Frakcionālie vienādojumi. ODZ.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kuri ir ļoti "ne ļoti ..."
Un tiem, kas ir "ļoti vienmērīgi ...")

Mēs turpinām apgūt vienādojumus. Mēs jau zinām, kā strādāt ar lineāriem un kvadrātvienādojumiem. Palika pēdējais skats – daļskaitļu vienādojumi ... Vai arī tos sauc daudz solīdāk - frakcionēti racionālie vienādojumi... Tas ir tas pats.

Frakcionālie vienādojumi.

Kā norāda nosaukums, šajos vienādojumos vienmēr ir daļdaļas. Bet ne tikai frakcijas, bet frakcijas, kurām ir saucējā nezināms... Vismaz viens. Piemēram:

Atgādināšu, ja saucēji satur tikai cipari, tie ir lineāri vienādojumi.

Kā atrisināt daļskaitļu vienādojumi? Pirmkārt, atbrīvojieties no frakcijām! Pēc tam vienādojums visbiežāk pārvēršas lineārā vai kvadrātiskā. Un tad mēs zinām, ko darīt... Dažos gadījumos tas var pārvērsties par identitāti, piemēram, 5 = 5, vai par nepareizu izteiksmi, piemēram, 7 = 2. Bet tas notiek reti. Es to pieminēšu zemāk.

Bet kā atbrīvoties no frakcijām!? Ļoti vienkārši. Piemērojot visas tās pašas identiskās transformācijas.

Mums jāreizina viss vienādojums ar to pašu izteiksmi. Lai visi saucēji tiek samazināti! Viss uzreiz kļūs vieglāk. Ļaujiet man paskaidrot ar piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina vienādojums:

Kā jūs mācījāt zemākajās klasēs? Visu pārnesam vienā virzienā, vedam pie kopsaucēja utt. Aizmirsti kā šausmīgs sapnis! Tas jādara, pievienojot vai atņemot daļskaitļus. Vai darbs ar nevienlīdzību. Un vienādojumos mēs uzreiz reizinām abas puses ar izteiksmi, kas dos mums iespēju samazināt visus saucējus (t.i., pēc būtības, ar kopsaucēju). Un kas ir šis izteiciens?

Kreisajā pusē, lai atceltu saucēju, reiziniet ar x + 2... Un labajā pusē ir jāreizina ar 2. Līdz ar to vienādojums jāreizina ar 2 (x + 2)... Mēs reizinām:

Šī ir parastā daļskaitļu reizināšana, bet es to uzrakstīšu sīkāk:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka es pagaidām nepaplašinu iekavas. (x + 2)! Tātad kopumā es to rakstu:

Kreisajā pusē tas ir pilnībā samazināts (x + 2), un labajā pusē 2. Kas ir nepieciešams! Pēc samazināšanas mēs iegūstam lineārs vienādojums:

Un visi atrisinās šo vienādojumu! x = 2.

Atrisināsim vēl vienu piemēru, nedaudz sarežģītāku:

Ja atceramies, ka 3 = 3/1, un 2x = 2x / 1, jūs varat rakstīt:

Un atkal tiekam vaļā no tā, kas īsti nepatīk – no daļskaitļiem.

Mēs redzam, ka, lai atceltu saucēju ar x, jums ir jāreizina daļa ar (x - 2)... Daži mums nav šķērslis. Nu vairojamies. Viss kreisā puse un viss labā puse:

Atkal iekavas (x - 2) Es neatklāju. Es strādāju ar iekavām kopumā, it kā tas būtu viens skaitlis! Tas jādara vienmēr, pretējā gadījumā nekas netiks samazināts.

Ar dziļa gandarījuma sajūtu griežam (x - 2) un mēs iegūstam vienādojumu bez daļskaitļiem, lineālā!

Un tagad mēs atveram iekavas:

Mēs dodam līdzīgus, pārnesam visu uz kreiso pusi un iegūstam:

Bet pirms tam mēs iemācīsimies risināt citas problēmas. Interese. Tas grābeklis, starp citu!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Tūlītēja apstiprināšanas pārbaude. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

T. Kosjakova,
skola Nr.80, Krasnodara

Kvadrātisku un daļēju racionālu vienādojumu risināšana, kas satur parametrus

4. nodarbība

Nodarbības tēma:

Nodarbības mērķis: veidot spēju atrisināt daļracionālos vienādojumus, kas satur parametrus.

Nodarbības veids: jauna materiāla ieviešana.

1. (Verbāli) Atrisiniet vienādojumus:

1. piemērs... Atrisiniet vienādojumu

Risinājums.

Atrodiet nederīgas vērtības a:

Atbilde. Ja ja a = – 19 , tad nav sakņu.

2. piemērs... Atrisiniet vienādojumu

Risinājums.

Atrodiet nederīgas parametru vērtības a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Atbilde. Ja a = 5 a № 5 , tad x = 10– a .

3. piemērs... Pie kādām parametra vērtībām b vienādojums Tam ir:

a) divas saknes; b) viena sakne?

Risinājums.

1) Atrodiet nederīgas parametru vērtības b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 vai b = 2;
x = 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 vai b = – 2.

2) Atrisiniet vienādojumu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2-1), D = 4 b 2 .

a)

Nederīgu parametru vērtību izslēgšana b , mēs iegūstam, ka vienādojumam ir divas saknes, ja b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, bet šī ir nederīga parametra vērtība b ; ja b 2 –1=0 , t.i. b=1 vai.

Atbilde: a) ja b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , tad divas saknes; b) ja b=1 vai b = –1 , tad vienīgā sakne.

