Grafiks eksponenciālā funkcija ir līkne gluda līnija bez kinkiem, kuriem katrā punktā, caur kuru tas iziet, ir iespējams novilkt pieskārienu. Ir loģiski pieņemt, ka, ja ir iespējams uzzīmēt tangensu, tad funkcija būs diferencējama katrā tās definīcijas domēna punktā.
Parādīsim tajās pašās koordinātu asīs vairākus funkcijas y \u003d x a grafikus, For a \u003d 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.
Punktā ar koordinātām (0;1). Šo tangenšu slīpuma leņķi būs attiecīgi aptuveni 35, 40, 48 un 51 grāds. Ir loģiski pieņemt, ka intervālā no 2 līdz 3 ir skaitlis, kurā pieskares slīpuma leņķis būs 45 grādi.
Sniegsim precīzu šī apgalvojuma formulējumu: ir tāds skaitlis, kas ir lielāks par 2 un mazāks par 3, apzīmēts ar burtu e, ka eksponenciālajai funkcijai y = e x punktā 0 ir atvasinājums, kas vienāds ar 1. Tas ir: (e ∆x -1) / ∆x ir tendence uz 1, jo ∆x ir tendence uz nulli.
Dotais numurs e ir iracionāls un tiek uzrakstīts kā bezgalīga neperiodiska decimāldaļdaļa:
e = 2,7182818284…
Tā kā skaitlis e ir pozitīvs un nav nulle, pastāv logaritms bāzes e. Šo logaritmu sauc naturālais logaritms. Apzīmēts ar ln(x) = log e (x).
Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Teorēma: Funkcija e x ir diferencējama katrā tās domēna punktā, un (e x)’ = e x .
Eksponenciālā funkcija a x ir diferencējama katrā tās definīcijas apgabala punktā, un turklāt (a x)’ = (a x)*ln(a).
Šīs teorēmas sekas ir fakts, ka eksponenciālā funkcija ir nepārtraukta jebkurā tās definīcijas jomā.
Piemērs: atrodiet funkcijas y = 2 x atvasinājumu.
Saskaņā ar eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formulu mēs iegūstam:
(2x)' = (2x)*ln(2).
Atbilde: (2x)*ln(2).
Eksponenciālās funkcijas antiatvasinājums
Eksponenciālai funkcijai a x, kas dota uz reālo skaitļu kopas, antiatvasinājums būs funkcija (a x)/(ln(a)).
ln(a) ir kāda konstante, tad (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x jebkuram x. Mēs esam pierādījuši šo teorēmu.
Apsveriet piemēru, kā atrast antiderivatīvu eksponenciālo funkciju.
Piemērs: atrodiet funkcijas f(x) = 5 x antiatvasinājumu. Izmantosim augstāk minēto formulu un noteikumus, kā atrast antiatvasinājumus. Mēs iegūstam: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.
Taisne y=3x+2 ir pieskares funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir mazāka par nulli.
Rādīt risinājumuRisinājums
Lai x_0 ir funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafika punkta abscisa, caur kuru iet šī grafika pieskare.
Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, ti, y"(x_0)=-24x_0+b=3. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan tangenss, ti -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(gadījumi)
Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1, vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir mazāki par nulli, tāpēc x_0=-1, tad b=3+24x_0=-21.
Atbilde
Stāvoklis
Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks (kas ir lauzta līnija, ko veido trīs taisnu līniju segmenti). Izmantojot attēlu, aprēķiniet F(9)-F(5), kur F(x) ir viens no f(x) antiatvasinājumiem.
Rādīt risinājumuRisinājums
Saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu starpība F(9)-F(5), kur F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, ir vienāda ar līknes trapeces laukumu. ar funkcijas y=f(x) grafiku, taisnes y=0 , x=9 un x=5. Saskaņā ar grafiku mēs nosakām, ka norādītā līknes trapece ir trapece, kuras pamatnes ir vienādas ar 4 un 3 un augstums ir 3.
Tās platība ir vienāda ar \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. Profila līmenis". Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts grafiks y \u003d f "(x) - funkcijas f (x) atvasinājums, kas definēts intervālā (-4; 10). Atrodiet funkcijas f (x) samazināšanas intervālus. Jūsu atbildē , norādiet lielākās no tām garumu.
Risinājums
Kā zināms, funkcija f (x) samazinās uz tiem intervāliem, kuru katrā punktā atvasinājums f "(x) ir mazāks par nulli. Ņemot vērā, ka ir jāatrod garums lielākajam no tiem, trīs šādi intervāli dabiski atšķiras no skaitļa: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).
