Matemātika ir zinātnes gudrības simbols,
zinātniskas stingrības un vienkāršības piemērs,
pilnības un skaistuma standarts zinātnē.
Krievu filozofs, profesors A.V. Vološinovs
Moduļu nevienādības
Visgrūtāk risināmās problēmas skolas matemātikā ir nevienlīdzības, kas satur mainīgos zem moduļa zīmes. Lai sekmīgi atrisinātu šādas nevienādības, ir nepieciešams labi pārzināt moduļa īpašības un prasmes tās izmantot.
Pamatjēdzieni un īpašības
Modulis ( absolūtā vērtība) reālais skaitlis apzīmēts un ir definēts šādi:
Moduļa vienkāršās īpašības ietver šādas attiecības:
UN .
Piezīme, ka pēdējās divas īpašības atbilst jebkurai pāra pakāpei.
Arī ja , kur , tad un
Sarežģītākas moduļa īpašības, ko var efektīvi izmantot vienādojumu un nevienādību risināšanā ar moduļiem, tiek formulēti, izmantojot šādas teorēmas:
1. teorēma.Jebkurām analītiskām funkcijām un nevienlīdzība.
2. teorēma. Vienlīdzība ir līdzvērtīgs nevienlīdzībai.
3. teorēma. Vienlīdzība ir līdzvērtīgs nevienlīdzībai.
Biežākās nevienlīdzības skolas matemātikā, kas satur nezināmus mainīgos zem moduļa zīmes, ir formas nevienlīdzības un kur dažas pozitīvas konstantes.
4. teorēma. Nevienlīdzība ir līdzvērtīga dubultai nevienlīdzībai, un nevienlīdzības risinājumsreducē līdz nevienādību kopas atrisināšanai un .
Šī teorēma ir īpašs 6. un 7. teorēmas gadījums.
Sarežģītākas nevienlīdzības, kas satur moduli, ir formas nevienādības, un .
Šādu nevienādību risināšanas metodes var formulēt, izmantojot šādas trīs teorēmas.
5. teorēma. Nevienlīdzība ir līdzvērtīgs divu nevienlīdzību sistēmu kombinācijai
UN (1)
Pierādījums. Kopš tā laika
Tas nozīmē (1) derīgumu.
6. teorēma. Nevienlīdzība ir līdzvērtīga nevienlīdzību sistēmai
Pierādījums. Jo , tad no nevienlīdzības tam seko . Saskaņā ar šo nosacījumu, nevienlīdzībaun šajā gadījumā otrā nevienlīdzību sistēma (1) izrādās nekonsekventa.
Teorēma ir pierādīta.
7. teorēma. Nevienlīdzība ir līdzvērtīgs vienas nevienlīdzības un divu nevienlīdzību sistēmu kombinācijai
UN (3)
Pierādījums. Kopš , tad nevienlīdzība vienmēr izpildīts, ja .
Ļaujiet, tad nevienlīdzībabūs līdzvērtīga nevienlīdzībai, no kā izriet divu nevienādību kopa un .
Teorēma ir pierādīta.
Apsveriet tipiskus problēmu risināšanas piemērus par tēmu “Nevienlīdzība, kas satur mainīgos zem moduļa zīmes.
Nevienādību risināšana ar moduli
Lielākā daļa vienkārša metode nevienādību atrisināšana ar moduli ir metode, pamatojoties uz moduļa paplašināšanu. Šī metode ir vispārīga, tomēr vispārīgā gadījumā tā piemērošana var radīt ļoti apgrūtinošus aprēķinus. Tāpēc skolēniem būtu jāzina arī citas (efektīvākas) metodes un paņēmieni šādu nevienlīdzību risināšanai. It īpaši, jābūt prasmēm pielietot teorēmas, sniegts šajā rakstā.
1. piemērsAtrisiniet nevienlīdzību
. (4)
Risinājums.Nevienādība (4) tiks atrisināta ar "klasisko" metodi – moduļu paplašināšanas metodi. Šim nolūkam mēs pārtraucam skaitlisko asi punkti un intervālos un apsveriet trīs gadījumus.
1. Ja , tad , , , un nevienlīdzība (4) iegūst formu vai .
Tā kā šeit tiek aplūkots gadījums, , ir nevienlīdzības risinājums (4).
2. Ja , tad no nevienādības (4) iegūstam vai . Kopš intervālu krustpunkta un ir tukšs, tad aplūkotajā intervālā nevienādībai (4) nav atrisinājumu.
3. Ja , tad nevienādība (4) iegūst formu vai . Ir skaidrs, ka ir arī risinājums nevienlīdzībai (4).
Atbilde: , .
2. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību.
Risinājums. Pieņemsim, ka. Jo , tad dotā nevienlīdzība iegūst formu vai . Jo tad un no tā izriet vai .
Tomēr tāpēc vai .
3. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību
. (5)
Risinājums. Jo , tad nevienādība (5) ir līdzvērtīga nevienādībām vai . No šejienes, saskaņā ar 4. teorēmu, mums ir nevienlīdzību kopums un .
Atbilde: , .
4. piemērsAtrisiniet nevienlīdzību
. (6)
Risinājums. Apzīmēsim . Tad no nevienlīdzības (6) iegūstam nevienādības , , vai .
No šejienes, izmantojot intervāla metodi, mēs saņemam. Jo , tad šeit mums ir nevienlīdzību sistēma
Sistēmas (7) pirmās nevienādības risinājums ir divu intervālu savienība un , un otrās nevienādības risinājums ir dubultnevienādība. Tas nozīmē, ka nevienādību sistēmas (7) risinājums ir divu intervālu savienība un .
Atbilde: ,
5. piemērsAtrisiniet nevienlīdzību
. (8)
Risinājums. Mēs pārveidojam nevienlīdzību (8) šādi:
Vai .
Intervālu metodes pielietošana, iegūstam nevienlīdzības risinājumu (8).
Atbilde:.
Piezīme. Ja 5. teorēmas stāvoklī ievietojam un, tad iegūstam .
6. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību
. (9)
Risinājums. No nevienlīdzības (9) izriet. Mēs pārveidojam nevienlīdzību (9) šādi:
Or
Kopš , tad vai .
Atbilde:.
7. piemērsAtrisiniet nevienlīdzību
. (10)
Risinājums. Kopš un , tad vai .
Šajā savienojumā un nevienlīdzība (10) iegūst formu
Or
. (11)
No tā izriet, ka vai . Tā kā , Tad nevienlīdzība (11) nozīmē arī vai .