Patstāvīgs darbs

1. iespēja

Atrisiniet vienādojumus:

2. iespēja

Atrisiniet vienādojumus:

Atbildes

1... ja nu a=3 , tad nav sakņu; ja b) ja ja a № 2 , tad nav sakņu.

2. Ja a=2 , tad nav sakņu; ja a=0 , tad nav sakņu; ja
b) ja a=– 1 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja nav sakņu;
ja

Mājas uzdevums.

Atrisiniet vienādojumus:

Atbildes: a) Ja a № –2 , tad x = a ; ja a=–2 , tad risinājumu nav; b) ja a № –2 , tad x = 2; ja a=–2 , tad risinājumu nav; c) ja a=–2 , tad x- jebkurš numurs, izņemot 3 ; ja a № –2 , tad x = 2; d) ja a=–8 , tad nav sakņu; ja a=2 , tad nav sakņu; ja

5. nodarbība

Nodarbības tēma:"Parametrus saturošu daļskaitļu racionālu vienādojumu risinājums."

Nodarbības mērķi:

apmācība vienādojumu risināšanā ar nestandarta nosacījumu;
studentu apzināta algebrisko jēdzienu asimilācija un sakarības starp tiem.

Nodarbības veids: sistematizēšana un vispārināšana.

Mājas darbu pārbaude.

1. piemērs... Atrisiniet vienādojumu

a) attiecībā pret x; b) attiecībā pret y.

Risinājums.

a) Atrodiet nederīgas vērtības y: y = 0, x = y, y 2 = y 2 – 2y,

y = 0- nederīga parametra vērtība y.

Ja y№ 0 , tad x = y – 2; ja y = 0, tad vienādojums kļūst bezjēdzīgs.

b) Atrodiet nederīgas parametru vērtības x: y = x, 2x – x 2 + x 2 = 0, x = 0- nederīga parametra vērtība x; y (2 + x – y) = 0, y = 0 vai y = 2 + x;

y = 0 neapmierina nosacījumu y (y–x)№ 0 .

Atbilde: a) ja y = 0, tad vienādojums zaudē nozīmi; ja y№ 0 , tad x = y – 2; b) ja x = 0 x№ 0 , tad y = 2 + x .

2. piemērs... Kurām parametra a veselām vērtībām ir vienādojuma saknes pieder pie spraugas

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ja a № 0 vai a № – 1 , tad

Atbilde: 5 .

3. piemērs... Atrast salīdzinoši x vienādojuma veseli skaitļi

Atbilde. Ja y = 0 tad vienādojums ir bezjēdzīgs; ja y = –1, tad x- jebkurš vesels skaitlis, kas nav nulle; ja y№ 0, y№ - 1, tad risinājumu nav.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar parametriem a un b .

Ja a№ - b , tad

Atbilde. Ja a = 0 vai b = 0 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№ 0, dz№ 0, a = –b , tad x- jebkurš skaitlis, kas nav nulle; ja a№ 0, dz№ 0, a№ -B, tad x = –a, x = –b .

5. piemērs... Pierādiet, ka jebkurai parametra n vērtībai, kas nav nulle, vienādojums ir viena sakne, kas vienāda ar - n .

Risinājums.

t.i. x = –n, kā nepieciešams pierādīt.

Mājas uzdevums.

1. Atrodiet veselus vienādojuma atrisinājumus

2. Pie kādām parametra vērtībām c vienādojums Tam ir:
a) divas saknes; b) viena sakne?

3. Atrodiet visas vienādojuma veselo skaitļu saknes ja a O N .

4. Atrisiniet vienādojumu 3xy - 5x + 5y = 7: a) attiecībā uz y; b) relatīvi x .

1. Vienādojumu apmierina jebkurš vesels skaitlis, kas vienāds ar x un y vērtībām, kas nav nulle.
2.a) Priekš
b) ar vai
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ja tad nav sakņu; ja
b) ja tad nav sakņu; ja

Pārbaude

1. iespēja

1. Nosakiet vienādojuma veidu 7c (c + 3) x 2 + (c - 2) x - 8 = 0 pie: a) c = –3; b) c = 2; v) c = 4 .

2. Atrisiniet vienādojumus: a) x 2 –bx = 0; b) cx 2–6x + 1 = 0; v)

3. Atrisiniet vienādojumu 3x – xy – 2y = 1:

a) attiecībā uz x ;
b) relatīvi y .

nx 2 - 26x + n = 0, zinot, ka parametram n ir tikai veselas vērtības.

5. Kurām b vērtībām tiek piemērots vienādojums Tam ir:

a) divas saknes;
b) viena sakne?

2. iespēja

1. Nosakiet vienādojuma veidu 5c (c + 4) x 2 + (c - 7) x + 7 = 0 pie: a) c = –4; b) c = 7; v) c = 1 .

2. Atrisiniet vienādojumus: a) y 2 + cy = 0; b) ny 2 –8y + 2 = 0; v)

3. Atrisiniet vienādojumu 6x – xy + 2y = 5:

a) attiecībā uz x ;
b) relatīvi y .

4. Atrodiet veselas vienādojuma saknes nx 2–22x + 2n = 0, zinot, ka parametram n ir tikai veselas vērtības.

5. Kurām parametra vērtībām ir vienādojums Tam ir:

a) divas saknes;
b) viena sakne?

Atbildes

1. 1. a) Lineārais vienādojums;
b) nepilnīgs kvadrātvienādojums; c) kvadrātvienādojums.
2.a) Ja b = 0, tad x = 0; ja b # 0, tad x = 0, x = b;
b) ja cО (9; + Ґ), tad nav sakņu;
c) ja a=–4 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№ –4 , tad x = - a .
3.a) Ja y = 3, tad nav sakņu; ja);
b) a=–3, a=1.

