Ziņojiet matemātikas skolotāja ĢMO MBOU SOSH №9
Molčanova Jeļena Vladimirovna
"Sagatavošanās eksāmenam matemātikā: uzdevumi ar parametriem."
Tā kā skolu mācību grāmatās parametrs nav definēts, es ierosinu par pamatu ņemt šādu vienkāršāko versiju.
Definīcija ... Parametrs ir neatkarīgs mainīgais, kura vērtība uzdevumā tiek uzskatīta par dotu, fiksētu vai patvaļīgu. reālais skaitlis, vai skaitlis, kas pieder iepriekš noteiktai kopai.
Ko nozīmē “atrisināt problēmu ar parametru”?
Protams, tas ir atkarīgs no problēmas jautājuma. Ja, piemēram, ir jāatrisina vienādojums, nevienādība, to sistēma vai kombinācija, tad tas nozīmē saprātīgas atbildes uzrādīšanu vai nu jebkurai parametra vērtībai, vai parametra vērtībai, kas pieder iepriekš noteiktai kopai.
Ja ir jāatrod parametra vērtības, kurām vienādojuma, nevienādības u.c. atrisinājumu kopa atbilst deklarētajam nosacījumam, tad acīmredzot problēmas risinājums ir norādīt norādīto vērtību atrašana. parametrs.
Pārskatāmāka izpratne par to, ko nozīmē problēmas risināšana ar parametru, lasītājā veidosies pēc problēmu risināšanas piemēru izlasīšanas nākamajās lappusēs.
Kādi ir galvenie uzdevumu veidi ar parametriem?
1. veids. Vienādojumi, nevienādības, to sistēmas un kopas, kas jāatrisina vai nu jebkurai parametra (-u) vērtībai, vai parametra vērtībām, kas pieder iepriekš noteiktai kopai.
Šāda veida problēmas ir elementāras tēmas "Uzdevumi ar parametriem" apguvē, jo ieguldītais darbs nosaka panākumus visu pārējo pamattipu problēmu risināšanā.
2. veids. Vienādojumi, nevienādības, to sistēmas un kopas, kurām nepieciešams noteikt atrisinājumu skaitu atkarībā no parametra(-u) vērtības.
Es vēršu jūsu uzmanību uz to, ka, risinot šāda veida problēmas, tas nav jārisina dotajiem vienādojumiem, nevienlīdzības, to sistēmas un kopums utt., kā arī nesniedz šos risinājumus; Vairumā gadījumu šāds lieks darbs ir taktiska kļūda, kas noved pie nepamatotas laika tērēšanas. Tomēr nav nepieciešams absolutizēt teikto, jo dažkārt tiešs risinājums atbilstoši 1. tipam ir vienīgais saprātīgais veids, kā iegūt atbildi, risinot 2. tipa problēmu.
3. veids. Vienādojumiem, nevienādībām, to sistēmām un kopām, kurām jāatrod visas tās parametra vērtības, kurām norādītajiem vienādojumiem, nevienādībām, to sistēmām un kopām ir noteikts atrisinājumu skaits (jo īpaši tiem nav vai ir bezgalīgs risinājumu kopums).
Ir viegli saprast, ka 3. tipa problēmas savā ziņā ir apgrieztas 2. tipa problēmām.
4. veids. Vienādojumi, nevienādības, to sistēmas un kopas, kurām meklētajām parametra vērtībām risinājumu kopa atbilst noteiktajiem nosacījumiem definīcijas jomā.
Piemēram, atrodiet parametru vērtības, kurām:
1) vienādojums ir izpildīts jebkurai mainīgā vērtībai no dotā intervāla;
2) pirmā vienādojuma atrisinājumu kopa ir otrā vienādojuma atrisinājumu kopas apakškopa utt.
Komentārs. Problēmu daudzveidība ar parametru aptver visu skolas matemātikas kursu (gan algebru, gan ģeometriju), taču lielākā daļa no tiem gala un iestājeksāmenos pieder kādam no četriem uzskaitītajiem veidiem, kurus šī iemesla dēļ sauc par pamata.
Visizplatītākā problēmu klase ar parametru ir problēmas ar vienu nezināmu un vienu parametru. Nākamajā rindkopā ir norādīti galvenie veidi, kā atrisināt šīs konkrētās klases problēmas.
Kādi ir galvenie problēmu risināšanas veidi (metodes) ar parametru?
I metode (analītisks). Šī ir tā sauktā tiešā risinājuma metode, kas atkārto standarta procedūras atbildes atrašanai uzdevumos bez parametra. Dažreiz tiek teikts, ka tas ir spēka veids laba saprāta"Nekaunīgs" lēmums.
Komentārs. Analītiskais veids problēmu risināšana ar parametru ir visvairāk smagais ceļš, kas prasa augstu lasītprasmi un vislielākās pūles, lai to apgūtu.
II metode (grafisks). Atkarībā no uzdevuma (ar mainīgo x un parametrua ) diagrammas tiek aplūkotas vai nu koordinātu plaknē (x; y), vai koordinātu plaknē (x;a ).
Komentārs. Grafiskās metodes ārkārtējā skaidrība un skaistums problēmu risināšanai ar parametru aizrauj tēmas "Problēmas ar parametru" studentus tik ļoti, ka viņi sāk ignorēt citus risinājumus, aizmirstot labi zināmo faktu: jebkurai problēmu klasei viņu autori var formulēt tādu, kas lieliski tiek atrisināts ar šo metodi un ar kolosālām grūtībām citos veidos. Tāpēc tālāk sākuma stadija Ir bīstami sākt mācīties ar grafiskām metodēm problēmu risināšanai ar parametru.
