktu specifisku (“fizisku”) saistīšanu. Ņemot vērā šos konkrētības apsvērumus ar īsuma un ērtības apsvērumiem, var saprast, ka terminoloģiskā prakse fizikā ievērojami atšķiras no matemātiskās prakses. Tomēr tas nenonāk skaidrā pretrunā ar pēdējo. To var panākt ar dažiem vienkāršiem "trikiem". Pirmkārt, tie ietver termina lietošanu pēc noklusējuma (ja konteksts nav īpaši norādīts). Tātad fizikā, atšķirībā no matemātikas, vārds vektors bez papildu precizējumiem parasti tiek saprasts nevis kā "kaut kāds lineāras telpas vektors kopumā", bet galvenokārt kā vektors, kas saistīts ar "parasto fizisko telpu" (klasiskās fizikas trīsdimensiju telpa vai relativistiskās fizikas četrdimensiju telpa-laiks). Telpu vektoriem, kas nav tieši un tieši saistīti ar "fizisko telpu" vai "telpa-laiku", vienkārši izmantojiet īpašus nosaukumus (dažreiz iekļaujot vārdu "vektors", bet ar precizējumu). Ja teorijā tiek ieviests kādas telpas vektors, kas nav tieši un tieši saistīts ar "fizisko telpu" vai "telpu-laiku" (un kuru ir grūti uzreiz kaut kādā noteiktā veidā raksturot), tas bieži tiek īpaši aprakstīts kā "abstrakts vektors".
Viss iepriekš minētais, pat vairāk nekā termins "vektors", attiecas uz terminu "vektora daudzums". Noklusējums šajā gadījumā nozīmē vēl stingrāku saistīšanos ar "parasto telpu" vai laiktelpu, un abstraktu vektortelpu izmantošana attiecībā pret elementiem gandrīz nekad nav sastopama, vismaz šāda izmantošana tiek uzskatīta par retāko izņēmumu (ja ne atrunu vispār).
Fizikā vektorus visbiežāk un vektoru daudzumus - gandrīz vienmēr - sauc par divu līdzīgu klašu vektoriem:
Vektoru fizisko lielumu piemēri: ātrums, spēks, siltuma plūsma.
Vektoru lielumu ģenēze
Kā fiziskais vektoru lielumi"piefiksēts telpai? Pirmkārt, pārsteidzoši ir tas, ka vektora lielumu dimensija (šī termina parastajā lietojuma nozīmē, kas izskaidrota iepriekš) sakrīt ar tās pašas "fiziskās" (un "ģeometriskās") telpas dimensiju, piemēram, telpa ir trīsdimensiju un vektora elektriskais lauks trīsdimensiju. Intuitīvi var pamanīt arī to, ka jebkuram vektora fiziskajam lielumam, lai cik neskaidri tas būtu saistīts ar ierasto telpisko paplašinājumu, tomēr ir diezgan noteikts virziens tieši šajā parastajā telpā.
Taču izrādās, ka daudz vairāk var panākt, tieši "samazinot" visu fizikas vektoru daudzumu kopumu uz visvienkāršākajiem "ģeometriskajiem" vektoriem, pareizāk sakot, kaut vai uz vienu vektoru - elementārās nobīdes vektoru, bet pareizāk būtu teikt - atvasinot tos visus no tā.
Šai procedūrai ir divas dažādas (lai gan būtībā viena otru detalizēti atkārto) implementācijas klasiskās fizikas trīsdimensiju gadījumam un četrdimensiju telpas-laika formulējumam, kas ir kopīgs mūsdienu fizikā.
Klasisks 3D futrālis
Mēs turpināsim no parastās trīsdimensiju "ģeometriskās" telpas, kurā mēs dzīvojam un varam pārvietoties.
Par sākotnējo un paraugvektoru pieņemsim bezgalīgi mazo nobīdes vektoru. Ir diezgan skaidrs, ka tas ir parasts "ģeometriskais" vektors (kā arī ierobežots nobīdes vektors).
Tagad ņemiet vērā, ka, reizinot vektoru ar skalāru, vienmēr tiek iegūts jauns vektors. To pašu var teikt par vektoru summu un starpību. Šajā nodaļā mēs nenošķirsim polāros un aksiālos vektorus, tāpēc ņemiet vērā, ka divu vektoru krustreizinājums arī dod jaunu vektoru.
