Kad cilvēki runā par cilvēku, kuram ir uzskati, tas tiek uztverts kā pozitīva īpašība. Bet ja nu mūsu uzskati un tradicionālais skatījums uz notikumiem ir aizmugurējā puse kas neļauj mums skaidri izprast pasaulē notiekošos procesus?

Grāmatu uzlaušanas servisa MakeRight dibinātājs Konstantīns Smigins stāsta par Stīvena D. Levita un Stīvena J. Dubnera atzinību guvušo grāmatu "Freaky Thought".

“Domāt kā ķēmam” nozīmē atrast nestandarta risinājumus, izvairīties no izplatītām psiholoģiskām lamatām un aplūkot aktuālos notikumus no perspektīvas, kas parasti ir nepieejama mirgojošam prātam.

Tikai daži cilvēki spēj "domāt kā ķēms", un lūk, kāpēc:

1. Pētījumi liecina, ka pat visgudrākie cilvēki meklē pierādījumus apkārtējā pasaulē, lai atbalstītu savu viedokli, un nav gatavi pieņemt jaunu informāciju, kas ir pretrunā ar viņu priekšstatiem par pasauli. Mūsu apziņa izkropļo un pielāgo apkārtējo realitāti.
2. Turklāt cilvēkus ļoti ietekmē viņu vide, vide, kurā viņi dzīvo. Cilvēkam kā sabiedriskam dzīvniekam ir vieglāk piekrist pastāvošajai lietu kārtībai, nekā to apšaubīt, izraisot cilts biedru dusmas. Autori šo fenomenu sauc par "domāšanas procesa nodošanu kādam citam".
3. Arī trešais iemesls izriet no cilvēka dabas īpatnībām: “cilvēkiem nav laika domāt, kā viņi domā. Turklāt viņi nepavada daudz laika domāšanai.

Levits un Dubners savā grāmatā apgalvo, ka vairāk cilvēku jādomā "kā ķēms". Tas ir, produktīvāks, izgudrojošāks un racionālāks.

"Es nezinu" spēks un ekspertu slimība

Lielākajai daļai cilvēku ir apkaunojoši izrādīt savu nezināšanu un izskatīties nezinošiem. Pēc viņu domām, labāk mēģināt izskatīties pēc eksperta lietā, ko tu nemaz nesaproti. Šajā situācijā elektroniskās saziņas metodes ir tikai pa rokai. No otras puses, nevēlēšanās atzīt savu nezināšanu un neprasmi nozīmē, ka cilvēka prāts ir slēgts mācībām un īstām zināšanām.

Jaunākie pētījumi (piemēram, Filipa Tetloka) ir parādījuši, ka eksperti prognozē nākotni tikai nedaudz precīzāk nekā "patvaļīgi izvēloties šautriņu metošu šimpanzi". Viņu prognožu precizitāte ir tikai aptuveni 47,4%. Tas ir līdzvērtīgs nejaušai prognozēšanai, ar vienīgo atšķirību, ka tas jums neko nemaksās, savukārt prognozētāji par saviem pakalpojumiem iekasēs lielu naudu.

Interesanti, ka pētnieks Filips Tetloks sliktākos prognozētājus raksturo kā pārlieku pašpārliecinātus – pat ja viņu prognoze nepiepildās.

Neskatoties uz to, cilvēki turpina klausīties prognozēs vai ļaujas kārdinājumam prognozēt. Kāpēc? Tas ir saistīts ar faktu, ka (ņemot vērā mūsu pasaules ārkārtīgi sarežģītās cēloņsakarības) daži cilvēki atceras neveiksmīgas prognozes. Bet, ja pareģojums piepildās, tad persona, kas to izteica, var iegūt pravieša slavu vai saņemt lielu atlīdzību.

Kā atzīties neziņā?

Autori aicina nekautrēties atzīt savu nezināšanu. Lai nenostādītu sevi stulbā stāvoklī, pasaki kaut ko tādu, kas tev ir nepatīkams un beidz ar frāzi: "... bet varbūt es varu uzzināt." Visticamāk, cilvēki uz šādu atklātību reaģēs pozitīvi, it īpaši, ja atgriezīsities pie viņiem ar nepieciešamo informāciju.

Ej pie saknes!

Cēloņsakarības ir sarežģītas, mulsinošas un nav acīmredzamas. Tomēr lielākā daļa cilvēku turpina domāt un skaidrot noteiktu parādību cēloņus atbilstoši viņiem izveidotajiem modeļiem.

Redzēt reāli iemesli notikumus, jums ir jāiet tālāk par dominējošajām idejām.

1. Kāds ir nabadzības un bada cēlonis? No vienas puses, tas ir naudas un pārtikas trūkums. No otras puses, pārtikas krājumi un materiālā palīdzība bada valstis neko nemaina. Problēma ir nestrādājošā ekonomikā, kad pie varas esošie domā, pirmkārt, par savu vajadzību apmierināšanu.
2. Kāpēc Āfrikā ir tik daudz karu? Protams, ir daudz iemeslu, bet galvenais no tiem ir Āfrikas koloniālā sadalīšana eiropiešu starpā 19. gadsimtā. Eiropieši sadalīja teritorijas, vienkārši skatoties kartē (tādēļ robežas starp Āfrikas valstīm bieži ir pilnīgi taisnas līnijas). Tā rezultātā draudzīgas Āfrikas ciltis varētu nonākt pretējās robežas pusēs, un karojošās ciltis varētu atrasties vienā valstī.
3. Kāpēc Amerikas Savienotajās Valstīs sirds slimības ir biežākas melnādaino vidū? Tika konstatēts, ka vergu īpašnieki izvēlējās vergus pēc viņu sviedru sāļuma. Tā kā sāls saglabā mitrumu, vergs ar sāļāku sviedriem, visticamāk, izdzīvos noguruma laikā jūras ceļojumi uz Jauno pasauli un nenomirt no dehidratācijas. Sāls jutība ir iedzimta, un pētījumi liecina, ka afroamerikāņiem ir par 50% lielāka iespēja saslimt ar hipertensiju nekā baltajiem (un melnādainajiem citās valstīs), un līdz ar to ir lielāks sirdsdarbības traucējumu risks.
4. Līdz 80. gadiem tika uzskatīts, ka kuņģa čūlu izraisa stress un pikanta pārtika. Barijs Māršals pierādīja, ka čūlu (kas vēlāk var izraisīt vēzi) cēlonis ir baktērija Helicobacter pylori. Lai pārvarētu mediķu sabiedrības pretestību, kas Māršala hipotēzi neuztvēra nopietni, viņš veica varoņdarbu – dzēra baktērijas saturošu šķidrumu, pēc kā parādījās gastrīta simptomi.

Domā kā bērns

Freakout bieži ietver spēju domāt kā bērns. Autori atzīmē, ka šī ir viena no labāki veidi Meklēt nestandarta risinājumi un ideju ģenerēšana. Bērni ir zinātkāri un uzdod jautājumus, kurus pieaugušie baidās uzdot. Būt atvērtam ir milzīga priekšrocība kādam, kurš vēlas tikt skaidrībā.

Jo lielas problēmas parasti sastāv no daudziem maziem uzdevumiem, ir diezgan saprātīgi sākt, pievēršot uzmanību vienam no tiem. Priekšrocība šeit ir arī fakts, ka nelielu uzdevumu ir vieglāk pārvērst realitātē.

Galvenais ķēmu dzīves princips

Ja vēlaties domāt kā ķēms, tad autori iesaka vienmēr izmantot reālus stimulus, kas iedarbojas uz cilvēkiem.

Ir daudz stimulu – naudas, sociālu, morālu. Spēja tos atpazīt un pielietot ir vesela zinātne, jo konkrētos gadījumos un ar noteiktiem cilvēkiem iedarbojas dažādi stimuli.

Nav viegli noteikt stimulu, kas ietekmēs konkrēto personu. Cilvēki parasti neatzīst, no kā var būt atkarīgi, un autori neiesaka nevienam ticēt šajā jautājumā.

Ir vēl viens efekts, tā sauktais kobras efekts. Tas ir saistīts ar to, ka bieži dāsnuma izpausmes izraisa pretreakciju. Savu nosaukumu tas ieguva pēc situācijas, kurā angļu kolonisti nokļuva Indijā. Pieņemot lēmumu samazināt čūsku populāciju Deli, kolonisti paziņoja par naudas atlīdzību par katru nogalināto kobru. Rezultāts bija pretējs – indiāņi sāka audzēt un audzēt kobras, saņemot par tām naudu, un, kad apbalvojumus atcēla, visas kobras tika izlaistas savvaļā.

Turklāt izvairieties no stimuliem, kas izskatās pēc vāji slēptiem manipulācijas mēģinājumiem. Cilvēki ar viņiem jūtas labi.

Stimulu izmantošana ir noderīga arī citā veidā. Bieži vien tas, kurš krāpjas vai melo, reaģē uz tiem noteiktā veidā. Pamatojoties uz to, autori atvasina principu, ko viņi sauc par "iemāciet savam dārzam ravēt sevi". Lieta tāda, ka jāparedz situācija, kurā atklāsies cilvēks ar ļauniem nodomiem.

Kā piemēru autori min zināma vēsture par ķēniņu Salamanu. Reiz viņa tiesā ieradās divas sievietes ar bērnu, no kurām katra apgalvoja, ka bērns ir viņas. Salamans viņiem paziņoja, ka ir nolēmis sagriezt bērnu un dot katrai mātei pusi. Tas palīdzēja noskaidrot īsto māti, kura šausmās teica, ka labāk, ja viņas bērns dabū citu, bet viņa dzīvos. Viltnieks piekrita nogalināt bērnu.

Kā pārliecināt cilvēkus, kuri nevēlas būt pārliecināti?

Ir ārkārtīgi stulbi nosaukt savu priekšlikumu par ideālu — tas vienmēr satrauc cilvēkus, vienkārši tāpēc, ka tas nenotiek. Lai cilvēks nejustos aizķerts, pastāsti sev par vājās vietas Tavs piedāvājums.

Bet pārliecināt kādu ir grūts uzdevums psiholoģiskas ietekmes dēļ. Ja cilvēka uzskati (kas bieži notiek) ir balstīti uz stereotipiem un bara domāšanu, viņa pārliecināšana, izmantojot loģiku un veselo saprātu, ir laika izšķiešana. Labāk ir strādāt nevis pie pierādījumu loģikas, bet gan to efektivitātes.

Vēl viens triks ir atzīt stiprās puses oponenta argumenti, kas palīdzēs piešķirt nozīmi viņu pašu argumentiem.

Turklāt nekādā gadījumā nedrīkst pārkāpt robežu, piekārt etiķetes un slīdēt uz leju uz apvainojumiem. Tas jums nekavējoties atņems visas pozīcijas. Labākā stratēģija pārliecināšana - stāstu stāstīšana. Stāsti piesaista uzmanību un pārceļ jūs uz citu izpratnes līmeni, padarot jūsu argumentus un idejas labāk saprotamas.

Atkāpšanās priekšrocības

Svarīgi neiekrist kopējās garīgās lamatās – ja jau esam kaut ko ieguldījuši laiku un naudu, tad turpinām ieguldīt naudu un laiku šajos projektos arī tad, kad tie neko lietderīgu nenes. To sauc par nepareizo izmaksu kļūdu. Tādējādi, laikus atkāpjoties no nerentablā Concorde attīstības projekta, Francijas un Lielbritānijas valdības varētu ietaupīt savus budžetus no miljardiem dolāru lieliem izdevumiem.

Mēs baidāmies apstāties, jo tā būs mūsu kļūdas atzīšana. Rezultātā esam spiesti turpināt bezcerīgo biznesu. Bet, kā minēts iepriekš, domāšana kā ķēms nozīmē nebaidīties atzīt savas kļūdas.

Efektīvs veids, kā izvairīties no iegrimušo izmaksu kļūdām, ir par tām atgādināt sev. Vienmēr meklējiet alternatīvus veidus un risinājumus konkrētai situācijai.

Pajautājiet sev: "Ko es darītu tagad, izmantojot to pašu laiku, naudu un resursus?".

Krievu filologs Dmitrijs Nikolajevičs Ušakovs savā skaidrojošā vārdnīca sniedz šādu definīciju jēdzienam "metode" - veids, veids, paņēmiens teorētiskie pētījumi vai kaut kā praktiska īstenošana (D. N. Ušakovs, 2000).

Kādas ir matemātikas uzdevumu risināšanas mācīšanas metodes, kuras mēs šobrīd uzskatām par nestandarta? Diemžēl neviens nav izdomājis universālu recepti, ņemot vērā šo uzdevumu unikalitāti. Daži skolotāji apmāca veidnes vingrinājumus. Tas notiek šādi: skolotājs parāda veidu, kā atrisināt, un tad skolēns to atkārto daudzas reizes, risinot problēmas. Tajā pašā laikā tiek nogalināta skolēnu interese par matemātiku, kas ir vismaz skumji.

Matemātikā nav vispārīgie noteikumi, ļaujot atrisināt jebkuru nestandarta uzdevumu, jo šādi uzdevumi zināmā mērā ir unikāli. Nestandarta uzdevums vairumā gadījumu tiek uztverts kā "izaicinājums intelektam, un tas rada nepieciešamību realizēt sevi šķēršļu pārvarēšanā, radošo spēju attīstīšanā".

Apsveriet vairākas metodes nestandarta problēmu risināšanai:

• · algebriskā;
• · aritmētika;
• uzskaitīšanas metode;
• argumentācijas metode;
• praktisks;
• uzminēšanas metode.

