Kas ir daudzstūris? Daudzstūru veidi. DAUDZStūris, plakana ģeometriska figūra ar trim vai vairākām malām, kas krustojas trīs vai vairāk punktos (virsotnēs). Definīcija. Daudzstūris ir ģeometriska figūra, ko no visām pusēm ierobežo slēgta lauzta līnija, kas sastāv no trim vai vairāk segmentiem (saites). Trijstūris noteikti ir daudzstūris. Daudzstūris ir figūra, kurai ir pieci vai vairāk stūri.
Definīcija. Četrstūris ir plakana ģeometriska figūra, kas sastāv no četriem punktiem (četrstūra virsotnēm) un četriem segmentiem, kas tos virknē savieno (četrstūra malas).
Taisnstūris ir četrstūris ar visiem taisniem leņķiem. Tos nosauc pēc malu vai virsotņu skaita: TRIANGLE (trīspusējs); CETRSTŪĶIS (četrpusējs); PENTAGONS (piecpusējs) utt. Elementārajā ģeometrijā M. ir figūra, ko ierobežo taisnas līnijas, ko sauc par malām. Punktus, kuros malas krustojas, sauc par virsotnēm. Daudzstūrim ir vairāk nekā trīs stūri. Tātad pieņemts vai saskaņots.
Trijstūris ir trīsstūris. Un četrstūris arī nav daudzstūris, un to arī nesauc par četrstūri - tas ir vai nu kvadrāts, vai rombs, vai trapece. Tas, ka daudzstūrim ar trim malām un trim leņķiem ir pašu vārdu"trijstūris" tam neatņem daudzstūra statusu.
Skatiet, kas ir "POLYGON" citās vārdnīcās:
Uzzinām, ka šo figūru ierobežo slēgta lauzta līnija, kas savukārt var būt vienkārša, slēgta. Parunāsim par to, ka daudzstūri ir plakani, regulāri, izliekti. Kurš gan nav dzirdējis par noslēpumaino bermudu trīsstūris kuros kuģi un lidmašīnas pazūd bez vēsts? Bet trīsstūris, kas mums pazīstams no bērnības, ir pilns ar daudzām interesantām un noslēpumainām lietām.
Lai gan, protams, figūru, kas sastāv no trim leņķiem, var uzskatīt arī par daudzstūri
Bet ar to nepietiek, lai raksturotu figūru. Pārtraukta līnija A1A2…An ir figūra, kas sastāv no punktiem A1,A2,…An un tos savienojošiem segmentiem A1A2, A2A3,…. Vienkāršu slēgtu lauztu līniju sauc par daudzstūri, ja tās blakus saites neatrodas uz vienas taisnes (5. att.). Vārdā “daudzstūris” daļas “daudz” vietā aizstājiet konkrētu skaitli, piemēram, 3. Iegūsiet trīsstūri. Ņemiet vērā, ka ir tik daudz leņķu, cik malu, tāpēc šīs figūras var saukt par daudzpusējām.
Pieņemsim, ka А1А2…А n ir dots izliekts daudzstūris un n>3. Iezīmējiet tajā (no vienas virsotnes) diagonāles
Katra trijstūra leņķu summa ir 1800, un šo trīsstūru skaits ir n - 2. Tāpēc izliekta n - stūra A1A2 ... A n leņķu summa ir 1800 * (n - 2). Teorēma ir pierādīta. Izliekta daudzstūra ārējais leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējam leņķim šajā virsotnē.
Četrstūrī novelciet līniju tā, lai tā to sadalītu trīs trīsstūros
Četrstūrim vienā taisnē nekad nav trīs virsotnes. Vārds "daudzstūris" norāda, ka visām šīs dzimtas figūrām ir "daudz stūru". Lauztu līniju sauc par vienkāršu, ja tai nav paškrustojumpunktu (2.,3. att.).
Pārrautas līnijas garums ir tās saišu garumu summa (4. att.). Gadījumā, ja n=3 teorēma ir spēkā. Tātad kvadrātu var saukt dažādi - regulārs četrstūris. Šādas figūras jau sen ir interesējušas meistarus, kas dekorēja ēkas.
