Pirmais līmenis

Vienādojumu, nevienādību, sistēmu risināšana, izmantojot funkciju grafikus. vizuālais ceļvedis (2019)

Daudzus uzdevumus, kurus esam pieraduši aprēķināt tikai algebriski, var atrisināt daudz vienkāršāk un ātrāk, izmantojot funkciju grafikus, tas mums palīdzēs. Jūs sakāt "kā tā?" kaut ko uzzīmēt un ko zīmēt? Ticiet man, dažreiz tas ir ērtāk un vienkāršāk. Sāksim? Sāksim ar vienādojumiem!

Vienādojumu grafiskais risinājums

Lineāro vienādojumu grafiskais risinājums

Kā jūs jau zināt, lineārā vienādojuma grafiks ir taisna līnija, tāpēc arī šāda veida nosaukums. Lineāros vienādojumus ir diezgan viegli atrisināt algebriski - mēs pārnesam visus nezināmos uz vienu vienādojuma pusi, visu, ko zinām - uz otru, un voila! Mēs esam atraduši sakni. Tagad es jums parādīšu, kā to izdarīt grafiskais veids.

Tātad jums ir vienādojums:

Kā to atrisināt?
1. iespēja, un visizplatītākais ir pārvietot nezināmo uz vienu pusi un zināmo uz otru, mēs iegūstam:

Un tagad mēs būvējam. Ko tu dabūji?

Kas, jūsuprāt, ir mūsu vienādojuma sakne? Tieši tā, grafiku krustošanās punkta koordinātas:

Mūsu atbilde ir

Tā ir visa grafiskā risinājuma gudrība. Kā jūs varat viegli pārbaudīt, mūsu vienādojuma sakne ir skaitlis!

Kā jau teicu iepriekš, šī ir visizplatītākā iespēja, kas ir tuvu algebriskais risinājums, bet to var izdarīt arī savādāk. Lai apsvērtu alternatīvu risinājumu, atgriezīsimies pie mūsu vienādojuma:

Šoreiz mēs neko nepārvietosim no vienas puses uz otru, bet veidosim tieši tādus grafikus, kādi tie ir tagad:

Uzcelta? Skaties!

Kāds ir risinājums šoreiz? Viss kārtībā. Tāda pati ir grafiku krustošanās punkta koordināte:

Un atkal mūsu atbilde ir.

Kā redzat, ar lineāriem vienādojumiem viss ir ārkārtīgi vienkārši. Ir pienācis laiks apsvērt kaut ko sarežģītāku... Piemēram, kvadrātvienādojumu grafiskais risinājums.

Kvadrātvienādojumu grafiskais risinājums

Tātad, tagad sāksim atrisināt kvadrātvienādojumu. Pieņemsim, ka jums ir jāatrod šī vienādojuma saknes:

Protams, tagad var sākt skaitīt caur diskriminantu, vai pēc Vietas teorēmas, bet daudzi nervi pieļauj kļūdas reizinot vai kvadrātā, it īpaši, ja piemērs ir ar lieli cipari, un, kā zināms, eksāmenā tev nebūs kalkulatora... Tāpēc mēģināsim mazliet atpūsties un zīmēsim, risinot šo vienādojumu.

Jūs varat atrast šī vienādojuma risinājumus grafiski. Dažādi ceļi. Apsveriet dažādas iespējas un jūs varat izvēlēties, kurš jums patīk vislabāk.

1. metode. Tieši

Mēs vienkārši izveidojam parabolu saskaņā ar šo vienādojumu:

Lai tas būtu ātrāk, es jums sniegšu nelielu padomu: konstruēšanu ērti sākt, nosakot parabolas virsotni.Šādas formulas palīdzēs noteikt parabolas virsotnes koordinātas:

Jūs sakāt: "Stop! Formula ir ļoti līdzīga diskriminanta "jā, tā ir, un tas ir milzīgs trūkums" tiešai "parabolas veidošanai, lai atrastu tās saknes, atrašanas formulai. Tomēr noskaitīsim līdz galam, un tad es jums parādīšu, kā to padarīt daudz (daudz!) vieglāku!

Vai skaitījāt? Kādas ir parabolas virsotnes koordinātas? Izdomāsim to kopā:

Tieši tā pati atbilde? Labi padarīts! Un tagad mēs jau zinām virsotnes koordinātas, un, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams vairāk ... punktu. Kā jūs domājat, cik minimālo punktu mums vajag? Pareizi,.

Jūs zināt, ka parabola ir simetriska pret savu virsotni, piemēram:

Attiecīgi mums ir nepieciešami vēl divi punkti gar parabolas kreiso vai labo atzaru, un nākotnē mēs simetriski atspoguļosim šos punktus pretējā pusē:

Mēs atgriežamies pie savas parabolas. Mūsu gadījumā jēga. Vajag respektīvi vēl divus punktus, vai varam ņemt pozitīvos, bet vai negatīvos? Kādi punkti jums ir vislabākie? Man ir ērtāk strādāt ar pozitīvajiem, tāpēc rēķināšu ar un.

Tagad mums ir trīs punkti, un mēs varam viegli izveidot savu parabolu, atspoguļojot pēdējos divus punktus par tās augšdaļu:

Kāds, jūsuprāt, ir vienādojuma risinājums? Tieši tā, punkti, kuros, tas ir, un. Jo.

Un, ja mēs tā sakām, tad tas nozīmē, ka tam arī jābūt vienādam, vai.

Tikai? Esam pabeiguši ar jums vienādojuma risināšanu kompleksā grafiskā veidā, vai arī būs vēl!