Lielākā no tām garums (5; 9) ir vienāds ar 4.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts grafiks y \u003d f "(x) - funkcijas f (x) atvasinājums, kas definēts intervālā (-8; 7). Atrodiet funkcijas f (x) maksimālo punktu skaitu. uz intervālu [-6; -2].
.png)
Risinājums
Grafikā redzams, ka funkcijas f (x) atvasinājums f "(x) maina zīmi no plus uz mīnusu (šādos punktos būs maksimums) tieši vienā punktā (starp -5 un -4) no intervāla [ -6; -2 Tāpēc intervālā [-6;-2] ir tieši viens maksimālais punkts.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts intervālā (-2; 8) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Nosakiet punktu skaitu, kur funkcijas f(x) atvasinājums ir vienāds ar 0 .
Risinājums
Ja atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli, tad šajā punktā uzzīmētās funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Tāpēc mēs atrodam tādus punktus, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Šajā diagrammā šādi punkti ir ekstremālie punkti (maksimālie vai minimālie punkti). Kā redzat, ir 5 galējie punkti.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Taisne y=-3x+4 ir paralēla funkcijas y=-x^2+5x-7 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.
Rādīt risinājumuRisinājums
Taisnes slīpums līdz funkcijas y=-x^2+5x-7 grafikam patvaļīgā punktā x_0 ir y"(x_0). Bet y"=-2x+5, tātad y"(x_0)=- 2x_0+5. Leņķiskais nosacījumā norādītais taisnes y=-3x+4 koeficients ir -3.Paralēlām līnijām ir vienādi slīpumi.Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka =-2x_0 +5=-3.
Mēs iegūstam: x_0 = 4.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un uz x ass atzīmētie punkti -6, -1, 1, 4. Kurā no šiem punktiem atvasinājuma vērtība ir mazākā? Lūdzu, norādiet šo punktu savā atbildē.
Pieteikums 29. nodarbībai.
Atvasinājums. Atvasināts pieteikums. Primitīvs.
Funkcijas grafika pieskares slīpums punktā ar abscisu x 0 vienāds ar funkcijas atvasinājumu punktā x 0. .
Tie. funkcijas atvasinājums punktā x 0 ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu, kas novilkta funkcijas grafikam punktā (x 0; f (x 0)).
Uzdevums 1. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā ar abscisu. x x 0 .
Atbilde: 0,25
Uzdevums 2. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā ar abscisu x 0 . Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 . Atbilde: 0.6
Uzdevums 3. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā ar abscisu x 0 . Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 . Atbilde: -0,25
Uzdevums 4. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā ar abscisu x 0 . Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 . Atbilde: -0,2.
mehāniskā sajūta atvasinājums.
v ( t 0 ) = x' ( t 0 )
ātrums ir koordinātas atvasinājums ieslēgts laiks. Tāpat Paātrinājums ir ātruma atvasinājums attiecībā pret laiku :
a = v' ( t ).
Uzdevums 5 . Materiālais punkts kustas taisni saskaņā ar likumu x(t)=12 t 2 +4 t+27, kur x ir attālums no atskaites punkta metros, t ir laiks sekundēs, ko mēra no kustības sākšanas brīža. Atrast tā ātrumu (metros sekundē) laikā t=2 s. Atbilde: 52
6. uzdevums. Materiālais punkts saskaņā ar likumu pārvietojas pa taisnu līnijux (t) \u003d 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180, kur x- attālums no atskaites punkta metros,t- laiks sekundēs, mērot kopš kustības sākuma. Kurā brīdī (sekundēs) viņas ātrums bija 42 m/s? Atbilde: 1
Pietiekama pazīme par funkcijas palielināšanos (samazināšanos).
1. Ja f `(x ) katrā intervāla punktā (, tad funkcija palielinās par (.
2. Ja f `(x ) katrā intervāla punktā (, tad funkcija samazinās par (.
Nepieciešams nosacījums ekstremitāte
Ja punkts x 0 ir funkcijas galējais punkts, un šajā punktā ir atvasinājums, tad f `( x 0 )=0
Pietiekams ekstremitāšu stāvoklis
Ja f `( x 0 x 0 atvasinājuma vērtība maina zīmi no "+" uz "-", tad x 0 ir funkcijas maksimālais punkts.
Ja f `( x 0 ) = 0 un ejot caur punktu x 0 atvasinājuma vērtība maina zīmi no "-" uz "+", tad x 0 ir funkcijas minimālais punkts.
7. uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas atvasinājuma grafiks f(x), kas definēts intervālā (-7; 10). Atrodiet funkcijas minimālo punktu skaitu f(x) uz segmenta [−3; 8].
