Šajā rakstā jūs atradīsit visu nepieciešamo informāciju atbildot uz jautājumu kā skaitļus ieskaitīt primārajos faktoros. Vispirms dots vispārēja ideja par skaitļa sadalīšanos pirmfaktoros sniegti dekompozīcijas piemēri. Tālāk ir parādīta kanoniskā forma skaitļa sadalīšanai primārajos faktoros. Pēc tam tiek dots algoritms patvaļīgu skaitļu sadalīšanai pirmfaktoros un doti skaitļu sadalīšanas piemēri, izmantojot šo algoritmu. Apsvērts arī alternatīvi veidi, kas ļauj ātri iekļaut mazus veselus skaitļus primārajos faktoros, izmantojot dalāmības testus un reizināšanas tabulas.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros?

Vispirms apskatīsim, kas ir galvenie faktori.

Ir skaidrs, ka, tā kā šajā frāzē ir vārds “faktori”, tad ir dažu skaitļu reizinājums, un kvalificējošais vārds “vienkāršs” nozīmē, ka katrs faktors ir pirmskaitlis. Piemēram, reizinājumam, kura forma ir 2·7·7·23, ir četri galvenie koeficienti: 2, 7, 7 un 23.

Ko nozīmē skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros?

Tas nozīmē, ka dotais numurs ir jāattēlo kā primāro faktoru reizinājums, un šī reizinājuma vērtībai ir jābūt vienādai ar sākotnējo skaitli. Kā piemēru ņemsim trīs pirmskaitļu 2, 3 un 5 reizinājumu, kas ir vienāds ar 30, tādējādi skaitļa 30 sadalīšana pirmskaitļos ir 2·3·5. Parasti skaitļa sadalīšanu pirmfaktoros raksta kā vienādību, mūsu piemērā tas būs šādi: 30=2·3·5. Atsevišķi uzsveram, ka paplašināšanas galvenie faktori var atkārtoties. To skaidri ilustrē šāds piemērs: 144=2·2·2·2·3·3. Taču formas 45=3·15 attēlojums nav sadalīšana pirmfaktoros, jo skaitlis 15 ir salikts skaitlis.

Rodas šāds jautājums: "Kādus skaitļus var sadalīt primārajos faktoros?"

Meklējot atbildi uz to, mēs sniedzam šādu argumentāciju. Pirmskaitļi pēc definīcijas ir starp tiem, kas ir lielāki par vienu. Ņemot vērā šo faktu un , var apgalvot, ka vairāku galveno faktoru reizinājums ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir lielāks par vienu. Tāpēc faktorizācija primārajos faktoros notiek tikai pozitīviem veseliem skaitļiem, kas ir lielāki par 1.

Bet vai visus veselus skaitļus, kas ir lielāki par vienu, var iekļaut galvenajos faktoros?

Ir skaidrs, ka vienkāršus veselus skaitļus nav iespējams iekļaut primārajos faktoros. Tas izskaidrojams ar to, ka pirmskaitļiem ir tikai divi pozitīvi dalītāji – viens un pats, tāpēc tos nevar attēlot kā reizinājumu no diviem vai vairāk pirmskaitļi. Ja veselu skaitli z varētu attēlot kā pirmskaitļu a un b reizinājumu, tad dalāmības jēdziens ļautu secināt, ka z dalās gan ar a, gan ar b, kas nav iespējams skaitļa z vienkāršības dēļ. Tomēr viņi uzskata, ka jebkurš pirmskaitlis pats par sevi ir dekompozīcija.

Kā ar saliktajiem skaitļiem? Vai saliktie skaitļi tiek sadalīti pirmfaktoros un vai visi saliktie skaitļi ir pakļauti šādai sadalīšanai? Aritmētikas pamatteorēma sniedz apstiprinošu atbildi uz vairākiem šiem jautājumiem. Aritmētikas pamatteorēma nosaka, ka jebkurš vesels skaitlis a, kas ir lielāks par 1, var tikt sadalīts pirmfaktoru p 1, p 2, ..., p n reizinājumā, un sadalīšanai ir forma a = p 1 · p 2 · … · p n, un šis paplašinājums ir unikāls, ja neņem vērā faktoru secību

Kanoniskā skaitļa faktorizācija pirmfaktoros

Skaitļa paplašināšanā var atkārtoties pirmfaktori. Atkārtotus pirmkoeficientus var uzrakstīt kompaktāk, izmantojot . Pieņemsim, ka skaitļa sadalīšanā pirmfaktors p 1 notiek s 1 reizes, pirmfaktors p 2 – s 2 reizes un tā tālāk, p n – s n reizes. Tad skaitļa a primāro faktorizāciju var uzrakstīt kā a=p 1 s 1 · p 2 s 2 ·… · p n s n. Šis ierakstīšanas veids ir tā sauktais skaitļa kanoniskā faktorizācija pirmfaktoros.

