Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad vietnē atstājat pieprasījumu, mēs varam ievākt dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un ziņot unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņas.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā reklāmas pasākumā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šīs programmas.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesas procesā un/vai pamatojoties uz publiskiem lūgumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sociāli svarīgu iemeslu dēļ.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei - tiesību pārņēmējam.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai pārliecinātos, ka jūsu personīgā informācija ir drošībā, mēs saviem darbiniekiem iepazīstinām ar konfidencialitātes un drošības noteikumiem un stingri uzraugām konfidencialitātes pasākumu īstenošanu.
\ (\ bullet \) Racionālais vienādojums ir vienādojums, ko var attēlot kā \ [\ dfrac (P (x)) (Q (x)) = 0 \] kur \ (P (x), \ Q (x) \) - polinomi (“x” summa dažādās pakāpēs, reizināta ar dažādiem skaitļiem).
Izteiksmi vienādojuma kreisajā pusē sauc par racionālu izteiksmi.
ODZ (reģions pieņemamām vērtībām) racionālā vienādojumā ir visas vērtības \ (x \), kurām saucējs NEPAzūd, tas ir, \ (Q (x) \ ne 0 \).
\ (\ bullet \) Piemēram, vienādojumi \ [\ dfrac (x + 2) (x-3) = 0, \ qquad \ dfrac 2 (x ^ 2-1) = 3, \ qquad x ^ 5-3x = 2 \] ir racionāli vienādojumi.
Pirmajā ODZ vienādojums Vai visi \ (x \) ir tādi, ka \ (x \ ne 3 \) (rakstīt \ (x \ in (- \ infty; 3) \ cup (3; + \ infty) \)); otrajā vienādojumā tie visi ir \ (x \) tā, ka \ (x \ ne -1; x \ ne 1 \) (rakstiet \ (x \ in (- \ infty; -1) \ cup (-1; 1) \ cup (1; + \ infty) \)); un trešajā vienādojumā ODZ nav ierobežojumu, tas ir, ODZ ir viss \ (x \) (tie raksta \ (x \ in \ mathbb (R) \)). \ (\ bullet \) Teorēmas:
1) Divu faktoru reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja viens no tiem ir nulle, un otrs nezaudē savu nozīmi, tāpēc vienādojums \ (f (x) \ cdot g (x) = 0 \) ir ekvivalents sistēmai \ [\ sākums (lietas) \ pa kreisi [\ sākums (apkopots) \ sākums (līdzināts) & f (x) = 0 \\ & g (x) = 0 \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi. \ \ \ teksts (ODZ vienādojumi) \ beigas (gadījumi) \] 2) Daļa ir nulle tad un tikai tad, ja skaitītājs ir nulle un saucējs nav nulle, tāpēc vienādojums \ (\ dfrac (f (x)) (g (x)) = 0 \) ir ekvivalents sistēmai vienādojumi \ [\ sākums (gadījumi) f (x) = 0 \\ g (x) \ ne 0 \ beigas (gadījumi) \]\ (\ bullet \) Apskatīsim dažus piemērus.
1) Atrisiniet vienādojumu \ (x + 1 = \ dfrac 2x \). Atradīsim šī vienādojuma ODZ — tas ir \ (x \ ne 0 \) (jo \ (x \) ir saucējā).
Tādējādi ODZ var rakstīt šādi:.
Mēs pārnesam visus terminus vienā daļā un apvienojam tos vienā kopsaucējā: \ [\ dfrac ((x + 1) \ cdot x) x- \ dfrac 2x = 0 \ quad \ Leftright bultiņa \ quad \ dfrac (x ^ 2 + x-2) x = 0 \ quad \ Kreisā bultiņa \ quad \ sākums ( gadījumi) x ^ 2 + x-2 = 0 \\ x \ ne 0 \ beigas (gadījumi) \] Sistēmas pirmā vienādojuma risinājums būs \ (x = -2, x = 1 \). Mēs redzam, ka abas saknes nav nulle. Tāpēc atbilde ir \ (x \ in \ (- 2; 1 \) \).
2) Atrisiniet vienādojumu \ (\ pa kreisi (\ dfrac4x - 2 \ right) \ cdot (x ^ 2-x) = 0 \)... Atradīsim dotā vienādojuma ODV. Mēs redzam, ka vienīgā vērtība \ (x \), kurai kreisajai pusei nav jēgas, ir \ (x = 0 \). Tādējādi ODZ var uzrakstīt šādi: \ (x \ in (- \ infty; 0) \ cup (0; + \ infty) \).
