Šajā rakstā ir sniegtas atbildes uz jautājumu par skaitļa faktorināciju uz lapas. Apsvērsim vispārēja ideja par sadalīšanos ar piemēriem. Analizēsim paplašināšanas kanonisko formu un tās algoritmu. Visi tiks izskatīti alternatīvi veidi izmantojot dalāmības zīmes un reizināšanas tabulas.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ko nozīmē skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros?
Apskatīsim koncepciju galvenie faktori. Ir zināms, ka katrs pirmfaktors ir pirmskaitlis. Produktā formā 2 · 7 · 7 · 23 mums ir 4 pirmfaktori formā 2, 7, 7, 23.
Faktorizācija ietver tās attēlošanu pirmskaitļu reizinājumu veidā. Ja mums ir jāsadala skaitlis 30, tad mēs iegūstam 2, 3, 5. Ieraksts būs 30 = 2 · 3 · 5. Iespējams, reizinātāji var tikt atkārtoti. Tādam skaitlim kā 144 ir 144 = 2 2 2 2 3 3.
Ne visiem skaitļiem ir tendence samazināties. Skaitļus, kas ir lielāki par 1 un ir veseli skaitļi, var faktorizēt. Pirmskaitļi, ja tos aprēķina, dalās tikai ar 1 un paši par sevi, tāpēc šos skaitļus nav iespējams attēlot kā reizinājumu.
Ja z attiecas uz veseliem skaitļiem, tas tiek attēlots kā a un b reizinājums, kur z dala ar a un b. Saliktos skaitļus aprēķina, izmantojot aritmētikas pamatteorēmu. Ja skaitlis ir lielāks par 1, tad tā faktorizācija p 1, p 2, ..., p n iegūst formu a = p 1 , p 2 , … , p n . Tiek pieņemts, ka sadalīšanās notiek vienā variantā.
Kanoniskā skaitļa faktorizācija pirmfaktoros
Paplašināšanās laikā faktori var atkārtoties. Tie ir rakstīti kompakti, izmantojot grādus. Ja, sadalot skaitli a, mums ir koeficients p 1, kas notiek s 1 reizes un tā tālāk p n – s n reizes. Tādējādi paplašināšana iegūs formu a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Šo ierakstu sauc par skaitļa kanonisko faktorizāciju primārajos faktoros.
Paplašinot skaitli 609840, iegūstam, ka 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, tā kanoniskā forma būs 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Izmantojot kanonisko izvēršanu, jūs varat atrast visus skaitļa dalītājus un to skaitu.
Lai pareizi faktorizētu, jums ir jāsaprot pirmskaitļi un saliktie skaitļi. Mērķis ir iegūt secīgu skaitu dalītāju formā p 1, p 2, ..., p n cipariem a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, tas ļauj iegūt a = p 1 a 1, kur a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , kur a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , kur a n = a n - 1: p n. Saņemot a n = 1, tad vienlīdzība a = p 1 · p 2 · … · p n iegūstam nepieciešamo skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros. ievērojiet, tas p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.
Lai atrastu mazāko kopīgie dalītāji jums ir jāizmanto pirmskaitļu tabula. Tas tiek darīts, izmantojot piemēru, kā atrast skaitļa z mazāko primāro dalītāju. Ņemot pirmskaitļus 2, 3, 5, 11 un tā tālāk un dalot ar tiem skaitli z. Tā kā z nav pirmskaitlis, jāņem vērā, ka mazākais pirmdalītājs nebūs lielāks par z. Var redzēt, ka z dalītāju nav, tad ir skaidrs, ka z ir pirmskaitlis.
1. piemērs
Apskatīsim skaitļa 87 piemēru. Ja to dala ar 2, mums ir 87: 2 = 43 ar atlikumu 1. No tā izriet, ka 2 nevar būt dalītājs; dalīšana ir jāveic pilnībā. Dalot ar 3, iegūstam 87: 3 = 29. Tādējādi tiek secināts, ka 3 ir mazākais skaitļa 87 pirmdalītājs.
Ieskaitot pirmskaitļus, jāizmanto pirmskaitļu tabula, kur a. Faktorējot 95, jums vajadzētu izmantot apmēram 10 pirmskaitļus, bet, veicot faktoru 846653, apmēram 1000.