Tāpat jaunais vektors dod vektora diferenciāciju attiecībā pret skalāru (jo šāds atvasinājums ir vektoru starpības attiecības robeža ar skalāru). To var teikt tālāk par visu augstāko ordeņu atvasinājumiem. Tas pats attiecas uz integrāciju pēc skalāriem (laiks, apjoms).
Tagad ņemiet vērā, ka, pamatojoties uz rādiusa vektoru r vai no elementāras pārvietošanas d r, mēs viegli saprotam, ka vektori ir (tā kā laiks ir skalārs) tādi kinemātiski lielumi kā
No ātruma un paātrinājuma, kas reizināts ar skalāru (masu), parādās
Tā kā tagad mūs interesē arī pseidovektori, mēs to atzīmējam
- izmantojot Lorenca spēka formulu, elektriskā lauka stiprums un magnētiskās indukcijas vektors ir piesaistīti spēka un ātruma vektoriem.
Turpinot šo procedūru, mēs atklājam, ka visi mums zināmie vektoru lielumi tagad ir ne tikai intuitīvi, bet arī formāli saistīti ar sākotnējo telpu. Proti, tie visi zināmā nozīmē ir tā elementi, kopš tiek izteikti pēc būtības kā citu vektoru lineāras kombinācijas (ar skalārajiem faktoriem, iespējams, dimensiju, bet skalāri, un tāpēc formāli diezgan likumīgi).
Mūsdienīgs četrdimensiju korpuss
To pašu procedūru var veikt, sākot no četrdimensiju pārvietošanas. Izrādās, ka visi 4-vektoru lielumi "nāk" no 4-pārvietojuma, tāpēc savā ziņā ir tādi paši telpas-laika vektori kā pats 4-pārvietojums.
Vektoru veidi saistībā ar fiziku
- Polārais jeb patiesais vektors ir parasts vektors.
- Aksiālais vektors (pseidovektors) - patiesībā tas nav reāls vektors, bet formāli tas daudz neatšķiras no pēdējā, izņemot to, ka maina virzienu uz pretējo, mainoties koordinātu sistēmas orientācijai (piemēram, kad koordinātu sistēma tiek atspoguļota). Pseidovektoru piemēri: visi lielumi, kas definēti, izmantojot divu polāru vektoru krustojumu.
- Ir vairākas dažādas spēku ekvivalences klases.
Piezīmes
Wikimedia fonds. 2010 .
Skatiet, kas ir "vektoru daudzums" citās vārdnīcās:
vektora daudzums- — [Ja.N.Luginskis, M.S.Fezi Žilinskaja, Ju.S.Kabirovs. Angļu krievu elektrotehnikas un enerģētikas vārdnīca, Maskava, 1999] Elektrotehnikas tēmas, pamatjēdzieni EN vektoru daudzums ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
vektora daudzums- vektorinis dydis statusas T joma automatika atitikmenys: angl. vektora daudzums; vektoriālais daudzums vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektora daudzums, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatikos terminų žodynas
vektora daudzums- vektorinis dydis statusas T joma fizika atitikmenys: angl. vektora daudzums; vektoriālais daudzums vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektora daudzums, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas
Lielumu grafisks attēlojums, kas mainās atbilstoši sinusa (kosinusa) likumam, un attiecības starp tiem, izmantojot virzītus vektoru segmentus. Vektoru diagrammas tiek plaši izmantotas elektrotehnikā, akustikā, optikā, vibrāciju teorijā un tā tālāk. ... ... Wikipedia
"spēks" novirza šeit; skatīt arī citas nozīmes. Spēka dimensija LMT−2 SI vienības ... Wikipedia
Šis raksts vai sadaļa ir jāpārskata. Lūdzu rakstu pilnveidot atbilstoši rakstu rakstīšanas noteikumiem. Fiziskā ... Wikipedia
Tas ir lielums, kas pieredzes rezultātā ņem vienu no daudzajām vērtībām, un šī lieluma vienas vai citas vērtības parādīšanos nevar precīzi paredzēt pirms tā mērīšanas. Formālā matemātiskā definīcija ir šāda: ļaujiet varbūtības ... ... Wikipedia