Tādējādi šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai:
\ [\ sākums (izlīdzināti) \ pa kreisi [\ sākums (apkopots) \ sākums (līdzināts) & \ dfrac 4x-2 = 0 \\ & x ^ 2-x = 0 \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi . \\ x \ ne 0 \ beigas (gadījumi) \ ceturtdaļa \ kreisā bultiņa \ ceturtdaļa \ sākums (gadījumi) \ kreisi [\ sākums (apkopots) \ sākums (līdzināts) & \ dfrac 4x = 2 \\ & x (x-1) ) = 0 \ beigas (līdzināts) \ beigas (sakopots) \ pa labi. \\ x \ ne 0 \ beigas (gadījumi) \ četrinieks \ Leftright bultiņa \ ceturtdaļa \ sākums (gadījumi) \ pa kreisi [\ sākums (apkopots) \ sākums (līdzināts) ) & x = 2 \\ & x = 1 \\ & x = 0 \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi. \\ x \ ne 0 \ beigas (reģistrācijas) \ četrinieks \ Kreisā labā bultiņa \ četrinieks \ pa kreisi [ \ sākums (apkopots) \ sākums (līdzināts) & x = 2 \\ & x = 1 \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi. \] Patiešām, neskatoties uz to, ka \ (x = 0 \) ir otrā faktora sakne, ja sākotnējā vienādojumā aizstājat \ (x = 0 \), tad tam nebūs jēgas, jo nav definēta izteiksme \ (\ dfrac 40 \).
Tādējādi šī vienādojuma risinājums ir \ (x \ in \ (1; 2 \) \).
3) Atrisiniet vienādojumu \ [\ dfrac (x ^ 2 + 4x) (4x ^ 2-1) = \ dfrac (3-x-x ^ 2) (4x ^ 2-1) \] Mūsu vienādojumā \ (4x ^ 2-1 \ ne 0 \), no kurienes \ ((2x-1) (2x + 1) \ ne 0 \), tas ir \ (x \ ne - \ frac12; \ frac12 \) ...
Pārvietojiet visus terminus pa kreisi un apvienojiet tos līdz kopsaucējam:
\ (\ dfrac (x ^ 2 + 4x) (4x ^ 2-1) = \ dfrac (3-xx ^ 2) (4x ^ 2-1) \ quad \ bultiņa pa kreisi \ quad \ dfrac (x ^ 2 + 4x- 3 + x + x ^ 2) (4x ^ 2-1) = 0 \ četrinieks \ Kreisā labā bultiņa \ quad \ dfrac (2x ^ 2 + 5x-3) (4x ^ 2-1) = 0 \ četrinieks \ Kreisā bultiņa \)
\ (\ Leftright bultiņa \ quad \ begin (cases) 2x ^ 2 + 5x-3 = 0 \\ 4x ^ 2-1 \ ne 0 \ end (cases) \ Quad \ Leftright bultiņa \ quad \ begin (gadījumi) (2x-1 ) (x + 3) = 0 \\ (2x-1) (2x + 1) \ ne 0 \ beigas (gadījumi) \ quad \ Leftright bultiņa \ quad \ begin (cases) \ left [\ begin (savāc) \ begin ( līdzināts) & x = \ dfrac12 \\ & x = -3 \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi. \\ x \ ne \ dfrac 12 \\ x \ ne - \ dfrac 12 \ beigas (gadījumi) \ četrstūris \ kreisā labā bultiņa \ četrstūris x = -3 \)
Atbilde: \ (x \ in \ (- 3 \) \).
komentēt. Ja atbilde sastāv no ierobežotas skaitļu kopas, tad tos var rakstīt atdalot ar semikolu cirtaini iekavās, kā parādīts iepriekšējos piemēros.
Problēmas, kurās nepieciešams atrisināt racionālus vienādojumus, matemātikā lietošanā sastopas katru gadu, tāpēc, gatavojoties sertifikācijas pārbaudījuma kārtošanai, absolventiem teorija par šo tēmu noteikti jāatkārto patstāvīgi. Absolventi, kuri nokārto gan pamata, gan profila līmenis eksāmens. Apgūstot teoriju un izpildot praktiskos vingrinājumus par tēmu "Racionālie vienādojumi", studenti varēs atrisināt uzdevumus ar jebkuru darbību skaitu un sagaidīt konkursa punktus, pamatojoties uz eksāmena nokārtošanas rezultātiem.