Papildu uzdevumi

Atrisiniet vienādojumus:

Literatūra

1. Golubevs V.I., Goldmens A.M., Dorofejevs G.V. Par parametriem no paša sākuma. - Skolotājs, Nr. 2/1991, lpp. 3-13.
2. Gronšteins P.I., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Nepieciešamie nosacījumi problēmas ar parametriem. - Kvant, Nr.11/1991, 1. lpp. 44-49.
3. Dorofejevs G.V., Zatakavai V.V. Problēmu risināšana satur parametrus. 2. daļa. - M., Perspektīva, 1990, lpp. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Pieci simti četrpadsmit uzdevumi ar parametriem. - Volgograda, 1991. gads.
5. Yastrebinetskiy G.A. Uzdevumi ar parametriem. - M., Izglītība, 1986.g.

1. § Veselais un daļējais racionālais vienādojums

Šajā nodarbībā mēs analizēsim tādus jēdzienus kā racionālais vienādojums, racionālā izteiksme, veselā izteiksme, daļēja izteiksme. Apsveriet racionālu vienādojumu risinājumu.

Racionālais vienādojums ir vienādojums, kurā kreisā un labā puse ir racionālas izteiksmes.

Racionālas izpausmes ir:

Frakcionēti.

Vesela skaitļa izteiksme tiek veidota no skaitļiem, mainīgajiem lielumiem, veselu skaitļu pakāpēm, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības ar skaitli, kas nav nulle.

Piemēram:

V daļskaitļu izteiksmes ir dalījums ar mainīgo vai izteiksme ar mainīgo. Piemēram:

Daļējai izteiksmei nav jēgas visām tajā iekļauto mainīgo vērtībām. Piemēram, izteiksme

pie x = -9 tam nav jēgas, jo pie x = -9 saucējs pazūd.

Tas nozīmē, ka racionāls vienādojums var būt vesels un daļējs.

Vesels racionālais vienādojums ir racionāls vienādojums, kurā kreisā un labā puse ir veselas izteiksmes.

Piemēram:

Daļveida racionālais vienādojums ir racionāls vienādojums, kurā kreisā vai labā puse ir daļveida izteiksmes.

Piemēram:

§ 2 Visa racionāla vienādojuma atrisinājums

Apsveriet visa racionālā vienādojuma risinājumu.

Piemēram:

Reizinām abas vienādojuma puses ar tajā iekļauto daļskaitļu saucēju mazāko kopsaucēju.

Priekš šī:

1. atrast kopsaucēju saucējiem 2, 3, 6. Tas ir vienāds ar 6;

2. atrast katrai frakcijai papildu koeficientu. Lai to izdarītu, sadaliet kopsaucēju 6 ar katru saucēju

papildu reizinātājs daļai

papildu reizinātājs daļai

3. reiziniet daļskaitļu skaitītājus ar tiem atbilstošajiem papildu koeficientiem. Tādējādi mēs iegūstam vienādojumu

kas ir līdzvērtīgs dotajam vienādojumam

Atveriet iekavas kreisajā pusē, pārvietojiet labo pusi pa kreisi, mainot termina zīmi pārsūtīšanas laikā uz pretējo.

Uzrādīsim līdzīgus polinoma nosacījumus un iegūsim

Mēs redzam, ka vienādojums ir lineārs.

Atrisinot to, mēs atklājam, ka x = 0,5.

3.§ Daļēja racionāla vienādojuma atrisinājums

Apsveriet daļēja racionāla vienādojuma risinājumu.

Piemēram:

1. Sareizināsim abas vienādojuma puses ar tajā iekļauto racionālo daļskaitļu saucēju mazāko kopsaucēju.

Atrodiet kopsaucēju saucējiem x + 7 un x - 1.

Tas ir vienāds ar viņu reizinājumu (x + 7) (x - 1).

2. Katrai racionālajai daļai atrodiet papildu koeficientu.

Lai to izdarītu, kopsaucējs (x + 7) (x - 1) tiek dalīts ar katru saucēju. Papildu reizinātājs daļai

ir vienāds ar x - 1,

papildu reizinātājs daļai

ir vienāds ar x + 7.

3. Sareizināsim daļskaitļu skaitītājus ar tiem atbilstošajiem papildu koeficientiem.

Mēs iegūstam vienādojumu (2x - 1) (x - 1) = (3x + 4) (x + 7), kas ir ekvivalents šim vienādojumam

4. Kreisajā un labajā pusē mēs reizinām binomiālu ar binomu un iegūstam šādu vienādojumu

5. Pārvietojiet labo pusi uz kreiso pusi, mainot katra vārda zīmi, pārejot uz pretējo:

6. Norādīsim līdzīgus polinoma nosacījumus:

7.Vai abas daļas var dalīt ar -1. Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu:

8 risinot to, atrodiet saknes

Tā kā vienādojumā

kreisā un labā puse ir daļveida izteiksmes, un frakcionētās izteiksmēs dažām mainīgo vērtībām saucējs var pazust, tad ir jāpārbauda, ​​vai kopsaucējs nepazūd, kad tiek atrasti x1 un x2.

Ja x = -27, kopsaucējs (x + 7) (x - 1) nepazūd, ja x = -1, kopsaucējs arī nepazūd. ir nulle.

Tāpēc gan saknes -27, gan -1 ir vienādojuma saknes.

Atrisinot daļēju racionālu vienādojumu, labāk nekavējoties norādīt laukumu pieņemamām vērtībām... Likvidējiet tās vērtības, kurās pazūd kopsaucējs.

Apsveriet citu piemēru daļēja racionāla vienādojuma risināšanai.