Algebriskā metode problēmu risināšana attīsta radošās spējas, spēju vispārināt, veido abstraktu domāšanu un tai ir tādas priekšrocības kā rakstīšanas un argumentācijas īsums vienādojumu sastādīšanā, ietaupa laiku.

Lai atrisinātu problēmu ar algebrisko metodi, ir nepieciešams:

• analizēt problēmu, lai izvēlētos galveno nezināmo un identificētu attiecību starp lielumiem, kā arī izteiktu šīs atkarības matemātiskā valodā divu formā. algebriskās izteiksmes;
• atrast pamatu šo izteiksmju savienošanai ar zīmi "=" un izveidot vienādojumu;
• rast atrisinājumus iegūtajam vienādojumam, organizēt vienādojuma atrisinājuma pārbaudi.

Visi šie problēmas risināšanas posmi ir loģiski savstarpēji saistīti. Piemēram, divu algebrisko izteiksmju ar vienādības zīmi savienošanas pamata meklēšanu pieminam kā speciālo posmu, taču ir skaidrs, ka iepriekšējā posmā šīs izteiksmes netiek veidotas patvaļīgi, bet gan ņemot vērā to savienošanas iespēju. ar zīmi “=”.

Gan lielumu atkarību identificēšanai, gan šo atkarību tulkošanai matemātiskā valodā ir nepieciešama intensīva analītiska un sintētiska garīga darbība. Panākumi šajā darbībā jo īpaši ir atkarīgi no tā, vai skolēni zina, kādas attiecības šiem lielumiem kopumā var būt, un vai viņi saprot šo attiecību patieso nozīmi (piemēram, attiecības, kas izteiktas ar terminiem “vēlāk līdz ...”, “ vecāks par ... reizes" utt.). Tālāk ir nepieciešama izpratne par to, kāda matemātiska darbība vai darbības īpašība vai kāda saikne (atkarība) starp komponentiem un darbības rezultātu var raksturot vienu vai otru konkrētu attiecību.

Sniegsim piemēru nestandarta uzdevuma risināšanai ar algebrisko metodi.

Uzdevums. Zvejnieks noķēra zivi. Uz jautājumu: “Kāda ir tās masa?” Viņš atbildēja: “Astes masa ir 1 kg, galvas masa ir tāda pati kā astes un ķermeņa pusei. Un ķermeņa masa ir tāda pati kā galvas un astes masa kopā. Kāda ir zivju masa?

Lai x kg ir ķermeņa masa; tad (1+1/2x) kg ir galvas masa. Tā kā pēc nosacījuma ķermeņa masa ir vienāda ar galvas un astes masu summu, mēs sastādām un atrisinām vienādojumu:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg ir ķermeņa masa, tad 1+1/2 4=3 (kg) ir galvas masa un 3+4+1=8 (kg) ir visas zivs masa;

Atbilde: 8 kg.

Aritmētiskā metode risinājumi prasa arī lielu garīgo stresu, kas pozitīvi ietekmē prāta spēju attīstību, matemātisko intuīciju, reālās dzīves situācijas paredzēšanas spēju veidošanos.

Apsveriet piemēru nestandarta uzdevuma risināšanai ar aritmētisko metodi:

Uzdevums. Diviem zvejniekiem jautāja: "Cik zivju ir jūsu grozos?"

"Manā grozā ir puse no tā, kas viņam ir grozā, un vēl 10," atbildēja pirmais. "Un manā grozā ir tikpat daudz, cik viņam ir, un pat 20," aprēķināja otrais. Mēs skaitījām, un tagad jūs rēķināties.

Izveidosim problēmas diagrammu. Lai diagrammas pirmais segments apzīmē zivju skaitu pirmajam zvejniekam. Otrais segments apzīmē zivju skaitu no otrā zvejnieka.

Sakarā ar to, ka mūsdienu cilvēkam ir jābūt priekšstatam par galvenajām datu analīzes metodēm un varbūtības modeļiem, kam ir svarīga loma zinātnē, tehnoloģijā un ekonomikā, skolas matemātikā tiek ieviesti kombinatorikas, varbūtību teorijas un matemātiskās statistikas elementi. kursi, kuru lietošanu ir ērti saprast uzskaitīšanas metode.

Kombinatorisko uzdevumu iekļaušana matemātikas kursā pozitīvi ietekmē skolēnu attīstību. “Mērķtiecīga mācīšanās kombinatorisko problēmu risināšanā veicina tādas matemātiskās domāšanas kvalitātes attīstību kā mainīgums. Ar domāšanas mainīgumu tiek domāts skolēna garīgās darbības virziens meklēt dažādus problēmas risinājumus gadījumā, ja tam nav īpašu norādījumu.

Kombinatoriskās problēmas var atrisināt ar dažādām metodēm. Parasti šīs metodes var iedalīt "formālās" un "neformālās". Izmantojot “formālo” risinājuma metodi, ir jānosaka izvēles būtība, jāizvēlas atbilstošā formula vai kombinatoriskais noteikums (ir summas un reizinājuma noteikumi), jāaizstāj skaitļi un jāaprēķina rezultāts. Rezultāts ir summa iespējas, bet paši varianti šajā gadījumā neveidojas.

Izmantojot “neformālo” risināšanas metodi, priekšplānā izvirzās pats sastādīšanas process. dažādas iespējas. Un galvenais ir nevis cik daudz, bet kādas iespējas var iegūt. Šādas metodes ietver uzskaitīšanas metode.Šī metode ir pieejama arī jaunākie skolēni, un ļauj uzkrāt pieredzi kombinatorisko uzdevumu praktiskajā risināšanā, kas kalpo par pamatu kombinatorisko principu un formulu ieviešanai nākotnē. Turklāt dzīvē cilvēkam ir ne tikai jānosaka iespējamo variantu skaits, bet arī tiešā veidā jāsastāda visi šie varianti, un, apgūstot sistemātiskās uzskaitīšanas metodes, to var izdarīt racionālāk.

Uzdevumi ir sadalīti trīs grupās atkarībā no uzskaites sarežģītības:

• viens . Uzdevumi, kuros jums ir pilnībā jāuzskaita visas iespējamās iespējas.
• 2. Uzdevumi, kuros nav praktiski izmantot pilnu uzskaitīšanas paņēmienu un ir nepieciešams nekavējoties izslēgt dažas iespējas, tās neapsverot (tas ir, veikt saīsinātu uzskaiti).
• 3. Uzdevumi, kuros uzskaitīšanas darbība tiek veikta vairākas reizes un saistībā ar dažāda veida objektiem.

Šeit ir atbilstoši uzdevumu piemēri:

Uzdevums. Novietojot zīmes "+" un "-" starp dotajiem skaitļiem 9 ... 2 ... 4, veido visas iespējamās izteiksmes.

Ir pilns iespēju saraksts:

• a) divas rakstzīmes izteiksmē var būt vienādas, tad mēs iegūstam:
  • 9 + 2 + 4 vai 9 - 2 - 4;
• b) divas zīmes var atšķirties, tad iegūstam:
  • 9 + 2 - 4 vai 9 - 2 + 4.

Uzdevums. Skolotājs stāsta, ka zīmējis 4 figūras pēc kārtas: lielus un mazus kvadrātus, lielus un mazus apļus, lai aplis būtu pirmajā vietā un vienādas formas figūras nestāvētu blakus, un aicina skolēnus uzminēt secība, kādā šīs figūras ir sakārtotas.

Kopumā ir 24 dažādi šo figūru izkārtojumi. Un nav ieteicams tos visus sastādīt un pēc tam izvēlēties tos, kas atbilst šim nosacījumam, tāpēc tiek veikts saīsināts uzskaitījums.

Liels aplis var būt pirmajā vietā, tad mazais var būt tikai trešajā vietā, savukārt lielos un mazos kvadrātus var novietot divējādi - otrajā un ceturtajā vietā.

Līdzīga argumentācija tiek veikta, ja pirmā vieta ir mazs aplis, un tiek apkopotas arī divas iespējas.

Uzdevums. Trīs vienas firmas partneri vērtspapīrus glabā seifā ar 3 slēdzenēm. Slēdzeņu atslēgas pavadoņi vēlas sadalīt savā starpā, lai seifu varētu atvērt tikai vismaz divu pavadoņu klātbūtnē, bet ne viena. Kā es to varu izdarīt?

Pirmkārt, tiek uzskaitīti visi iespējamie atslēgu izplatīšanas gadījumi. Katram kompanjonam var piešķirt vienu atslēgu, divas dažādas atslēgas vai trīs.

Pieņemsim, ka katram kompanjonam ir trīs dažādas atslēgas. Tad seifu var atvērt viens pavadonis, un tas neatbilst nosacījumam.

Pieņemsim, ka katram kompanjonam ir viena atslēga. Tad, ja divi no viņiem atnāks, viņi nevarēs atvērt seifu.

Dosim katram kompanjonam divas dažādas atslēgas. Pirmais - 1 un 2 taustiņi, otrais - 1 un 3 taustiņi, trešais - 2 un 3 taustiņi. Pārbaudīsim, kad ieradīsies kādi divi pavadoņi, lai redzētu, vai viņi var atvērt seifu.

Var nākt pirmais un otrais pavadonis, viņiem būs visas atslēgas (1 un 2, 1 un 3). Var nākt pirmais un trešais pavadonis, viņiem arī būs visas atslēgas (1 un 2, 2 un 3). Beidzot var nākt otrais un trešais pavadonis, viņiem arī būs visas atslēgas (1 un 3, 2 un 3).

Tādējādi, lai atrastu atbildi uz šo problēmu, atkārtošanas darbība ir jāveic vairākas reizes.

Izvēloties kombinatoriskās problēmas, jāpievērš uzmanība šo problēmu priekšmetam un izklāsta formai. Vēlams, lai uzdevumi neizskatītos samāksloti, bet būtu bērniem saprotami un interesanti, radītu to pozitīvas emocijas. Uzdevumu sastādīšanai varat izmantot praktiskus materiālus no dzīves.

Ir arī citas problēmas, kuras var atrisināt uzskaitot.

Kā piemēru atrisināsim problēmu: “Marķīzam Karabasam bija 31 gads, bet viņa jaunajam enerģiskajam Runcim zābakos – 3 gadi, kad risinājās no pasakas zināmie notikumi. Cik gadi ir pagājuši kopš tā laika, ja tagad Kaķis ir trīs reizes jaunāks par savu saimnieku? Opciju uzskaitījums ir attēlots ar tabulu.

Karabasas marķīza laikmets un runcis zābakos

14–3 = 11 (gadi)

Atbilde: ir pagājuši 11 gadi.

Tajā pašā laikā skolēns it kā eksperimentē, vēro, salīdzina faktus un, pamatojoties uz konkrētiem secinājumiem, izdara noteiktus vispārīgus secinājumus. Šo novērojumu procesā tiek bagātināta viņa reāli praktiskā pieredze. Tieši tā ir uzskaitīšanas uzdevumu praktiskā vērtība. Šajā gadījumā vārds "uzskaitījums" tiek lietots tādā nozīmē, lai analizētu visus iespējamos gadījumus, kas atbilst problēmas nosacījumiem, parādot, ka citu risinājumu nevar būt.

Šo problēmu var atrisināt arī ar algebrisko metodi.

Ļaujiet kaķim būt x gadus vecam, tad marķīzam ir 3x, pamatojoties uz problēmas stāvokli, mēs sastādīsim vienādojumu:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Kaķim tagad ir 14 gadi, tad pagāja 14 - 3 = 11 (gadi).

Atbilde: ir pagājuši 11 gadi.

spriešanas metode var izmantot matemātisko sofismu risināšanai.

Sofismā pieļautās kļūdas parasti izpaužas šādi: "aizliegtu" darbību veikšana, kļūdainu zīmējumu izmantošana, nepareizs vārdu lietojums, neprecīzs formulējums, "nelikumīgi" vispārinājumi, nepareizs teorēmu pielietojums.

Atklāt sofismu nozīmē norādīt uz kļūdu argumentācijā, uz kuras pamata tika radīts pierādījuma ārējais izskats.

Sofismu analīze, pirmkārt, attīsta loģisko domāšanu, ieaudzina pareizas domāšanas prasmes. Atklāt kļūdu sofismā nozīmē to atpazīt, un kļūdas apzināšanās neļauj to atkārtot citos matemātiskajos argumentos. Papildus matemātiskās domāšanas kritiskumam šāda veida nestandarta uzdevumi atklāj domāšanas elastību. Vai skolēns spēs “izlauzties no tvēriena” no šī no pirmā acu uzmetiena strikti loģiskā ceļa, pārraut secinājumu ķēdi tieši tajā posmā, kas ir kļūdains un visus turpmākos argumentus padara kļūdainus?

Sofismu analīze palīdz arī apzināti asimilēt pētāmo materiālu, attīsta novērošanu un kritisku attieksmi pret pētāmo.

a) Šeit, piemēram, ir sofisms ar nepareizu teorēmas pielietojumu.

Pierādīsim, ka 2 2 = 5.

Par sākotnējo attiecību pieņemsim šādu acīmredzamo vienādību: 4: 4 = 5: 5 (1)

Mēs izņemam no iekavām kopējo faktoru kreisajā un labajā daļā, mēs iegūstam:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Skaitļi iekavās ir vienādi, tātad 4 = 5 vai 2 2 = 5.

