Когда люди говорят о каком-то человеке, имеющем убеждения, то это воспринимается как позитивная характеристика. Но что если у наших убеждений и традиционного взгляда на события есть обратная сторона, которая мешает нам ясно понимать происходящие в мире процессы?

Константин Смыгин, основатель сервиса книжных лайфхаков MakeRight , рассказывает о нашумевшей книге Стивена Д. Левитта и Стивена Дж. Дабнера «Фрикомыслие».

«Думать как фрик» - означает находить нестандартные решения, избегать распространенных психологических ловушек и смотреть на происходящие события с такого ракурса, который обычно недоступен зашоренному сознанию.

Немногие люди способны «думать как фрики», и вот почему:

1. Как показывают исследования, даже самые умные люди ищут в окружающем мире свидетельства, подтверждающие их точку зрения, и не готовы воспринимать новую информацию, идущую вразрез с их представлениями о мире. Наше сознание искажает и подстраивает под себя окружающую реальность.
2. Кроме того, на людей огромное влияние оказывает их окружение, та среда, в которой они живут. Человеку как социальному животному легче согласиться с существующим порядком вещей, нежели подвергнуть его сомнению, вызвав гнев соплеменников. Авторы называют это явление «передачей мыслительного процесса кому-то другому».
3. Третья причина также вытекает из особенностей человеческой природы: «людям некогда думать о том, как они думают. Более того, они вообще не тратят много времени на то, чтобы думать».

В своей книге Левитт и Дабнер отстаивают мысль о необходимости в том, чтобы все больше людей думали «как фрики». То есть более продуктивно, изобретательно и рационально.

Сила «я не знаю» и болезнь экспертов

Большинство людей считает постыдным демонстрировать свое незнание и показаться невежественным. По их мнению, лучше пытаться выглядеть экспертом в том, в чем совершенно не разбираешься. В этой ситуации электронные способы общения только на руку. С другой стороны, нежелание признавать свое незнание и некомпетентность означает, что разум человека закрыт для обучения и реальных знаний.

Исследования последних лет (например, Филипа Тетлока) доказали, что эксперты предсказывают будущее ненамного точнее «произвольного выбора шимпанзе, бросающего дарты». Точность их прогнозов составляет всего порядка 47,4%. Это эквивалентно предсказанию наугад, с той лишь разницей, что оно не будет вам стоить ничего, в то время как специалисты по прогнозам возьмут за свои услуги немалые деньги.

Интересно, что исследователь Филип Тетлок характеризует худших предсказателей как излишне самоуверенных - даже в случае, если их прогноз не сбывается.

Тем не менее люди продолжают прислушиваться к прогнозам или идут на поводу у соблазна предсказывать. Почему? Это связано с тем, что (учитывая крайне запутанные причинно-следственные связи нашего мира) мало кто вспоминает о неудавшихся прогнозах. А вот если предсказание сбудется, то человек, его сделавший, может снискать славу пророка или получить крупную награду.

Как признаться в незнании?

Авторы призывают не стесняться признавать свое неведение. Чтобы не поставить себя в глупое положение, сообщите неприятную для вас вещь и закончите фразой: «... но, возможно, я смогу это узнать». Скорее всего, люди позитивно отреагируют на подобную откровенность, особенно если вы вернетесь к ним с нужной информацией.

Зри в корень!

Причинно-следственные связи сложны, запутаны, неочевидны. Однако большинство людей продолжает мыслить и объяснять причины тех или иных явлений по сформированным за них шаблонам.

Чтобы увидеть истинные причины событий, нужно выйти за рамки сложившихся представлений.

1. В чем причина нищеты и голода? С одной стороны - это отсутствие денег и еды. С другой стороны, поставки еды и материальная помощь голодающим странам ничего не меняют. Проблема - в неработоспособной экономике, когда власть имущие думают, прежде всего, об удовлетворении собственных потребностей.
2. Почему в Африке бушует столько войн? Безусловно, причин много, но основная - в колониальном разделе Африки европейцами в XIX веке. Европейцы делили территории, просто глядя на карту (поэтому границы между африканскими странами часто представляют собой абсолютно прямые линии). В итоге дружественные африканские племена могли оказаться по разные стороны границы, а враждующие - в одной стране.
3. Почему в США болезни сердца больше распространены среди чернокожего населения? Было обнаружено, что рабовладельцы отбирали рабов по солености пота. Так как соль задерживает влагу, раб с более соленым потом имел больше шансов выжить во время измождающего морского путешествия до Нового Света и не умереть от обезвоживания. Чувствительность к соли передается по наследству, и исследования показывают, что у афроамериканцев на 50% чаще встречается гипертония, чем у белых (и у чернокожих в других странах), и как результат - выше риск проблем с сердцем.
4. До 80-х годов ХХ века считалось, что язву желудка вызывают стрессы и острая еда. Барри Маршалл доказал, что причиной язвы (которая потом может привести к раковой опухоли) является бактерия Helicobacter Pylori. Чтобы преодолеть сопротивление медицинского сообщества, которое не принимало гипотезу Маршалла всерьез, он совершил героический поступок - выпил содержащую бактерии жидкость, после чего у него появились признаки гастрита.

Думай как ребенок

Фрикомыслие зачастую предполагает умение думать как ребенок. Авторы отмечают, что это один из лучших способов поиска нестандартных решений и генерации идей. Дети любопытны и задают такие вопросы, которые боятся задавать взрослые. Отсутствие предубеждений - огромное преимущество для того, кто хочет добраться до сути вещей.

Так как большие проблемы обычно состоят из множества маленьких задач, вполне разумно начать с того, чтобы обратить свое внимание на одну из них. Плюсом здесь является также и то, что маленькую задачу легче воплотить в реальность.

Главный жизненный принцип фрика

Если вы хотите думать как фрик, то авторы советуют всегда использовать реальные стимулы, которые действуют на людей.

Есть множество стимулов - денежных, социальных, моральных. Умение их распознавать и применять - целая наука, потому как разные стимулы действуют в определенных случаях и с определенными людьми.

Определить стимул, который подействует на того или иного человека, непросто. Люди обычно не признаются в том, от чего могут быть зависимы, и авторы не рекомендуют верить в этом вопросе кому-либо на слово.

Существует еще один эффект, так называемый эффект кобры. Он связан с тем, что зачастую проявления щедрости вызывают обратную реакцию. Название он получил после ситуации, в которую попали английские колонисты в Индии. Решив сократить в Дели популяцию змей, колонисты объявили денежное вознаграждение за каждую убитую кобру. Результат был обратным - индийцы начали разводить и выращивать кобр, получая за них деньги, а когда награды отменили, всех кобр выпустили на волю.

Кроме того, стоит избегать стимулов, которые похожи на плохо замаскированные попытки манипулировать. Люди хорошо их чувствуют.