Apskatīsim sadalīšanas algoritmu galvenajos faktoros:
- skaitļa dalītāja p 1 mazākā koeficienta atrašana a pēc formulas a 1 = a: p 1, ja a 1 = 1, tad a ir pirmskaitlis un ir iekļauts faktorizācijā, ja nav vienāds ar 1, tad a = p 1 · a 1 un sekojiet tālāk norādītajam punktam;
- skaitļa a 1 pirmdalītāja p 2 atrašana secīgi uzskaitot pirmskaitļus, izmantojot a 2 = a 1: p 2 , kad a 2 = 1 , tad izplešanās būs a = p 1 p 2 formā , kad a 2 = 1, tad a = p 1 p 2 a 2 , un mēs pārietam uz nākamo soli;
- meklēt starp pirmskaitļiem un atrast pirmskaitļu dalītāju 3. lpp cipariem a 2 saskaņā ar formulu a 3 = a 2: p 3, kad a 3 = 1 , tad mēs iegūstam, ka a = p 1 p 2 p 3 , ja nav vienāds ar 1, tad a = p 1 p 2 p 3 a 3 un pāriet uz nākamo soli;
- tiek atrasts galvenais dalītājs p n cipariem a n-1 uzskaitot pirmskaitļus ar pn - 1, un a n = a n - 1: p n, kur a n = 1, solis ir galīgs, kā rezultātā iegūstam, ka a = p 1 · p 2 · … · p n .
Algoritma rezultāts tiek ierakstīts tabulas veidā ar sadalītajiem faktoriem ar vertikālu joslu secīgi kolonnā. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.
Iegūto algoritmu var pielietot, sadalot skaitļus pirmfaktoros.
Ieskaitot galvenos faktorus, ir jāievēro pamata algoritms.
2. piemērs
Reiģējiet skaitli 78 primārajos faktoros.
Risinājums
Lai atrastu mazāko pirmskaitļu dalītāju, jums ir jāiet cauri visiem pirmskaitļiem 78. Tas ir 78: 2 = 39. Dalīšana bez atlikuma nozīmē, ka šis ir pirmais vienkāršais dalītājs, ko mēs apzīmējam kā p 1. Mēs iegūstam, ka a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Mēs nonācām pie formas a = p 1 · a 1 vienādības , kur 78 = 2 39. Tad a 1 = 39, tas ir, mums vajadzētu pāriet uz nākamo soli.
Koncentrēsimies uz galvenā dalītāja atrašanu p2 cipariem a 1 = 39. Jums vajadzētu iziet cauri pirmskaitļiem, tas ir, 39: 2 = 19 (atlikušais 1). Tā kā dalīšana ar atlikumu, 2 nav dalītājs. Izvēloties skaitli 3, mēs iegūstam, ka 39: 3 = 13. Tas nozīmē, ka p 2 = 3 ir skaitļa 39 mazākais primārais dalītājs ar a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Mēs iegūstam formas vienādību a = p 1 p 2 a 2 formā 78 = 2 3 13. Mums ir, ka a 2 = 13 nav vienāds ar 1, tad mums vajadzētu virzīties tālāk.
Skaitļa a 2 = 13 mazākais pirmdalītājs tiek atrasts, meklējot skaitļus, sākot ar 3. Mēs iegūstam, ka 13: 3 = 4 (atlikušais 1). No tā mēs varam redzēt, ka 13 nedalās ar 5, 7, 11, jo 13: 5 = 2 (3. pārējais), 13: 7 = 1 (6. pārējais) un 13: 11 = 1 (2. pārējais) . Var redzēt, ka 13 ir pirmskaitlis. Saskaņā ar formulu tas izskatās šādi: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Mēs noskaidrojām, ka a 3 = 1, kas nozīmē algoritma pabeigšanu. Tagad faktorus raksta kā 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .
Atbilde: 78 = 2 3 13.
3. piemērs
Reiģējiet skaitli 83 006 primārajos faktoros.
Risinājums
Pirmais solis ietver faktoringu p 1 = 2 Un a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, kur 83 006 = 2 · 41 503.
Otrajā solī tiek pieņemts, ka 2, 3 un 5 nav skaitļa a 1 = 41 503 pirmskaitļi, bet 7 ir galvenais dalītājs, jo 41 503: 7 = 5 929. Mēs iegūstam, ka p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Acīmredzot 83 006 = 2 7 5929.
P 4 mazākā pirmskaitļa dalītāja atrašana ar skaitli a 3 = 847 ir 7. Var redzēt, ka a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, tātad 83 006 = 2 7 7 7 121.
Lai atrastu skaitļa a 4 = 121 pirmdalītāju, mēs izmantojam skaitli 11, tas ir, p 5 = 11. Tad mēs iegūstam formas izteiksmi a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, un 83 006 = 2 7 7 7 11 11.
Par numuru a 5 = 11 numuru 6. lpp. = 11 ir mazākais primārais dalītājs. Tādējādi a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Tad 6 = 1. Tas norāda uz algoritma pabeigšanu. Faktori tiks uzrakstīti kā 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.
Atbildes kanoniskais apzīmējums būs 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.
Atbilde: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.
4. piemērs
Koeficients skaitlis 897 924 289.
Risinājums
Lai atrastu pirmo primāro koeficientu, meklējiet starp pirmskaitļiem, sākot ar 2. Meklēšana beidzas pie numura 937. Tad p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 un 897 924 289 = 937 958 297.
