Con la ayuda de esta lección en video, todos podrán familiarizarse de forma independiente con el tema “El concepto de poliedro. Prisma. Superficie de un prisma ". Durante la lección, el maestro hablará sobre lo que tal figuras geometricas, como poliedro y prismas, dará definiciones apropiadas y explicará su esencia en ejemplos específicos.
Con la ayuda de esta lección, todos podrán familiarizarse de forma independiente con el tema “El concepto de poliedro. Prisma. Superficie de un prisma ".
Definición... Una superficie formada por polígonos y que delimita algún cuerpo geométrico se llamará superficie poliédrica o poliedro.
Considere los siguientes ejemplos de poliedros:
1. Tetraedro A B C D es una superficie formada por cuatro triángulos: A B C, ADB, BDC y ADC(Figura 1).
Arroz. una
2. Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 es una superficie formada por seis paralelogramos (Fig. 2).
Arroz. 2
Los elementos principales de un poliedro son caras, aristas y vértices.
Las caras son polígonos que forman un poliedro.
Los bordes son los lados de las caras.
Los vértices son los extremos de las nervaduras.
Considere un tetraedro A B C D(Figura 1). Indiquemos sus principales elementos.
Facetas: triangulos ABC, ADB, BDC, ADC.
Costillas: AB, AC, BC, DC, ANUNCIO, BD.
Tops: A B C D.
Considere un paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Figura 2).
Facetas: paralelogramos AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.
Costillas: Automóvil club británico 1 , cama y desayuno 1 , SS 1 , DD 1, AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC.
Tops: A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1.
Un caso especial importante de poliedro es un prisma.
ABCA 1 B 1 C 1(Fig. 3).
Arroz. 3
Triángulos iguales A B C y A 1 B 1 C 1 están ubicados en planos paralelos α y β de modo que las aristas AA 1, BB 1, CC 1 son paralelos.
Es decir ABCA 1 B 1 C 1- un prisma triangular si:
1) Triángulos A B C y A 1 B 1 C 1 son iguales.
2) Triángulos A B C y A 1 B 1 C 1 están ubicados en planos paralelos α y β: A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).
3) Costillas AA 1, BB 1, CC 1 son paralelos.
A B C y A 1 B 1 C 1- las bases del prisma.
AA 1, BB 1, CC 1- bordes laterales del prisma.
Si desde un punto arbitrario H 1 un plano (por ejemplo, β), baje la perpendicular NN 1 en el plano α, entonces esta perpendicular se llama la altura del prisma.
Definición... Si los bordes laterales son perpendiculares a las bases, entonces el prisma se llama recto y, de lo contrario, inclinado.
Considere un prisma triangular ABCA 1 B 1 C 1(figura 4). Este prisma es recto. Es decir, sus bordes laterales son perpendiculares a las bases.
Por ejemplo, costilla AA 1 perpendicular al plano A B C... Borde AA 1 es la altura de este prisma.
Arroz. 4
Tenga en cuenta que la cara lateral AA 1 B 1 B perpendicular a las bases A B C y A 1 B 1 C 1 ya que pasa por la perpendicular AA 1 a los jardines.
Ahora considere un prisma oblicuo ABCA 1 B 1 C 1(figura 5). Aquí, la nervadura lateral no es perpendicular al plano de la base. Si omitimos del punto A 1 perpendicular A 1 H sobre el A B C, entonces esta perpendicular será la altura del prisma. Tenga en cuenta que el segmento UN es la proyección del segmento AA 1 en el avión A B C.
Entonces el ángulo entre la línea recta AA 1 y avión A B C este es el ángulo entre la línea recta AA 1 y ella UN proyección sobre un plano, es decir, el ángulo A 1 AN.
Arroz. 5
Considere un prisma cuadrangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(figura 6). Veamos cómo resulta.
1) Cuadrilátero A B C D igual a cuadrilátero A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.
2) Cuadriláteros A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).
3) Cuadriláteros A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 dispuestos de modo que las nervaduras laterales queden paralelas, es decir: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.
Definición... Una diagonal de prisma es un segmento de línea que conecta dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara.
Por ejemplo, AC 1- diagonal de un prisma cuadrangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Definición... Si la costilla lateral AA 1 perpendicular al plano de la base, entonces dicho prisma se llama línea recta.
Arroz. 6
Un caso particular de prisma cuadrangular es el conocido paralelepípedo. Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 mostrado en la Fig. 7.
Vamos a ver cómo funciona:
1) Figuras iguales se encuentran en las bases. En este caso, paralelogramos iguales A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1: A B C D = A 1 B 1 C 1 D 1.
2) paralelogramos A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 se encuentran en planos paralelos α y β: A B C║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).
3) paralelogramos A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 dispuestas de tal manera que las nervaduras laterales queden paralelas entre sí: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.
Arroz. 7
Desde el punto A 1 omitir la perpendicular UN en el avión A B C... Sección A 1 H es la altura.
Considere como funciona Prisma hexagonal(figura 8).
1) Hexágonos iguales se encuentran en la base A B C D E F y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.
2) Planos de hexágonos A B C D E F y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 son paralelas, es decir, las bases se encuentran en planos paralelos: A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).
3) Hexágonos A B C D E F y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 dispuestos de modo que todos los bordes laterales queden paralelos entre sí: AA 1 ║BB 1 ... ║FF 1.