Virsotņu skaits ir vienāds ar malu skaitu. Lauztu līniju sauc par slēgtu, ja tās gali sakrīt. Viņi veidoja skaistus rakstus, piemēram, uz parketa. Mūsu piecstaru zvaigzne ir parasta piecstūra zvaigzne.
Bet ne visus regulāros daudzstūrus varēja izmantot parketa veidošanai. Sīkāk apskatīsim divu veidu daudzstūru: trīsstūri un četrstūri. Daudzstūri, kurā visi iekšējie leņķi ir vienādi, sauc par regulāru daudzstūri. Daudzstūri tiek nosaukti pēc to malu vai virsotņu skaita.
Ģeometrijas gaitā mēs pētām geo-met-ri-che-sky figūru īpašības un jau esam apskatījuši vienkāršāko no tiem: trīsstūrveida-ni-ki un apkārtni. Tajā pašā laikā mēs apspriežam, vai un konkrētiem šo figūru gadījumiem, piemēram, taisnstūrveida, vienāds-nabadzīgajiem un taisnleņķa trīsstūris-no-ki. Tagad ir pienācis laiks runāt par vispārīgāku un sarežģītāku fi-gu-rah - daudz-ogļu-no-kah.
Ar privātu lietu daudz-ogļu-ni-kov mēs jau zinām – tas ir trīsstūris (skat. 1. att.).
Rīsi. 1. Trīsstūris-niks
Pašā nosaukumā jau ir zem-cher-ki-va-et-sya, ka tas ir fi-gu-ra, kādam ir trīs stūri. Blakus-va-tel-bet, iekšā daudz ogļu to var būt daudz, t.i. vairāk nekā trīs. Piemēram, piecu ogļu niķa attēls (skat. 2. att.), t.i. fi-gu-ru ar pieciem leņķiem-la-mi.
Rīsi. 2. Piecogļu niķis. Tu-tālu-ly-vairāku ogļu-iesauka
Definīcija.Daudzstūris- fi-gu-ra, kas sastāv no vairākiem punktiem (vairāk nekā diviem) un atbilst atbildei uz th kov, kāds-rudzi tos pēc-to-va-tel-bet apvienot-ed-nya-yut. Šie punkti ir on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi daudz ogļu-no-ka, bet no-ciršanas - simtro-on-mi. Tajā pašā laikā nevienas divas blakus esošās malas neatrodas uz vienas taisnas līnijas un nevienas divas blakus esošās malas neatrodas atkārtoti se-ka-yut-sya .
Definīcija.Pa labi uz priekšu vairāku ogļu segvārds- tas ir izliekts poli-ogļu niķis, kādam-ro-go visas malas un leņķi ir vienādi.
Jebkurš daudzstūris de-la-et plakni divos reģionos: iekšējā un ārējā. Iekšējā-ren-ny zona ir arī no-but-syat līdz daudz ogļu.
Citiem vārdiem sakot, piemēram, runājot par piecām oglēm-ni-ke, viņi domā gan visu tās iekšējo reģionu, gan pierobežas tsu. Un reģiona iekšējai ren-it no-no-syat-sya un visiem punktiem daži-rudzi atrodas iekšā daudz-of-ogles-no-ka, t.i. punkts ir arī no-bet-sit-Xia uz piecām oglēm-no-ku (skat. 2. att.).
Daudzas ogles-no-ki joprojām dažkārt tiek sauktas par n-coal-no-ka-mi, lai uzsvērtu, ka tas ir izplatīts gadījums, kad tēja uz-kaut ko-kā-nezināms. -stūru skaits (n gab.).
Definīcija. Pe-ri-metrs daudz-ogļu-no-ka- multi-coal-no-ka malu garumu summa.
Tagad jums ir jāzina-to-know ar viedokli daudz-ogļu-no-kov. Viņi de-lyat-xia on tu-lielgabarīta un nav lielgabarīta. Piemēram, poli-ogļu niķis, kas attēlots attēlā. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, un attēlā. 3 ne-ķekars-lym.
Rīsi. 3. Neizliekts poli-ogļu niķis
2. Izliekti un neizliekti daudzstūri
Les 1 definēšana. Daudzstūris na-zy-va-et-sya tu pīpē, ja kad pro-ve-de-nii ir tieši caur kādu no tās pusēm, veselums daudzstūris atrodas tikai viens simts ro-akas no šīs taisnes. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya visu pārējo daudz ogļu.