Spriežojumā, pārejot no vienlīdzības (1) uz vienlīdzību (2), tiek radīta ticamības ilūzija, pamatojoties uz nepatiesu analoģiju ar sadales īpašums reizināšana attiecībā pret saskaitīšanu.

b) Sofisms, izmantojot "nelegālus" vispārinājumus.

Ir divas ģimenes - Ivanovi un Petrovi. Katrs sastāv no 3 cilvēkiem - tēva, mātes un dēla. Ivanova tēvs nepazīst Petrova tēvu. Ivanova māte nepazīst Petrovas māti. Vienīgais Ivanovu dēls nepazīst Petrovu vienīgo dēlu. Secinājums: neviens Ivanovu ģimenes loceklis nepazīst nevienu Petrovu ģimenes locekli. Vai tā ir taisnība?

Ja Ivanovu ģimenes loceklis nepazīst Petrovu ģimenes locekli, kas ir vienāds ar ģimenes stāvokli, tas nenozīmē, ka viņš nepazīst visu ģimeni. Piemēram, Ivanova tēvs var pazīt Petrova māti un dēlu.

Lai atrisinātu, var izmantot arī argumentācijas metodi loģiskie uzdevumi. Ar loģiskiem uzdevumiem parasti saprot tos uzdevumus, kas tiek atrisināti, izmantojot tikai loģiskas darbības. Dažkārt to risināšanai nepieciešama ilgstoša spriešana, kuras nepieciešamo virzienu nevar paredzēt iepriekš.

Uzdevums. Viņi saka, ka Tortila iedeva Pinokio zelta atslēgu ne tik vienkārši, kā teica A. N. Tolstojs, bet pavisam citā veidā. Viņa iznesa trīs kastes: sarkanu, zilu un zaļu. Uz sarkanās kastes bija rakstīts: “Šeit atrodas zelta atslēga”, bet uz zilās - “Zaļā kaste ir tukša”, bet uz zaļās - “Šeit sēž čūska”. Tortila lasīja uzrakstus un teica: “Tiešām, vienā kastē ir zelta atslēga, otrā čūska, un trešā ir tukša, bet visi uzraksti ir nepareizi. Ja jūs uzminējāt, kurā kastē ir zelta atslēga, tā ir jūsu." Kur ir zelta atslēga?

Tā kā visi uzraksti uz kastēm ir nepareizi, sarkanajā kastē nav zelta atslēgas, zaļā kaste nav tukša un tajā nav čūskas, kas nozīmē, ka atslēga atrodas zaļajā kastē, čūska atrodas sarkans, un zilais ir tukšs.

Risinot loģiskās problēmas, tiek aktivizēta loģiskā domāšana, un tā ir spēja secināt sekas no premisām, kas ir būtiska veiksmīgai matemātikas apguvei.

Rēbuss ir mīkla, bet mīkla nav gluži parasta. Vārdi un skaitļi matemātiskajās mīklās tiek attēloti, izmantojot zīmējumus, zvaigznītes, ciparus un dažādas zīmes. Lai izlasītu rebusā šifrēto, pareizi jānosauc visi attēlotie objekti un jāsaprot, kura zīme ko attēlo. Cilvēki izmantoja puzles pat tad, kad nevarēja rakstīt. Viņi sastādīja savas vēstules no priekšmetiem. Piemēram, vienas cilts vadoņi savulaik kaimiņiem vēstules vietā sūtīja putnu, peli, vardi un piecas bultas. Tas nozīmēja: “Vai jūs varat lidot kā putni un slēpties zemē kā peles, lēkt pa purviem kā vardes? Ja nezini kā, tad necenties ar mums cīnīties. Mēs jūs bombardēsim ar bultām, tiklīdz jūs ieiesit mūsu valstī.

Spriežot pēc summas pirmā burta 1), D = 1 vai 2.

Pieņemsim, ka D = 1. Tad Y? 5. Y \u003d 5 ir izslēgts, jo P nevar būt vienāds ar 0. Y? 6, jo 6 + 6 = 12, t.i. P = 2. Bet šāda P vērtība nav piemērota turpmākai pārbaudei. Tāpat, jūs? 7.

Pieņemsim, ka Y = 8. Tad P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Maģiskais (maģiskais) kvadrāts ir kvadrāts, kurā skaitļu summa vertikāli, horizontāli un pa diagonāli ir vienāda.

Uzdevums. Sakārtojiet skaitļus no 1 līdz 9 tā, lai vertikāli, horizontāli un pa diagonāli iegūtu vienādu skaitļu summu, kas vienāda ar 15.

Lai gan nav vispārīgu noteikumu nestandarta problēmu risināšanai (tādēļ šīs problēmas tiek sauktas par nestandarta problēmām), mēs esam mēģinājuši sniegt vairākas vispārīgas vadlīnijas - ieteikumus, kas jāievēro, risinot dažāda veida nestandarta problēmas. .

Katrs nestandarta uzdevums ir oriģināls un unikāls savā risinājumā. Šajā sakarā izstrādātā metodika meklēšanas aktivitāšu mācīšanai, risinot nestandarta uzdevumus, neveido prasmes nestandarta uzdevumu risināšanai, var runāt tikai par noteiktu prasmju attīstīšanu:

• spēja izprast uzdevumu, izcelt galvenos (atbalsta) vārdus;
• spēja identificēt problēmā zināmo un nezināmo stāvokli un jautājumu;
• spēja atrast saikni starp datiem un vēlamo, tas ir, analizēt problēmas tekstu, kā rezultātā tiek izvēlēta aritmētiskā darbība vai loģiska darbība, lai atrisinātu nestandarta problēmu;
• spēja fiksēt risinājuma gaitu un problēmas atbildi;
• Spēja veikt papildus darbs pār uzdevumu;
• spēja atlasīt noderīgu informāciju, kas ietverta pašā problēmā, tās risināšanas procesā, sistematizēt šo informāciju, korelējot to ar esošajām zināšanām.

Nestandarta uzdevumi attīsta telpisko domāšanu, kas izpaužas spējā atjaunot prātā objektu telpiskos attēlus un veikt ar tiem darbības. Telpiskā domāšana izpaužas, risinot tādus uzdevumus kā: “Uz apaļas kūkas malas virsū uzlikti 5 krēma punktiņi vienādā attālumā viens no otra. Izgriezumi tika veikti caur visiem punktu pāriem. Cik kūkas gabalu kopā saņēmāt?

praktiska metode var uzskatīt par nestandarta sadalīšanas problēmām.

Uzdevums. Kociņu nepieciešams sagriezt 6 gabalos. Cik griezumi būs nepieciešami?

Risinājums: griezumiem būs nepieciešami 5.

Pētot nestandarta dalīšanas problēmas, jums ir jāsaprot: lai sagrieztu segmentu P daļās, jums vajadzētu veikt (P - 1) griezumu. Šis fakts ir jānosaka ar bērniem induktīvi un pēc tam jāizmanto problēmu risināšanā.

Uzdevums. Trīs metru stieņā - 300 cm Tas jāsagriež 50 cm garos stieņos. Cik griezumu jums ir jāizdara?

Risinājums: mēs iegūstam 6 stieņus 300: 50 = 6 (stieņi)

Mēs strīdamies šādi: lai stieni sadalītu uz pusēm, tas ir, divās daļās, jums ir jāizdara 1 griezums, 3 daļās - 2 griezumi un tā tālāk, 6 daļās - 5 griezumi.

Tātad, jums ir jāizveido 6 - 1 = 5 (izcirtņi).

Atbilde: 5 griezumi.

Tātad viens no galvenajiem motīviem, kas mudina studentus mācīties, ir interese par mācību priekšmetu. Interese ir cilvēka aktīva kognitīvā orientācija uz noteiktu objektu, parādību un darbību, kas izveidota ar pozitīvu emocionāla attieksme viņiem. Viens no līdzekļiem, kā attīstīt interesi par matemātiku, ir nestandarta uzdevumi. Ar nestandarta uzdevumu saprot tādus uzdevumus, kuriem matemātikas kursā nav vispārēju noteikumu un noteikumu, kas nosaka precīzu programmu to risināšanai. Šādu problēmu risināšana ļauj skolēniem aktīvi iesaistīties mācību aktivitātēs. Pastāv dažādas problēmu klasifikācijas un to risināšanas metodes. Visbiežāk izmanto algebrisko, aritmētisko, praktiskās metodes un uzskaitīšanas metode, argumentācija un minējumi.

Borodičs

Irina Sergejevna

Mācību grāmata skolotājam matemātikas izvēles kursā 11. klasei (fiziskais un matemātiskais profils)

« Nestandarta metodes uzdevumu risināšana matemātikā"

Ievads. AT mūsdienu apstākļos jēgpilna izglītības modernizācija, rodas problēmu kontinuums, kam piemīt sociālās un personiskās īpašības un kas kavē pozitīvas pārmaiņas.

Matemātiskā izglītība vidējās izglītības sistēmā vispārējā izglītība ieņem vienu no vadošajām vietām, kas tiek noteikta bez ierunām praktiska nozīme matemātika, tās iespējas cilvēka domāšanas attīstībā un veidošanā, ieguldījums priekšstatu radīšanā par zinātniskās metodes zināšanas par realitāti.

Saskaņā ar PIZA pētījumu, skolēnu matemātiskās kompetences līmenis Krievijā joprojām ir ļoti zems, lai gan esam pieraduši lepoties ar akadēmiskās zinātnes sasniegumiem.

Mūsdienu matemātiskās izglītības svarīgākā problēma ir intelekta formālo-operatīvo struktūru (loģiskās domāšanas) attīstības trūkums un zemā motivācija teorētiskai intelektuālai darbībai vairumam skolēnu.

Savukārt autoritārās pedagoģijas metodes, kas neveicināja bērnu inteliģences attīstību, un kolektīvās darba metodes, kas mazināja interesi par matemātikas zinātni, noveda pie šī deficīta.

Tāpēc mūsdienu izglītības svarīgākais aspekts ir izglītības procesa individualizācija matemātikas izpētē un skolotāju atbalsts bērna intelekta attīstībai.

Atbilstība. Kurss par nestandarta risinājumu metodēm matemātikas uzdevumi ir aktuāla, pirmkārt, tāpēc, ka padara izglītību atvērtāku, paplašinot vidusskolēnu intelektuālās spējas. Otrkārt, šis kurss nodrošina labāku matemātisko rīku apguvi, kas ir daļa no gala sertifikācijas. No otras puses, matemātika, kas ir zināšanu virspriekšmets, veicina loģiskās domāšanas, intelekta kopumā un komunikācijas prasmju attīstību, kas veicina indivīda pašrealizāciju. Kurss ir aktuāls arī saistībā ar matemātikas skaitļošanas lietišķās pielietošanas paplašināšanu citās zināšanu jomās.

Kurss palīdzēs studentiem novērtēt savas vajadzības, iespējas un izdarīt apzinātu izvēli par savu turpmāko dzīves ceļu.

Uzsākot darbu matemātikā ar jaunākiem pusaudžiem, 6.-7.klasē, priekšmetu sadalot divās daļās, veicu matemātisko spēju analīzes testu, diferencējot iegūtos rezultātus, veidojot uzdevumu paketes: skolēniem ar zemu radošuma līmeni - pakotņu izstrāde ar vidēju radošuma līmeni - paaugstinātas sarežģītības uzdevumi, ar augsts līmenis- radoši uzdevumi. Izvērtējot aktivitāšu efektu, atkārtoju šo testēšanu 8.-9. un 10.-11.klasē. Rezultāts parādīja, ka šāda diferencēšana veicina intensīvāku un harmoniskāku skolēnu attīstību.

Profilizglītības, kā vienas no matemātikas izglītības modernizācijas jomām, mērķis ir nodrošināt padziļinātu mācību priekšmeta apguvi un sagatavot skolēnus tālākizglītībai.

Kurss "Nestandarta metodes matemātikas uzdevumu risināšanai" ietver tādu jautājumu izpēti, kas nav iekļauti vispārējais kurss vidusskolas matemātiku, bet ir nepieciešamas tās tālākai apguvei, ar gala atestātu vienotā valsts pārbaudījuma veidā. Ar nestandarta metodēm atrisināto problēmu parādīšanās eksāmenos nebūt nav nejauša, jo ar viņu palīdzību tiek pārbaudīta formulu apgūšanas tehnika elementārā matemātika, vienādojumu un nevienādību risināšanas veidi, prasme veidot loģisku spriešanas ķēdi, skolēnu loģiskās domāšanas līmenis un viņu matemātiskā kultūra.

Šāda veida uzdevumu risināšanai skolas programmā netiek pievērsta pienācīga uzmanība, lielākā daļa skolēnu (ne fiziskās un matemātikas specializētajās grupās) vai nu vispār netiek galā ar šādām problēmām, vai arī veic apgrūtinošus aprēķinus. Iemesls tam ir uzdevumu sistēmas trūkums par šo tēmu skolu mācību grāmatās. Šajā sakarā radās nepieciešamība izstrādāt un vadīt izvēles kursu fiziskā un matemātiskā profila 11. klašu skolēniem.

Nestandarta uzdevumu daudzveidība aptver visu skolas matemātikas kursu, tāpēc to risināšanas metožu esamība var tikt uzskatīta par kritēriju skolas matemātikas galveno sadaļu, matemātiskās un loģiskās domāšanas līmeņa zināšanām.

Nestandarta matemātisko problēmu risināšanas metožu izpēte nodrošina lielisku materiālu šim izglītības un pētniecības darbam.