Atbilde:.
Piezīme. Ja 1. teorēmu piemērojam nevienādības (10) kreisajai pusei, tad mēs saņemam . No šejienes un no nevienlīdzības (10) izriet, ka vai . Jo , tad nevienādība (10) iegūst formu vai .
8. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību
. (12)
Risinājums. Kopš tā laika un nevienlīdzība (12) nozīmē vai . Tomēr tāpēc vai . No šejienes mēs iegūstam vai .
Atbilde:.
9. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību
. (13)
Risinājums. Saskaņā ar 7. teorēmu nevienādības (13) risinājumi ir vai .
Ļaujiet tagad. Šajā gadījumā un nevienlīdzība (13) iegūst formu vai .
Ja apvienojam intervālus un , tad iegūstam formas (13) nevienādības atrisinājumu.
10. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību
. (14)
Risinājums. Pārrakstīsim nevienādību (14) līdzvērtīgā formā: . Ja šīs nevienlīdzības kreisajai pusei piemērojam teorēmu 1, tad iegūstam nevienādību .
No šejienes un no 1. teorēmas izriet, ka nevienādība (14) ir izpildīta jebkurai vērtībai.
Atbilde: jebkurš skaitlis.
11. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību
. (15)
Risinājums. 1. teorēmas piemērošana nevienādības (15) kreisajai pusei, saņemam . No šejienes un no nevienlīdzības (15) seko vienādojums, kas izskatās.
Saskaņā ar 3. teorēmu, vienādojums ir līdzvērtīgs nevienlīdzībai. No šejienes mēs iegūstam.
12. piemērs.Atrisiniet nevienlīdzību
. (16)
Risinājums. No nevienādības (16) saskaņā ar 4. teorēmu iegūstam nevienādību sistēmu
Atrisinot nevienlīdzībuizmantojam 6. teorēmu un iegūstam nevienādību sistēmuno kā izriet.
Apsveriet nevienlīdzību. Saskaņā ar 7. teorēmu, iegūstam nevienādību kopu un . Otrā iedzīvotāju nevienlīdzība attiecas uz jebkuru reālu.
tātad, nevienādības (16) risinājums ir.
13. piemērsAtrisiniet nevienlīdzību
. (17)
Risinājums. Saskaņā ar 1. teorēmu mēs varam rakstīt
(18)
Ņemot vērā nevienlīdzību (17), secinām, ka abas nevienlīdzības (18) pārvēršas par vienādībām, t.i. ir vienādojumu sistēma
Saskaņā ar 3. teorēmu šī vienādojumu sistēma ir līdzvērtīga nevienādību sistēmai
vai
14. piemērsAtrisiniet nevienlīdzību
. (19)
Risinājums. Kopš tā laika . Reizināsim abas nevienādības daļas (19) ar izteiksmi , kas jebkurai vērtībai aizņem tikai pozitīvas vērtības. Tad iegūstam nevienādību, kas ir ekvivalenta formas (19) nevienādībai
No šejienes mēs saņemam vai , kur . Kopš un tad nevienādības (19) risinājumi ir un .
Atbilde: , .
Lai padziļināti izpētītu metodes nevienādību risināšanai ar moduli, ieteicams atsaukties uz apmācībām, kas uzskaitīti ieteicamo lasījumu sarakstā.
1. Uzdevumu krājums matemātikā reflektantiem uz tehniskajām augstskolām / Red. M.I. Scanavi. - M .: Pasaule un izglītība, 2013. - 608 lpp.
2. Suprun V.P. Matemātika vidusskolēniem: metodes nevienlīdzību risināšanai un pierādīšanai. – M.: Lenands / URSS, 2018. - 264 lpp.
3. Suprun V.P. Matemātika vidusskolēniem: nestandarta metodes problēmu risināšana. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 lpp.
Vai jums ir kādi jautājumi?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Metodes (noteikumi) nevienādību ar moduļiem atklāšanai sastāv no moduļu secīgas izpaušanas, vienlaikus izmantojot apakšmoduļu funkciju konstantas zīmes intervālus. Galīgajā versijā tiek iegūtas vairākas nevienādības, no kurām tās atrod intervālus vai spraugas, kas apmierina problēmas nosacījumu.
Pāriesim pie praksē izplatītu piemēru risināšanas.
Lineārās nevienādības ar moduļiem
Ar lineāru mēs saprotam vienādojumus, kuros mainīgais vienādojumā ieiet lineāri.
Piemērs 1. Atrodi risinājumu nevienādībai
Risinājums:
No uzdevuma nosacījuma izriet, ka moduļi pārvēršas par nulli pie x=-1 un x=-2. Šie punkti sadala skaitlisko asi intervālos
Katrā no šiem intervāliem mēs atrisinām doto nevienādību. Lai to izdarītu, pirmkārt, mēs sastādām submodulāro funkciju pastāvīgās zīmes apgabalu grafiskos rasējumus. Tie ir attēloti kā apgabali ar katras funkcijas zīmēm.
vai intervāli ar visu funkciju pazīmēm. 
Pirmajā intervālā atveriet moduļus
Mēs reizinām abas daļas ar mīnus vienu, savukārt zīme nevienlīdzībā mainīsies uz pretējo. Ja jums ir grūti pierast pie šī noteikuma, varat pārvietot katru daļu ārpus zīmes, lai atbrīvotos no mīnusa. Galu galā jūs saņemsiet
Kopas x>-3 krustpunkts ar laukumu, kurā tika atrisināti vienādojumi, būs intervāls (-3;-2) . Tiem, kam risinājumus ir vieglāk meklēt grafiski, var uzzīmēt šo apgabalu krustpunktu
Risinājums būs vispārējs zonu krustojums. Ar stingru nelīdzenumu malas nav iekļautas. Ja nonstrict tiek pārbaudīts ar aizstāšanu.
Otrajā intervālā mēs iegūstam 
Sadaļa būs intervāls (-2; -5/3). Grafiski risinājums izskatīsies šādi
Trešajā intervālā mēs iegūstam
Šis nosacījums nesniedz risinājumus vajadzīgajā domēnā.
Tā kā divi atrastie risinājumi (-3;-2) un (-2;-5/3) robežojas ar punktu x=-2 , mēs to arī pārbaudām.
Tādējādi punkts x=-2 ir risinājums. Kopīgs lēmums paturot to prātā, tas izskatīsies šādi (-3; 5/3).