Ir viegli iedomāties, ka, pagarinot jebkuru piecu ogļu-no-ka pusi attēlā. 2 viņš ir viss ok-zhet-sya viens simts-ro-labi no šīs taisnās raktuves, t.i. viņš ir izspiedies. Bet, kad pro-ve-de-nii ir taisni cauri četriem-you-rech-coal-no-ke attēlā. 3, mēs jau redzam, ka viņa to sadala divās daļās, t.i. viņš nav apjomīgs.
Bet ir vēl viens def-de-le-nie you-pump-lo-sti daudz-of-ogles-no-ka.
Opré-de-le-nie 2. Daudzstūris na-zy-va-et-sya tu pīpē, ja atlasot kādus divus tā iekšējos punktus un savienojot tos no griezuma, visi griezuma punkti ir arī iekšējie -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.
Šīs de-le-cijas definīcijas izmantošanas demonstrāciju var redzēt piemērā par būvniecību no griezumiem attēlā. 2. un 3.
Definīcija. Dia-go-na-lew many-coal-no-ka-za-va-et-sya jebkurš no-re-zok, savienojot divus, nesavienojot tā galotnes.
3. Teorēma par izliekta n-stūra iekšējo leņķu summu
Lai aprakstītu daudzstūru īpašības, ir divas svarīgas teorijas par to leņķiem: theo-re-ma par you-bunch-lo-go-many-coal-no-ka iekšējo leņķu summu un teo-re-ma par ārējo leņķu summu. Apskatīsim tos.
Teorēma. Par iekšējo leņķu summu you-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-ogles-no-ka).
Kur ir tā stūru (sānu) skaits.
Do-for-tel-stvo 1. Attēls-ra-ziema attēlā. 4 izliekts n-leņķa segvārds.
Rīsi. 4. You-bump-ly n-angle-nick
No augšas mēs atbalstām visus iespējamos dialogus. Viņi sadala n-leņķa niku trīsstūrī-no-ka, jo katrai no malām ir vairāku ogļu-no-ka-ra-zu-et trīsstūris-nick, izņemot malas, kas atrodas blakus riepas augšai. No ri-sun-ku ir viegli redzēt, ka visu šo trīsstūru leņķu summa būs precīzi vienāda ar n-leņķa-ni-ka iekšējo leņķu summu. Tā kā jebkura trīsstūra-no-ka leņķu summa, tad n-leņķa-no-ka iekšējo leņķu summa:
Do-ka-for-tel-stvo 2. Ir iespējams un vēl viens do-ka-for-tel-stvo no šī teo-re-mēs. Analoga n-leņķa attēls attēlā. 5 un savienojiet jebkuru no tā iekšējiem punktiem ar visām virsotnēm.
We-be-chi-vai raz-bi-e-ne n-angle-no-ka uz n tri-angle-ni-kov (cik malu, tik daudz trijstūri-ni-kov ). Visu to leņķu summa ir vienāda ar multi-coal-none iekšējo leņķu summu un leņķu summu iekšējā punktā, un tas ir leņķis. Mums ir:
Q.E.D.
Pirms-par-bet.
Saskaņā ar do-ka-zan-noy theo-re-me ir skaidrs, ka leņķu n-coal-no-ka summa ir atkarīga no tā malu skaita (no n). Piemēram, trijstūrī-ne-ke, un leņķu summa. In four-you-reh-coal-ni-ke, un leņķu summa - utt.
4. Teorēma par izliekta n-stūra ārējo leņķu summu
Teorēma. Par ārējo leņķu summu you-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-ogles-no-ka).
Kur ir tā leņķu (malu) skaits un, ..., ir ārējie leņķi.
Pierādījums. Attēls-ra-zim izliekts n-leņķis-nick attēlā. 6 un apzīmē tā iekšējos un ārējos leņķus.
Rīsi. 6. Jūs esat izliekts n-ogļu niķis ar apzīmējumu ārējie-ni-stūri-la-mi
Jo ārējais stūris ir savienots ar iekšējo stūri kā blakus, tad 
un līdzīgi pārējiem ārējiem stūriem. Pēc tam:
Pre-ob-ra-zo-va-niy laikā mēs izmantojām-zo-va-lied jau to-ka-zan-my theo-re-mine par iekšējo leņķu summu n-angle-no- ka .