Kurss ļaus studentiem sistematizēt, paplašināt un nostiprināt zināšanas, sagatavoties tālākām matemātikas studijām, iemācīties risināt dažādas dažādas sarežģītības problēmas.

Kurss palīdzēs skolotājam vislabāk sagatavot skolēnus matemātikas olimpiādēm, nokārtojot eksāmenu un eksāmenus uzņemšanai augstskolās.

Jaunums. Kurss ir novatorisks, jo tas veicina dziļāku attīstību matemātikas zinātne vecākajās klasēs gan specializētajās grupās, gan pamatlīmenī. Jaunums ir kursa uzbūve par matemātisko problēmu risināšanas metodēm un matemātikas zināšanu īstenošanas metodēm. Kurss ir sava veida simulators, gatavojoties gala atestācijai un matemātikas specialitāšu profesionālajai izvēlei.

Literatūras apskats.Šis kurss ir paredzēts fiziskās un matemātikas profila 11. klases skolēniem. Saturs izglītojošs materiāls atbilst profilizglītības mērķiem un uzdevumiem. Izvēles kursa sākumā tika veikta matemātiskās jaunrades diagnostika. Metodiski teorētiskajā daļā paļaujos uz V.P.Supruna darbiem "Matemātika vidusskolēniem: Nestandarta problēmas risināšanas metodes matemātikā" un Olekhnik S. N. Nestandarta metodes vienādojumu un nevienādību risināšanai: .

Kursa galvenais mērķis:

Apstākļu radīšana skolēnu loģiskās domāšanas, matemātiskās kultūras un intuīcijas attīstībai, risinot paaugstinātas sarežģītības problēmas ar netradicionālām metodēm;

Kursa mērķi:

veidot studentu kompetenci nestandarta problēmu risināšanā;

kursa apguve ietver studentu intereses veidošanu par mācību priekšmetu, matemātisko spēju attīstību, sagatavošanos eksāmenam un tālākizglītību augstskolā;

attīstīt studentu pētniecisko un izziņas darbību;

apstākļu radīšana studentu pašrealizācijai procesā mācību aktivitātes.

attīstīt spēju patstāvīgi apgūt un pielietot zināšanas.

Kursa satura izvēles vispārīgie principi ir:

Konsekvence

Integritāte

Zinātniski.

Pieejamība, atbilstoši izglītojamo psiholoģiskajām un vecuma īpatnībām specializētajās klasēs.

Kursā ir ietverts materiāls, kas nepieciešams plānoto mērķu sasniegšanai. Šis kurss ir avots, kas paplašina un padziļina mācīšanos, nodrošina matemātiskās domāšanas, loģikas veidošanai un saistīto disciplīnu apguvei nepieciešamās informācijas integrāciju.

Šo kursu vietu nosaka nepieciešamība sagatavoties profesionālā darbība, ņem vērā vidusskolēnu intereses un profesionālās tieksmes, kas ļauj iegūt augstāku gala rezultātu.

Kursa koncepcija.

Apgūstot vidusskolas matemātikas kursu pamatlīmenī, turpinās sadaļu apguve: "Algebra", "Funkcijas", "Vienādojumi un nevienādības", "Ģeometrija", "Loģikas elementi, kombinatorika, statistika un varbūtību teorija", tiek ieviesta rinda "Matemātiskās analīzes sākumi".

Matemātiskās izglītības satura apguves gaitā studenti apgūst dažādas Dažādi ceļi aktivitātes, iegūt un pilnveidot pieredzi:

matemātisko modeļu veidošana un izpēte lietišķo problēmu, saistīto disciplīnu problēmu aprakstīšanai un risināšanai;

Matemātiskā materiāla algoritmisko priekšrakstu un instrukciju ieviešana un pašizveidošana; praktisko aprēķinu veikšana; matemātisko formulu izmantošana un formulu pašsakārtošana, pamatojoties uz konkrētu gadījumu vispārināšanu un eksperimentu;

patstāvīgs darbs ar informācijas avotiem, saņemtās informācijas vispārināšana un sistematizēšana, integrēšana personīgajā pieredzē;

uz pierādījumiem balstītas argumentācijas veikšana, secinājumu loģisks pamatojums, pierādītu un nepierādītu apgalvojumu nošķiršana, argumentēti un emocionāli pārliecinoši spriedumi;

patstāvīgas un kolektīvas aktivitātes, to rezultātu iekļaušana grupas darba rezultātos, viņu viedokļa korelācija ar citu izglītības komandas dalībnieku viedokli un autoritatīvu avotu viedokli.

Profila kursā izglītības saturs attīstās šādos virzienos:

informācijas sistematizēšana par numuru; skaitlisko kopu attēlojumu veidošana, kā jauna matemātiskā aparāta konstruēšanas veids, kas nepieciešams apkārtējās pasaules un matemātikas iekšējo problēmu risināšanai; skaitļošanas tehnikas uzlabošana;

algebrisko pārveidojumu tehnikas izstrāde un pilnveidošana, vienādojumu, nevienādību, sistēmu risināšana;

informācijas par funkcijām sistematizēšana un paplašināšana, pilnveidošana grafiskās prasmes; matemātiskās analīzes pamatideju un metožu pārzināšana apjomā, kas ļauj izpētīt elementāras funkcijas un atrisināt vienkāršākās ģeometriskās, fizikālās un citas lietišķās problēmas;

ideju attīstīšana par varbūtības un statistikas modeļiem apkārtējā pasaulē;

uzlabošanu matemātiskā attīstība līdz līmenim, kas ļauj brīvi pielietot pētītos faktus un metodes problēmu risināšanā no dažādām kursa sadaļām, kā arī izmantot tos nestandarta situācijās;

prasme veidot un izpētīt vienkāršākos matemātiskos modeļus, risinot lietišķās problēmas, radniecīgo disciplīnu problēmas, padziļinot zināšanas par lietojumprogrammas iezīmēm matemātiskās metodes uz procesu un parādību izpēti dabā un sabiedrībā.

apgūstot matemātiku vidusskolas profilkursā, studenti turpina apgūt dažādas aktivitātes, iegūt un pilnveidot pieredzi:

veikt uz pierādījumiem balstītu spriešanu, secinājumu loģisku pamatojumu, ilustrācijai, interpretācijai, argumentācijai un pierādīšanai izmantojot dažādas matemātikas valodas;

plašas uzdevumu klases risināšana no dažādām kursa sadaļām, meklēšana un radoša darbība paaugstinātas sarežģītības un nestandarta problēmu risināšanā;

algoritmisko aktivitāšu plānošana un realizācija: algoritmisko priekšrakstu un instrukciju par matemātisko materiālu realizācija un paškompilācija; formulu izmantošana un pašsakārtošana, pamatojoties uz konkrētu gadījumu un eksperimentu rezultātu vispārināšanu; praktisko aprēķinu veikšana;

matemātisko modeļu konstruēšana un izpēte lietišķo problēmu aprakstīšanai un risināšanai, problēmas no radniecīgām disciplīnām un īsta dzīve; sava darba rezultātu pārbaude un izvērtēšana, korelācija ar uzdevumu, ar personīgo dzīves pieredzi;

patstāvīgs darbs ar informācijas avotiem, saņemtās informācijas analīze, vispārināšana un sistematizēšana, integrēšana personīgajā pieredzē.

Krievu skolās sākas pakāpeniska pāreja uz federālajiem otrās paaudzes vispārējās izglītības standartiem (turpmāk GEF), kuru galvenā misija ir uzlabot izglītības kvalitāti. 2011./2012.mācību gada iezīme ir vispārējās pamatizglītības GEF ieviešana š.g. pamatskola un konsekventa gatavošanās vispārējās pamatizglītības GEF ieviešanai. Tāpēc jau šobrīd ir jāsaprot tā teorētiskais un metodiskais pamatojums, struktūra un saturs.

Federālajam valsts izglītības standartam tiks nodrošinātas valsts garantijas, ka izglītības rezultāti tiks sasniegti noteiktā informācijas un izglītības vidē, kuru veido: mācībspēki, materiāli tehniskais, finansiālais, ekonomiskais, informatīvais atbalsts.

Lai gan matemātikas izglītības saturs tiek pasniegts tradicionālo saturisko sadaļu veidā: "Aritmētika", "Algebra", "Ģeometrija", "Matemātiskā analīze", "Varbūtība un statistika", vienlaikus iepazīšanās ar matemātikas vēsturi un tiek pieņemts, ka apgūst šādus vispārīgus matemātiskos jēdzienus un metodes:

definīcijas un sākotnējie (nenodefinētie) jēdzieni, pierādījumi, aksiomas un teorēmas, hipotēzes un atspēkojumi, pretpiemēri, tipiskas kļūdas argumentācijā;

tiešā un apgrieztā teorēma, objekta esamība un unikalitāte, apgalvojuma derīguma nepieciešamais un pietiekams nosacījums, pierādīšana ar pretrunu, matemātiskās indukcijas metode;

matemātiskais modelis, matemātika un fizikas, ķīmijas, bioloģijas, ekonomikas, ģeogrāfijas, valodniecības, socioloģijas u.c.

Pamatojoties uz iepriekšminētajām pozīcijām, nestandarta problēmas risināšanas metodes matemātikā ir instruments gan matemātiskās domāšanas, gan matemātisko kompetenču veidošanai, t.i. vēlme pielietot nestandarta metodes teorētisko un lietišķo matemātisko aprēķinu risināšanā.

Tajā pašā laikā noteiktu dabas un tehnoloģiju procesu matemātiskie modeļi prasa matemātisku apstrādi, ne vienmēr tradicionālos veidos.

Šādas pieejas matemātikas pielietošanā un izmantošanā veicina personīgo (pašpilnveidošanās un pašcieņas), metasubjekta (mērķu, uzdevumu, to risināšanas procesu veidošana) un priekšmeta rezultātu veidošanos.

Nestandarta pieejas matemātikas kā superpriekšmetu jomas attīstībai padara izglītību atvērtu un izglītības vidi attīstošu.

Abstrakto, pētniecisko un dizaina darbu tēmas:

Matemātikas vēsture

Renesanses matemātiķi

Skaitlis kā matemātikas pamatjēdziens

Naturālu skaitļu lasīšana un rakstīšana

Apziņas saistība ar matēriju: matemātika un objektīvā realitāte

Matemātiskā intuīcija

Skaitļi, kas mainīja pasauli

Bernulli

Iracionālie vienādojumi

Grafu izmantošana vienādojumu risināšanā

Kurss paredzēts 11. fiziskās un matemātikas klases skolēniem.

Stundu apjoms ir 33 stundas (1 stunda nedēļā).

Kurss ir sadalīts moduļos, katrā trīs stundas, kurus vieno problēmu risināšanas tēma.

Izglītības un tematiskais plāns

Tēmas un sadaļas

Kopējās stundas

Ieskaitot

Turēšanas formas

Ievads

Personīgi

Mini lekcija

1. Funkcionālās aizvietošanas metode

Regulējošais

Seminārs, apmācība

2. Trigonometriskās aizstāšanas metode

Kognitīvā, personiskā un regulējošā

Seminārs, apmācība

3. Uz skaitlisko nevienādību pielietošanu balstītas metodes

Regulējoša un komunikatīva

Seminārs, apmācība

4. Metodes, kuru pamatā ir funkciju monotonitātes izmantošana

Regulējoša un komunikatīva

Seminārs, apmācība

5. Funkcionālo vienādojumu risināšanas metodes

Seminārs, apmācība

6. Uz vektoru izmantošanu balstītas metodes

personiskā un regulējošā

Seminārs, apmācība

7. Kombinētās metodes

Kognitīvā, personiskā un regulējošā, komunikatīvā

Kritiskās domāšanas tehnoloģija

8. Metodes, kuru pamatā ir ierobežotu funkciju izmantošana

Regulējoša un komunikatīva

Seminārs, apmācība

9. Simetrisko vienādojumu sistēmu risināšanas metodes

Regulējošais

Seminārs, apmācība

10. Vienādojumu risināšanas metodes, kas satur skaitļa veselas vai daļdaļas

Regulējošais

Seminārs, apmācība

NOBEIGUMA nodarbība

Komunikabls

Nodarbība - konference (dizaina, izpētes un abstraktu darbu aizstāvēšana)

Ievads: 1 stunda (1 - teorētiskā)

Matemātikas vērtība kā zinātne un cilvēka dzīvē. Piemērotā vērtība. Nestandarta problēmu risināšanas veidu skaistums. Dizaina, pētniecības un abstrakto darbu tēmu izplatīšana.

1. Funkcionālās aizvietošanas metode: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Funkcionālās aizstāšanas metode. Jauns mainīgais , tā pielietojums. Iracionālie vienādojumi. Vienādojumu sistēmas. Vienādojumi, piemēram, x 2 +(ah) 2 2 =s. Atgriešanās vienādojumi. Vairāki citi vienādojumi, kuru atrisināšanai nepieciešams ieviest jaunu mainīgo.

2. Trigonometriskā aizstāšanas metode: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Trigonometriskā aizstāšanas metode. Nezināma mainīgā aizstāšanaX trigonometriskā funkcija:x= vaix=. Iracionālie vienādojumi. Racionālie vienādojumi. eksponenciālie vienādojumi. Vienādojumu sistēmas.

3. Uz skaitlisko nevienādību pielietošanu balstītas metodes: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Uz skaitlisko nevienādību pielietošanu balstītas metodes. Košī nevienlīdzība. Bernulli nevienlīdzība. Košī-Buņakovska nevienlīdzība.