Использование стимулов полезно и с другой точки зрения. Зачастую тот, кто жульничает или лжет, реагирует на них особым образом. Исходя из этого, авторы выводят принцип, который называют «научи сад твой пропалывать себя». Смысл в том, что нужно заранее предусмотреть ситуацию, при которой человек с недобрыми намерениями раскроет себя.

В качестве примера авторы приводят известную историю о царе Соломоне. Однажды к нему на суд пришли две женщины с ребенком, каждая из которых утверждала, что ребенок ее. Соломон объявил им, что решил разрубить ребенка и дать каждой матери по половине. Это помогло вычислить настоящую мать, которая в ужасе сказала, что пусть лучше ее ребенок достанется другой, но будет жить. Самозванка же согласилась убить ребенка.

Как убеждать людей, которые не хотят, чтобы их убеждали?

Крайне глупо выдавать свое предложение за идеальное - это всегда настораживает людей, просто потому что такого не бывает. Чтобы человек не чувствовал подвоха, сами расскажите о слабых местах вашего предложения.

А вот переубедить кого-то - трудная задача в силу психологических эффектов. Если убеждения человека (что часто бывает) базируются на стереотипах и стадном мышлении, переубеждать его, используя логику и здравомыслие, - пустая трата времени. Лучше работать не над логикой доказательств, а над их эффектностью.

Еще один прием - признавать сильные стороны аргументов противника, что поможет придать значимости собственным аргументам.

Кроме того, ни в коем случае не стоит переходить черту, навешивать ярлыки и скатываться до оскорблений. Это сразу же лишит вас всех позиций. Лучшая стратегия переубеждения - рассказывать истории. Истории привлекают внимание и помогают перенестись на другой уровень понимания, способствуя лучшему восприятию ваших доводов и идей.

Преимущества отступления

Важно не поддаваться распространенной ментальной ловушке - если мы уже вложили во что-то время и средства, то мы продолжаем вкладывать средства и время в эти проекты, даже тогда, когда они не приносят ничего полезного. Это называется «ошибкой необратимых издержек». Так, вовремя отступив от убыточного проекта разработки «Конкорда», правительства Франции и Великобритании смогли бы уберечь свои бюджеты от миллиардных расходов.

Мы боимся остановиться потому, что это будет признанием нашей ошибки. В итоге мы вынуждены продолжать бесперспективное дело. Но, как уже отмечалось ранее, думать как фрик предполагает не бояться признаваться в собственных ошибках.

Эффективным способом избежать ошибок необратимых издержек является напоминание себе о них. Всегда ведите поиск альтернативных путей и решений той или иной ситуации.

Спросите себя: «Как бы я поступил сейчас, используя те же самые время, деньги и ресурсы?».

Русский филолог Дмитрий Николаевич Ушаков в своём толковом словаре даёт такое определение понятия «метод» - путь, способ, прием теоретического исследования или практического осуществления чего-нибудь (Д. Н. Ушаков, 2000).

Каковы же методы обучения решению задач по математике, которые мы считаем на данный момент нестандартными? Универсального рецепта, к сожалению, никто не придумал, учитывая уникальность данных задач. Некоторые учителя натаскивают в шаблонных упражнениях. Происходит это следующим образом: учитель показывает способ решения, а затем ученик повторяет это при решении задач многократно. При этом убивается интерес учащихся к математике, что, по меньшей мере, печально.

В математике нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, так как такие задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев воспринимается как «вызов интеллекту, и порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия, в развитии творческих способностей» .

Рассмотрим, несколько методов решения нестандартных задач:

• · алгебраический;
• · арифметический;
• · метод перебора;
• · метод рассуждения;
• · практический;
• · метод предположения.

Алгебраический метод решения задач развивает творческие способности, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

Для того чтобы решить задачу алгебраическим методом необходимо:

• · провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме двух алгебраических выражений;
• · найти основание для соединения этих выражений знаком «=» и составить уравнение;
• · найти решения полученного уравнения, организовать проверку решения уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой. Например, о поисках основания для соединения двух алгебраических выражений знаком равенства мы упоминаем как об особом этапе, но ясно, что на предыдущем этапе указанные выражения образуются не произвольно, а с учётом возможности соединить их знаком «=».

Как выявление зависимостей между величинами, так и перевод этих зависимостей на математический язык требует напряжённой аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Успех в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они реальный смысл этих отношений (например, отношений, выраженных терминами «позже на…», «старше в…раз» и т.п.). Далее требуется понимание, каким именно математическим действием или, свойством действия или какой связью (зависимостью) между компонентами и результатом действия может быть описано то или иное конкретное отношение.

Приведём пример решения нестандартной задачи алгебраическим методом.

Задача. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста - 1кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста вместе». Какова масса рыбы?

Пусть х кг - масса туловища; тогда (1+1/2х) кг - масса головы. Так как по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем и решаем уравнение:

х = 1 + 1/2х + 1,

4 кг - масса туловища, тогда 1+1/2 4=3 (кг) - масса головы и 3+4+1=8 (кг) - масса всей рыбы;

Ответ: 8 кг.

Арифметический метод решения также требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию.

Рассмотрим пример решения нестандартной задачи арифметическим методом:

Задача. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?»

«В моей корзине половина того, что в корзине у него, да ещё 10», - ответил первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да ещё 20», - подсчитал второй. Мы сосчитали, а теперь посчитайте вы.

Построим схему к задаче. Обозначим первым отрезком схемы количество рыбы у первого рыбака. Вторым отрезком обозначим количество рыбы у второго рыбака.

В связи с тем, что современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике и экономике, в школьный курс математики вводят элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, в которых удобно разбираться при помощи метода перебора .

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие школьников. «Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества математического мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления мы понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это» .

Комбинаторные задачи можно решать различными методами. Условно эти методы можно разделить на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (существуют правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. Результат - это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» же методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К таким методам относится метод перебора. Этот метод доступен даже младшим школьникам, и позволяет накапливать опыт практического решения комбинаторных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приёмами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Задачи по сложности осуществления перебора делятся на три группы:

• 1 . Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.
• 2. Задачи, в которых использовать приём полного перебора нецелесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращённый перебор).
• 3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

Приведём соответствующие примеры задач:

Задача. Расставляя знаки «+» и «-» между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения.

Проводится полный перебор вариантов:

• а) два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем:
  • 9 + 2 + 4 или 9 - 2 - 4;
• б) два знака могут быть разными, тогда получаем:
  • 9 + 2 - 4 или 9 - 2 + 4.

Задача. Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию нецелесообразно, поэтому проводится сокращённый перебор.

На первом месте может стоять большой круг, тогда маленький может быть только на третьем месте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя способами - на второе и четвёртое место.

Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит маленький круг, и также составляются два варианта.

Задача. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три.

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф.

Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

При отборе комбинаторных задач нужно обращать внимание на тематику и форму представления этих задач. Желательно, чтобы задачи не выглядели искусственным, а были понятны и интересны детям, вызывали у них положительные эмоции. Можно для составления задач использовать практический материал из жизни.

Встречаются и другие задачи, которые можно решить методом перебора.

В качестве примера решим задачу: «Маркизу Карабасу было 31 год, а его молодому энергичному Коту в Сапогах 3 года, когда произошли известные по сказке события. Сколько лет произошло с тех пор, если сейчас Кот в три раза младше своего хозяина?» Перебор вариантов представим таблицей.

Возраст Маркиза Карабаса и Кота в Сапогах

14 - 3 = 11 (лет)

Ответ: 11 лет прошло.

При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условиям задачи, показав, что других решений быть не может.

Эту задачу можно решить и алгебраическим методом.

Пусть Коту х лет, тогда Маркизу 3х, исходя из условия задачи, составим уравнение:

• 3х - х = 28,
• 2х = 28,

Коту сейчас 14 лет, тогда прошло 14 - 3 = 11(лет).

Ответ: 11 лет прошло.

Метод рассуждений можно использовать для решения математических софизмов.

Ошибки, допущенные в софизме, обычно сводятся к следующим: выполнению «запрещённых» действий, использованию ошибочных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем.

Раскрыть софизм - это, значит, указать ошибку в рассуждении, основываясь на которой была создана внешняя видимость доказательства.

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это, значит, осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Помимо критичности математического мышления этот вид нестандартных задач выявляет гибкость мышления. Сумеет ли ученик «вырваться из тисков» этого строго логичного на первый взгляд пути, разорвать цепь умозаключений в том самом звене, которое является ошибочным и делает ошибочным все дальнейшие рассуждения?

Разбор софизмов помогает также сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность и критическое отношение к тому, что изучается.

а) Вот, к примеру, софизм с неправильным применением теоремы.

Докажем, что 2 2 = 5.

Возьмём в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4: 4 = 5: 5 (1)

Вынесем за скобки общий множитель в левой и правой частях, получим:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Числа в скобках равны, значит, 4 = 5 или 2 2 = 5.

В рассуждении при переходе от равенства (1) к равенству (2) создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения.

б) Софизм с использованием «незаконных» обобщений.

Имеются две семьи - Ивановых и Петровых. Каждая состоит из 3 человек - отца, матери и сына. Отец Иванов не знает отца Петрова. Мать Иванова не знает матери Петровой. Единственный сын Ивановых не знает единственного сына Петровых. Вывод: ни один член семьи Ивановых не знает ни одного члена семьи Петровых. Верно ли это?

Если член семьи Ивановых не знает равного себе по семейному статусу члена семьи Петровых, то это не значит, что он не знает всю семью. Например, отец Иванов может знать мать и сына Петровых.

Метод рассуждений можно использовать и для решения логических задач. Под логическими задачами обычно понимают такие задачи, которые решаются с помощью одних лишь логических операций. Иногда решение их требует длительных рассуждений, необходимое направление которых заранее нельзя предугадать.

Задача. Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зелёную. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», а на синей - «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной - «Здесь сидит змея». Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой - змея, а третья - пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

Так как все надписи на коробочках неверны, то в красной коробочке лежит не золотой ключик, зеленая коробочка не пустая и в ней не змея, значит в зеленой коробочке - ключик, в красной - змея, а синяя - пуста.

При решении логических задач активизируется логическое мышление, а это умение выводить следствия из посылок, которое крайне необходимо для успешного овладения математикой.

Ребус - это загадка, но загадка не совсем обычная. Слова и числа в математических ребусах изображены при помощи рисунков, звездочек, цифр и различных знаков. Чтобы прочесть то, что зашифровано в ребусе, надо правильно назвать все изображенные предметы и понять, какой знак что изображает. Ребусами люди пользовались еще тогда, когда не умели писать. Свои письма они составляли из предметов. Например, вожди одного племени послали однажды своим соседям вместо письма птицу, мышь, лягушку и пять стрел. Это означало: «Умеете ли летать как птицы и прятаться в земле как мыши, прыгать по болотам как лягушки? Если не умеете, то не пробуйте воевать с нами. Мы засыпим вас стрелами, как только вы вступите в нашу страну».

Судя по первой букве суммы 1), Д = 1 или 2.

Предположим, что Д = 1. Тогда, У? 5. У = 5 исключаем, т.к. Р не может быть равно 0. У? 6, т.к. 6 + 6 = 12, т.е. Р = 2. Но такое значение Р при дальнейшей проверке не подходит. Аналогично, У? 7.

Предположим, что У = 8. Тогда, Р = 6, А = 2, К = 5, Д = 1.

Магический (волшебный) квадрат - это квадрат, в котором сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали получается одинаковой.

Задача. Расположите числа от 1 до 9 так, чтобы по вертикали, горизонтали и диагонали получилась одинаковая сумма чисел, равная 15.

Хотя общих правил для решения нестандартных задач нет (поэтому эти задачи и называются нестандартными), однако мы постарались дать ряд общих указаний - рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач разных видов.

Каждая нестандартная задача оригинальна и неповторима в своём решении. В связи с этим разработанная методика обучения поисковой деятельности при решении нестандартных задач не формирует навыки решения нестандартных задач, речь может идти лишь об отработке определённых умений:

• · умения понимать задачу, выделять главные (опорные) слова;
• · умения выявлять условие и вопрос, известное и неизвестное в задаче;
• · умения находить связь между данным и искомым, то есть проводить анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметического действия или логической операции для решения нестандартной задачи;
• · умения записывать ход решения и ответ задачи;
• · умения проводить дополнительную работу над задачей;
• · умение отбирать полезную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, систематизировать эту информацию, соотнося с уже имеющимися знаниями.

Нестандартные задачи развивают пространственное мышление, которое выражается в способности воссоздавать в уме пространственные образы объектов и выполнять над ними операции. Пространственное мышление проявляется при решении задач типа: «Сверху на кромке круглого торта поставили 5 точек из крема на одинаковом расстоянии друг от друга. Через все пары точек сделали разрезы. Сколько всего получилось кусочков торта?»

Практический метод можно рассмотреть для нестандартных задач на деление.

Задача. Палку нужно распилить на 6 частей. Сколько потребуется распилов?

Решение: Распилов потребуется 5.

При изучении нестандартных задач на деление надо понять: чтобы разрезать отрезок на Р частей, следует сделать (Р - 1) разрез. Этот факт нужно установить с детьми индуктивным путём, а затем использовать при решении задач.

Задача. В трёхметровом бруске - 300 см. Его надо разрезать на бруски длиной 50 см каждый. Сколько надо сделать разрезов?