Pirms-par-bet.
No pre-ka-zan-noy theo-re-mēs sekojam in-te-res-ny faktam, ka izliektā-lo-tā n-leņķa ārējo leņķu summa ir vienāda ar 
no tā stūru (sānu) skaita. Starp citu, atkarībā no iekšējo leņķu summas.
Tālāk mēs strādāsim frakcionētā veidā ar konkrētu gadījumu, kad ir daudz ogļu-no-kov — che-you-rekh-coal-no-ka-mi. Nākamajā nodarbībā iepazīsim tādu fi-gu-baru kā par-ral-le-lo-gram un pārrunāsim tā īpašības.
AVOTS
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Plaknes daļu, ko ierobežo slēgta lauzta līnija, sauc par daudzstūri.
Šīs lauztās līnijas segmentus sauc ballītēm daudzstūris. AB, BC, CD, DE, EA (1. att.) - daudzstūra ABCDE malas. Daudzstūra visu malu summu sauc par daudzstūra malu summu perimetrs.
Daudzstūris tiek saukts izliekts, ja tas atrodas vienā pusē no jebkuras tās malas, izstiepts bezgalīgi aiz abām virsotnēm.
Daudzstūris MNPKO (1. att.) nebūs izliekts, jo tas atrodas vairāk nekā vienā taisnes KP pusē.
Mēs apskatīsim tikai izliektus daudzstūrus.
Leņķi, kas sastāv no diviem kaimiņu puses daudzstūris, to sauca iekšējais stūri un to augšdaļas - daudzstūru virsotnes.
Līnijas posmu, kas savieno divas daudzstūra neblakus virsotnes, sauc par daudzstūra diagonāli.
AC, AD - daudzstūra diagonāles (2. att.).
Stūrus, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējiem stūriem, sauc par daudzstūra ārējiem stūriem (3. att.).
Atkarībā no leņķu (malu) skaita daudzstūri sauc par trīsstūri, četrstūri, piecstūri utt.
Tiek uzskatīts, ka divi daudzstūri ir vienādi, ja tos var uzklāt.
Ierakstīti un norobežoti daudzstūri
Ja visas daudzstūra virsotnes atrodas uz apļa, tad daudzstūri sauc ierakstīts apli un apli aprakstīts netālu no daudzstūra (att.).
Ja visas daudzstūra malas ir pieskares riņķim, tad daudzstūri sauc aprakstīts ap apli, un apli sauc ierakstīts daudzstūrī (att.).
Daudzstūru līdzība
Divus viena nosaukuma daudzstūrus sauc par līdzīgiem, ja viena no tiem leņķi ir attiecīgi vienādi ar otra leņķiem un daudzstūru līdzīgās malas ir proporcionālas.
Daudzstūrus ar vienādu malu (leņķu) skaitu sauc par tāda paša nosaukuma daudzstūriem.
Līdzīgu daudzstūru malas sauc par līdzīgām, ja tās savieno attiecīgi vienādu leņķu virsotnes (att.).
Tātad, piemēram, lai daudzstūris ABCDE būtu līdzīgs daudzstūrim A'B'C'D'E', ir nepieciešams, lai: E = ∠E' un papildus AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Līdzīgu daudzstūru perimetru attiecība
Pirmkārt, apsveriet vienādu attiecību sērijas īpašību. Pieņemsim, piemēram, attiecības: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.
Atradīsim šo attiecību iepriekšējo dalībnieku summu, pēc tam - to nākamo dalībnieku summu un atrodam saņemto summu attiecību, iegūstam:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
To pašu iegūstam, ja ņemam vairākas citas attiecības, piemēram: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 un tad atrodam šo summu attiecību, mēs iegūstam:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
Abos gadījumos vienādu attiecību sērijas iepriekšējo locekļu summa ir saistīta ar tās pašas sērijas nākamo locekļu summu, jo jebkuras šīs attiecības iepriekšējais dalībnieks ir saistīts ar nākamo.
Mēs secinājām šo īpašību, apsverot vairākus skaitliskus piemērus. To var secināt stingri un vispārīgi.
Tagad apsveriet līdzīgu daudzstūru perimetru attiecību.
