Starp visu logaritmisko nevienādību dažādību atsevišķi tiek pētītas nevienādības ar mainīgu bāzi. Tos risina pēc īpašas formulas, kuru nez kāpēc reti māca skolā:
log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0
Jackdaw "∨" vietā varat ievietot jebkuru nevienlīdzības zīmi: vairāk vai mazāk. Galvenais, lai abās nevienādībās zīmes būtu vienādas.
Tātad mēs atbrīvojamies no logaritmiem un samazinām problēmu līdz racionālai nevienlīdzībai. Pēdējo ir daudz vieglāk atrisināt, taču, atmetot logaritmus, var parādīties papildu saknes. Lai tos nogrieztu, pietiek ar apgabala atrašanu atļautās vērtības. Ja esat aizmirsis logaritma ODZ, ļoti iesaku to atkārtot - skatiet sadaļu "Kas ir logaritms".
Viss, kas saistīts ar pieļaujamo vērtību diapazonu, ir jāizraksta un jāatrisina atsevišķi:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Šīs četras nevienlīdzības veido sistēmu, un tās jāizpilda vienlaikus. Kad ir atrasts pieņemamo vērtību diapazons, atliek šķērsot to ar risinājumu racionālā nevienlīdzība- un atbilde ir gatava.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
Vispirms uzrakstīsim logaritma ODZ:
Pirmās divas nevienādības tiek veiktas automātiski, un pēdējā būs jāraksta. Tā kā skaitļa kvadrāts nulle ja un tikai tad, ja pats skaitlis ir vienāds ar nulli, mums ir:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Izrādās, ka logaritma ODZ ir visi skaitļi, izņemot nulli: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tagad mēs atrisinām galveno nevienlīdzību:
Veicot pāreju no logaritmiskā nevienādība uz racionālo. Sākotnējā nevienādībā ir zīme “mazāks par”, tāpēc iegūtajai nevienlīdzībai jābūt arī ar zīmi “mazāks par”. Mums ir:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.
Šīs izteiksmes nulles: x = 3; x = -3; x = 0. Turklāt x = 0 ir otrās daudzkārtības sakne, kas nozīmē, ka, izejot tai cauri, funkcijas zīme nemainās. Mums ir:
Iegūstam x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis komplekts ir pilnībā ietverts logaritma ODZ, kas nozīmē, ka šī ir atbilde.
Logaritmisko nevienādību transformācija
Bieži vien sākotnējā nevienlīdzība atšķiras no iepriekšminētās. To ir viegli salabot saskaņā ar standarta noteikumiem darbam ar logaritmiem - skatiet sadaļu "Logaritmu pamatīpašības". Proti:
- Jebkuru skaitli var attēlot kā logaritmu ar noteiktu bāzi;
- Logaritmu ar vienādu bāzi summu un starpību var aizstāt ar vienu logaritmu.
Atsevišķi es vēlos atgādināt par pieņemamo vērtību diapazonu. Tā kā sākotnējā nevienādībā var būt vairāki logaritmi, ir jāatrod katra no tiem DPV. Pa šo ceļu, vispārējā shēma Logaritmisko nevienādību risinājums ir šāds:
- Atrodiet katra nevienādībā iekļautā logaritma ODZ;
- Samaziniet nevienādību līdz standarta, izmantojot logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas formulas;
- Atrisiniet iegūto nevienādību saskaņā ar iepriekš minēto shēmu.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
Atrodiet pirmā logaritma definīcijas domēnu (ODZ):
Atrisinām ar intervāla metodi. Skaitītāja nulles atrašana:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Tad - saucēja nulles:
x - 1 = 0;
x = 1.
Uz koordinātu bultiņas atzīmējam nulles un zīmes:
Iegūstam x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Otrais ODZ logaritms būs tāds pats. Ja jūs man neticat, varat pārbaudīt. Tagad mēs pārveidojam otro logaritmu tā, lai bāze būtu divi:
Kā redzat, trīskārši pie pamatnes un pirms logaritma ir sarukuši. Mēs saņēmām divus logaritmus no tā pati bāze. Saliksim tos kopā:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Mēs esam ieguvuši standarta logaritmisko nevienādību. Mēs atbrīvojamies no logaritmiem pēc formulas. Tā kā sākotnējā nevienādībā ir zīme mazāk nekā, iegūtajai racionālajai izteiksmei arī jābūt mazākai par nulli. Mums ir:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Mums ir divi komplekti:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Atbildes kandidāts: x ∈ (−1; 3).