Protams, jūs varat pārbaudīt mūsu atbildi algebriski - jūs varat aprēķināt saknes, izmantojot Vieta teorēmu vai diskriminantu. Ko tu dabūji? Tas pats? Tu redzi! Tagad apskatīsim ļoti vienkāršu grafisko risinājumu, esmu pārliecināts, ka jums tas ļoti patiks!

2. metode. Sadaliet vairākās funkcijās

Ņemsim arī visu, mūsu vienādojumu: , bet mēs to rakstām nedaudz savādāk, proti:

Vai mēs varam to uzrakstīt šādi? Mēs varam, jo ​​transformācija ir līdzvērtīga. Paskatīsimies tālāk.

Izveidosim divas funkcijas atsevišķi:

1. - grafiks ir vienkārša parabola, kuru var viegli izveidot, pat nedefinējot virsotni, izmantojot formulas un neveidojot tabulu citu punktu noteikšanai.
2. - grafiks ir taisna līnija, kuru jūs varat tikpat viegli izveidot, novērtējot vērtības un savā galvā, pat neizmantojot kalkulatoru.

Uzcelta? Salīdziniet ar to, ko es saņēmu:

Kas, jūsuprāt, šajā gadījumā ir vienādojuma sakne? Pareizi! Koordinātas, kuras iegūst, šķērsojot divus grafikus, un tas ir:

Attiecīgi šī vienādojuma risinājums ir:

ko tu saki? Piekrītu, šī risinājuma metode ir daudz vienkāršāka nekā iepriekšējā un pat vienkāršāka nekā meklēt saknes caur diskriminantu! Ja tā, izmēģiniet šo metodi, lai atrisinātu šādu vienādojumu:

Ko tu dabūji? Salīdzināsim mūsu diagrammas:

Diagrammas parāda, ka atbildes ir:

Vai jums izdevās? Labi padarīts! Tagad aplūkosim vienādojumus nedaudz sarežģītākus, proti, jauktu vienādojumu risinājumu, tas ir, vienādojumus, kas satur dažāda veida funkcijas.

Jauktu vienādojumu grafiskais risinājums

Tagad mēģināsim atrisināt šādas problēmas:

Protams, visu var pievest kopsaucējs, atrodiet iegūtā vienādojuma saknes, neaizmirstot ņemt vērā ODZ, bet atkal mēģināsim atrisināt grafiski, kā to darījām visos iepriekšējos gadījumos.

Šoreiz uzzīmēsim šādus 2 grafikus:

1. - grafiks ir hiperbola
2. - grafiks ir taisna līnija, kuru varat viegli izveidot, novērtējot vērtības un savā galvā, pat neizmantojot kalkulatoru.

Saprata? Tagad sāciet būvēt.

Lūk, kas ar mani notika:

Skatoties uz šo attēlu, kādas ir mūsu vienādojuma saknes?

Tieši tā, un. Šeit ir apstiprinājums:

Mēģiniet iekļaut mūsu saknes vienādojumā. Vai notika?

Viss kārtībā! Piekrītu, grafiski atrisināt šādus vienādojumus ir prieks!

Mēģiniet pats grafiski atrisināt vienādojumu:

Es dodu jums mājienu: pārvietojiet daļu no vienādojuma uz labā puse lai abām pusēm būtu visvienkāršākās uzbūvējamās funkcijas. Vai sapratāt mājienu? Darīt!

Tagad paskatīsimies, kas jums ir:

Attiecīgi:

1. - kubiskā parabola.
2. - parasta taisna līnija.

Nu, mēs būvējam:

Kā jūs ilgu laiku pierakstījāt, šī vienādojuma sakne ir -.

Atrisinot tik lielu skaitu piemēru, esmu pārliecināts, ka sapratāt, kā viegli un ātri var atrisināt vienādojumus grafiski. Ir pienācis laiks izdomāt, kā šādā veidā atrisināt sistēmas.

Sistēmu grafiskais risinājums

Sistēmu grafiskais risinājums būtībā neatšķiras no vienādojumu grafiskā risinājuma. Mēs arī izveidosim divus grafikus, un to krustošanās punkti būs šīs sistēmas saknes. Viens grafiks ir viens vienādojums, otrais grafiks ir cits vienādojums. Viss ir ārkārtīgi vienkārši!

Sāksim ar vienkāršākajām – risināšanas sistēmām lineārie vienādojumi.

Lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana

Pieņemsim, ka mums ir šāda sistēma:

Sākumā mēs to pārveidosim tā, lai kreisajā pusē būtu viss, kas saistīts ar, un labajā pusē - tas, kas ir saistīts. Citiem vārdiem sakot, mēs rakstām šos vienādojumus kā funkciju mums parastajā formā:

Un tagad mēs vienkārši izveidojam divas taisnas līnijas. Kāds ir risinājums mūsu gadījumā? Pareizi! Viņu krustpunkts! Un šeit jums jābūt ļoti, ļoti uzmanīgiem! Padomā kāpēc? Es došu mājienu: mums ir darīšana ar sistēmu: sistēmai ir abas, un... Vai sapratāt mājienu?

Viss kārtībā! Risinot sistēmu, jāskatās abas koordinātes, un ne tikai, kā risinot vienādojumus! Cits svarīgs punkts- pierakstiet tos pareizi un nesajauciet, kur mums ir vērtība un kur ir vērtība! Ierakstīts? Tagad salīdzināsim visu secībā:

Un atbildes: i. Veikt pārbaudi - aizvietot atrastās saknes sistēmā un pārliecināties, ka mēs to grafiski atrisinājām pareizi?