Lai daudzstūris ABCDE ir līdzīgs daudzstūrim A'B'C'D'E' (att.).
No šo daudzstūru līdzības izriet, ka
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Pamatojoties uz iegūto vienādu attiecību sērijas īpašību, mēs varam rakstīt:
Mūsu ņemto attiecību iepriekšējo nosacījumu summa ir pirmā daudzstūra (P) perimetrs, un šo attiecību turpmāko nosacījumu summa ir otrā daudzstūra perimetrs (P '), tātad P / P ' = AB / A'B'.
Tāpēc līdzīgu daudzstūru perimetri ir saistīti kā to atbilstošās malas.
Līdzīgu daudzstūru laukumu attiecība
Lai ABCDE un A'B'C'D'E' ir līdzīgi daudzstūri (att.).
Ir zināms, ka ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' un ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Turklāt,
;
Tā kā šo proporciju otrās attiecības ir vienādas, kas izriet no daudzstūru līdzības, tad
Izmantojot vienādu attiecību sērijas īpašību, mēs iegūstam:
Or 
kur S un S' ir šo līdzīgo daudzstūru laukumi.
Tāpēc līdzīgu daudzstūru laukumi ir saistīti kā līdzīgu malu kvadrāti.
Iegūto formulu var pārvērst šādā formā: S / S '= (AB / A'B') 2
Patvaļīga daudzstūra laukums
Lai aprēķinātu patvaļīga četrstūra ABDC laukumu (Zīm.).
Iezīmēsim tajā diagonāli, piemēram AD. Iegūstam divus trijstūrus ABD un ACD, kuru laukumus varam aprēķināt. Tad mēs atrodam šo trīsstūru laukumu summu. Rezultātā iegūtā summa izteiks dotā četrstūra laukumu.
Ja jums ir jāaprēķina piecstūra laukums, mēs rīkojamies tāpat: no vienas no virsotnēm zīmējam diagonāles. Mēs iegūstam trīs trīsstūrus, kuru laukumus varam aprēķināt. Tātad mēs varam atrast šī piecstūra laukumu. Mēs darām to pašu, aprēķinot jebkura daudzstūra laukumu.
Daudzstūra projekcijas laukums
Atgādinām, ka leņķis starp līniju un plakni ir leņķis starp noteiktu līniju un tās projekciju uz plakni (Zīm.).
Teorēma. Daudzstūra ortogonālās projekcijas laukums uz plakni ir vienāds ar projicētā daudzstūra laukumu, kas reizināts ar daudzstūra plaknes un projekcijas plaknes veidotā leņķa kosinusu.
Katru daudzstūri var sadalīt trīsstūros, kuru laukumu summa ir vienāda ar daudzstūra laukumu. Tāpēc pietiek pierādīt teorēmu trijstūrim.
Ļaujiet ΔABC projicēt plaknē R. Apsveriet divus gadījumus:
a) viena no malām ΔABS ir paralēla plaknei R;
b) neviena no malām ΔABC nav paralēla R.
Apsveriet pirmais gadījums: let [AB] || R.
Zīmējiet cauri (AB) plaknei R 1 || R un projicējiet ortogonāli ΔABC uz R 1 un tālāk R(rīsi.); mēs iegūstam ΔABC 1 un ΔA’B’C’.
Pēc projekcijas īpašībām mums ir ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, un tāpēc
S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'
Uzzīmēsim ⊥ un nogriezni D 1 C 1 . Tad ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ ir leņķis starp plakni ΔABC un plakni R viens . Tātad
S ∆ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ
un tāpēc S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.
Pāriesim pie apsvēršanas otrais gadījums. Uzzīmējiet plakni R 1 || R caur šo virsotni ΔАВС, attālums, no kura līdz plaknei R mazākais (lai tā būtu virsotne A).
Izstrādāsim ΔABC lidmašīnā R 1 un R(rīsi.); lai tā projekcijas būtu attiecīgi ΔAB 1 C 1 un ΔA’B’C’.