Kā sagatavoties eksāmenam kopā ar izglītības portālu "Shkolkovo"?
Dažreiz atrodiet avotu, kas pilnībā atspoguļo risinājuma pamata teoriju matemātikas uzdevumi izrādās diezgan grūti. Mācību grāmata var vienkārši nebūt pa rokai. Atrast nepieciešamās formulas dažkārt ir diezgan grūti pat internetā.
Izglītības portāls "Shkolkovo" paglābs jūs no nepieciešamības meklēt pareizais materiāls un palīdzēs kvalitatīvi sagatavoties sertifikācijas testa nokārtošanai.
Visu nepieciešamo teoriju par tēmu "Racionālie vienādojumi" mūsu speciālisti sagatavoja un prezentēja maksimāli pieejamu formu... Izpētot sniegto informāciju, skolēni varēs aizpildīt zināšanu robus.
Lai veiksmīgi sagatavotos Vienotais valsts eksāmens absolventiem nepieciešams ne tikai atsvaidzināt atmiņu teorētiskā pamata materiāla par tēmu "Racionālie vienādojumi", bet vingrināties uzdevumu veikšanā uz konkrēti piemēri. Liela izvēle uzdevumi ir parādīti sadaļā "Katalogs".
Katram uzdevumam vietnē mūsu speciālisti izrakstīja risinājuma algoritmu un norādīja pareizo atbildi. Studenti var praktizēt problēmu risināšanu dažādas pakāpes sarežģītība atkarībā no apmācības līmeņa. Uzdevumu saraksts attiecīgajā sadaļā tiek pastāvīgi papildināts un atjaunināts.
Jūs varat apgūt teorētisko materiālu un pilnveidot savas prasmes problēmu risināšanā par tēmu "Racionālie vienādojumi", piemēram, eksāmenā iekļautos, varat tiešsaistē. Ja nepieciešams, jebkuru no piedāvātajiem uzdevumiem var pievienot sadaļai "Izlase". Vēlreiz atkārtojot pamata teoriju par tēmu "Racionālie vienādojumi", vidusskolēns turpmāk varēs atgriezties pie problēmas, lai algebras stundā ar skolotāju pārrunātu tās risināšanas gaitu.
T. Kosjakova,
skola Nr.80, Krasnodara
Šķīdums kvadrātā un daļskaitlī racionālie vienādojumi satur parametrus
4. nodarbība
Nodarbības tēma:
Nodarbības mērķis: veidot spēju atrisināt daļracionālos vienādojumus, kas satur parametrus.
Nodarbības veids: jauna materiāla ieviešana.
1. (Verbāli) Atrisiniet vienādojumus:
1. piemērs... Atrisiniet vienādojumu 
Risinājums. 
Atrodiet nederīgas vērtības a: 
Atbilde. Ja 
ja a = – 19
, tad nav sakņu.
2. piemērs... Atrisiniet vienādojumu 
Risinājums.
Atrodiet nederīgas parametru vērtības a :
10 – a = 5, a = 5;
10 – a = a, a = 5.
Atbilde. Ja a = 5 a № 5 , tad x = 10– a .
3. piemērs... Pie kādām parametra vērtībām b
vienādojums 
Tam ir:
a) divas saknes; b) viena sakne?
Risinājums.
1) Atrodiet nederīgas parametru vērtības b :
x = b, b 2 (b 2
– 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4
– 2b 3 = 0,
b= 0 vai b = 2;
x = 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2
= 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 vai b = – 2.
2) Atrisiniet vienādojumu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:
D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2-1), D = 4 b 2 .
a) 
Nederīgu parametru vērtību izslēgšana b , mēs iegūstam, ka vienādojumam ir divas saknes, ja b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .
b) 4b 2 = 0, b = 0, bet šī ir nederīga parametra vērtība b ; ja b 2 –1=0 , t.i. b=1 vai.
Atbilde: a) ja b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , tad divas saknes; b) ja b=1 vai b = –1 , tad vienīgā sakne.
Patstāvīgs darbs
1. iespēja
Atrisiniet vienādojumus:
2. iespēja
Atrisiniet vienādojumus:
Atbildes
1... ja nu a=3
, tad nav sakņu; ja 
b) ja ja a
№
2
, tad nav sakņu.
2. Ja a=2
, tad nav sakņu; ja a=0
, tad nav sakņu; ja 
b) ja a=– 1
, tad vienādojums zaudē nozīmi; ja nav sakņu;
ja
Mājas uzdevums.
Atrisiniet vienādojumus:
Atbildes: a) Ja a № –2 , tad x = a ; ja a=–2 , tad risinājumu nav; b) ja a № –2 , tad x = 2; ja a=–2 , tad risinājumu nav; c) ja a=–2 , tad x- jebkurš numurs, izņemot 3 ; ja a № –2 , tad x = 2; d) ja a=–8 , tad nav sakņu; ja a=2 , tad nav sakņu; ja
5. nodarbība
Nodarbības tēma:"Parametrus saturošu daļskaitļu racionālu vienādojumu risinājums."
Nodarbības mērķi:
apmācība vienādojumu risināšanā ar nestandarta nosacījumu;
studentu apzināta algebrisko jēdzienu asimilācija un sakarības starp tiem.
Nodarbības veids: sistematizēšana un vispārināšana.
Mājas darbu pārbaude.
1. piemērs... Atrisiniet vienādojumu 
a) attiecībā pret x; b) attiecībā pret y.
Risinājums.
a) Atrodiet nederīgas vērtības y: y = 0, x = y, y 2 = y 2 – 2y,
y = 0- nederīga parametra vērtība y.
Ja y№ 0 , tad x = y – 2; ja y = 0, tad vienādojums kļūst bezjēdzīgs.
b) Atrodiet nederīgas parametru vērtības x: y = x, 2x – x 2 + x 2 = 0, x = 0- nederīga parametra vērtība x; y (2 + x – y) = 0, y = 0 vai y = 2 + x;
y = 0 neapmierina nosacījumu y (y–x)№ 0 .
Atbilde: a) ja y = 0, tad vienādojums zaudē nozīmi; ja y№ 0 , tad x = y – 2; b) ja x = 0 x№ 0 , tad y = 2 + x .
2. piemērs... Kurām parametra a veselām vērtībām ir vienādojuma saknes 
pieder pie spraugas 
D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,
D = ( a + 2) 2 .
Ja a № 0 vai a № – 1 , tad
Atbilde: 5 .
3. piemērs... Atrast salīdzinoši x vienādojuma veseli skaitļi 
Atbilde. Ja y = 0 tad vienādojums ir bezjēdzīgs; ja y = –1, tad x- jebkurš vesels skaitlis, kas nav nulle; ja y№ 0, y№ - 1, tad risinājumu nav.
4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 
ar parametriem a
un b
.
Ja a№
- b
, tad 
Atbilde. Ja a = 0 vai b = 0 , tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№ 0, dz№ 0, a = –b , tad x- jebkurš skaitlis, kas nav nulle; ja a№ 0, dz№ 0, a№ -B, tad x = –a, x = –b .
5. piemērs... Pierādiet, ka jebkurai parametra n vērtībai, kas nav nulle, vienādojums 
ir viena sakne, kas vienāda ar - n
.
Risinājums. 
t.i. x = –n, kā nepieciešams pierādīt.
Mājas uzdevums.
1. Atrodiet veselus vienādojuma atrisinājumus 
2. Pie kādām parametra vērtībām c vienādojums 
Tam ir:
a) divas saknes; b) viena sakne?
3. Atrodiet visas vienādojuma veselo skaitļu saknes 
ja a O N
.
4. Atrisiniet vienādojumu 3xy - 5x + 5y = 7: a) attiecībā uz y; b) relatīvi x .
1. Vienādojumu apmierina jebkurš vesels skaitlis, kas vienāds ar x un y vērtībām, kas nav nulle.
2.a) Priekš
b) ar vai 
3. – 12; – 9; 0
.
4. a) Ja tad nav sakņu; ja 
b) ja tad nav sakņu; ja 
Pārbaude
1. iespēja
1. Nosakiet vienādojuma veidu 7c (c + 3) x 2 + (c - 2) x - 8 = 0 pie: a) c = –3; b) c = 2; v) c = 4 .
2. Atrisiniet vienādojumus: a) x 2 –bx = 0; b) cx 2–6x + 1 = 0; v) 
3. Atrisiniet vienādojumu 3x – xy – 2y = 1:
a) attiecībā uz x ;
b) relatīvi y .
nx 2 - 26x + n = 0, zinot, ka parametram n ir tikai veselas vērtības.
5. Kurām b vērtībām tiek piemērots vienādojums 
Tam ir:
a) divas saknes;
b) viena sakne?
2. iespēja
1. Nosakiet vienādojuma veidu 5c (c + 4) x 2 + (c - 7) x + 7 = 0 pie: a) c = –4; b) c = 7; v) c = 1 .
2. Atrisiniet vienādojumus: a) y 2 + cy = 0; b) ny 2 –8y + 2 = 0; v) 
3. Atrisiniet vienādojumu 6x – xy + 2y = 5:
a) attiecībā uz x ;
b) relatīvi y .
4. Atrodiet veselas vienādojuma saknes nx 2–22x + 2n = 0, zinot, ka parametram n ir tikai veselas vērtības.
5. Kurām parametra vērtībām ir vienādojums 
Tam ir:
a) divas saknes;
b) viena sakne?
Atbildes
1. 1. a) Lineārais vienādojums;
b) nepilnīgs kvadrātvienādojums; c) kvadrātvienādojums.
2.a) Ja b = 0, tad x = 0; ja b # 0, tad x = 0, x = b;
b) 
ja cО (9; + Ґ), tad nav sakņu;
c) ja a=–4
, tad vienādojums zaudē nozīmi; ja a№
–4
, tad x = - a
.
3.a) Ja y = 3, tad nav sakņu; ja);
b) a=–3, a=1.
Papildu uzdevumi
Atrisiniet vienādojumus:
Literatūra
1. Golubevs V.I., Goldmens A.M., Dorofejevs G.V. Par parametriem no paša sākuma. - Skolotājs, Nr. 2/1991, lpp. 3-13.
2. Gronšteins P.I., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Nepieciešamie nosacījumi problēmas ar parametriem. - Kvant, Nr.11/1991, 1. lpp. 44-49.
3. Dorofejevs G.V., Zatakavai V.V. Problēmu risināšana satur parametrus. 2. daļa. - M., Perspektīva, 1990, lpp. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Pieci simti četrpadsmit uzdevumi ar parametriem. - Volgograda, 1991. gads.
5. Yastrebinetskiy G.A. Uzdevumi ar parametriem. - M., Izglītība, 1986.g.
1. § Veselais un daļējais racionālais vienādojums
Šajā nodarbībā mēs analizēsim tādus jēdzienus kā racionālais vienādojums, racionālā izteiksme, veselā izteiksme, daļēja izteiksme. Apsveriet racionālu vienādojumu risinājumu.
Racionālais vienādojums ir vienādojums, kurā kreisā un labā puse ir racionālas izteiksmes.
Racionālas izpausmes ir:
Frakcionēti.
Vesela skaitļa izteiksme tiek veidota no skaitļiem, mainīgajiem lielumiem, veselu skaitļu pakāpēm, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības ar skaitli, kas nav nulle.
Piemēram:
Daļējās izteiksmēs ir dalījums ar mainīgo vai izteiksme ar mainīgo. Piemēram:
Daļējai izteiksmei nav jēgas visām tajā iekļauto mainīgo vērtībām. Piemēram, izteiksme
pie x = -9 tam nav jēgas, jo pie x = -9 saucējs pazūd.
Tas nozīmē, ka racionāls vienādojums var būt vesels un daļējs.
Vesels racionālais vienādojums ir racionāls vienādojums, kurā kreisā un labā puse ir veselas izteiksmes.
Piemēram:
Daļveida racionālais vienādojums ir racionāls vienādojums, kurā kreisā vai labā puse ir daļveida izteiksmes.
Piemēram:
§ 2 Visa racionāla vienādojuma atrisinājums
Apsveriet visa racionālā vienādojuma risinājumu.
Piemēram:
Reiziniet abas vienādojuma puses ar mazāko kopsaucējs tajā iekļauto daļskaitļu saucējus.
Priekš šī:
1. atrast kopsaucēju saucējiem 2, 3, 6. Tas ir vienāds ar 6;
2. atrast katrai frakcijai papildu koeficientu. Lai to izdarītu, sadaliet kopsaucēju 6 ar katru saucēju
papildu reizinātājs daļai
papildu reizinātājs daļai
3. reiziniet daļskaitļu skaitītājus ar tiem atbilstošajiem papildu koeficientiem. Tādējādi mēs iegūstam vienādojumu
kas ir līdzvērtīgs dotajam vienādojumam
Atveriet iekavas kreisajā pusē, pārvietojiet labo pusi pa kreisi, mainot termina zīmi pārsūtīšanas laikā uz pretējo.
Uzrādīsim līdzīgus polinoma nosacījumus un iegūsim
Mēs redzam, ka vienādojums ir lineārs.