Nelineāru vienādojumu sistēmu atrisināšana

Bet ja nu vienas taisnes vietā mums būs kvadrātvienādojums? Tas nekas! Jūs vienkārši izveidojat parabolu, nevis taisnu līniju! Neticu? Mēģiniet atrisināt šādu sistēmu:

Kāds ir mūsu nākamais solis? Tieši tā, pierakstiet to, lai mums būtu ērti veidot grafikus:

Un tagad viss ir par sīkumu — es to ātri izveidoju, un lūk, risinājums jums! Ēka:

Vai grafika ir vienāda? Tagad atzīmējiet attēlā sistēmas risinājumus un pareizi pierakstiet atklātās atbildes!

Es esmu izdarījis visu? Salīdziniet ar manām piezīmēm:

Viss kārtībā? Labi padarīts! Jūs jau klikšķinat uz tādiem uzdevumiem kā rieksti! Un, ja tā, tad sniegsim jums sarežģītāku sistēmu:

Ko mēs darām? Pareizi! Mēs rakstām sistēmu tā, lai to būtu ērti veidot:

Es sniegšu jums nelielu mājienu, jo sistēma izskatās ļoti sarežģīta! Veidojot grafikus, veidojiet tos "vairāk", un pats galvenais, nebrīnieties par krustošanās punktu skaitu.

Tā nu ejam! Izelpots? Tagad sāciet būvēt!

Nu kā? Skaists? Cik krustojuma punktus saņēmāt? Man ir trīs! Salīdzināsim mūsu diagrammas:

Tāpat? Tagad uzmanīgi pierakstiet visus mūsu sistēmas risinājumus:

Tagad apskatiet sistēmu vēlreiz:

Vai varat iedomāties, ka to atrisinājāt tikai 15 minūtēs? Piekrītu, matemātika tomēr ir vienkārša, it īpaši skatoties izteiksmi, tu nebaidies kļūdīties, bet ņem un izlem! Tu esi liels puisis!

Nevienādību grafiskais risinājums

Lineāro nevienādību grafiskais risinājums

Pēc pēdējais piemērs tev viss uz pleca! Tagad izelpojiet - salīdzinot ar iepriekšējām sadaļām, šī būs ļoti, ļoti vienkārša!

Sāksim, kā parasti, ar grafisko risinājumu lineārā nevienlīdzība. Piemēram, šis:

Sākumā mēs veiksim vienkāršākās pārvērtības - atvērsim iekavas pilni kvadrāti un pievienojiet līdzīgus terminus:

Nevienlīdzība nav stingra, tāpēc - nav iekļauta intervālā, un risinājums būs visi punkti, kas atrodas pa labi, jo vairāk, vairāk utt.

Atbilde:

Tas ir viss! Viegli? Atrisināsim vienkāršu nevienādību ar diviem mainīgajiem:

Uzzīmēsim funkciju koordinātu sistēmā.

Vai jums ir šāda diagramma? Un tagad mēs rūpīgi skatāmies, kas mums ir nevienlīdzībā? Mazāks? Tātad, mēs krāsojam visu, kas atrodas pa kreisi no mūsu taisnes. Ja būtu vairāk? Pareizi, tad viņi nokrāsotu visu, kas atrodas pa labi no mūsu taisnes. Viss ir vienkārši.

Visi šīs nevienlīdzības risinājumi ir “ēnoti” apelsīns. Tas arī viss, divu mainīgo nevienlīdzība ir atrisināta. Tas nozīmē, ka risinājums ir koordinātas un jebkurš punkts no ēnotās zonas.

Kvadrātisko nevienādību grafiskais risinājums

Tagad mēs nodarbosimies ar to, kā grafiski atrisināt kvadrātiskās nevienādības.

Bet pirms mēs nonākam pie lietas, atkārtosim dažas lietas par kvadrātveida funkciju.

Par ko ir atbildīgs diskriminants? Tieši tā, attiecībā uz grafika pozīciju attiecībā pret asi (ja jūs to neatceraties, tad noteikti izlasiet teoriju par kvadrātiskām funkcijām).

Jebkurā gadījumā, šeit ir neliels atgādinājums:

Tagad, kad esam atsvaidzinājuši visu atmiņā esošo materiālu, ķersimies pie lietas – nevienlīdzību atrisināsim grafiski.

Uzreiz pateikšu, ka tās risināšanai ir divas iespējas.

1. iespēja

Mēs rakstām savu parabolu kā funkciju:

Izmantojot formulas, mēs nosakām parabolas virsotnes koordinātas (tādā pašā veidā, kā risinot kvadrātvienādojumus):

Vai skaitījāt? Ko tu dabūji?

Tagad ņemsim vēl divus dažādus punktus un aprēķināsim tiem:

Mēs sākam veidot vienu parabolas atzaru:

Mēs simetriski atspoguļojam savus punktus citā parabolas atzarā:

Tagad atgriezieties pie mūsu nevienlīdzības.

Mums attiecīgi ir jābūt mazākam par nulli:

Tā kā mūsu nevienlīdzībā zīmju ir stingri mazāk, mēs izslēdzam gala punktus - “izbāzam”.

Atbilde:

Garš ceļš, vai ne? Tagad es jums parādīšu vienkāršāku grafiskā risinājuma versiju, izmantojot to pašu nevienlīdzību kā piemēru:

2. iespēja

Mēs atgriežamies pie mūsu nevienlīdzības un atzīmējam vajadzīgos intervālus:

Piekrītu, tas ir daudz ātrāk.

Tagad pierakstīsim atbildi:

Apskatīsim vēl vienu risinājuma metodi, kas vienkāršo algebrisko daļu, bet galvenais neapjukt.

Reiziniet kreiso un labo pusi ar:

Mēģiniet atrisināt tālāk norādīto kvadrātveida nevienlīdzība jebkādā veidā, kas jums patīk.

Vai jums izdevās?

Skatiet, kā izrādījās mana diagramma:

Atbilde: .

Jaukto nevienādību grafiskais risinājums

Tagad pāriesim pie sarežģītākām nevienlīdzībām!

Kā jums patīk šis:

Briesmīgi, vai ne? Godīgi sakot, man nav ne jausmas, kā to algebriski atrisināt... Bet tas nav nepieciešams. Grafiski tajā nav nekā sarežģīta! Acis baidās, bet rokas dara!

Pirmā lieta, ar ko mēs sākam, ir divu grafiku veidošana:

Visiem tabulu nerakstīšu – esmu pārliecināts, ka to lieliski var izdarīt arī viens pats (protams, ir tik daudz piemēru, kas jāatrisina!).

Krāsots? Tagad izveidojiet divus grafikus.

Salīdzināsim savus zīmējumus?

Vai jums ir tas pats? labi! Tagad novietosim krustpunktus un ar krāsu noteiksim, kuram grafikam teorētiski vajadzētu būt lielākam, tas ir. Paskaties, kas notika beigās:

Un tagad mēs vienkārši skatāmies, kur mūsu izvēlētā diagramma ir augstāka par diagrammu? Jūtieties brīvi paņemt zīmuli un pārkrāsot dotā platība! Tas būs risinājums mūsu sarežģītajai nevienlīdzībai!

Kādos intervālos gar asi mēs esam augstāki par? Pa labi, . Šī ir atbilde!

Nu, tagad jūs varat rīkoties ar jebkuru vienādojumu un jebkuru sistēmu, un vēl jo vairāk ar jebkuru nevienlīdzību!

ĪSUMĀ PAR GALVENO

Algoritms vienādojumu risināšanai, izmantojot funkciju grafikus:

1. Izteikt cauri
2. Definējiet funkcijas veidu
3. Izveidosim iegūto funkciju grafikus
4. Atrodiet grafiku krustošanās punktus
5. Pareizi pierakstiet atbildi (ņemot vērā ODZ un nevienlīdzības zīmes)
6. Pārbaudiet atbildi (aizstāj vienādojumā vai sistēmā saknes)

Papildinformāciju par funkciju grafiku uzzīmēšanu skatiet tēmā "".

Grafiskais veids vienādojumu sistēmu risinājumi

(9. klase)

Mācību grāmata: Algebra, 9. klase, redaktors Telyakovsky S.A.

Nodarbības veids: nodarbība zināšanu, prasmju, iemaņu kompleksā pielietošanā.

Nodarbības mērķi:

Izglītības: Attīstīt prasmi patstāvīgi pielietot zināšanas kompleksā, pārnest tās uz jauniem apstākļiem, tai skaitā strādāt ar datorprogrammu funkciju grafiku zīmēšanai un sakņu skaita atrašanai dotajos vienādojumos.

Izglītojoši: Veidot studentu spēju izcelt galvenās iezīmes, konstatēt līdzības un atšķirības. Bagātināt vārdu krājums. Attīstīt runu, sarežģījot tās semantisko funkciju. Attīstīt loģiskā domāšana, kognitīvā interese, grafiskās konstrukcijas kultūra, atmiņa, zinātkāre.

Izglītojoši: Izkopt atbildības sajūtu par sava darba rezultātu. Iemācieties iejusties klasesbiedru veiksmēs un neveiksmēs.

Izglītības līdzekļi Kabīne: dators, multimediju projektors, izdales materiāls.

Nodarbības plāns:

Laika organizēšana. Mājas darbs - 2 min.

Zināšanu aktualizācija, atkārtošana, korekcija - 8 min.

Jauna materiāla apgūšana - 10 min.

Praktiskais darbs - 20 min.

Rezumējot - 4 min.

Atspulgs - 1 min.

NODARBĪBU LAIKĀ

Organizatoriskais moments - 2 min.

Sveiki puiši! Šodien ir nodarbība par svarīgu tēmu: "Vienādojumu sistēmu risināšana".

Tādu zināšanu jomu nav eksaktās zinātnes visur, kur tiek lietota tēma. Mūsu nodarbības epigrāfs ir sekojoši vārdi: „Prāts ir ne tikai zināšanās, bet arī prasmē zināšanas pielietot praksē ". (Aristotelis)

Nodarbības tēmas, mērķu un uzdevumu noteikšana.

Skolotājs informē klasi par stundā apgūstamo un izvirza uzdevumu iemācīties grafiskā veidā atrisināt vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem.

Mājas darbs (P.18 Nr. 416, 418, 419 a).

Teorētiskā materiāla atkārtojums - 8 min.

BET) Matemātikas skolotājs: Atbilstoši gatavajiem zīmējumiem atbildiet uz jautājumiem un pamatojiet savu atbildi.

1). Atrodiet grafiku kvadrātiskā funkcija D=0 (Skolēni atbild uz jautājumu un nosauc 3.c grafiku).

2). Atrodiet apgriezti proporcionālas funkcijas grafiku k > 0 (Skolēni atbild uz jautājumu, izsauciet 3. grafikua ).

3). Atrodiet grafiku aplim ar centru O(-1; -5). (Skolēni atbild uz jautājumu, izsauciet grafiku 1b).

4). Atrodiet funkcijas y =3x -2 grafiku. (Skolēni atbild uz jautājumu un nosauc 3.b grafiku).

5). Atrodiet kvadrātfunkcijas grafiku D >0, a >0. (Skolēni atbild uz jautājumu un nosauc 1. grafikua ).

Matemātikas skolotājs: – Lai veiksmīgi atrisinātu vienādojumu sistēmas, atcerēsimies:

viens). Kas ir vienādojumu sistēma? (Vienādojumu sistēmu sauc par vairākiem vienādojumiem, kuriem ir jāatrod nezināmo vērtības, kas vienlaikus apmierina visus šos vienādojumus).

2). Ko nozīmē atrisināt vienādojumu sistēmu? (Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast visus risinājumus vai pierādīt, ka risinājumu nav).

3). Kāds ir vienādojumu sistēmas risinājums? (Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir skaitļu pāris (x; y), kurā visi sistēmas vienādojumi pārvēršas patiesos vienādībās).

4) Uzziniet, vai vienādojumu sistēmas risinājums
skaitļu pāris: a) x = 1, y = 2;(–) b) x = 2, y = 4; (+) c) x \u003d - 2, y \u003d - 4? (+)

III jauns materiāls- 10 minūtes.

Mācību grāmatas 18. punkts tiek pasniegts ar sarunu metodi.

Matemātikas skolotājs: 7. klases algebras kursā aplūkojām pirmās pakāpes vienādojumu sistēmas. Tagad pievērsīsimies tādu sistēmu risināšanai, kuras sastāv no pirmās un otrās pakāpes vienādojumiem.

1. Ko sauc par vienādojumu sistēmu?

2. Ko nozīmē atrisināt vienādojumu sistēmu?

Mēs zinām, ka algebriskā metode ļauj atrast precīzus sistēmas risinājumus, savukārt grafiskā metode ļauj vizuāli redzēt, cik sistēmai ir saknes, un tās aptuveni atrast. Tāpēc otrās pakāpes vienādojumu sistēmu risināšanu turpināsim mācīties nākamajās nodarbībās un šodien nodarbības galvenais mērķis būs praktiska izmantošana datorprogramma funkciju grafiku zīmēšanai un vienādojumu sistēmu sakņu skaita atrašanai.

IV . Praktiskais darbs - 20 min. Vienādojumu sistēmu grafiskā atrisināšana. Vienādojumu sakņu noteikšana.(Grafika uzzīmēšana datorā.)

Uzdevumus skolēni pilda datorā. Risinājumi tiek pārbaudīti darbības laikā.

y=2x2+5x+3

y=4

y \u003d -2x 2 + 5x + 3

y=-3x+4

y = -2x2 -5x-3

y=-4+2x

y=4x2+5x+3

y=2

y= -4 x 2 +5x+3

y=-3x+2

y = -4x2 -5x-3

y=-2+2x

y = 4 x 2 + 5 x+5

y=3

y = -4x2 +5x+5

y=-x+3

y = -4x2 -5x-5

y=-2+3x

Šeit ir divu vienādojumu grafiki. Pierakstiet šo vienādojumu definēto sistēmu un tās risinājumu.

– Kurš no sekojošajiem sistēmas vai vari atrisināt ar šo attēlu?

– Tika dotas 4 sistēmas, tās bija jāsaista ar grafikiem. Tagad uzdevums ir otrādi: ir diagrammas, tiem ir jābūt korelētiem ar sistēmu.

1. Apkopojot stundu. Vērtēšana - 4 min.

* Vienādojumu sistēmu risināšana. ( Uzdevumi ar zvaigznīti*.)

Vienādojumi 1. studentu grupai:

Vienādojumi 2. studentu grupai:

Vienādojumi 3. studentu grupai:

x y = 6

x 2 + y = 4

x 2 + y = 3

x - y + 1 = 0

x 2 — y = 3

Datums: ________________

Temats: algebra

Tēma: "Grafiskā metode vienādojumu sistēmu risināšanai."

Mērķi: Izmantojiet grafikus, lai atrisinātu vienādojumu sistēmas.

Uzdevumi:

Izglītības: iemācīt grafiski atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem.

Attīstās: studentu pētniecisko spēju attīstība, paškontrole, runa.

Audzēšana: komunikācijas kultūras, precizitātes veicināšana.

Nodarbības veids: apvienots

Veidlapas: Frontālā aptauja, darbs pāros.

Nodarbību laikā:

organizatoriskais posms. Atskaite par nodarbības tēmu, nodarbības mērķu izvirzīšana.(ierakstiet numuru, tēmu piezīmju grāmatiņā)

Aptvertā materiāla atkārtošana un konsolidācija:

1. Pārbaude mājasdarbs(neatrisināto problēmu analīze);

   Materiāla asimilācijas kontrole:

Iespējas numurs 1	Opcijas numurs 2
Uzzīmējiet funkciju: (xy-1) (x+1)=0 (x-2) 2 + (y + 1) 2 \u003d 4	Uzzīmējiet funkciju: (xy+1)(y-1)=0 (x-1) 2 + (y + 2) 2 \u003d 4

Pamatzināšanu atjaunināšana:

Lineāra vienādojuma definīcija divos mainīgajos.

Kā sauc lineāra vienādojuma atrisinājumu divos mainīgajos?

Kā sauc lineāra vienādojuma grafiku ar diviem mainīgajiem?

Kāds ir lineāra vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem?

Cik punkti nosaka līniju?

Ko nozīmē atrisināt vienādojumu sistēmu?

Ko sauc par lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem atrisinājumu?

Kad plaknē krustojas divas taisnes?

Kad divas taisnes plaknē ir paralēlas?

Kad plaknē sakrīt divas taisnes?

Jauna materiāla apgūšana:

Apsveriet divu vienādojumu sistēma ar diviem nezināmajiem. Lēmums sauc par vienādojumu sistēmas vērtību pārismainīgie, kas griežas katru sistēmas vienādojumu pareizajā vienādībā. Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast visus tās risinājumus vai pierādīt, ka atrisinājumu nav.

Viens no efektīviem un vizuāliem veidiem, kā atrisināt un pētīt vienādojumus un vienādojumu sistēmas grafiskais veids.

Algoritms vienādojuma zīmēšanai ar diviem mainīgajiem.

Izsakiet mainīgo y ar x.

"Paņemiet" punktus, kas nosaka grafiku.

Uzzīmējiet vienādojumu

Algoritms vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem risināšanai grafiskā veidā.

Izveidojiet katra sistēmas vienādojuma grafikus.

Atrodiet krustojuma punkta koordinātas.

Pierakstiet atbildi.

Piemērs 1

Atrisināsim vienādojumu sistēmu:

Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā pirmās grafikas X 2 + y 2 = 25
(aplis) un otrais hu= 12 (hiperbolas) vienādojumi. Tas ir skaidrs
vienādojumu grafiki krustojas četros punktos BET(3; 4), AT(4; 3)
C(-3;-4) un D(-4; 3), kuru koordinātas ir atrisinājumi
viena sistēma.

T
Tā kā risinājumus ar noteiktu precizitāti var atrast ar grafisko metodi, tie ir jāpārbauda ar aizstāšanu.

Pārbaude parāda, ka sistēmai patiešām ir četri risinājumi: (3;4), (4;3), (-3;-4), (-4;-3).

Uzdevums nodarbībā: Nr.415 (b); Nr.416; Nr.419 (b); Nr.420 (b); Nr.421 (a, b); Nr.422 (a); Nr.424(b); Nr.426 115.-117.lpp.

Summēšana (novērtējumi).

Atspulgs.

Atkārtosim vienādojumu sistēmu grafiskās atrisināšanas algoritmu.

Cik atrisinājumu var būt vienādojumu sistēmai?

Kurš ir iemācījies grafiski atrisināt l vienādojumu sistēmas?

Kurš nav iemācījies?

Kurš vēl šaubās?

Paceliet rokas, kam patika nodarbība? Kuram nav? Kurš ir vienaldzīgs?

Mājasdarbs:§18 114.-115. lpp. uzziniet noteikumus.

§17 pp.108-110 atkārtojiet noteikumus.

ALĢEBRA 9 KLASE

Grafiskais veids

vienādojumu sistēmu risinājumi

1. Atrodiet grafikā:

a) funkcijas nulles;

b) funkciju vērtību diapazons;

c) funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervāli;

c) intervāli, kuros y ≤ 0, y ≥ 0.

d ) funkcijas mazākā vērtība.

1. No piedāvātajām formulām atlasiet formulu

kas definē grafikā parādīto funkciju

a ) y \u003d - 3x + 1; b) y \u003d 2x + 1;

c) y \u003d 3x + 1 .

No piedāvātajām formulām izvēlieties formulu, kas

definē diagrammā parādīto funkciju

b) y = - 2x 2 ; c) y = x 2 +1.

a) y = x 2 ;

No piedāvātajām formulām atlasiet formulu, kas definē grafikā parādīto funkciju.

b) y \u003d 2 x 3; c) y \u003d x 3

a) y \u003d 0,5x 3;

No piedāvātajām formulām atlasiet formulu, kas definē grafikā parādīto funkciju

a) y \u003d 4 / x; b) y \u003d - 4 / x;

Lineārais vienādojums ar

viens mainīgais

cirvis=b

• Lineārais vienādojums ar

divi mainīgie

Vienādojums ar diviem mainīgajiem

Vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ir koordinātu plaknes punktu kopa, kuras koordinātes pārvērš vienādojumu pareizajā vienādībā

Vienādojums

Mēs izsakām y ar x

3x+2y=6

2g-x 2 =0

Šī formula definē...

Kalpo kā grafiks

2x+y=0

hiperbola

kvadrātveida

funkcija

y \u003d -1,5x + 3

Lineārs

funkcija

taisni

y=0,5 x 2

otrādi

proporcionalitāte

y = -2x

parabola

taisni, pa labi

cauri sākumam koordinācija.

taisni

proporcionalitāte

Elipse

X 2 y \u003d 4 (2-y),

y=8 /(x 2 +4)

Vienādojumu sistēma un tās risinājums

Definīcijas

• Vienādojumu sistēma ir vairāki vienādojumi, kurus apvieno cirtaini iekava. Cirtainais skava nozīmē, ka visi vienādojumi ir jāizpilda vienlaikus
• Atrisinājums vienādojumu sistēmai ar diviem mainīgajiem ir mainīgo vērtību pāris, kas katru sistēmas vienādojumu pārvērš pareizajā vienādībā
• Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast visus tās risinājumus vai konstatēt, ka tādu nav.

veids

aizstāšanas

veids

papildinājumiem

Vienādojumu sistēmu risināšanas metodes

veids

aizstāšanas

veids

papildinājumiem

Grafiskais veids

vienādojumu sistēmu risinājumi

1. Katrā vienādojumā izsakiet y līdz x.

2.Izveidojiet grafiku vienā koordinātu sistēmā

katrs vienādojums.

3. Katrā vienādojumā izsakiet no y līdz x.

4.Izveidojiet grafiku vienā koordinātu sistēmā

katrs vienādojums

5. Nosakiet krustojuma punkta koordinātas

grafiki.