Otrais algoritma solis ir atkārtot mazākus pirmskaitļus. Tas ir, mēs sākam ar numuru 937. Skaitli 967 var uzskatīt par pirmskaitļu, jo tas ir skaitļa a 1 = 958 297 pirmdalītājs. No šejienes mēs iegūstam, ka p 2 = 967, tad a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 un 897 924 289 = 937 967 991.
Trešais solis saka, ka 991 ir pirmskaitlis, jo tam nav neviena pirmfaktora, kas nepārsniedz 991. Radikālās izteiksmes aptuvenā vērtība ir 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Tas parāda, ka p 3 = 991 un a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Mēs atklājam, ka skaitļa 897 924 289 sadalīšana primārajos faktoros tiek iegūta kā 897 924 289 = 937 967 991.
Atbilde: 897 924 289 = 937 967 991.
Dalāmības testu izmantošana pirmfaktorizēšanai
Lai ieskaitītu skaitli galvenajos faktoros, jums jāievēro algoritms. Ja ir mazi skaitļi, ir atļauts izmantot reizināšanas tabulu un dalāmības zīmes. Apskatīsim to ar piemēriem.
5. piemērs
Ja ir nepieciešams koeficientu 10, tad tabulā parādīts: 2 · 5 = 10. Iegūtie skaitļi 2 un 5 ir pirmskaitļi, tāpēc tie ir skaitļa 10 pirmskaitļi.
6. piemērs
Ja ir nepieciešams sadalīt skaitli 48, tad tabulā parādīts: 48 = 6 8. Bet 6 un 8 nav galvenie faktori, jo tos var arī paplašināt kā 6 = 2 3 un 8 = 2 4. Tad pilnu izplešanos no šejienes iegūst kā 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Kanoniskais apzīmējums būs 48 = 2 4 · 3.
7. piemērs
Sadalot skaitli 3400, var izmantot dalāmības zīmes. Šajā gadījumā ir svarīgas dalāmības zīmes ar 10 un 100. No šejienes mēs iegūstam, ka 3400 = 34 · 100, kur 100 var dalīt ar 10, tas ir, rakstīts kā 100 = 10 · 10, kas nozīmē, ka 3400 = 34 · 10 · 10. Pamatojoties uz dalāmības testu, mēs atklājam, ka 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Visi faktori ir galvenie. Kanoniskā izvēršana iegūst formu 3 400 = 2 3 5 217.
Kad mēs atrodam galvenos faktorus, mums ir jāizmanto dalāmības testi un reizināšanas tabulas. Ja jūs iedomājaties skaitli 75 kā faktoru reizinājumu, tad jums jāņem vērā dalīšanas ar 5 noteikums. Mēs iegūstam, ka 75 = 5 15 un 15 = 3 5. Tas ir, vēlamais paplašinājums ir produkta 75 = 5 · 3 · 5 formas piemērs.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Šajā rakstā jūs atradīsit visu nepieciešamo informāciju atbildot uz jautājumu kā skaitļus ieskaitīt primārajos faktoros. Pirmkārt, tiek sniegts vispārējs priekšstats par skaitļa sadalīšanos galvenajos faktoros un sniegti sadalīšanas piemēri. Tālāk ir parādīta kanoniskā forma skaitļa sadalīšanai primārajos faktoros. Pēc tam tiek dots algoritms patvaļīgu skaitļu sadalīšanai pirmfaktoros un doti skaitļu sadalīšanas piemēri, izmantojot šo algoritmu. Tiek apsvērtas arī alternatīvas metodes, kas ļauj ātri faktorēt mazus veselus skaitļus primārajos faktoros, izmantojot dalāmības testus un reizināšanas tabulas.
Lapas navigācija.
Ko nozīmē skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros?
Vispirms apskatīsim, kas ir galvenie faktori.
Ir skaidrs, ka, tā kā šajā frāzē ir vārds “faktori”, tad ir dažu skaitļu reizinājums, un kvalificējošais vārds “vienkāršs” nozīmē, ka katrs faktors ir pirmskaitlis. Piemēram, reizinājumam, kura forma ir 2·7·7·23, ir četri galvenie koeficienti: 2, 7, 7 un 23.
Ko nozīmē skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros?
Tas nozīmē, ka dotais numurs ir jāattēlo kā primāro faktoru reizinājums, un šī reizinājuma vērtībai ir jābūt vienādai ar sākotnējo skaitli. Kā piemēru ņemsim trīs pirmskaitļu 2, 3 un 5 reizinājumu, kas ir vienāds ar 30, tādējādi skaitļa 30 sadalīšana pirmskaitļos ir 2·3·5. Parasti skaitļa sadalīšanu pirmfaktoros raksta kā vienādību, mūsu piemērā tas būs šādi: 30=2·3·5. Atsevišķi uzsveram, ka paplašināšanas galvenie faktori var atkārtoties. To skaidri ilustrē šāds piemērs: 144=2·2·2·2·3·3. Taču formas 45=3·15 attēlojums nav sadalīšana pirmfaktoros, jo skaitlis 15 ir salikts skaitlis.