Koordinātu un laika vektoru un skalārās funkcijas, kas ir elektro raksturlielumi magnētiskais lauks. Vektors P. e. sauca vektora lielums A, rotors uz spietu ir vienāds ar magnētiskā lauka indukcijas vektoru B; rotA V. Skalārs P. e. sauca skalārā vērtība f, ...... Lielā enciklopēdiskā politehniskā vārdnīca
Vērtība, kas raksturo rotāciju. spēka ietekme, kad tas darbojas televizorā. ķermeni. Atšķirt M. ar. attiecībā pret centru (punktu) un attiecībā pret galveno. Jaunkundze. attiecībā pret centru O (att. a) vektora lielums, kas skaitliski vienāds ar spēka moduļa F reizinājumu ar ... ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca
Vektora lielums, kas raksturo punkta ātruma izmaiņu ātrumu tā skaitliskās vērtības un virziena izteiksmē. Ar punkta taisnu kustību, kad tā ātrums υ vienmērīgi palielinās (vai samazinās) skaitliski U. laikā: ... ... Lielā padomju enciklopēdija
Mums apkārt ir daudz dažādu materiālu objektu. Materiāls, jo tos var aptaustīt, saost, redzēt, dzirdēt un daudz ko citu var izdarīt. Kas tie ir par priekšmetiem, kas ar tiem notiek vai notiks, ja kaut ko izdarīs: iemet, izlocīs, ieliks cepeškrāsnī. Kāpēc ar viņiem kaut kas notiek un kā tieši tas notiek? Visi šie pētījumi fizika. Spēlējiet spēli: padomājiet par objektu telpā, aprakstiet to dažos vārdos, draugam jāuzmin, kas tas ir. Norādiet paredzētā priekšmeta īpašības. Īpašības vārdi: balts, liels, smags, auksts. Uzminēji? Šis ir ledusskapis. Norādītās specifikācijas nav jūsu ledusskapja zinātniskie mērījumi. Ledusskapī varat izmērīt dažādas lietas. Ja tas ir garš, tad tas ir liels. Ja krāsa, tad tā ir balta. Ja temperatūra, tad auksts. Un, ja tā masa, tad izrādās, ka tā ir smaga. Iedomājieties, ka var izpētīt vienu ledusskapi dažādas puses. Masa, garums, temperatūra - tas ir fiziskais lielums.
Bet šī ir tikai tā mazā ledusskapja īpašība, kas uzreiz nāk prātā. Pirms iegādāties jaunu ledusskapi, varat iepazīties ar vairākiem fiziskiem daudzumiem, kas ļauj spriest, kas tas ir labāks vai sliktāks un kāpēc tas maksā vairāk. Iedomājieties, cik daudzveidīgs ir viss mums apkārt. Un cik atšķiras īpašības?
Fiziskā daudzuma apzīmējums
Visi fizikālie lielumi Ir ierasts apzīmēt ar burtiem, biežāk grieķu alfabētu. BET! Vienam un tam pašam fiziskajam daudzumam var būt vairāki burtu apzīmējumi (dažādā literatūrā).
Un otrādi, dažādus fiziskos lielumus var apzīmēt ar vienu un to pašu burtu. 
Neskatoties uz to, ka jūs, iespējams, neesat saskārušies ar šādu burtu, fiziskā lieluma nozīme, tā dalība formulās paliek nemainīga.
Vektoru un skalārie lielumi
Fizikā ir divu veidu fizikālie lielumi: vektors un skalārs. Viņu galvenā atšķirība ir tā vektora fiziskajiem lielumiem ir virziens. Kāds fiziskajam daudzumam ir virziens? Piemēram, kartupeļu skaits maisā, piezvanīsim parastie skaitļi, vai skalāri. Temperatūra ir vēl viens šāda daudzuma piemērs. Citiem fizikā ļoti svarīgiem lielumiem ir virziens, piemēram, ātrums; mums jānorāda ne tikai ķermeņa kustības ātrums, bet arī ceļš, pa kuru tas pārvietojas. Arī impulsam un spēkam ir virziens, tāpat kā pārvietojumam: kad kāds sper soli, var pateikt ne tikai to, cik tālu viņš pakāpies, bet arī kur viņš soļo, tas ir, noteikt viņa kustības virzienu. Vektoru daudzumus labāk atcerēties.
Kāpēc virs burtiem ir bultiņa?