6. Pierakstiet atbildi: x = ...; y \u003d ... vai (x; y)

Sistēmas risinājums grafiski

Izteikt y

Izveidosim grafiku

pirmais vienādojums

Uzzīmēsim otro

vienādojumi -aplis ar

centrēts punktā O(0;0) un

rādiuss 2.

Sistēmas risinājums grafiski

Izteikt y

Izveidosim grafiku

pirmais vienādojums

Uzzīmēsim otro

vienādojumi -aplis ar

centrēts punktā O(0;0) un

rādiuss 2.

X 2 +y 2 =4*

Sistēmai ir 2 risinājumi:

Atbilde: (0;2), (-2;0)

1. Mēs sākam uzlādi,

Izstiepam rokas

Mēs stiepjam muguru, plecus,

Lai mums būtu vieglāk sēdēt

2. Mēs pagriežam-pagriežam galvu.

Izstiep kaklu, apstājies!

Viens, divi, trīs - noliekt pa labi,

Viens, divi, trīs - tagad pa kreisi.

3. Tagad apstājieties!

Pacel mūsu rokas augstāk

Ieelpot un izelpot. Mēs elpojam dziļāk.

Tagad apsēdīsimies pie rakstāmgalda.

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības mērķi un uzdevumi:

• turpināt darbu pie prasmju veidošanas vienādojumu sistēmu risināšanai ar grafisko metodi;
• veikt pētījumus un izdarīt secinājumus par atrisinājumu skaitu divu lineāru vienādojumu sistēmai;
• rotaļājoties attīstīt interesi par tēmu.

NODARBĪBU LAIKĀ

1. Organizatoriskais moments (plannerka)- 2 minūtes.

- Labdien! Mēs sākam savu tradicionālo plānošanu. Esam priecīgi sveikt ikvienu, kas šodien ir mūsu viesis mūsu laboratorijā (iepazīstinu viesus). Mūsu laboratoriju sauc: "DARBS AR INTERESI UN PRIEKU"(rādīt 2. slaidu). Nosaukums kalpo kā moto mūsu darbā. “Radi, risini, mācies, sasnieg ar interesi un prieku". Cienījamie viesi, es iepazīstināju jūs ar mūsu laboratorijas vadītājiem (3. slaids).
Mūsu laboratorija nodarbojas ar zinātnisko darbu izpēti, pētniecību, ekspertīzi, strādā pie radošo projektu veidošanas.
Šodien mūsu diskusijas tēma ir “Lineāro vienādojumu sistēmu grafiskais risinājums”. (iesaku pierakstīt nodarbības tēmu)

Dienas programma:(4. slaids)

1. Plānošanas sanāksme
2. Paplašināta akadēmiskā padome:

• Saistītās runas
• Atļauja strādāt

3. Ekspertīze
4. Pētījumi un atklājumi
5. radošais projekts
6. Ziņojums
7. Plānošana

2. Aptauja un mutiskais darbs (Paplašināta akadēmiskā padome)- 10 minūtes.

– Šodien notiek paplašinātā akadēmiskā padome, kurā piedalās ne tikai katedru vadītāji, bet arī visi mūsu kolektīva dalībnieki. Laboratorija tikko sākusi darbu pie tēmas: "Lineāro vienādojumu sistēmu grafiskais risinājums." Mums jācenšas sasniegt augstākos sasniegumus šajā jautājumā. Mūsu laboratorijai vajadzētu būt slavenai ar šīs tēmas pētījumu kvalitāti. Es kā vecākā pētniece novēlu visiem veiksmi!

Par pētījuma rezultātiem tiks ziņots laboratorijas vadītājam.

Vārds ziņojumam par vienādojumu sistēmu risināšanu ir ... (Es saucu studentu pie tāfeles). Uzdevumam dodu uzdevumu (1. kartīte).

Un laborants ... (es nosaucu savu uzvārdu) atgādinās, kā ar moduli uzzīmēt funkciju grafiku. Dodu karti 2.

1. karte(uzdevuma risinājums 7. slaidā)

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

2. karte(uzdevuma risinājums 9. slaidā)

Izveidojiet funkciju grafiku: y = | 1,5x - 3 |

Kamēr darbinieki gatavojas ziņojumam, es pārbaudīšu, kā esat gatavs veikt pētījumu. Katram no jums jāsaņem darba atļauja. (Sākam mutisku skaitīšanu, ierakstot atbildes piezīmju grāmatiņā)

Atļauja strādāt(uzdevumi 5. un 6. slaidā)

1) Izteikt plkst cauri x:

3x + y = 4 (y = 4 - 3x)
5x - y = 2 (y = 5x - 2)
1/2 g - x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3 g - 1 = 0 (y = - 6x + 3)

2) Atrisiniet vienādojumu:

5x + 2 = 0 (x = -2/5)
4x - 3 = 0 (x = 3/4)
2 - 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = - 12)

3) Dota vienādojumu sistēma:

Kurš no skaitļu pāriem (- 1; 1) vai (1; - 1) ir šīs vienādojumu sistēmas atrisinājums?

Atbilde: (1; - 1)

Uzreiz pēc katra mutvārdu skaitīšanas fragmenta studenti apmainās ar burtnīcām (kurā pašā nodaļā blakus sēž students), slaidos parādās pareizās atbildes; verificētājs liek plusu vai mīnusu. Darba beigās nodaļu vadītāji ievada rezultātus kopsavilkuma tabulā (skat. zemāk); Par katru piemēru tiek piešķirts 1 punkts (iespējams iegūt 9 punktus).
Tie, kuri ieguvuši 5 vai vairāk punktus, saņem pielaidi darbā. Pārējie saņem nosacītu uzņemšanu, ti. jāstrādā nodaļas vadītāja vadībā.