III metode (lēmums par parametru). Risinot šādā veidā, tiek pieņemts, ka mainīgie x un a ir vienādi, un tiek izvēlēts mainīgais, attiecībā uz kuru analītiskais risinājums tiek atzīts par vienkāršāku. Pēc dabiskiem vienkāršojumiem mēs atgriežamies pie mainīgo x un a sākotnējās nozīmes un pabeidzam risinājumu.
Tagad es pievērsīšos šo metožu demonstrācijai problēmu risināšanai ar parametru, jo šī ir mana iecienītākā metode šāda veida problēmu risināšanai.
Izanalizējot visus uzdevumus ar parametriem, kas atrisināti ar grafisko metodi, es sāku savu iepazīšanos ar parametriem ar Vienotā valsts eksāmena B7 2002 uzdevumiem:
Plkst kāda ir k vienādojuma 45x - 3x veselā vērtība 2 - NS 3 + 3k = 0 ir tieši divas saknes?
Šie uzdevumi ļauj, pirmkārt, atcerēties, kā veidot grafikus, izmantojot atvasinājumu, un, otrkārt, izskaidrot taisnes y = k nozīmi.
Turpmākajās nodarbībās izmantoju vieglu un vidēja līmeņa konkursa uzdevumu izlasi ar parametriem sagatavošanās eksāmenam, vienādojumiem ar moduli. Šos uzdevumus var ieteikt matemātikas skolotājiem kā sākuma vingrinājumu komplektu, lai mācītu strādāt ar parametru, kas ievietots zem moduļa zīmes. Lielākā daļa skaitļu ir atrisināti grafiski un nodrošināt skolotāju gatavs plāns stunda (vai divas stundas) ar spēcīgu studentu. Sākotnējā gatavošanās matemātikas eksāmenam ar uzdevumiem, kas pēc sarežģītības ir tuvu reālajiem skaitļiem C5. Daudzi no piedāvātajiem uzdevumiem tika ņemti no materiāliem, lai sagatavotos 2009. gada USE, un daži no interneta no kolēģu pieredzes.
1) Norādiet visas parametru vērtībaslpp
kuriem vienādojums ir 4 saknes?
Atbilde:
2) Pie kādām parametra vērtībāma
vienādojums nav risinājumu?
Atbilde:
3) Atrodiet visas a vērtības, katrai no kurām vienādojums ir tieši 3 saknes?
Atbilde: a = 2
4) Pie kādām parametra vērtībāmb vienādojums Tā ir vienīgais lēmums? Atbilde:
5) Atrodiet visas vērtībasm
kuriem vienādojums nav risinājumu.
Atbilde:
6) Atrodiet visas a vērtības, kurām vienādojums ir tieši 3 atšķirīgas saknes. (Ja ir vairākas a vērtības, ierakstiet to summu atbildē.)
Atbilde: 3
7) kādās vērtībāsb
vienādojums ir tieši 2 risinājumi?
Atbilde:
8) Norādiet šos parametrusk
kuriem vienādojums ir vismaz divi risinājumi.
Atbilde:
9) Pie kādām parametra vērtībāmlpp
vienādojums ir tikai viens risinājums?
Atbilde:
10) Atrodiet visas a vērtības, katrai no kurām vienādojums (x + 1)ir tieši 2 saknes? Ja ir vairākas a vērtības, tad atbildē pierakstiet to summu.
Atbilde: - 3
11) Atrodiet visas a vērtības, kurām vienādojums ir tieši 3 saknes? (Ja ir vairākas a vērtības, tad atbildē pierakstiet to summu).
Atbilde: 4
12) Pie kāda ir parametra a mazākā dabiskā vērtība, vienādojums – = 11 ir tikai pozitīvas saknes?
Atbilde: 19
13) Atrodiet visas a vērtības, katrai no kurām vienādojums = 1 ir tieši 3 saknes? (Ja ir vairākas a vērtības, tad atbildē ierakstiet to summu).
Atbilde: - 3
14) Norādiet šādas parametru vērtībast kuriem vienādojums ir 4 dažādi risinājumi... Atbilde:
15) Atrodiet šos parametrusm kuriem vienādojums ir divi dažādi risinājumi. Atbilde:
16) Pie kādām parametra vērtībāmlpp vienādojums ir tieši 3 galējības? Atbilde:
17) Norādiet visus iespējamos parametrus n, kuriem funkcija ir tieši viens minimālais punkts. Atbilde:
Publicēto komplektu es regulāri izmantoju darbam ar spējīgu, bet ne spēcīgāko studentu, kurš tomēr pretendē uz augstu USE punktu skaitu, atrisinot C5 numuru. Skolotājs šādu skolēnu sagatavo vairākos posmos, izceļot individuālās nodarbības individuālo prasmju trenēšanai, kas nepieciešamas ilgtermiņa risinājumu atrašanai un īstenošanai. Šī atlase ir piemērota peldošu attēlu attēlojuma veidošanas stadijai atkarībā no parametra. Skaitļi 16 un 17 ir veidoti pēc reāla vienādojuma ar parametru eksāmenā 2011. gadā. Uzdevumi ir sakārtoti pieaugošā sarežģītības secībā.
C5 uzdevums matemātikā USE 2012
Šeit mums ir tradicionāla parametru problēma, kas prasa mērenas zināšanas par materiālu un vairāku īpašību un teorēmu izmantošanu. Šis uzdevums ir viens no visvairāk grūti uzdevumi Vienotais valsts eksāmens matemātikā. Tas galvenokārt paredzēts tiem, kuri gatavojas turpināt izglītību augstskolās ar paaugstinātām prasībām reflektantu matemātiskajai apmācībai. Lai veiksmīgi atrisinātu problēmu, ir svarīgi brīvi operēt ar pētītajām definīcijām, īpašībām, teorēmām un pielietot tās dažādas situācijas, analizējiet stāvokli un atrodiet iespējamie veidi risinājumus.
