Kā jau tika uzsvērts iepriekšējā sadaļā, jebkura populācija principā ir spējīga eksponenciāli palielināt savu lielumu, un tāpēc, lai novērtētu iedzīvotāju skaita pieauguma potenciālu, tiek izmantots eksponenciālais modelis. Tomēr dažos gadījumos eksponenciālais modelis izrādās piemērots, lai aprakstītu un faktiski novērotos procesus. Acīmredzot tas ir iespējams, ja pietiekami ilgu laiku (attiecībā pret paaudzes ilgumu) nekas neierobežo iedzīvotāju skaita pieaugumu un attiecīgi tās īpatnējās likmes rādītāju ( r) saglabā nemainīgu pozitīvu vērtību.
Piemēram, 1937. gadā uz mazo Protekshi salu (pie ASV ziemeļrietumu krasta netālu no Vašingtonas štata) tika nogādāti 2 fazānu tēviņi un 6 mātītes. (Phasanius colchicus torqualus), salā iepriekš nav redzēts. Tajā pašā gadā sāka vairoties fazāni, un pēc 6 gadiem populācija, kuru uzsāka 8 putni, sasniedza 1898 īpatņus. Kā izriet no att. 28 a, vismaz pirmos 3-4 gadus fazānu skaita pieaugumu labi raksturoja eksponenciāla sakarība (taisne ar logaritmisko skalu uz ordinātām). Diemžēl vēlāk, saistībā ar karadarbības uzliesmojumu, salā tika izvietots karaspēks, ikgadējās uzskaites apstājās, un pati fazānu populācija tika lielā mērā iznīcināta.
Vēl viens zināms eksponenciālas populācijas pieauguma gadījums ir gredzenoto baložu populācijas pieaugums (Streptopelia decaocto) uz Britu salas 1950. gadu beigas - 1960. gadu sākums (28. att., b). Šī izaugsme apstājās tikai pēc 8 gadiem, kad visi piemērotie biotopi bija apdzīvoti.
Eksponenciālā iedzīvotāju skaita pieauguma piemēru sarakstu var turpināt. Jo īpaši vairākas reizes eksponenciāls (vai vismaz tuvu eksponenciālam) ziemeļbriežu skaita pieaugums (Rangifers tarandus) tika novērots, kad to ieveda dažādās salās. Tātad no 25 īpatņiem (4 tēviņi un 21 mātīte), kas 1911. gadā introducēti Svētā Pāvila salā (daļa no Pribilova salu arhipelāga Beringa jūrā), bija populācija, kuras skaits līdz 1938. gadam. sasniedza 2 tūkstošus īpatņu, bet tad sekoja straujš kritums, un līdz 1950. gadam uz salas bija palikuši vairs tikai 8 brieži. Līdzīga aina tika novērota Sv. Mateja salā (kas arī atrodas Beringa jūrā): 29 īpatņi (5 tēviņi un 24 mātītes), kas introducēti salā 1944. gadā, 1957. gadā deva 1350 īpatņu populāciju, bet 1963. gadā. - - apmēram 6 tūkstoši īpatņu (šīs salas platība ir 332 km 2, kas ir apmēram trīs reizes vairāk platības Pāvila sala). Savukārt turpmākajos gados bija vērojams katastrofāls ziemeļbriežu skaita samazinājums – līdz 1966. gadam tie bija tikai 42. ziemas laiks pārtika, kas sastāv gandrīz tikai no ķērpjiem.
Laboratorijā ir iespējams radīt apstākļus eksponenciālai augšanai, apgādājot kultivētos organismus ar resursu pārpalikumu, kas parasti ierobežo to attīstību, kā arī saglabājot visu vides fizikāli ķīmisko parametru vērtību noteiktās sugas tolerances robežās. Bieži vien, lai saglabātu eksponenciālu augšanu, ir nepieciešams noņemt organismu vielmaiņas produktus (izmantojot, piemēram, caurplūdes sistēmas, kultivējot dažādus ūdensdzīvniekus un augus) vai izolēt topošos indivīdus vienu no otra, lai izvairītos no drūzmēšanās (tas ir svarīgi, piemēram, audzējot daudzus grauzējus un citus dzīvniekus ar diezgan sarežģītu uzvedību). Praksē nav grūti iegūt eksponenciālu augšanas līkni eksperimentā tikai ļoti maziem organismiem (rauga sēnītēm, vienšūņiem, vienšūnu aļģēm u.c.). Kultivē lielus organismus lielos daudzumos grūti tīri tehnisku iemeslu dēļ. Tas arī aizņem ilgu laiku.
Situācijas, kurās veidojas eksponenciālas izaugsmes apstākļi, ir iespējamas arī dabā, un ne tikai salu populācijām. Tā, piemēram, mērenos platuma grādos ezeros pavasarī pēc ledus kušanas virsmas slāņos ir liels daudzums biogēno elementu (fosfors, slāpeklis, silīcijs), kas parasti ir nepietiekami planktona aļģēm, un tāpēc nav brīnums, ka uzreiz pēc ūdens sasilšanas strauji (tuvu eksponenciālam) kramaļģu vai zaļo aļģu skaita pieaugums. Tas apstājas tikai tad, kad aļģu šūnās ir saistīti visi deficītie elementi vai tiek līdzsvarota populāciju ražošana, tos apēdot dažādiem fitofāgiem.