Tabula (aizpilda priekšnieks)

(Tabulus izsniedz pirms nodarbības sākuma)

Pēc atļaujas saņemšanas klausieties skolēnu atbildes pie tāfeles. Par atbildi students saņem 9 punktus, ja atbilde ir pilnīga (maksimālais uzņemšanas skaits), 4 punktus, ja atbilde nav pilnīga. Punkti tiek ievadīti ailē "pielaide".
Ja uz tāfeles pareizais risinājums, tad 7. un 9. slaidu var izlaist. Ja risinājums ir pareizs, bet nav skaidri izpildīts, vai risinājums ir nepareizs, tad slaidi ir jāparāda ar paskaidrojumiem.
Parādu 8. slaidu pēc skolēna atbildes 1. kartītē. Šajā slaidā secinājumi ir svarīgi stundai.

Algoritms sistēmu grafiskai atrisināšanai:

• Izsakiet y ar x katrā sistēmas vienādojumā.
• Uzzīmējiet katru sistēmas vienādojumu.
• Atrodiet grafiku krustošanās punktu koordinātas.
• Pārbaudiet (es vēršu studentu uzmanību uz to, ka grafiskā metode parasti sniedz aptuvenu atrisinājumu, bet, ja grafiku krustpunkts sasniedz punktu ar veselām koordinātām, varat pārbaudīt un iegūt precīzu atbildi).
• Pierakstiet atbildi.

3. Vingrinājumi (ekspertīze)- 5 minūtes.

Vakar darbā tika uzņemti daži darbinieki rupjas kļūdas. Šodien jūs jau esat kompetentāks grafisko risinājumu jautājumā. Aicinām veikt piedāvāto risinājumu ekspertīzi, t.i. atrast kļūdas risinājumos. Rādīt 10. slaidu.
Nodaļās darbs notiek. (Uzdevumu fotokopijas ar kļūdām tiek izsniegtas katrai tabulai; katrā nodaļā darbiniekiem jāatrod kļūdas un tās jāuzsver vai jālabo; fotokopijas jānodod vecākajam pētniekam, t.i., skolotājam). Tiem, kas atrod un izlabo kļūdu, priekšnieks pievieno 2 punktus. Pēc tam pārrunājam pieļautās kļūdas un norādām tās 10. slaidā.

1. kļūda

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Atbilde: Risinājumu nav.

Skolēniem jāturpina līnijas līdz krustojumam un jāsaņem atbilde: (- 2; 1).

2. kļūda.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Atbilde: (1; 4).

Studentiem jāatrod kļūda pirmā vienādojuma transformācijā un jālabo uz gatavā zīmējuma. Saņemiet citu atbildi: (2; 5).

4. Jaunā materiāla skaidrojums (pētniecība un atklāšana)– 12 min.

Iesaku studentiem grafiski atrisināt trīs sistēmas. Katrs skolēns patstāvīgi risina burtnīcā. Konsultēties var tikai tie, kuriem ir nosacīta atļauja.

Lēmums

Neuzzīmējot grafikus, ir skaidrs, ka līnijas sakritīs.

11. slaids parāda sistēmu risinājumu; paredzams, ka studentiem būs grūtības pierakstīt atbildi 3. piemērā. Pēc darba nodaļās pārbaudām risinājumu (priekšnieks par pareizo pievieno 2 punktus). Tagad ir pienācis laiks apspriest, cik daudz risinājumu var būt divu lineāru vienādojumu sistēmai.
Skolēniem pašiem jāizdara secinājumi un tie jāpaskaidro, uzskaitot gadījumus, kad līnijas ir savstarpēji izkārtotas plaknē (12. slaids).

5. Radošais projekts (vingrinājumi)– 12 min.

Uzdevums tiek dots nodaļai. Katram laborantam pēc spējām vadītājs iedod fragmentu no viņa veikuma.

Grafiski atrisiniet vienādojumu sistēmas:

Pēc iekavu atvēršanas studentiem jāsaņem sistēma:

Pēc iekavu atvēršanas pirmais vienādojums izskatās šādi: y = 2/3x + 4.

6. Atskaite (uzdevuma izpildes pārbaude)- 2 minūtes.

Pēc radošā projekta pabeigšanas skolēni šķiro burtnīcas. 13. slaidā es parādu, kam vajadzēja notikt. Priekšnieki nodod galdu. Skolotājs aizpilda pēdējo aili un ieliek atzīmi (atzīmes var ziņot skolēniem nākamajā stundā). Projektā pirmās sistēmas risinājums novērtēts ar trīs punktiem, bet otrās - ar četriem.

7. Plānošana (rezumēšana un mājasdarbi)- 2 minūtes.

Apkoposim savu darbu. Mēs paveicām labu darbu. Konkrēti par rezultātiem runāsim rīt plānošanas sanāksmē. Protams, bez izņēmuma visi laboranti apguva vienādojumu sistēmu risināšanas grafisko metodi, uzzināja, cik daudz risinājumu var būt sistēmai. Rīt katram no jums būs personisks projekts. Papildu sagatavošanai: 36. punkts; 647-649(2); atkārtojiet analītiskās metodes, lai atrisinātu sistēmas. 649(2) atrisināt un analītiskā metode.

Mūsu darbu visas dienas garumā uzraudzīja laboratorijas direktors Noumans Nu Manovičs. Viņam vārds. (tiek rādīts pēdējais slaids).

Aptuvenā vērtēšanas skala

atzīme	Tolerance	Ekspertīze	Pētījums	Projekts	Kopā
3	5	2	2	2	11
4	7	2	4	3	16
5	9	3	5	4	21