Bultiņa tiek uzzīmēta tikai virs vektora fizisko lielumu burtiem. Saskaņā ar veidu matemātikā vektors! Saskaitīšanas un atņemšanas darbības ar šiem fiziskajiem lielumiem tiek veiktas saskaņā ar matemātikas noteikumiem operācijās ar vektoriem. Izteiciens "ātruma modulis" vai "absolūtā vērtība" nozīmē tieši "ātruma vektora moduli", tas ir, ātruma skaitlisko vērtību, neņemot vērā virzienu - plusa vai mīnusa zīmi.
Vektoru lielumu apzīmēšana
Galvenais, kas jāatceras
1) Kas ir vektora lielums;
2) Kā skalārā vērtība atšķiras no vektora vērtības;
3) Vektoru fizikālie lielumi;
4) vektora lieluma apzīmējums
Divi vārdi, kas biedē skolnieku – vektors un skalārs – nav īsti biedējoši. Ja tēmai pieiet ar interesi, tad visu var saprast. Šajā rakstā mēs apsvērsim, kurš lielums ir vektors un kurš ir skalārs. Precīzāk, sniegsim piemērus. Katrs skolēns, iespējams, pievērsa uzmanību tam, ka fizikā dažus lielumus norāda ne tikai ar simbolu, bet arī ar bultiņu no augšas. Ko viņi apzīmē? Tas tiks apspriests tālāk. Mēģināsim izdomāt, kā tas atšķiras no skalāra.
Vektoru piemēri. Kā tie tiek marķēti
Ko nozīmē vektors? Tas, kas raksturo kustību. Nav svarīgi, vai tas atrodas kosmosā vai lidmašīnā. Kas ir vektora daudzums? Piemēram, lidmašīna lido ar noteiktu ātrumu noteiktā augstumā, tai ir noteikta masa, un tā sāk kustību no lidostas ar nepieciešamo paātrinājumu. Kāda ir gaisa kuģa kustība? Kas viņam lika lidot? Protams, paātrinājums, ātrums. Vektoru lielumi no fizikas kursa ir labi piemēri. Atklāti sakot, vektora lielums ir saistīts ar kustību, pārvietošanos.
Arī ūdens pārvietojas ar noteiktu ātrumu no kalna augstuma. Redzi? Kustība tiek veikta ne tilpuma, ne masas, proti, ātruma dēļ. Tenisists ļauj bumbiņai kustēties ar raketes palīdzību. Tas nosaka paātrinājumu. Starp citu, šajā gadījumā pielietotais spēks ir arī vektora lielums. Jo tas tiek iegūts doto ātrumu un paātrinājumu rezultātā. Spēks ir spējīgs arī mainīties, veikt noteiktas darbības. Par piemēru var uzskatīt arī vēju, kas krata lapas uz kokiem. Jo ir ātrums.
Pozitīvās un negatīvās vērtības
Vektora lielums ir lielums, kam ir virziens apkārtējā telpā un modulis. Atkal parādījās biedējošais vārds, šoreiz modulis. Iedomājieties, ka jums ir jāatrisina problēma, kurā tiks fiksēta negatīvā paātrinājuma vērtība. Dabā negatīvas vērtības, šķiet, nepastāv. Kā ātrums var būt negatīvs?
Vektoram ir šāds jēdziens. Tas attiecas, piemēram, uz spēkiem, kas tiek pielietoti ķermenim, bet kuriem ir dažādi virzieni. Atcerieties trešo, kur darbība ir vienāda ar reakciju. Puiši velk virvi. Viena komanda ir zilos kreklās, otra ir dzeltenās. Otrie ir stiprāki. Pieņemsim, ka viņu spēka vektors ir vērsts pozitīvi. Tajā pašā laikā pirmajiem neizdodas pavilkt virvi, bet viņi cenšas. Ir pretējs spēks.
Vektors vai skalārais daudzums?
Parunāsim par atšķirību starp vektora daudzumu un skalāro lielumu. Kuram parametram nav virziena, bet tam ir sava nozīme? Tālāk mēs uzskaitām dažus skalārus:
Vai viņiem visiem ir virziens? Nē. Kurš lielums ir vektors un kurš skalārs, var parādīt tikai ar ilustratīviem piemēriem. Fizikā šādi jēdzieni ir ne tikai sadaļā "Mehānika, dinamika un kinemātika", bet arī punktā "Elektrība un magnētisms". Lorenca spēks ir arī vektora lielums.