Lai gan var minēt citus faktiski novērota eksponenciāla skaita pieauguma piemērus, nevar teikt, ka tie ir ļoti daudzi. Acīmredzot iedzīvotāju skaita pieaugums pēc eksponenciāla likuma, ja tas notiek, tad tikai ļoti īsu laiku, pēc tam seko lejupslīde vai plato (= stacionāra līmeņa) sasniegšana. Principā ir iespējami vairāki varianti, kā apturēt eksponenciālo iedzīvotāju skaita pieaugumu. Pirmā iespēja ir eksponenciālas skaita pieauguma periodu maiņa ar strauja (katastrofāla) samazināšanās periodiem līdz ļoti zemām vērtībām. Šāda regulēšana (un ar skaita regulēšanu mēs saprotam jebkuru mehānismu darbību, kas izraisa populācijas pieauguma ierobežošanu), visticamāk, ir organismos ar īsu dzīves cikls dzīvo vietās ar izteiktām galveno ierobežojošo faktoru svārstībām, piemēram, kukaiņiem, kas dzīvo augstos platuma grādos. Ir arī acīmredzams, ka šādiem organismiem ir jābūt neaktīviem posmiem, lai tie izdzīvotu nelabvēlīgos gadalaikos. Otrs variants ir strauja eksponenciālas pieauguma apstāšanās un populācijas uzturēšana nemainīgā (=stacionārā) līmenī, ap kuru iespējamas dažādas svārstības. Trešā iespēja ir gluda izeja uz plato. Iegūtais S-forma līkne norāda, ka, pieaugot iedzīvotāju skaitam, tās pieauguma temps nepaliek nemainīgs, bet gan samazinās. S-veida populācijas pieaugums ļoti bieži novērojams gan laboratorijas eksperimentos, gan sugu introducēšanas laikā jaunos biotopos.
1. Nelineāro regresiju klases.
2. Paraboliskā atkarības forma.
3. Hiperboliskā atkarības forma.
4. Eksponenciālā atkarības forma.
5. Atkarības pakāpes forma.
Starp ekonomiskajām parādībām pastāv nelineāras attiecības, kuras tiek izteiktas, izmantojot nelineāras funkcijas.
Ir divas nelineārās regresijas klases:
1. Regresijas, kas ir nelineāras attiecībā pret analīzē iekļautajiem skaidrojošajiem mainīgajiem, bet lineāras attiecībā uz aprēķinātajiem parametriem. Šādu regresiju piemēri ir funkcijas:
Dažādu pakāpju polinomi;
Vienādmalu hiperbola.
2. Nelineārās regresijas pēc aprēķinātajiem parametriem ietver šādas funkcijas:
grāds;
Indikatīvs;
Eksponenciāls.
Iekļauto mainīgo nelineāro regresiju, tāpat kā lineāro regresiju, nosaka ar mazāko kvadrātu metodi (OLS), jo šīs funkcijas ir lineāras parametros.
1. Paraboliskā atkarības forma.
Regresijas vienādojums otrās kārtas parabolai ir šāds:
Paraboliskās atkarības mazāko kvadrātu metodes normālie vienādojumi ir šādi:
Atrisinot šo vienādojumu sistēmu, mēs iegūstam parametru vērtības a, b un c.
Otrās pakāpes parabola plkst b > 0 un Ar< 0 ir simetrisks pret maksimālo punktu, kas maina saites virzienu, proti, kāpumu uz kritumu. Šāda veida funkcija ir novērojama darba ekonomikā, pētot fizisko strādnieku darba samaksas atkarību no vecuma, pieaugot vecumam, darba samaksa pieaug, vienlaikus palielinoties strādnieka pieredzei un kvalifikācijai. Taču no noteikta vecuma organisma novecošanas un darba ražīguma samazināšanās dēļ tālāka vecuma palielināšanās var novest pie darbinieka darba samaksas samazināšanās.
Plkst b < 0 un c> 0, otrās kārtas parabola ir simetriska attiecībā pret funkcijas minimumu punktā, kas maina savienojuma virzienu, proti, samazinās augšanai.
2. Hiperboliskā atkarības forma.
Hiperbolas regresijas vienādojums ir šāds:
No mazāko kvadrātu metodes normālo vienādojumu sistēmas hiperbolai:
tiek noteiktas hiperboliskās regresijas vienādojuma koeficientu vērtības a un b.
Hiperbolisko atkarību var izmantot mikro un makro līmenī - piemēram, lai raksturotu sakarību starp izejvielu, materiālu, degvielas īpatnējo patēriņu un izlaides apjomu, preču aprites laiku uz apgrozījuma vērtību. Klasisks piemērs tam ir līkne Filips, raksturo sakarību starp bezdarba līmeni un algu pieauguma procentu.
Apsveriet regresiju, kas aprēķinātajos parametros ir nelineāra
3.Eksponenciālā atkarības forma.
Eksponenciālās regresijas vienādojuma vispārīgs skats:
Lai vienkāršotu parauga apstrādes algoritmu, eksponenciālās regresijas vienādojuma linearizāciju veic, ņemot otrā no uzrādītā vienādojuma logaritmu
Pēc nomaiņas ln y uz z, izrādās lineārais vienādojums veids:
z= a+ bx.
noteikt regresijas vienādojuma parametrus a un b. Veicot apgriezto nomaiņu, mēs iegūstam iegūtās pazīmes empīriskās vērtības.