Aleksandra Larina gatavošanās eksāmenam mājaslapā kopš 11.05.2012. tika piedāvātas apmācības iespējas Nr. 1 - 22 ar "C" līmeņa uzdevumiem, no kuriem C5 bija līdzīgi tiem uzdevumiem, kas bija reālajā eksāmenā. Piemēram, atrodiet visas parametra a vērtības, katrai no kurām funkciju diagrammasf(x) = ung(x) = a (x + 5) + 2 nav kopīgu punktu?
Analizēsim 2012. gada eksāmena C5 uzdevuma risinājumu.
C5 uzdevums no eksāmena-2012
Kurām parametra vērtībām ir vienādojums ir vismaz divas saknes.
Atrisināsim šo problēmu grafiski. Uzzīmēsim vienādojuma kreiso pusi: un grafiks labajā pusē:un formulējiet problēmas jautājumu šādi: kādām parametra a vērtībām ir funkciju grafiki unir divi vai vairāki kopīgi punkti.
Sākotnējā vienādojuma kreisajā pusē nav parametru, tāpēc mēs varam attēlot funkciju.
Mēs izveidosim šo grafiku, izmantojot funkcijas:
1. Pārvietosim funkcijas grafiku3 vienības uz leju pa OY asi, iegūstam funkcijas grafiku:
2. Uzzīmēsim funkciju ... Šim nolūkam daļa no funkcijas grafika , kas atrodas zem OX ass, tiks parādīts simetriski ap šo asi:
Tātad, funkcijas grafiksizskatās kā:
Funkciju grafiks
1. Problēma.
Pie kādām parametra vērtībām a vienādojums ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 ir tieši viena sakne?
1. Risinājums.
Plkst a= 1 vienādojuma forma ir 2 x= 0 un acīmredzot tai ir unikāla sakne x= 0. Ja a 1, tad šis vienādojums ir kvadrāts un tam ir viena sakne tām parametra vērtībām, kurām diskriminants kvadrātveida trinomāls ir nulle. Pielīdzinot diskriminantu nullei, iegūstam parametra vienādojumu a
4a 2 - 8a= 0, no kurienes a= 0 vai a = 2.
1. Atbilde: vienādojumam ir viena sakne pie a O (0; 1; 2).
2. Uzdevums.
Atrodiet visas parametru vērtības a kuriem vienādojums x 2 +4cirvis+8a+3 = 0.
2. Risinājums.
Vienādojums x 2 +4cirvis+8a+3 = 0 ir divas atšķirīgas saknes tad un tikai tad D =
16a 2 -4(8a+3)> 0. Iegūstam (pēc samazināšanas par kopējo koeficientu 4) 4 a 2 -8a-3> 0, no kurienes
2. Atbilde:
| a O (-Ґ; 1 - | C 7 2 |
) UN (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Izaicinājums.
Ir zināms, ka
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Uzzīmējiet funkciju f 1 (x) plkst a = 1.
b) Kādā vērtībā a funkciju grafiki f 1 (x) un f 2 (x) vai jums ir viens kopīgs punkts?
3. Risinājums.
3.a. Mēs pārveidojam f 1 (x) šādā veidā
Šīs funkcijas grafiks plkst a= 1 ir parādīts attēlā pa labi.
3.b. Mēs uzreiz atzīmējam, ka funkciju grafiki y =
kx+b un y = cirvis 2 +bx+c
(a Nr. 0) krustojas vienā punktā tad un tikai tad kvadrātvienādojums kx+b =
cirvis 2 +bx+c ir viena sakne. Skata izmantošana f 1 no 3.a, mēs pielīdzinām vienādojuma diskriminantu a = 6x-x 2-6 līdz nullei. No vienādojuma 36-24-4 a= 0 mēs iegūstam a= 3. Izdarot to pašu ar 2. vienādojumu x-a = 6x-x 2 -6 atrast a= 2. Ir viegli pārbaudīt, vai šīs parametra vērtības atbilst problēmas nosacījumiem. Atbilde: a= 2 vai a = 3.
4. Izaicinājums.
Atrodiet visas vērtības a kuriem nevienādības risinājumu kopa x 2 -2cirvis-3aі 0 satur segmentu.
4. Risinājums.
Parabolas virsotnes pirmā koordināte f(x) =
x 2 -2cirvis-3a ir vienāds ar x 0 =
a... No īpašumiem kvadrātiskā funkcija stāvokli f(x) і 0 uz intervāla ir līdzvērtīgs trīs sistēmu kopai
ir tieši divi risinājumi?
5. Risinājums.
Mēs pārrakstām šo vienādojumu kā x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums, tam ir tieši divi atrisinājumi, ja tā diskriminants ir stingri lielāks par nulli. Aprēķinot diskriminantu, mēs atklājam, ka nosacījums tieši divu sakņu klātbūtnei ir nevienlīdzības piepildījums a 2 +a-6> 0. Atrisinot nevienādību, mēs atrodam a < -3 или a> 2. Pirmā no nevienādībām, acīmredzot, risinājumi iekšā naturālie skaitļi nav, un otrais mazākais dabiskais risinājums ir skaitlis 3.
5. Atbilde: 3.
6. Problēma (10 atzīmes)
Atrodiet visas vērtības a kurā funkcijas grafiks vai pēc acīmredzamām transformācijām, a-2 = |
2-a| ... Pēdējais vienādojums ir līdzvērtīgs nevienlīdzībai a es 2.
6. Atbilde: a O
ir tieši četri risinājumi.