Piemēram, atrisināsim vienādojumu

Daļas saucējs vienādojuma labajā pusē ir faktorizēts

Mēs iegūstam vienādojumu

Atrodiet kopsaucēju saucējiem (x - 5), x, x (x - 5).

Tā būs izteiksme x (x - 5).

tagad mēs atrodam vienādojuma pieļaujamo vērtību diapazonu

Lai to izdarītu, mēs pielīdzinām kopsaucēju ar nulli x (x - 5) = 0.

Mēs iegūstam vienādojumu, kuru atrisinot, konstatējam, ka pie x = 0 vai pie x = 5 kopsaucējs pazūd.

Tādējādi x = 0 vai x = 5 nevar būt mūsu vienādojuma saknes.

Tagad var atrast papildu faktorus.

Papildu faktors racionālajai daļai

papildu koeficients frakcijai

būs (x - 5),

un daļas papildu koeficients

Skaitītājus reizinām ar atbilstošajiem papildu koeficientiem.

Mēs iegūstam vienādojumu x (x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5).

Atvērsim iekavas kreisajā un labajā pusē, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Pārcelsim noteikumus no labās puses uz kreiso, mainot nodoto noteikumu zīmi:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Un pēc līdzīgu terminu ienesšanas iegūstam kvadrātvienādojumu x2 - 3x - 10 = 0. Atrisinot to, atrodam saknes x1 = -2; x2 = 5.

Bet mēs jau esam noskaidrojuši, ka x = 5 kopsaucējs x (x - 5) pazūd. Tāpēc mūsu vienādojuma sakne

būs x = -2.

4. § Īss kopsavilkums nodarbība

Ir svarīgi atcerēties:

Atrisinot daļējus racionālos vienādojumus, jums jārīkojas šādi:

1. Atrodiet vienādojumā iekļauto daļskaitļu kopsaucēju. Turklāt, ja daļu saucējus var faktorizēt, tad faktorējiet tos un pēc tam atrodiet kopsaucēju.

2. Reiziniet abas vienādojuma puses ar kopsaucēju: atrodiet papildu faktorus, reiziniet skaitītājus ar papildu koeficientiem.

3. Atrisiniet iegūto visu vienādojumu.

4. Izslēdziet no tās saknēm tos, kas kopsaucēju veido nulle.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Makaričevs Ju.N., N.G. Mindjuks, Neškovs K.I., Suvorova S.B. / Rediģēja S.A. Teljakovskis. Algebra: mācību grāmata. par 8 cl. vispārējā izglītība. iestādēm. - M .: Izglītība, 2013.
2. Mordkovičs A.G. Algebra. 8. kl.: divās daļās. 1. daļa: Mācību grāmata. vispārējai izglītībai. iestādēm. - M .: Mnemosīns.
3. Rurukins A.N. Nodarbību attīstība algebrā: 8. klase - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra 8. klase: stundu plāni mācību grāmatai Yu.N. Makaričeva, N.G. Mindjuks, K.I. Ņeškova, S.B. Suvorova / Autors-komp. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilīns. -Volgograda: skolotājs, 2005.

Iepazīsimies ar racionālajiem un daļējiem racionālajiem vienādojumiem, sniegsim to definīcijas, sniegsim piemērus, kā arī analizēsim biežāk sastopamos problēmu veidus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionālais vienādojums: definīcija un piemēri

Iepazīšanās ar racionāliem izteicieniem sākas skolas 8. klasē. Šajā laikā algebras stundās skolēni arvien biežāk sāk izpildīt uzdevumus ar vienādojumiem, kuru piezīmēs ir racionālas izteiksmes. Apskatīsim, kas tas ir.

1. definīcija

Racionālais vienādojums Ir vienādojums, kurā abās pusēs ir racionālas izteiksmes.

Vēl viens formulējums ir atrodams dažādās rokasgrāmatās.

2. definīcija

Racionālais vienādojums- tas ir tāds vienādojums, kura kreisās puses ierakstā ir racionāla izteiksme, bet labajā pusē ir nulle.

Racionālo vienādojumu definīcijas ir līdzvērtīgas, jo tās saka vienu un to pašu. Mūsu vārdu pareizību apstiprina fakts, ka jebkurai racionālai izteiksmei P un J vienādojumi P = Q un P - Q = 0 ir līdzvērtīgas izteiksmes.

Tagad pievērsīsimies dažiem piemēriem.

1. piemērs

Racionālie vienādojumi:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Racionālie vienādojumi, tāpat kā cita veida vienādojumi, var saturēt jebkuru mainīgo skaitu no 1 līdz vairākiem. Sākumā mēs apsvērsim vienkārši piemēri kurā vienādojumos būs tikai viens mainīgais. Un tad mēs sāksim pakāpeniski sarežģīt uzdevumu.

Racionālie vienādojumi ir sadalīti divās lielās grupās: veselie un daļējie vienādojumi. Apskatīsim, kādi vienādojumi attieksies uz katru no grupām.

3. definīcija

Racionālais vienādojums būs vesels, ja tā kreisās un labās daļas ierakstā ir veselas racionālas izteiksmes.

4. definīcija

Racionālais vienādojums būs daļskaitlis, ja vienā vai abās tā daļās ir daļa.

Daļēji racionālie vienādojumi obligāti satur dalījumu ar mainīgo, vai arī mainīgais atrodas saucējā. Veselu vienādojumu rakstīšanā šāda dalījuma nav.

2. piemērs

3 x + 2 = 0 un (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0,5- veseli racionālie vienādojumi. Šeit abas vienādojuma puses ir attēlotas ar veselām izteiksmēm.