Risinājums. Minimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Intervālā [−3; 8] funkcijai ir viens minimālais punkts x= 4. Tātad šāds punkts ir 1. Atbilde: 1.
8. uzdevums. Attēlā parādīts diferencējamas funkcijas y=f(x) grafiks un uz x ass atzīmēti septiņi punkti: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x 7. Cik no šiem punktiem funkcijas f(x) atvasinājums ir negatīvs? Atbilde: 3
9. uzdevums. Attēlā parādīts intervālā (− 11 ; − 1) definētas diferencējamas funkcijas y=f(x) grafiks. Atrodiet punktu no segmenta [− 7 ; − 2], kurā funkcijas f(x) atvasinājums ir vienāds ar 0. Atbilde: -4
10. uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y=f′(x) grafiks - funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (2 ; 13). Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu. Atbilde: 9
11. uzdevums. Attēlā parādīts intervālā (− 3; 8) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks y=f′(x). Kurā segmenta punktā [− 2; 3] funkcijai f(x) ir mazākā vērtība? Atbilde: -2
12. uzdevums. Attēlā parādīts grafiks y=f "(x) — funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (− 2 ; 11). Atrodiet tā punkta abscisi, kurā pieskaras funkcijas grafikam. y=f(x) ir paralēla abscisu asij vai sakrīt ar to Atbilde: 3
13. uzdevums. Attēlā parādīts grafiks ar y=f "(x) — funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (− 4 ; 6). Atrodiet tā punkta abscisi, kurā pieskares grafikam funkcija y=f(x) ir paralēla taisnei y=3x vai atbilst tai.Atbilde: 5
14. uzdevums. Attēlā parādīts grafiks y=f "(x) - funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (− 4 ; 13). Atrodiet punktu skaitu, kur pieskares funkcijas grafikam y= f(x) ir paralēla taisnei y=− 2x−10 vai vienāda ar to Atbilde: 5
15. uzdevums. Taisne y =5x -8 ir pieskares funkcijas 4x 2 -15x +c grafikam. Atrast c. O atbilde: 17.
antiatvasinājums
antiderivatīvā funkcija F(x) funkcijai f(x) sauc par funkciju atvasinājums kas ir vienāda ar sākotnējo funkciju. F " ( x )= f ( x ).
16. uzdevums. Attēlā parādīts grafiks y=F (x) viens no kādas funkcijas antiatvasinājumiem f(x) definēts intervālā (1;13). Izmantojot attēlu, nosakiet vienādojuma risinājumu skaitu f (x)=0 segmentā . Atbilde: 4
17. uzdevums. Attēlā parādīts grafiks y=F(x) vienam no kādas funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, kas definēti intervālā (- 7; 8). Izmantojot attēlu, nosakiet vienādojuma f(x)=0 atrisinājumu skaitu intervālā . Atbilde: 1
18. uzdevums. Attēlā parādīts grafiks y=F(x) kādam no kādas funkcijas f(x) antiatvasinājumiem un uz x ass atzīmēti astoņi punkti: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Cik no šiem punktiem funkcija f(x) ir negatīva? Atbilde: 3
19. uzdevums. Attēlā parādīts kādas funkcijas y=f(x) grafiks. Funkcija F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem. Atrodiet iekrāsotās figūras laukumu. Atbilde: 592
Algoritms ekstremālo punktu atrašanai
Atrodiet funkcijas darbības jomu.
Atrodiet funkcijas atvasinājumu f "( x)
Atrodiet punktus, kur f "( x) = 0.
Ciparu rindā atzīmējiet funkcijas domēnu un visas atvasinājuma nulles.
Definējiet zīmi atvasinājumskatram intervālam. (Šim nolūkam mēs aizstājam vērtību "ērts". x no šī intervāla līdz f "( x)).
Nosakiet pēc atvasinājuma pazīmēm funkcijas pieauguma un samazināšanās zonas un izdariet secinājumus par ekstremuma esamību vai neesamību un tā raksturu ( maks vaimin ) katrā no šiem punktiem.
20. uzdevums. Atrodiet funkcijas y=(2x−1)cosx−2sinx+5 maksimālo punktu, kas pieder pie intervāla(0 ; π/2). Atbilde: 0,5
21. uzdevums.Atrodiet funkcijas maksimālo punktuy=. Atbilde: 6
Algoritma atrašana segmenta funkcijas lielākā un mazākā vērtība
22. uzdevums. Atrodiet funkcijas y =x −6x +1 mazāko vērtību segmentā . Atbilde: -31
23. uzdevums. Atrodiet funkcijas y=8cosx+30x/π+19 mazāko vērtību intervālā [− 2π/3; 0]. Atbilde: -5
Turklāt. viens. Atrodiet funkcijas y=(x−11) 2 ⋅e x − 7 maksimālo punktu.
2. Atrast funkcijas y=x 5 -5x 3 -20x lielāko vērtību segmentā [− 9 ; viens]. Atbilde: 48
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
SatursSatura elementi
Atvasinājums, tangenss, antiatvasinājums, funkciju un atvasinājumu grafiki.
AtvasinājumsĻaujiet funkcijai \(f(x)\) būt definētai kādā punkta \(x_0\) tuvumā.
Funkcijas \(f\) atvasinājums punktā \(x_0\) sauc par limitu
\(f"(x_0)=\lim_(x\right arrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
ja šī robeža pastāv.
Funkcijas atvasinājums punktā raksturo šīs funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā.
| Funkcija | Atvasinājums |
| \(konst.\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Diferencēšanas noteikumi\(f\) un \(g\) ir funkcijas atkarībā no mainīgā \(x\); \(c\) ir skaitlis.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) — kompleksās funkcijas atvasinājums
Atvasinājuma ģeometriskā nozīme Taisnas līnijas vienādojums- neparalēlo asi \(Oy\) var uzrakstīt kā \(y=kx+b\). Koeficientu \(k\) šajā vienādojumā sauc taisnas līnijas slīpums. Tas ir vienāds ar tangensu slīpuma leņķisšī taisnā līnija.
Taisns leņķis- leņķis starp \(Ox\) ass pozitīvo virzienu un doto līniju, skaitot pozitīvo leņķu virzienā (tas ir, vismazākās rotācijas virzienā no \(Ox\) ass uz \(Oy) \) ass).
Funkcijas \(f(x)\) atvasinājums punktā \(x_0\) ir vienāds ar funkcijas grafika pieskares slīpumu dotajā punktā: \(f"(x_0)=\tg \alpha.\)
Ja \(f"(x_0)=0\), tad funkcijas \(f(x)\) grafika pieskare punktā \(x_0\) ir paralēla asij \(Ox\).
Pieskares vienādojums
Funkcijas \(f(x)\) diagrammas pieskares vienādojums punktā \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Funkciju monotonitāte Ja funkcijas atvasinājums ir pozitīvs visos intervāla punktos, tad funkcija šajā intervālā palielinās.
Ja funkcijas atvasinājums ir negatīvs visos intervāla punktos, tad funkcija šajā intervālā samazinās.
Minimālais, maksimālais un lēciena punkti pozitīvs uz negatīvsšajā brīdī \(x_0\) ir funkcijas \(f\) maksimālais punkts.
Ja funkcija \(f\) ir nepārtraukta punktā \(x_0\), un šīs funkcijas atvasinājuma vērtība \(f"\) mainās no negatīvs uz pozitīvsšajā brīdī \(x_0\) ir funkcijas \(f\) minimālais punkts.
Tiek izsaukti punkti, kuros atvasinājums \(f"\) ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritiskie punkti funkcijas \(f\).
Funkcijas definīcijas apgabala \(f(x)\) iekšējie punkti, kur \(f"(x)=0\) var būt minimālais, maksimālais vai lēciena punkts.
Atvasinājuma fiziskā nozīme Ja materiālais punkts pārvietojas pa taisni un tā koordināte mainās atkarībā no laika saskaņā ar likumu \(x=x(t)\), tad šī punkta ātrums ir vienāds ar koordinātas laika atvasinājumu:
Paātrinājums materiālais punkts vienāds ar šī punkta ātruma atvasinājumu attiecībā pret laiku:
\(a(t)=v"(t).\)
Šodien mēs runāsim par funkciju izpēti. Ir svarīgi atzīmēt, ka matemātika ir sakārtota tāpat kā parasta māja: vispirms tiek likts pamats, un pēc tam slānis pa slānim tiek likti ķieģeļi. Pamata lomu matemātikā spēlē funkcija (divu kopu atbilstība). Pēc funkcijas jēdziena ieviešanas viņi sāk to pētīt kā objektu tāpat kā tas tika darīts ar skaitļiem.
Patiesībā dzīvē mēs arī bieži izmantojam ne tikai objektus, bet arī to savstarpējās atbilstības, attiecības starp objektiem. Kā piemēru var minēt grāmatas par mīlestību (mīlestība ir attiecības starp cilvēkiem).