Piemērs 2. Atrodiet nevienlīdzības risinājumu
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
Risinājums:
Apakšmoduļa funkciju nulles būs punkti x=2, x=3, x=4 . Ja argumentu vērtības ir mazākas par šiem punktiem, apakšmoduļa funkcijas ir negatīvas, un, ja vērtības ir lielas, tās ir pozitīvas.
Punkti sadala reālo asi četros intervālos. Atveram moduļus atbilstoši zīmes noturības intervāliem un atrisinām nevienādības.
1) Pirmajā intervālā visas submodulārās funkcijas ir negatīvas, tāpēc, paplašinot moduļus, mēs mainām zīmi uz pretējo.
Atrasto x vērtību krustpunkts ar aplūkoto intervālu būs punktu kopa
2) Intervālā starp punktiem x=2 un x=3 pirmā apakšmoduļa funkcija ir pozitīva, otrā un trešā ir negatīvas. Paplašinot moduļus, mēs iegūstam
nevienādība, kas krustojumā ar intervālu, kurā mēs risinām, dod vienu atrisinājumu - x=3.
3) Intervālā starp punktiem x=3 un x=4 pirmā un otrā apakšmoduļa funkcijas ir pozitīvas, bet trešā – negatīvas. Pamatojoties uz to, mēs iegūstam
Šis nosacījums parāda, ka viss intervāls apmierinās nevienlīdzību ar moduļiem.
4) Vērtībām x>4 visas funkcijas ir pozitīvas. Paplašinot moduļus, mēs nemainām to zīmi.
Atrastais nosacījums krustojumā ar intervālu dod šādu risinājumu kopu
Tā kā nevienādība ir atrisināta visos intervālos, atliek atrast visu atrasto x vērtību kopējo vērtību. Risinājums ir divi intervāli 
Šis piemērs ir atrisināts.
Piemērs 3. Atrodi risinājumu nevienlīdzībai
||x-1|-5|>3-2x
Risinājums:
Mums ir nevienlīdzība ar moduli no moduļa. Šādas nevienlīdzības atklājas moduļu ligzdošanas laikā, sākot ar tiem, kas ir novietoti dziļāk.
Apakšmoduļa funkcija x-1 tiek pārvērsta par nulli punktā x=1 . Mazākām vērtībām, kas pārsniedz 1, tas ir negatīvs un pozitīvs, ja x>1. Pamatojoties uz to, mēs atklājam iekšējais modulis un apsveriet nevienlīdzību katrā no intervāliem.
Vispirms apsveriet intervālu no mīnus bezgalības līdz vienam 
Apakšmoduļa funkcija ir nulle punktā x=-4 . Mazākām vērtībām tas ir pozitīvs, lielākām - negatīvs. Izvērsiet moduli x<-4:
Krustojumā ar apgabalu, kuru mēs aplūkojam, mēs iegūstam risinājumu kopumu
Nākamais solis ir moduļa paplašināšana intervālā (-4; 1) 
Ņemot vērā moduļa izplešanās laukumu, mēs iegūstam risinājumu intervālu
ATCERIETIES: ja šādos moduļu nelīdzenumos tiek iegūti divi intervāli, kas robežojas ar kopīgu punktu, tad, kā likums, arī tas ir risinājums.
Lai to izdarītu, jums vienkārši jāpārbauda.
Šajā gadījumā mēs aizstājam punktu x=-4.
Tātad x=-4 ir risinājums.
Izvērsiet iekšējo moduli x>1
Apakšmoduļa funkcija ir negatīva x<6.
Paplašinot moduli, mēs iegūstam
Šis nosacījums sadaļā ar intervālu (1;6) dod tukšu risinājumu kopu.
Ja x>6 mēs iegūstam nevienādību
Arī risinot mēs saņēmām tukšu komplektu.
Ņemot vērā visu iepriekš minēto, vienīgais risinājums nevienādības ar moduļiem būs nākamais intervāls.
Nevienādības ar moduļiem, kas satur kvadrātvienādojumus
4. piemērs. Atrodiet nevienlīdzības risinājumu
|x^2+3x|>=2-x^2 
Risinājums:
Apakšmoduļa funkcija pazūd punktos x=0, x=-3. Ar vienkāršu aizstāšanu mīnus viens 
mēs uzstādām, ka tas ir mazāks par nulli intervālā (-3; 0) un pozitīvs aiz tā.
Izvērsiet moduli apgabalos, kur apakšmoduļa funkcija ir pozitīva 
Atliek noteikt jomas, kur kvadrātveida funkcija pozitīvs. Lai to izdarītu, mēs nosakām kvadrātvienādojuma saknes 
Ērtības labad aizvietojam punktu x=0, kas pieder intervālam (-2;1/2). Funkcija šajā intervālā ir negatīva, tāpēc risinājums būs šādas kopas x 
Šeit iekavas norāda apgabalu malas ar risinājumiem; tas tika darīts apzināti, ņemot vērā šādu noteikumu.
ATCERIETIES: Ja nevienādība ar moduļiem vai vienkārša nevienādība ir strikta, tad atrasto laukumu malas nav atrisinājumi, bet, ja nevienādības nav stingras (), tad malas ir atrisinājumi (norādītas kvadrātiekavās).
Šo noteikumu izmanto daudzi skolotāji: ja tiek dota stingra nevienādība un aprēķinu laikā risinājumā ierakstāt kvadrātiekava ([,]), viņi to automātiski uzskatīs par nepareizu atbildi. Tāpat, testējot, ja ir norādīta nestingra nevienādība ar moduļiem, tad starp risinājumiem meklējiet laukumus ar kvadrātiekavām.
Intervālā (-3; 0), paplašinot moduli, mainām funkcijas zīmi uz pretējo 
Ņemot vērā nevienlīdzības atklāšanas apjomu, risinājumam būs forma
Kopā ar iepriekšējo apgabalu tas dos divus pusintervālus
Piemērs 5. Atrodiet nevienlīdzības risinājumu
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Risinājums:
Dota nestingra nevienādība, kuras apakšmoduļa funkcija ir vienāda ar nulli punktā x=3. Pie mazākām vērtībām tas ir negatīvs, pie lielākām vērtībām tas ir pozitīvs. Mēs paplašinām moduli uz intervāla x<3.