1 x - 1 = x 3 un x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 Ir daļēji racionāli vienādojumi.

Visu racionālo vienādojumu skaits ietver lineāros un kvadrātvienādojumus.

Visu vienādojumu atrisināšana

Šādu vienādojumu risinājums parasti tiek reducēts uz to pārveidošanu līdzvērtīgos algebriskos vienādojumos. To var panākt, veicot līdzvērtīgas vienādojumu transformācijas saskaņā ar šādu algoritmu:

• vispirms vienādojuma labajā pusē iegūstam nulli, šim nolūkam ir jāpārnes izteiksme, kas atrodas vienādojuma labajā pusē, uz tā kreiso pusi un jāmaina zīme;
• tad vienādojuma kreisajā pusē esošo izteiksmi pārveidojam par polinomu standarta skats.

Mums ir jāiegūst algebriskais vienādojums. Šis vienādojums būs tāds pats kā sākotnējais vienādojums. Vienkārši gadījumi ļauj mums reducēt visu vienādojumu līdz lineāram vai kvadrātiskam, lai atrisinātu problēmu. Kopumā mēs atrisinām pakāpes algebrisko vienādojumu n.

3. piemērs

Ir jāatrod visa vienādojuma saknes 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Risinājums

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi, lai iegūtu tai ekvivalentu algebrisko vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs veiksim vienādojuma labajā pusē esošās izteiksmes pārnešanu uz kreiso pusi un aizstāsim zīmi ar pretējo. Rezultātā mēs iegūstam: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Tagad mēs pārveidosim izteiksmi kreisajā pusē par standarta formas polinomu un veiksim nepieciešamās darbības ar šo polinomu:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Mums izdevās reducēt sākotnējā vienādojuma atrisinājumu līdz atrisinājumam kvadrātvienādojums tāda veida x 2 - 5 x - 6 = 0... Šī vienādojuma diskriminants ir pozitīvs: D = (-5) 2-4 1 (-6) = 25 + 24 = 49. Tas nozīmē, ka būs divas reālas saknes. Mēs tos atrodam, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 vai x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 vai x 2 = - 1

Pārbaudīsim risinājuma laikā atrastā vienādojuma sakņu pareizību. Šim nolūkam iegūtie skaitļi tiks aizstāti ar sākotnējo vienādojumu: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 un 3 (- 1 + 1) (- 1 - 3) = (- 1) (2 (- 1) - 1) - 3... Pirmajā gadījumā 63 = 63 , otrajā 0 = 0 ... Saknes x = 6 un x = - 1 patiešām ir vienādojuma saknes, kas norādītas piemēra nosacījumā.

Atbilde: 6 , − 1 .

Apskatīsim, ko nozīmē "visa vienādojuma pakāpe". Mēs bieži sastopamies ar šo terminu gadījumos, kad mums ir nepieciešams attēlot visu vienādojumu algebriskā formā. Sniegsim jēdziena definīciju.

5. definīcija

Visa vienādojuma pakāpe Vai grāds algebriskais vienādojums ekvivalents sākotnējam visam vienādojumam.

Ja aplūkojat vienādojumus no iepriekš minētā piemēra, varat noteikt: visa šī vienādojuma pakāpe ir otrā.

Ja mūsu kurss aprobežotos ar otrās pakāpes vienādojumu risināšanu, tad tēmas izskatīšana ar to varētu beigties. Bet tas nav tik vienkārši. Trešās pakāpes vienādojumu risināšana ir saistīta ar grūtībām. Un vienādojumiem, kas ir augstāki par ceturto pakāpi, tas vispār nepastāv vispārīgas formulas saknes. Šajā sakarā veselu trešās, ceturtās un citu grādu vienādojumu risināšanai ir jāizmanto vairākas citas metodes un metodes.

Visbiežāk izmantotā pieeja visu racionālo vienādojumu risināšanai, kuras pamatā ir faktorizēšanas metode. Darbību algoritms šajā gadījumā ir šāds:

• pārnes izteiksmi no labās puses uz kreiso tā, lai ieraksta labajā pusē paliktu nulle;
• mēs attēlojam izteiksmi kreisajā pusē kā faktoru reizinājumu un pēc tam pārejam pie vairāku vienkāršāku vienādojumu kolekcijas.

4. piemērs

Atrodiet vienādojuma (x 2 - 1) atrisinājumu (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13).

Risinājums

Mēs pārnesam izteiksmi no ieraksta labās puses uz kreiso ar pretēja zīme: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0... Kreisās puses pārvēršana par standarta formas polinomu ir nepraktiska, jo tādējādi tiks iegūts ceturtās pakāpes algebriskais vienādojums: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0... Pārveidošanas vieglums neattaisno visas grūtības, kas rodas šāda vienādojuma risināšanā.

Ir daudz vieglāk iet citu ceļu: izņemiet kopējo faktoru no iekavām x 2 - 10 x + 13. Tātad mēs nonākam pie formas vienādojuma (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0... Tagad iegūto vienādojumu aizstājam ar divu kvadrātvienādojumu kopu x 2 - 10 x + 13 = 0 un x 2 - 2 x - 1 = 0 un atrodiet to saknes, izmantojot diskriminantu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Atbilde: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Līdzīgi mēs varam izmantot jauna mainīgā ieviešanas metodi. Šī metode ļauj mums pāriet uz līdzvērtīgiem vienādojumiem ar jaudām, kas ir zemākas nekā sākotnējā visā vienādojumā.