4. Vara-likuma atkarības forma.
Vispārējā forma jaudas vienādojums regresija:
Izmantojot šī vienādojuma logaritmu, tas tiek iegūts lineārā formā:
Parametru aprēķini a un b vienādojumus var atrast ar mazākajiem kvadrātiem. Normālo vienādojumu sistēmai ir šāda forma:
Parametrs b tiek noteikts no sistēmas un parametra a- pastiprinot izteiksmi lna.
Nelineārās korelācijas blīvuma rādītājs ir korelācijas indekss, ko aprēķina pēc formulas:
,
kur ir individuālās vērtības plkst ar ierobežojumu vienādojumu.
Korelācijas indekss ir diapazonā: 0 < R < 1 un kas jo tuvāk vienam, jo tuvāk aplūkoto pazīmju attiecības, jo ticamāk atrasts regresijas vienādojums.
Determinācijas indekss R 2 tiek izmantots, lai pārbaudītu vispārējā nelineārās regresijas vienādojuma statistisko nozīmīgumu ar Fišera testu.
Eksponenciālā atkarība ir matemātiska funkcija, kas ir noderīga, lai aprakstītu procesu, kurā elementu skaits strauji palielinās vai samazinās. Ir daudz piemēru šīs atkarības izmantošanai bioloģijā, fizikā, ekonomikā, medicīnā un citās jomās. cilvēka darbība.
Eksponenciālās atkarības noteikšana
Lai saprastu, ko nozīmē vārdi "šis daudzums pieaug eksponenciāli" vai "šim procesam ir raksturīgs eksponenciāls kritums", ir jāņem vērā pats eksponenciālās funkcijas jēdziens. Lai to izdarītu, ņemiet kādu pozitīvu skaitli "a", kas nav vienāds ar 1, un paaugstiniet to līdz pakāpei "x", savukārt mainīgajam x var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības, taču tas nedrīkst būt vienāds ar nulli. Ņemam arī kādu konstantu skaitli k (konstante), kas nav vienāds ar nulli. Tagad mēs ieviešam matemātisko funkciju f (x) = k * a x. Pozitīva skaitļa "a" paaugstināšana līdz pakāpei "x" ir eksponenciāla atkarība, un pašu funkciju f (x) sauc par eksponenciālu. Funkcijā f (x) skaitli "a" sauc par bāzi, un "x" ir neatkarīgais mainīgais.
Ņemiet vērā, ka matemātikā bieži tiek izmantota eksponenciālās funkcijas "a" bāze, kas ir aptuveni vienāda ar 2,718. Šo skaitli apzīmē ar latīņu burtu "e" un sauc par Eilera skaitli. Norādītajam skaitlim ir svarīga loma matemātiskā teorija robežas, kā arī daudzos fizikālos procesos dabā, piemēram, gaisa spiediens ar augstumu uz mūsu planētas samazinās eksponenciāli, kurā bāze ir Eilera skaitlis.
Eksponenciāls sižets
Apsveriet eksponenciālās funkcijas y = a x īpašības, šim nolūkam mēs pievēršamies iepriekš parādītajam grafikam. Pirmā svarīga īpašība ir tāda, ka neatkarīgi no tā, kādā bāzē "a" funkcija ir attēlota, tā vienmēr iet caur punktu ar koordinātām (0,1), jo a 0 = 1.
No eksponenciālās atkarības grafika var arī redzēt, ka funkcija a x jebkurai mainīgā "x" vērtībām ņem tikai pozitīvas vērtības. Lielām negatīvām "x" vērtībām funkcija ātri tuvojas abscisu asij, tas ir, tai ir tendence uz nulli. Savukārt jau pie mazā pozitīvas vērtības Funkcija "x" strauji palielinās, bet arī tās pieauguma ātrums nepārtraukti palielinās saskaņā ar eksponenciālo likumu, ko var parādīt, ņemot vērā aplūkojamās funkcijas atvasinājumu ((ax) "= ln (a) * ax, kur ln (a) ir naturālais logaritms ).
Tādējādi eksponenciālā atkarība ir krasas izmaiņas noteiktā vērtībā gan uz augšu, gan uz leju.
Piemērs no šaha vēstures
Labs demonstrējums par objektu eksponenciālās izaugsmes nozīmi ir sena leģenda saistīts ar šaha izgudrošanu. Saskaņā ar šo leģendu, viena hinduistu karaļa, vārdā Belkibs, izklaidēšanai viņa tuvs draugs Brahmans Sissa 3000. g. pmē. galda spēlešahs.
Karalis bija tik priecīgs jauna spēle ka viņš apsolīja iedot Sisai visu, ko vien vēlas. Tad Brahmans Sissa ieteica viņam dot tik daudz graudu, cik ietilptu 64 šaha šūnās, savukārt 1. šūnā viņš ielika 1 graudu, 2. - 2 graudus, 3. - 4 graudus un tā tālāk, katru reizi dubultojot. Belkibs uzreiz nesaprata, cik daudz graudu viņam būs jādod, tāpēc bez vilcināšanās pieņēma drauga piedāvājumu.