Решение: Получаем 6 брусков 300: 50 = 6 (брусков)

Рассуждаем так: чтобы разделить брусок пополам, т. е. на две части, надо сделать 1 разрез, на 3 части - 2 разреза и так далее, на 6 частей - 5 разрезов.

Итак, надо сделать 6 - 1 = 5 (разрезов).

Ответ: 5 разрезов.

Итак, одним из основных мотивов, побуждающих школьников учиться, является интерес к предмету. Интерес - это активная познавательная направленность человека на тот или иной предмет, явление и деятельность, созданная с положительным эмоциональным отношением к ним. Одним из средств развития интереса к математике являются нестандартные задачи. Под нестандартной задачей понимают такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Решение таких задач позволяет учащимся активно включиться в учебную деятельность. Существуют различные классификации задач и методов их решения. Самыми часто используемыми являются алгебраический, арифметический, практический методы и метод перебора, рассуждения и предположения.

Бородич

Ирина Сергеевна

Учебное пособие для учителя по элективному курсу математики для 11 класса (физико – математический профиль)

«Нестандартные методы решения задач по математике»

Введение. В современных условиях содержательной модернизации образования возникает континуум проблем, имеющий социально – личностные характеристики и тормозящие позитивные изменения.

Математическое образование в системе среднего общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловно практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

По данным исследований PIZA в России остается весьма низким уровень математических компетентностей учащихся, хотя мы привыкли гордиться достижениями академической науки.

Важнейшей проблемой сегодняшнего математического образования является дефицит развития формально – операциональных структур интеллекта (логического мышления) и низкая мотивация к теоретической интеллектуальной деятельности у большинства школьников.

С другой стороны, к этому дефициту привели авторитарные методы педагогики, не способствовавшие развитию интеллекта у детей и коллективные методы работы, снижавшие интерес к математической науке.

Поэтому важнейшей стороной сегодняшнего образования становится индивидуализация образовательного процесса при изучении математики и тьюторское сопровождение педагогами развития интеллекта ребенка.

Актуальность. Курс по нестандартным методам решения математических задач актуален, прежде всего, тем, что делает образование более открытым, расширяя интеллектуальные возможности старшеклассников. Во - вторых, данный курс обеспечивает более свободное владение математическим инструментарием в рамках итоговой аттестации. С другой стороны, математика, являясь надпредметной областью знаний, способствует развитию логического мышления, интеллекта в целом и коммуникативных умений, способствующих самореализации личности. Курс актуален и в связи с расширением прикладного применения математических исчислений в других областях знаний.

Курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

Начиная работу по математике с младшими подростками, я в 6-7 классах, в рамках разделения предмета на два раздела, провожу тест анализа математических способностей, дифференцируя полученные результаты для формирования пакетов заданий: учащимся с низким уровнем креативности – развивающие пакеты, со средним уровнем креативности – задания повышенной сложности, с высоким уровнем – творческие задания. Оценивая эффект мероприятий, я повторяю это тестирование в 8-9 и 10-11 классах. Результат показал, что такая дифференцировка способствует более интенсивному и гармоничному развитию обучающихся.

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Курс «Нестандартные методы решения задач по математике» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в общий курс математики средней школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении, при итоговой аттестации в форме ЕГЭ. Появление задач, решаемых нестандартными методами, на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, способами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащихся и их математической культуры.

Решению задач такого типа в школьной программе не уделяется должного внимания, большинство учащихся (не физико-математических профильных групп) либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы задач по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для учащихся 11 классов физико – математического профиля.

Многообразие нестандартных задач охватывает весь курс школьной математики, поэтому владение приемами их решения можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Изучение нестандартных методов решения математических задач дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, подготовиться для дальнейшего изучения математики, научиться решать разнообразные задачи различной сложности.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в ВУЗы.

Новизна. Курс является инновационным, так как способствует более глубокому освоению математической науки в старших классах, как в профильных группах, так и на базовом уровне. Новизной является построение курса по методам решения математических задач и способам реализации математических знаний. Курс является своего рода тренажером при подготовке к итоговой аттестации и профессиональном выборе математических специальностей.

Обзор литературы. Данный курс предназначена для учащихся 11 класса физико-математического профиля. Содержание учебного материала соответствует целям и задачам профильного обучения. В начале курса обучения по элективному курсу была проведена диагностика математической креативности. Методологически, опираюсь в теоретической части на работы В. П. Супруна «Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач по математике» и Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: .

Основная цель курса:

Создание условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами;

Задачи курса:

формировать у учащихся компетентности по решению нестандартных задач;

изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ и к дальнейшему обучению в ВУЗе;

развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;

создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

развивать умение самостоятельно приобретать и применять знания.

Общими принципами отбора содержания курса являются:

Системность

Целостность

Научность.

Доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся профильных классов.

Курс содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет обучение, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.

Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.

Концепция курса.

При изучении курса математики старшей школы на базовом уровне продолжается изучение разделов: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей», вводится линия «Начала математического анализа».

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

В профильном курсе содержание образования развивается в следующих направлениях :

систематизация сведений о числе; формирование представлений числовых множеств, как способе построения нового математического аппарата необходимого для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;

развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;

систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;

совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

в ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

В российских школах начинается поэтапный переход на федеральные государственные образовательные стандарты второго поколения общего образования (далее – ФГОС), основной миссией которых является повышение качества образования. Особенностью 2011/2012 учебного года является введение ФГОС начального общего образования в начальной школе и последовательная подготовка к введению ФГОС основного общего образования. Поэтому уже сейчас необходимо понять его теоретико-методологическую основу, структуру и содержание.

ФГОС будет обеспечен гарантиями государства относительно того, что образовательные результаты будут достигаться в условиях определенной информационно-образовательной среды, которую составляют: педагогические кадры, материально-техническое, финансово-экономическое, информационное обеспечение.

Хотя содержание математического образования представлено в виде традиционных содержательных разделов: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия», «Математический анализ», «Вероятность и статистика», вместе с тем предполагается знакомство с историей математики и овладение следующими общематематическими понятиями и методами:

определения и начальные (неопределяемые) понятия, доказательства, аксиомы и теоремы, гипотезы и опровержения, контрпример, типичные ошибки в рассуждениях;

прямая и обратная теорема, существование и единственность объекта, необходимое и достаточное условие верности утверждения, доказательство от противного, метод математической индукции;

математическая модель, математика и задачи физики, химии, биологии, экономики, географии, лингвистики, социологии и пр.

Исходя из вышепредставленных позиций, нестандартные методы решения задач по математике являются инструментом формирования, как математического мышления, так и математических компетентностей, т.е. готовности применять нестандартные методы в решении теоретических и прикладных математических исчислений.

При этом математические модели тех или иных процессов природы и технологии требуют математической обработки, не всегда традиционными способами.