Vektors un skalārs formulās
Fizikas mācību grāmatās bieži ir formulas, kurās augšpusē ir bultiņa. Atcerieties Ņūtona otro likumu. Spēks ("F" ar bultiņu augšpusē) ir vienāds ar masas ("m") un paātrinājuma ("a" ar bultiņu augšpusē) reizinājumu. Kā minēts iepriekš, spēks un paātrinājums ir vektora lielumi, bet masa ir skalāra.
Diemžēl ne visās publikācijās ir šo daudzumu apzīmējumi. Droši vien tas tika darīts, lai vienkāršotu, lai nemaldinātu skolēnus. Vislabāk ir iegādāties tās grāmatas un uzziņu grāmatas, kas formulās norāda vektorus.
Ilustrācijā būs redzams, kurš lielums ir vektors. Fizikas stundās ieteicams pievērst uzmanību attēliem un diagrammām. Vektoru daudzumiem ir virziens. Kur tas ir vērsts Protams, uz leju. Tātad bultiņa tiks parādīta tajā pašā virzienā.
Tehniskajās augstskolās fiziku apgūst padziļināti. Daudzās disciplīnās skolotāji runā par to, kuri lielumi ir skalāri un vektori. Šādas zināšanas ir nepieciešamas jomās: būvniecībā, transportā, dabaszinātnēs.
Pētot dažādas fizikas, mehānikas un tehnisko zinātņu nozares, ir lielumi, kas tiek pilnībā noteikti, uzstādot to skaitliskās vērtības, precīzāk, kuri tiek pilnībā noteikti, izmantojot to mērīšanas rezultātā iegūto skaitli ar viendabīgu lielumu, kas ņemts par vienību. Tādus daudzumus sauc skalārs jeb, īsi sakot, skalāri. Skalārie lielumi, piemēram, ir garums, laukums, tilpums, laiks, masa, ķermeņa temperatūra, blīvums, darbs, elektriskā jauda utt. Tā kā skalāro lielumu nosaka skaitlis (pozitīvs vai negatīvs), to var attēlot uz atbilstošās koordinātu ass. Piemēram, viņi bieži veido laika asi, temperatūru, garumu (ceļu) un citus.
Papildus skalārajiem lielumiem dažādās problēmās ir lielumi, kuru noteikšanai papildus skaitliskajai vērtībai ir jāzina arī to virziens telpā. Tādus daudzumus sauc vektors. Vektoru lielumu fiziski piemēri ir pārvietojums materiālais punkts kustība telpā, šī punkta ātrums un paātrinājums, kā arī spēks, kas uz to iedarbojas, elektriskā vai magnētiskā lauka stiprums. Vektoru daudzumus izmanto, piemēram, klimatoloģijā. Apsveriet vienkāršu piemēru no klimatoloģijas. Ja sakām, ka vējš pūš ar ātrumu 10 m/s, tad ieviesīsim vēja ātruma skalāro vērtību, bet, ja sakām, ka ziemeļu vējš pūš ar ātrumu 10 m/s, tad šajā gadījumā vēja ātrums jau būs vektora lielums.
Vektoru daudzumus attēlo, izmantojot vektorus.
Vektoru lielumu ģeometriskai attēlošanai tiek izmantoti virzīti segmenti, tas ir, segmenti, kuriem ir fiksēts virziens telpā. Šajā gadījumā segmenta garums ir vienāds ar vektora daudzuma skaitlisko vērtību, un tā virziens sakrīt ar vektora daudzuma virzienu. Tiek izsaukts virzīts segments, kas raksturo noteiktu vektora lielumu ģeometrisks vektors vai vienkārši vektors.
Vektora jēdzienam ir svarīga loma gan matemātikā, gan daudzās fizikas un mehānikas jomās. Daudzus fiziskos lielumus var attēlot, izmantojot vektorus, un šis attēlojums ļoti bieži veicina formulu un rezultātu vispārināšanu un vienkāršošanu. Bieži vien vektoru lielumi un tos attēlojošie vektori tiek identificēti viens ar otru: piemēram, viņi saka, ka spēks (vai ātrums) ir vektors.
Vektoru algebras elementus izmanto tādās disciplīnās kā: 1) elektromobiļi; 2) automatizētā elektriskā piedziņa; 3) elektriskais apgaismojums un apstarošana; 4) nesazarotas ķēdes maiņstrāva; 5) lietišķā mehānika; 6) teorētiskā mehānika; 7) fizika; 8) hidraulika: 9) mašīnu daļas; 10) materiālu stiprība; 11) vadība; 12) ķīmija; 13) kinemātika; 14) statika u.c.