Graudiņu skaits, kas iederas uz šaha dēļa pēc aprakstītā principa, ir 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 — milzu numurs!
Pasaules iedzīvotāju skaita pieaugums
Vēl viens spilgts piemērs procesiem, kas tiek aprakstīti saskaņā ar eksponenciālo atkarību, ir planētas iedzīvotāju skaita pieaugums. Tātad 1500. gadā pasaules iedzīvotāju skaits bija aptuveni 500 miljoni, 1800. gadā, tas ir, pēc 300 gadiem, tas dubultojās un kļuva vienāds ar 1 miljardu, ir pagājuši mazāk nekā 50 gadi, un pasaules iedzīvotāju skaits ir pārsniedzis 2 miljardu robežu, šobrīd iedzīvotāju skaits uz planētas Zeme ir 7,5 miljardi cilvēku.
Cilvēces piemērā aprakstītais populācijas pieaugums ir raksturīgs jebkurai bioloģiskai sugai, vai tas būtu zīdītājs vai vienšūnu baktērija. Matemātiski šo pieaugumu apraksta ar šādu formulu: N t = N 0 * e k * t, kur N t un N 0 ir populācijas lielums attiecīgi brīžos t un nulle, k ir kāds pozitīvs koeficients. Šo iedzīvotāju skaita pieauguma matemātisko modeli ekoloģijā sauc par eksponenciālo atkarību.
Eksponenciālā izaugsme planētas iedzīvotāju skaits lika man pārdomāt XIX sākums gadsimta slavenais angļu ekonomists un demogrāfs Tomass Roberts Maltuss. Zinātnieks savulaik prognozēja, ka 19. gadsimta vidū uz Zemes būs jāstājas badam, jo pārtikas ražošana pieaug lineāri, bet cilvēku skaits uz planētas pieaug eksponenciāli. Maltuss uzskatīja, ka vienīgais veids, kā panākt līdzsvaru aplūkotajā sistēmā, ir karu, epidēmiju un citu kataklizmu izraisīta masveida mirstība.
Kā zināms, zinātnieks savās drūmajās prognozēs kļūdījās, vismaz kļūdījās ar norādīto datumu.
Arheoloģisko atlieku vecums
Vēl viens spilgts dabas procesu piemērs, kas notiek saskaņā ar eksponenciālu likumu, ir radioaktīvo elementu sabrukšana. Šo fizisko parādību, kas sastāv no smago elementu kodolu pārvēršanās vieglākos kodolos, apraksta šādi. matemātiskā formula: N t = N 0 * e -k * t, kur N t un N 0 ir attiecīgi smagākā elementa kodolu skaits brīdī t un sākuma brīdī. No šīs formulas var redzēt, ka tā ir praktiski līdzīga bioloģiskās populācijas pieaugumam, vienīgā atšķirība ir mīnusa zīme eksponentā, kas norāda uz smago kodolu zudumu.
Vecuma noteikšanai tiek izmantota norādītā formula klintis un pārakmeņojušies organismi. Pēdējā gadījumā tie darbojas ar oglekļa izotopu 14 C, jo tā pussabrukšanas periods (laiks, kas nepieciešams, lai sākotnējais smago kodolu skaits samazinātos uz pusi) ir salīdzinoši īss (5700 gadi).
Citi procesi, kas pakļaujas eksponenciālajam likumam
Eksponenciālā atkarība apraksta daudzus procesus ekonomikā, ķīmijā un medicīnā. Piemēram, cilvēka organismā nonākušo medikamentu devas laika gaitā samazinās eksponenciāli. Ekonomikā arī investīciju peļņa, pamatojoties uz noteiktu sākuma kapitālu, tiek aprēķināta eksponenciāli.
Cilvēki nav īpaši labi nākotnes prognozētāji. Lielāko daļu vēstures mūsu pieredze ir bijusi “lokāla un lineāra”: mēs izmantojām tos pašus rīkus, ēdām tos pašus ēdienus un dzīvojām noteiktā vietā. Rezultātā mūsu prognozēšanas spējas ir balstītas uz intuīciju un pagātnes pieredzi. Tas izskatās pēc kāpnēm: pakāpjot dažus soļus augšup, mēs saprotam, kāds būs atlikušais ceļš pa šīm kāpnēm. Dzīvojot savu dzīvi, mēs sagaidām, ka katra jauna diena būs tāda pati kā iepriekšējā. Tomēr tagad lietas mainās.
Slavenais amerikāņu izgudrotājs un futūrists Raimonds Kurcveils savā grāmatā The Singularity Is Near raksta, ka tehnoloģiju lēciens, ko esam redzējuši pēdējo desmitgažu laikā, ir paātrinājis progresu daudzās dažādās jomās. Tas ir izraisījis negaidītas tehnoloģiskas un sociālas pārmaiņas, kas notiek ne tikai starp paaudzēm, bet arī tajās. Tagad intuitīvā pieeja nākotnes prognozēšanai nedarbojas. Nākotne vairs nerisinās lineāri, bet gan eksponenciāli: ir arvien grūtāk paredzēt, kas notiks tālāk un kad tas notiks. Tehnoloģiskā progresa tempi mūs pastāvīgi pārsteidz, un, lai tiem sekotu līdzi un iemācītos paredzēt nākotni, vispirms ir jāiemācās domāt eksponenciāli.