Rodas šāds jautājums: "Kādus skaitļus var sadalīt primārajos faktoros?"
Meklējot atbildi uz to, mēs sniedzam šādu argumentāciju. Pirmskaitļi pēc definīcijas ir starp tiem, kas ir lielāki par vienu. Ņemot vērā šo faktu un , var apgalvot, ka vairāku galveno faktoru reizinājums ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir lielāks par vienu. Tāpēc faktorizācija primārajos faktoros notiek tikai pozitīviem veseliem skaitļiem, kas ir lielāki par 1.
Bet vai visus veselus skaitļus, kas ir lielāki par vienu, var iekļaut galvenajos faktoros?
Ir skaidrs, ka vienkāršus veselus skaitļus nav iespējams iekļaut primārajos faktoros. Tas izskaidrojams ar to, ka pirmskaitļiem ir tikai divi pozitīvi dalītāji – viens un pats, tāpēc tos nevar attēlot kā reizinājumu no diviem vai vairāk pirmskaitļi. Ja veselu skaitli z varētu attēlot kā pirmskaitļu a un b reizinājumu, tad dalāmības jēdziens ļautu secināt, ka z dalās gan ar a, gan ar b, kas nav iespējams skaitļa z vienkāršības dēļ. Tomēr viņi uzskata, ka jebkurš pirmskaitlis pats par sevi ir dekompozīcija.
Kā ar saliktajiem skaitļiem? Vai saliktie skaitļi tiek sadalīti pirmfaktoros un vai visi saliktie skaitļi ir pakļauti šādai sadalīšanai? Aritmētikas pamatteorēma sniedz apstiprinošu atbildi uz vairākiem šiem jautājumiem. Aritmētikas pamatteorēma nosaka, ka jebkurš vesels skaitlis a, kas ir lielāks par 1, var tikt sadalīts pirmfaktoru p 1, p 2, ..., p n reizinājumā, un sadalīšanai ir forma a = p 1 · p 2 · … · p n, un šis paplašinājums ir unikāls, ja neņem vērā faktoru secību
Kanoniskā skaitļa faktorizācija pirmfaktoros
Skaitļa paplašināšanā var atkārtoties pirmfaktori. Atkārtotus pirmkoeficientus var uzrakstīt kompaktāk, izmantojot . Pieņemsim, ka skaitļa sadalīšanā pirmfaktors p 1 notiek s 1 reizes, pirmfaktors p 2 – s 2 reizes un tā tālāk, p n – s n reizes. Tad skaitļa a primāro faktorizāciju var uzrakstīt kā a=p 1 s 1 · p 2 s 2 ·… · p n s n. Šis ierakstīšanas veids ir tā sauktais skaitļa kanoniskā faktorizācija pirmfaktoros.
Sniegsim piemēru skaitļa kanoniskajai sadalīšanai pirmfaktoros. Pastāstiet mums par sadalīšanos 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, tā kanoniskajam apzīmējumam ir forma 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
Skaitļa kanoniskā faktorizācija pirmfaktoros ļauj atrast visus skaitļa dalītājus un skaitļa dalītāju skaitu.
Algoritms skaitļa iekļaušanai primārajos faktoros
Lai veiksmīgi tiktu galā ar uzdevumu sadalīt skaitli pirmskaitļos, jums ir ļoti labi jāpārzina informācija rakstā pirmskaitļos un saliktajos skaitļos.
Pozitīva vesela skaitļa a, kas pārsniedz vienu, sadalīšanas procesa būtība ir skaidra no aritmētikas pamatteorēmas pierādījuma. Mērķis ir secīgi atrast skaitļu a, a 1, a 2, ..., a n-1 mazākos pirmskaitļa dalītājus p 1, p 2, ..., p n, kas ļauj iegūt vienādību virkni. a=p 1 ·a 1, kur a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, kur a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , kur a n =a n-1:p n . Ja izrādās a n =1, tad vienādība a=p 1 ·p 2 ·…·p n dos mums vēlamo skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros. Te arī jāatzīmē, ka p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.
Atliek izdomāt, kā katrā solī atrast mazākos primāros faktorus, un mums būs algoritms skaitļa sadalīšanai primārajos faktoros. Pirmskaitļu tabula palīdzēs mums atrast pirmskaitļus. Parādīsim, kā to izmantot, lai iegūtu mazāko skaitļa z pirmdalītāju.
No pirmskaitļu tabulas secīgi ņemam pirmskaitļus (2, 3, 5, 7, 11 un tā tālāk) un dalām ar tiem doto skaitli z. Pirmais pirmskaitlis, ar kuru z ir vienmērīgi dalīts, būs tā mazākais pirmskaitlis. Ja skaitlis z ir pirmskaitlis, tad tā mazākais pirmskaitļa dalītājs būs pats skaitlis z. Šeit jāatgādina, ka, ja z nav pirmskaitlis, tad tā mazākais pirmskaitlis nepārsniedz skaitli , kur ir no z. Tātad, ja starp pirmskaitļiem, kas nepārsniedz , nebija neviena skaitļa z dalītāja, tad varam secināt, ka z ir pirmskaitlis (vairāk par to rakstīts teorijas sadaļā zem virsraksta Šis skaitlis ir pirmskaitlis jeb salikts ).
Kā piemēru mēs parādīsim, kā atrast skaitļa 87 mazāko pirmreizējo dalītāju. Ņemsim skaitli 2. Sadaliet 87 ar 2, iegūstam 87:2=43 (paliek 1) (ja nepieciešams, skatiet rakstu). Tas ir, dalot 87 ar 2, atlikums ir 1, tāpēc 2 nav skaitļa 87 dalītājs. Mēs ņemam nākamo pirmskaitli no pirmskaitļu tabulas, tas ir skaitlis 3. Sadaliet 87 ar 3, iegūstam 87:3=29. Tādējādi 87 dalās ar 3, tāpēc skaitlis 3 ir skaitļa 87 mazākais pirmreizējais dalītājs.
Ņemiet vērā, ka vispārīgā gadījumā, lai ieskaitītu skaitli a pirmfaktoros, mums ir nepieciešama pirmskaitļu tabula līdz skaitlim, kas nav mazāks par . Mums būs jāatsaucas uz šo tabulu ik uz soļa, tāpēc mums tai ir jābūt pie rokas. Piemēram, lai skaitli 95 faktorizētu pirmskaitļos, mums būs nepieciešama tikai pirmskaitļu tabula līdz 10 (jo 10 ir lielāks par ). Un, lai sadalītu skaitli 846 653, jums jau būs nepieciešama pirmskaitļu tabula līdz 1000 (jo 1000 ir lielāks par ).
Tagad mums ir pietiekami daudz informācijas, ko pierakstīt algoritms skaitļa iekļaušanai primārajos faktoros. Skaitļa a sadalīšanas algoritms ir šāds:
- Secīgi šķirojot skaitļus no pirmskaitļu tabulas, atrodam skaitļa a mazāko pirmskaitļa dalītāju p 1, pēc kura aprēķinām 1 =a:p 1. Ja a 1 =1, tad skaitlis a ir pirmizrāde, un tas pats par sevi ir tā sadalīšanās pirmfaktoros. Ja a 1 nav vienāds ar 1, tad mums ir a=p 1 ·a 1 un pāriet uz nākamo soli.
- Mēs atrodam skaitļa a 1 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 2, lai to izdarītu, mēs secīgi šķirojam skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 1 , un tad aprēķinām a 2 =a 1:p 2 . Ja a 2 =1, tad nepieciešamajam skaitļa a sadalījumam pirmfaktoros ir forma a=p 1 ·p 2. Ja a 2 nav vienāds ar 1, tad mums ir a=p 1 ·p 2 ·a 2 un pāriet uz nākamo soli.
- Pārejot cauri skaitļiem no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 2, atrodam skaitļa a 2 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 3, pēc kura aprēķinām a 3 =a 2:p 3. Ja a 3 =1, tad nepieciešamajam skaitļa a sadalījumam pirmfaktoros ir forma a=p 1 ·p 2 ·p 3. Ja 3 nav vienāds ar 1, tad mums ir a=p 1 · p 2 · p 3 · a 3 un pāriet uz nākamo soli.
- Mēs atrodam skaitļa a n-1 mazāko pirmskaitļu dalītāju p n, šķirojot pirmskaitļus, sākot ar p n-1, kā arī a n =a n-1:p n, un a n ir vienāds ar 1. Šis solis ir algoritma pēdējais solis, šeit iegūstam nepieciešamo skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.
Skaidrības labad visi rezultāti, kas iegūti katrā algoritma solī skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros, ir parādīti šādas tabulas veidā, kurā skaitļi a, a 1, a 2, ..., a n ir ierakstīti secīgi. kolonnā pa kreisi no vertikālās līnijas un pa labi no līnijas - attiecīgie mazākie pirmskaitļa dalītāji p 1, p 2, ..., p n.
Atliek tikai apsvērt dažus piemērus par iegūtā algoritma pielietojumu skaitļu sadalīšanai pirmfaktoros.
Galvenās faktorizācijas piemēri
Tagad mēs to aplūkosim sīkāk piemēri skaitļu iekļaušanai pirmfaktoros. Veicot sadalīšanu, mēs izmantosim iepriekšējās rindkopas algoritmu. Sāksim ar vienkāršiem gadījumiem un pakāpeniski tos sarežģīsim, lai sastaptos ar visām iespējamām niansēm, kas rodas, sadalot skaitļus pirmfaktoros.