5. piemērs

Vai vienādojumam ir saknes (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Risinājums

Ja tagad mēģinām visu racionālo vienādojumu reducēt uz algebrisku, mēs iegūstam 4. pakāpes vienādojumu, kuram nav racionālu sakņu. Tāpēc mums būs vieglāk iet citu ceļu: ieviest jaunu mainīgo y, kas aizstās izteiksmi vienādojumā x 2 + 3 x.

Tagad mēs strādāsim ar visu vienādojumu (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4)... Pārvietojiet vienādojuma labo pusi pa kreisi ar pretējo zīmi un veiciet nepieciešamās transformācijas. Mēs iegūstam: y 2 + 4 y + 3 = 0... Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes: y = - 1 un y = - 3.

Tagad veiksim apgriezto nomaiņu. Mēs iegūstam divus vienādojumus x 2 + 3 x = - 1 un x 2 + 3 x = - 3. Pārrakstiet tos kā x 2 + 3 x + 1 = 0 un x 2 + 3 x + 3 = 0... Mēs izmantojam kvadrātvienādojuma sakņu formulu, lai atrastu pirmā vienādojuma saknes no iegūtā: - 3 ± 5 2. Otrā vienādojuma diskriminants ir negatīvs. Tas nozīmē, ka otrajam vienādojumam nav reālu sakņu.

Atbilde:- 3 ± 5 2

Veseli vienādojumi augstas pakāpes diezgan bieži nākas saskarties ar uzdevumiem. Jums nav jābaidās no viņiem. Jums jābūt gatavam pieteikties nestandarta metode to risinājumi, tostarp vairākas mākslīgas transformācijas.

Daļēji racionālu vienādojumu risināšana

Mēs sākam šīs apakštēmas apskatu ar algoritmu daļēji racionālu vienādojumu risināšanai formā p (x) q (x) = 0, kur p (x) un q (x)- veselas racionālas izpausmes. Atlikušo frakcionēti racionālo vienādojumu atrisinājumu vienmēr var reducēt līdz norādītās formas vienādojumu atrisinājumam.

Visbiežāk izmantotā metode vienādojumu p (x) q (x) = 0 risināšanai ir balstīta uz šādu paziņojumu: skaitliskā daļa u v, kur v Vai skaitlis, kas atšķiras no nulles, ir vienāds ar nulli tikai gadījumos, kad daļdaļas skaitītājs ir vienāds ar nulli. Sekojot iepriekšminētā apgalvojuma loģikai, mēs varam apgalvot, ka vienādojuma p (x) q (x) = 0 atrisinājumu var reducēt, izpildot divus nosacījumus: p (x) = 0 un q (x) ≠ 0... To izmanto, lai izveidotu algoritmu frakcionētu racionālu vienādojumu risināšanai formā p (x) q (x) = 0:

• atrast visa racionālā vienādojuma atrisinājumu p (x) = 0;
• pārbaudiet, vai risinājuma gaitā atrastajām saknēm ir nosacījums q (x) ≠ 0.

Ja šis nosacījums ir izpildīts, tad atrastā sakne.Ja nē, tad sakne nav problēmas risinājums.

6. piemērs

Atrodiet vienādojuma 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 saknes.

Risinājums

Mums ir darīšana ar daļēju racionālu vienādojumu formā p (x) q (x) = 0, kurā p (x) = 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Sāksim risināt lineāro vienādojumu 3 x - 2 = 0... Šī vienādojuma sakne būs x = 2 3.

Pārbaudīsim atrasto sakni, vai tā apmierina nosacījumu 5 x 2 - 2 ≠ 0... Lai to izdarītu, izteiksmē aizstājam skaitlisku vērtību. Mēs iegūstam: 5 2 3 2 - 2 = 5 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Nosacījums ir izpildīts. Tas nozīmē, ka x = 2 3 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: 2 3 .

Ir vēl viena iespēja atrisināt daļējos racionālos vienādojumus p (x) q (x) = 0. Atcerieties, ka šis vienādojums ir līdzvērtīgs visam vienādojumam p (x) = 0 uz sākotnējā vienādojuma mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonu. Tas ļauj mums izmantot šādu algoritmu, risinot vienādojumus p (x) q (x) = 0:

• mēs atrisinām vienādojumu p (x) = 0;
• atrodiet mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonu;
• mēs ņemam saknes, kas atrodas mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonā, kā sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma vēlamās saknes.

7. piemērs

Atrisiniet vienādojumu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Risinājums

Pirmkārt, atrisināsim kvadrātvienādojumu x 2 - 2 x - 11 = 0... Lai aprēķinātu tā saknes, mēs izmantojam saknes formulu pāra otrajam koeficientam. Mēs saņemam D 1 = (- 1) 2 - 1 (- 11) = 12, un x = 1 ± 2 3.

Tagad mēs varam atrast sākotnējā vienādojuma mainīgā x ODV. Tie visi ir skaitļi, kuriem x 2 + 3 x ≠ 0... Tas ir tāds pats kā x (x + 3) ≠ 0, no kurienes x ≠ 0, x ≠ - 3.

Tagad pārbaudīsim, vai pirmajā posmā iegūtās saknes x = 1 ± 2 3 ir iekļautas mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonā. Mēs redzam, kas nāk iekšā. Tas nozīmē, ka sākotnējam daļējam racionālajam vienādojumam ir divas saknes x = 1 ± 2 3.

Atbilde: x = 1 ± 2 3

Otrā aprakstītā risinājuma metode ir vienkāršāka par pirmo gadījumos, kad ir viegli atrodams mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazons un vienādojuma saknes p (x) = 0 neracionāli. Piemēram, 7 ± 4 26 9. Saknes var būt racionālas, bet ar lielu skaitītāju vai saucēju. Piemēram, 127 1101 un − 31 59 ... Tas ietaupa laiku, kas nepieciešams stāvokļa pārbaudei. q (x) ≠ 0: daudz vieglāk ir izslēgt saknes, kas neatbilst DHS.