Kas ir eksponenciālā izaugsme?
Atšķirībā no lineārās izaugsmes, kas rodas, atkārtoti pievienojot konstantu, eksponenciālais pieaugums ir daudzkārtējs reizinājums. Ja lineārā izaugsme ir taisna līnija, kas laika gaitā ir stabila, tad eksponenciālā pieauguma līnija ir līdzīga pacelšanās. Jo lielāka vērtība ir vērtībai, jo ātrāk tā pieaug.
Iedomājieties, ka ejat pa ceļu, un katrs solis, ko sperat, izrādās metra garumā. Jūs veicat sešus soļus, un tagad esat pavirzījies sešus metrus uz priekšu. Pēc vēl 24 soļiem jūs atradīsit sevi 30 metrus no sākuma. Tā ir lineāra izaugsme.
Tagad iedomājieties (lai gan jūsu ķermenis to nevar izdarīt), iedomājieties, ka katru reizi jūsu solis tiek dubultots. Tas ir, vispirms jūs soli vienu metru, tad divus, tad četrus, tad astoņus utt. Sešos šādos soļos jūs veiksiet 32 metrus – daudz vairāk nekā sešus soļus pa vienam metram vienā reizē. Grūti noticēt, bet, ja turpināsiet tādā pašā tempā, tad pēc trīsdesmitā soļa jūs atradīsities miljarda metru attālumā no sākuma punkta. Tie ir 26 ceļojumi apkārt Zemei. Un tā ir eksponenciāla izaugsme.
Interesanti, ka katrs jauns solis ar šādu izaugsmi ir visu iepriekšējo summu summa. Tas ir, pēc 29 soļiem jūs esat nobraucis 500 miljonus metru, un jūs pārvarāt tikpat daudz vienā nākamajā, trīsdesmitajā solī. Tas nozīmē, ka jebkurš no jūsu iepriekšējiem soļiem ir nesalīdzināmi mazs attiecībā pret dažiem nākamajiem sprādzienbīstamās izaugsmes soļiem, un lielākā daļa no tiem notiek salīdzinoši īsā laika periodā. Ja jūs domājat par šo izaugsmi kā kustību no punkta A uz punktu B, tad vislielākais progress kustībā tiks sasniegts pēdējā posmā.
Mēs bieži ignorējam indikatīvās tendences agrīnās stadijas tā kā sākotnējais eksponenciālās izaugsmes temps ir lēns un pakāpenisks, to ir grūti atšķirt no lineārās izaugsmes. Turklāt bieži vien prognozes, kuru pamatā ir pieņēmums, ka kāda parādība attīstīsies eksponenciāli, var šķist neticamas, un mēs tās atmetam.
"Kad 1990. gadā sākās cilvēka genoma skenēšana, kritiķi atzīmēja, ka, ņemot vērā šī procesa sākotnējo ātrumu, genomu var skenēt tikai pēc tūkstošiem gadu. Tomēr projekts tika pabeigts jau 2003.- sniedz Raimonda Kurcveila piemēru.
V Nesen tehnoloģiju attīstība ir eksponenciāla: katru desmitgadi, katru gadu mēs varam izdarīt nesalīdzināmi vairāk nekā līdz šim.
Vai eksponenciālā izaugsme kādreiz varētu beigties?
Praksē eksponenciālās tendences nav mūžīgas. Tomēr daži no tiem var turpināties ilgu laiku, ja apstākļi ir piemēroti sprādzienbīstamai attīstībai.
Parasti eksponenciālu tendenci veido virkne secīgu S-veida tehnoloģisko dzīves ciklu vai S-līkņu. Katra līkne izskatās kā burts "S", jo tajā ir redzami trīs augšanas posmi: sākotnējā lēnā izaugsme, sprādzienbīstama izaugsme un saplacināšana, kad tehnoloģija attīstās. Šīs S līknes krustojas, un, kad viena tehnoloģija palēninās, sāk augt jauna. Ar katru jaunu S-veida attīstības pagriezienu laiks, kas nepieciešams, lai sasniegtu vairāk augsti līmeņi produktivitāte kļūst mazāka.
Piemēram, runājot par tehnoloģiju attīstību pagājušajā gadsimtā, Kurcveils uzskaita piecas skaitļošanas paradigmas: elektromehāniskās, relejus, vakuumlampas, diskrētos tranzistorus un integrālās shēmas. Kad viena tehnoloģija izsmēla savu potenciālu, nākamā sāka progresēt, un tā to darīja ātrāk nekā tās priekšgājēji.
Plānošana eksponenciālai nākotnei
Ar eksponenciālu attīstību ir ļoti grūti paredzēt, kāda būs nākotne. Izveidojiet grafiku, pamatojoties uz ģeometriskā progresija- tas ir viens, bet novērtēt, kā dzīve mainīsies pēc desmit līdz divdesmit gadiem, ir pavisam kas cits. Bet jūs varat ievērot vienkāršu īkšķa likumu: gaidīt, ka dzīve jūs ļoti pārsteigs, un plānojiet, pamatojoties uz gaidāmajiem pārsteigumiem. Citiem vārdiem sakot, var pieņemt visneticamākos rezultātus un sagatavoties tiem, it kā tie notiktu.