Piemērs.
Sadaliet skaitli 78 tā galvenajos faktoros.
Risinājums.
Sākam skaitļa a=78 pirmā mazākā pirmskaitļa dalītāja p 1 meklēšanu. Lai to izdarītu, mēs sākam secīgi kārtot pirmskaitļus no pirmskaitļu tabulas. Ņemam skaitli 2 un sadalām ar to 78, iegūstam 78:2=39. Skaitlis 78 tiek dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc p 1 =2 ir pirmais atrastais skaitļa 78 pirmdalītājs. Šajā gadījumā a 1 =a:p 1 =78:2=39. Tātad mēs nonākam pie vienādības a=p 1 ·a 1, kuras forma ir 78=2·39. Acīmredzot 1 = 39 atšķiras no 1, tāpēc mēs pārejam uz algoritma otro soli.
Tagad mēs meklējam skaitļa a 1 =39 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 2. Sākam uzskaitīt skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 1 =2. Sadaliet 39 ar 2, iegūstam 39:2=19 (paliek 1). Tā kā 39 nedalās vienmērīgi ar 2, tad 2 nav tā dalītājs. Tad ņemam nākamais numurs no pirmskaitļu tabulas (skaitlis 3) un dalot ar to 39, iegūstam 39:3=13. Tāpēc p 2 =3 ir skaitļa 39 mazākais pirmskaitļa dalītājs, savukārt a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Mums ir vienādība a=p 1 · p 2 · a 2 formā 78=2 · 3 · 13. Tā kā 2 = 13 atšķiras no 1, mēs pārejam pie nākamā algoritma darbības.
Šeit jāatrod skaitļa a 2 =13 mazākais pirmskaitļa dalītājs. Meklējot skaitļa 13 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 3, mēs secīgi šķirosim skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 2 =3. Skaitlis 13 nedalās ar 3, jo 13:3=4 (1. pārējais), arī 13 nedalās ar 5, 7 un 11, jo 13:5=2 (3. pārējais), 13:7=1 (6. atpūta) un 13:11=1 (2. atpūta). Nākamais pirmskaitlis ir 13, un 13 dalās ar to bez atlikuma, tāpēc mazākais pirmskaitlis p 3 no 13 ir pats skaitlis 13, un a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Tā kā a 3 =1, tad šis algoritma solis ir pēdējais, un nepieciešamajai skaitļa 78 sadalīšanai pirmfaktoros ir forma 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
Atbilde:
78=2·3·13.
Piemērs.
Izsakiet skaitli 83 006 kā galveno faktoru reizinājumu.
Risinājums.
Pirmajā algoritma solī skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros atrodam p 1 =2 un a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, no kuriem 83,006=2·41,503.
Otrajā solī mēs noskaidrojam, ka 2, 3 un 5 nav skaitļa a 1 =41 503 pirmdalītāji, bet skaitlis 7 ir, jo 41 503: 7 = 5 929. Mums ir p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Tādējādi 83 006 = 2 7 5 929.
Skaitļa a 2 =5 929 mazākais pirmreizējais dalītājs ir skaitlis 7, jo 5 929:7 = 847. Tādējādi p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, no kura 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847.
Tālāk mēs atklājam, ka skaitļa a 3 =847 mazākais pirmreizējais dalītājs p 4 ir vienāds ar 7. Tad a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, tātad 83 006=2·7·7·7·121.
Tagad atrodam skaitļa a 4 =121 mazāko pirmskaitļa dalītāju, tas ir skaitlis p 5 =11 (jo 121 dalās ar 11 un nedalās ar 7). Tad a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 un 83 006 = 2·7·7·7·11·11.
Visbeidzot, skaitļa a 5 =11 mazākais pirmskaitļa dalītājs ir skaitlis p 6 =11. Tad a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Tā kā 6 =1, šis algoritma solis skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros ir pēdējais, un vēlamajam sadalījumam ir forma 83 006 = 2·7·7·7·11·11.
Iegūto rezultātu var uzrakstīt kā skaitļa kanonisko sadalīšanos pirmfaktoros 83 006 = 2·7 3 ·11 2.
Atbilde:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ir pirmskaitlis. Patiešām, tam nav neviena pirmdalītāja, kas nepārsniedz ( var aptuveni novērtēt kā , jo ir acīmredzams, ka 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Atbilde:
897 924 289 = 937 967 991 .
Dalāmības testu izmantošana pirmfaktorizēšanai
Vienkāršos gadījumos skaitli var sadalīt galvenajos faktoros, neizmantojot sadalīšanas algoritmu no šī raksta pirmās daļas. Ja skaitļi nav lieli, tad, lai tos sadalītu pirmfaktoros, bieži vien pietiek zināt dalāmības zīmes. Skaidrības labad sniegsim piemērus.
Piemēram, mums ir jāiekļauj skaitlis 10 galvenajos faktoros. No reizināšanas tabulas mēs zinām, ka 2 · 5 = 10, un skaitļi 2 un 5 acīmredzami ir pirmskaitļi, tāpēc skaitļa 10 primārā faktorizācija izskatās kā 10 = 2 · 5.
Vēl viens piemērs. Izmantojot reizināšanas tabulu, mēs iekļausim skaitli 48 primārajos faktoros. Mēs zinām, ka seši ir astoņi - četrdesmit astoņi, tas ir, 48 = 6,8. Tomēr ne 6, ne 8 nav pirmskaitļi. Bet mēs zinām, ka divreiz trīs ir seši un divreiz četri ir astoņi, tas ir, 6=2·3 un 8=2·4. Tad 48=6·8=2·3·2·4. Atliek atcerēties, ka divi reiz divi ir četri, tad iegūstam vēlamo sadalīšanos pirmfaktoros 48 = 2·3·2·2·2. Rakstīsim šo paplašinājumu kanoniskā formā: 48=2 4 ·3.
Bet, ierēķinot skaitli 3400 primārajos faktoros, varat izmantot dalāmības kritērijus. Dalības zīmes ar 10, 100 ļauj apgalvot, ka 3400 dalās ar 100, kur 3400=34·100, un 100 dalās ar 10, kur 100=10·10, tātad 3400=34·10·10. Un, pamatojoties uz dalāmības ar 2 testu, mēs varam teikt, ka katrs no faktoriem 34, 10 un 10 dalās ar 2, mēs iegūstam 3 400 = 34 10 10 = 2 17 25 25. Visi iegūtās paplašināšanas faktori ir vienkārši, tāpēc šī paplašināšana ir vēlamā. Atliek tikai pārkārtot faktorus tā, lai tie būtu augošā secībā: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Pierakstīsim arī šī skaitļa kanonisko sadalīšanos pirmfaktoros: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.
Sadalot doto skaitli pirmfaktoros, pēc kārtas var izmantot gan dalāmības zīmes, gan reizināšanas tabulu. Iedomāsimies skaitli 75 kā galveno faktoru reizinājumu. Dalamības ar 5 tests ļauj apgalvot, ka 75 dalās ar 5, un iegūstam, ka 75 = 5·15. Un no reizināšanas tabulas mēs zinām, ka 15=3·5, tātad, 75=5·3·5. Šī ir nepieciešamā skaitļa 75 sadalīšana primārajos faktoros.
Bibliogrāfija.
- Viļenkins N.Ya. un citi.. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
- Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
- Mihelovičs Sh.H. Skaitļu teorija.
- Kuļikovs L.Ja. u.c.. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu krājums: Mācību grāmata fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.
(izņemot 0 un 1) ir vismaz divi dalītāji: 1 un pats. Tiek izsaukti skaitļi, kuriem nav citu dalītāju vienkārši cipariem. Tiek izsaukti skaitļi, kuriem ir citi dalītāji salikts(vai komplekss) cipari. Ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu. Tālāk ir norādīti pirmskaitļi, kas nepārsniedz 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Reizināšana- viena no četrām aritmētiskajām pamatoperācijām, bināra matemātiska darbība, kurā viens arguments tiek pievienots tik reižu, cik otrs. Aritmētikā reizināšana ir īss veids, kā pievienot noteiktu skaitu identisku terminu.
Piemēram, apzīmējums 5*3 nozīmē “pievienot trīs pieciniekus”, tas ir, 5+5+5. Reizināšanas rezultātu sauc strādāt, un skaitļi, kas jāreizina, ir reizinātāji vai faktoriem. Pirmo faktoru dažreiz sauc par " reizinātājs».
Katru salikto skaitli var faktorizēt pirmajos faktoros. Ar jebkuru metodi tiek iegūts tāds pats paplašinājums, ja neņem vērā faktoru rakstīšanas secību.
Skaitļa faktorēšana (faktorizācija).
Faktorizācija (faktorizācija)- dalītāju uzskaite - algoritms skaitļa faktorizācijai jeb pirmatnības pārbaudei, pilnībā uzskaitot visus iespējamos potenciālos dalītājus.
Tas ir, vienkāršiem vārdiem sakot, faktorizēšana ir skaitļu faktoringa procesa nosaukums, kas izteikts zinātniskā valodā.
Darbību secība, ņemot vērā galvenos faktorus:
1. Pārbaudiet, vai piedāvātais skaitlis ir pirmskaitlis.
2. Ja nē, tad, vadoties pēc dalīšanas zīmēm, no pirmskaitļiem izvēlamies dalītāju, sākot ar mazāko (2, 3, 5 ...).
3. Šo darbību atkārtojam, līdz koeficients izrādās pirmskaitlis.
Katram naturālajam skaitlim, izņemot vienu, ir divi vai vairāki dalītāji. Piemēram, skaitlis 7 bez atlikuma dalās tikai ar 1 un 7, tas ir, tam ir divi dalītāji. Un skaitlim 8 ir dalītāji 1, 2, 4, 8, tas ir, uzreiz 4 dalītāji.
Kāda ir atšķirība starp pirmskaitļiem un saliktajiem skaitļiem?
Skaitļus, kuriem ir vairāk nekā divi dalītāji, sauc par saliktiem skaitļiem. Skaitļus, kuriem ir tikai divi dalītāji: viens un pats skaitlis, sauc par pirmskaitļiem.
Skaitlim 1 ir tikai viens dalījums, proti, pats skaitlis. Viens nav ne pirmskaitlis, ne salikts skaitlis.
- Piemēram, skaitlis 7 ir galvenais un skaitlis 8 ir salikts.
Pirmie 10 pirmskaitļi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Skaitlis 2 ir vienīgais pāra pirmskaitlis, visi pārējie pirmskaitļi ir nepāra.
Skaitlis 78 ir salikts, jo papildus 1 un pašam tas dalās arī ar 2. Dalot ar 2, iegūstam 39. Tas ir, 78 = 2*39. Šādos gadījumos viņi saka, ka skaitlis tika ieskaitīts faktoros 2 un 39.
Jebkuru saliktu skaitli var sadalīt divos faktoros, no kuriem katrs ir lielāks par 1. Šis triks nedarbosies ar pirmskaitli. Tā tas notiek.
Skaitļu iekļaušana galvenajos faktoros
Kā minēts iepriekš, jebkuru saliktu skaitli var sadalīt divos faktoros. Ņemsim, piemēram, skaitli 210. Šo skaitli var sadalīt divos faktoros 21 un 10. Bet arī skaitļi 21 un 10 ir salikti, sadalīsim tos divos faktoros. Mēs iegūstam 10 = 2 * 5, 21 = 3 * 7. Rezultātā skaitlis 210 tika sadalīts 4 faktoros: 2,3,5,7. Šie skaitļi jau ir pirmskaitļi, un tos nevar paplašināt. Tas ir, mēs iekļāvām skaitli 210 galvenajos faktoros.
Faktorējot saliktos skaitļus primārajos faktoros, tos parasti raksta augošā secībā.
Jāatceras, ka jebkuru saliktu skaitli var unikālā veidā sadalīt primārajos faktoros, līdz pat permutācijai.
- Parasti, sadalot skaitli pirmfaktoros, tiek izmantoti dalāmības kritēriji.
Ieskaitīsim skaitli 378 primārajos faktoros
Mēs pierakstīsim ciparus, atdalot tos ar vertikālu līniju. Skaitlis 378 dalās ar 2, jo beidzas ar 8. Sadalot, iegūstam skaitli 189. Skaitļa 189 ciparu summa dalās ar 3, tas nozīmē, ka pats skaitlis 189 dalās ar 3. Rezultāts ir 63.
Arī skaitlis 63 dalās ar 3 atbilstoši dalāmībai. Iegūstam 21, skaitli 21 atkal var dalīt ar 3, iegūstam 7. Septiņi tiek dalīti tikai paši, mēs iegūstam vienu. Tas pabeidz sadalīšanu. Pa labi aiz rindas ir galvenie faktori, kuros tiek sadalīts skaitlis 378.
378|2
189|3
63|3
21|3
Ko nozīmē faktorings? Tas nozīmē, ka jāatrod skaitļi, kuru reizinājums ir vienāds ar sākotnējo skaitli.
Lai saprastu, ko nozīmē faktors, apskatīsim piemēru.
Skaitļa faktorinēšanas piemērs
Izvērtējiet skaitli 8.
Skaitli 8 var attēlot kā reizinājumu ar 2 ar 4:
8 attēlošana kā reizinājums no 2 * 4 nozīmē faktorizāciju.
Ņemiet vērā, ka šī nav vienīgā koeficientu 8.
Galu galā 4 ir faktorizēts šādi:
No šejienes var pārstāvēt 8:
8 = 2 * 2 * 2 = 2 3
Pārbaudīsim savu atbildi. Noskaidrosim, ar ko ir vienāda faktorizācija:
Tas ir, mēs saņēmām sākotnējo numuru, atbilde ir pareiza.
Reiģējiet skaitli 24 primārajos faktoros
Kā ieskaitīt skaitli 24 galvenajos faktoros?
Skaitli sauc par pirmskaitļu, ja tas dalās tikai ar vienu un pats sevi.
Skaitli 8 var attēlot kā reizinājumu no 3 ar 8:
Šeit skaitlis 24 ir faktorizēts. Bet uzdevumā ir teikts, ka “koeficē skaitli 24 primārajos faktoros”, t.i. Tie ir galvenie faktori, kas ir nepieciešami. Un mūsu izvērsumā 3 ir galvenais faktors, bet 8 nav galvenais faktors.