2. Vektora definīcija. Līnijas segmentu nosaka divi vienādi punkti - tā gali. Bet var apsvērt virzītu segmentu, ko nosaka sakārtots punktu pāris. Par šiem punktiem ir zināms, kurš no tiem ir pirmais (sākums) un kurš otrais (beigas).
Ar virzītu segmentu saprot sakārtotu punktu pāri, no kuriem pirmo - punktu A - sauc par tā sākumu, bet otro - B - par tā beigām.
Tad zem vektors vienkāršākajā gadījumā tiek saprasts pats virzītais segments, bet citos gadījumos tiek saprasti dažādi vektori dažādas klases virzīto segmentu ekvivalences, ko nosaka kāda noteikta ekvivalences sakarība. Turklāt ekvivalences sakarība var būt dažāda, kas nosaka vektora veidu (“bezmaksas”, “fiksēts” utt.). Vienkārši sakot, ekvivalences klasē visi tajā iekļautie virzītie segmenti tiek uzskatīti par pilnīgi vienādiem, un katrs var vienādi pārstāvēt visu klasi.
Vektoriem ir svarīga loma bezgalīgi mazu telpas transformāciju izpētē.
1. definīcija. Mēs izsauksim virzītu segmentu (vai, kas ir tas pats, sakārtotu punktu pāri). vektors. Virziens segmentā parasti ir atzīmēts ar bultiņu. Rakstot virs vektora burtu apzīmējuma tiek novietota bultiņa, piemēram: (šajā gadījumā priekšā jāliek vektora sākumam atbilstošais burts). Grāmatās burti, kas apzīmē vektoru, bieži tiek rakstīti treknrakstā, piemēram: A.
Tā sauktais nulles vektors, kura sākums un beigas sakrīt, tiks saukti arī par vektoriem.
Vektoru, kura sākums sakrīt ar beigām, sauc par nulli. Nulles vektors tiek apzīmēts ar vai vienkārši 0.
Attālumu starp vektora sākumu un beigām sauc par vektoru garš(un modulis un absolūtā vērtība). Vektora garumu apzīmē ar | | vai | |. Vektora garums jeb vektora modulis ir atbilstošā virzītā segmenta garums: | | = .
Vektorus sauc kolineārs, ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām, īsi sakot, ja ir līnija, kurai tie ir paralēli.
Vektorus sauc koplanārs, ja ir plakne, kurai tie ir paralēli, tos var attēlot ar vektoriem, kas atrodas vienā plaknē. Nulles vektors tiek uzskatīts par kolineāru jebkuram vektoram, jo tam nav noteikta virziena. Tās garums, protams, ir nulle. Acīmredzot, jebkuri divi vektori ir vienādi; bet, protams, ne katri trīs vektori telpā ir koplanāri. Tā kā viens otram paralēli vektori ir paralēli vienai un tai pašai plaknei, kolineārie vektori ir vēl vairāk koplanāri. Protams, otrādi nav taisnība: koplanāri vektori var nebūt kolineāri. Saskaņā ar iepriekšminēto nosacījumu nulles vektors ir kolineārs ar jebkuru vektoru un koplanārs ar jebkuru vektoru pāri, t.i. ja vismaz viens no trim vektoriem ir nulle, tad tie ir koplanāri.
2) Vārds "kopplanārs" pēc būtības nozīmē: "kam ir kopīga plakne", tas ir, "atrodas vienā plaknē". Bet tā kā šeit ir runa par brīviem vektoriem, kurus var pārnest (nemainot garumu un virzienu) patvaļīgā veidā, tad kopplanārie vektori ir jāsauc paralēli vienai plaknei, jo šajā gadījumā tos var pārnest tā, lai tie atrastos vienā plaknē.
Runas saīsināšanai vienosimies vienā terminā: ja vairāki brīvi vektori ir paralēli vienai plaknei, tad teiksim, ka tie ir koplanāri. Jo īpaši divi vektori vienmēr ir vienā plaknē; lai to pārbaudītu, pietiek tos atlikt no tā paša punkta. Turklāt ir skaidrs, ka plaknes virziens, kurā divi dotie vektori ir paralēli, ir pilnībā noteikts, ja šie divi vektori nav paralēli viens otram. Jebkura plakne, kurai dotie koplanārie vektori ir paralēli, tiks vienkārši saukta par doto vektoru plakni.