Такие подходы к применению и использованию математики способствуют формированию через личностные, действия личностных (самосовершенствование и самоуважение), метапредметных (формирование целей, задач, процессов их решения) и предметных результатов.

Нестандартные подходы к освоению математики, как надпредметной области делает образование открытым, а образовательную среду развивающей.

Темы реферативных, исследовательских и проектных работ :

История математики

Математики эпохи возрождения

Число как основное понятие математики

Чтение и запись натуральных чисел

Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

Математическая интуиция

Числа, которые преобразили мир

Бернулли

Иррациональные уравнения

Применение графиков в решении уравнений

Курс предназначен для учащихся 11 физико-математических класса.

Объем часов – 33 часа (по 1 часу в неделю).

Курс разделен на модули, по три часа каждый, объединённых темой решения задач.

Учебно-тематический план

Темы и разделы

Всего часов

В том числе

Формы проведения

Введение

Личностные

Мини - лекция

1. Метод функциональной подстановки

Регулятивные

Семинар, тренинг

2. Метод тригонометрической подстановки

Познавательные, личностные и регулятивные

Семинар, тренинг

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

4. Методы, на основе использования монотонности функций

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

5. Методы решения функциональных уравнений

Семинар, тренинг

6. Методы, основанные на применении векторов

Личностные и регулятивные

Семинар, тренинг

7. Комбинированные методы

Познавательные, личностные и регулятивные, коммуникативные

Технология критического мышления

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

9. Методы решения симметрических систем уравнений

Регулятивные

Семинар, тренинг

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Регулятивные

Семинар, тренинг

ИТОГОВОЕ занятие

Коммуникативные

Урок – конференция (защита проектных, исследовательских и реферативных работ)

Введение: 1 час (1 – теоретический)

Значение математики как науки и в жизни человека. Прикладное значение. Красота нестандартных способов решения задач. Распределение тем проектных, исследовательских и реферативных работ.

1.Метод функциональной подстановки: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Метод функциональной подстановки. Новая переменная , её применение. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Уравнения вида х 2 +(ах) 2 2 =с. Возвратные уравнения. Ряд других уравнений, решение которых требует введения новой переменной.

2.Метод тригонометрической подстановки: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Метод тригонометрической подстановки. Замена неизвестной переменной х тригонометрической функцией: х= или х= . Иррациональные уравнения. Рациональные уравнения. Показательные уравнения. Системы уравнений.

3.Методы, основанные на применении численных неравенств: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении численных неравенств. Неравенство Коши. Неравенство Бернулли. Неравенство Коши-Буняковского.

4.Методы на основе использования монотонности функций: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы на основе использования монотонности функций. Уравнение вида f (x )=g (x ). Исследование функций на монотонность.

5.Методы решения функциональных уравнений: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения функциональных уравнений. Уравнения вида f (f (…(f (x ))…))=x . Уравнения вида f (g (x ))=f (h (x )).

6.Методы, основанные на применении векторов: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении векторов. Вектор в трёхмерном пространстве. Длина вектора. Сумма и разность двух векторов. Коллинеарные векторы. Неравенство треугольника.

7.Комбинированные методы: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Комбинированные методы. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения. Логарифмические уравнения. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Системы уравнений. Доказательства неравенств.

8.Методы, основанные на использовании ограниченности функций: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на использовании ограниченности функций. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью.

9.Методы решения симметрических систем уравнений: 3 часа (1 час –семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения симметрических систем уравнений. Системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей.

10.Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения уравнений, содержащих целые и дробные части числа. Целая часть действительного числа. Дробная часть действительного числа.

11.Итоговое занятие: 2часа (Урок – конференция (защита проектных, исследовательских и реферативных работ))

Реализация формирования универсальных учебных действий в рамках внедрения ФГОС II поколения к профильному уровню старшей школы

ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Оценивать ситуации и поступки (ценностные установки, нравственная ориентация)

Делать выбор в отношении поступков, формируя установки на социально одобряемые и нравственные модели поведения, разрешая моральные противоречия на основе:

Общечеловеческих ценностей и российских ценностей, в том числе человеколюбия, уважения к труду, культуре;

Важности исполнения возрастных социальных ролей («сына», «дочери», роли «хорошего ученика»), важности учёбы и познания нового;

Важности бережного отношения к здоровью человека и к природе;

Важности развития духовного потенциала личности (различения «красивого» и «некрасивого», потребности в «прекрасном» и отрицания «безобразного», тяги к самопознанию и самосоверщенствованию);

Важности образования, здорового образа жизни, красоты природы и творчества.

Прогнозировать оценки одних и тех же ситуаций с позиций разных людей, отличающихся национальностью, мировоззрением, положением в обществе и т.п. (толерантное мышление и поведение)

Учиться замечать и признавать расхождения своих поступков со своими заявленными позициями, взглядами, мнениями.

Объяснять смысл своих оценок, мотивов, целей

(личностная саморефлексия, способность к саморазвитию, мотивация к познанию, учёбе)

ОСМЫСЛЕНИЕ

Объяснять положительные и отрицательные оценки, в том числе неоднозначных поступков, с позиции общечеловеческих и российских гражданских ценностей.

Объяснять отличия в оценках одной и той же ситуации, поступка разными людьми (в т.ч. и самим собой), как представителями разных мировоззрений, разных групп общества.

Собственного социального выбора и выбора моделей поведения.

САМООСОЗНАНИЕ

Объяснять самому себе:

Позитивная «Я – концепция»

- «что во мне хорошо, а что плохо» (личные качества, черты характера), «что я хочу» (цели, мотивы), «что я могу» (результаты).

Самоопределяться в жизненных ценностях (на словах) и поступать в соответствии с ними, отвечая за свои поступки (личностная позиция, российская и гражданская идентичность)

САМООПРЕДЕЛЕНИЕ

Осознавать себя гражданином России и ценной частью многоликого изменяющегося мира, в том числе

Объяснять, что связывает тебя:

с родными, с семьей

с твоими близкими, друзьями, одноклассниками

с земляками, народом

с твоей Родиной

со всеми людьми

с природой

Объяснять, что связывает тебя с историей, культурой, судьбой твоего народа и всей России;

Испытывать чувство гордости за свой народ, свою Родину, сопереживать им в радостях и бедах и проявлять эти чувства в добрых поступках;

Отстаивать (в пределах своих возможностей) гуманные, равноправные, гражданские демократические порядки и препятствовать их нарушению;

Искать свою позицию в многообразии общественных и мировоззренческих позиций, эстетических и культурных предпочтений;

Стремиться к взаимопониманию с представителями иных культур, мировоззрений, народов и стран, на основе взаимного интереса и уважения;

Уважать иное мнение, историю и культуру других народов и стран, не допускать их оскорбления, высмеивания;

Осуществлять добрые дела, полезные другим людям, своей стране, в том числе отказываться ради них от каких-то своих желаний.