Vienādojuma diskriminanta atrašana
un saknes 
Aizvietojot nulles punktu, uzzinām, ka intervālā [-1/9; 1] kvadrātfunkcija ir negatīva, tāpēc intervāls ir risinājums. Pēc tam atveriet moduli x>3 
moduļa numurs pats šis skaitlis tiek izsaukts, ja tas nav negatīvs, vai tas pats skaitlis ar pretēja zīme ja tas ir negatīvs.
Piemēram, modulis 6 ir 6, un modulis -6 arī ir 6.
Tas ir, skaitļa modulis tiek saprasts kā absolūta vērtība, šī skaitļa absolūtā vērtība, neņemot vērā tā zīmi.
Apzīmēti šādi: |6|, | X|, |a| utt.
(Sīkāku informāciju skatiet sadaļā "Ciparu modulis").
Modulo vienādojumi.
1. piemērs . atrisināt vienādojumu|10 X - 5| = 15.
Risinājums.
Saskaņā ar noteikumu vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai:
10X - 5 = 15
10X - 5 = -15
Mēs nolemjam:
10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10
X = 20: 10
X = -10: 10
X = 2
X = -1
Atbilde: X 1 = 2, X 2 = -1.
2. piemērs . atrisināt vienādojumu|2 X + 1| = X + 2.
Risinājums.
Tā kā modulis ir nenegatīvs skaitlis, tad X+ 2 ≥ 0. Attiecīgi:
X ≥ -2.
Mēs veidojam divus vienādojumus:
2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)
Mēs nolemjam:
2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2
2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1
X = 1
X = -1
Abi skaitļi ir lielāki par -2. Tātad abas ir vienādojuma saknes.
Atbilde: X 1 = -1, X 2 = 1.
3. piemērs
. atrisināt vienādojumu
|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1
Risinājums.
Vienādojumam ir jēga, ja saucējs nav nulle- nozīmē, ja X≠ 1. Ņemsim vērā šo nosacījumu. Mūsu pirmā darbība ir vienkārša - mēs ne tikai atbrīvojamies no frakcijas, bet arī pārveidojam to tā, lai modulis iegūtu tīrākajā formā:
|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),
|X + 3| - 1 = 4X - 4,
|X + 3| = 4X - 4 + 1,
|X + 3| = 4X - 3.
Tagad mums ir tikai izteiksme zem moduļa vienādojuma kreisajā pusē. Uz priekšu.
Skaitļa modulis ir nenegatīvs skaitlis - tas ir, tam jābūt lielākam par nulli vai vienādam ar to. Attiecīgi mēs atrisinām nevienlīdzību:
4X - 3 ≥ 0
4X ≥ 3
X ≥ 3/4
Tādējādi mums ir otrs nosacījums: vienādojuma saknei jābūt vismaz 3/4.
Saskaņā ar likumu mēs sastādām divu vienādojumu kopu un atrisinām tos:
X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)
X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3
X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3
X = 2
X = 0
Mēs saņēmām divas atbildes. Pārbaudīsim, vai tās ir sākotnējā vienādojuma saknes.
Mums bija divi nosacījumi: vienādojuma sakne nevar būt vienāda ar 1, un tai jābūt vismaz 3/4. Tas ir X ≠ 1, X≥ 3/4. Abi šie nosacījumi atbilst tikai vienai no divām saņemtajām atbildēm - skaitlim 2. Tātad tikai tas ir sākotnējā vienādojuma sakne.
Atbilde: X = 2.
Nevienādības ar moduli.
1. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību| X - 3| < 4
Risinājums.
Moduļa noteikums saka:
|a| = a, ja a ≥ 0.
|a| = -a, ja a < 0.
Modulim var būt gan nenegatīvs, gan negatīvs skaitlis. Tātad mums ir jāapsver abi gadījumi: X- 3 ≥ 0 un X - 3 < 0.
1) Kad X- 3 ≥ 0 mūsu sākotnējā nevienādība paliek tāda, kāda tā ir, tikai bez moduļa zīmes:
X - 3 < 4.
2) Kad X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(X - 3) < 4.
Atverot iekavas, mēs iegūstam:
-X + 3 < 4.
Tādējādi no šiem diviem nosacījumiem mēs esam nonākuši pie divu nevienlīdzību sistēmu savienības:
X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4
X - 3 < 0
-X + 3 < 4
Atrisināsim tos:
X ≥ 3
X < 7
X < 3
X > -1
Tātad mūsu atbildē mums ir divu kopu savienība:
3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.
Nosakiet mazāko un lielāko vērtību. Tie ir -1 un 7. Tajā pašā laikā X lielāks par -1, bet mazāks par 7.
Turklāt, X≥ 3. Tādējādi nevienlīdzības risinājums ir visa skaitļu kopa no -1 līdz 7, izņemot šos galējos skaitļus.
Atbilde: -1 < X < 7.
Vai: X ∈ (-1; 7).
Papildinājumi.
1) Ir vienkāršāks un īsāks veids, kā atrisināt mūsu nevienlīdzību - grafiskais. Lai to izdarītu, uzzīmējiet horizontālu asi (1. att.).
Izteiksme | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X uz 3. punktu mazāk nekā četras vienības. Mēs atzīmējam uz ass ciparu 3 un saskaitām 4 dalījumus pa kreisi un pa labi no tā. Kreisajā pusē mēs nonāksim pie punkta -1, labajā pusē - pie 7. Tādējādi punkti X mēs vienkārši redzējām, tos neaprēķinot.
Turklāt atbilstoši nevienlīdzības nosacījumam paši -1 un 7 nav iekļauti atrisinājumu kopā. Tādējādi mēs saņemam atbildi:
1 < X < 7.
2) Bet ir vēl viens risinājums, kas ir vēl vienkāršāks grafiskais veids. Lai to izdarītu, mūsu nevienlīdzība ir jāuzrāda šādā formā:
4 < X - 3 < 4.
Galu galā tas ir tā, kā tas ir saskaņā ar moduļa likumu. Nenegatīvais skaitlis 4 un līdzīgs negatīvais skaitlis -4 ir nevienlīdzības atrisinājuma robežas.
4 + 3 < X < 4 + 3
1 < X < 7.
2. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību| X - 2| ≥ 5
Risinājums.
Šis piemērs būtiski atšķiras no iepriekšējā. Kreisā puse ir lielāka par 5 vai vienāda ar 5. No ģeometriskā viedokļa nevienādības risinājums ir visi skaitļi, kas atrodas 5 vai vairāk vienību attālumā no punkta 2 (2. att.). Grafikā redzams, ka tie visi ir skaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar -3 un lielāki vai vienādi ar 7. Tātad, mēs jau esam saņēmuši atbildi.