Gadījumos, kad vienādojuma saknes p (x) = 0 veselus skaitļus, vienādojumu formā p (x) q (x) = 0 lietderīgāk ir izmantot pirmo no aprakstītajiem algoritmiem. Ātrāk atrodiet visa vienādojuma saknes p (x) = 0 un pēc tam pārbaudiet, vai stāvoklis q (x) ≠ 0, bet neatrodiet ODV un pēc tam atrisiniet vienādojumu p (x) = 0 par šo ODZ. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādos gadījumos parasti ir vieglāk veikt pārbaudi, nekā atrast LDO.

8. piemērs

Atrodiet vienādojuma (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 saknes. = 0.

Risinājums

Sāksim, aplūkojot visu vienādojumu (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 un atrast tās saknes. Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienādojumu risināšanas metodi, izmantojot faktorizāciju. Izrādās, ka sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs četru vienādojumu kopai 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, no kuriem trīs ir lineāri un viens ir kvadrātveida. Atrodiet saknes: no pirmā vienādojuma x = 12, no otrā - x = 6, no trešās - x = 7, x = - 2, no ceturtās - x = - 1.

Pārbaudīsim iegūtās saknes. Šajā gadījumā mums ir grūti noteikt ODZ, jo šim nolūkam mums būs jāatrisina piektās pakāpes algebriskais vienādojums. Būs vieglāk pārbaudīt nosacījumu, ka vienādojuma kreisajā pusē esošās daļas saucējs nedrīkst pazust.

Savukārt izteiksmē mainīgā x vietā aizstājiet saknes x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 un aprēķiniet tā vērtību:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 30 ;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(- 2) 5 - 15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3 - 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(- 1) 5 - 15 (- 1) 4 + 57 (- 1) 3 - 13 (- 1) 2 + 26 (- 1) + 112 = 0.

Veiktā pārbaude ļauj noteikt, ka sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma saknes ir 1 2, 6 un − 2 .

Atbilde: 1 2 , 6 , - 2

9. piemērs

Atrodiet daļējā racionālā vienādojuma 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 saknes.

Risinājums

Sāksim ar vienādojumu (5 x 2 — 7 x - 1) (x - 2) = 0... Atradīsim tās saknes. Mums ir vieglāk attēlot šo vienādojumu kā kvadrātveida un lineārie vienādojumi 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 un x - 2 = 0.

Lai atrastu saknes, mēs izmantojam kvadrātvienādojuma sakņu formulu. No pirmā vienādojuma iegūstam divas saknes x = 7 ± 69 10 un no otrā vienādojuma x = 2.

Mums būs diezgan grūti aizstāt sakņu vērtību sākotnējā vienādojumā, lai pārbaudītu apstākļus. Mainīgā x ODV būs vieglāk noteikt. Šajā gadījumā mainīgā x ODZ ir visi skaitļi, izņemot tos, kuriem ir nosacījums x 2 + 5 x - 14 = 0... Mēs iegūstam: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Tagad pārbaudīsim, vai atrastās saknes pieder mainīgā x derīgo vērtību diapazonam.

Saknes x = 7 ± 69 10 - pieder, tāpēc tās ir sākotnējā vienādojuma saknes, un x = 2- nepieder, tāpēc tā ir sveša sakne.

Atbilde: x = 7 ± 69 10.

Atsevišķi analizēsim gadījumus, kad daļējā racionālā vienādojuma formas p (x) q (x) = 0 skaitītājā ir atrasts skaitlis. Šādos gadījumos, ja skaitītājs satur skaitli, kas nav nulle, tad vienādojumam nebūs sakņu. Ja šis skaitlis ir vienāds ar nulli, tad vienādojuma sakne būs jebkurš skaitlis no ODZ.

10. piemērs

Atrisiniet racionālo daļvienādojumu - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Risinājums

Šim vienādojumam nebūs sakņu, jo vienādojuma kreisajā pusē esošās daļas skaitītājs satur skaitli, kas nav nulle. Tas nozīmē, ka nevienā x vērtībā uzdevumā norādītās daļas vērtība nebūs vienāda ar nulli.

Atbilde: nav sakņu.

11. piemērs

Atrisiniet vienādojumu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Risinājums

Tā kā daļas skaitītājā ir nulle, vienādojuma risinājums būs jebkura x vērtība no mainīgā x ODZ.

Tagad definēsim ODZ. Tas ietvers visas x vērtības, kurām x 4 + 5 x 3 ≠ 0... Vienādojumu risinājumi x 4 + 5 x 3 = 0 ir 0 un − 5 , jo šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam x 3 (x + 5) = 0, un tas, savukārt, ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai x 3 = 0 un x + 5 = 0 no kurienes šīs saknes ir redzamas. Nonākam pie secinājuma, ka jebkurš x, izņemot x = 0 un x = - 5.

Izrādās, ka daļējai racionālajam vienādojumam 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ir bezgalīga atrisinājumu kopa, kas ir jebkuri skaitļi, kas nav nulle un -5.

Atbilde: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Tagad parunāsim par daļējiem racionālajiem vienādojumiem jebkāda veida un to risināšanas metodes. Tos var rakstīt kā r (x) = s (x), kur r (x) un s (x)- racionālas izteiksmes, un vismaz viena no tām ir daļēja. Šādu vienādojumu atrisinājums tiek reducēts līdz vienādojumu atrisinājumam formā p (x) q (x) = 0.