Atrisinot to, mēs atklājam, ka x = 0,5.
3.§ Daļēja racionāla vienādojuma atrisinājums
Apsveriet daļēja racionāla vienādojuma risinājumu.
Piemēram:
1. Sareizināsim abas vienādojuma puses ar tajā iekļauto racionālo daļskaitļu saucēju mazāko kopsaucēju.
Atrodiet kopsaucēju saucējiem x + 7 un x - 1.
Tas ir vienāds ar viņu reizinājumu (x + 7) (x - 1).
2. Katrai racionālajai daļai atrodiet papildu koeficientu.
Lai to izdarītu, kopsaucējs (x + 7) (x - 1) tiek dalīts ar katru saucēju. Papildu reizinātājs daļai
ir vienāds ar x - 1,
papildu reizinātājs daļai
ir vienāds ar x + 7.
3. Sareizināsim daļskaitļu skaitītājus ar tiem atbilstošajiem papildu koeficientiem.
Mēs iegūstam vienādojumu (2x - 1) (x - 1) = (3x + 4) (x + 7), kas ir ekvivalents šim vienādojumam
4. Kreisajā un labajā pusē mēs reizinām binomiālu ar binomu un iegūstam šādu vienādojumu
5. Pārvietojiet labo pusi uz kreiso pusi, mainot katra vārda zīmi, pārejot uz pretējo:
6. Norādīsim līdzīgus polinoma nosacījumus:
7.Vai abas daļas var dalīt ar -1. Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu:
8 risinot to, atrodiet saknes
Tā kā vienādojumā
kreisā un labā puse ir daļveida izteiksmes, un frakcionētās izteiksmēs dažām mainīgo vērtībām saucējs var pazust, tad ir jāpārbauda, vai kopsaucējs nepazūd, kad tiek atrasti x1 un x2.
Ja x = -27, kopsaucējs (x + 7) (x - 1) nepazūd, ja x = -1, kopsaucējs arī nav nulle.
Tāpēc gan saknes -27, gan -1 ir vienādojuma saknes.
Atrisinot daļēju racionālu vienādojumu, labāk uzreiz norādīt pieļaujamo vērtību diapazonu. Likvidējiet tās vērtības, kurās pazūd kopsaucējs.
Apsveriet citu piemēru daļēja racionāla vienādojuma risināšanai.
Piemēram, atrisināsim vienādojumu
Daļas saucējs vienādojuma labajā pusē ir faktorizēts
Mēs iegūstam vienādojumu
Atrodiet kopsaucēju saucējiem (x - 5), x, x (x - 5).
Tā būs izteiksme x (x - 5).
tagad mēs atrodam vienādojuma pieļaujamo vērtību diapazonu
Lai to izdarītu, mēs pielīdzinām kopsaucēju ar nulli x (x - 5) = 0.
Mēs iegūstam vienādojumu, kuru atrisinot, konstatējam, ka pie x = 0 vai pie x = 5 kopsaucējs pazūd.
Tādējādi x = 0 vai x = 5 nevar būt mūsu vienādojuma saknes.
Tagad var atrast papildu faktorus.
Papildu faktors racionālajai daļai
papildu koeficients frakcijai
būs (x - 5),
un daļas papildu koeficients
Skaitītājus reizinām ar atbilstošajiem papildu koeficientiem.
Mēs iegūstam vienādojumu x (x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5).
Atvērsim iekavas kreisajā un labajā pusē, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Pārcelsim noteikumus no labās puses uz kreiso, mainot nodoto noteikumu zīmi:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Un pēc līdzīgu terminu ienesšanas iegūstam kvadrātvienādojumu x2 - 3x - 10 = 0. Atrisinot to, atrodam saknes x1 = -2; x2 = 5.
Bet mēs jau esam noskaidrojuši, ka x = 5 kopsaucējs x (x - 5) pazūd. Tāpēc mūsu vienādojuma sakne
būs x = -2.
4. § Īss kopsavilkums nodarbība
Ir svarīgi atcerēties:
Atrisinot daļējus racionālos vienādojumus, jums jārīkojas šādi:
1. Atrodiet vienādojumā iekļauto daļskaitļu kopsaucēju. Turklāt, ja daļu saucējus var faktorizēt, tad faktorējiet tos un pēc tam atrodiet kopsaucēju.
2. Reiziniet abas vienādojuma puses ar kopsaucēju: atrodiet papildu faktorus, reiziniet skaitītājus ar papildu koeficientiem.