Определение своего места в мире природы и мире культуры;

Формировать бесконфликтную модель поведения, способствующую ненасильственному и равноправному преодолению конфликта.

Делать осознанный выбор модели поведения в неоднозначно оцениваемых ситуациях, на основе:

Культуры, народа, мировоззрения, к которому ощущаешь свою причастность,

Базовых российских гражданских ценностей,

Общечеловеческих, гуманистических ценностей, в том числе ценности мирных добрососедских взаимоотношений людей разных культур, позиций, мировоззрений,

Известных и простых общепринятых правил «доброго», «безопасного», «красивого», «правильного» поведения,

Сопереживания в радостях и в бедах «своим»: близким, друзьям, одноклассникам,

Сопереживания чувствам других не похожих на тебя людей, отзывчивости к бедам всех живых существ.

Формировать адекватную самооценку и ответственность за совершаемые поступки и близких людей.

РЕГУЛЯТИВНЫЕ УУД

Определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи)

Определять цель учебной деятельности и целеполагание обучения самостоятельно, искать средства её осуществления.

Находить и формулировать основную учебную проблему и идею вначале вместе с учителем, а затем, самостоятельно, выбирать тему проекта с помощью учителя и самостоятельно.

Составлять план выполнения задач, решения проблем творческого и поискового характера, выполнения проекта совместно с учителем.

Освоить основы исследовательской и проектной деятельности через учебную и внеурочную работу.

Осуществить действия по реализации плана

Работая по проекту, планировать его этапы с целью выполнения и, при необходимости, корректировать этапы его реализации.

Научиться работать с информацией, используя её при реализации планов и решении учебных и исследовательских задач (справочная литература, сложные приборы, средства ИКТ).

Соотнести результат своей деятельности с целью и оценить его

В диалоге с учителем учиться вырабатывать критерии оценки и определять степень успешности выполнения своей работы и работы всех, исходя из имеющихся критериев, совершенствовать критерии оценки и пользоваться ими в ходе оценки и самооценки.

В ходе представления проекта учиться давать оценку его результатов.

Понимать причины своего неуспеха и находить способы выхода из этой ситуации.

Извлекать информацию, ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания, делать предварительный отбор источников информации для поиска нового знания, добывать новые знания (информацию) из различных источников и разными способами

Самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения предметной учебной задачи, состоящей из нескольких шагов.

Самостоятельно отбирать для решения предметных учебных задач необходимые словари, энциклопедии, справочники, электронные диски.

ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ УУД

Сопоставлять и отбирать информацию, полученную из различных источников (словари, энциклопедии, справочники, электронные диски, сеть Интернет).

Формировать собственную позицию в мире информации

Перерабатывать информацию для получения необходимого результата, в том числе и для создания нового продукта

Выполнять универсальные логические действия:

Выполнять анализ (выделение признаков),

Производить синтез (составление целого из частей, в том числе с самостоятельным достраиванием),

Выбирать основания для сравнения, сериации, классификации объектов,

Прогнозировать ожидаемый результат решения учебных задач,

Устанавливать аналогии и причинно-следственные связи,

Выстраивать логическую цепь рассуждений,

Относить объекты к известным понятиям.

Создавать модели с выделением существенных характеристик объекта и представлением их в пространственно-графической или знаково-символической форме, преобразовывать модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Использовать информацию в проектной деятельности под руководством учителя-консультанта.

Преобразовывать информацию из одной формы в другую и выбирать наиболее удобную для себя форму

Представлять информацию в виде таблиц, схем, опорного конспекта, в том числе с применением средств ИКТ.

Составлять простой и сложный план текста.

Уметь передавать содержание в сжатом, выборочном или развёрнутом виде.

КОММУНИКАТИВНЫЕ УУД

Доносить свою позицию до других, владея приёмами монологической и диалогической речи

Осваивать эффективную речевую деятельность средствами родного языка и его эмоциональной составляющей.

Оформлять свои мысли в устной и письменной речи с учетом своих учебных и жизненных речевых ситуаций, в том числе с применением средств ИКТ.

При необходимости отстаивать свою точку зрения, аргументируя ее. Учиться подтверждать аргументы фактами.

Учиться критично относиться к собственному мнению.

Понять другие позиции (взгляды, интересы)

Слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения.

Анализировать изучаемый текст, осуществляя при этом:

Сопоставляя её с собственной позицией по данному вопросу (проблеме);

Вычитывать все виды текстовой информации (фактуальную, подтекстовую, концептуальную).

Проводить рефлексию собственного отношения к идеи произведения;

Договариваться с людьми, согласуя с ними свои интересы и взгляды, для того чтобы сделать что-то сообща

Организовывать учебное взаимодействие в группе (распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.).

Принимать чужое мнение в группе.

Предвидеть (прогнозировать) последствия коллективных решений.

Дидактическое обеспечение

Курс носит характер углубления изучения математики в профильных группах и в рамках подготовки к конкурсам и олимпиадам. Курс предполагает дополнительный разбор наиболее сложных методик решения математических задач и уравнений. При этом в основе курса лежат, в основном две формы деятельности: семинары и тренинги. На семинарах, имеющих характер тьюториалов, рассматриваются теоретические аспекты математической науки. Целью изучения является освоение нестандартных методов решения сложных математических задач. При этом, в связи со сложностью и неоднозначностью методов, у обучающихся в тренинговом режиме вырабатывается логическое мышление и математические компетентности.

Занятия выстраиваются с активным участием обучающихся, которые: отслеживают пути решения, формируют критическое мышление и адекватную оценку и самооценку. При этом формируются все универсальные учебные действия и как следствие, ключевые образовательные компетентности:

аналитико - деятельностная,

прогностическая,

информационная,

коммуникативная

рефлексивная.

Все занятия строятся по плану, выработанному мною в процессе практики

при знакомстве с новыми способами решения - работа учителя с демонстрацией примеров;

при совершенствовании;

тренинговые занятия;

индивидуальная работа;

анализ готовых решений;

самостоятельная работа с тестами;

На занятиях используются различные формы и методы работы с учащимися:

Семинары, мини – лекции, круглые столы, мастер – классы, тренинги, работа индивидуальная и в малых группах.

Методы преподавания определяются целями курса, направленными на формирование математических способностей учащихся и основных компетентностей в предмете.

В тематическом планировании выделяется практическая часть, которая реализуется на знаниях учащихся, полученных в ходе курса теоретической подготовки.

По окончанию каждого раздела предполагается промежуточный контроль в форме обучающих тестов и других активных методов.

Результативность курса определяется в ходе итогового урока-конференции, выстроенного на защите поисково-исследовательских, проектных и реферативных работ.

Материал курса построен с учётом использования активных методов обучения, а рациональное распределение разделов программы позволит получить качественные знания и достичь запланированных результатов. Курс обеспечивается необходимым для её реализации учебно-методическим комплексом.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.