Mēs jau zinām, ka mēs varam iegūt ekvivalentu vienādojumu, pārnesot izteiksmi no vienādojuma labās puses uz kreiso ar pretējo zīmi. Tas nozīmē, ka vienādojums r (x) = s (x) ir līdzvērtīgs vienādojumam r (x) - s (x) = 0... Tāpat mēs jau esam analizējuši veidus, kā racionālu izteiksmi pārvērst racionālā daļā. Pateicoties tam, mēs varam viegli pārveidot vienādojumu r (x) - s (x) = 0 tās identiskajā formas p (x) q (x) racionālajā daļā.

Tātad mēs pārejam no sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma r (x) = s (x) uz vienādojumu formā p (x) q (x) = 0, kuru mēs jau esam iemācījušies atrisināt.

Jāpatur prātā, ka, veicot pārejas no r (x) - s (x) = 0 uz p (x) q (x) = 0 un pēc tam uz p (x) = 0 mēs varam ignorēt mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazona paplašināšanos.

Situācija ir diezgan reāla, ja sākotnējais vienādojums r (x) = s (x) un vienādojums p (x) = 0 pārvērtību rezultātā tās pārstās būt līdzvērtīgas. Tad vienādojuma risinājums p (x) = 0 var dot mums saknes, kas būs svešas r (x) = s (x)... Šajā sakarā katrā gadījumā ir jāpārbauda ar kādu no iepriekš aprakstītajām metodēm.

Lai atvieglotu tēmas izpēti, mēs visu informāciju apkopojām algoritmā formas daļēja racionāla vienādojuma risināšanai. r (x) = s (x):

• mēs pārnesam izteiksmi no labās puses ar pretējo zīmi un labajā pusē iegūstam nulli;
• pārveidot sākotnējo izteiksmi racionālā daļskaitlī p (x) q (x), secīgi veicot darbības ar daļām un polinomiem;
• mēs atrisinām vienādojumu p (x) = 0;
• mēs identificējam svešas saknes, pārbaudot to piederību ODZ vai aizstājot tās sākotnējā vienādojumā.

Vizuāli darbību ķēde izskatīsies šādi:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → pēc

12. piemērs

Atrisiniet racionālo daļvienādojumu x x + 1 = 1 x + 1.

Risinājums

Pārejam uz vienādojumu x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Frakcionētu racionālo izteiksmi vienādojuma kreisajā pusē pārveidojam formā p (x) q (x).

Lai to izdarītu, mums būs jāsavieno racionālie daļskaitļi līdz kopsaucējam un jāvienkāršo izteiksme:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (X + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Lai atrastu vienādojuma saknes - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, mums jāatrisina vienādojums - 2 x - 1 = 0... Mēs iegūstam vienu sakni x = - 1 2.

Mums atliek pārbaudīt ar kādu no metodēm. Apsvērsim abus.

Aizstājiet šo vērtību sākotnējā vienādojumā. Mēs iegūstam - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Mēs esam nonākuši pie pareizas skaitliskās vienādības − 1 = − 1 ... Tas nozīmē, ka x = - 1 2 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Tagad pārbaudīsim ODZ. Definēsim mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonu. Tā būs visa skaitļu kopa, izņemot - 1 un 0 (ja x = - 1 un x = 0, daļskaitļu saucēji pazūd). Sakne, ko ieguvām x = - 1 2 pieder ODZ. Tas nozīmē, ka tā ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: − 1 2 .

13. piemērs

Atrodiet vienādojuma saknes x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x.

Risinājums

Mums ir darīšana ar daļēju racionālu vienādojumu. Tāpēc mēs rīkosimies saskaņā ar algoritmu.

Pārvietojiet izteiksmi no labās puses uz kreiso ar pretējo zīmi: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Veiksim nepieciešamās transformācijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Mēs nonākam pie vienādojuma x = 0... Šī vienādojuma sakne ir nulle.

Pārbaudīsim, vai šī sakne nav sveša sākotnējam vienādojumam. Aizstājiet vērtību sākotnējā vienādojumā: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0. Kā redzat, iegūtajam vienādojumam nav jēgas. Tas nozīmē, ka 0 ir sveša sakne, un sākotnējam daļējam racionālajam vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: nav sakņu.

Ja algoritmā neesam iekļāvuši citas līdzvērtīgas transformācijas, tas nebūt nenozīmē, ka tās nevar izmantot. Algoritms ir universāls, taču paredzēts, lai palīdzētu, nevis ierobežotu.

14. piemērs

Atrisiniet vienādojumu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Risinājums

Vienkāršākais veids ir atrisināt doto daļējo racionālo vienādojumu saskaņā ar algoritmu. Bet ir arī cits veids. Apsvērsim to.

Mēs atņemam 7 no labās un kreisās daļas, iegūstam: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

No tā mēs varam secināt, ka izteiksmei kreisās puses saucējā ir jābūt vienādai ar skaitli, apgrieztais numurs no labās puses, tas ir, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

No abām daļām atņemiet 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Pēc analoģijas 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, no kurienes 1 5 - x 2 = 1 3 un tālāk 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Veiksim pārbaudi, lai noskaidrotu, vai atrastās saknes ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Atbilde: x = ± 2

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad vietnē atstājat pieprasījumu, mēs varam ievākt dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un ziņot unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņas.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā reklāmas pasākumā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šīs programmas.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesas procesā un/vai pamatojoties uz publiskiem lūgumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sociāli svarīgu iemeslu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei - tiesību pārņēmējam.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai pārliecinātos, ka jūsu personīgā informācija ir drošībā, mēs saviem darbiniekiem iepazīstinām ar konfidencialitātes un drošības noteikumiem un stingri uzraugām konfidencialitātes pasākumu īstenošanu.