Pēc funkciju izpētes matemātikā sāk pētīt funkciju kopas, tad funkciju telpas un tā tālāk. Bet šodien mēs runāsim par funkcijas primāro analīzi.
Kas ir funkcija? Funkcija ir atbilstība starp kopām. Šajā nodarbībā mēs runāsim par skaitliskām funkcijām, tas ir, par atbilstībām starp ciparu kopas. Mēs arī runāsim par funkcijas lokālo īpašību (funkcijas darbību šajā konkrētajā punktā) un globālo īpašību (īpašību, kas saistīta ar visu funkcijas apjomu). Atvasinājums ir funkciju lokālo īpašību apraksts, bet integrālis - globālo.
Piemēram, ir divas dažādas funkcijas, bet kādā punktā to grafiki sakrīt (skat. 1. att.). Bet kāda ir atšķirība starp funkciju uzvedību šī punkta tuvumā? Tas tiks apspriests.
Rīsi. 1. Divu dažādu funkciju grafiku krustpunkts
No funkcijas grafika var viegli noteikt tās īpašības: monotonitāti (funkcija palielinās vai samazinās), paritāti (nepāra) un periodiskumu (skat. 2. att.).
Rīsi. 2. Funkciju specifikācijas
Visi šie raksturlielumi ir matemātiski. Bet atvasinājumu bieži izmanto dzīvē. Visbiežāk, aprakstot procesu, izmantojot grafiku, mūs interesē šī procesa dinamika, tas ir, nevis funkcijas vērtība konkrētā punktā, bet gan tas, kā funkcija izturēsies nākotnē (vai tā palielināsies vai samazināt?). Piemēram, ja vēlamies analizēt cenu pieaugumu vai salīdzināt cenas dažādos laika periodos (absolūtās vērtības var mainīties, bet dinamika palika nemainīga) (skat. 3. att.).
Rīsi. 3. Zelta cenu dinamika
Atvasinājums palīdz noskaidrot, kā funkcija darbosies noteiktā punkta tuvumā.
Ir vērts precizēt, ka skolā visbiežāk funkcijas atvasinājums tiek meklēts visā definīcijas jomā. Tas ir saistīts ar faktu, ka pētāmās pazīmes ir "labas", tas ir, to uzvedība ir paredzama uz visas ass. Bet kopumā atvasinājums ir funkcijas lokāls raksturlielums.
Piemēram, skatot fotoattēlus ar dažādiem aizvara ātrumiem, var būt vairākas iespējas:
- mašīnas stāv un cilvēki katrs savā vietā (skat. 4. att.);
- izplūdušu attēlu, var redzēt, kurš kurp dodas (skat. 5. att.).
Rīsi. 4. Fotoattēls ar ekspozīciju uz
Rīsi. 5. Fotoattēls ar ekspozīciju uz
Otrais variants ir vizuāla ilustrācija atvasinājums (izplūdis attēls).
Tajā brīdī funkcija iegūst noteiktu vērtību, un no tās praktiski nav iespējams izdarīt secinājumus par tās uzvedību. Un, ja ņemam vērā šī punkta apkārtni, tad jau varam pateikt, kurā pusē tā ir mazāka (kura lielāka) un secināt, vai tā palielinās vai samazinās. Tas ir, ja slēdža ātrums ir īss, mēs redzam funkcijas vērtību punktā, un, ņemot vērā kadra aizkavi, mēs jau varam analizēt funkcijas darbību (sk. 6. att.).
Rīsi. 6. Analoģija starp atvasinājumu un fotogrāfiju
IN Ikdiena mēs bieži analizējam tādu situāciju kā funkciju analīze matemātikā. Piemēram, sakot, ka ārā kļūst siltāks (vēsāks), mēs šobrīd nenorādam konkrēto temperatūru, bet ar to domājam, ka temperatūra drīz paaugstināsies (pazemināsies). Tas ir līdzīgi atvasinājuma aprēķināšanai (sk. 7. att.).
Rīsi. 7. Temperatūras izmaiņu analīze
Iepazīstinām precīza definīcija atvasinājums.
Atvasinātā funkcijapunktā robežu sauc par funkcijas pieauguma attiecību šajā punktā pret argumenta pieaugumu (ar nosacījumu, ka šī robeža pastāv):
Tā kā mēs vēlamies ieviest tādu jēdzienu kā funkcijas maiņas ātrums (galvenais vārds ir ātrumu), tad varam vilkt paralēli ar fiziku. Momentānais ātrums - vektors fiziskais daudzums, vienāds ar kustības attiecību pret laika intervālu, kurā šī kustība notika, ja laika intervālam ir tendence uz nulli:
Momentānais ātrums, m/s; - ķermeņa nobīde, m (at ); - tiecas uz nulles laika intervālu, s.