(USE 2018, galvenais vilnis)
Sistēmas otro vienādojumu var pārrakstīt kā \ (y = \ pm x \). Tāpēc apsveriet divus gadījumus: kad \ (y = x \) un kad \ (y = -x \). Tad sistēmas risinājumu skaits būs vienāds ar risinājumu skaita summu pirmajā un otrajā gadījumā.
1) \ (y = x \). Aizstājiet pirmo vienādojumu un iegūstiet: \
(Ņemiet vērā, ka gadījumā \ (y = -x \) mēs darīsim to pašu un arī iegūsim kvadrātvienādojumu)
Lai oriģinālajai sistēmai būtu 4 dažādi risinājumi, ir nepieciešams, lai katrā no diviem gadījumiem būtu 2 risinājumi.
Kvadrātvienādojumam ir divas saknes, ja tā \ (D> 0 \). Atradīsim (1) vienādojuma diskriminantu:
\ (D = -4 (a ^ 2 + 4a + 2) \).
Diskriminants, kas lielāks par nulli: \ (a ^ 2 + 4a + 2<0\)
, откуда \ (a \ in (-2- \ sqrt2; -2+ \ sqrt2) \).
2) \ (y = -x \). Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu: \
Diskriminants ir lielāks par nulli: \ (D = -4 (9a ^ 2 + 12a + 2)> 0 \), no kurienes \ (a \ in \ left (\ frac (-2- \ sqrt2) 3; \ frac (-2+ \ sqrt2) 3 \ right) \).
Jāpārbauda, vai risinājumi pirmajā gadījumā sakrīt ar risinājumiem otrajā gadījumā.
Ļaujiet \ (x_0 \) - kopīgs lēmums vienādojumu (1) un (2), tad \
Tādējādi mēs iegūstam, ka vai nu \ (x_0 = 0 \) vai \ (a = 0 \).
Ja \ (a = 0 \), tad vienādojumi (1) un (2) ir vienādi, tāpēc tiem ir identiskas saknes... Šis gadījums mums neder.
Ja \ (x_0 = 0 \) ir to kopējā sakne, tad \ (2x_0 ^ 2-2 (3a + 2) x_0 + (2a + 2) ^ 2 + a ^ 2-1 = 0 \), no kurienes \ ((2a + 2) ^ 2 + a ^ 2-1 = 0 \), no kurienes \ (a = -1 \) vai \ (a = -0,6 \). Tad visai oriģinālajai sistēmai būs 3 dažādi risinājumi, kas mums neder.
Ņemot to visu vērā, atbilde būs:
Atbilde:
\ (a \ in \ left (\ frac (-2- \ sqrt2) 3; -1 \ right) \ cup \ left (-1; -0,6 \ right) \ cup \ left (-0,6; - 2+ \ sqrt2 \ taisnība) \)
2. uzdevums # 4032
Uzdevuma līmenis: vienāds ar eksāmenu
Atrodiet visas vērtības \ (a \), katrai no kurām sistēma \ [\ sākums (gadījumi) (a-1) x ^ 2 + 2ax + a + 4 \ leqslant 0 \\ ax ^ 2 + 2 (a + 1) x + a + 1 \ geqslant 0 \ end (gadījumi) \ ]
ir tikai viens risinājums.
Pārrakstīsim sistēmu šādi: \ [\ sākums (gadījumi) ax ^ 2 + 2ax + a \ leqslant x ^ 2-4 \\ ax ^ 2 + 2ax + a \ geqslant -2x-1 \ beigas (gadījumi) \] Apsveriet trīs funkcijas: \ (y = ax ^ 2 + 2ax + a = a (x + 1) ^ 2 \), \ (g = x ^ 2-4 \), \ (h = -2x-1 \). No sistēmas izriet, ka \ (y \ leqslant g \), bet \ (y \ geqslant h \). Tāpēc, lai sistēmai būtu risinājumi, grafikam \ (y \) jāatrodas apgabalā, ko nosaka nosacījumi: “virs” grafika \ (h \), bet “zem” grafika \ (g \) :
(mēs sauksim “kreiso” apgabalu I, “labo” apgabalu – apgabalu II)
Ņemiet vērā, ka katram fiksētajam \ (a \ ne 0 \) grafiks \ (y \) ir parabola, kuras virsotne atrodas punktā \ ((- 1; 0) \), un zari tiek pagriezti vai nu uz augšu. vai uz leju. Ja \ (a = 0 \), tad vienādojums izskatās kā \ (y = 0 \) un grafiks ir taisna līnija, kas sakrīt ar abscisu asi.
Ņemiet vērā: lai sākotnējai sistēmai būtu unikāls risinājums, grafikam \ (y \) ir jābūt tieši vienam kopējam punktam ar reģionu I vai ar reģionu II (tas nozīmē, ka grafikam \ (y \) ir jābūt vienam kopējam punkts ar vienas no šīm zonām robežu).
Apskatīsim vairākus gadījumus atsevišķi.
1) \ (a> 0 \). Tad parabolas \ (y \) zari ir vērsti uz augšu. Lai oriģinālajai sistēmai būtu unikāls risinājums, ir nepieciešams, lai parabola \ (y \) pieskaras I apgabala robežai vai II apgabala robežai, tas ir, pieskaras parabolai \ (g \) un abscisai pieskares punktam jābūt \ (\ leqslant -3 \) vai \ (\ geqslant 2 \) (tas ir, \ (y \) parabolai ir jāpieskaras viena no apgabala robežai, kas atrodas virs abscisu ass, jo \ (y \) parabola atrodas virs abscisu ass).