Atliek šķērsot šīs kopas - mēs saņemam īsto atbildi:
Mūs interesē kopu krustpunkts, tāpēc mēs izvēlamies intervālus, kas iekrāsoti uz abām bultiņām. Iegūstam x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - visi punkti ir caurdurti.
Logaritmiskās nevienādības
Iepriekšējās nodarbībās iepazināmies ar logaritmiskiem vienādojumiem un tagad zinām, kas tie ir un kā tos atrisināt. Un šodienas nodarbība būs veltīta logaritmisko nevienādību izpētei. Kādas ir šīs nevienādības un kāda ir atšķirība starp logaritmiskā vienādojuma atrisināšanu un nevienādībām?
Logaritmiskās nevienādības ir nevienādības, kurām ir mainīgais zem logaritma zīmes vai tās pamatā.
Vai arī var teikt, ka logaritmiskā nevienādība ir tāda nevienlīdzība, kurā tās nezināmā vērtība, tāpat kā logaritmiskajā vienādojumā, būs zem logaritma zīmes.
Vienkāršākās logaritmiskās nevienādības izskatās šādi:
kur f(x) un g(x) ir dažas izteiksmes, kas ir atkarīgas no x.
Apskatīsim to, izmantojot šādu piemēru: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logaritmisko nevienādību risināšana
Pirms logaritmisko nevienādību risināšanas ir vērts atzīmēt, ka tad, kad tās ir atrisinātas, tās ir līdzīgas eksponenciālās nevienlīdzības, proti:
Pirmkārt, pārejot no logaritmiem uz izteiksmēm ar logaritma zīmi, jāsalīdzina arī logaritma bāze ar vienu;
Otrkārt, risinot logaritmisko nevienādību, izmantojot mainīgo lielumu maiņu, mums ir jāatrisina nevienādības attiecībā uz izmaiņām, līdz iegūstam vienkāršāko nevienādību.
Bet tieši mēs izskatījām līdzīgus logaritmisko nevienādību risināšanas momentus. Tagad apskatīsim diezgan būtisku atšķirību. Jūs un es zinām, ka logaritmiskajai funkcijai ir ierobežots definīcijas apgabals, tāpēc, pārejot no logaritmiem uz izteiksmēm, kas ir zem logaritma zīmes, jums jāņem vērā pieļaujamo vērtību diapazons (ODV) .
Tas ir, tas ir jāņem vērā logaritmiskais vienādojums vispirms varam atrast vienādojuma saknes un pēc tam pārbaudīt šo risinājumu. Bet logaritmiskās nevienādības atrisināšana šādā veidā nedarbosies, jo, pārejot no logaritmiem uz izteiksmēm zem logaritma zīmes, būs jāpieraksta nevienādības ODZ.
Turklāt ir vērts atcerēties, ka nevienlīdzību teorija sastāv no reāli skaitļi, kas ir pozitīvas un negatīvi skaitļi, kā arī skaitlis 0.
Piemēram, ja skaitlis "a" ir pozitīvs, tad jāizmanto šāds apzīmējums: a > 0. Šajā gadījumā gan šo skaitļu summa, gan reizinājums arī būs pozitīvs.
Nevienlīdzības risināšanas pamatprincips ir to aizstāt ar vienkāršāku nevienādību, bet galvenais, lai tā būtu līdzvērtīga dotajai. Tālāk mēs arī ieguvām nevienādību un atkal aizstājām to ar vienkāršāku formu utt.
Atrisinot nevienādības ar mainīgo, jums jāatrod visi tā risinājumi. Ja divām nevienādībām ir vienāds mainīgais x, tad šādas nevienādības ir līdzvērtīgas, ja vien to atrisinājumi ir vienādi.
Veicot uzdevumus logaritmisko nevienādību risināšanai, jāatceras, ka, ja a > 1, tad logaritmiskā funkcija palielinās, bet kad 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Logaritmisko nevienādību risināšanas veidi
Tagad apskatīsim dažas metodes, kas notiek, risinot logaritmiskās nevienādības. Labākai izpratnei un asimilācijai mēģināsim tos izprast, izmantojot konkrētus piemērus.
Mēs zinām, ka vienkāršākā logaritmiskā nevienādība ir šāda:
Šajā nevienlīdzībā V - ir viena no tādām nevienlīdzības zīmēm kā:<,>, ≤ vai ≥.