2. definīcija. Abi vektori tiek saukti vienāds ja tie ir kolineāri, tiem ir vienāds virziens un vienāds garums.
Vienmēr jāatceras, ka divu vektoru garumu vienādība nenozīmē šo vektoru vienādību.
Pēc pašas definīcijas nozīmes divi vektori, kas atsevišķi ir vienādi ar trešo, ir vienādi viens ar otru. Acīmredzot visi nulles vektori ir vienādi viens ar otru.
No šīs definīcijas tieši izriet, ka, izvēloties jebkuru punktu A", mēs varam izveidot (un tikai vienu) vektoru A" B", kas vienāds ar kādu konkrētu vektoru vai, kā saka, pārnest vektoru uz punktu A" .
komentēt. Vektoriem nepastāv jēdzieni "lielāks par" vai "mazāks par", t.i. tie ir vienādi vai nav vienādi.
Tiek izsaukts vektors, kura garums ir vienāds ar vienu viens vektoru un apzīmē ar e. Vienības vektoru, kura virziens sakrīt ar vektora a virzienu sauc ortom vektoru un apzīmē ar .
3. Par citu vektora definīciju. Ņemiet vērā, ka vektoru vienādības jēdziens būtiski atšķiras no vienlīdzības jēdziena, piemēram, skaitļu. Katrs skaitlis ir vienāds tikai ar sevi, citiem vārdiem sakot, divus vienādus skaitļus jebkuros apstākļos var uzskatīt par vienu un to pašu skaitli. Ar vektoriem, kā mēs redzam, situācija ir atšķirīga: pēc definīcijas ir dažādi, bet vienādi vektori. Lai gan vairumā gadījumu mums tie nebūs jānošķir, var izrādīties, ka kādā brīdī mūs interesēs vektors , nevis cits līdzvērtīgs vektors A"B".
Lai vienkāršotu vektoru vienlīdzības jēdzienu (un novērstu dažas ar to saistītās grūtības), dažreiz vektora definīciju sarežģī. Mēs neizmantosim šo sarežģīto definīciju, bet mēs to formulēsim. Lai izvairītos no neskaidrībām, mēs rakstīsim "vektors" (ar lielo burtu), lai apzīmētu tālāk definēto jēdzienu.
3. definīcija. Dots virzīts segments. Tiek izsaukta visu virzīto segmentu kopa, kas ir vienāda ar doto segmentu 2. definīcijas izpratnē Vektors.
Tādējādi katrs virzītais segments definē vektoru. Ir viegli redzēt, ka divi virzīti segmenti definē vienu un to pašu vektoru tad un tikai tad, ja tie ir vienādi. Vektoriem, tāpat kā skaitļiem, vienlīdzība nozīmē to pašu: divi vektori ir vienādi tad un tikai tad, ja tie ir viens un tas pats vektors.
Telpas paralēlā tulkojumā punkts un tā attēls veido sakārtotu punktu pāri un definē virzītu segmentu, un visi šādi virzītie segmenti ir vienādi 2. definīcijas izpratnē. Tāpēc paralēlu telpas tulkojumu var identificēt ar vektoru, kas sastāv no visiem šiem virzītajiem segmentiem.
No sākotnējā fizikas kursa ir labi zināms, ka spēku var attēlot ar virzītu segmentu. Bet to nevar attēlot ar vektoru, jo spēki, ko attēlo vienādi virzīti segmenti, parasti rada dažādus efektus. (Ja spēks iedarbojas uz elastīgu ķermeni, tad to attēlojošo virzīto segmentu nevar pārnest pat pa taisni, uz kuras tas atrodas.)
Tas ir tikai viens no iemesliem, kāpēc līdzās vektoriem, t.i., vienādu virzītu segmentu kopām (vai, kā saka, klasēm), ir jāņem vērā atsevišķi šo klašu pārstāvji. Šādos apstākļos 3. definīcijas piemērošana kļūst sarežģītāka. liels skaits atrunas. Mēs pieturēsimies pie 1. definīcijas, un pēc vispārējās nozīmes vienmēr būs skaidrs, vai mēs runājam par skaidri definētu vektoru, vai tā vietā var aizstāt jebkuru ar to līdzvērtīgu vektoru.
Saistībā ar vektora definīciju ir vērts izskaidrot dažu literatūrā atrodamo vārdu nozīmi.