"Nākotne būs daudz pārsteidzošāka, nekā vairums cilvēku iedomājas. Tikai daži ir patiesi sapratuši faktu, ka pats pārmaiņu temps paātrinās.- autors Raimonds Kurcveils.
Kāda izskatīsies mūsu dzīve nākamajos piecos gados? Viens no veidiem, kā prognozēt, ir aplūkot pēdējos piecus gadus un pārnest šo pieredzi uz nākamajiem pieciem, taču tā ir “lineāra” domāšana, kas, mūsuprāt, ne vienmēr darbojas. Izmaiņu temps mainās, tāpēc pēdējo piecu gadu laikā panāktais progress nākotnē prasīs ilgāku laiku. Visticamāk, pārmaiņas, kuras jūs sagaidāt pēc pieciem gadiem, patiesībā notiks trīs vai divu gadu laikā. Nedaudz praktizējot mēs iemācīsimies labāk prognozēt turpmāko dzīves attīstību, iemācīsimies saskatīt eksponenciālās izaugsmes perspektīvas un spēsim labāk plānot savu nākotni.
Tas nav tikai interesants jēdziens. Mūsu domāšana, kas biežāk tiek saasināta lineārai attīstībai, var mūs novest strupceļā. Tieši šī lineārā domāšana liek dažiem uzņēmējiem un politiķiem pretoties pārmaiņām, viņi vienkārši nesaprot, ka attīstība notiek eksponenciālā ātrumā, un uztraucas, ka nākotni kļūst arvien grūtāk kontrolēt. Bet tas ir tieši konkurences lauks. Lai neatpaliktu no šīm pārmaiņām, vienmēr ir jābūt soli priekšā un jādara nevis tas, kas aktuāls šobrīd, bet gan tas, kas būs aktuāls un pieprasīts nākotnē, ņem vērā, ka attīstība nav lineāra, bet eksponenciāla.
Eksponenciālā domāšana samazina destruktīvo stresu, kas rodas no mūsu bailēm no nākotnes, un paver jaunas iespējas. Ja mēs varam labāk plānot savu nākotni un varam domāt eksponenciāli, mēs veicināsim pāreju no vienas paradigmas uz otru un mierīgi skatīsimies nākotnē.
Sveiki! Šodien mēs mēģināsim noskaidrot, kas ir eksponenciālā izaugsme. Eksponenciālā izaugsme ir eksponenciāls vērtības pieaugums. Vērtība pieaug ar ātrumu, kas ir proporcionāls tās vērtībai. Tas nozīmē, ka jebkuram eksponenciāli augošam daudzumam, jo lielāka vērtība ir, jo ātrāk tas aug. Apskatīsim to ar piemēru. Jūs, iespējams, atceraties no bioloģijas, ka baktērijas vairojas ĻOTI ātri. Baktēriju populācijas augšana ir līdzīga nepārtraukti iekasēto procentu pieaugumam. Es to parādīšu, kad atrisināsim problēmu. Tātad, tas ir mūsu eksponenciālās izaugsmes uzdevums. Šeit ir nosacījums: ieslēgts sākuma stadija baktēriju kolonijā ir 100 šūnas, un tā sāk augt proporcionāli tās lielumam. Pēc 1 stundas šūnu skaits palielinās līdz 420. Vispirms jāatrod izteiksme, kas parāda baktēriju skaitu t stundās. Sāksim pie tā. Baktēriju skaits, varētu teikt, ir laika funkcija. Sauksim to par b. Tātad, pierakstīsim to. Baktēriju skaitu kā funkciju no t var uzrakstīt kā b (t). Es to pierakstīšu šeit: b (t). Tādējādi baktēriju skaits kā laika funkcija ir vienāds ar: sākotnējais baktēriju skaits, tas ir, I ir nulle (ja mēs velkam analoģiju ar procentiem, tad tas ir aizdevuma pamatteksts). Šajā gadījumā mēs sākam ar šo summu. Tālāk mums ir skaitlis e līdz pakāpei kt, kur k ir sava veida eksponenciāls pieaugums. Tā ir I nulle, citiem vārdiem sakot, sākotnējā summa. t = 0, jo sākotnējā laika momentā laiks ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka visa pakāpe ir vienāda ar nulli, un visa izteiksme šeit ir vienāda ar vienu. Tas ir loģiski, vai ne? b (0) ir jābūt vienādam ar I nulli. Tādējādi, ja zināt, ar kuru vērtību sākt, kā arī ar otro vērtību, varat atrast k. Tad jūs aizstājat atrasto vērtību k vietā - un tagad esat pabeidzis pirmo uzdevuma punktu: atrodiet izteiksmi, kas parāda baktēriju skaitu t stundās. Tāpēc mans jautājums ir, ar ko es esmu vienāds ar nulli? Mēs zinām šo numuru. Šeit ir problēma: sākotnējā stadijā baktēriju kolonijā ir 100 šūnas. Tāpēc mēs zinām, ka b (0) ir vienāds ar 