Atbilde: -3 ≥ X ≥ 7.
Pa ceļam mēs atrisinām to pašu nevienlīdzību, pārkārtojot brīvo terminu pa kreisi un pa labi ar pretēju zīmi:
5 ≥ X - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2
Atbilde ir tāda pati: -3 ≥ X ≥ 7.
Vai: X ∈ [-3; 7]
Piemērs atrisināts.
3. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0
Risinājums.
Numurs X var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle. Tāpēc mums ir jāņem vērā visi trīs apstākļi. Kā jūs zināt, tie tiek ņemti vērā divās nevienlīdzībās: X≥ 0 un X < 0. При X≥ 0, mēs vienkārši pārrakstām savu sākotnējo nevienādību tādu, kāda tā ir, tikai bez moduļa zīmes:
6x2 - X - 2 ≤ 0.
Tagad par otro gadījumu: ja X < 0. Модулем negatīvs skaitlis ir tas pats skaitlis ar pretēju zīmi. Tas ir, mēs ierakstām skaitli zem moduļa ar pretējo zīmi un atkal atbrīvojamies no moduļa zīmes:
6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.
Iekavu paplašināšana:
6X 2 + X - 2 ≤ 0.
Tādējādi mēs esam saņēmuši divas vienādojumu sistēmas:
6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0
6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0
Mums ir jāatrisina nevienādības sistēmās – tas nozīmē, ka jāatrod divu kvadrātvienādojumu saknes. Lai to izdarītu, mēs pielīdzinām nevienādību kreisās puses nullei.
Sāksim ar pirmo:
6X 2 - X - 2 = 0.
Kā tas tiek atrisināts kvadrātvienādojums- skatiet sadaļu "Četurtārvienādojums". Mēs nekavējoties nosauksim atbildi:
X 1 \u003d -1/2, x 2 = 2/3.
No pirmās nevienādību sistēmas mēs iegūstam, ka sākotnējās nevienlīdzības risinājums ir visa skaitļu kopa no -1/2 līdz 2/3. Mēs rakstām risinājumu savienību X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Tagad atrisināsim otro kvadrātvienādojumu:
6X 2 + X - 2 = 0.
Tās saknes:
X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.
Secinājums: kad X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Apvienosim abas atbildes un iegūstam galīgo atbildi: risinājums ir visa skaitļu kopa no -2/3 līdz 2/3, ieskaitot šos galējos skaitļus.
Atbilde: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.
Vai: X ∈ [-2/3; 2/3].
Šodien, draugi, nebūs puņķu un sentimenta. Tā vietā es jūs bez papildu jautājumiem nosūtīšu cīņā ar vienu no visbriesmīgākajiem pretiniekiem 8.-9.klases algebras kursā.
Jā, jūs visu sapratāt pareizi: mēs runājam par nevienādībām ar moduli. Apskatīsim četrus pamata paņēmienus, ar kuriem jūs iemācīsities atrisināt aptuveni 90% no šīm problēmām. Kā ir ar pārējiem 10%? Nu, mēs par tiem runāsim atsevišķā nodarbībā. :)
Tomēr, pirms analizēju kādus trikus, es vēlētos atgādināt divus faktus, kas jums jau ir jāzina. Pretējā gadījumā jūs riskējat vispār nesaprast šodienas nodarbības materiālu.
Kas jums jau ir jāzina
Kapteinis Evidence it kā norāda, ka, lai atrisinātu nevienlīdzības ar moduli, jums jāzina divas lietas:
- Kā tiek atrisinātas nevienlīdzības?
- Kas ir modulis.
Sāksim ar otro punktu.
Moduļa definīcija
Šeit viss ir vienkārši. Ir divas definīcijas: algebriskā un grafiskā. Sāksim ar algebru:
Definīcija. Skaitļa $x$ modulis ir vai nu pats skaitlis, ja tas nav negatīvs, vai tam pretējs skaitlis, ja sākotnējais $x$ joprojām ir negatīvs.
Tas ir rakstīts šādi:
\[\pa kreisi| x \right|=\left\( \begin (līdzināt) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(līdzināt) \right.\]
runājot vienkārša valoda, modulis ir "skaitlis bez mīnusa". Un tieši šajā dualitātē (kaut kur nekas nav jādara ar sākotnējo numuru, bet kaut kur ir jānoņem kāds mīnuss) un visas grūtības iesācējiem ir.
Ir arī ģeometriskā definīcija. Ir arī noderīgi to zināt, bet mēs uz to atsauksimies tikai sarežģītos un dažos īpašos gadījumos, kad ģeometriskā pieeja ir ērtāka nekā algebriskā (spoileris: ne šodien).
Definīcija. Ļaujiet, lai uz reālās līnijas tiktu atzīmēts punkts $a$. Pēc tam modulis $\left| x-a \right|$ ir attālums no punkta $x$ līdz punktam $a$ šajā taisnē.
Ja zīmējat attēlu, jūs iegūstat kaut ko līdzīgu:
Grafiskā moduļa definīcija Tā vai citādi tā galvenā īpašība uzreiz izriet no moduļa definīcijas: skaitļa modulis vienmēr ir nenegatīva vērtība. Šis fakts būs sarkans pavediens cauri visam mūsu šodienas stāstam.
Nevienādību risinājums. Atstarpes metode
Tagad tiksim galā ar nevienlīdzību. To ir ļoti daudz, bet mūsu uzdevums šobrīd ir spēt atrisināt vismaz vienkāršāko no tiem. Tie, kas tiek reducēti uz lineārām nevienādībām, kā arī uz intervālu metodi.
Man ir divas lielas pamācības par šo tēmu (starp citu, ļoti, ĻOTI noderīgas - iesaku studēt):
- Intervālu metode nevienādībām(īpaši skatieties video);
- Frakcionālās-racionālās nevienādības- ļoti apjomīga nodarbība, bet pēc tās jums vispār nebūs nekādu jautājumu.