Ļaujiet (BC) ∩ lpp 1 = D. Tad
S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Citi materiāliTrīsstūris, kvadrāts, sešstūris - šīs figūras ir zināmas gandrīz ikvienam. Bet ne visi zina, kas ir regulārs daudzstūris. Bet tas viss ir viens un tas pats Regulāro daudzstūri sauc par tādu, kuram ir vienādi leņķi un malas. Šādu skaitļu ir daudz, taču tiem visiem ir vienādas īpašības, un uz tiem attiecas vienas un tās pašas formulas.
Regulāru daudzstūru īpašības
Jebkuru regulāru daudzstūri, neatkarīgi no tā, vai tas ir kvadrāts vai astoņstūris, var ierakstīt aplī. Šo pamata īpašību bieži izmanto, veidojot figūru. Turklāt apli var ierakstīt arī daudzstūrī. Šajā gadījumā saskares punktu skaits būs vienāds ar tā malu skaitu. Ir svarīgi, lai riņķim, kas ierakstīts regulārā daudzstūrī, būtu ar to kopīgs centrs. Šīs ģeometriskas figūras pakļaujas tām pašām teorēmām. Jebkura regulāra n-stūra mala ir saistīta ar ap to esošā apļa rādiusu R. Tāpēc to var aprēķināt, izmantojot šādu formulu: a = 2R ∙ sin180°. Caur jūs varat atrast ne tikai daudzstūra malas, bet arī perimetru.
Kā atrast regulāra daudzstūra malu skaitu
Jebkurš sastāv no noteikta skaita segmentu, kas ir vienādi viens ar otru, kuri, savienojoties, veidojas slēgta līnija. Šajā gadījumā ir visi izveidotās figūras stūri vienāda vērtība. Daudzstūri ir sadalīti vienkāršos un sarežģītos. Pirmajā grupā ietilpst trīsstūris un kvadrāts. Sarežģītiem daudzstūriem ir vairāk puses. Tajos ietilpst arī zvaigžņu formas figūras. Sarežģītiem regulāriem daudzstūriem malas tiek atrastas, ierakstot tās aplī. Sniegsim pierādījumu. Uzzīmējiet regulāru daudzstūri ar patvaļīgu skaitu malu n. Aprakstiet apli ap to. Norādiet rādiusu R. Tagad iedomājieties, ka ir dots kāds n-stūris. Ja tā leņķu punkti atrodas uz apļa un ir vienādi viens ar otru, tad malas var atrast pēc formulas: a = 2R ∙ sinα: 2.
Ierakstīta taisnleņķa trijstūra malu skaita atrašana
Vienādmalu trīsstūris ir regulārs daudzstūris. Uz to attiecas tās pašas formulas, kas uz kvadrātu un n-stūri. Trijstūris tiks uzskatīts par pareizu, ja tam ir vienāda garuma malas. Šajā gadījumā leņķi ir 60⁰. Izveidojiet trīsstūri ar norādīto malas garumu a. Zinot tā vidējo un augstumu, jūs varat atrast tā sānu vērtību. Lai to izdarītu, mēs izmantosim metodi, lai atrastu, izmantojot formulu a \u003d x: cosα, kur x ir mediāna vai augstums. Tā kā visas trijstūra malas ir vienādas, mēs iegūstam a = b = c. Tad tā būs patiesība šādu paziņojumu a \u003d b \u003d c \u003d x: cosα. Līdzīgi var atrast malu vērtību vienādsānu trijstūrī, bet x būs dotais augstums. Tajā pašā laikā tam jābūt stingri projicētam uz figūras pamatnes. Tātad, zinot augstumu x, mēs atrodam vienādsānu trīsstūra malu a, izmantojot formulu a \u003d b \u003d x: cosα. Pēc a vērtības atrašanas var aprēķināt bāzes c garumu. Pielietosim Pitagora teorēmu. Mēs meklēsim pusi bāzes c vērtību: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tad c = 2xtanα. kā šis vieglā ceļā atrodiet jebkura ierakstīta daudzstūra malu skaitu.
Riņķī ierakstīta kvadrāta malu aprēķināšana
Tāpat kā jebkuram citam ierakstītam regulāram daudzstūrim, kvadrātam ir vienādas malas un leņķi. Uz to attiecas tās pašas formulas kā uz trīsstūri. Jūs varat aprēķināt kvadrāta malas, izmantojot diagonāles vērtību. Apsvērsim šo metodi sīkāk. Ir zināms, ka diagonāle sadala leņķi uz pusēm. Sākotnēji tā vērtība bija 90 grādi. Tādējādi pēc sadalīšanas veidojas divi.To leņķi pie pamatnes būs vienādi ar 45 grādiem. Attiecīgi katra kvadrāta mala būs vienāda, tas ir: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kur e ir kvadrāta diagonāle vai pamatne. taisnleņķa trīsstūris, kas veidojas pēc dalīšanas. Tas nav vienīgais veids, kā atrast kvadrāta malas. Iezīmēsim šo figūru aplī. Zinot šī apļa R rādiusu, mēs atrodam kvadrāta malu. Mēs to aprēķināsim šādi a4 = R√2. Regulāro daudzstūru rādiusus aprēķina pēc formulas R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kur a ir malas garums.
Kā aprēķināt n-stūra perimetru
N-stūra perimetrs ir visu tā malu summa. To ir viegli aprēķināt. Lai to izdarītu, jums jāzina visu pušu vērtības. Dažiem daudzstūru veidiem ir īpašas formulas. Tie ļauj daudz ātrāk atrast perimetru. Ir zināms, ka jebkuram regulāram daudzstūrim ir vienādas malas. Tāpēc, lai aprēķinātu tā perimetru, pietiek zināt vismaz vienu no tiem. Formula būs atkarīga no figūras malu skaita. Kopumā tas izskatās šādi: P \u003d an, kur a ir malas vērtība un n ir leņķu skaits. Piemēram, lai atrastu parastā astoņstūra perimetru ar malu 3 cm, tas jāreizina ar 8, tas ir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Sešstūrim, kura mala ir 5 cm, mēs aprēķinām šādi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Un tā katram daudzstūrim.
Paralelograma, kvadrāta un romba perimetra atrašana
Atkarībā no tā, cik malu ir parastajam daudzstūrim, tiek aprēķināts tā perimetrs. Tas ievērojami atvieglo uzdevumu. Patiešām, atšķirībā no citām figūrām, šajā gadījumā nav nepieciešams meklēt visas tās puses, pietiek ar vienu. Ar to pašu principu mēs atrodam četrstūru perimetru, tas ir, kvadrātu un rombu. Neskatoties uz to, ka tie ir dažādi skaitļi, to formula ir vienāda P = 4a, kur a ir mala. Ņemsim piemēru. Ja romba vai kvadrāta mala ir 6 cm, tad perimetru atrodam šādi: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Paralelogramam ir tikai pretējās malas. Tāpēc tā perimetru nosaka, izmantojot citu metodi. Tātad mums ir jāzina figūras garums a un platums b. Tad pielietojam formulu P \u003d (a + c) ∙ 2. Paralelogramu, kurā visas malas un leņķi starp tiem ir vienādi, sauc par rombu.
Vienādmalu un taisnstūra trīsstūra perimetra atrašana
Pareizā perimetru var atrast pēc formulas P \u003d 3a, kur a ir malas garums. Ja tas nav zināms, to var atrast, izmantojot mediānu. AT taisnleņķa trīsstūris tikai divas puses ir vienādas. Pamatu var atrast caur Pitagora teorēmu. Kad ir zināmas visu trīs malu vērtības, mēs aprēķinām perimetru. To var atrast, izmantojot formulu P \u003d a + b + c, kur a un b ir vienādas malas, un c ir bāze. Atgādiniet, ka vienādsānu trijstūrī a \u003d b \u003d a, tātad a + b \u003d 2a, tad P \u003d 2a + c. Piemēram, vienādsānu trijstūra mala ir 4 cm, atrodiet tā pamatu un perimetru. Mēs aprēķinām hipotenūzas vērtību saskaņā ar Pitagora teorēmu c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Tagad mēs aprēķinām perimetru P \u003d \u003d \u0030. u003d 13,65 cm.