\ (y "= 2a (x + 1) \), \ (g" = 2x \). Nosacījumi, lai pieskartos grafikiem \ (y \) un \ (g \) punktā ar abscisu \ (x_0 \ leqslant -3 \) vai \ (x_0 \ geqslant 2 \): \ [\ begin (gadījumi) 2a (x_0 + 1) = 2x_0 \\ a (x_0 + 1) ^ 2 = x_0 ^ 2-4 \\ \ pa kreisi [\ sākt (apkopots) \ sākt (līdzināt) & x_0 \ leqslant - 3 \\ & x_0 \ geqslant 2 \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi. \ beigas (kases) \ ceturtdaļa \ Leftright bultiņa \ quad \ begin (cases) \ pa kreisi [\ sākums (apkopots) \ sākums (līdzināts) & x_0 \ leqslant -3 \\ & x_0 \ geqslant 2 \ beigas (līdzināts) \ beigas ( apkopots) \ pa labi. \\ a = \ dfrac (x_0) (x_0 + 1) \\ x_0 ^ 2 + 5x_0 + 4 = 0 \ beigas (gadījumi) \] No šīs sistēmas \ (x_0 = -4 \), \ (a = \ frac43 \).
Saņemta parametra \ (a \) pirmā vērtība.
2) \ (a = 0 \). Tad \ (y = 0 \) un ir skaidrs, ka līnijai ir bezgalīga punktu kopa, kas ir kopīga ar II reģionu. Tāpēc šī parametra vērtība mums nav piemērota.
3) \ (a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
Atradīsim \ (a \), kurai parabola \ (y \) iet caur punktu \ (B \): \ [- 3 = a (1 + 1) ^ 2 \ ceturtdaļa \ Labā bultiņa \ quad a = - \ dfrac34 \] Mēs pārliecināmies, ka šai parametra vērtībai parabolas \ (y = - \ frac34 (x + 1) ^ 2 \) otrais krustpunkts ar līniju \ (h = -2x-1 \) ir punkts ar koordinātām \ (\ pa kreisi (- \ frac13; - \ frac13 \ right) \).
Tādējādi mēs saņēmām vēl vienu parametra vērtību.
Tā kā esam apsvēruši visus iespējamos \ (a \) gadījumus, galīgā atbilde ir: \
Atbilde:
\ (\ pa kreisi \ (- \ frac34; \ frac43 \ right \) \)
3. uzdevums # 4013
Uzdevuma līmenis: vienāds ar eksāmenu
Atrodiet visas parametra \ (a \) vērtības, katrai no kurām vienādojumu sistēma \ [\ sākums (gadījumi) 2x ^ 2 + 2y ^ 2 = 5xy \\ (x-a) ^ 2 + (y-a) ^ 2 = 5a ^ 4 \ beigas (gadījumi) \]
ir tieši divi risinājumi.
1) Apsveriet sistēmas pirmo vienādojumu kā kvadrātvienādojumu attiecībā pret \ (x \): \ Diskriminants ir \ (D = 9y ^ 2 \), tāpēc \
Tad vienādojumu var pārrakstīt kā \ [(x-2y) \ cdot (2x-y) = 0 \] Tāpēc visu sistēmu var pārrakstīt kā \ [\ sākums (lietas) \ pa kreisi [\ sākums (apkopots) \ sākums (līdzināts) & y = 2x \\ & y = 0,5x \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi. \\ (xa) ^ 2 + (ya) ^ 2 = 5a ^ 4 \ beigas (gadījumi) \] Kopa definē divas līnijas, otrais sistēmas vienādojums definē apli ar centru \ ((a; a) \) un rādiusu \ (R = \ sqrt5a ^ 2 \). Lai sākotnējam vienādojumam būtu divi risinājumi, aplim ir jāšķērso populācijas grafiks tieši divos punktos. Šeit ir zīmējums, kad, piemēram, \ (a = 1 \): 
Ņemiet vērā, ka, tā kā apļa centra koordinātas ir vienādas, apļa centrs “iet” pa taisni \ (y = x \).
2) Tā kā taisne \ (y = kx \) šīs taisnes slīpuma leņķa pieskare ass pozitīvajam virzienam \ (Ox \) ir \ (k \), tad slīpuma leņķa pieskare. no taisnes \ (y = 0,5x \) ir \ (0,5 \) (sauksim to par \ (\ mathrm (tg) \, \ alfa \)), taisne \ (y = 2x \) - vienāds ar \ (2 \) (sauksim to par \ (\ mathrm (tg) \ , \ beta \)). ievērojiet, tas \ (\ mathrm (tg) \, \ alfa \ cdot \ mathrm (tg) \, \ beta = 1 \), tātad, \ (\ mathrm (tg) \, \ alfa = \ mathrm (ctg) \, \ beta = \ mathrm (tg) \, (90 ^ \ circ- \ beta) \)... Tāpēc \ (\ alfa = 90 ^ \ circ- \ beta \), no kurienes \ (\ alfa + \ beta = 90 ^ \ circ \). Tas nozīmē, ka leņķis starp \ (y = 2x \) un pozitīvo virzienu \ (Oy \) ir vienāds ar leņķi starp \ (y = 0,5x \) un pozitīvo virzienu \ (Ox \): 
Un tā kā taisne \ (y = x \) ir I koordinātu leņķa bisektrise (tas ir, leņķi starp to un pozitīvajiem virzieniem \ (Ox \) un \ (Oy \) ir vienādi \ (45 ^ \ circ \)), tad leņķi starp \ (y = x \) un taisnēm \ (y = 2x \) un \ (y = 0,5x \) ir vienādi.
Tas viss mums bija vajadzīgs, lai teiktu, ka līnijas \ (y = 2x \) un \ (y = 0,5x \) ir simetriski viena otrai attiecībā pret \ (y = x \), tādēļ, ja aplis pieskaras viens no tiem , tad tas noteikti pieskaras otrajai taisnei.
Ņemiet vērā, ka, ja \ (a = 0 \), tad aplis deģenerējas punktā \ ((0; 0) \) un tam ir tikai viens krustošanās punkts ar abām taisnēm. Tas ir, šis gadījums mums neder.
Tādējādi, lai aplim būtu 2 krustošanās punkti ar taisnēm, tam jābūt pieskarei šīm taisnēm: 
Redzam, ka gadījums, kad aplis atrodas trešajā ceturksnī, ir simetrisks (attiecībā pret izcelsmi) pret gadījumu, kad tas atrodas pirmajā ceturksnī. Tas ir, pirmajā ceturksnī \ (a> 0 \) un trešajā \ (a<0\)
(но такие же по модулю).
Tāpēc mēs izskatīsim tikai pirmo ceturksni. 
ievērojiet, tas \ (OQ = \ sqrt ((a-0) ^ 2 + (a-0) ^ 2) = \ sqrt2a \), \ (QK = R = \ sqrt5a ^ 2 \). Tad \ Tad \ [\ mathrm (tg) \, \ leņķis QOK = \ dfrac (\ sqrt5a ^ 2) (\ sqrt (2a ^ 2-5a ^ 4)) \] Bet no otras puses, \ [\ mathrm (tg) \, \ leņķis QOK = \ mathrm (tg) \, (45 ^ \ circ- \ alfa) = \ dfrac (\ mathrm (tg) \, 45 ^ \ circ- \ mathrm (tg) \, \ alfa) (1+ \ mathrm (tg) \, 45 ^ \ circ \ cdot \ mathrm (tg) \, \ alfa) \] tātad, \ [\ dfrac (1-0,5) (1 + 1 \ cdot 0,5) = \ dfrac (\ sqrt5a ^ 2) (\ sqrt (2a ^ 2-5a ^ 4)) \ quad \ Kreisā bultiņa \ quad a = \ pm \ dfrac15 \] Tādējādi mēs jau esam uzreiz ieguvuši gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības \ (a \). Tāpēc atbilde ir \
Atbilde:
\(\{-0,2;0,2\}\)
4. uzdevums # 3278
Uzdevuma līmenis: vienāds ar eksāmenu
Atrodiet visas vērtības \ (a \), katrai no kurām vienādojums \
ir tikai viens risinājums.
(USE 2017, oficiālā izmēģinājuma versija 21.04.2017.)
Mēs veicam izmaiņas \ (t = 5 ^ x, t> 0 \) un pārnesam visus nosacījumus uz vienu daļu: \
Ieguvām kvadrātvienādojumu, kura saknes saskaņā ar Vietas teorēmu ir \ (t_1 = a + 6 \) un \ (t_2 = 5 + 3 | a | \). Lai sākotnējam vienādojumam būtu viena sakne, pietiek ar to, ka iegūtajam vienādojumam ar \ (t \) ir arī viena (pozitīva!) sakne.
Nekavējoties ņemiet vērā, ka \ (t_2 \) būs pozitīvs visiem \ (a \). Tādējādi mēs iegūstam divus gadījumus:
1) \ (t_1 = t_2 \): \ & a = - \ dfrac14 \ beigas (līdzināts) \ beigas (apkopots) \ pa labi. \]
2) Tā kā \ (t_2 \) vienmēr ir pozitīvs, \ (t_1 \) ir jābūt \ (\ leqslant 0 \): \
Atbilde:
\ ((- \ infty; -6] \ cup \ left \ (- \ frac14; \ frac12 \ right \) \)
5. uzdevums # 3252
Uzdevuma līmenis: vienāds ar eksāmenu
\ [\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2) = \ sqrt (3x ^ 2- (3a + 1) x + a) \]
segmentā \ (\) ir tieši viena sakne.
(LIETOŠANA 2017, rezerves diena)
Vienādojumu var pārrakstīt šādi: \ [\ sqrt ((x-a) (x + a)) = \ sqrt ((3x-1) (x-a)) \] Tādējādi mēs atzīmējam, ka \ (x = a \) ir jebkura \ (a \) vienādojuma sakne, jo vienādojuma forma ir \ (0 = 0 \). Lai šī sakne piederētu segmentam \ (\), ir nepieciešams, lai \ (0 \ leqslant a \ leqslant 1 \).
Vienādojuma otrā sakne ir atrodama no \ (x + a = 3x-1 \), tas ir, \ (x = \ frac (a + 1) 2 \). Lai šis skaitlis būtu vienādojuma sakne, ir nepieciešams, lai tas atbilstu vienādojuma ODZ, tas ir: \ [\ pa kreisi (\ dfrac (a + 1) 2-a \ right) \ cdot \ left (\ dfrac (a + 1) 2 + a \ right) \ geqslant 0 \ quad \ Rightarrow \ quad - \ dfrac13 \ leqslant a \ leqslant 1 \] Lai šī sakne piederētu segmentam \ (\), tas ir nepieciešams \
Tādējādi, lai sakne \ (x = \ frac (a + 1) 2 \) pastāvētu un piederētu segmentam \ (\), ir nepieciešams, lai \ (- \ frac13 \ leqslant a \ leqslant 1 \).
Ņemiet vērā, ka tad \ (0 \ leqslant a \ leqslant 1 \) abas saknes \ (x = a \) un \ (x = \ frac (a + 1) 2 \) pieder segmentam \ (\) (tas ir , vienādojumam šajā segmentā ir divas saknes), izņemot gadījumu, kad tie sakrīt: \
Tādējādi mēs esam piemēroti \ (a \ in \ pa kreisi [- \ frac13; 0 \ right) \) un \ (a = 1 \).
Atbilde:
\ (a \ in \ left [- \ frac13; 0 \ right) \ cup \ (1 \) \)
6. uzdevums # 3238
Uzdevuma līmenis: vienāds ar eksāmenu
Atrodiet visas parametra \ (a \) vērtības, katrai no kurām vienādojums \
ir unikāla sakne segmentā \ (. \)
(LIETOŠANA 2017, rezerves diena)
Vienādojums ir līdzvērtīgs: \ ODZ vienādojumi: \ [\ sākums (gadījumi) x \ geqslant 0 \\ x-a \ geqslant 0 \\ 3a (1-x) \ geqslant 0 \ end (gadījumi) \] ODZ vienādojums tiks pārrakstīts šādi: \
1) Ļaujiet \ (a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Neatbilst \ (a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) Pieņemsim \ (a = 0 \). Tad vienādojuma ODZ: \ (x \ geqslant 0 \). Vienādojums tiks pārrakstīts šādi: \ Iegūtā sakne atbilst ODZ un ir iekļauta segmentā \ (\). Tāpēc \ (a = 0 \) - der.
3) Ļaujiet \ (a> 0 \). Pēc tam ODZ: \ (x \ geqslant a \) un \ (x \ leqslant 1 \). Līdz ar to, ja \ (a> 1 \), tad GDV ir tukša kopa. Tādējādi \ (0
Atvasinājums ir \ (y "= 3x ^ 2-2ax + 3a \). Nosakiet, kāda zīme var būt atvasinājums. Lai to izdarītu, mēs atrodam vienādojuma \ diskriminantu (3x ^ 2-2ax + 3a = 0 \) : \ (D = 4a ( a-9) \). Tāpēc \ (a \ in (0; 1] \) diskriminants \ (D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0 \). Tāpēc \ (y \) palielinās. Tādējādi, ņemot vērā pieaugošās funkcijas īpašību, vienādojumam \ (y (x) = 0 \) var būt ne vairāk kā viena sakne.
Tāpēc, lai vienādojuma sakne (grafa \ (y \) krustošanās punkts ar abscisu) atrastos segmentā \ (\), ir nepieciešams, lai \ [\ begin (cases) y (1) \ geqslant 0 \\ y (a) \ leqslant 0 \ end (cases) \ quad \ Rightarrow \ quad a \ in \]Ņemot vērā, ka sākotnēji aplūkotajā gadījumā \ (a \ in (0; 1] \), tad atbilde \ (a \ in (0; 1] \). Ņemiet vērā, ka sakne \ (x_1 \) apmierina \ ( (1) \), saknes \ (x_2 \) un \ (x_3 \) atbilst \ ((2) \). Ņemiet vērā arī to, ka sakne \ (x_1 \) pieder segmentam \ (\).
Apsveriet trīs gadījumus:
1) \ (a> 0 \). Pēc tam \ (x_2> 3 \), \ (x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \ (x_1 \) atbilst \ ((2) \), \ (x_3 \) neatbilst \ ((1) \) vai atbilst \ (x_1 \), vai atbilst \ ((1) \), bet nav iekļauts segmentā \ (\) (tas ir, mazāks par \ (0 \));
- \ (x_1 \) neapmierina \ ((2) \), \ (x_3 \) apmierina \ ((1) \) un nav vienāds ar \ (x_1 \).
Ņemiet vērā, ka \ (x_3 \) nevar vienlaikus būt mazāks par nulli un izpildīt \ ((1) \) (tas ir, tas nevar būt lielāks par \ (\ frac35 \)). Ņemot vērā šo novērojumu, gadījumi tiek reģistrēti šādi: \ [\ pa kreisi [\ sākt (apkopots) \ sākt (līdzināts) & \ sākt (reģistrācijas) \ dfrac9 (25) -6 \ cdot \ dfrac35 + 10-a ^ 2> 0 \\ 3-a \ leqslant \ dfrac35 \ beigas (cases) \\ & \ begin (cases) \ dfrac9 (25) -6 \ cdot \ dfrac35 + 10-a ^ 2 \ leqslant 0 \\ 3-a> Atrisinot šo kopu un ņemot vērā, ka \ (a> 0 \), mēs iegūstam: \
2) \ (a = 0 \). Tad \ (x_2 = x_3 = 3 \ collas. \) Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā \ (x_1 \) apmierina \ ((2) \) un \ (x_2 = 3 \) apmierina \ ((1) \), tad tur ir vienādojums ar divām saknēm uz \ (\). Šī vērtība \ (a \) mums nav piemērota.
3) \ (a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3 \) un \ (x_3 \ notin \). Spriežot līdzīgi kā 1. punktā), jums jāatrisina kopa: \ [\ pa kreisi [\ sākt (apkopots) \ sākt (līdzināts) & \ sākt (reģistrācijas) \ dfrac9 (25) -6 \ cdot \ dfrac35 + 10-a ^ 2> 0 \\ 3 + a \ leqslant \ dfrac35 \ beigas (cases) \\ & \ begin (cases) \ dfrac9 (25) -6 \ cdot \ dfrac35 + 10-a ^ 2 \ leqslant 0 \\ 3 + a> \ dfrac35 \ end (cases) \ end (izlīdzināts) \ beigas (savācās) \ pa labi. \] Atrisinot šo kopu un ņemot vērā to, ka \ (a<0\) , получим: \\]
Atbilde:
\ (\ pa kreisi (- \ frac (13) 5; - \ frac (12) 5 \ right] \ tase \ kreisi [\ frac (12) 5; \ frac (13) 5 \ right) \)
1. Lineāro vienādojumu sistēmas ar parametru
Lineāro vienādojumu sistēmas ar parametru risina ar tām pašām pamatmetodēm kā parastās vienādojumu sistēmas: aizstāšanas metodi, vienādojumu saskaitīšanas metodi un grafiskā metode... Zināšanas par lineāro sistēmu grafisko interpretāciju ļauj viegli atbildēt uz jautājumu par sakņu skaitu un to esamību.