Используемые технологии: технология развития критического мышления, проблемная технология, технологию решения исследовательских задач (ТРИЗ), информационно - коммуникативную технология.

Литература для учителя:

Азаров А. И. Математика для старшеклассников: Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач /А. И. Азаров, С. А. Барвенов.- Мн.: Аверсэв, 2004.

Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций различными

способами / Т. Н. Епифанова Математика в школе. – №4. – 2000.

Мухаметзянова Ф.С. методист кафедры физико-математического образования УИПКПРО, Заслуженный учитель РФ Особенности преподавания учебного предмета «Математика» в 2011-2012 учебном году. (24.02.2009).

Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

Потапов, М. К. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений / М. К. Потапов, А. В. Шевкин / Математика в школе. – №3. – 2005.

Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения

корреспондент РАО А. М. Кондаков, академик РАО Л. П. Кезина)

В. П. Супрун. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности. – Мн.: «Аверсэв», 2002.

Литература для обучающихся:

Супрун В. П. Нестандартные методы решения задач по математике / Супрун В. П. – Мн.: Полымя, 2000.

Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006

Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.

Актуальность темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе в 9 классе, а также 10 и 11 и при сдаче экзаменов.

Цель: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений

Задачи

1. Изложить наиболее известные способы решения уравнений
2. Изложить нестандартные способы решения уравнений
3. Сделать вывод

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений

Методы исследования:

• Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
• Анализ: информации полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
• Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Глава 1.Квадратные уравнения и стандартные способы решения

1.1.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + b х + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Пример: - 7x + 3 =0

В каждом из уравнений вида a + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением .

Пример

х 2 - 11х+ 30=0, х 2 -8х= 0.

1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Разложение левой части уравнения на множители .

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х - 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

Ответ: -12; 2.

Решение квадратного уравнения по формуле.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 выражение b 2 - 4ас = D - по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Возможные случаи в зависимости от значения D:

1. Если D >0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х =
3. Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

х 2 + bx + c = 0.

Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

х 2 + px + q = 0, тогда

x 1 + x 2 = - p; x 1 · x 2 = q

Глава 2.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

2.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения - это такой способ решения квадратных уравнений, который поможет быстро и устно найти корни уравнения:

ax 2 + bx + c = 0

1. Если а+ b+c= 0, то x 1 = 1, x 2 =

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х - 4= 0.

a + b + c = 0, то x 1 = 1, x 2 =

1+3+(-4) = 0, тогда x 1 = 1, x 2 = = - 4

Проверим полученные корни с помощью нахождения дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 3 2 - 4·1·(-4) = 9+16= 25

x 1 = = = = = - 4

Следовательно, если + b +c= 0, то x 1 = 1, x 2 =

1. Если b = a + c , то x 1 = -1, x 2 =

х 2 + 4х +1 = 0, a=3, b=4, c=1

Если b= a + c , то x 1 = -1, x 2 = , то 4 = 3 + 1

Корни уравнения: x 1 = -1, x 2 =

Значит корнями этого уравнения являются -1 и. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 4 2 - 4·3·1 = 16 - 12 = 4

x 1 = = = = = - 1

Следовательно, b= a + c , то x 1 = -1, x 2 =

2.2.Способ «переброски»

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ±b+c ≠0, то используется прием переброски:

3х 2 +4х+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0

Применяя способ «переброски» получаем:

х 2 + 4х+3 = 0

Таким образом, с помощью теоремы Виета получаем корни уравнения:

x 1 = - 3, x 2 = -1.

Однако корни уравнения необходимо поделить на 3 (то число, которое «перебрасывали»):

Значит, получаем корни: x 1 = -1, x 2 = .

Ответ: ; - 1

2.3.Решение с помощью закономерности коэффициентов

1. Если уравнение ax 2 + bx + c = 0, коэффициент b = (a 2 +1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = - a , x 2 =

ax 2 + (а 2 + 1)∙ х + а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x 1 = -3, x 2 =

D= b 2 - 4ас= 10 2 - 4·3·3 = 100 - 36 = 64

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ; Следовательно, x 1 = - a , x 2 =

1. Если уравнение ax 2 - bx + c = 0, коэффициент b = (a 2 +1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = a , x 2 =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax 2 - (а 2 + 1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 - 10х +3 = 0.

, x 2 =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 10 2 - 4·3·3 = 100 - 36 = 64

a , x 2 =

1. Если уравнение ax 2 + bx - c = 0, коэффициент b = (a 2 -1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = -a , x 2 =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax 2 + (а 2 - 1)∙ х - а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 + 8х - 3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x 1 = - 3, x 2 =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ;Следовательно, x 1 = - a , x 2 =

1. Если уравнение ax 2 - bx - c = 0, коэффициент b = (a 2 -1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = a , x 2 =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax 2 - (а 2 - 1)∙ х - а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 - 8х - 3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x 1 = 3, x 2 = -

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 - 4ас= 8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

x 2 = = = = = 3; Следовательно, x 1 = a , x 2 = -

2.4.Решение с помощью циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.6).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB . OD = OA . OC , откуда OC = = =

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

1) построим точки S (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 7а) В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра AS < S , R <

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 7в), в этом случае уравнение не имеет решения.

а )AS>SB, R> б ) AS=SB, R= в ) AS

Два решения x 1 и x 2 Одно решение x 1 Нет решения

Пример.

Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис.8).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

x = - = - = 1,

y = = = -1

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

2.5.Геометрический способ решения квадратных уравнений .

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.9).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:

первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4. 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25. 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим:

x = 8 - 2 - 2 = 3

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис 10. где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис. .

рис.10

3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у 2 - 6у = 16.

На рис 11. находим «изображения» выражения у 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 - 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у - 3 . Заменяя выражение у 2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = - 2.

Заключение

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. При работе над темой я ставил задачу, выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.

Итак, стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):

• Решение с помощью выделения квадрата двучлена
• Разложение левой части на множители
• Решение квадратных уравнений по формуле
• Решение с помощью теоремы Виета
• Графическое решение уравнений

Нестандартные методы:

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения
• Решение способом переброски коэффициентов
• Решение с помощью закономерности коэффициентов
• Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.
• Исследование уравнения на промежутках действительной оси
• Геометрический способ

При этом следует заметить, что каждый способ обладает своими особенностями и границами применения.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения, при этом легко находятся только целые корни.

Решение уравнений способом переброски

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета, при этом также легко найти только целые корни.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Доступный метод для устного нахождения корней квадратного уравнения, но подходит только к некоторым уравнениям

Графическое решение квадратного уравнения

Наглядный способ решения квадратного уравнения, однако могут возникать погрешности при составлении графиков

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Наглядный способ решения квадратного уравнения, но также могут возникать погрешности

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Наглядный способ, похож на способ выделения полного квадрата

Решая уравнения разными способами, я пришел к выводу, что зная комплекс методов решения квадратных уравнений, можно решить любое уравнение, предлагаемое в процессе обучения.