4. Metodes, kas balstītas uz funkciju monotonijas izmantošanu: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Metodes, kuru pamatā ir funkciju monotonitātes izmantošana. Formas vienādojums f (x) \u003d g (x). Monotoniskuma funkciju izpēte.

5. Funkcionālo vienādojumu risināšanas metodes: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Funkcionālo vienādojumu risināšanas metodes. Formas vienādojumi f (f (…(f (x))…))=x . Formas vienādojumi f (g (x)) \u003d f (h (x)).

6. Uz vektoru izmantošanu balstītas metodes: 3 stundas (1 stunda seminārs; 2 stundas apmācība)

Metodes, kuru pamatā ir vektoru izmantošana. Vektors 3D telpā. Vektora garums. Divu vektoru summa un starpība. Kolineārie vektori. Trijstūra nevienlīdzība.

7. Kombinētās metodes: 3 stundas (1 stunda seminārs; 2 stundas apmācība)

Kombinētās metodes. Uzdevumi ar parametriem. Iracionālie vienādojumi. Logaritmiskie vienādojumi. Vienādojumi un nevienādības, kas satur moduli. Vienādojumu sistēmas. Nevienlīdzības pierādījums.

8. Metodes, kuru pamatā ir ierobežotu funkciju izmantošana: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Metodes, kuru pamatā ir ierobežotu funkciju izmantošana. trigonometriskās funkcijas. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas. Funkcijas, kas satur moduli, pakāpi, sakni ar pāra pakāpi.

9. Simetrisko vienādojumu sistēmu risināšanas metodes: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Simetrisko vienādojumu sistēmu risināšanas metodes. Vienādojumu sistēmas ar simetrisku terminu vai faktoru rašanos.

10. Metodes tādu vienādojumu risināšanai, kas satur skaitļa veselas vai daļējas daļas: 3 stundas (1 stunda - seminārs; 2 stundas - apmācība)

Metodes vienādojumu risināšanai, kas satur skaitļa veselas un daļējas daļas. visa daļa reāls skaitlis. Reāla skaitļa daļēja daļa.

11. Noslēguma nodarbība: 2 stundas (Nodarbība - konference (dizaina, pētniecisko un abstrakto darbu aizstāvēšana))

Universālu izglītības pasākumu veidošanas īstenošana, īstenojot federālos valsts II paaudzes izglītības standartus. profila līmenis vidusskola

PERSONĪGIE REZULTĀTI

Novērtējiet situācijas un darbības(vērtību uzstādījumi, morālā orientācija)

Izdariet izvēli attiecībā uz rīcību, veidojot attieksmi pret sociāli apstiprinātiem un morāliem uzvedības modeļiem, risinot morālās pretrunas, pamatojoties uz:

Vispārējas vērtības un krievu vērtības, tostarp filantropija, cieņa pret darbu, kultūra;

Ar vecumu saistītu sociālo lomu izpildes nozīme (“dēls”, “meita”, “laba skolnieka” loma), mācību un jaunu lietu apguves nozīme;

Rūpes par cilvēka veselību un dabu ir svarīgi;

Indivīda garīgā potenciāla attīstīšanas nozīme ("skaisto" un "neglīto" nošķiršana, nepieciešamība pēc "skaisto" un "neglītā" noliegšana, tieksme pēc sevis izzināšanas un pilnveidošanas);

Izglītības nozīme, veselīgs dzīvesveids, dabas skaistums un radošums.

Prognozēt vienādu situāciju vērtējumus no dažādu cilvēku viedokļa, kuri atšķiras pēc tautības, pasaules uzskatiem, amatiem sabiedrībā utt. (toleranta domāšana un uzvedība)

Iemācieties pamanīt un atpazīt neatbilstības starp savu rīcību un deklarētajām pozīcijām, uzskatiem, viedokļiem.

Izskaidrojiet savu vērtējumu nozīmi, motīvus, mērķus

(personīgā pašrefleksija, pašattīstības spējas, motivācija zināšanām, studijām)

ATCERIETIES

Izskaidrojiet pozitīvos un negatīvos vērtējumus, tostarp neviennozīmīgas darbības, no universālo un Krievijas pilsonisko vērtību viedokļa.

Izskaidrojiet atšķirības vienas un tās pašas situācijas vērtējumos, rīkojieties dažādi cilvēki(ieskaitot sevi) kā dažādu pasaules uzskatu, dažādu sabiedrības grupu pārstāvjiem.

Pašu sociālā izvēle un uzvedības modeļu izvēle.

PAŠAPZINĀŠANA

Paskaidrojiet sev:

Pozitīvs "Es esmu jēdziens"

- “kas manī ir labs un kas slikts” (personiskās īpašības, rakstura īpašības), “ko es gribu” (mērķi, motīvi), “ko varu” (rezultāti).

Pašnoteikšanās dzīves vērtībās(vārdos)un rīkojas saskaņā ar tiem, atbildot par savu rīcību(personīgais amats, krievu un pilsoniskā identitāte)

PAŠNOTEIKŠANĀS

Atzīt sevi par Krievijas pilsoni un vērtīgu daļu no daudzpusīgās mainīgās pasaules, t.sk

Paskaidrojiet, kas jūs saista:

ar ģimeni, ar ģimeni

ar ģimeni, draugiem, klasesbiedriem

ar tautiešiem

ar savu valsti

ar visiem cilvēkiem

ar dabu

Paskaidrojiet, kas jūs saista ar jūsu tautas un visas Krievijas vēsturi, kultūru, likteni;

Izjūti lepnumu par savu tautu, savu dzimteni, jūti līdzi priekos un bēdās un izrādi šīs jūtas labos darbos;

Aizstāvēt (savu iespēju robežās) humānas, vienlīdzīgas, pilsoniski demokrātiskas kārtības un novērst to pārkāpšanu;

Meklējiet savu pozīciju dažādās sociālo un pasaules uzskatu pozīcijās, estētiskās un kultūras preferences;

Tiekties uz savstarpēju sapratni ar citu kultūru, pasaules uzskatu, tautu un valstu pārstāvjiem, pamatojoties uz savstarpēju interesi un cieņu;

Cienīt citus uzskatus, citu tautu un valstu vēsturi un kultūru, neļaut tos apvainot, izsmiet;

Veiciet labus darbus, kas ir noderīgi citiem cilvēkiem, savai valstij, tostarp atsakieties no dažām savām vēlmēm viņu labā.

Savas vietas noteikšana dabas un kultūras pasaulē;

Veidojiet bezkonfliktu uzvedības modeli, kas veicina nevardarbīgu un vienlīdzīgu konflikta pārvarēšanu.

Veiciet apzinātu uzvedības modeļa izvēli neskaidrās situācijās, pamatojoties uz:

Kultūra, cilvēki, pasaules uzskats, kurā jūtat savu līdzdalību,

Krievijas pilsoniskās pamatvērtības,

Universālas, humānistiskas vērtības, tai skaitā mierīgu labu kaimiņattiecību vērtība starp dažādu kultūru, amatu, pasaules uzskatu cilvēkiem,

Zināmi un vienkārši vispārpieņemti "laipnas", "drošas", "skaistas", "pareizas" uzvedības noteikumi,

Empātija "savējo" priekos un nepatikšanās: radinieki, draugi, klasesbiedri,

Empātija pret citu cilvēku jūtām, kuri nav tādi kā jūs, atsaucība uz visu dzīvo būtņu nepatikšanām.

Veidot adekvātu pašcieņu un atbildību par veiktajām darbībām un mīļajiem.

REGLATORA UUD

Noteikt un formulēt aktivitātes mērķi, sastādīt rīcības plānu problēmas (uzdevuma) risināšanai

Noteikt izglītojošās darbības mērķi un patstāvīgi mācīšanās mērķu izvirzīšanu, meklēt līdzekļus tā īstenošanai.

Atrodiet un formulējiet galveno izglītības problēmu un ideju, vispirms kopā ar skolotāju un pēc tam patstāvīgi ar skolotāja palīdzību un patstāvīgi izvēlieties projekta tēmu.

Kopā ar skolotāju sastādiet plānu uzdevumu izpildei, radošu un izzinoša rakstura problēmu risināšanai, projekta izpildei.

Apgūt pētnieciskās un projektu darbības pamatus izglītojošā un ārpusstundu darbā.

Rīkojieties, lai īstenotu plānu

Strādājot pie projekta, plānojiet tā posmus ar mērķi to īstenot un, ja nepieciešams, koriģējiet tā īstenošanas posmus.

Mācīties strādāt ar informāciju, izmantojot to plānu īstenošanā un izglītības un pētniecības problēmu risināšanā (uzziņas literatūra, sarežģītas ierīces, IKT rīki).

Salīdziniet savas darbības rezultātu ar mērķi un novērtējiet to

Dialogā ar skolotāju iemācīties izstrādāt vērtēšanas kritērijus un noteikt veiksmes pakāpi sava un ikviena darbā, pamatojoties uz esošajiem kritērijiem, pilnveidot vērtēšanas kritērijus un izmantot tos vērtēšanas un pašvērtēšanas gaitā. .

Projekta prezentācijas laikā iemācieties novērtēt tā rezultātus.

Izprotiet savas neveiksmes iemeslus un atrodiet izeju no šīs situācijas.

Iegūstiet informāciju, orientējieties savā zināšanu sistēmā un apzinieties nepieciešamību pēc jaunām zināšanām, veiciet iepriekšēju informācijas avotu atlasi, lai meklētu jaunas zināšanas, iegūtu jaunas zināšanas (informāciju) no dažādiem avotiem un dažādos veidos.

Patstāvīgi pieņemt, kāda informācija ir nepieciešama, lai atrisinātu mācību priekšmeta izglītības problēmu, kas sastāv no vairākiem soļiem.

Patstāvīgi izvēlēties vajadzīgās vārdnīcas, enciklopēdijas, uzziņu grāmatas, elektroniskos diskus mācību priekšmetu izglītības problēmu risināšanai.

KOGNITĪVAIS UUD

Salīdziniet un atlasiet informāciju, kas iegūta no dažādiem avotiem (vārdnīcām, enciklopēdijām, uzziņu grāmatām, elektroniskajiem diskiem, internetam).

Veidojiet savu pozīciju informācijas pasaulē

Apstrādājiet informāciju, lai iegūtu vēlamo rezultātu, ieskaitot jauna produkta izveidi

Veiciet universālas loģiskas darbības:

Veikt analīzi (iezīmju ieguve),

Izveidot sintēzi (veidot veselu no daļām, tostarp ar neatkarīgu pabeigšanu),

Izvēlieties objektu salīdzināšanas, sēriju, klasifikācijas bāzi,

Paredzēt sagaidāmo izglītības problēmu risināšanas rezultātu,

Izveidot analoģijas un cēloņu un seku attiecības,

Izveidojiet loģisku spriešanas ķēdi

Saistīt objektus ar zināmiem jēdzieniem.

Veidot modeļus, izceļot objekta būtiskās īpašības un attēlojot tos telpiski grafiskā vai zīmju-simboliskā formā, pārveidot modeļus, lai identificētu vispārīgos likumus, kas nosaka šo priekšmetu jomu.

Izmantot informāciju projekta aktivitātēs skolotāja-padomdevēja vadībā.

Konvertējiet informāciju no vienas formas uz citu un izvēlieties sev ērtāko formu

Sniegt informāciju tabulu, diagrammu, pamata piezīmju veidā, tostarp izmantojot IKT rīkus.

Uzrakstiet vienkāršu un sarežģītu teksta plānu.

Jāprot nodot saturu saspiestā, selektīvā vai izvērstā veidā.

KOMUNIKATĪVAIS UUD

Paziņojiet savu nostāju citiem, apgūstot monologa un dialoga runas paņēmienus

Apgūt efektīvu runas darbību, izmantojot dzimto valodu un tās emocionālo komponentu.

Formulēt savas domas mutiskā un rakstiskā runā, ņemot vērā viņu izglītību un dzīvi runas situācijas tostarp IKT izmantošanu.

Ja nepieciešams, aizstāvi savu viedokli, argumentējot to. Iemācieties argumentus pamatot ar faktiem.

Iemācieties kritiski izturēties pret savu viedokli.

Izprast citas pozīcijas (uzskati, intereses)

Ieklausieties citos, mēģiniet ieņemt citu viedokli, esiet gatavi mainīt savu viedokli.

Analizējiet pētāmo tekstu, vienlaikus veicot:

Salīdzinot to ar savu nostāju šajā jautājumā (problēma);

Korektūrēt visu veidu tekstuālo informāciju (faktuālo, zemtekstu, konceptuālo).

Pārdomāt savu attieksmi pret darba ideju;

Veiciet sarunas ar cilvēkiem, saskaņojot ar viņiem viņu intereses un uzskatus, lai kopīgi kaut ko paveiktu

Organizēt izglītojošu mijiedarbību grupā (sadaliet lomas, sarunājieties savā starpā utt.).

Pieņemiet citu cilvēku viedokli grupā.

Paredzēt (paredzēt) kolektīvo lēmumu sekas.