Bet ir svarīgi precizēt, ka, runājot par temperatūru, mēs norādījām tikai procesa kvalitatīvos raksturlielumus, bet nerunājām par temperatūras izmaiņu ātrumu. Atvasinātais ņem vērā funkcijas izmaiņu ātrumu. Funkcijas var augt dažādos veidos. Piemēram, parabola () palielinās ātrāk nekā logaritms () (sk. 8. att.).
Rīsi. 8. Funkciju grafiku pieauguma temps un
Lai salīdzinātu funkcijas pieauguma (samazinājuma) ātrumu, mēs ieviešam specifisku funkcijas raksturlielumu - atvasinājumu. Zīmējot analoģiju starp atvasinājumu un objekta kustības ātrumu (ātrums ir nobrauktā attāluma attiecība pret laiku vai koordinātu izmaiņas laika vienībā), mēs varam teikt, ka limitā atvasinājums ir attiecība funkcijas izmaiņas (tas ir, ceļš, pa kuru punkts ir nogājis , ja tas pārvietojās pa funkcijas grafiku) līdz argumenta pieaugumam (laikam, kurā tika veikta kustība) (sk. 9. att.). Šī ir atvasinājuma mehāniskā (fiziskā) nozīme.
Rīsi. 9. Analoģija starp ātrumu un atvasinājumu
Atvasinājums ir funkcijas lokāls īpašums. Ir svarīgi atšķirt atvasinājuma aprēķinu visā definīcijas jomā un noteiktā apgabalā, jo funkcija vienā intervālā varētu būt kvadrātiska, otrā - lineāra utt. Bet šī ir viena funkcija, un dažādos punktos šāda funkcija būs dažādas nozīmes atvasinājums.
Lielākajai daļai funkciju, kas dotas analītiski (pēc noteiktas formulas), mums ir atvasinājumu tabula (sk. 10. att.). Šis ir reizināšanas tabulas analogs, tas ir, ir pamatfunkcijas, kurām jau ir aprēķināti atvasinājumi (var pierādīt, ka tiem ir tieši šāda forma), un tad ir daži noteikumi (sk. 11. att.) ( reizināšanas vai dalīšanas analogi kolonnā), ar kuriem var aprēķināt atvasinājumus sarežģītas funkcijas, atvasinātie darbi un tā tālāk. Tādējādi gandrīz visām funkcijām, kas izteiktas ar mums zināmām funkcijām, mēs varam aprakstīt funkcijas uzvedību visā definīcijas jomā.
Rīsi. 10. Atvasinājumu tabula
Rīsi. 11. Diferencēšanas noteikumi
Tomēr atvasinājuma definīcija, ko mēs sniedzām iepriekš, ir precīza. Lai atvasinājumu kādā punktā vispārinātu uz visu funkcijas domēnu, ir jāpierāda, ka katrā punktā atvasinājuma vērtība sakritīs ar tās pašas funkcijas vērtībām.
Ja iedomājamies funkciju, kas nav uzrakstīta analītiski, tad katra punkta tuvumā to varam attēlot kā lineāru funkciju. Lineāras funkcijas atvasinājumu kāda punkta tuvumā ir viegli aprēķināt. Ja funkciju attēlo lineāri, tad tā sakrīt ar tās tangensu (skat. 12. att.).
Rīsi. 12. Funkcijas attēlojums katrā punktā kā lineāra funkcija
No taisnleņķa trīsstūris mēs zinām, ka tangenss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret blakus esošo. Tāpēc atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir tāda, ka atvasinājums ir pieskares slīpuma tangenss šajā punktā (sk. 13. att.).
Rīsi. 13.Atvasinājuma ģeometriskā nozīme
Runājot par atvasinājumu kā par ātrumu, var teikt, ka, ja funkcija samazinās, tad tās atvasinājums ir negatīvs, un otrādi, ja funkcija palielinās, tad tās atvasinājums ir pozitīvs. No otras puses, mēs esam definējuši atvasinājumu kā pieskares slīpuma tangensu. To arī ir viegli izskaidrot. Ja funkcija palielinās, tad tangenss veido akūtu leņķi, un akūtā leņķa tangensa ir pozitīva. Tāpēc atvasinājums ir pozitīvs. Kā redzat, atvasinājuma fiziskā un ģeometriskā nozīme sakrita.
Paātrinājums ir ātruma izmaiņu ātrums (tas ir, ātruma atvasinājums). No otras puses, ātrums ir pārvietojuma atvasinājums. Izrādās, ka paātrinājums ir nobīdes otrais atvasinājums (atvasinājuma atvasinājums) (sk. 14. att.).