Sniegsim piemēru skaitļa kanoniskajai sadalīšanai pirmfaktoros. Pastāstiet mums par sadalīšanos 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, tā kanoniskajam apzīmējumam ir forma 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Skaitļa kanoniskā faktorizācija pirmfaktoros ļauj atrast visus skaitļa dalītājus un skaitļa dalītāju skaitu.

Algoritms skaitļa iekļaušanai primārajos faktoros

Lai veiksmīgi tiktu galā ar uzdevumu sadalīt skaitli pirmskaitļos, jums ir ļoti labi jāpārzina informācija rakstā pirmskaitļos un saliktajos skaitļos.

Pozitīva vesela skaitļa a, kas pārsniedz vienu, sadalīšanas procesa būtība ir skaidra no aritmētikas pamatteorēmas pierādījuma. Mērķis ir secīgi atrast skaitļu a, a 1, a 2, ..., a n-1 mazākos pirmskaitļa dalītājus p 1, p 2, ..., p n, kas ļauj iegūt vienādību virkni. a=p 1 ·a 1, kur a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, kur a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , kur a n =a n-1:p n . Ja izrādās a n =1, tad vienādība a=p 1 ·p 2 ·…·p n dos mums vēlamo skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros. Te arī jāatzīmē, ka p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.

Atliek izdomāt, kā katrā solī atrast mazākos primāros faktorus, un mums būs algoritms skaitļa sadalīšanai primārajos faktoros. Pirmskaitļu tabula palīdzēs mums atrast pirmskaitļus. Parādīsim, kā to izmantot, lai iegūtu mazāko skaitļa z pirmdalītāju.

No pirmskaitļu tabulas secīgi ņemam pirmskaitļus (2, 3, 5, 7, 11 un tā tālāk) un dalām ar tiem doto skaitli z. Pirmais pirmskaitlis, ar kuru z ir vienmērīgi dalīts, būs tā mazākais pirmskaitlis. Ja skaitlis z ir pirmskaitlis, tad tā mazākais pirmskaitļa dalītājs būs pats skaitlis z. Šeit arī jāatgādina, ka, ja z nav pirmskaitlis, tad tā mazākais pirmskaitļa dalītājs nepārsniedz skaitli , kur ir no z. Tātad, ja starp pirmskaitļiem, kas nepārsniedz , nebija neviena skaitļa z dalītāja, tad varam secināt, ka z ir pirmskaitlis (vairāk par to rakstīts teorijas sadaļā zem virsraksta Šis skaitlis ir pirmskaitlis jeb salikts ).

Kā piemēru mēs parādīsim, kā atrast skaitļa 87 mazāko pirmreizējo dalītāju. Ņemsim skaitli 2. Sadaliet 87 ar 2, iegūstam 87:2=43 (paliek 1) (ja nepieciešams, skatiet rakstu). Tas ir, dalot 87 ar 2, atlikums ir 1, tāpēc 2 nav skaitļa 87 dalītājs. Mēs ņemam nākamo pirmskaitli no pirmskaitļu tabulas, tas ir skaitlis 3. Sadaliet 87 ar 3, iegūstam 87:3=29. Tādējādi 87 dalās ar 3, tāpēc skaitlis 3 ir skaitļa 87 mazākais pirmreizējais dalītājs.

Ņemiet vērā, ka vispārīgā gadījumā, lai ieskaitītu skaitli a pirmfaktoros, mums ir nepieciešama pirmskaitļu tabula līdz skaitlim, kas nav mazāks par . Mums būs jāatsaucas uz šo tabulu ik uz soļa, tāpēc mums tai ir jābūt pie rokas. Piemēram, lai skaitli 95 faktorizētu pirmskaitļos, mums būs nepieciešama tikai pirmskaitļu tabula līdz 10 (jo 10 ir lielāks par ). Un, lai sadalītu skaitli 846 653, jums jau būs nepieciešama pirmskaitļu tabula līdz 1000 (jo 1000 ir lielāks par ).

Tagad mums ir pietiekami daudz informācijas, ko pierakstīt algoritms skaitļa iekļaušanai primārajos faktoros. Skaitļa a sadalīšanas algoritms ir šāds:

• Secīgi šķirojot skaitļus no pirmskaitļu tabulas, atrodam skaitļa a mazāko pirmskaitļa dalītāju p 1, pēc kura aprēķinām 1 =a:p 1. Ja a 1 =1, tad skaitlis a ir pirmizrāde, un tas pats par sevi ir tā sadalīšanās pirmfaktoros. Ja a 1 nav vienāds ar 1, tad mums ir a=p 1 ·a 1 un pāriet uz nākamo soli.
• Mēs atrodam skaitļa a 1 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 2, lai to izdarītu, mēs secīgi šķirojam skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 1 , un tad aprēķinām a 2 =a 1:p 2 . Ja a 2 =1, tad nepieciešamajam skaitļa a sadalījumam pirmfaktoros ir forma a=p 1 ·p 2. Ja a 2 nav vienāds ar 1, tad mums ir a=p 1 ·p 2 ·a 2 un pāriet uz nākamo soli.
• Pārejot cauri skaitļiem no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 2, atrodam skaitļa a 2 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 3, pēc kura aprēķinām a 3 =a 2:p 3. Ja a 3 =1, tad nepieciešamajam skaitļa a sadalījumam pirmfaktoros ir forma a=p 1 ·p 2 ·p 3. Ja 3 nav vienāds ar 1, tad mums ir a=p 1 · p 2 · p 3 · a 3 un pāriet uz nākamo soli.
• Mēs atrodam skaitļa a n-1 mazāko pirmskaitļu dalītāju p n, šķirojot pirmskaitļus, sākot ar p n-1, kā arī a n =a n-1:p n, un a n ir vienāds ar 1. Šis solis ir algoritma pēdējais solis, šeit iegūstam nepieciešamo skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Skaidrības labad visi rezultāti, kas iegūti katrā algoritma solī skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros, ir parādīti šādas tabulas veidā, kurā skaitļi a, a 1, a 2, ..., a n ir ierakstīti secīgi. kolonnā pa kreisi no vertikālās līnijas un pa labi no līnijas - attiecīgie mazākie pirmskaitļa dalītāji p 1, p 2, ..., p n.

Atliek tikai apsvērt dažus piemērus par iegūtā algoritma pielietojumu skaitļu sadalīšanai pirmfaktoros.

Galvenās faktorizācijas piemēri

Tagad mēs to aplūkosim sīkāk piemēri skaitļu iekļaušanai pirmfaktoros. Veicot sadalīšanu, mēs izmantosim iepriekšējās rindkopas algoritmu. Sāksim ar vienkāršiem gadījumiem un pakāpeniski tos sarežģīsim, lai sastaptos ar visām iespējamām niansēm, kas rodas, sadalot skaitļus pirmfaktoros.

Piemērs.

Sadaliet skaitli 78 tā galvenajos faktoros.

Risinājums.

Sākam skaitļa a=78 pirmā mazākā pirmskaitļa dalītāja p 1 meklēšanu. Lai to izdarītu, mēs sākam secīgi kārtot pirmskaitļus no pirmskaitļu tabulas. Ņemam skaitli 2 un sadalām ar to 78, iegūstam 78:2=39. Skaitlis 78 tiek dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc p 1 =2 ir pirmais atrastais skaitļa 78 pirmdalītājs. Šajā gadījumā a 1 =a:p 1 =78:2=39. Tātad mēs nonākam pie vienādības a=p 1 ·a 1, kuras forma ir 78=2·39. Acīmredzot 1 = 39 atšķiras no 1, tāpēc mēs pārejam uz algoritma otro soli.

Tagad mēs meklējam skaitļa a 1 =39 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 2. Sākam uzskaitīt skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 1 =2. Sadaliet 39 ar 2, iegūstam 39:2=19 (paliek 1). Tā kā 39 nedalās vienmērīgi ar 2, tad 2 nav tā dalītājs. Tad ņemam nākamais numurs no pirmskaitļu tabulas (skaitlis 3) un dalot ar to 39, iegūstam 39:3=13. Tāpēc p 2 =3 ir skaitļa 39 mazākais pirmskaitļa dalītājs, savukārt a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Mums ir vienādība a=p 1 · p 2 · a 2 formā 78=2 · 3 · 13. Tā kā 2 = 13 atšķiras no 1, mēs pārejam pie nākamā algoritma darbības.

Šeit jāatrod skaitļa a 2 =13 mazākais pirmskaitļa dalītājs. Meklējot skaitļa 13 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 3, mēs secīgi šķirosim skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 2 =3. Skaitlis 13 nedalās ar 3, jo 13:3=4 (1. pārējais), arī 13 nedalās ar 5, 7 un 11, jo 13:5=2 (3. pārējais), 13:7=1 (6. atpūta) un 13:11=1 (2. atpūta). Nākamais pirmskaitlis ir 13, un 13 dalās ar to bez atlikuma, tāpēc mazākais pirmskaitlis p 3 no 13 ir pats skaitlis 13, un a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Tā kā a 3 =1, tad šis algoritma solis ir pēdējais, un nepieciešamajai skaitļa 78 sadalīšanai pirmfaktoros ir forma 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Atbilde:

78=2·3·13.

Piemērs.

Izsakiet skaitli 83 006 kā galveno faktoru reizinājumu.

Risinājums.

Pirmajā algoritma solī skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros atrodam p 1 =2 un a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, no kuriem 83,006=2·41,503.

Otrajā solī mēs noskaidrojam, ka 2, 3 un 5 nav skaitļa a 1 =41 503 pirmdalītāji, bet skaitlis 7 ir, jo 41 503: 7 = 5 929. Mums ir p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Tādējādi 83 006 = 2 7 5 929.

Skaitļa a 2 =5 929 mazākais pirmreizējais dalītājs ir skaitlis 7, jo 5 929:7 = 847. Tādējādi p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, no kura 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847.

Tālāk mēs atklājam, ka skaitļa a 3 =847 mazākais pirmreizējais dalītājs p 4 ir vienāds ar 7. Tad a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, tātad 83 006=2·7·7·7·121.

Tagad atrodam skaitļa a 4 =121 mazāko pirmskaitļa dalītāju, tas ir skaitlis p 5 =11 (jo 121 dalās ar 11 un nedalās ar 7). Tad a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 un 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Visbeidzot, skaitļa a 5 =11 mazākais pirmskaitļa dalītājs ir skaitlis p 6 =11. Tad a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Tā kā 6 =1, šis algoritma solis skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros ir pēdējais, un vēlamajam sadalījumam ir forma 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Iegūto rezultātu var uzrakstīt kā skaitļa kanonisko sadalīšanos pirmfaktoros 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Atbilde:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ir pirmskaitlis. Patiešām, tam nav neviena pirmdalītāja, kas nepārsniedz ( var aptuveni novērtēt kā , jo ir acīmredzams, ka 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Atbilde:

897 924 289 = 937 967 991 .

Dalāmības testu izmantošana pirmfaktorizēšanai

Vienkāršos gadījumos skaitli var sadalīt galvenajos faktoros, neizmantojot sadalīšanas algoritmu no šī raksta pirmās daļas. Ja skaitļi nav lieli, tad, lai tos sadalītu pirmfaktoros, bieži vien pietiek zināt dalāmības zīmes. Skaidrības labad sniegsim piemērus.

Piemēram, mums ir jāiekļauj skaitlis 10 galvenajos faktoros. No reizināšanas tabulas mēs zinām, ka 2 · 5 = 10, un skaitļi 2 un 5 acīmredzami ir pirmskaitļi, tāpēc skaitļa 10 primārā faktorizācija izskatās kā 10 = 2 · 5.

Vēl viens piemērs. Izmantojot reizināšanas tabulu, mēs iekļausim skaitli 48 primārajos faktoros. Mēs zinām, ka seši ir astoņi - četrdesmit astoņi, tas ir, 48 = 6,8. Tomēr ne 6, ne 8 nav pirmskaitļi. Bet mēs zinām, ka divreiz trīs ir seši un divreiz četri ir astoņi, tas ir, 6=2·3 un 8=2·4. Tad 48=6·8=2·3·2·4. Atliek atcerēties, ka divi reiz divi ir četri, tad iegūstam vēlamo sadalīšanos pirmfaktoros 48 = 2·3·2·2·2. Rakstīsim šo paplašinājumu kanoniskā formā: 48=2 4 ·3.

Bet, ierēķinot skaitli 3400 primārajos faktoros, varat izmantot dalāmības kritērijus. Dalības zīmes ar 10, 100 ļauj apgalvot, ka 3400 dalās ar 100, kur 3400=34·100, un 100 dalās ar 10, kur 100=10·10, tātad 3400=34·10·10. Un, pamatojoties uz dalāmības ar 2 testu, mēs varam teikt, ka katrs no faktoriem 34, 10 un 10 dalās ar 2, mēs iegūstam 3 400 = 34 10 10 = 2 17 25 25. Visi iegūtās paplašināšanas faktori ir vienkārši, tāpēc šī paplašināšana ir vēlamā. Atliek tikai pārkārtot faktorus tā, lai tie būtu augošā secībā: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Pierakstīsim arī šī skaitļa kanonisko sadalīšanos pirmfaktoros: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Sadalot doto skaitli pirmfaktoros, pēc kārtas var izmantot gan dalāmības zīmes, gan reizināšanas tabulu. Iedomāsimies skaitli 75 kā galveno faktoru reizinājumu. Dalamības ar 5 tests ļauj apgalvot, ka 75 dalās ar 5, un iegūstam, ka 75 = 5·15. Un no reizināšanas tabulas mēs zinām, ka 15=3·5, tātad, 75=5·3·5. Šī ir nepieciešamā skaitļa 75 sadalīšana primārajos faktoros.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.Ya. un citi.. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
• Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
• Mihelovičs Sh.H. Skaitļu teorija.
• Kuļikovs L.Ja. u.c.. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu krājums: Mācību grāmata fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.

Tiešsaistes kalkulators.
Binoma kvadrāta izolēšana un kvadrātveida trinoma faktorēšana.

Šī matemātikas programma atšķir kvadrātveida binoma no kvadrātveida trinoma, t.i. veic šādas transformācijas:
\(ax^2+bx+c \labā bultiņa a(x+p)^2+q \) un faktorizē kvadrātisko trinomu: \(ax^2+bx+c \labā bultiņa a(x+n)(x+m) \)

Tie. problēmas ir saistītas ar skaitļu \(p, q\) un \(n, m\) atrašanu.

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risināšanas procesu.

Šī programma var noderēt vidusskolēniem vispārizglītojošajās skolās, gatavojoties ieskaitēm un eksāmeniem, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, un vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties pēc iespējas ātrāk paveikt matemātikas vai algebras mājasdarbus? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu apmācību un/vai jaunāko brāļu vai māsu apmācību, vienlaikus paaugstinot izglītības līmeni problēmu risināšanas jomā.

Ja neesat pazīstams ar kvadrātiskā trinoma ievadīšanas noteikumiem, iesakām iepazīties ar tiem.

Kvadrātiskā polinoma ievadīšanas noteikumi

Jebkurš latīņu burts var darboties kā mainīgais.
Piemēram: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) utt.

Skaitļus var ievadīt kā veselus vai daļskaitļus.
Turklāt daļskaitļus var ievadīt ne tikai decimāldaļas, bet arī parastās daļskaitļa formā.

Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Decimāldaļās daļskaitļu daļu no veselās daļas var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas šādi: 2,5x - 3,5x^2

Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.

Saucējs nevar būt negatīvs.

Ievadot skaitlisko daļu, skaitītājs tiek atdalīts no saucēja ar dalījuma zīmi: /
Visa daļa ir atdalīta no frakcijas ar & zīmi: &
Ievade: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultāts: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Ievadot izteiksmi varat izmantot iekavas. Šajā gadījumā, risinot, ieviestā izteiksme vispirms tiek vienkāršota.
Piemēram: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Detalizēta risinājuma piemērs

Binoma kvadrāta izolēšana.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Atbilde:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizācija.$$ ax^2+bx+c \labā bultiņa a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Atbilde:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Izlemiet

Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Binoma kvadrāta atdalīšana no kvadrātveida trinoma

Ja kvadrātveida trinomu ax 2 +bx+c attēlo kā a(x+p) 2 +q, kur p un q ir reāli skaitļi, tad mēs sakām, ka no plkst. kvadrātveida trinomāls, binoma kvadrāts ir izcelts.

No trinoma 2x 2 +12x+14 izņemam binoma kvadrātu.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Lai to izdarītu, iedomājieties 6x kā reizinājumu no 2*3*x un pēc tam pievienojiet un atņemiet 3 2. Mēs iegūstam:
$2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Tas. Mēs izņemiet kvadrātveida binomiālu no kvadrātveida trinoma, un parādīja, ka:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadrātiskā trinoma faktorēšana

Ja kvadrātveida trīsnoma ax 2 +bx+c ir attēlots formā a(x+n)(x+m), kur n un m ir reāli skaitļi, tad tiek uzskatīts, ka darbība ir veikta kvadrātiskā trinoma faktorizācija.

Parādīsim ar piemēru, kā šī transformācija tiek veikta.

Kvadrātiskā trīsnoma koeficients 2x2 +4x-6.

Izņemsim koeficientu a no iekavām, t.i. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Pārveidosim izteiksmi iekavās.
Lai to izdarītu, iedomājieties 2x kā starpību 3x-1x un -3 kā -1*3. Mēs iegūstam:
$$ = 2(x^2+3\cpunkts x-1 \cpunkts x-1\cpunkts 3) = 2(x(x+3)-1 \cpunkts (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Tas. Mēs aprēķina kvadrātisko trinomu, un parādīja, ka:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Ņemiet vērā, ka kvadrātiskā trinoma faktorēšana ir iespējama tikai tad, ja šim trinomam atbilstošajam kvadrātvienādojumam ir saknes.
Tie. mūsu gadījumā ir iespējams faktorēt trinomu 2x 2 +4x-6, ja kvadrātvienādojumam 2x 2 +4x-6 =0 ir saknes. Faktorizācijas procesā mēs noskaidrojām, ka vienādojumam 2x 2 + 4x-6 = 0 ir divas saknes 1 un -3, jo ar šīm vērtībām vienādojums 2(x-1)(x+3)=0 pārvēršas par patiesu vienādību.

Grāmatas (mācību grāmatas) Vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena testu tēzes tiešsaistē Spēles, puzles Funkciju grafiku zīmēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas universitāšu katalogs Saraksts uzdevumiem

Polinoma faktorēšana. 2. daļa

Šajā rakstā mēs turpināsim sarunu par to, kā faktors polinoms. Mēs to jau esam teikuši faktorizēšana ir universāla tehnika, kas palīdz atrisināt sarežģītus vienādojumus un nevienādības. Pirmā doma, kurai vajadzētu ienākt prātā, risinot vienādojumus un nevienādības, kuru labajā pusē ir nulle, ir mēģināt faktorēt kreiso pusi.

Uzskaitīsim galvenos veidi, kā faktorēt polinomu:

• izliekot kopējo faktoru iekavās
• izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas
• izmantojot kvadrātiskā trinoma faktorēšanas formulu
• grupēšanas metode
• dalot polinomu ar binomu
• nenoteikto koeficientu metode.

Mēs to jau esam detalizēti aplūkojuši. Šajā rakstā mēs pievērsīsimies ceturtajai metodei, grupēšanas metode.

Ja terminu skaits polinomā pārsniedz trīs, tad cenšamies piemērot grupēšanas metode. Tas ir šādi:

1.Mēs grupējam terminus noteiktā veidā, lai tad katru grupu varētu kaut kādā veidā faktorizēt. Kritērijs, lai termini būtu pareizi sagrupēti, ir identisku faktoru klātbūtne katrā grupā.

2. Mēs tos pašus faktorus izliekam iekavās.

Tā kā šī metode tiek izmantota visbiežāk, mēs to analizēsim ar piemēriem.

1. piemērs.

Risinājums. 1. Apvienosim terminus grupās:

2. No katras grupas izņemsim kopīgu faktoru:

3. Izņemsim abām grupām kopīgu faktoru:

2. piemērs. Nosakiet izteiksmi:

1. Sagrupēsim pēdējos trīs vārdus un faktorēsim tos, izmantojot kvadrātveida atšķirības formulu:

2. Faktorizēsim iegūto izteiksmi, izmantojot kvadrātu starpības formulu:

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu:

Vienādojuma kreisajā pusē ir četri termini. Mēģināsim faktorēt kreiso pusi, izmantojot grupēšanu.

1. Lai padarītu skaidrāku vienādojuma kreisās puses struktūru, mēs ieviešam mainīgā lieluma maiņu: ,

Mēs iegūstam šādu vienādojumu:

2. Izmantosim kreiso pusi, izmantojot grupēšanu:

Uzmanību! Lai nekļūdītos ar zīmēm, iesaku terminus apvienot grupās “kā ir”, tas ir, nemainot koeficientu zīmes un nākamajā solī, ja nepieciešams, izlikt “mīnusu” kronšteins.

3. Tātad, mēs saņēmām vienādojumu:

4. Atgriezīsimies pie sākotnējā mainīgā:

Sadalīsim abas puses ar . Mēs iegūstam:. No šejienes

Atbilde: 0

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu:

Lai padarītu vienādojuma struktūru "caurspīdīgāku", mēs ieviešam mainīgā lieluma izmaiņas:

Mēs iegūstam vienādojumu:

Faktorizēsim vienādojuma kreiso pusi. Lai to izdarītu, mēs sagrupējam pirmo un otro terminu un ievietojam tos iekavās:

Izliksim to no iekavām:

Atgriezīsimies pie vienādojuma:

No šejienes vai

Atgriezīsimies pie sākotnējā mainīgā:

Apskatīsim konkrētus piemērus, kā faktorēt polinomu.

Mēs paplašināsim polinomus saskaņā ar .

Faktoru polinomi:

Pārbaudīsim, vai pastāv kopīgs faktors. jā, tas ir vienāds ar 7 cd. Izņemsim to no iekavām:

Izteiksme iekavās sastāv no diviem terminiem. Vairs nav vienota faktora, izteiksme nav kubu summas formula, kas nozīmē, ka sadalīšana ir pabeigta.

Pārbaudīsim, vai pastāv kopīgs faktors. Nē. Polinoms sastāv no trim vārdiem, tāpēc mēs pārbaudām, vai ir formula pilnīgam kvadrātam. Divi vārdi ir izteiksmju kvadrāti: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trešais vārds ir vienāds ar šo izteiksmju dubultreizinājumu: 2∙5x∙3y=30xy. Tas nozīmē, ka šis polinoms ir ideāls kvadrāts. Tā kā dubultproduktam ir mīnusa zīme, tas ir:

Mēs pārbaudām, vai ir iespējams izņemt kopējo faktoru no iekavām. Ir kopīgs faktors, tas ir vienāds ar a. Izņemsim to no iekavām:

Iekavās ir divi termini. Mēs pārbaudām, vai ir formula kvadrātu atšķirībai vai kubu atšķirībai. a² ir a kvadrāts, 1=1². Tas nozīmē, ka izteiksmi iekavās var uzrakstīt, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu:

Ir kopīgs koeficients, tas ir vienāds ar 5. Izņemsim to no iekavām:

iekavās ir trīs termini. Mēs pārbaudām, vai izteiksme ir ideāls kvadrāts. Divi termini ir kvadrāti: 16=4² un a² - a kvadrāts, trešais vārds ir vienāds ar 4 un a dubultreizinājumu: 2∙4∙a=8a. Tāpēc tas ir ideāls kvadrāts. Tā kā visiem terminiem ir “+” zīme, iekavās esošā izteiksme ir ideāls summas kvadrāts:

No iekavām izņemam vispārējo reizinātāju -2x:

Iekavās ir divu terminu summa. Mēs pārbaudām, vai šī izteiksme ir kubu summa. 64=4³, x³- kubs x. Tas nozīmē, ka binomiālu var paplašināt, izmantojot formulu:

Ir kopīgs reizinātājs. Bet, tā kā polinoms sastāv no 4 vārdiem, mēs vispirms un tikai pēc tam izņemsim kopējo koeficientu no iekavām. Sagrupēsim pirmo terminu ar ceturto, bet otro ar trešo:

No pirmajām iekavām mēs izņemam kopējo koeficientu 4a, no otrās - 8b:

Kopēja reizinātāja vēl nav. Lai to iegūtu, mēs izņemam “-” no otrajām iekavām, un katra zīme iekavās mainās uz pretējo:

Tagad izņemsim kopējo koeficientu (1-3a) no iekavām:

Otrajās iekavās ir kopīgs koeficients 4 (tas ir tas pats faktors, ko mēs neiekavām piemēra sākumā):

Tā kā polinoms sastāv no četriem terminiem, mēs veicam grupēšanu. Sagrupēsim pirmo terminu ar otro, trešo ar ceturto:

Pirmajās iekavās nav kopēja faktora, bet ir formula kvadrātu atšķirībai, otrajās iekavās kopējais koeficients ir -5:

Ir parādījies kopīgs reizinātājs (4m-3n). Izņemsim to no vienādojuma.

Kopumā šim uzdevumam nepieciešama radoša pieeja, jo nav universālas metodes tā risināšanai. Bet mēģināsim sniegt dažus padomus.

Lielākajā daļā gadījumu polinoma faktorizācijas pamatā ir Bezout teorēmas sekas, tas ir, tiek atrasta vai atlasīta sakne un polinoma pakāpe tiek samazināta par vienu, dalot ar . Tiek meklēta iegūtā polinoma sakne un process tiek atkārtots līdz pilnīgai paplašināšanai.

Ja sakni nevar atrast, tiek izmantotas specifiskas paplašināšanas metodes: no grupēšanas līdz papildu savstarpēji izslēdzošu terminu ieviešanai.

Tālākā prezentācija ir balstīta uz prasmi risināt augstākas pakāpes vienādojumus ar veseliem skaitļiem.

Kopējā faktora izslēgšana.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu, kad brīvais termins ir vienāds ar nulli, tas ir, polinomam ir forma .

Acīmredzot šāda polinoma sakne ir , tas ir, mēs varam attēlot polinomu formā .

Šī metode ir nekas vairāk kā izliekot kopējo faktoru iekavās.

Piemērs.

Trešās pakāpes polinoma koeficients.

Risinājums.

Acīmredzot, kas ir polinoma sakne, tas ir X var izņemt no iekavām:

Atradīsim kvadrātiskā trinoma saknes

Tādējādi

Lapas augšdaļa

Polinoma ar racionālām saknēm faktorēšana.

Vispirms apskatīsim metodi polinoma paplašināšanai ar veselu skaitļu koeficientiem formā , augstākās pakāpes koeficients ir vienāds ar vienu.

Šajā gadījumā, ja polinomam ir vesela skaitļa saknes, tad tās ir brīvā vārda dalītāji.

Piemērs.

Risinājums.

Pārbaudīsim, vai ir neskartas saknes. Lai to izdarītu, pierakstiet skaitļa dalītājus -18 : . Tas ir, ja polinomam ir vesela skaitļa saknes, tad tās ir starp rakstītajiem skaitļiem. Pārbaudīsim šos skaitļus secīgi, izmantojot Hornera shēmu. Tās ērtības slēpjas arī tajā, ka galu galā iegūstam polinoma izplešanās koeficientus:

Tas ir, x=2 Un x=-3 ir sākotnējā polinoma saknes, un mēs to varam attēlot kā produktu:

Atliek paplašināt kvadrātisko trinomu.

Šī trinoma diskriminants ir negatīvs, tāpēc tam nav īstu sakņu.

Atbilde:

komentēt:

Hornera shēmas vietā varētu izmantot saknes izvēli un sekojošu polinoma dalīšanu ar polinomu.

Tagad apsveriet polinoma paplašināšanu ar formas veseliem skaitļiem, un augstākās pakāpes koeficients nav vienāds ar vienu.

Šajā gadījumā polinomam var būt daļēji racionālas saknes.

Piemērs.

Nosakiet izteiksmi.

Risinājums.

Veicot mainīgo maiņu y=2x, pāriesim uz polinomu, kura koeficients ir vienāds ar vienu augstākajā pakāpē. Lai to izdarītu, vispirms reiziniet izteiksmi ar 4 .

Ja iegūtajai funkcijai ir vesela skaitļa saknes, tad tās ir starp brīvā vārda dalītājiem. Pierakstīsim tos:

Ļaujiet mums secīgi aprēķināt funkcijas vērtības g(y)šajos punktos, līdz tiek sasniegta nulle.