Desigualdades logarítmicas
En las lecciones anteriores, nos encontramos con ecuaciones logarítmicas y ahora sabemos qué es y cómo resolverlas. La lección de hoy será sobre el aprendizaje. desigualdades logarítmicas... ¿Cuáles son estas desigualdades y cuál es la diferencia entre resolver una ecuación logarítmica y una desigualdad?
Las desigualdades logarítmicas son desigualdades que tienen una variable bajo el signo del logaritmo o en su base.
O también puede decir que una desigualdad logarítmica es una desigualdad en la que su valor desconocido, como en la ecuación logarítmica, estará bajo el signo del logaritmo.
Las desigualdades logarítmicas más simples son las siguientes:
donde f (x) y g (x) son algunas expresiones que dependen de x.
Veamos esto con un ejemplo: f (x) = 1 + 2x + x2, g (x) = 3x - 1.
Resolver desigualdades logarítmicas
Antes de resolver desigualdades logarítmicas, cabe señalar que al resolverlas, se asemejan desigualdades exponenciales, a saber:
Primero, al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo del logaritmo, también necesitamos comparar la base del logaritmo con uno;
Segundo, resolviendo la desigualdad logarítmica usando un cambio de variables, necesitamos resolver la desigualdad sobre el cambio hasta que obtengamos la desigualdad más simple.
Pero tú y yo hemos considerado aspectos similares de la resolución de desigualdades logarítmicas. Y ahora prestemos atención a una diferencia bastante significativa. Tu y yo sabemos que función logarítmica tiene un dominio de definición limitado, por lo tanto, al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo del logaritmo, es necesario tener en cuenta el dominio valores aceptables(ODZ).
Es decir, hay que tener en cuenta que a la hora de decidir ecuación logarítmica tú y yo, primero podemos encontrar las raíces de la ecuación y luego verificar esta solución. Pero para resolver la desigualdad logarítmica no funcionará de esa forma, ya que al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo del logaritmo, será necesario escribir la ODZ de la desigualdad.
Además, conviene recordar que la teoría de las desigualdades consta de numeros reales, que son positivos y números negativos, así como el número 0.
Por ejemplo, cuando el número "a" es positivo, debe utilizar el siguiente registro: a> 0. En este caso, tanto la suma como el producto de estos números también serán positivos.
El principio fundamental para resolver una desigualdad es reemplazarla por una desigualdad más simple, pero lo principal es que es equivalente a la dada. Además, también obtuvimos una desigualdad y la reemplazamos nuevamente con una que tiene una forma más simple, etc.
Resolviendo desigualdades con una variable, necesitas encontrar todas sus soluciones. Si dos desigualdades tienen una variable x, entonces dichas desigualdades son equivalentes, siempre que sus soluciones coincidan.
Al realizar tareas para resolver desigualdades logarítmicas, es necesario recordar que cuando a> 1, la función logarítmica aumenta, y cuando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Maneras de resolver desigualdades logarítmicas
Ahora veamos algunas de las formas que ocurren cuando se resuelven desigualdades logarítmicas. Para una mejor comprensión y asimilación, intentaremos comprenderlos con ejemplos concretos.
Tú y yo sabemos que la desigualdad logarítmica más simple tiene la siguiente forma:
En esta desigualdad, V - es uno de los signos de desigualdad como:<,>, ≤ o ≥.
Cuando la base de este logaritmo es mayor que uno (a> 1), haciendo la transición de logaritmos a expresiones bajo el signo del logaritmo, entonces en esta versión se conserva el signo de desigualdad, y la desigualdad se verá así:
que es equivalente a tal sistema:
En el caso de que la base del logaritmo sea mayor que cero y menor que uno (0 Esto es equivalente a este sistema: Veamos más ejemplos de cómo resolver las desigualdades logarítmicas más simples que se muestran en la siguiente imagen: Ejercicio. Intentemos resolver esta desigualdad: Solución del rango de valores válidos. Ahora intentemos multiplicar su lado derecho por: Veamos lo que obtenemos: Ahora, pasemos a la transformación de expresiones sublogarítmicas. Debido a que la base del logaritmo es 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8> 16; Y de esto se deduce que el intervalo que hemos obtenido pertenece total y completamente a la GDZ y es una solución a tal desigualdad. Esta es nuestra respuesta: Ahora intentemos analizar lo que necesitamos para resolver con éxito las desigualdades logarítmicas. Primero, centra toda tu atención y trata de no cometer errores a la hora de realizar las transformaciones que se dan en esta desigualdad. Asimismo, conviene recordar que al resolver dichas desigualdades, es necesario evitar la expansión y contracción de la desigualdad ODZ, que puede llevar a la pérdida o adquisición de soluciones extrañas. En segundo lugar, al resolver desigualdades logarítmicas, debe aprender a pensar de manera lógica y comprender la diferencia entre conceptos como un sistema de desigualdades y un conjunto de desigualdades para que pueda seleccionar fácilmente soluciones a la desigualdad, mientras se guía por su ODV. En tercer lugar, para resolver con éxito tales desigualdades, cada uno de ustedes debe conocer perfectamente todas las propiedades de las funciones elementales y comprender claramente su significado. Estas funciones incluyen no solo logarítmicas, sino también racionales, de potencia, trigonométricas, etc., en una palabra, todas las que estudiaste durante enseñanzaálgebra. Como puede ver, habiendo estudiado el tema de las desigualdades logarítmicas, no hay nada difícil en resolver estas desigualdades, siempre que esté atento y perseverante en la consecución de sus objetivos. Para evitar problemas en la resolución de desigualdades, es necesario entrenar tanto como sea posible, resolviendo diversas tareas y al mismo tiempo memorizar las principales formas de resolver dichas desigualdades y sus sistemas. En caso de soluciones fallidas para las desigualdades logarítmicas, debe analizar cuidadosamente sus errores para no volver a ellos en el futuro. Para una mejor comprensión del tema y consolidación del material pasado, resuelva las siguientes desigualdades: Están dentro de los logaritmos. Ejemplos: \ (\ log_3x≥ \ log_39 \) Cualquier desigualdad logarítmica debe reducirse a la forma \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) (el símbolo \ (˅ \) significa cualquiera de). Esta forma le permite deshacerse de los logaritmos y sus bases, haciendo la transición a la desigualdad de expresiones bajo los logaritmos, es decir, a la forma \ (f (x) ˅ g (x) \). Pero hay una sutileza muy importante al realizar esta transición: \ (\ log_2 ((8-x))<1\) Solución: \ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ ((2x-4) \) ≥ \ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ (((x + 1)) \) Solución: ¡Muy importante! En cualquier desigualdad, la transición de la forma \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) a la comparación de expresiones bajo logaritmos se puede hacer solo si: Ejemplo
... Resolver desigualdad: \ (\ log \) \ (≤-1 \) Solución:
\ (\ Iniciar sesión \) \ (_ (\ frac (1) (3)) (\ frac (3x-2) (2x-3)) \)\(≤-1\) Escribamos ODZ. ODZ: \ (\ frac (3x-2) (2x-3) \) \ (> 0 \) \ ( \ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \)\(≥\) \(0\) Abrimos los corchetes, damos. \ ( \ frac (-3x + 7) (2x-3) \) \ (≥ \) \ (0 \) Multiplicamos la desigualdad por \ (- 1 \), sin olvidarnos de invertir el signo de comparación. \ ( \ frac (3x-7) (2x-3) \) \ (≤ \) \ (0 \) \ ( \ frac (3 (x- \ frac (7) (3))) (2 (x- \ frac (3) (2))) \)\(≤\) \(0\) Construyamos un eje numérico y marquemos los puntos \ (\ frac (7) (3) \) y \ (\ frac (3) (2) \ en él. Tenga en cuenta que el punto del denominador está perforado, a pesar de que la desigualdad no es estricta. El caso es que este punto no será una solución, ya que al ser sustituido en la desigualdad, nos llevará a la división por cero. Ahora, en el mismo eje numérico, trazamos la ODZ y escribimos en respuesta el intervalo que cae dentro de la ODZ. Escribimos la respuesta final. Ejemplo
... Resuelve la desigualdad: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) Solución:
\ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) Escribamos ODZ. ODZ: \ (x> 0 \) Vayamos a la solución. Solución: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) Tenemos ante nosotros una desigualdad típica logarítmica al cuadrado. Nosotros lo hacemos. \ (t = \ log_3x \) \ (D = 1 + 8 = 9 \) Ahora necesitas volver a la variable original - x. Para hacer esto, vaya a uno que tenga la misma solución y realice el reemplazo inverso. \ (\ left [\ begin (reunido) t> 2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \ log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) Convierte \ (2 = \ log_39 \), \ (- 1 = \ log_3 \ frac (1) (3) \). \ (\ left [\ begin (reunido) \ log_3x> \ log_39 \\ \ log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Hacemos la transición a la comparación de argumentos. Las bases de los logaritmos son mayores que \ (1 \), por lo que el signo de las desigualdades no cambia. \ (\ left [\ begin (reunido) x> 9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Combinemos la solución de la desigualdad y la EDS en una figura. Anotemos la respuesta. DESIGUALDADES LOGARITMICAS EN EL USO
Sechin Mikhail Alexandrovich Pequeña Academia de Ciencias de jóvenes estudiantes de la República de Kazajstán "Buscador" MBOU "Escuela secundaria n ° 1 de Sovetskaya", grado 11, ciudad. Distrito de Sovetsky Sovetsky Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU "Escuela soviética №1" Distrito soviético Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de resolución de desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes del logaritmo. Tema de estudio:
3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 utilizando métodos no estándar. Resultados:
Contenido
Introducción ……………………………………………………………………… .4
Capítulo 1. Antecedentes ………………………………………………… ... 5
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transiciones equivalentes y generalizadas método de intervalo…………… 7
2.2. Método de racionalización ………………………………………………… 15 2.3. Sustitución no estándar ……………… ........................................ .. ..... 22 2.4. Misiones de trampas …………………………………………………… 27 Conclusión ………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introducción
Estoy en el 11 ° grado y planeo ingresar a una universidad donde las matemáticas son una asignatura especializada. Por lo tanto, trabajo mucho con los problemas de la parte C. En la tarea C3, necesitas resolver una desigualdad no estándar o un sistema de desigualdades, generalmente asociado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me enfrenté al problema de la falta de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen, que se ofrecen en C3. Los métodos que se estudian en el currículo escolar sobre este tema no proporcionan una base para la resolución de las tareas C3. La profesora de matemáticas me invitó a trabajar con las tareas de C3 por mi cuenta, bajo su guía. Además, me interesaba la pregunta: ¿ocurren los logaritmos en nuestra vida? Con esto en mente, se eligió el tema: "Desigualdades logarítmicas en el examen"
Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de resolución de problemas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes del logaritmo. Tema de estudio:
1) Encuentra la información necesaria sobre métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas. 2) Encuentre más información sobre logaritmos. 3) Aprenda a resolver problemas específicos de C3 utilizando métodos no estándar. Resultados:
La importancia práctica radica en la expansión del aparato para resolver problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, para círculos, actividades extraescolares en matemáticas. El producto del proyecto será la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”. Capítulo 1. Antecedentes
Durante el siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. La mejora de los instrumentos, el estudio de los movimientos planetarios y otros trabajos requirieron cálculos colosales, a veces muchos años. La astronomía estaba en peligro real de ahogarse en cálculos incumplidos. Surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo, en el negocio de seguros, se necesitaban tablas de interés compuesto para varios valores de interés. La principal dificultad estuvo representada por la multiplicación, división de números de varios dígitos, especialmente cantidades trigonométricas. El descubrimiento de los logaritmos se basó en las conocidas propiedades de las progresiones a finales del siglo XVI. Arquímedes habló sobre la conexión entre los miembros de la progresión geométrica q, q2, q3, ... y la progresión aritmética de sus exponentes 1, 2, 3, ... Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a indicadores negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, la división, la elevación a una potencia y la extracción de una raíz se corresponden exponencialmente en aritmética - en el mismo orden - suma, resta, multiplicación y división. Esta era la idea detrás del logaritmo como exponente. Varias etapas han pasado en la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos. Nivel 1
Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Burghi (1552-1632). Ambos querían proporcionar un nuevo medio conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron este problema de diferentes maneras. Neper expresó cinemáticamente la función logarítmica y, así, entró en una nueva área de la teoría de funciones. Burghi se mantuvo sobre la base de considerar progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no se parece a la moderna. El término "logaritmo" (logaritmo) pertenece a Napier. Surgió de una combinación de palabras griegas: logos - "relación" y ariqmo - "número", que significaba "número de relaciones". Inicialmente, Napier usó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", en contraposición a numeri naturalts - "números naturales". En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresch College de Londres, Napier propuso tomar cero para el logaritmo de uno y 100 para el logaritmo de diez, o, que se reduce a la lo mismo, simplemente 1. Así aparecieron los logaritmos decimales y se imprimieron las primeras tablas logarítmicas. Más tarde, el librero y matemático holandés Andrian Flakk (1600-1667) complementó las tablas de Briggs. Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que nadie, publicaron sus tablas más tarde que otros, en 1620. Los letreros de troncos y troncos fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659, seguido por N. Mercator en 1668, y el profesor de Londres John Speidel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 bajo el título "Nuevos logaritmos". En ruso, las primeras tablas logarítmicas se publicaron en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas se cometieron errores en el cálculo. Las primeras tablas libres de errores se publicaron en 1857 en Berlín, procesadas por el matemático alemán K. Bremiker (1804-1877). Etapa 2
Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos se asocia con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo de infinitesimal. El establecimiento de una conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural se remonta a esa época. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos. El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en la composición "Logaritmología" (1668) da una serie que da la expansión de ln (x + 1) en poderes de x: Esta expresión corresponde exactamente a la línea de su pensamiento, aunque él, por supuesto, no usó los signos d, ..., sino símbolos más engorrosos. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica de cálculo de los logaritmos cambió: se empezaron a determinar mediante series infinitas. En sus conferencias "Matemáticas elementales desde el punto de vista más elevado", dictadas en 1907-1908, F. Klein sugirió usar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos. Etapa 3
Definición de una función logarítmica en función de la inversa exponencial, logaritmo como indicador del grado de una base dada no fue formulado de inmediato. Composición de Leonard Euler (1707-1783) Una introducción al análisis del infinitesimal (1748) sirvió como un desarrollo de la teoría de la función logarítmica. Por lo tanto, Han pasado 134 años desde que se introdujeron por primera vez los logaritmos (contando desde 1614) antes de que los matemáticos llegaran a la definición el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar. Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos. Transiciones equivalentes
Método de intervalo generalizado
Este método más versátil para resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El esquema de la solución se ve así: 1. Reducir la desigualdad a la forma donde se encuentra la función en el lado izquierdo 2. Encuentra el dominio de la función 3. Encuentra los ceros de la función. 4. Dibuja el dominio y los ceros de la función en la recta numérica. 5. Determina los signos de la función. 6. Seleccione los intervalos en los que la función toma los valores requeridos y escriba la respuesta. Ejemplo 1.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado. dónde Para estos valores, todas las expresiones bajo el signo de los logaritmos son positivas. Respuesta:
Ejemplo 2.
Solución:
1er
camino
.
ODZ se define por la desigualdad X> 3. Tomando el logaritmo para tal X base 10, obtenemos La última desigualdad podría resolverse aplicando las reglas de descomposición, es decir comparando los factores a cero. Sin embargo, en este caso, es fácil determinar los intervalos de constancia de la función por lo tanto, se puede aplicar el método de espaciado. Función F(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ es continuo en X> 3 y desaparece en puntos X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Así, definimos los intervalos de constancia de la función F(X):
Respuesta: 2do camino
.
Apliquemos las ideas del método de intervalos directamente a la desigualdad original. Para hacer esto, recuerde que las expresiones a B - a c y ( a - 1)(B- 1) tener un letrero. Entonces nuestra desigualdad para X> 3 es equivalente a la desigualdad o La última desigualdad se resuelve mediante el método de intervalos. Respuesta: Ejemplo 3.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado. Respuesta: Ejemplo 4.
Solución:
Desde 2 X 2 - 3X+ 3> 0 para todo real X, luego Para resolver la segunda desigualdad, usamos el método de intervalos En la primera desigualdad, hacemos el reemplazo luego llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y que satisfacen la desigualdad -0.5< y < 1.
Donde, desde obtenemos la desigualdad que se lleva a cabo con aquellos X para los cuales 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ahora, teniendo en cuenta la solución de la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos Respuesta:
Ejemplo 5.
Solución:
La desigualdad es equivalente a un conjunto de sistemas o Apliquemos el método de intervalos o Respuesta:
Ejemplo 6.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema Permitir luego y > 0,
y la primera desigualdad el sistema toma la forma o expandiendo trinomio cuadrado por factores, Aplicando el método de intervalos a la última desigualdad, vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.
Por tanto, la desigualdad original es equivalente al sistema: Entonces, las soluciones a la desigualdad son todas 2.2. Método de racionalización. Anteriormente, el método de racionalizar la desigualdad no se resolvía, no se conocía. Esto es "nuevo y moderno método efectivo soluciones de desigualdades exponenciales y logarítmicas "(cita del libro de S. I. Kolesnikova) "Mesa mágica"
En otras fuentes
si a> 1 y b> 1, luego log a b> 0 y (a -1) (b -1)> 0; si a> 1 y 0 si 0<a<1 и b
>1, luego registre a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<a<1 и 00 y (a -1) (b -1)> 0. El razonamiento anterior es simple, pero simplifica notablemente la solución de desigualdades logarítmicas. Ejemplo 4.
log x (x 2-3)<0
Solución:
Ejemplo 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 + x) Solución: Ejemplo 6.
Para resolver esta desigualdad, en lugar del denominador, escribiremos (x-1-1) (x-1), y en lugar del numerador, el producto (x-1) (x-3-9 + x). Ejemplo 7.
Ejemplo 8.
2.3. Sustitución no estándar. Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Hagamos la sustitución y = 3 x -1; entonces esta desigualdad toma la forma Log 4 log 0,25 Porque log 0,25 Hacemos el cambio t = log 4 y y obtenemos la desigualdad t 2 -2t + ≥0, cuya solución son los intervalos - Por lo tanto, para encontrar los valores de y, tenemos un conjunto de dos desigualdades más simples Por lo tanto, la desigualdad original es equivalente a la colección de dos desigualdades exponenciales, La solución a la primera desigualdad de este conjunto es el intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ejemplo 8.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema La solución a la segunda desigualdad, que determina la DHS, será el conjunto de aquellos X,
para cual X > 0.
Para resolver la primera desigualdad, hacemos la sustitución Entonces obtenemos la desigualdad o El conjunto de soluciones de la última desigualdad se obtiene mediante el método intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, obtenemos o Muchos de esos X que satisfacen la última desigualdad pertenece a ODZ ( X> 0), por lo tanto, es una solución al sistema y de ahí la desigualdad original. Respuesta: 2.4. Tareas con trampas. Ejemplo 1.
Solución. Las desigualdades ODZ son todas x que satisfacen la condición 0 Ejemplo 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)> log 2 (2 x-1 + 1-x) +1. Conclusión
No fue fácil encontrar métodos especiales para resolver problemas C3 a partir de la gran abundancia de diferentes fuentes educativas. En el curso del trabajo realizado, pude estudiar métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas complejas. Estos son: transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos, el método de racionalización ,
sustitución no estándar ,
tareas con trampas en la ODZ. Estos métodos están ausentes en el plan de estudios de la escuela. Utilizando diferentes métodos, resolví 27 desigualdades propuestas en el examen en la parte C, a saber, C3. Estas desigualdades con soluciones por métodos formaron la base de la colección "Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones", que se convirtió en un proyecto producto de mi trabajo. Se confirmó la hipótesis que planteé al inicio del proyecto: las tareas del C3 se pueden resolver eficazmente conociendo estos métodos. Además, encontré datos interesantes sobre los logaritmos. Fue interesante para mí hacerlo. Mis productos de diseño serán útiles tanto para estudiantes como para profesores. Conclusiones:
Por lo tanto, se ha logrado el objetivo establecido del proyecto, se ha resuelto el problema. Y obtuve la experiencia más completa y versátil en actividades de proyectos en todas las etapas del trabajo. En el curso del trabajo en el proyecto, mi principal impacto en el desarrollo fue la competencia mental, las actividades relacionadas con las operaciones mentales lógicas, el desarrollo de la competencia creativa, la iniciativa personal, la responsabilidad, la perseverancia, la actividad. Una garantía de éxito a la hora de crear un proyecto de investigación para Me convertí en: experiencia escolar significativa, la capacidad de extraer información de varias fuentes, verificar su confiabilidad, clasificarla por importancia. Además del conocimiento directo de la asignatura en matemáticas, amplió sus habilidades prácticas en el campo de la informática, adquirió nuevos conocimientos y experiencia en el campo de la psicología, estableció contactos con compañeros de clase y aprendió a cooperar con adultos. En el transcurso de las actividades del proyecto, se desarrollaron habilidades y destrezas educativas generales organizativas, intelectuales y comunicativas. Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades con una variable (tareas típicas C3). 2. Malkova A. G. Preparación para el examen de matemáticas. 3. Samarova SS Solución de desigualdades logarítmicas. 4. Matemáticas. Colección de trabajos de formación editada por A.L. Semyonova e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Una desigualdad se llama logarítmica si contiene una función logarítmica. Los métodos para resolver desigualdades logarítmicas no son diferentes de, excepto por dos cosas. Primero, al pasar de una desigualdad logarítmica a una desigualdad de funciones sublogarítmicas, se sigue que mira el signo de la desigualdad resultante... Obedece la siguiente regla. Si la base de la función logarítmica es mayor que $ 1 $, entonces al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, el signo de la desigualdad se conserva, y si es menor que $ 1 $, entonces cambia a lo contrario. En segundo lugar, la solución de cualquier desigualdad es un intervalo y, por lo tanto, al final de la solución de la desigualdad de funciones sublogarítmicas, es necesario componer un sistema de dos desigualdades: la primera desigualdad de este sistema será la desigualdad de funciones sublogarítmicas, y el segundo es el intervalo del dominio de definición de funciones logarítmicas incluidas en la desigualdad logarítmica. Resolvamos las desigualdades: 1.
$ \ log_ (2) ((x + 3)) \ geq 3. $ $ D (y): \ x + 3> 0. $ $ x \ in (-3; + \ infty) $ La base del logaritmo es $ 2> 1 $, por lo que el signo no cambia. Usando la definición del logaritmo, obtenemos: $ x + 3 \ geq 2 ^ (3), $ $ x \ pulg)
Ejemplos de soluciones
3x> 24;
x> 8. 
¿Qué se necesita para resolver desigualdades logarítmicas?
Tarea
\ (\ log_3 ((x ^ 2-3))< \log_3{(2x)}\)
\ (\ log_ (x + 1) ((x ^ 2 + 3x-7))> 2 \)
\ (\ lg ^ 2 ((x + 1)) + 10≤11 \ lg ((x + 1)) \)Cómo resolver desigualdades logarítmicas:
\ (- \) si es un número y es mayor que 1, el signo de desigualdad permanece igual durante la transición,
\ (- \) si la base es un número mayor que 0, pero menor que 1 (se encuentra entre cero y uno), entonces el signo de la desigualdad debe invertirse, es decir
ODZ: \ (8-x> 0 \)
\ (- x> -8 \)
\ (X<8\)
\ (\ log \) \ (_ 2 \) \ ((8-x)<\log\)\(_2\)
\({2}\)
\ (8-x \) \ (<\)
\(2\)
\(8-2
Respuesta: \ ((6; 8) \)
ODZ: \ (\ begin (casos) 2x-4> 0 \\ x + 1> 0 \ end (casos) \)
\ (\ begin (cases) 2x> 4 \\ x> -1 \ end (cases) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (cases) x> 2 \\ x> -1 \ end (cases) \) \ (\ Flecha izquierda \) \ (x \ in (2; \ infty) \)
\ (2x-4 \) \ (≤ \) \ (x + 1 \)
\ (2x-x≤4 + 1 \)
\ (x≤5 \)
Respuesta: \ ((2; 5] \)
Respuesta:
\ (x∈ (\) \ (\ frac (3) (2) \) \ (; \) \ (\ frac (7) (3)] \)
\ (x∈ (\) \ (\ frac (3) (2) \) \ (; \) \ (\ frac (7) (3)] \)
Respuesta:
\ ((0; \ frac (1) (3)) ∪ (9; ∞) \)
\ (t ^ 2-t-2> 0 \) Expande el lado izquierdo de la desigualdad en.
\ (t_1 = \ frac (1 + 3) (2) = 2 \)
\ (t_2 = \ frac (1-3) (2) = - 1 \)
\ ((t + 1) (t-2)> 0 \)
si a> 1
si 0 <
а <
1
, y a la derecha 0..
, es decir, para resolver la ecuación 
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).a los intervalos obtenidos.
E incluso si el maestro lo conocía, había aprensión: ¿el examinador lo conoce y por qué no se le da en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿Dónde lo conseguiste? Siéntate - 2."
El método ahora se promueve ampliamente. Y para los expertos existen pautas asociadas a este método, y en las "Ediciones más completas de las opciones estándar ..." en la solución C3 se utiliza este método.
¡MÉTODO MARAVILLOSO!
Respuesta... (0; 0,5) U.
Respuesta :
(3;6)
.
= -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, luego reescribe la última desigualdad como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solución a este conjunto son los intervalos 0<у≤2 и 8≤у<+.
es decir, los agregados 
... Por tanto, la desigualdad original se cumple para todos los valores de x de los intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Por tanto, toda x del intervalo 0 Práctica.