При этом, следует заметить, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Однако самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, потому что данный способ позволяет решить любое квадратное уравнение, хотя иногда и за более длительное время. Также такие способы решения, как способ «переброски», свойство коэффициентов и теорема Виета помогаю сэкономить время, что очень важно при решении заданий на экзаменах и контрольных работах.

Думаю, что моя работа будет интересна учащимся 9-11 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, за счет рассмотрения истории квадратных уравнений и систематизации способов их решения.

Список литературы

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
2. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.
3. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2014 г.
4. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2013 г.
5. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2012 г.
6. .Барвенов С. А «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
7. Супрун В.П. «Нестандартные методы решения задач по математике» - Минск «Полымя», 2010г
8. Шабунин М.И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.
9. Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2004. - 287с.
10. Шаталова С. Урок - практикум по теме «Квадратные уравнения».- 2004.

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

учащаяся 9 а класса

Руководитель работы:

Фирсова Дарья Евгеньевна

учитель математики

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У. Сойер (английский математик XX века)

Цель работы

Изучить все существующие способы решения квадратного уравнения. Научиться использовать эти способы.

Задачи

• Понять, что называется квадратным уравнением.
• Узнать какие виды квадратных уравнений существуют.
• Найти информацию о способах решения квадратного уравнения и изучить её .

Актуальность темы: Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений.

В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения.

Объект: Квадратные уравнения.

Предмет: Способы решения данных уравнений.

Методы исследования: аналитический.

Гипотеза – если я при исследовании данной темы смогу реализовать постановленные мною цель и задачи, то соответственно выйду и на реализацию предпрофильной подготовки в области математического образования.

Методы исследования:

• Работа с учебной и научно-популярной литературой.
• Наблюдение, сравнение, анализ.
• Решение задач.

Ожидаемые результаты: В ходе изучения данной работы, я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал и соответственно в будущем определиться с профилем обучения, создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, изучение данного вопроса позволит мне компенсировать недостаточность в знаниях по обозначенной теме.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики, для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера , а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант

квадратные уравнения

УРАВНЕНИЕ:

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+X , другое же меньше, т.е. 10-X .

Разность между ними 2 Х

Отсюда Х=2 . Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение Х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

0 Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько было обезьянок Ты скажи мне, в этой стае?. Соответствующее задачи уравнение: Баскара пишет под видом: Дополнил левую часть до квадрата," width="640"

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax ² +bx=c, a0

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать повисая…

Сколько было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?.

Соответствующее задачи уравнение:

Баскара пишет под видом:

Дополнил левую часть до квадрата,

Квадратные уравнения в Древней Азии

х 2 +10 х = 39

Вот как решал это уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:

Он писал: "Правило таково:

раздвои число корней, х=2х ·5

получите в этой задаче пять, 5

умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5·5=25

прибавь это к тридцати девяти, 25+39

будет шестьдесят четыре, 64

извлеки из этого корень, будет восемь, 8

и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8-5

останется 3

это будет корень квадрата, который ты искал."

А второй корень? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком

Леонардом Фибоначчи.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А, равно BD, то А равно В и равно D».

Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном.

На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает :

Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p , а произведение равно q , то есть x 1 + x 2 = -p , x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

• Разложение левой части уравнения на множители
• Теорема Виета
• Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения
• Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента
• Метод выделения полного квадрата
• Графический способ решения квадратных уравнений
• Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
• Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
• Геометрический способ решения квадратных уравнений

Метод разложения на множители

привести квадратное уравнение общего вида к виду:

А(х)·В(х)=0,

где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Цель:

Способы:

• Вынесение общего множителя за скобки;
• Использование формул сокращенного умножения;
• Способ группировки.

Пример:

: х 2 + 10х – 24 = 0

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = = (х + 12)(х – 2);

(х + 12)(х – 2) = 0;

х + 12 = 0 или х – 2 = 0;

х 1 = -12 х 2 = 2 ;

Числа – 12 и 2 являются корнями данного уравнения.

Ответ: х 1 = -12 ; х 2 = 2.

Решение уравнений с помощью теоремы Виета

x 1 и х 2 – корни уравнения

Например :

Х 2 + 3Х – 10 = 0

Х 1 ·Х 2 = – 10, значит корни имеют разные

знаки

Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю

корень - отрицательный

Подбором находим корни: Х 1 = – 5, Х 2 = 2

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0

Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов

уравнения равна нулю), то х 1 = 1 , х 2 = c/а

Если а - b + с = 0 , или b = а + с , то х 1 = – 1 , х 2 = – с/а .

Пример :

137х 2 + 20х – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Ответ: 1;

0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5;6, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3." width="640"

Решение уравнений способом «переброски»

Корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношением : х = y/а .

Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 , где a ≠ 0. Умножая обе его части на а , получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0 , равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = y 1 /a и х 2 = y 2 /a .

Решите уравнение: 2х 2 - 11х +15 = 0.

Перебросим коэффициент 2 к свободному члену

у 2 - 11у +30= 0. D0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5;6, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3.

Метод выделения полного квадрата

х 2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х , а второе – удвоенное произведение х на 3 , поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 , имеем:

х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0 , т.е. (х + 3) 2 = 16 .

Следовательно, х + 3 - 4 = 0 или х + 3 + 4 = 0

х 1 = 1 х 2 = -7

Ответ: -7; 1.

Графический способ решения квадратного уравнения

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим

способом. Решим уравнение

Для этого построим два графика:

Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения.

Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.

Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.

Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

Ответ:

Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки

1. Выберем систему координат.

2. Построим точки S (-b/ 2 а; а+с/ 2 а) – центр окружности и А( 0; 1 ) .

3. Проведем окружность с радиусом SA .

Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения.

x 1

x 2

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Для уравнения

номограмма дает корни

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х 2 + 10х = 39 . В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

S = x 2 + 10 x + 25 (х 2 + 10 х = 39 )

S = 39 + 25 = 64 , откуда следует,

что сторона квадрата АВСD ,

т.е. отрезок АВ = 8 .

х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

На основании опроса установлено, что:

• Наиболее сложными оказались следующие способы:

Разложение левой части уравнения на множители,

Метод выделения полного квадрата.

• Рациональные методы решения:

Решение квадратных уравнений по формуле;

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

• Практического применения не имеет

Геометрический способ решения квадратных уравнений.

• Никогда раньше не слышали о способах:

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения;

С помощью номограммы;

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки;

Способ «переброски» (этот способ вызвал интерес у учеников).

Заключение

• данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики;

• овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

• потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов;

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!