Ja jūs to visu zināt, ja frāze "pāriesim no nevienlīdzības uz vienādojumu" nerada neskaidru vēlmi nogalināt sevi pret sienu, tad esat gatavs: laipni lūdzam ellē stundas galvenajā tēmā. :)
1. Formas "Modulis mazāks par funkciju" nevienādības
Šis ir viens no visbiežāk sastopamajiem moduļu uzdevumiem. Ir nepieciešams atrisināt formas nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| f\right| \ltg\]
Jebkas var darboties kā funkcijas $f$ un $g$, taču parasti tie ir polinomi. Šādas nevienlīdzības piemēri:
\[\begin(līdzināt) & \left| 2x+3\pa labi| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(līdzināt)\]
Visi tie tiek atrisināti burtiski vienā rindā saskaņā ar shēmu:
\[\pa kreisi| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(līdzināt) \pa labi.\pa labi)\]
Ir viegli redzēt, ka mēs atbrīvojamies no moduļa, bet tā vietā mēs iegūstam dubultu nevienādību (vai, kas ir tas pats, divu nevienādību sistēmu). Bet šī pāreja ņem vērā pilnīgi visu iespējamās problēmas: ja skaitlis zem moduļa ir pozitīvs, metode darbojas; ja tas ir negatīvs, tas joprojām darbojas; un pat ar visneadekvātāko funkciju $f$ vai $g$ vietā, metode joprojām darbosies.
Protams, rodas jautājums: vai tas nav vieglāk? Diemžēl jūs nevarat. Šī ir visa moduļa būtība.
Bet pietiks ar filozofēšanu. Atrisināsim pāris problēmas:
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| 2x+3\pa labi| \ltx+7\]
Risinājums. Tātad mums ir klasiska nevienlīdzība formā “modulis ir mazāks par” - pat nav ko pārveidot. Mēs strādājam pēc algoritma:
\[\begin(līdzināt) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\pa labi| \lt x+7\Labā bultiņa -\pa kreisi (x+7 \pa labi) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(līdzināt)\]
Nesteidzieties atvērt iekavas, kurām priekšā ir “mīnuss”: ir pilnīgi iespējams, ka steigas dēļ jūs pieļausit aizskarošu kļūdu.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin (līdzināt) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left\( \begin (līdzināt) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left\( \begin(līdzināt) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]
Problēma ir samazināta līdz divām elementārām nevienlīdzībām. Mēs atzīmējam viņu risinājumus paralēlās reālās līnijās:
Daudzu krustojums
Atbilde būs šo kopu krustpunkts.
Atbilde: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Risinājums. Šis uzdevums ir nedaudz grūtāks. Sākumā mēs izolējam moduli, pārvietojot otro terminu pa labi:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \lt -3\left(x+1 \right)\]
Acīmredzot mums atkal ir nevienlīdzība formā “modulis ir mazāks”, tāpēc mēs atbrīvojamies no moduļa saskaņā ar jau zināmo algoritmu:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Tagad uzmanību: kāds teiks, ka esmu mazliet izvirtulis ar visām šīm iekavām. Taču vēlreiz atgādinu, ka mūsu galvenais mērķis ir pareizi atrisināt nevienlīdzību un saņemt atbildi. Vēlāk, kad būsi lieliski apguvis visu, kas ir aprakstīts šajā nodarbībā, vari sevi izkropļot kā gribi: atvērt iekavas, pievienot mīnusus utt.
Un iesākumam mēs vienkārši atbrīvojamies no dubultā mīnusa kreisajā pusē:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]
Tagad atvērsim visas dubultās nevienlīdzības iekavas:
Pāriesim pie dubultās nevienlīdzības. Šoreiz aprēķini būs nopietnāki:
\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]
\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( līdzināt)\right.\]
Abas nevienādības ir kvadrātveida un tiek atrisinātas ar intervāla metodi (tāpēc es saku: ja nezini, kas tas ir, labāk moduļus vēl neuzņemties). Mēs pārejam uz vienādojumu pirmajā nevienādībā:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\beigas(līdzināt)\]
Kā redzat, izvade izrādījās nepilnīgs kvadrātvienādojums, kas tiek atrisināts elementāri. Tagad tiksim galā ar sistēmas otro nevienlīdzību. Tur jāpielieto Vietas teorēma:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\beigas(līdzināt)\]
Iegūtos skaitļus atzīmējam uz divām paralēlām līnijām (atsevišķi pirmajai nevienādībai un atsevišķi otrajai):
Atkal, tā kā mēs risinām nevienādību sistēmu, mūs interesē iekrāsoto kopu krustpunkts: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Šī ir atbilde.
Atbilde: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Es domāju, ka pēc šiem piemēriem risinājuma shēma ir ļoti skaidra:
- Izolējiet moduli, pārvietojot visus pārējos terminus uz nevienlīdzības pretējo pusi. Tādējādi iegūstam formas $\left| nevienādību f\right| \ltg$.
- Atrisiniet šo nevienlīdzību, atbrīvojoties no moduļa, kā aprakstīts iepriekš. Kādā brīdī būs jāpāriet no dubultās nevienlīdzības uz divu neatkarīgu izteiksmju sistēmu, no kurām katru jau var atrisināt atsevišķi.
- Visbeidzot, atliek tikai šķērsot šo divu neatkarīgo izteiksmju atrisinājumus - un tas ir viss, mēs saņemsim galīgo atbildi.
Līdzīgs algoritms pastāv arī nevienādībām nākamais veids kad modulis vairāk funkciju. Tomēr ir pāris nopietnu "bet". Mēs tagad runāsim par šiem "bet".
2. Formas "Modulis ir lielāks par funkciju" nevienādības
Tie izskatās šādi:
\[\pa kreisi| f\right| \gt g\]
Līdzīgs iepriekšējam? Liekas. Neskatoties uz to, šādi uzdevumi tiek risināti pavisam savādāk. Formāli shēma ir šāda:
\[\pa kreisi| f\right| \gt g\Labā bultiņa \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(līdzināt) \right.\]
Citiem vārdiem sakot, mēs aplūkojam divus gadījumus:
- Pirmkārt, mēs vienkārši ignorējam moduli - mēs atrisinām parasto nevienlīdzību;
- Pēc tam mēs atveram moduli ar mīnusa zīmi, un tad mēs reizinām abas nevienādības daļas ar −1 ar zīmi.
Opcijas ir apvienotas kvadrātiekava, t.i. Mums ir divu prasību kombinācija.
Vēlreiz pievērsiet uzmanību: mūsu priekšā ir nevis sistēma, bet gan kopums, tāpēc atbildē kopas ir apvienotas, nevis krustotas. Šis principiāla atšķirība no iepriekšējā punkta!
Kopumā daudziem studentiem ir daudz neskaidrību ar arodbiedrībām un krustojumiem, tāpēc pievērsīsimies šim jautājumam reizi par visām reizēm:
- "∪" ir savienojuma zīme. Faktiski tas ir stilizēts burts "U", kas mums nāca no angliski un ir "Savienības" saīsinājums, t.i. "Asociācijas".