1. piemērs.
Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu.
(x + (a 2–3) y = a,
(x + y = 2.
Risinājums.
Apsvērsim vairākus veidus, kā atrisināt šo uzdevumu.
1 veids. Mēs izmantojam īpašību: sistēmai nav risinājumu, ja koeficientu attiecība pirms x ir vienāda ar koeficientu attiecību pirms y, bet nav vienāda ar brīvo terminu attiecību (a / a 1 = b / b 1 ≠ c / c 1). Tad mums ir:
1/1 = (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 vai sistēma
(a 2-3 = 1,
(a ≠ 2.
No pirmā vienādojuma a 2 = 4, tāpēc, ņemot vērā nosacījumu, ka a ≠ 2, mēs iegūstam atbildi.
Atbilde: a = -2.
2. metode. Mēs risinām ar aizstāšanas metodi.
(2 - y + (a 2 - 3) y = a,
(x = 2 - y,
((a 2 - 3) y - y = a - 2,
(x = 2 - y.
Pēc kopējā faktora y ievietošanas pirmajā vienādojumā ārpus iekavām mēs iegūstam:
((a 2 - 4) y = a - 2,
(x = 2 - y.
Sistēmai nav atrisinājumu, ja pirmajam vienādojumam nav atrisinājumu, tas ir
(a 2-4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.
Acīmredzot a = ± 2, bet, ņemot vērā otro nosacījumu, atbilde ir tikai atbilde ar mīnusu.
Atbilde: a = -2.
2. piemērs.
Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs risinājumu kopums.
(8x + ay = 2,
(cirvis + 2y = 1.
Risinājums.
Pēc īpašības, ja koeficientu attiecība pie x un y ir vienāda un ir vienāda ar sistēmas brīvo locekļu attiecību, tad tai ir bezgalīga risinājumu kopa (ti, a / a 1 = b / b 1 = c / c 1). Tāpēc 8 / a = a / 2 = 2/1. Atrisinot katru iegūto vienādojumu, mēs atklājam, ka a = 4 - atbilde šajā piemērā.
Atbilde: a = 4.
2. Racionālo vienādojumu sistēmas ar parametru
3. piemērs.
(3 | x | + y = 2,
(| x | + 2y = a.
Risinājums.
Sareizināsim sistēmas pirmo vienādojumu ar 2:
(6 | x | + 2y = 4,
(| x | + 2y = a.
Atņemsim otro vienādojumu no pirmā, iegūstam 5 | x | = 4 - a. Šim vienādojumam būs unikāls risinājums a = 4. Citos gadījumos šim vienādojumam būs divi risinājumi (a< 4) или ни одного (при а > 4).
Atbilde: a = 4.
4. piemērs.
Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums.
(x + y = a,
(y - x 2 = 1.
Risinājums.
Mēs atrisināsim šo sistēmu, izmantojot grafisko metodi. Tātad sistēmas otrā vienādojuma grafiks ir parabola, kas pa Oy asi pacelta par vienu vienības segmentu. Pirmais vienādojums definē taisnu līniju kopu, kas ir paralēla taisnei y = -x (1. attēls)... No attēla skaidri redzams, ka sistēmai ir risinājums, ja taisne y = -x + a ir pieskares parabolai punktā ar koordinātām (-0,5; 1,25). Aizvietojot šīs koordinātas vienādojumā ar taisnu līniju, nevis x un y, mēs atrodam parametra a vērtību: 
1,25 = 0,5 + a;
Atbilde: a = 0,75.
5. piemērs.
Izmantojot aizstāšanas metodi, noskaidrojiet, pie kādas parametra a vērtības sistēmai ir unikāls risinājums.
(ax - y = a + 1,
(ax + (a + 2) y = 2.
Risinājums.
No pirmā vienādojuma mēs izsakām y un aizstājam to ar otro:
(y = cirvis - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.
Ievedīsim otro vienādojumu formā kx = b, kam būs unikāls risinājums k ≠ 0. Mums ir:
cirvis + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Kvadrātveida trinomu a 2 + 3a + 2 var attēlot kā iekavu reizinājumu
(a + 2) (a + 1), un kreisajā pusē mēs izņemam x ārpus iekavām:
(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2) (a + 1).
Ir skaidrs, ka 2 + 3a nevajadzētu būt vienāds ar nulli tāpēc,
a 2 + 3a ≠ 0, a (a + 3) ≠ 0, un tāpēc a ≠ 0 un ≠ -3.
Atbilde: a ≠ 0; ≠ -3.
6. piemērs.
Izmantojot grafiskā risinājuma metodi, nosakiet, pie kādas parametra a vērtības sistēmai ir unikāls risinājums.
(x 2 + y 2 = 9,
(y - | x | = a.
Risinājums.
Pamatojoties uz nosacījumu, mēs veidojam apli ar centru un rādiusu 3 vienību segmentos, tieši to nosaka sistēmas pirmais vienādojums
x 2 + y 2 = 9. Sistēmas otrais vienādojums (y = | x | + a) ir lauzta līnija. Izmantojot 2. attēls mēs apsveram visus iespējamos tā atrašanās vietas gadījumus attiecībā pret apli. Ir viegli redzēt, ka a = 3. 
Atbilde: a = 3.
Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt vienādojumu sistēmas?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.