3. Atrisiniet iegūto visu vienādojumu.
4. Izslēdziet no tās saknēm tos, kas kopsaucēju veido nulle.
Izmantotās literatūras saraksts:
- Makaričevs Ju.N., N.G. Mindjuks, Neškovs K.I., Suvorova S.B. / Rediģēja S.A. Teljakovskis. Algebra: mācību grāmata. par 8 cl. vispārējā izglītība. iestādēm. - M .: Izglītība, 2013.
- Mordkovičs A.G. Algebra. 8. kl.: divās daļās. 1. daļa: Mācību grāmata. vispārējai izglītībai. iestādēm. - M .: Mnemosīns.
- Rurukins A.N. Nodarbību attīstība algebrā: 8. klase - M .: VAKO, 2010.
- Algebra 8. klase: stundu plāni mācību grāmatai Yu.N. Makaričeva, N.G. Mindjuks, K.I. Ņeškova, S.B. Suvorova / Autors-komp. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilīns. -Volgograda: skolotājs, 2005.
Prezentācija un nodarbība par tēmu: "Racionālie vienādojumi. Racionālo vienādojumu risināšanas algoritms un piemēri"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.
Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 8. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Makarychev Yu.N. Rokasgrāmata mācību grāmatai Mordkovičs A.G.
Iracionālo vienādojumu ieviešana
Puiši, mēs iemācījāmies atrisināt kvadrātvienādojumi... Bet matemātika neaprobežojas tikai ar viņiem. Šodien mēs iemācīsimies atrisināt racionālos vienādojumus. Racionālo vienādojumu jēdziens ir ļoti līdzīgs jēdzienam racionālie skaitļi... Tikai papildus skaitļiem tagad esam ieviesuši kādu mainīgo $ x $. Un tādējādi mēs iegūstam izteiksmi, kurā ir saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un palielināšanas līdz veselam skaitļa pakāpēm.Ļaujiet $ r (x) $ būt racionāla izteiksme... Šāda izteiksme var būt vienkāršs polinoms mainīgajā $ x $ vai polinomu attiecība (tiek ieviesta dalīšanas darbība, tāpat kā racionālajiem skaitļiem).
Tiek izsaukts vienādojums $ r (x) = 0 $ racionāls vienādojums.
Jebkurš vienādojums formā $ p (x) = q (x) $, kur $ p (x) $ un $ q (x) $ ir racionālas izteiksmes, būs arī racionāls vienādojums.
Apsveriet racionālu vienādojumu risināšanas piemērus.
1. piemērs.Atrisiniet vienādojumu: $ \ frac (5x-3) (x-3) = \ frac (2x-3) (x) $.
Risinājums.
Pārvietojiet visas izteiksmes uz kreiso pusi: $ \ frac (5x-3) (x-3) - \ frac (2x-3) (x) = 0 $.
Ja vienādojuma kreisajā pusē būtu uzrādīti parastie skaitļi, tad mēs apvienotu divas daļskaitļus līdz kopsaucējam.
Darīsim šādi: $ \ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x ) = \ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) = \ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) * x) = \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
Mēs saņēmām vienādojumu: $ \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) = 0 $.
Daļa ir nulle tad un tikai tad, ja daļas skaitītājs ir nulle un saucējs nav nulle. Tad mēs atsevišķi pielīdzinām skaitītāju nullei un atrodam skaitītāja saknes.
3 $ (x ^ 2 + 2x-3) = 0 $ vai $ x ^ 2 + 2x-3 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 3))) (2) = \ frac (-2 ± 4) (2) = 1; -3 $.
Tagad pārbaudīsim daļskaitļa saucēju: $ (x-3) * x ≠ 0 $.
Divu skaitļu reizinājums ir nulle, ja vismaz viens no šiem skaitļiem ir nulle. Tad: $ x ≠ 0 $ vai $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ 0 $ vai $ x ≠ 3 $.
Skaitītājā un saucējā iegūtās saknes nesakrīt. Tātad, atbildot, mēs pierakstām abas skaitītāja saknes.
Atbilde: $ x = 1 $ vai $ x = -3 $.
Ja pēkšņi viena no skaitītāja saknēm sakrīt ar saucēja sakni, tad tā ir jāizslēdz. Tādas saknes sauc par autsaideriem!
Racionālu vienādojumu risināšanas algoritms:
1. Visas vienādojumā ietvertās izteiksmes, pārsūtīt uz kreisā puse no vienādības zīmes.2. Pārvērtiet šo vienādojuma daļu par algebriskā daļa: $ \ frac (p (x)) (q (x)) = 0 $.
3. Iegūto skaitītāju pielīdziniet nullei, tas ir, atrisiniet vienādojumu $ p (x) = 0 $.
4. Iestatiet saucēju uz nulli un atrisiniet iegūto vienādojumu. Ja saucēja saknes sakrīt ar skaitītāja saknēm, tad tās no atbildes ir jāizslēdz.
2. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) = \ frac (6) (x ^ 2-1) $.
Risinājums.
Atrisināsim pēc algoritma punktiem.
1. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = 0 $.
2. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x (x + 1) +4 (x-1) -6) ((x) -1) (x + 1)) = $ $ = \ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \ frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x-1) (x + 1)) = 0 $.
3. Pielīdziniet skaitītāju nullei: $ 3x ^ 2 + 7x-10 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-7 ± \ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) = \ frac (-7 ± 13) (6) = - 3 \ frac ( 1) (3); 1 $.
4. Pielīdziniet saucēju nullei:
$ (x-1) (x + 1) = 0 $.
$ x = 1 $ un $ x = -1 $.
Viena no saknēm $ x = 1 $ sakrita ar skaitītāja sakni, tad mēs to nepierakstām atbildē.
Atbilde: $ x = -1 $.
Racionālus vienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot mainīgo maiņas metodi. Pierādīsim šo.
3. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 = 0 $.
Risinājums.
Ieviesīsim aizstāšanu: $ t = x ^ 2 $.
Tad mūsu vienādojumam būs šāda forma:
$ t ^ 2 + 12t-64 = 0 $ - parastais kvadrātvienādojums.
$ t_ (1,2) = \ frac (-12 ± \ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) = \ frac (-12 ± 20) (2) = - 16; 4 $.
Ieviesīsim apgrieztās izmaiņas: $ x ^ 2 = 4 $ vai $ x ^ 2 = -16 $.
Pirmā vienādojuma saknes ir skaitļu pāris $ x = ± 2 $. Otrajam nav sakņu.
Atbilde: $ x = ± 2 $.
4. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $ x ^ 2 + x + 1 = \ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Risinājums.
Ieviesīsim jaunu mainīgo: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
Tad vienādojums iegūst šādu formu: $ t = \ frac (15) (t + 2) $.
Tālāk mēs rīkosimies saskaņā ar algoritmu.
1. $ t- \ frac (15) (t + 2) = 0 $.
2. $ \ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) = 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 = 0 $.
$ t_ (1,2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 15))) (2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (64)) (2) = \ frac ( -2 ± 8) (2) = -5; 3 $.
4. $ t ≠ -2 $ - saknes nesakrīt.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu.
$ x ^ 2 + x + 1 = -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 = 3 $.
Atrisināsim katru vienādojumu atsevišķi:
$ x ^ 2 + x + 6 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (-23)) (2) $ - nē saknes.
Un otrais vienādojums: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
Šī vienādojuma saknes būs skaitļi $ x = -2 $ un $ x = 1 $.
Atbilde: $ x = -2 $ un $ x = 1 $.
5. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) + x + \ frac (1) (x) = 4 $.
Risinājums.
Ieviesīsim aizstāšanu: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
Pēc tam:
$ t ^ 2 = x ^ 2 + 2 + \ frac (1) (x ^ 2) $ vai $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) = t ^ 2-2 $.
Mēs saņēmām vienādojumu: $ t ^ 2-2 + t = 4 $.
$ t ^ 2 + t-6 = 0 $.
Šī vienādojuma saknes ir pāris:
$ t = -3 $ un $ t = 2 $.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu:
$ x + \ frac (1) (x) = - 3 $.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 $.
Mēs to atrisināsim atsevišķi.
$ x + \ frac (1) (x) + 3 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (9-4)) (2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $.
Atrisināsim otro vienādojumu:
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2-2x + 1) (x) = 0 $.
$ \ frac ((x-1) ^ 2) (x) = 0 $.
Šī vienādojuma sakne ir skaitlis $ x = 1 $.
Atbilde: $ x = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $, $ x = 1 $.
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
Atrisiniet vienādojumus:1. $ \ frac (3x + 2) (x) = \ frac (2x + 3) (x + 2) $.
2. $ \ frac (5x) (x + 2) - \ frac (20) (x ^ 2 + 2x) = \ frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 = 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 = \ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 3 $.