Didaktiskais atbalsts

Kursam ir matemātikas apguves padziļināšanas raksturs specializētās grupās un sagatavošanās konkursiem un olimpiādēm. Kurss ietver matemātisko problēmu un vienādojumu risināšanas sarežģītāko metožu papildu analīzi. Tajā pašā laikā kurss balstās galvenokārt uz divām darbības formām: semināriem un apmācībām. Semināros, kuriem ir pamācību raksturs, tiek aplūkoti matemātikas zinātnes teorētiskie aspekti. Pētījuma mērķis ir apgūt nestandarta metodes sarežģītu matemātisko problēmu risināšanai. Tajā pašā laikā metožu sarežģītības un neskaidrības dēļ studenti apmācības režīmā attīsta loģisko domāšanu un matemātiskās kompetences.

Nodarbības tiek veidotas, aktīvi piedaloties studentiem, kuri: izseko risinājumus, veido kritisko domāšanu un adekvātu vērtējumu un pašcieņu. Tajā pašā laikā tiek veidotas visas universālās mācīšanās aktivitātes un rezultātā galvenās izglītības kompetences:

analītiskā darbība,

prognozējošs,

informācija,

komunikabls

refleksīvs.

Visas nodarbības tiek veidotas pēc manis prakses procesā izstrādāta plāna.

iepazīstoties ar jauniem risināšanas veidiem - skolotāja darbu ar piemēru demonstrējumu;

uzlabojot;

apmācību sesijas;

individuālais darbs;

gatavu risinājumu analīze;

patstāvīgs darbs ar ieskaitēm;

Klasē tiek izmantotas dažādas darba ar skolēniem formas un metodes:

Semināri, minilekcijas, apaļie galdi, meistarklases, apmācības, individuālie un mazo grupu darbi.

Mācību metodes nosaka kursa mērķi, kas vērsts uz studentu matemātisko spēju un pamatkompetenču veidošanu priekšmetā.

AT tematiskā plānošana tiek iedalīta praktiskā daļa, kas tiek realizēta uz teorētiskās apmācības gaitā iegūtajām studentu zināšanām.

Katras sadaļas beigās sagaidāma starpkontrole treniņu testu un citu aktīvo metožu veidā.

Kursa efektivitāte tiek noteikta noslēguma nodarbībā-konferencē, kuras pamatā ir pētnieciskā, dizaina un abstraktā darba aizstāvēšana.

Kursa materiāls veidots, ņemot vērā aktīvo mācību metožu izmantošanu, un racionāls programmas sadaļu sadalījums ļaus iegūt kvalitatīvas zināšanas un sasniegt plānotos rezultātus. Kurss nodrošināts ar tā īstenošanai nepieciešamo izglītības un metodisko kompleksu.

Šī kursa apguves procesā paredzēts izmantot dažādas metodes skolēnu izziņas aktivitātes uzlabošanai, kā arī dažādas formas patstāvīgā darba organizēšana.

Kursa programmas apgūšanas rezultāts ir skolēnu radošo individuālo un grupu darbu prezentācija noslēguma nodarbībā.

Izmantotās tehnoloģijas: tehnoloģija kritiskās domāšanas attīstībai, problēmu tehnoloģija, tehnoloģija pētniecības problēmu risināšanai (TRIZ), informācijas un komunikācijas tehnoloģijas.

Literatūra skolotājam:

Azarov AI Matemātika vidusskolēniem: funkcionālās un grafiskās metodes eksāmenu uzdevumu risināšanai /A. I. Azarovs, S. A. Barvenovs.- Minska: Aversev, 2004.

Epifanova T. N. Funkciju ekstremālo vērtību atrašana pēc dažādām metodēm

veidi / T. N. Epifanova Matemātika skolā. - Nr.4. -2000.

Mukhametzjanova F.S. UIPCPRO Fizikas un matemātikas izglītības nodaļas metodiķe, Krievijas Federācijas godātais skolotājs Mācību iezīmes priekšmets"Matemātika" 2011.-2012.mācību gadā. (24.02.2009.).

Olekhnik S. N. Nestandarta metodes vienādojumu un nevienādību risināšanai: rokasgrāmata / S. N. Olekhnik, M. K. Potapov, P. I. Pasichenko. - M.: Maskavas Valsts universitātes izdevniecība, 1991.

Potapovs, M. K. Spriedums ar skaitliskām vērtībām vienādojumu sistēmu risināšanā / M. K. Potapovs, A. V. Ševkins / Matemātika skolā. - 3. numurs. – 2005. gads.

Aptuvenā izglītības iestādes pamatizglītības programma

Krievijas Izglītības akadēmijas korespondents A. M. Kondakovs, Krievijas Izglītības akadēmijas akadēmiķis L. P. Kezina)

V. P. Supruns. Matemātika vidusskolēniem. Paaugstinātas sarežģītības uzdevumi. - Minska: "Aversevs", 2002.

Literatūra skolēniem:

Suprun V. P. Nestandarta metodes matemātikas problēmu risināšanai / Suprun V. P. - Minska: Polymya, 2000.

Algebra un matemātiskā analīze. 10. klase: mācību grāmata skolām un klasēm ar padziļinātu matemātikas apguvi / N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd. - M.: Mnemosyne, 2006

Algebra un matemātiskā analīze. 11. klase: mācību grāmata skolām un klasēm ar padziļinātu matemātikas apguvi / N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd. - M.: Mnemosyne, 2006

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā

Ievads

Skolā iegūtā matemātikas izglītība ir būtiska vispārējās izglītības sastāvdaļa un kopējā kultūra mūsdienu cilvēks. Gandrīz viss, kas ieskauj mūsdienu cilvēku, ir vienā vai otrā veidā saistīts ar matemātiku. Un jaunākie sasniegumi fizikā, tehnoloģijās un informāciju tehnoloģijas neatstāj šaubas, ka lietas paliks nemainīgas arī turpmāk. Tāpēc daudzu praktisku problēmu risinājums tiek reducēts uz risināšanu dažāda veida vienādojumi.

Vienādojumi algebras skolas kursā ieņem vadošo vietu. Viņu mācībām tiek veltīts vairāk laika nekā jebkurai citai skolas matemātikas kursa tēmai. Vienādojumu teorijas stiprā puse ir tāda, ka tai ir ne tikai teorētiska nozīme dabas likumu izzināšanā, bet arī tā kalpo konkrētiem praktiskiem mērķiem.

Tēmas atbilstība ir tas, ka algebras, ģeometrijas, fizikas stundās mēs ļoti bieži sastopamies ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu. Lielākā daļa problēmu par telpiskajām formām un kvantitatīvajām attiecībām īstā pasaule ir reducēts uz dažāda veida vienādojumu risināšanu. Apgūstot to risināšanas veidus, cilvēki atrod atbildes uz dažādiem zinātnes un tehnikas jautājumiem (transports, Lauksaimniecība, rūpniecība, sakari utt.). Tāpēc katram skolēnam jāprot pareizi un racionāli atrisināt kvadrātvienādojumus, tas man var noderēt arī risinot vairāk izaicinošus uzdevumus, tai skaitā 9. klasē, kā arī 10. un 11. klasē un kārtojot eksāmenus.

Mērķis: Mācīties standarta un ne standarta veidi kvadrātvienādojumu atrisinājumi

Uzdevumi

1. Ieskicējiet vispazīstamākās vienādojumu risināšanas metodes
2. Ieskicējiet nestandarta vienādojumu risināšanas veidus
3. Izdariet secinājumu

Pētījuma objekts: kvadrātvienādojumi

Studiju priekšmets: Kvadrātvienādojumu risināšanas veidi

Pētījuma metodes:

• Teorētiskā: literatūras izpēte par pētāmo tēmu;
• Analīze: literatūras apguvē iegūtā informācija; rezultātus, kas iegūti, dažādos veidos risinot kvadrātvienādojumus.
• Metožu salīdzinājums to izmantošanas racionalitātei kvadrātvienādojumu risināšanā.

1. nodaļa. Kvadrātvienādojumi un standartrisinājumi

1.1. Definīcija kvadrātvienādojums

kvadrātvienādojums sauc par formas vienādojumu cirvis 2 + bx + c= 0, kur X- mainīgs , a, b un Ar- daži skaitļi un a≠ 0.

Skaitļi a, b un Ar - kvadrātvienādojuma koeficienti. Numurs a sauc par pirmo koeficientu, skaitli b- otrais koeficients un skaitlis c- bezmaksas dalībnieks.

Pilnīgs kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kurā ir visi trīs termini, t.i. koeficienti in un c nav nulle.

Nepilns kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā vismaz viens no vai c koeficientiem ir vienāds ar nulli.

3. definīcija. Kvadrātvienādojuma sakne Ak 2 + bX + Ar= 0 ir jebkura mainīgā x vērtība, kurai kvadrātveida trinomāls Ak 2 + bX+ Ar iet uz nulli.

4. definīcija. Kvadrātvienādojuma atrisināšana nozīmē visu tā atrašanu

saknes vai konstatēt, ka nav sakņu.

Piemērs: - 7 x + 3 =0

Katrā no formas vienādojumiem a + bx + c= 0, kur a≠ 0, mainīgā lielākā pakāpe x- kvadrāts. Līdz ar to nosaukums: kvadrātvienādojums.

Kvadrātvienādojums, kurā koeficients pie X 2 ir vienāds ar 1, sauc reducēts kvadrātvienādojums.

Piemērs

X 2 - 11x+ 30=0, X 2 -8x= 0.

1.2 Standarta metodes kvadrātvienādojumu risināšanai

Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izliekot binoma kvadrātā

Kvadrātvienādojuma atrisinājums, kurā gan nezināmo, gan brīvā termina koeficienti nav nulle. Šo kvadrātvienādojuma risināšanas metodi sauc par binoma kvadrāta izvēli.

Vienādojuma kreisās puses faktorēšana.

Atrisināsim vienādojumu x 2 + 10x - 24 = 0. Faktorizēsim kreiso pusi:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Tāpēc vienādojumu var pārrakstīt šādi: (x + 12) (x - 2) = 0

Faktoru reizinājums ir nulle, ja vismaz viens no tā faktoriem ir nulle.

Atbilde: -12; 2.

Kvadrātvienādojuma atrisināšana, izmantojot formulu.

Kvadrātiskais diskriminantscirvis 2 + bx + c\u003d 0 izteiksme b 2 - 4ac \u003d D - pēc kuras zīmes var spriest par reālu sakņu klātbūtni šajā vienādojumā.

Iespējamie gadījumi atkarībā no D vērtības:

1. Ja D>0, tad vienādojumam ir divas saknes.
2. Ja D= 0, tad vienādojumam ir viena sakne: x =
3. Ja D< 0, tad vienādojumam nav sakņu.

Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Teorēma: Dotā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts no pretējā zīme, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu.

Dotajam kvadrātvienādojumam ir šāda forma:

x 2 + bx + c= 0.

Otro koeficientu apzīmējam ar burtu p, bet brīvo terminu ar burtu q:

x 2 + piks. + q= 0, tad

x 1 + x 2 \u003d - p; x 1 x 2 = q

2. nodaļa

2.1.Risinājums, izmantojot kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības

Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības ir veids, kā atrisināt kvadrātvienādojumus, kas palīdzēs ātri un mutiski atrast vienādojuma saknes:

cirvis 2 + bx + c= 0

1. Jaa+b+c= 0, tadx 1 = 1, x 2 =

Piemērs. Apsveriet vienādojumu x 2 + 3x - 4 = 0.

a+ b + c = 0, tad x 1 = 1, x 2 =

1+3+(-4) = 0, tad x 1 = 1, x 2 = = - 4

Pārbaudīsim iegūtās saknes, atrodot diskriminantu:

D=b2- 4ac= 3 2 - 4 1 (-4) = 9+16 = 25

x 1 = = = = = - 4

Tāpēc, ja +b+c= 0, tad x 1 = 1, x 2 =

1. Jab= a + c , tadx 1 = -1, x 2 =

x 2+ 4X+1 = 0, a = 3, b = 4, c = 1

Ja b=a + c, tad x 1 = -1, x 2 = , tad 4 = 3 + 1

Vienādojuma saknes: x 1 = -1, x 2 =

Tātad šī vienādojuma saknes ir -1 un. Pārbaudīsim to, atrodot diskriminantu:

D=b2- 4ac= 4 2 - 4 3 1 = 16 - 12 = 4

x 1 = = = = = - 1

Sekojoši, b=a + c, tad x 1 = -1, x 2 =

2.2. "Nodošanas" metode

Izmantojot šo metodi, koeficients a tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam ir “uzmests”, tāpēc to sauc pārsūtīšanas metode. Šo metodi izmanto, ja ir viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja a± b+c≠0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika:

3x 2 +4x+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0

Izmantojot "pārsūtīšanas" metodi, mēs iegūstam:

X 2 + 4x+3= 0

Tādējādi, izmantojot Vieta teorēmu, mēs iegūstam vienādojuma saknes:

x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d -1.

Tomēr vienādojuma saknes ir jādala ar 3 (skaitlis, kas tika "izmests"):

Tātad, mēs iegūstam saknes: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d.

Atbilde: ; - viens

2.3.Risinājums, izmantojot koeficientu regularitāti

1. Ja vienādojumscirvis 2 + bx + c= 0, koeficientsb= (a 2 +1), un koeficientsc = a, tad tā saknes ir x 1 = - a, x 2 =

ax2+(a 2+ 1)∙ x + a = 0

Piemērs. Apsveriet 3. vienādojumu x 2 + 10x+3 = 0.