- "∩" ir krustojuma zīme. Šīs švakas ne no kurienes nāca, bet tikai parādījās kā opozīcija "∪".
Lai to būtu vēl vieglāk atcerēties, vienkārši pievienojiet šīm zīmēm kājas, lai izgatavotu brilles (tikai tagad nepārmetiet man narkomānijas un alkoholisma veicināšanu: ja jūs nopietni mācāties šo stundu, tad jūs jau esat narkomāns):
Atšķirība starp krustojumu un kopu savienību Tulkojumā krievu valodā tas nozīmē sekojošo: savienībā (kolekcijā) ir iekļauti elementi no abām kopām, tāpēc ne mazāk par katru no tiem; bet krustpunktā (sistēmā) ietilpst tikai tie elementi, kas ir gan pirmajā kopā, gan otrajā. Tāpēc kopu krustpunkts nekad nav lielāks par avota kopām.
Tātad kļuva skaidrāks? Tas ir lieliski. Pāriesim pie prakses.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\]
Risinājums. Mēs rīkojamies saskaņā ar shēmu:
\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\Labā bultiņa \pa kreisi[ \begin(līdzināt) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(līdzināt) \ taisnība.\]
Mēs atrisinām katru iedzīvotāju nevienlīdzību:
\[\left[ \begin(līdzināt) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left[ \begin(līdzināt) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left[ \begin (līdzināt) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(līdzināt) \right.\]
Mēs atzīmējam katru iegūto kopu skaitļu rindā un pēc tam apvienojam:
Komplektu savienība
Acīmredzot atbilde ir $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Atbilde: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gtx\]
Risinājums. Nu? Nē, viss ir vienādi. Mēs pārejam no nevienādības ar moduli uz divu nevienādību kopu:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\Labā bultiņa \left[ \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]
Mēs atrisinām katru nevienlīdzību. Diemžēl saknes tur nebūs īpaši labas:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\beigas(līdzināt)\]
Otrajā nevienlīdzībā ir arī mazliet spēles:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\beigas(līdzināt)\]
Tagad mums šie skaitļi jāatzīmē uz divām asīm - katrai nevienādībai viena ass. Tomēr punkti ir jāatzīmē pareiza kārtība: kā vairāk numuru, jo tālāk mēs pārvietojam punktu pa labi.
Un šeit mēs gaidām iestatīšanu. Ja viss ir skaidrs ar cipariem $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termiņi pirmā skaitītājā daļskaitlis ir mazāks par otrās skaitītāja vārdiem, tātad arī summa ir mazāka), ar skaitļiem $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ arī nebūs nekādu grūtību (pozitīvs skaitlis acīmredzot vairāk negatīvs), bet ar pēdējo pāris viss nav tik vienkārši. Kurš ir lielāks: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? No atbildes uz šo jautājumu būs atkarīgs punktu izkārtojums uz skaitļu taisnēm un patiesībā arī atbilde.
Tātad salīdzināsim:
\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]
Sakni noslēdzām, saņēmām nenegatīvi skaitļi abās nevienlīdzības pusēs, tāpēc tiesības kvadrātā abas puses:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]
Manuprāt, nav prāta, ka $4\sqrt(13) \gt 3$, tātad $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, beidzot punkti uz asīm tiks sakārtoti šādi:
Neglītu sakņu gadījums
Atgādināšu, ka mēs risinām kopu, tāpēc atbilde būs savienība, nevis ēnoto kopu krustpunkts.
Atbilde: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$
Kā redzat, mūsu shēma lieliski darbojas abiem vienkāršus uzdevumus, un ļoti stingrām. Vienīgā lieta " vājums"Šajā pieejā - jums ir pareizi jāsalīdzina iracionāli skaitļi(un ticiet man: tās nav tikai saknes). Bet salīdzināšanas jautājumiem tiks veltīta atsevišķa (un ļoti nopietna nodarbība). Un mēs ejam tālāk.
3. Nevienlīdzības ar nenegatīvām "astēm"
Tātad mēs nonācām pie interesantākā. Šīs ir formas nevienlīdzības:
\[\pa kreisi| f\right| \gt\left| g\right|\]
Vispārīgi runājot, algoritms, par kuru mēs tagad runāsim, attiecas tikai uz moduli. Tas darbojas visās nevienlīdzībās, kur ir garantētas nenegatīvas izteiksmes kreisajā un labajā pusē:
Ko darīt ar šiem uzdevumiem? Tikai atceries:
Nevienlīdzībās ar nenegatīvām astēm abas puses var pacelt uz jebkuru dabiskais grāds. Papildu ierobežojumu nebūs.
Pirmkārt, mūs interesēs kvadrātošana - tas sadedzina moduļus un saknes:
\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\beigas(līdzināt)\]
Vienkārši nejauciet to ar kvadrāta saknes ņemšanu:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Tika pieļautas neskaitāmas kļūdas, kad students aizmirsa uzstādīt moduli! Bet tas ir pavisam cits stāsts (tie it kā iracionāli vienādojumi), tāpēc tagad tajā neiedziļināsimies. Labāk atrisināsim pāris problēmas:
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Risinājums. Mēs uzreiz pamanām divas lietas:
- Tā ir stingra nevienlīdzība. Punkti uz skaitļu līnijas tiks izspiesti.
- Abas nevienlīdzības puses acīmredzami nav negatīvas (tā ir moduļa īpašība: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Tāpēc mēs varam kvadrātizēt abas nevienādības puses, lai atbrīvotos no moduļa un atrisinātu problēmu, izmantojot parasto intervāla metodi:
\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\beigas(līdzināt)\]
Pēdējā solī es nedaudz krāpjos: mainīju terminu secību, izmantojot moduļa paritāti (faktiski izteiksmi $1-2x$ reizināju ar −1).
\[\begin(līdzināt) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \) pa labi)\labie)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]
Atrisinām ar intervāla metodi. Pārejam no nevienlīdzības uz vienādojumu:
\[\begin(līdzināt) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\beigas(līdzināt)\]
Atrastās saknes atzīmējam uz skaitļu līnijas. Vēlreiz: visi punkti ir noēnoti, jo sākotnējā nevienlīdzība nav stingra!
Atbrīvošanās no moduļa zīmes
Atgādināšu īpaši spītīgajiem: mēs ņemam zīmes no pēdējās nevienlīdzības, kas tika pierakstīta pirms pāriešanas uz vienādojumu. Un mēs krāsojam tajā pašā nevienlīdzībā nepieciešamās platības. Mūsu gadījumā tas ir $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Labi, tagad viss ir beidzies. Problēma atrisināta.
Atbilde: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Risinājums. Mēs visu darām tāpat. Es nekomentēšu - paskatieties uz darbību secību.
Izlīdzināsim kvadrātā:
\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \labais| \labais))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \pa labi))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ pa labi))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]
Atstarpes metode:
\[\begin(līdzināt) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Labā bultiņa x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\beigas(līdzināt)\]
Skaitļa rindā ir tikai viena sakne:
Atbilde ir vesela virkne
Atbilde: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Neliela piezīme par pēdējo uzdevumu. Kā precīzi atzīmēja viens no maniem studentiem, abas apakšmoduļu izteiksmes šajā nevienlīdzībā ir acīmredzami pozitīvas, tāpēc moduļa zīmi var izlaist, nekaitējot veselībai.
Bet tas jau ir pavisam cits domāšanas līmenis un cita pieeja – to nosacīti var saukt par seku metodi. Par viņu - atsevišķā nodarbībā. Un tagad pāriesim uz šodienas nodarbības pēdējo daļu un apsvērsim universālu algoritmu, kas vienmēr darbojas. Pat tad, kad visas iepriekšējās pieejas bija bezspēcīgas. :)
4. Opciju uzskaitīšanas metode
Ko darīt, ja visi šie triki nedarbojas? Ja nevienlīdzība nesamazinās līdz nenegatīvām astēm, ja nav iespējams izolēt moduli, ja vispār sāpes-skumjas-ilgas?
Tad uz skatuves ienāk visas matemātikas “smagā artilērija” - uzskaites metode. Attiecībā uz nevienādībām ar moduli tas izskatās šādi:
- Izrakstiet visas apakšmoduļu izteiksmes un pielīdziniet tās nullei;
- Atrisiniet iegūtos vienādojumus un atzīmējiet atrastās saknes uz vienas skaitļa līnijas;
- Taisne tiks sadalīta vairākās sekcijās, kuru ietvaros katram modulim ir fiksēta zīme un tāpēc viennozīmīgi paplašinās;
- Atrisiniet nevienlīdzību katrā šādā sadaļā (var atsevišķi ņemt vērā 2. punktā iegūtās robežsaknes - uzticamības labad). Apvienojiet rezultātus - šī būs atbilde. :)
Nu kā? Vāji? Viegli! Tikai uz ilgu laiku. Apskatīsim praksē:
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| x+2 \right| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3) (2)\]
Risinājums. Šīs muļķības nenotiek līdz tādai nevienlīdzībai kā $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vai $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, tāpēc turpināsim.
Mēs izrakstām apakšmoduļu izteiksmes, pielīdzinām tās nullei un atrodam saknes:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightrow x=-2; \\ & x-1=0\Labā bultiņa x=1. \\\beigas(līdzināt)\]
Kopumā mums ir divas saknes, kas sadala skaitļa līniju trīs daļās, kurās katrs modulis tiek atklāts unikāli:
Skaitļa līnijas sadalīšana ar submodulāru funkciju nullēm
Apskatīsim katru sadaļu atsevišķi.
1. Ļaujiet $x \lt -2 $. Tad abas apakšmoduļa izteiksmes ir negatīvas, un sākotnējā nevienādība tiek pārrakstīta šādi:
\[\begin(līdzināt) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt)\]
Mēs saņēmām diezgan vienkāršu ierobežojumu. Krustosim to ar sākotnējo pieņēmumu, ka $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(līdzināt) \right.\Rightrow x\in \varnothing \]
Acīmredzot mainīgais $x$ nevar vienlaikus būt mazāks par −2, bet lielāks par 1,5. Risinājumu šajā jomā nav.
1.1. Atsevišķi aplūkosim robežgadījumu: $x=-2$. Vienkārši aizstāsim šo skaitli ar sākotnējo nevienlīdzību un pārbaudīsim: vai tas ir spēkā?
\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \labais|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigas(līdzināt)\]
Acīmredzot aprēķinu ķēde mūs ir novedusi pie nepareizas nevienlīdzības. Tāpēc arī sākotnējā nevienādība ir nepatiesa, un atbildē nav iekļauta $x=-2$.
2. Tagad ļaujiet $-2 \lt x \lt 1 $. Kreisais modulis jau atvērsies ar "plusu", bet labais joprojām ir ar "mīnusu". Mums ir:
\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(līdzināt)\]
Atkal mēs krustojamies ar sākotnējo prasību:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(līdzināt) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Un atkal tukšā risinājumu kopa, jo nav skaitļu, kas būtu gan mazāki par –2,5, gan lielāki par –2.
2.1. Un atkal īpašs gadījums: $x=1$. Mēs aizstājam sākotnējo nevienlīdzību:
\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\pa labi| \lt\left| 0 \labie|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigas(līdzināt)\]
Līdzīgi kā iepriekšējā "īpašā gadījuma" atbildē nepārprotami nav iekļauts skaitlis $x=1$.
3. Pēdējais rindas fragments: $x \gt 1$. Šeit visi moduļi tiek paplašināti ar plus zīmi:
\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(līdzināt)\ ]
Un atkal mēs krustojam atrasto kopu ar sākotnējo ierobežojumu:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(līdzināt) \right.\Rightbultiņa x\in \left(4,5;+\infty \taisnība)\]
Beidzot! Mēs esam atraduši intervālu, kas būs atbilde.
Atbilde: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Visbeidzot, viena piezīme, kas var pasargāt jūs no muļķīgām kļūdām, risinot reālas problēmas:
Nevienādību risinājumi ar moduļiem parasti ir nepārtrauktas kopas uz skaitļu līnijas - intervāli un segmenti. Izolēti punkti ir daudz retāk. Un vēl retāk gadās, ka risinājuma robežas (segmenta beigas) sakrīt ar aplūkojamā diapazona robežu.
Līdz ar to, ja atbildē nav iekļautas robežas (tie paši “īpašie gadījumi”), tad arī laukumi pa kreisi-pa labi no šīm robežām atbildē gandrīz noteikti netiks iekļauti. Un otrādi: robeža ienāca kā atbilde, kas nozīmē, ka daži apgabali ap to arī būs atbildes.
Paturiet to prātā, pārbaudot risinājumus.