Ja šī logaritma bāze ir lielāka par vienu (a>1), veicot pāreju no logaritmiem uz izteiksmēm zem logaritma zīmes, tad šajā versijā tiek saglabāta nevienlīdzības zīme, un nevienādība izskatīsies šādi:
kas ir līdzvērtīga šādai sistēmai:
Gadījumā, ja logaritma bāze ir lielāka par nulli un mazāka par vienu (0 Tas ir līdzvērtīgs šai sistēmai: Apskatīsim vairāk piemēru vienkāršāko logaritmisko nevienādību risināšanai, kas parādīti zemāk esošajā attēlā: Exercise. Mēģināsim atrisināt šo nevienlīdzību: Lēmums par pieļaujamo vērtību apgabalu. Tagad mēģināsim reizināt tā labo pusi ar: Apskatīsim, ko mēs varam darīt: Tagad pāriesim pie sublogaritmisko izteiksmju transformācijas. Tā kā logaritma bāze ir 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Un no tā izriet, ka mūsu iegūtais intervāls pilnībā pieder ODZ un ir šādas nevienlīdzības risinājums. Lūk, atbilde, ko saņēmām: Tagad mēģināsim analizēt, kas mums nepieciešams, lai veiksmīgi atrisinātu logaritmiskās nevienādības? Pirmkārt, koncentrējiet visu savu uzmanību un mēģiniet nepieļaut kļūdas, veicot pārvērtības, kas ir dotas šajā nevienlīdzībā. Tāpat jāatceras, ka, risinot šādas nevienlīdzības, ir jānovērš ODZ nevienlīdzības paplašināšanās un sašaurināšanās, kas var novest pie svešu risinājumu zaudēšanas vai iegūšanas. Otrkārt, risinot logaritmiskās nevienādības, ir jāiemācās loģiski domāt un jāsaprot atšķirība starp tādiem jēdzieniem kā nevienlīdzību sistēma un nevienlīdzību kopa, lai varētu viegli izvēlēties nevienlīdzības risinājumus, vadoties pēc tās DHS. Treškārt, lai sekmīgi atrisinātu šādas nevienlīdzības, katram no jums lieliski jāzina visas elementāro funkciju īpašības un skaidri jāsaprot to nozīme. Šādas funkcijas ietver ne tikai logaritmiskās, bet arī racionālās, jaudas, trigonometriskās utt., Vārdu sakot, visas tās, kuras jūs pētījāt. izglītība algebra. Kā redzat, izpētot logaritmisko nevienādību tēmu, šīs nevienlīdzības risināšanā nav nekā sarežģīta, ja vien esat uzmanīgs un neatlaidīgs savu mērķu sasniegšanā. Lai nerastos problēmas nevienlīdzību risināšanā, pēc iespējas vairāk jātrenējas, risinot dažādus uzdevumus un vienlaikus jāiegaumē galvenie šādu nevienlīdzību risināšanas veidi un to sistēmas. Ar neveiksmīgiem logaritmisko nevienādību risinājumiem jums rūpīgi jāanalizē savas kļūdas, lai turpmāk pie tām vairs neatgrieztos. Lai labāk asimilētu tēmu un aptvertu materiālu, atrisiniet šādas nevienādības: Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi. Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu. Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums. Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju. Kādu personas informāciju mēs apkopojam: Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju: Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām. Izņēmumi: Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas. Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi. Nevienādību sauc par logaritmisko, ja tā satur logaritmisku funkciju. Logaritmisko nevienādību risināšanas metodes neatšķiras no divām lietām. Pirmkārt, pārejot no logaritmiskās nevienādības uz nevienādību zem logaritmiskās funkcijas vajadzētu sekojiet iegūtās nevienlīdzības zīmei. Tas ievēro šādu noteikumu. Ja logaritmiskās funkcijas bāze ir lielāka par $1$, tad, pārejot no logaritmiskās nevienādības uz apakšlogaritmisko funkciju nevienādību, nevienādības zīme tiek saglabāta, un, ja tā ir mazāka par $1$, tad tā tiek apgriezta. Otrkārt, jebkuras nevienādības atrisinājums ir intervāls, un tāpēc apakšlogaritmisko funkciju nevienādības risinājuma beigās ir jāsastāda divu nevienādību sistēma: šīs sistēmas pirmā nevienādība būs nevienādība. sublogaritmiskās funkcijas, bet otrais būs logaritmiskajā nevienādībā iekļauto logaritmisko funkciju definīcijas domēna intervāls. Atrisināsim nevienlīdzības: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ Logaritma bāze ir $2>1$, tātad zīme nemainās. Izmantojot logaritma definīciju, mēs iegūstam: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in )
Piemēru risinājums
3x > 24;
x > 8. 
Kas nepieciešams, lai atrisinātu logaritmiskās nevienādības?
Mājasdarbs
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Izpaušana trešajām personām
Personiskās informācijas aizsardzība
Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī
Prakse.