Tādējādi vienādojuma saknes: x 1 = -3 , x 2 =

D=b2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ; Tāpēc x 1 = - a, x 2 =

1. Ja vienādojumscirvis 2 - bx + c= 0, koeficientsb= (a 2 +1), un koeficientsc = a, tad tā saknes ir x 1 = a, x 2 =

Tādējādi atrisināmajam vienādojumam vajadzētu izskatīties šādi

cirvis 2-(a 2+ 1)∙ x+ a= 0

Piemērs. Apsveriet 3. vienādojumu x 2 - 10x+3 = 0.

, x 2 =

Pārbaudīsim šo risinājumu, izmantojot diskriminantu:

D=b2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

a, x 2 =

1. Ja vienādojumscirvis 2 + bx - c= 0, koeficientsb= (a 2 -1), un koeficientsc = a, tad tā saknes ir x 1 = - a, x 2 =

Tādējādi atrisināmajam vienādojumam vajadzētu izskatīties šādi

ax2+(un 2 - 1)∙ x - a = 0

Piemērs. Apsveriet 3. vienādojumu x 2 + 8x - 3 = 0..

Tātad vienādojuma saknes ir: x 1 = - 3, x 2 =

Pārbaudīsim šo risinājumu, izmantojot diskriminantu:

D=b2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = =; Tāpēc x 1 = - a, x 2 =

1. Ja vienādojumscirvis 2-bx-c= 0, koeficientsb= (a 2 -1), un koeficientsc = a, tad tā saknes ir x 1 = a, x 2 =

Tādējādi atrisināmajam vienādojumam vajadzētu izskatīties šādi

cirvis 2-(un 2 - 1)∙ x - a = 0

Piemērs. Apsveriet 3. vienādojumu x 2 - 8x - 3 = 0..

Tādējādi vienādojuma saknes: x 1 \u003d 3 , x 2 = -

Pārbaudīsim šo risinājumu, izmantojot diskriminantu:

D=b2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 2 = = = = = 3; Tāpēc x 1 = a, x 2 = -

2.4.Risinājums ar kompasu un taisngriezi

Kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai es piedāvāju šādu metodi ah 2+bx + c = 0 izmantojot kompasu un lineālu (6. att.).

Pieņemsim, ka vēlamais aplis krustojas ar asi

abscisa punktos B(x 1; 0) un D(x 2; 0), kur x 1 un x 2- vienādojuma saknes ah 2+bx + c = 0, un iet cauri punktiem

A(0; 1) un C(0;c/ a) uz y ass. Tad pēc sekanta teorēmas mums ir OB . OD = OA . OC, kur OC = = =

Apļa centrs atrodas perpendikulu krustpunktā SF un SK, atjaunots akordu viduspunktos AC un BD, tāpēc

1) konstruē punktus S (apļa centru) un A(0; 1) ;

2) uzzīmējiet apli ar rādiusu SA;

3) šī apļa krustošanās punktu abscises ar asi Ak ir sākotnējā kvadrātvienādojuma saknes.

Šajā gadījumā ir iespējami trīs gadījumi.

1) Apļa rādiuss ir lielāks par centra ordinātu (AS > SK, vaiR > a + c/2 a) , aplis divos punktos krusto x asi (7.a att.) B(x 1; 0) un D(x 2; 0), kur x 1 un x 2- kvadrātvienādojuma saknes ah 2+bx + c = 0.

2) Apļa rādiuss ir vienāds ar centra ordinātu (AS = SB, vaiR = a + c/2 a) , aplis punktā pieskaras Vērša asij (8.b att.). B(x 1; 0), kur x 1 ir kvadrātvienādojuma sakne.

3) Apļa rādiuss ir mazāks par centra ordinātu AS< S, R<

aplim nav kopīgu punktu ar abscisu asi (7.c att.), šajā gadījumā vienādojumam nav atrisinājuma.

a)AS>SB, R> b) AS=SB, R= iekšā) AS

Divi Risinājumi x 1 unx 2 Viens Risinājums x 1 Lēmuma nav

Piemērs.

Atrisināsim vienādojumu x 2 - 2x - 3 = 0(8. att.).

Risinājums. Nosakiet apļa centra punkta koordinātas pēc formulām:

x = - = - = 1,

y = = = -1

Uzzīmēsim apli ar rādiusu SA, kur A (0; 1).

Atbilde: x 1 = - 1; x 2 = 3.

2.5.Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai.

Senatnē, kad ģeometrija bija attīstītāka par algebru, kvadrātvienādojumus risināja nevis algebriski, bet ģeometriski. Es sniegšu piemēru, kas kļuvis slavens no al-Khwarizmi "algebras".

Piemēri.

1) Atrisiniet vienādojumu x 2 + 10x = 39.

Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: “Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39” (9. att.).

Risinājums. Apsveriet kvadrātu ar malu x, tā malās ir izveidoti taisnstūri tā, lai katra otra puse būtu 2,5, tāpēc katras puses laukums ir 2,5x. Pēc tam iegūtais skaitlis tiek papildināts ar jaunu kvadrātu ABCD, aizpildot četrus vienādus kvadrātus stūros, katra mala ir 2,5 un laukums ir 6,25.

Kvadrāts S kvadrāts ABCD var attēlot kā laukumu summu:

oriģināls laukums x 2, četri taisnstūri (4. 2,5 x = 10 x) un četri pievienoti kvadrāti (6,25. 4 = 25) , t.i. S = x 2 + 10x + 25. Nomaiņa

x 2 + 10x numuru 39 , mēs to sapratām S = 39 + 25 = 64 , no kurienes izriet, ka laukuma mala ABCD, t.i. līnijas segments AB = 8. Vēlamajai pusei X sākotnējais kvadrāts, ko iegūstam:

x = 8 - 2 - 2 = 3

2) Bet, piemēram, kā senie grieķi atrisināja vienādojumu y 2 + 6y - 16 = 0.

Risinājums parādīts 10. kur

y 2 + 6y = 16 vai y 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Risinājums. Izteicieni g 2 + 6g + 9 un 16 + 9 ģeometriski attēlot

tas pats kvadrāts un sākotnējais vienādojums y 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0 ir tas pats vienādojums. No kurienes mēs to iegūstam y + 3 = ± 5, vai y 1 = 2, y 2 = - 8(rīsi..

att.10

3) Atrisiniet ģeometrisko vienādojumu y 2 - 6y - 16 = 0.

Pārveidojot vienādojumu, mēs iegūstam

2 g. — 6 g. \u003d 16.

11. attēlā mēs atrodam izteiksmes "attēlus". 2–6 g., tie. no kvadrāta laukuma ar malu y divreiz atņemiet laukumu kvadrātam, kura mala ir vienāda ar 3 . Tātad, ja izteiksme 2-6 g pievienot 9 , tad mēs iegūstam kvadrāta laukumu ar malu y - 3. Izteiciena aizstāšana 2-6 g tā vienāds skaitlis 16,

mēs iegūstam: (y - 3) 2 \u003d 16 + 9, tie. y - 3 = ± √25, vai y - 3 = ± 5, kur y 1 = 8 un y 2 = - 2.

Secinājums

Pētnieciskā darba gaitā uzskatu, ka tiku galā ar izvirzīto mērķi un uzdevumiem, izdevās vispārināt un sistematizēt pētīto materiālu par augstāk minēto tēmu.

Jāatzīmē, ka katra kvadrātvienādojumu risināšanas metode ir unikāla savā veidā. Daži risinājumi palīdz ietaupīt laiku, kas ir svarīgi, risinot kontroldarbu un eksāmenu uzdevumus. Strādājot pie tēmas, izvirzīju uzdevumu noskaidrot, kuras metodes ir standarta un kuras nestandarta.

Tātad, standarta metodes(izmanto biežāk, risinot kvadrātvienādojumus):

• Risinājums, sadalot binoma kvadrātā
• Kreisās puses faktorinācija
• Kvadrātvienādojumu atrisināšana pēc formulas
• Risinājums, izmantojot Vietas teorēmu
• Vienādojumu grafiskais risinājums

Nestandarta metodes:

• Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības
• Risinājums, pārnesot koeficientus
• Risinājums, izmantojot koeficientu regularitāti
• Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot kompasu un taisngriezi.
• Reālās ass intervālu vienādojuma izpēte
• Ģeometriskais veids

Jāatzīmē, ka katrai metodei ir savas īpašības un pielietojuma robežas.

Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu

Diezgan vienkāršs veids, kas ļauj uzreiz redzēt vienādojuma saknes, savukārt tikai veselu skaitļu saknes ir viegli atrast.

Vienādojumu atrisināšana ar pārneses metodi

Minimālajam darbību skaitam jūs varat atrast vienādojuma saknes, to izmanto kopā ar Vieta teorēmas metodi, kā arī ir viegli atrast tikai veselu skaitļu saknes.

Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības

Pieejama metode kvadrātvienādojuma sakņu verbālai atrašanai, bet piemērota tikai dažiem vienādojumiem

Kvadrātvienādojuma grafiskais atrisinājums

Vizuāls veids, kā atrisināt kvadrātvienādojumu, tomēr zīmējot var rasties kļūdas

Kvadrātvienādojumu risināšana ar kompasu un taisngriezi

Vizuāls veids, kā atrisināt kvadrātvienādojumu, taču var rasties arī kļūdas

Kvadrātvienādojumu risināšanas ģeometriskais veids

Vizuāls veids, kas līdzīgs pilna kvadrāta atlases veidam

Risinot vienādojumus dažādos veidos, nonācu pie secinājuma, ka, zinot kvadrātvienādojumu risināšanas metožu kopumu, var atrisināt jebkuru mācību procesā piedāvāto vienādojumu.

Tajā pašā laikā jāatzīmē, ka viens no racionālākiem kvadrātvienādojumu risināšanas veidiem ir koeficienta “pārnešanas” metode. Tomēr par universālāko veidu var uzskatīt standarta vienādojumu risināšanas veidu, izmantojot formulu, jo šī metode ļauj atrisināt jebkuru kvadrātvienādojumu, lai gan dažreiz ilgāku laiku. Tāpat arī tādas risināšanas metodes kā “pārsūtīšanas” metode, koeficientu īpašība un Vietas teorēma palīdz ietaupīt laiku, kas ir ļoti svarīgi, risinot uzdevumus eksāmenos un ieskaitēs.

Domāju, ka mans darbs ieinteresēs 9.-11.klašu skolēnus, kā arī tos, kuri vēlas iemācīties racionāli atrisināt kvadrātvienādojumus un labi sagatavoties gala eksāmeniem. Tas interesēs arī matemātikas skolotājus, apskatot kvadrātvienādojumu vēsturi un sistematizējot to risināšanas veidus.

Bibliogrāfija

1. Gleizers, G.I. Matemātikas vēsture skolā / G.I. Glāzers.-M.: Apgaismība, 1982. - 340. gadi.
2. Gusevs, V.A. Matemātika. Uzziņas materiāli / V.A. Gusevs, A.G. Mordkovičs - M.: Apgaismība, 1988, 372 lpp.
3. Kovaleva G. I., Konkina E. V. "Funkcionāla metode vienādojumu un nevienādību risināšanai", 2014
4. Kulagins E. D. "300 konkursa uzdevumi matemātikā", 2013
5. Potapovs M. K. “Vienādojumi un nevienādības. Nestandarta risinājumu metodes, M. Drofa, 2012
6. .Barvenovs S. A "Algebrisko vienādojumu risināšanas metodes", M. "Aversevs", 2006.g.
7. Suprun V.P. "Nestandarta metodes matemātikas uzdevumu risināšanai" - Minskas "Polymya", 2010
8. Šabuņins M.I. "Rokasgrāmata matemātikā augstskolu reflektantiem", 2005.g.
9. Bašmakovs M.I. Algebra: mācību grāmata. 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādēm. - M.: Apgaismība, 2004. - 287lpp.
10. Šatalova S. Nodarbība - darbnīca par tēmu "Kvadrātvienādojumi".- 2004.g.

Nestandarta kvadrātvienādojumu risināšanas veidi

9. klases skolnieks

Darba vadītājs:

Firsova Daria Evgenievna

matemātikas skolotājs

Bieži vien algebras studentam vienu un to pašu uzdevumu ir lietderīgāk atrisināt trīs dažādos veidos, nevis trīs vai četrus uzdevumus. Risinot vienu problēmu dažādos veidos, salīdzinājumam var noskaidrot, kurš no tiem ir īsāks un efektīvāks. Tā rodas pieredze.

W.U. Sojers (20. gadsimta angļu matemātiķis)

Mērķis

Uzziniet visus esošos kvadrātvienādojuma risināšanas veidus. Uzziniet, kā tos izmantot.

Uzdevumi

• Izprotiet to, ko sauc par kvadrātvienādojumu.
• Uzziniet, kādi kvadrātvienādojumu veidi pastāv.
• Atrodiet informāciju par to, kā atrisināt kvadrātvienādojumu, un izpētiet to.

Tēmas atbilstība: Cilvēki ir pētījuši kvadrātvienādojumus kopš seniem laikiem. Es gribēju uzzināt kvadrātvienādojumu attīstības vēsturi.

Skolas mācību grāmatas nesniedz pilnīgu informāciju par kvadrātvienādojumiem un to risināšanas iespējām.

Objekts: Kvadrātvienādojumi.

Temats: Šo vienādojumu risināšanas metodes.

Pētījuma metodes: analītisks.

Hipotēze - ja, apgūstot šo tēmu, varēšu realizēt manis izvirzīto mērķi un uzdevumus, tad attiecīgi došos uz pirmsprofila apmācības īstenošanu matemātiskās izglītības jomā.