Kā atrast regulāra daudzstūra leņķus
Regulārs daudzstūris mūsu dzīvē sastopams katru dienu, piemēram, parasts kvadrāts, trīsstūris, astoņstūris. Šķiet, ka nav nekā vienkāršāka kā pašam izveidot šo figūru. Bet tas ir tikai no pirmā acu uzmetiena. Lai izveidotu jebkuru n-stūri, jums jāzina tā leņķu vērtība. Bet kā tos atrast? Vairāk senatnes zinātnieki mēģināja veidot regulārus daudzstūrus. Viņi uzminēja tos ievietot aprindās. Un tad uz tā tika atzīmēti nepieciešamie punkti, kas savienoti ar taisnām līnijām. Vienkāršām figūrām būvniecības problēma ir atrisināta. Ir iegūtas formulas un teorēmas. Piemēram, Eiklīds savā slavenajā darbā "Sākums" nodarbojās ar uzdevumu risināšanu 3, 4, 5, 6 un 15 goniem. Viņš atrada veidus, kā tos konstruēt un atrast leņķus. Apskatīsim, kā to izdarīt 15 gonu gadījumā. Vispirms jums jāaprēķina tā iekšējo leņķu summa. Nepieciešams izmantot formulu S = 180⁰(n-2). Tātad, mums ir dots 15 gonu, kas nozīmē, ka skaitlis n ir 15. Mēs aizstājam formulā zināmos datus un iegūstam S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Mēs esam atraduši visu 15 gonu iekšējo leņķu summu. Tagad mums ir jāiegūst katra no tām vērtība. Leņķi kopā ir 15. Veicam 2340⁰ aprēķinu: 15 = 156⁰. Tātad katrs iekšējais stūris ir vienāds ar 156⁰, tagad ar lineāla un kompasa palīdzību jūs varat izveidot parastu 15 gonu. Bet kā ir ar sarežģītākiem n-goniem? Gadsimtiem ilgi zinātnieki ir cīnījušies, lai atrisinātu šo problēmu. To tikai 18. gadsimtā atrada Kārlis Frīdrihs Gauss. Viņš spēja uzbūvēt 65537-gon. Kopš tā laika problēma oficiāli tiek uzskatīta par pilnībā atrisinātu.
N-stūru leņķu aprēķins radiānos
Protams, ir vairāki veidi, kā atrast daudzstūru stūrus. Visbiežāk tos aprēķina grādos. Bet jūs varat arī izteikt tos radiānos. Kā to izdarīt? Ir nepieciešams rīkoties šādi. Vispirms noskaidrojam regulāra daudzstūra malu skaitu, pēc tam no tā atņemam 2. Tātad iegūstam vērtību: n - 2. Reiziniet atrasto starpību ar skaitli n (“pi” \u003d 3.14). Tagad atliek tikai iegūto reizinājumu dalīt ar leņķu skaitu n-gonā. Apsveriet šos aprēķinus, izmantojot tās pašas piecpadsmitpusējas piemēru. Tātad, skaitlis n ir 15. Pielietosim formulu S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Tas, protams, nav vienīgais veids, kā aprēķināt leņķi radiānos. Jūs varat vienkārši sadalīt leņķa lielumu grādos ar skaitli 57,3. Galu galā šie daudzi grādi ir līdzvērtīgi vienam radiānam.
Leņķu vērtības aprēķins grādos
Papildus grādiem un radiāniem varat mēģināt atrast regulāra daudzstūra leņķu vērtību gradās. Tas tiek darīts šādā veidā. No kopējā leņķu skaita atņemiet 2, iegūto starpību sadaliet ar regulāra daudzstūra malu skaitu. Atrasto rezultātu reizinām ar 200. Starp citu, tādu leņķu mērvienību kā grādi praktiski neizmanto.
N-stūru ārējo stūru aprēķins
Jebkuram regulāram daudzstūrim papildus iekšējam var aprēķināt arī ārējo leņķi. Tās vērtība tiek noteikta tāpat kā citiem skaitļiem. Tātad, lai atrastu parastā daudzstūra ārējo stūri, jums jāzina iekšējā daudzstūra vērtība. Turklāt mēs zinām, ka šo divu leņķu summa vienmēr ir 180 grādi. Tāpēc mēs veicam aprēķinus šādi: 180⁰ mīnus iekšējā leņķa vērtība. Mēs atrodam atšķirību. Tas būs vienāds ar tai blakus esošā leņķa vērtību. Piemēram, kvadrāta iekšējais stūris ir 90 grādi, tātad ārējais leņķis būs 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kā redzam, to atrast nav grūti. ārējais stūris var iegūt vērtību no +180⁰ līdz -180⁰.