Rīsi. 14. Atvasinājuma pielietojums fizikā
Atvasinājums ir līdzeklis funkcijas īpašību izpētei.
Atvasinājumu izmanto optimizācijas problēmu risināšanai. Tam ir izskaidrojums. Tā kā atvasinājums parāda funkcijas pieaugumu, to var izmantot, lai atrastu funkcijas lokālos maksimumus un minimumus. Zinot, ka funkcija palielinājās vienā sadaļā un pēc tam sāka samazināties, mēs pieņemam, ka kādā brīdī ir lokāls maksimums. Līdzīgi, ja funkcija samazinās un pēc tam sāka palielināties, kādā brīdī tas notiek vietējais minimums(skat. 15. att.).
Rīsi. 15. Funkcijas lokālie minimumi un maksimumi
Praksē to var izmantot, lai atrastu, piemēram, maksimālo peļņu noteiktos apstākļos. Lai to izdarītu, jums jāatrod punkts, kurā būs vietējais maksimums. Ja mums ir jādefinē minimālās izmaksas, tad attiecīgi ir jānosaka punkts, kurā atrodas lokālais minimums (skat. 16. att.).
Rīsi. 16. Maksimālās peļņas un minimālo izmaksu atrašana
Skola risina daudzas optimizācijas problēmas. Apskatīsim vienu no tiem.
Kādam jābūt fiksēta garuma taisnstūra žogam, lai tas aptvertu maksimālo platību (skat. 17. att.)?
Rīsi. 17. Optimizācijas problēma
Izrādās, ka žogam jābūt kvadrātveida.
Ir daudz šādu uzdevumu, kad viens parametrs ir fiksēts, bet otrs ir jāoptimizē. Fiksētais parametrs ir mūsu uzdevuma dati (piemēram, materiāls žogam). Un ir parametrs, ka mēs vēlamies iegūt minimālo vai maksimālo (piemēram, maksimālo laukumu, minimālo izmēru). Tas ir, veidojas pāris "resurss - efekts". Ir daži resursi, kas sākotnēji ir iestatīti, un daži efekti, ko mēs vēlamies iegūt.
Tagad pāriesim pie funkcijas globālajām īpašībām. Apsveriet vienkāršāko integrāļa gadījumu. Ņemsim skaitļu virkni: . Sērija ir arī funkcija (dabiska argumenta), katram skaitlim ir savs sērijas numurs un nozīme. 
.
Uzrakstīsim formulu šīs sērijas summas atrašanai:
Summa līdz noteiktai vērtībai būs integrāļa vērtība.
Piemēram:
Tas ir, integrālis faktiski ir summa (šajā gadījumā funkcijas vērtību summa).
Lielākā daļa studentu integrāli saista ar laukumu. Mēģināsim savienot piemēru ar rindas un laukuma summu. Pārrakstīsim šo sēriju kā lineāru funkciju: .
Tad šīs rindas summa būs zem grafa esošo daļu (šajā gadījumā trapecveida) laukumu summa (sk. 18. att.).
Rīsi. 18. Laukums zem funkcijas grafika
Laukumu summa ir vienāda ar summas laukumu (ja daļas, kurās figūra ir sadalīta, nekrustojas). Tātad integrālis ir laukums zem funkcijas grafika. Tādējādi, atrodot integrāli, mēs varam atrast kādas plaknes daļas laukumu. Piemēram, jūs varat atrast apgabalu zem diagrammas.
Ja mēs vēlamies strikti ieviest integrāļa definīciju, ņemot vērā figūras laukumu zem funkcijas, tad mums ir jāsadala pati figūra ļoti mazos gabaliņos. Ne vienmēr ir tik ērti aprēķināt laukumu kā lineāras funkcijas gadījumā. Ņemsim, piemēram, funkciju. Ja funkciju lineāri aproksimējam (kā ierosinājām darīt atvasinājuma gadījumā), tad, tāpat kā iepriekšējā piemērā, mēs iegūsim visas platības nodalījumu trapecveida laukumu summā (sk. 19).
Tad limitā tas ir integrālis, tas ir, laukums zem funkcijas grafika.
Rīsi. 19. Laukums zem funkcijas grafika
Bet kā aprēķināt šo laukumu (integrāli)? Zināmām funkcijām ir integrāļu tabula (līdzīgi atvasinājumu tabulai). Bet vispārīgā gadījumā funkciju aproksimējam pa segmentiem un aprēķinām zem šiem segmentiem esošo trapecveida laukumu summu. Samazinot segmentus, limitā iegūstam integrāļa vērtību.
Atšķirībā no atvasinājuma, kad "labai" funkcijai vienmēr tiek iegūts "labs" atvasinājums, integrāļa gadījumā tas tā nav. Piemēram, tik vienkāršai funkcijai, kā mēs nevaram aprēķināt integrāli un uzrādīt to analītisko funkciju veidā (sk. 20. att.).
Integrāļa aprēķināšana nav viegls uzdevums, un tāpēc šādas vienkāršas Ņūtona-Leibnica formulas esamība (skat. 20. att.), kas ļauj ātri aprēķināt integrāļa vērtību, ja zinām tā formu, ievērojami atvieglo aprēķinus. . Pretējā gadījumā būtu grūti katru reizi aprēķināt ierobežojošo laukumu.
Rīsi. 20. Ņūtona-Leibnica formula integrāļu aprēķināšanai
Tāpēc galvenās aprēķina metodes ir:
- integrāļu tabula tām funkcijām, kuras varam aprēķināt (skat. 21. att.);
- integrālās īpašības, kas ļauj aprēķināt dažādas tabulas funkciju kombinācijas (skat. 22. att.);
- Ņūtona-Leibnica formula (ja mēs aprēķinām vērtību galējā labajā punktā un atņemam vērtību galējā kreisajā punktā, iegūstam laukumu) (sk. 20. att.).
Rīsi. 21. Integrāļu tabula
Rīsi. 22.Noteikta integrāļa īpašības
Skolā Ņūtona-Leibnica formula netiek atvasināta, lai gan to nav grūti izdarīt, ja integrāli definējat kā laukumu zem grafika.
Vairāk par Ņūtona-Leibnica formulas atvasināšanu:
Lai labāk izprastu atšķirību starp funkcijas lokālajām un globālajām īpašībām, apsveriet šaušanas mērķī piemēru. Ja uzņemat vairākus kadrus apkārt (neviens netrāpa centrā) un parēķināt vidējo, sanāk praktiski (skat. 23. att.). Lai gan patiesībā šāvējs varēja trāpīt visu laiku virs vai zem mērķa, vidējais rādītājs tomēr izrādītos tuvu .
Rīsi. 23. Šaušana mērķī
Varam dot piemēru no fizikas – smaguma centrs. Vienu un to pašu masu ar vienādu smaguma centru var sadalīt pilnīgi dažādos veidos (skat. 24. att.).
Rīsi. 24. Masas sadalījuma varianti ar vienādu smaguma centru
Kā vēl viens piemērs var vidējā temperatūra pa slimnīcu. Ja kādam ir temperatūra, un kādam tā ir, tad caurmērā izrādās un liekas, ka pacienti nemaz nav tik slimi.
Ja runājam par saikni starp atvasinājumu (lokālo raksturlielumu) un integrāli (globālo raksturlielumu), tad intuitīvi ir skaidrs, ka tie ir savstarpēji apgriezti jēdzieni. Patiesībā tā ir. Ja ņemam integrāļa atvasinājumu vai atvasinājuma integrāli, iegūstam sākotnējo funkciju. Lai to izskaidrotu, apsveriet ķermeņa kustību. Mēs jau zinām, ka ātrums ir pārvietojuma atvasinājums. Mēģināsim veikt apgriezto darbību. Lai to izdarītu, mēs izsakām kustību ātruma un laika izteiksmē:
Un, ja mēs paskatāmies uz grafiku (ātrums mainās lineāri), mēs redzēsim, ka ceļš ir ātruma un laika reizinājums. No otras puses, tas ir laukums zem grafika (sk. 25. att.).
Rīsi. 25. Atvasinātā un integrāļa saistība
Ja jūs aprēķināsit ātruma integrāli, jūs iegūstat ceļa vērtību. Un ātrums ir attāluma atvasinājums.
Tāpēc atvasinājums un integrālis ir savstarpēji apgrieztas funkcijas. Tam ir pārliecinoši pierādījumi.
Rīsi. 26. Atvasinātā un integrāļa saistība
Bet, lai analizētu, saprastu, kas ir uz spēles, un strādātu ar diferenciācijas (atvasinājuma aprēķināšana) un integrācijas (integrāļa aprēķināšana) operācijām, pietiks ar šajā nodarbībā teikto un galveno nodarbību materiāliem.
Kad mums jāatrod māja st. Ņeva, un mēs izgājām mājas priekšā, tad ejam pa kreisi vai pa labi no šīs mājas, lai saprastu, kā notiek numerācija.