100. Ļaujiet man to pierakstīt citā veidā: b (0) = I nulle * e līdz pakāpei 0 = I nulle. Tāpēc baktēriju skaits pie t = 0 ir 100. Šeit mēs esam panākuši zināmu progresu risinājuma izstrādē. Tagad mēs varam teikt, ka b (t) = 100 * e līdz pakāpei kt. Tādējādi, ja mums būtu k, tad mēs varētu izpildīt pirmo uzdevuma daļu: atrast izteiksmi, kas parāda baktēriju skaitu t stundās. Kā mēs atrodam k? Bet šeit mums ir otrā baktēriju skaita vērtība: pēc 1 stundas šūnu skaits palielinās līdz 420 gabaliem. Ko tas mums saka? Ka b (1) t.i. populācija pēc 1 stundas ir 420 gab., vai tas ir vienāds ar 100 * e uz potenciālu kt. Kas ir t? t = 1, tāpēc reiziniet ar e līdz k pakāpei. Tādējādi 420 = 100 * e pakāpē k. Tagad mēs varam atrast k. Sāksim, dalot abas vienādības puses ar 100. Tātad 4,2 ... es droši vien apmainīšu vienādības puses. Tātad e līdz k pakāpei ir 4,2. Tagad, lai atrastu k, mums jāņem abu pušu naturālie logaritmi. Tādējādi k = ln (4,2). Rezultātā mēs iegūsim kādu skaitli. Mēs to atradīsim vēlāk, izmantojot kalkulatoru. Tātad, mēs vispirms šajā izteiksmē aizstājām vērtību 100, noskaidrojām, kas I ir vienāds ar nulli, un ar papildu datu palīdzību atradām k: k = ln (4,2). Tagad mums ir izteiksme, jo mēs zinām k un I kā nulli. Tāpēc šeit ir atbilde uz uzdevuma pirmo punktu: funkcija b (t) ir vienāda ar: sākotnējo daudzumu, tas ir, 100, reizināts ar e ar kt pakāpju, un tā kā k = ln (4, 2), mēs iegūstam e pakāpē (ln (4 , 2)) * t. Šādi izskatās mūsu funkcija. Tagad pāriesim uz mūsu uzdevuma otro punktu. Šeit tas ir, otrais punkts: atrodiet baktēriju skaitu 3 stundās. Tas ir viegli un vienkārši izdarāms. Mums ir funkcija un t = 3, tāpēc mēs varam atrast baktēriju skaitu 3 stundās. Tātad, b (3) = 100 * e līdz jaudai (ln (4.2) * 3). Un mēs varam aprēķināt šīs izteiksmes vērtību, ja, protams, jums ir kalkulators. Kāds ir 4,2 naturālais logaritms? Patiesībā mēs varam atrast vērtību analītiski. Tātad, tas ir tas pats, kas reizināt 100 ar e ar ln (4.2) pakāpi, un tas viss ir trešajā pakāpē, jo, ja divas pakāpes tiek reizinātas, tad tas ir līdzvērtīgs paaugstināšanai līdz pakāpei, kas nozīmē, ka mēs palielinām līdz. trešais spēks... Un, ja mēs šeit vienkāršojam, tad viss ir skaidrs. Un kas ir vienāds ar e ar ln (4.2) jaudu? Tas ir 4,2, vai ne? Dabiskais logaritms parāda, cik daudz e jāpalielina, lai iegūtu 4.2. Paskaties, es pat varu iztikt bez kalkulatora. Tādējādi 100 * (4,2) trešajā pakāpē. Un tagad mums ir jāizdomā, cik daudz (4.2) būs trešajā pakāpē. Būs ap 70. Ar to tiksim galā vēlāk. Šeit ir atbilde uz mūsu uzdevuma otro punktu. Un jūs varat atrast vērtību, izmantojot kalkulatoru. To var izdarīt pats. Kāds ir trešais punkts? Tagad mums jāatrod augšanas ātrums pēc 3 stundām. Ko viņi vēlas no mums šajā brīdī? Mums jāatrod šīs funkcijas slīpums. Citiem vārdiem sakot, mums ir jāatrod šīs funkcijas atvasinājums pie t = 3. Ļaujiet man izdzēst visu šeit, jo mēs jau esam izpildījuši šos uzdevumu punktus. Šeit jums vienkārši jārēķinās ar kalkulatoru. Gatavs. Tātad, pāriesim pie trešā punkta. Mums jāatrod pieauguma temps, tas ir, šīs funkcijas atvasinājums. Tātad funkcijas b ’(t) atvasinājums ir vienāds ar ... Ar ko tas ir vienāds? Izmantosim ķēdes likumu, t.i. kompleksās funkcijas diferenciācijas princips. Tātad, tā kā 100 ir konstante, mēs varam ierakstīt 100 pirms funkcijas. Un šīs izteiksmes atvasinājums ir vienāds ar ln (4,2), kas reizināts ar e atvasinājumu ar koeficientu ln (4,2) * t. Mēs atradām pieauguma ātrumu pie t, un mums ir jānoskaidro, ar ko tas būs vienāds ar t = 3. Tāpēc b ’(3) = 100 * ln (4,2), un mēs to visu reizinām ar e pakāpē ln (4,2) * t. Un mēs jau teicām, ka šī izteiksme ir vienkārši (4.2) t pakāpē. Tātad, šeit mēs reizinām ar (4.2) ar trešo pakāpi. Kā redzat, mēs šeit pieskārāmies logaritmu tēmai. Nu, tad viss ir viegli un vienkārši: t vietā mēs aizstājām vērtību 3. Ceru, ka jūs sapratāt. Nu, ja nē, tad varat vienkārši izmantot kalkulatoru. Bet, manuprāt, jums jāzina: e pakāpē (ln x) = x. Galu galā, kas ir (ln x)? Šī ir pakāpe, līdz kurai e jāpaaugstina, lai iegūtu x. Citiem vārdiem sakot, ja es paaugstinu e līdz pakāpei x, es saņemu x. Tas ir viss, ko es gribēju pateikt. Tātad e līdz pakāpei ((ln (4.2) uz t) = (4.2) uz t pakāpi. Kā redzat, es varu pārrakstīt mūsu sākotnējo izteiksmi šādi: 100 * (4.2) uz t pakāpi. Mums ir tikko vienkāršoja atbildi uz pirmo uzdevuma vienumu. Tas būs labāk. Tas atvieglo otrās pozīcijas atrašanu. Bet, kas attiecas uz trešo vienumu, labāk atstāt to kā ir, jo atvasinājums Šīs izteiksmes vērtību ir daudz vieglāk atrast. Mēs varam pārrakstīt šo izteiksmi šādi: b '(t) = (100 * ln (4,2)) * (4,2) uz t pakāpju. Tāpēc es tikko nomainīju šo izteiksmi uz Šis. Atvainojiet, es esmu šeit Un visbeidzot, mēs nonākam pie mūsu uzdevuma pēdējā punkta: atrast laiku, pēc kura baktēriju skaits sasniegs 10 000. Ļaujiet man, iespējams, izdzēst trešā punkta risinājumu. Pēc kura laika tas būs baktēriju skaits sasniedz 10 000? izteiksme ir nedaudz vienkāršāka. Tātad, b (t) = 100 * e pakāpē (ln (4,2) * t). Un tas ir vienāds, kā jau teicu, 100 * ( 4.2) ^ t. Mums jautā, kad baktēriju skaits sasniegs 10 000. Citiem vārdiem sakot, pie kādas t vērtības funkcija b (t) ir vienāda ar 10 000. Tātad, 10 000 = 100 * e līdz pakāpei ln (4.2) * t. Paskatīsimies, kas mums šeit ir. Mēs varam dalīt abas vienādības puses ar 100. Tāpēc 100 = e pakāpei (ln (4,2) * t). Tagad mēs varam rakstīt abas daļas kā naturālos logaritmus. Ko mēs šeit varam darīt? Es ņemšu citu krāsu, ln100 ir vienāds ar ..., un, ja mēs zināmā mērā ņemam e naturālo logaritmu, tad mēs iegūstam tikai šīs pakāpes vērtības naturālo logaritmu. Citiem vārdiem sakot, mums paliek tikai izteiksmes logaritms, kas ir spēkā. Tātad pierakstīsim šo: ln100 = ln (4,2) * t. Un, lai atrastu t, mums ir jāsadala abas vienādības puses ar ln (4,2). Tāpēc t = (ln100) / (ln (4,2)) Šādi mēs atrodam laiku, pēc kura baktēriju skaits sasniegs 10 000. Atliek tikai paņemt kalkulatoru un atrast šīs izteiksmes vērtību. Tagad jautrības pēc apsvērsim mūsu izteiksmes vienkāršotu versiju. Tātad, ko mēs iegūtu: 100 * (4,2) ar pakāpju t = 10 000. Sadaliet abas vienādības puses ar 100. Tādējādi (4.2) ar pakāpju t = 100. Un, lai to atrisinātu, mums ir jāņem logaritms uz bāzi 4.2. Tāpēc t ir vienāds ar logaritma bāzi 4.2 no 100. Mēs pie tā atgriezīsimies video par logaritma īpašībām. Ir ļoti svarīgi zināt, kā aprēķināt logaritmu līdz skaitļa bāzei. Tā kā kalkulatorā var atrast tikai logaritmu līdz bāzei e vai 10. Bet kā atrast logaritmu jebkura cita skaitļa bāzei? Mana atbilde ir ļoti vienkārša: vienkārši ņemiet naturālo logaritmu 100 un izdaliet to ar šīs vērtības naturālo logaritmu. Vai arī decimāllogaritms 100 un dalīt ar logaritmu decimāldaļu 4.2. Tas arī viss, ar to mēs, iespējams, beigsim, lai jūsu galvā viss nesajauktos. Tātad šajā nodarbībā mēs apskatījām eksponenciālo izaugsmi. Mēs varētu rakstīt “sākotnējā iemaksas summa ir 100 un aug proporcionāli tās lielumam”, nevis “baktēriju kolonija”. Tad tie būtu saliktie procenti. Un te varētu teikt, ka “pēc 1 stundas summa pieauga, teiksim, par 4, 2 dolāriem. Tādā gadījumā mēs meklētu nepārtrauktu interesi. Kopumā tas ir tas pats. Nav svarīgi, ko tieši mēs apsveram. Nākotnē es parādīšu vēl dažus piemērus par šo tēmu, un mēs arī apsvērsim eksponenciālās samazināšanās problēmu. Uz drīzu redzēšanos!