Pētījuma metodes:

• Darbs ar izglītojošu un populārzinātnisku literatūru.
• Novērošana, salīdzināšana, analīze.
• Problēmu risināšana.

Paredzamie rezultāti: Apgūstot šo darbu, tiešām varēšu novērtēt savu intelektuālo potenciālu un attiecīgi turpmāk lemt par apmācību profilu, izveidot projekta produktu par pētāmo tēmu datorprezentācijas veidā, studējot šis jautājums man ļaus kompensēt zināšanu trūkumu par noteikto tēmu.

Uzskatu savu darbu daudzsološu, jo turpmāk šo materiālu varēs izmantot gan skolēni, lai uzlabotu matemātisko pratību, gan skolotāji fakultatīvās nodarbībās

Kvadrātvienādojumi senajā Babilonā

Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus pat senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes platību un zemes darbu atrašanu., kā arī ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību. Babilonieši prata atrisināt kvadrātvienādojumus ap 2000. gadu pirms mūsu ēras. Izmantojot mūsdienu algebrisko apzīmējumu, mēs varam teikt, ka viņu ķīļraksta tekstos papildus nepilnīgajiem ir, piemēram, pilnīgi kvadrātvienādojumi:

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar recepšu veidā norādītiem risinājumiem, nenorādot, kā tie atrasti. Neskatoties uz augsto algebras attīstības līmeni Babilonijā, ķīļraksta tekstos nav negatīva skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.

Kā Diofants apkopoja un atrisināja

kvadrātvienādojumi

VIENĀDĀJUMS:

"Atrodiet divus skaitļus, zinot, ka to summa ir 20 un reizinājums ir 96"

Diofants apgalvo šādi: no problēmas stāvokļa izriet, ka vēlamie skaitļi nē ir vienādi, jo ja tie būtu vienādi, tad viņu reizinājums būtu nevis 96, bet 100. Tādējādi viens no tiem būs vairāk nekā puse no to summas, t.i. 10+X , otrs ir mazāks, t.i. 10-X .

Atšķirība starp tām 2 X

No šejienes X=2 . Viens no vēlamajiem skaitļiem ir 12, otrs ir 8. Risinājums X = -2 jo Diofants neeksistē, jo grieķu matemātika zināja tikai pozitīvus skaitļus.

0 Viena no slavenā Indijas 12. gadsimta matemātiķa Bhaskaras problēmām. Pērtiķu ganāmpulks Pēc ēšanas pēc sirds patikas viņiem bija jautri. Astotā daļa no tiem laukumā, kurā es izklaidējos izcirtumā. Un divpadsmit gar liānām ... Viņi sāka lēkt karājoties ... Cik daudz pērtiķu bija Tu man saki, šajā ganāmpulkā?. Problēmai atbilstošais vienādojums: Baskara zem formas raksta: Padded the left side to a square," width="640"

Kvadrātvienādojumi Indijā

Kvadrātvienādojumu problēmas ir atrodamas arī astronomiskajā traktātā Aryabhattam, ko 499. gadā sastādīja indiešu matemātiķis un astronoms Arjabhata. Cits Indijas zinātnieks Brahmagupta izklāstīja vispārīgu noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai: cirvis ² +bx=c, a0

Viena no slavenā Indijas XII gadsimta matemātiķa Bhaskaras problēmām

Pērtiķu bars

Ēst labi, izklaidēties.

Viņi kvadrātā astoto daļu

Izklaidējies pļavā.

Un divpadsmit vīnogulājiem ...

Viņi sāka lēkt karājoties ...

Cik daudz pērtiķu bija

Pastāsti man, šajā ganāmpulkā?

Problēmai atbilstošais vienādojums ir:

Baskara aizsegā raksta:

Papildiniet kreiso malu līdz kvadrātam,

Kvadrātvienādojumi Senajā Āzijā

X 2 +10 x = 39

Lūk, kā Vidusāzijas zinātnieks al-Khwarizmi atrisināja šo vienādojumu:

Viņš rakstīja: "Noteikums ir šāds:

dubultot sakņu skaitu x=2x ·5

iegūstiet piecus šajā problēmā, 5

reiziniet ar šo vienādu ar viņu, būs divdesmit pieci, 5 5=25

pievienojiet to trīsdesmit deviņiem, 25+39

būs sešdesmit četri 64

izvelciet no tā sakni, būs astoņi, 8

un no šīs puses atņemiet sakņu skaitu, t.i., piecas, 8-5

paliks 3

šī būs jūsu meklētā laukuma sakne."

Kā ar otro sakni? Otrā sakne netika atrasta, jo negatīvie skaitļi nebija zināmi.

Kvadrātvienādojumi Eiropā XIII-XVII gs.

Vispārējais noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēts līdz vienai kanoniskai formai x2 + in + c = 0, Eiropā tika formulēts tikai 1544. gadā. Stīfela kungs.

Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai Eiropā pirmo reizi 1202. gadā noteica itāļu matemātiķis.

Leonards Fibonači.

Vietai ir vispārīgs kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasinājums, bet Vieta atpazina tikai pozitīvas saknes. Tikai 17. gs pateicoties darbam Dekarts, Ņūtons un citi zinātnieki kvadrātvienādojumu risināšanas metode iegūst mūsdienu formu

Par Vietas teorēmu

Teorēmu, kas izsaka attiecības starp kvadrātvienādojuma koeficientiem un tā saknēm ar Vietas vārdu, viņš pirmo reizi formulēja 1591. gadā. Šādi: “Ja B + D reizināts A-A ir vienāds ar BD, tad A ir vienāds ar B un vienāds ar D”.

Lai saprastu Vietu, jāatceras, ka A, tāpat kā jebkurš patskanis, apzīmēja nezināmo (mūsu x), savukārt patskaņi B, D ir nezināmā koeficienti.

Mūsdienu algebras valodā iepriekš minētais Vietas formulējums nozīmē :

Ja dotais kvadrātvienādojums x 2 +px+q=0 ir reālas saknes, tad to summa ir vienāda ar -lpp, un produkts ir q, tas ir x 1 + x 2 =-p, x 1 x 2 = q

(dotā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo jēdzienu).

• Vienādojuma kreisās puses faktorēšana
• Vietas teorēma
• Kvadrātiskā koeficienta īpašību pielietošana
• Kvadrātvienādojumu atrisināšana ar augstākā koeficienta "pārnešanas" metodi
• Pilna kvadrāta atlases metode
• Grafisks kvadrātvienādojumu risināšanas veids
• Kvadrātvienādojumu risināšana ar kompasu un taisngriezi
• Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu
• Kvadrātvienādojumu risināšanas ģeometriskais veids

Faktorizācijas metode

izveidojiet vispārējo kvadrātvienādojumu formā:

A(x) B(x)=0,

kur A(x) un B(x) ir polinomi attiecībā pret x.

Mērķis:

Veidi:

• Kopējā faktora izņemšana no iekavām;
• Izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas;
• grupēšanas metode.

Piemērs:

: X 2 + 10x - 24 = 0

Faktorizēsim vienādojuma kreiso pusi:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d \u003d (x + 12) (x - 2);

(x + 12) (x - 2) = 0;

x + 12 = 0 vai x - 2 = 0;

X 1 = -12 x 2 = 2 ;

Skaitļi - 12 un 2 ir šī vienādojuma saknes.

Atbilde: x 1 = -12; X 2 = 2.

Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu

x 1 un X 2 ir vienādojuma saknes

Piemēram :

X 2 + 3X – 10 = 0

X 1 ·X 2 = - 10, tāpēc saknēm ir dažādas

zīmes

X 1 + X 2 = - 3, nozīmē lielāku moduli

sakne - negatīva

Pēc atlases atrodam saknes: X 1 = – 5, Х 2 = 2

Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0

Ja a + b + c = 0 (t.i., koeficientu summa

vienādojums ir nulle), tad X 1 = 1 , X 2 = c/a

Ja a - b + c = 0 , vai b = a + c , tad X 1 = – 1 , X 2 = – s/a .

Piemērs :

137x 2 + 20x – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b + c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Atbilde: 1;

0, saskaņā ar teorēmu pretēji Vietas teorēmai, iegūstam saknes: 5; 6, tad atgriežamies pie sākotnējā vienādojuma saknēm: 2,5; 3" platums = "640"

Vienādojumu risināšana, izmantojot "pārsūtīšanas" metodi

Kvadrātvienādojumu saknes cirvis 2 + bx + c = 0 un y 2 + ar + ac = 0 kas saistīti ar attiecību : x = y/a .

Apsveriet kvadrātvienādojumu cirvis ² + bx + c = 0 , kur a ≠ 0. Reizinot abas puses ar a , mēs iegūstam vienādojumu a²x² + abx + ac = 0. Ļaujiet ah = y , kur X = u/a; tad nonākam pie vienādojuma y² + bu + ac = 0 , kas ir līdzvērtīgs dotajam. tās saknes plkst 1 un plkst 2 atrast ar Vietas teorēmas palīdzību. Beidzot saņemam X 1 =y 1 /a un X 2 =y 2 /a .

Atrisiniet vienādojumu: 2x 2 - 11x +15 = 0.

Pārcelsim koeficientu 2 uz brīvo termiņu

plkst 2 - 11y + 30 = 0. D0, pēc teorēmas, Vietas teorēmas apgrieztā vērtība, iegūstam saknes: 5; 6, tad atgriežamies pie sākotnējā vienādojuma saknēm: 2,5; 3.

Pilna kvadrāta atlases metode

X 2 + 6x - 7 = 0

Kreisajā pusē atlasīsim pilnu kvadrātu. Lai to izdarītu, mēs rakstām izteiksmi X 2 + 6xšādā formā:

X 2 + 6x = x 2 + 2x3

Iegūtajā izteiksmē pirmais vārds ir skaitļa kvadrāts X, un otrais ir dubultprodukts X uz 3 , tāpēc, lai iegūtu pilnu kvadrātu, jums ir jāpievieno 3 2 , jo

X 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2

Tagad mēs pārveidojam vienādojuma kreiso pusi X 2 + 6x - 7 = 0, pievienojot tai un atņemot 3 2 , mums ir:

X 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (x + 3) 2 – 9 – 7 = (x + 3) 2 – 16

Tādējādi šo vienādojumu var uzrakstīt šādi:

(x + 3) 2 –16 = 0 , t.i. (x + 3) 2 = 16 .

Sekojoši, x + 3 - 4 = 0 vai x + 3 + 4 = 0

X 1 = 1 X 2 = -7

Atbilde: -7; viens.

Grafisks kvadrātvienādojuma risināšanas veids

Neizmantojot formulas, kvadrātvienādojumu var atrisināt grafiski

veidā. Atrisināsim vienādojumu

Lai to izdarītu, mēs izveidosim divus grafikus:

Grafiku krustošanās punktu abscises būs vienādojuma saknes.

Ja grafiki krustojas divos punktos, tad vienādojumam ir divas saknes.

Ja grafiki krustojas vienā punktā, tad vienādojumam ir viena sakne.

Ja grafiki nekrustojas, tad vienādojumam nav sakņu.

Atbilde:

Kvadrātvienādojumu risināšana ar

kompasi un lineāli

1. Izvēlēsimies koordinātu sistēmu.

2. Veidosim punktus S (-b/ 2 a; a+c/ 2 a) ir apļa centrs un BET( 0; 1 ) .

3. Uzzīmējiet apli ar rādiusu SA .

Abscisas apļa krustošanās punkti ar x asi ir saknes dots kvadrātvienādojums.

x 1

x 2

Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu

Šis ir vecs un nepelnīti aizmirsts kvadrātvienādojumu risināšanas veids, kas ievietots 83. lpp. "Četru ciparu matemātiskās tabulas" Bradis V.M.

Vienādojumam

nomogramma dod saknes

XXII tabula. Nomogramma vienādojumu risināšanai

Šī nomogramma ļauj, neatrisinot kvadrātvienādojumu, noteikt vienādojuma saknes pēc tā koeficientiem.

Kvadrātvienādojumu risināšanas ģeometriskais veids

Piemērs, kas kļuvis slavens, ir no al-Khwarizmi "algebras": X 2 + 10x = 39. Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: "Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39."

S=x 2 + 10 x + 25 (X 2 + 10 x = 39 )

S= 39 + 25 = 64 , no kurienes seko,

kāda ir laukuma puse ABCD ,

tie. līnijas segments AB = 8 .

x = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

Pamatojoties uz aptauju, tika noskaidrots, ka:

• Sarežģītākās bija šādas metodes:

Faktorējot vienādojuma kreiso pusi,

Pilna kvadrāta atlases metode.

• Racionālas risināšanas metodes:

Kvadrātvienādojumu atrisināšana pēc formulas;

Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu

• Nav praktiska pielietojuma

Kvadrātvienādojumu risināšanas ģeometriskais veids.

• Par metodēm iepriekš nebiju dzirdējis:

Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašību pielietošana;

Ar nomogrammas palīdzību;

Kvadrātvienādojumu risināšana ar kompasu un taisngriezi;

"Transfer" metode (šī metode radīja interesi studentu vidū).

Secinājums

• šīs lēmumu pieņemšanas metodes ir pelnījušas uzmanību, jo tās visas nav atspoguļotas skolu matemātikas mācību grāmatās;

• šo metožu apgūšana palīdzēs skolēniem ietaupīt laiku un efektīvi atrisināt vienādojumus;

• nepieciešamība pēc ātra risinājuma ir saistīta ar iestājeksāmenu pārbaudes sistēmas izmantošanu;

PALDIES PER UZMANĪBU!