Arroz. ocho
Definición... Si cualquier borde lateral es perpendicular al plano de la base, entonces dicho prisma hexagonal se llama línea recta.
Definición... Un prisma recto se llama regular si sus bases son polígonos regulares.
Considere un prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1.
Arroz. 9
Prisma triangular ABCA 1 B 1 C 1- correcto, esto significa que los triángulos regulares se encuentran en las bases, es decir, todos los lados de estos triángulos son iguales. Además, este prisma es recto. Esto significa que el borde lateral es perpendicular al plano de la base. Esto significa que todo caras laterales- rectángulos iguales.
Entonces, si un prisma triangular ABCA 1 B 1 C 1- correcto, entonces:
1) La nervadura lateral es perpendicular al plano de la base, es decir, es la altura: AA 1 ⊥ A B C.
2) Un triángulo equilátero se encuentra en la base: ∆ A B C- derecho.
Definición... El área de superficie total de un prisma es la suma de las áreas de todas sus caras. Denotado S lleno.
Definición... El área de la superficie lateral es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Denotado Lado S.
El prisma tiene dos bases. Entonces el área de superficie total del prisma es:
S completo = lado S + 2S principal
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
La prueba se realizará utilizando el ejemplo de un prisma triangular.
Dado: ABCA 1 B 1 C 1- prisma recto, es decir AA 1 ⊥ A B C.
AA 1 = h.
Probar: Lado S = P principal ∙ h.
Arroz. 10
Prueba.
Prisma triangular ABCA 1 B 1 C 1- recto, entonces AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - rectángulos.
Encuentre el área de la superficie lateral como la suma de las áreas de los rectángulos AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:
Lado S = AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P principal ∙ h.
Obtenemos Lado S = P principal ∙ h, Q.E.D.
Nos familiarizamos con los poliedros, el prisma, sus variedades. Demostró el teorema en la superficie lateral de un prisma. En la próxima lección, resolveremos problemas usando un prisma.
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- Vieja escuela ().
- WikiHow ().
- ¿Cuál es el número mínimo de caras que puede tener un prisma? ¿Cuántos vértices, aristas tiene tal prisma?
- ¿Hay un prisma que tenga exactamente 100 bordes?
- La nervadura lateral está inclinada con respecto al plano de la base en un ángulo de 60 °. Calcula la altura del prisma si el borde lateral mide 6 cm.
- En linea recta prisma triangular todos los bordes son iguales. Su superficie lateral es de 27 cm 2. Calcula el área de la superficie total del prisma.
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Definición. Prisma es un poliedro, cuyos vértices están ubicados en dos planos paralelos, y en los mismos dos planos hay dos caras de prisma, que son polígonos iguales con lados correspondientemente paralelos, y todas las aristas que no se encuentran en estos planos son paralelas.
Dos caras iguales se llaman bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se denominan caras laterales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Se forman todas las caras laterales superficie lateral prismas .
Todas las caras laterales del prisma son paralelogramos. .
Las nervaduras que no descansan en las bases se denominan nervaduras laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prisma diagonal Se denomina segmento cuyos extremos son dos vértices de un prisma que no descansan en una de sus caras (AD 1).
La longitud del segmento que conecta las bases del prisma y es perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designacion:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Primero, los vértices de una base se indican en el orden transversal, y luego, en el mismo orden, los vértices de la otra; los extremos de cada borde lateral se indican con las mismas letras, solo los vértices que se encuentran en una base se indican con letras sin índice, y en el otro, con índice)
El nombre del prisma está asociado con el número de ángulos en la figura que se encuentra en su base, por ejemplo, en la Figura 1, un pentágono se encuentra en la base, por lo tanto, el prisma se llama prisma pentagonal... Pero desde tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro(2 caras - bases de prisma, 5 caras - paralelogramos, - sus caras laterales)
Destaca entre prismas rectos vista privada: prismas correctos.
El prisma recto se llama correcto, si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo es un prisma cuadrangular, en la base del cual hay un paralelogramo (paralelepípedo oblicuo). Paralelepípedo recto- un paralelepípedo con bordes laterales perpendiculares a los planos de la base.Paralelepípedo rectangular - un paralelepípedo recto, cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas de las propiedades de una caja son similares a propiedades conocidas paralelogramo Un paralelepípedo rectangular con medidas iguales son llamados cubo
Un cubo tiene todas sus caras iguales a cuadrados El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a - lado del cuadrado.
La idea de prisma viene dada por:
- diversas estructuras arquitectónicas;
- Juguetes de los niños;
- cajas de embalaje;
- elementos de diseño etc.
El área de la superficie completa y lateral del prisma.
Superficie total del prisma es la suma de las áreas de todas sus caras Superficie lateral llamado la suma de las áreas de sus caras laterales las bases del prisma son iguales al polígono, entonces sus áreas son iguales. EntoncesS completo = lado S + 2S principal,
donde S lleno- superficie total, Lado S- el área de la superficie lateral, S principal- área de la base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma..
Lado S= P principal * h,
donde Lado S- el área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal: el perímetro de la base de un prisma recto,
h es la altura de un prisma recto, igual a costilla lateral.
Volumen del prisma
El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura.