Apsveriet šādus vienādojumus:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x2 + y2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Katrs no iepriekš minētajiem vienādojumiem ir vienādojums ar diviem mainīgajiem. To koordinātu plaknes punktu kopu, kuru koordinātes pārvērš vienādojumu patiesā skaitliskā vienādībā, sauc vienādojuma grafiks divos nezināmajos.
Vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem
Vienādojumiem ar diviem mainīgajiem ir daudz dažādu diagrammu. Piemēram, vienādojumam 2*x + 3*y = 15 grafiks būs taisna līnija, vienādojumam x 2 + y 2 = 4 grafiks būs aplis ar rādiusu 2, grafiks vienādojums y*x = 1 būs hiperbola utt.
Veseliem vienādojumiem ar diviem mainīgajiem ir arī tāda lieta kā pakāpe. Šo pakāpi nosaka tāpat kā visam vienādojumam ar vienu mainīgo. Lai to izdarītu, vienādojums tiek izveidots tādā formā, kad kreisā puse ir polinoms standarta skats, bet labais ir nulle. Tas tiek darīts, izmantojot līdzvērtīgas transformācijas.
Grafisks vienādojumu sistēmu risināšanas veids
Izdomāsim, kā atrisināt vienādojumu sistēmas, kas sastāvēs no diviem vienādojumiem ar diviem mainīgajiem. Apsveriet grafisku veidu, kā atrisināt šādas sistēmas.
Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:
(x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
Atzīmēsim pirmā un otrā vienādojuma grafikus vienā koordinātu sistēmā. Pirmā vienādojuma grafiks būs aplis, kura centrs ir sākuma punktā un rādiuss 5. Otrā vienādojuma grafiks būs parabola ar zariem uz leju.
Visi diagrammu punkti apmierinās katrs savu vienādojumu. Mums jāatrod tādi punkti, kas apmierinās gan pirmo, gan otro vienādojumu. Acīmredzot tie būs punkti, kur šie divi grafiki krustojas.
Izmantojot mūsu zīmējumu, mēs atrodam aptuvenās koordinātu vērtības, kurās šie punkti krustojas. Mēs iegūstam šādus rezultātus:
A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).
Tātad mūsu vienādojumu sistēmai ir četri risinājumi.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4, y4 ≈ -3.
Ja šīs vērtības aizstājam mūsu sistēmas vienādojumos, mēs varam redzēt, ka pirmais un trešais risinājums ir aptuveni, bet otrais un ceturtais ir precīzi. Grafisko metodi bieži izmanto, lai novērtētu sakņu skaitu un to aptuvenās robežas. Risinājumi biežāk ir aptuveni nekā precīzi.
Šajā nodarbībā mēs apsvērsim divu vienādojumu sistēmu risināšanu ar diviem mainīgajiem. Vispirms apskatīsim divu sistēmas grafisko risinājumu lineārie vienādojumi, to grafiku kopuma specifika. Tālāk mēs risinām vairākas sistēmas, izmantojot grafisko metodi.
Tēma: Vienādojumu sistēmas
Nodarbība: Grafiskā metode vienādojumu sistēmas risināšanai
Apsveriet sistēmu
Tiek saukts skaitļu pāris, kas vienlaikus ir sistēmas pirmā un otrā vienādojuma risinājums. vienādojumu sistēmas risinājums.
Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast visus tās risinājumus vai konstatēt, ka risinājumu nav. Mēs esam apsvēruši pamatvienādojumu grafikus, pāriesim pie sistēmu izskatīšanas.
Piemērs 1. Atrisiniet sistēmu 
Risinājums:
Tie ir lineāri vienādojumi, katra no tiem grafiks ir taisna līnija. Pirmā vienādojuma grafiks iet caur punktiem (0; 1) un (-1; 0). Otrā vienādojuma grafiks iet caur punktiem (0; -1) un (-1; 0). Taisnes krustojas punktā (-1; 0), tas ir vienādojumu sistēmas atrisinājums ( Rīsi. 1).
Sistēmas risinājums ir skaitļu pāris.Aizvietojot šo skaitļu pāri katrā vienādojumā, iegūstam pareizo vienādību.
Mēs saņēmām vienīgais lēmums lineārā sistēma.
Atgādiniet, ka, risinot lineāro sistēmu, ir iespējami šādi gadījumi:
sistēmai ir unikāls risinājums - līnijas krustojas,
sistēmai nav risinājumu - līnijas ir paralēlas,
sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu – līnijas sakrīt.
Mēs esam aplūkojuši īpašu sistēmas gadījumu, kad p(x; y) un q(x; y) ir x un y lineāras izteiksmes.
Piemērs 2. Atrisiniet vienādojumu sistēmu 
Risinājums:
Pirmā vienādojuma grafiks ir taisna līnija, otrā vienādojuma grafiks ir aplis. Veidosim pirmo grafiku pa punktiem (2. att.).
Apļa centrs atrodas punktā O(0; 0), rādiuss ir 1.
Grafiki krustojas punktā A(0; 1) un punktā B(-1; 0).
Piemērs 3. Atrisiniet sistēmu grafiski
Risinājums: Izveidosim pirmā vienādojuma grafiku - tas ir aplis, kura centrs atrodas punktā O (0; 0) un rādiuss ir 2. Otrā vienādojuma grafiks ir parabola. Tas ir nobīdīts attiecībā pret izcelsmi par 2 uz augšu, t.i. tā augšdaļa ir punkts (0; 2) (3. att.).
Grafikiem ir viens kopīgs punkts - t. A (0; 2). Tas ir sistēmas risinājums. Lai pārbaudītu pareizību, vienādojumā aizstājiet dažus skaitļus.
Piemērs 4. Atrisiniet sistēmu
Risinājums: Izveidosim pirmā vienādojuma grafiku - tas ir aplis, kura centrs atrodas punktā O (0; 0) un rādiuss ir 1 (4. att.).
Izveidosim funkcijas grafiku Šī ir lauzta līnija (5. att.).
Tagad pārvietosim to uz leju par 1 pa oy asi. Šis būs funkcijas grafiks
Novietosim abus grafikus vienā koordinātu sistēmā (6. att.).
Mēs iegūstam trīs krustošanās punktus - punktu A (1; 0), punktu B (-1; 0), punktu C (0; -1).
Mēs esam pārskatījuši grafiskā metode sistēmu risinājumi. Ja katru vienādojumu ir iespējams uzzīmēt grafikā un atrast krustošanās punktu koordinātas, tad ar šo metodi pilnīgi pietiek.
Bet bieži vien grafiskā metode ļauj atrast tikai aptuvenu sistēmas risinājumu vai atbildēt uz jautājumu par risinājumu skaitu. Tāpēc ir vajadzīgas citas metodes, precīzākas, un mēs ar tām nodarbosimies nākamajās nodarbībās.
1. Mordkovičs A.G. un citi.Algebra 9.klase: Proc. Vispārējai izglītībai Iestādes - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 lpp.: ill.
2. Mordkovičs A.G. uc Algebra 9. klase: uzdevumu burtnīca izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al.- 4. izd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill.
3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. klase: mācību grāmata. vispārējās izglītības skolēniem. iestādes / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. izd., Rev. un papildu - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. klase 16. izd. - M., 2011. - 287 lpp.
5. Mordkovičs A. G. Algebra. 9. klase Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 12. izd., dzēsts. — M.: 2010. — 224 lpp.: ill.
6. Algebra. 9. klase Pulksten 2. 2. daļa. Uzdevumu grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, L. A. Aleksandrova, T. N. Mišustina u.c.; Ed. A. G. Mordkovičs. - 12. izd., Rev. — M.: 2010.-223 lpp.: ill.
1. College.ru sadaļa par matemātiku ().
2. Interneta projekts "Uzdevumi" ().
3. Izglītības portāls"ES ATRISINĀŠU LIETOJUMU" ().
1. Mordkovičs A.G. uc Algebra 9. klase: uzdevumu burtnīca izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al.- 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill. Nr.105, 107, 114, 115.
Uzticamāka nekā iepriekšējā punktā aprakstītā grafiskā metode.
Aizvietošanas metode
Šo metodi izmantojām 7. klasē, risinot lineāro vienādojumu sistēmas. Algoritms, kas tika izstrādāts 7. klasē, ir diezgan piemērots jebkuru divu vienādojumu sistēmu risināšanai (ne obligāti lineārai) ar diviem mainīgajiem x un y (protams, mainīgos var apzīmēt ar citiem burtiem, kam nav nozīmes). Faktiski mēs izmantojām šo algoritmu iepriekšējā punktā, kad divciparu skaitļa problēma noveda pie matemātiskā modeļa, kas ir vienādojumu sistēma. Mēs atrisinājām šo vienādojumu sistēmu, izmantojot aizstāšanas metodi (skatiet 1. piemēru no 4. §).
Algoritms aizvietošanas metodes izmantošanai, risinot divu vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem x, y.
1. Izsakiet y ar x no viena sistēmas vienādojuma.
2. Aizvietojiet iegūto izteiksmi y vietā ar citu sistēmas vienādojumu.
3. Atrisiniet iegūto vienādojumu x.
4. Pēc kārtas katru no trešajā solī atrastā vienādojuma saknes x vietā aizstājiet pirmajā solī iegūtajā izteiksmē no y līdz x.
5. Pierakstiet atbildi vērtību pāru veidā (x; y), kas tika atrasti attiecīgi trešajā un ceturtajā solī.
4) Pēc kārtas katru atrasto y vērtību aizstājiet formulā x \u003d 5 - Zy. Ja tad 
5) Dotās vienādojumu sistēmas pāri (2; 1) un atrisinājumi.
Atbilde: (2; 1);
Algebriskā saskaitīšanas metode
Šī metode, tāpat kā aizvietošanas metode, jums ir pazīstama no 7. klases algebras kursa, kur to izmantoja lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai. Mēs atgādinām metodes būtību nākamajā piemērā.
2. piemērs Atrisiniet vienādojumu sistēmu
Mēs reizinām visus sistēmas pirmā vienādojuma nosacījumus ar 3 un otro vienādojumu atstājam nemainītu: 
Atņemiet sistēmas otro vienādojumu no tā pirmā vienādojuma:
Sākotnējās sistēmas divu vienādojumu algebriskās saskaitīšanas rezultātā tika iegūts vienādojums, kas ir vienkāršāks par dotās sistēmas pirmo un otro vienādojumu. Ar šo vienkāršāko vienādojumu mums ir tiesības aizstāt jebkuru dotās sistēmas vienādojumu, piemēram, otro. Tad dotā vienādojumu sistēma tiks aizstāta ar vienkāršāku sistēmu:
Šo sistēmu var atrisināt ar aizstāšanas metodi. No otrā vienādojuma mēs atrodam Aizstājot šo izteiksmi y vietā sistēmas pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam
Atliek formulā aizstāt atrastās x vērtības.
Ja x = 2, tad
Tādējādi mēs esam atraduši divus sistēmas risinājumus: 
Metode jaunu mainīgo lielumu ieviešanai
Ar jauna mainīgā ieviešanas metodi, risinot racionālus vienādojumus ar vienu mainīgo, iepazināties 8. klases algebras kursā. Šīs vienādojumu sistēmu risināšanas metodes būtība ir tāda pati, taču no tehniskā viedokļa ir dažas pazīmes, par kurām mēs runāsim turpmākajos piemēros.
3. piemērs Atrisiniet vienādojumu sistēmu
Ieviesīsim jaunu mainīgo Tad pirmo sistēmas vienādojumu var pārrakstīt vairāk vienkārša forma: Atrisināsim šo vienādojumu mainīgajam t:
Abas šīs vērtības atbilst nosacījumam, un tāpēc tās ir saknes racionāls vienādojums ar mainīgo t. Bet tas nozīmē vai nu no kurienes mēs atklājam, ka x = 2y, vai
Tādējādi, izmantojot jauna mainīgā ieviešanas metodi, mums izdevās it kā “stratificēt” pirmo sistēmas vienādojumu, kas pēc izskata ir diezgan sarežģīts, divos vienkāršākos vienādojumos:
x = 2 y; y - 2x.
Ko tālāk? Un tad katrs no abiem saņēma vienkārši vienādojumi Tas savukārt ir jāapsver sistēmā ar vienādojumu x 2 - y 2 \u003d 3, kuru mēs vēl neesam atcerējušies. Citiem vārdiem sakot, problēma ir samazināta līdz divu vienādojumu sistēmu atrisināšanai:
Ir jāatrod risinājumi pirmajai sistēmai, otrajai sistēmai un atbildē jāiekļauj visi iegūtie vērtību pāri. Atrisināsim pirmo vienādojumu sistēmu:
Izmantosim aizstāšanas metodi, jo īpaši tāpēc, ka šeit viss tam ir gatavs: otrajā sistēmas vienādojumā aizstājam izteiksmi 2y, nevis x. gūt
Tā kā x \u003d 2y, mēs atrodam attiecīgi x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Tādējādi tiek iegūti divi dotās sistēmas risinājumi: (2; 1) un (-2; -1). Atrisināsim otro vienādojumu sistēmu:
Atkal izmantosim aizstāšanas metodi: otrajā sistēmas vienādojumā y vietā aizvietojam izteiksmi 2x. gūt
Šim vienādojumam nav sakņu, kas nozīmē, ka vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu. Tādējādi atbildē jāiekļauj tikai pirmās sistēmas risinājumi.
Atbilde: (2; 1); (-2;-1).
Jaunu mainīgo ieviešanas metode divu vienādojumu sistēmu risināšanā ar diviem mainīgajiem tiek izmantota divās versijās. Pirmā iespēja: viens jauns mainīgais tiek ieviests un izmantots tikai vienā sistēmas vienādojumā. Tieši tā notika 3. piemērā. Otrā iespēja: tiek ieviesti un vienlaicīgi izmantoti divi jauni mainīgie abos sistēmas vienādojumos. Tā tas būs 4. piemērā.
4. piemērs Atrisiniet vienādojumu sistēmu
Ieviesīsim divus jaunus mainīgos:
Tad mēs to mācāmies
Tas ļaus mums pārrakstīt doto sistēmu daudz vienkāršākā formā, bet attiecībā uz jaunajiem mainīgajiem a un b:
Tā kā a \u003d 1, tad no vienādojuma a + 6 \u003d 2 mēs atrodam: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Tādējādi mainīgajiem a un b mēs saņēmām vienu risinājumu:
Atgriežoties pie mainīgajiem x un y, iegūstam vienādojumu sistēmu
Lai atrisinātu šo sistēmu, mēs izmantojam metodi algebriskā saskaitīšana:
Kopš tā laika no vienādojuma 2x + y = 3 mēs atrodam:
Tādējādi mainīgajiem x un y mēs saņēmām vienu risinājumu:
Nobeigsim šo sadaļu ar īsu, bet diezgan nopietnu teorētisku diskusiju. Vai esat jau ieguvuši zināmu pieredzi risināšanā dažādi vienādojumi: lineārs, kvadrātveida, racionāls, iracionāls. Jūs zināt, ka vienādojuma risināšanas galvenā ideja ir pakāpeniski pāriet no viena vienādojuma uz citu, vienkāršāku, bet līdzvērtīgu dotajam. Iepriekšējā sadaļā mēs ieviesām ekvivalences jēdzienu vienādojumiem ar diviem mainīgajiem. Šo jēdzienu izmanto arī vienādojumu sistēmām.
Definīcija.
Divas vienādojumu sistēmas ar mainīgajiem x un y tiek uzskatītas par līdzvērtīgām, ja tām ir vienādi risinājumi vai ja abām sistēmām nav atrisinājumu.
Visas trīs metodes (aizvietošana, algebriskā saskaitīšana un jaunu mainīgo ievadīšana), kuras mēs apspriedām šajā sadaļā, ir absolūti pareizas no līdzvērtības viedokļa. Citiem vārdiem sakot, izmantojot šīs metodes, mēs aizstājam vienu vienādojumu sistēmu ar citu, vienkāršāku, bet līdzvērtīgu oriģinālajai sistēmai.
Grafiskā metode vienādojumu sistēmu risināšanai
Mēs jau esam iemācījušies atrisināt vienādojumu sistēmas tādos izplatītos un uzticamos veidos kā aizstāšanas metode, algebriskā saskaitīšana un jaunu mainīgo ieviešana. Un tagad atcerēsimies metodi, kuru jau mācījāties iepriekšējā nodarbībā. Tas ir, atkārtosim to, ko jūs zināt par grafiskā risinājuma metodi.
Vienādojumu sistēmu grafiskās atrisināšanas metode ir grafika konstruēšana katram konkrētajam vienādojumam, kas ir iekļauts šajā sistēmā un atrodas vienā koordinātu plaknē, kā arī kur nepieciešams atrast šo grafiku punktu krustpunktu. . Lai atrisinātu šo vienādojumu sistēmu, ir šī punkta koordinātas (x; y).
Jāatceras, ka priekš grafikas sistēma Parasti vienādojumos ir vai nu viens pareizs risinājums, vai bezgalīgs atrisinājumu skaits, vai arī tiem nav atrisinājumu vispār.
Tagad sīkāk aplūkosim katru no šiem risinājumiem. Tātad vienādojumu sistēmai var būt unikāls risinājums, ja līnijas, kas ir sistēmas vienādojumu grafiki, krustojas. Ja šīs taisnes ir paralēlas, tad šādai vienādojumu sistēmai nav absolūti nekādu atrisinājumu. Sistēmas vienādojumu tiešo grafiku sakritības gadījumā šāda sistēma ļauj atrast daudzus risinājumus.
Nu, tagad apskatīsim algoritmu divu vienādojumu sistēmas ar 2 nezināmajiem risināšanai, izmantojot grafisko metodi:
Vispirms mēs izveidojam 1. vienādojuma grafiku;
Otrais solis būs uzzīmēt grafiku, kas attiecas uz otro vienādojumu;
Treškārt, mums jāatrod grafiku krustošanās punkti.
Un rezultātā mēs iegūstam katra krustošanās punkta koordinātas, kas būs vienādojumu sistēmas risinājums.
Apskatīsim šo metodi sīkāk ar piemēru. Mums ir dota vienādojumu sistēma, kas jāatrisina:
Vienādojumu risināšana
1. Vispirms mēs izveidosim šī vienādojuma grafiku: x2+y2=9.
Bet jāņem vērā, ka šis vienādojumu grafiks būs aplis, kura centrs ir sākuma punktā, un tā rādiuss būs vienāds ar trīs.
2. Mūsu nākamais solis būs vienādojuma grafiks, piemēram: y = x - 3.
Šajā gadījumā mums ir jāveido līnija un jāatrod punkti (0;−3) un (3;0).
3. Paskatīsimies, kas mums ir. Mēs redzam, ka taisne šķērso apli divos tā punktos A un B.
Tagad mēs meklējam šo punktu koordinātas. Redzam, ka koordinātas (3;0) atbilst punktam A, bet koordinātes (0;−3) punktam B.
Un ko mēs rezultātā iegūstam?
Taisnes un riņķa līnijas krustpunktā iegūtie skaitļi (3;0) un (0;−3) ir tieši abu sistēmas vienādojumu atrisinājumi. Un no tā izriet, ka šie skaitļi ir arī šīs vienādojumu sistēmas atrisinājumi.
Tas ir, šī risinājuma atbilde ir skaitļi: (3;0) un (0;−3).
Video pamācība « Grafiskais veids vienādojumu sistēmu risinājumi” iepazīstina izglītojošs materiāls lai izpētītu šo tēmu. Materiāls satur vispārējs jēdziens par vienādojumu sistēmas risināšanu, kā arī detalizētu skaidrojumu, izmantojot piemēru, kā grafiski tiek atrisināta vienādojumu sistēma.
Uzskates palīglīdzeklī izmantota animācija ērtākai un saprotamākai konstrukciju izpildei, kā arī Dažādi ceļi sadalīšana svarīgi jēdzieni un detaļas materiāla padziļinātai izpratnei un labākai iegaumēšanai.
Video apmācība sākas ar tēmas ievadu. Skolēniem tiek atgādināts, kas ir vienādojumu sistēma un ar kādām vienādojumu sistēmām bija jāiepazīstas jau 7. klasē. Iepriekš skolēniem bija jāatrisina vienādojumu sistēmas formā ax+by=c. Padziļinot vienādojumu sistēmu risināšanas jēdzienu un lai veidotu spēju tos atrisināt, šajā video nodarbībā tiek apskatīts sistēmas risinājums, kas sastāv no diviem otrās pakāpes vienādojumiem, kā arī no viena otrās pakāpes vienādojuma un otrās pakāpes vienādojuma. - pirmās pakāpes. Atgādina, kas ir vienādojumu sistēmas risinājums. Ekrānā tiek parādīta sistēmas risinājuma definīcija kā mainīgo vērtību pāris, kas apgriež tās vienādojumus, aizstājot to pareizajā vienādībā. Atbilstoši sistēmas risinājuma definīcijai tiek precizēts uzdevums. Parādīts ekrānā, lai atcerētos, ka atrisināt sistēmu - nozīmē atrast piemērotus risinājumus vai pierādīt savu neesamību.
Tiek piedāvāts apgūt noteiktas vienādojumu sistēmas risināšanas grafisko metodi. Pieteikums šī metode Tiek aplūkots sistēmas, kas sastāv no vienādojumiem x 2 + y 2 \u003d 16 un y \u003d - x 2 + 2x + 4, risināšanas piemērā. Sistēmas grafiskais risinājums sākas ar katra vienādojuma uzzīmēšanu. Acīmredzot vienādojuma x 2 + y 2 \u003d 16 grafiks būs aplis. Punkti, kas pieder šim aplim, ir vienādojuma atrisinājums. Blakus vienādojumam uz koordinātu plaknes ir uzbūvēts aplis ar rādiusu 4, kura centrs O ir sākuma punktā. Otrā vienādojuma grafiks ir parabola, kuras zari ir nolaisti uz leju. Šī parabola ir konstruēta uz koordinātu plaknes, kas atbilst vienādojuma grafikam. Jebkurš punkts, kas pieder pie parabolas, ir vienādojuma y \u003d -x 2 + 2x + 4 risinājums. Tiek skaidrots, ka vienādojumu sistēmas atrisinājums ir punkti uz grafikiem, kas vienlaikus pieder abu vienādojumu grafikiem. Tas nozīmē, ka konstruēto grafiku krustošanās punkti būs vienādojumu sistēmas risinājumi.
Jāatzīmē, ka grafiskā metode sastāv no divu grafiku krustpunktā esošo punktu koordinātu aptuvenās vērtības atrašanas, kas atspoguļo katra sistēmas vienādojuma risinājumu kopu. Attēlā atzīmētas divu grafiku atrasto krustošanās punktu koordinātas: A, B, C, D[-2;-3,5]. Šie punkti ir grafiski atrasti vienādojumu sistēmas risinājumi. Jūs varat pārbaudīt to pareizību, aizstājot tos vienādojumā un iegūstot taisnīgu vienlīdzību. Pēc punktu aizstāšanas vienādojumā redzams, ka daži punkti dod precīzu risinājuma vērtību, bet daži attēlo aptuveno vienādojuma risinājuma vērtību: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2, y 2 ≈3,5; x 3 ≈3,5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 ≈ -3,5.
Video pamācībā detalizēti izskaidrota vienādojumu sistēmas risināšanas grafiskās metodes būtība un pielietojums. Tas dod iespēju to izmantot kā video palīglīdzekli algebras stundā skolā, apgūstot šo tēmu. Arī materiāls noderēs pašmācība studentiem un var palīdzēt izskaidrot tēmu tālmācībā.
Viens no veidiem, kā atrisināt vienādojumus, ir grafiskā metode. Tas ir balstīts uz funkciju attēlošanu un to krustošanās punktu noteikšanu. Apsveriet grafisku veidu, kā atrisināt kvadrātvienādojumu a*x^2+b*x+c=0.
Pirmais veids, kā atrisināt
Pārveidosim vienādojumu a*x^2+b*x+c=0 formā a*x^2 =-b*x-c. Mēs veidojam divu funkciju grafikus y= a*x^2 (parabola) un y=-b*x-c (taisna līnija). Meklē krustojuma punktus. Krustošanās punktu abscises būs vienādojuma atrisinājums.
Parādīsim ar piemēru: atrisiniet vienādojumu x^2-2*x-3=0.
Pārveidosim to par x^2 =2*x+3. Funkciju y= x^2 un y=2*x+3 grafikus veidojam vienā koordinātu sistēmā.
Grafiki krustojas divos punktos. Viņu abscises būs mūsu vienādojuma saknes.
Formulas risinājums
Lai tas būtu pārliecinošs, mēs pārbaudām šo risinājumu analītiski. Mēs izlemsim kvadrātvienādojums pēc formulas:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
nozīmē, risinājumi sakrīt.
Grafiskajai vienādojumu risināšanas metodei ir arī savs trūkums, ar tās palīdzību ne vienmēr ir iespējams iegūt precīzu vienādojuma atrisinājumu. Mēģināsim atrisināt vienādojumu x^2=3+x.
Izveidosim parabolu y=x^2 un taisni y=3+x vienā koordinātu sistēmā.
Atkal ieguva līdzīgu modeli. Taisne un parabola krustojas divos punktos. Bet mēs nevaram pateikt precīzas šo punktu abscisu vērtības, tikai aptuvenās: x≈-1,3 x≈2,3.
Ja mūs apmierina šādas precizitātes atbildes, tad varam izmantot šo metodi, taču tas notiek reti. Parasti ir nepieciešami precīzi risinājumi. Tāpēc grafiskā metode tiek izmantota reti, un galvenokārt, lai pārbaudītu esošos risinājumus.
Nepieciešama palīdzība mācībās?
Iepriekšējā tēma: