Pra, problemi i studimit të një sistemi vektorësh për varësi lineare reduktohet në problemin e gjetjes së renditjes së një matrice të përbërë nga vektorët e këtij sistemi.

Duhet theksuar se për p>n sistemi i vektorëve do të jetë i varur në mënyrë lineare.

Komentoni: gjatë përpilimit të matricës A, vektorët e sistemit mund të merren jo si rreshta, por si kolona.

Algoritmi për studimin e një sistemi vektorësh për varësinë lineare.

Le të shohim algoritmin duke përdorur shembuj.

Shembuj të studimit të një sistemi vektorësh për varësinë lineare.

Shembull.

Jepet një sistem vektorësh. Shqyrtoni atë për varësi lineare.

Zgjidhje.

Meqenëse vektori c është zero, sistemi origjinal i vektorëve është i varur në mënyrë lineare për shkak të vetive të tretë.

Përgjigje:

Sistemi vektorial është i varur në mënyrë lineare.

Shembull.

Shqyrtoni një sistem vektorësh për varësinë lineare.

Zgjidhje.

Nuk është e vështirë të vërehet se koordinatat e vektorit c janë të barabarta me koordinatat përkatëse të vektorit të shumëzuara me 3, domethënë . Prandaj, sistemi origjinal i vektorëve është i varur në mënyrë lineare.

Varësia lineare dhe pavarësia lineare e vektorëve.
Baza e vektorëve. Sistemi i koordinatave afine

Në auditor ka një karrocë me çokollata dhe çdo vizitor sot do të marrë një çift të ëmbël - gjeometri analitike me algjebër lineare. Ky artikull do të prekë dy seksione të matematikës së lartë njëherësh dhe do të shohim se si ato bashkëjetojnë në një mbështjellës. Bëni një pushim, hani një Twix! ...dreq, çfarë marrëzish. Megjithëse, në rregull, nuk do të shënoj, në fund të fundit, duhet të keni një qëndrim pozitiv ndaj studimit.

Varësia lineare e vektorëve, pavarësia lineare e vektorit, baza e vektorëve dhe termat e tjerë kanë jo vetëm një interpretim gjeometrik, por, mbi të gjitha, një kuptim algjebrik. Vetë koncepti i "vektorit" nga pikëpamja e algjebrës lineare nuk është gjithmonë vektori "i zakonshëm" që mund të përshkruajmë në një plan ose në hapësirë. Ju nuk keni nevojë të shkoni larg për të provuar të vizatoni një vektor të hapësirës pesë-dimensionale. Ose vektori i motit, për të cilin sapo shkova në Gismeteo: – temperatura dhe Presioni i atmosferës përkatësisht. Shembulli, natyrisht, është i pasaktë nga pikëpamja e vetive të hapësirës vektoriale, por, megjithatë, askush nuk e ndalon formalizimin e këtyre parametrave si vektor. Fryma e vjeshtës...

Jo, nuk do t'ju mërzit me teorinë, hapësirat vektoriale lineare, detyra është që kuptojnë përkufizime dhe teorema. Termat e rinj (varësia lineare, pavarësia, kombinimi linear, baza etj.) vlejnë për të gjithë vektorët nga pikëpamja algjebrike, por do të jepen shembuj gjeometrikë. Kështu, gjithçka është e thjeshtë, e arritshme dhe e qartë. Përveç problemeve të gjeometrisë analitike, do të shqyrtojmë edhe disa detyra tipike algjebër Për të zotëruar materialin, këshillohet që të njiheni me mësimet Vektorë për dummies Dhe Si të llogarisim përcaktorin?

Varësia lineare dhe pavarësia e vektorëve të rrafshët.
Baza e planit dhe sistemi i koordinatave afine

Merrni parasysh planin tuaj tavolinë kompjuteri(vetëm një tavolinë, komodinë, dysheme, tavan, çfarëdo që ju pëlqen). Detyra do të përbëhet nga veprimet e mëposhtme:

1) Zgjidhni bazën e aeroplanit. Përafërsisht, një tavolinë ka një gjatësi dhe një gjerësi, kështu që është intuitive që do të kërkohen dy vektorë për të ndërtuar bazën. Është e qartë se një vektor nuk mjafton, tre vektorë janë shumë.

2) Bazuar në bazën e përzgjedhur vendos sistemin e koordinatave(rrjeti i koordinatave) për të caktuar koordinatat për të gjitha objektet në tabelë.

Mos u çuditni, fillimisht shpjegimet do të jenë në gishta. Për më tepër, në tuajën. Ju lutem vendosni gisht tregues dora e majtë në buzë të tavolinës në mënyrë që ai të shikojë monitorin. Ky do të jetë një vektor. Tani vendoseni gisht i vogël dora e djathtë në buzë të tryezës në të njëjtën mënyrë - në mënyrë që të drejtohet në ekranin e monitorit. Ky do të jetë një vektor. Buzëqeshni, dukeni shkëlqyeshëm! Çfarë mund të themi për vektorët? Vektorët e të dhënave kolineare, që do të thotë lineare të shprehura përmes njëri-tjetrit:
, mirë, ose anasjelltas: , ku është një numër i ndryshëm nga zero.

Ju mund të shihni një foto të këtij veprimi në klasë. Vektorë për dummies, ku shpjegova rregullin e shumëzimit të një vektori me një numër.

A do të vendosin gishtat tuaj bazën në rrafshin e tavolinës së kompjuterit? Është e qartë se jo. Vektorët kolinearë udhëtojnë mbrapa dhe me radhë vetëm drejtim, dhe një aeroplan ka gjatësi dhe gjerësi.

Vektorë të tillë quhen varur në mënyrë lineare.

Referenca: Fjalët "lineare", "lineare" tregojnë faktin se në ekuacionet matematikore, shprehjet nuk përmbajnë katrorë, kube, fuqi të tjera, logaritme, sinus etj. Ekzistojnë vetëm shprehje dhe varësi lineare (shkalla e parë).

Dy vektorë të rrafshët varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse janë kolinear.

Kryqëzoni gishtat mbi tavolinë në mënyrë që të ketë ndonjë kënd midis tyre përveç 0 ose 180 gradë. Dy vektorë të rrafshëtlineare Jo të varura nëse dhe vetëm nëse nuk janë kolineare. Pra, merret baza. Nuk ka nevojë të turpërohemi që baza doli të jetë "e shtrembëruar" me vektorë jo pingulë me gjatësi të ndryshme. Shumë shpejt do të shohim që jo vetëm një kënd prej 90 gradë është i përshtatshëm për ndërtimin e tij, dhe jo vetëm vektorë njësi me gjatësi të barabartë

Çdo vektor i rrafshët e vetmja mënyrë zgjerohet sipas bazës:
, ku janë numrat realë. Numrat thirren koordinatat vektoriale në këtë bazë.

Thuhet gjithashtu se vektorialeparaqitur si kombinim linear vektorët bazë. Dmth quhet shprehja zbërthimi i vektoritsipas bazës ose kombinim linear vektorët bazë.

Për shembull, mund të themi se vektori zbërthehet përgjatë një baze ortonormale të rrafshit, ose mund të themi se ai përfaqësohet si një kombinim linear vektorësh.

Le të formulojmë përcaktimi i bazës zyrtarisht: Baza e aeroplanit quhet një çift vektorësh linearisht të pavarur (jokolinearë), , ku ndonjë një vektor i rrafshët është një kombinim linear i vektorëve bazë.

Një pikë thelbësore e përkufizimit është fakti që vektorët janë marrë në një rend të caktuar. Bazat janë dy baza krejtësisht të ndryshme! Siç thonë ata, nuk mund të zëvendësoni gishtin e vogël të dorës së majtë në vend të gishtit të vogël të dorës së djathtë.

Ne kemi kuptuar bazën, por nuk mjafton të vendosni një rrjet koordinativ dhe t'i caktoni koordinatat për çdo artikull në tavolinën e kompjuterit tuaj. Pse nuk mjafton? Vektorët janë të lirë dhe enden në të gjithë rrafshin. Pra, si t'i caktoni koordinatat për ato pika të vogla të pista në tryezë të mbetura nga një fundjavë e egër? Nevojitet një pikënisje. Dhe një pikë referimi e tillë është një pikë e njohur për të gjithë - origjina e koordinatave. Le të kuptojmë sistemin e koordinatave:

Do të filloj me sistemin “shkollë”. Tashmë në mësimin hyrës Vektorë për dummies Unë theksova disa ndryshime midis sistemit të koordinatave drejtkëndore dhe bazës ortonormale. Këtu është fotografia standarde:

Kur flasin për sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë më së shpeshti nënkuptojnë origjinën, akset koordinative dhe shkallën përgjatë akseve. Provoni të shkruani "sistemi koordinativ drejtkëndor" në një motor kërkimi dhe do të shihni se shumë burime do t'ju tregojnë për boshtet e koordinatave të njohura nga klasa 5-6 dhe si të vizatoni pikat në një aeroplan.

Nga ana tjetër, duket se sistem drejtkëndor koordinatat mund të përcaktohen plotësisht përmes një baze ortonormale. Dhe kjo është pothuajse e vërtetë. Formulimi është si më poshtë:

origjinën, Dhe ortonormaleështë vendosur baza Sistemi koordinativ i planit drejtkëndor kartezian . Kjo është, sistemi i koordinatave drejtkëndëshe patjetër përcaktohet nga një pikë e vetme dhe dy vektorë ortogonalë njësi. Kjo është arsyeja pse ju shihni vizatimin që dhashë më lart - në problemet gjeometrike, të dy vektorët dhe boshtet e koordinatave vizatohen shpesh (por jo gjithmonë).

Unë mendoj se të gjithë e kuptojnë se përdorimi i një pike (origjine) dhe një bazë ortonorale ÇDO PIKË në aeroplan dhe NDONJË VEKTOR në aeroplan mund të caktohen koordinatat. Në mënyrë figurative, "çdo gjë në një avion mund të numërohet".

A kërkohet që vektorët e koordinatave të jenë njësi? Jo, ato mund të kenë një gjatësi arbitrare jo zero. Konsideroni një pikë dhe dy vektorë ortogonalë me gjatësi arbitrare jo zero:

Një bazë e tillë quhet ortogonale. Origjina e koordinatave me vektorë përcaktohet nga një rrjet koordinativ, dhe çdo pikë në rrafsh, çdo vektor ka koordinatat e tij në një bazë të caktuar. Për shembull, ose. Shqetësimi i dukshëm është se vektorët e koordinatave në përgjithësi kanë gjatësi të ndryshme përveç unitetit. Nëse gjatësitë janë të barabarta me njësinë, atëherë fitohet baza e zakonshme ortonormale.

! shënim : në bazën ortogonale, si dhe më poshtë në bazat afinale të planit dhe hapësirës, ​​konsiderohen njësitë përgjatë boshteve. KUSHTEZUESHME. Për shembull, një njësi përgjatë boshtit x përmban 4 cm, një njësi përgjatë boshtit të ordinatave përmban 2 cm Ky informacion është i mjaftueshëm për të kthyer, nëse është e nevojshme, koordinatat "jo standarde" në "centimetrat tanë të zakonshëm".

Dhe pyetja e dytë, e cila në fakt tashmë është përgjigjur, është nëse këndi midis vektorëve bazë duhet të jetë i barabartë me 90 gradë? Jo! Siç thotë përkufizimi, vektorët bazë duhet të jenë vetëm jo-kolineare. Prandaj, këndi mund të jetë çdo gjë përveç 0 dhe 180 gradë.

Një pikë në aeroplan thirrur origjinën, Dhe jokolineare vektorë, , vendosur sistemi koordinativ i rrafshit afin :

Ndonjëherë një sistem i tillë koordinativ quhet i zhdrejtë sistemi. Si shembuj, vizatimi tregon pikat dhe vektorët:

Siç e kuptoni, sistemi i koordinatave afinale është edhe më pak i përshtatshëm, formulat për gjatësitë e vektorëve dhe segmenteve, të cilat diskutuam në pjesën e dytë të mësimit, nuk funksionojnë në të; Vektorë për dummies, shumë formula të shijshme që lidhen me prodhim skalar i vektorëve. Por rregullat për mbledhjen e vektorëve dhe shumëzimin e një vektori me një numër, formulat për pjesëtimin e një segmenti në këtë relacion, si dhe disa lloje të tjera problemesh që do t'i shqyrtojmë së shpejti janë të vlefshme.

Dhe përfundimi është se rasti më i përshtatshëm i veçantë i një sistemi koordinativ afine është sistemi drejtkëndor Kartezian. Kjo është arsyeja pse ju duhet ta shihni më shpesh, i dashuri im. ...Megjithatë, gjithçka në këtë jetë është relative - ka shumë situata në të cilat një kënd i zhdrejtë (ose ndonjë tjetër, për shembull, polare) sistemi i koordinatave. Dhe humanoidët mund të pëlqejnë sisteme të tilla =)

Le të kalojmë në pjesën praktike. Të gjitha problemet në këtë mësim janë të vlefshme si për sistemin e koordinatave drejtkëndëshe ashtu edhe për rastin e përgjithshëm afina. Nuk ka asgjë të komplikuar këtu;

Si të përcaktohet kolineariteti i vektorëve të rrafshët?

Gjë tipike. Në mënyrë që dy vektorë të rrafshët të jenë kolinear, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që koordinatat e tyre përkatëse të jenë proporcionale, në thelb, ky është një përsosje koordinate për koordinatë e marrëdhënies së dukshme.

Shembulli 1

a) Kontrolloni nëse vektorët janë kolinear.
b) A formojnë vektorët një bazë?

Zgjidhja:
a) Zbuloni nëse ka një koeficient proporcionaliteti për vektorët e tillë që barazitë të plotësohen:

Unë patjetër do t'ju tregoj për versionin "foppish" të zbatimit të këtij rregulli, i cili funksionon mjaft mirë në praktikë. Ideja është që menjëherë të bëni proporcionin dhe të shihni nëse është e saktë:

Le të bëjmë një proporcion nga raportet e koordinatave përkatëse të vektorëve:

Le të shkurtojmë:
, kështu që koordinatat përkatëse janë proporcionale, prandaj,

Marrëdhënia mund të bëhet anasjelltas, ky është një opsion ekuivalent:

Për vetë-test, mund të përdorni faktin që vektorët kolinearë shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit. Në këtë rast, barazitë ekzistojnë. Vlefshmëria e tyre mund të verifikohet lehtësisht përmes operacioneve elementare me vektorë:

b) Dy vektorë të rrafshët formojnë bazën nëse nuk janë kolinearë (linearisht të pavarur). Le të shqyrtojmë vektorët për kolinearitet. Le të krijojmë një sistem:

Nga ekuacioni i parë rrjedh se , nga ekuacioni i dytë rrjedh se , që do të thotë sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koordinatat përkatëse të vektorëve nuk janë proporcionale.

konkluzioni: vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.

Një version i thjeshtuar i zgjidhjes duket si ky:

Le të bëjmë një proporcion nga koordinatat përkatëse të vektorëve:
, që do të thotë se këta vektorë janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.

Zakonisht ky opsion nuk refuzohet nga recensentët, por problem lind në rastet kur disa koordinata janë të barabarta me zero. Si kjo:. Ose si kjo:. Ose si kjo:. Si të punoni përmes proporcionit këtu? (në të vërtetë, ju nuk mund të pjesëtoni me zero). Është për këtë arsye që unë e quajta zgjidhjen e thjeshtuar "foppish".

Përgjigje: a) , b) forma.

Një shembull i vogël krijues për vendim i pavarur:

Shembulli 2

Në cilën vlerë të parametrit do të jenë vektorët kolinear?

Në zgjidhjen e mostrës, parametri gjendet përmes proporcionit.

Ekziston një mënyrë elegante algjebrike për të kontrolluar vektorët për kolinearitet, le të sistemojmë njohuritë tona dhe ta shtojmë atë si pikën e pestë.

Për dy vektorë rrafshet janë ekuivalente deklaratat e mëposhtme :

2) vektorët përbëjnë një bazë;
3) vektorët nuk janë kolinearë;

+ 5) përcaktorja e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është jozero.

Përkatësisht, pohimet e mëposhtme të kundërta janë ekuivalente:
1) vektorët janë të varur në mënyrë lineare;
2) vektorët nuk përbëjnë bazë;
3) vektorët janë kolinearë;
4) vektorët mund të shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit;
+ 5) një përcaktues i përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve, e barabartë me zero .

Unë me të vërtetë, me të vërtetë shpresoj që tashmë i keni kuptuar të gjitha termat dhe deklaratat që keni hasur.

Le të shqyrtojmë më në detaje pikën e re, të pestë: dy vektorë të një rrafshi janë kolinear nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është e barabartë me zero:. Për të aplikuar këtë veçori, sigurisht, duhet të jeni në gjendje gjeni përcaktorë.

Le të vendosim Shembulli 1 në mënyrën e dytë:

A)
, që do të thotë se këta vektorë janë kolinearë.

b) Dy vektorë të rrafshët formojnë bazën nëse nuk janë kolinearë (linearisht të pavarur). Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:
, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.

Përgjigje: a) , b) forma.

Duket shumë më kompakte dhe më e bukur se një zgjidhje me përmasa.

Me ndihmën e materialit të shqyrtuar, është e mundur të përcaktohet jo vetëm kolineariteti i vektorëve, por edhe të vërtetohet paralelizmi i segmenteve dhe vijave të drejta. Le të shqyrtojmë disa probleme me forma specifike gjeometrike.

Shembulli 3

Janë dhënë kulmet e një katërkëndëshi. Vërtetoni se një katërkëndësh është një paralelogram.

Dëshmi: Nuk ka nevojë të krijoni një vizatim në problem, pasi zgjidhja do të jetë thjesht analitike. Le të kujtojmë përkufizimin e një paralelogrami:
Paralelogrami Një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift quhet.

Pra, është e nevojshme të vërtetohet:
1) paralelizmi i anëve të kundërta dhe;
2) paralelizmi i anëve të kundërta dhe.

Ne vërtetojmë:

1) Gjeni vektorët:

Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:

2) Gjeni vektorët:

Rezultati është i njëjti vektor ("sipas shkollës" - vektorë të barabartë). Kolineariteti është mjaft i dukshëm, por është më mirë që vendimi të zyrtarizohet qartë, me rregullim. Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:
, që do të thotë se këta vektorë janë kolinearë, dhe .

konkluzioni: Brinjët e kundërta të një katërkëndëshi janë paralele në çifte, që do të thotë se është paralelogram sipas përkufizimit. Q.E.D.

Më shumë figura të mira dhe të ndryshme:

Shembulli 4

Janë dhënë kulmet e një katërkëndëshi. Vërtetoni se një katërkëndësh është një trapez.

Për një formulim më rigoroz të provës, është më mirë, natyrisht, të merret përkufizimi i një trapezi, por mjafton thjesht të mbani mend se si duket.

Kjo është një detyrë që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë në fund të orës së mësimit.

Dhe tani është koha për të lëvizur ngadalë nga avioni në hapësirë:

Si të përcaktohet kolineariteti i vektorëve të hapësirës?

Rregulli është shumë i ngjashëm. Në mënyrë që dy vektorë hapësinorë të jenë kolinear, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që koordinatat e tyre përkatëse të jenë proporcionale..

Shembulli 5

Zbuloni nëse vektorët hapësinorë të mëposhtëm janë kolinear:

A) ;
b)
V)

Zgjidhja:
a) Le të kontrollojmë nëse ka një koeficient proporcionaliteti për koordinatat përkatëse të vektorëve:

Sistemi nuk ka zgjidhje, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinearë.

"Thjeshtuar" zyrtarizohet duke kontrolluar proporcionin. Në këtë rast:
– koordinatat përkatëse nuk janë proporcionale, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear.

Përgjigje: vektorët nuk janë kolinearë.

b-c) Këto janë pika për vendimmarrje të pavarur. Provojeni në dy mënyra.

Ekziston një metodë për të kontrolluar vektorët hapësinorë për kolinearitet përmes një përcaktori të rendit të tretë, këtë metodë të mbuluara në artikull Prodhimi vektorial i vektorëve.

Ngjashëm me rastin e planit, mjetet e konsideruara mund të përdoren për të studiuar paralelizmin e segmenteve hapësinore dhe vijave të drejta.

Mirësevini në seksionin e dytë:

Varësia lineare dhe pavarësia e vektorëve në hapësirën tredimensionale.
Baza hapësinore dhe sistemi i koordinatave afine

Shumë nga modelet që kemi ekzaminuar në aeroplan do të jenë të vlefshme për hapësirën. U përpoqa të minimizoja notat e teorisë, pasi pjesa më e madhe e informacionit tashmë është përtypur. Megjithatë, ju rekomandoj që të lexoni me kujdes pjesën hyrëse, pasi do të shfaqen terma dhe koncepte të reja.

Tani, në vend të planit të tavolinës së kompjuterit, ne eksplorojmë hapësirën tredimensionale. Së pari, le të krijojmë bazën e saj. Dikush është tani brenda, dikush është jashtë, por gjithsesi nuk mund t'i shpëtojmë tre dimensioneve: gjerësia, gjatësia dhe lartësia. Prandaj, për të ndërtuar një bazë, do të kërkohen tre vektorë hapësinorë. Një ose dy vektorë nuk mjaftojnë, i katërti është i tepërt.

Dhe përsëri ne ngrohemi në gishta. Ju lutemi ngrini dorën lart dhe shtrijeni anët e ndryshme gishtin e madh, indeksin dhe Gishti i mesem . Këta do të jenë vektorë, duken në drejtime të ndryshme, kanë gjatësi të ndryshme dhe kanë kënde të ndryshme ndërmjet tyre. Urime, baza e hapësirës tre-dimensionale është gati! Meqë ra fjala, nuk ka nevojë t'ua demonstroni këtë mësuesve, sado që t'i ktheni gishtat, por nuk ka shpëtim nga përkufizimet =)

Më pas, le të pyesim çështje e rëndësishme, a formojnë çdo tre vektorë bazën e hapësirës tredimensionale? Ju lutemi, shtypni fort tre gishtat në pjesën e sipërme të tavolinës së kompjuterit. Cfare ndodhi? Tre vektorë janë të vendosur në të njëjtin rrafsh dhe, përafërsisht, ne kemi humbur një nga dimensionet - lartësinë. Vektorë të tillë janë koplanare dhe, është mjaft e qartë se baza e hapësirës tredimensionale nuk është krijuar.

Duhet të theksohet se vektorët koplanarë nuk duhet të shtrihen në të njëjtin rrafsh, ata mund të jenë në plane paralele (thjesht mos e bëni këtë me gishtat, vetëm Salvador Dali e bëri këtë =)).

Përkufizimi: quhen vektorë koplanare, nëse ka një rrafsh me të cilin ato janë paralele. Është logjike të shtohet këtu se nëse një plan i tillë nuk ekziston, atëherë vektorët nuk do të jenë koplanarë.

Tre vektorë koplanarë janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare, pra shprehen në mënyrë lineare nëpërmjet njëra-tjetrës. Për thjeshtësi, le të imagjinojmë përsëri se ata shtrihen në të njëjtin plan. Së pari, vektorët nuk janë vetëm koplanarë, por mund të jenë edhe kolinearë, pastaj çdo vektor mund të shprehet përmes çdo vektori. Në rastin e dytë, nëse, për shembull, vektorët nuk janë kolinear, atëherë vektori i tretë shprehet përmes tyre në një mënyrë unike: (dhe pse është e lehtë të merret me mend nga materialet në seksionin e mëparshëm).

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: tre vektorë jokoplanarë janë gjithmonë të pavarur në mënyrë lineare dmth nuk shprehen në asnjë mënyrë nëpërmjet njëra-tjetrës. Dhe, padyshim, vetëm vektorë të tillë mund të formojnë bazën e hapësirës tre-dimensionale.

Përkufizimi: Baza e hapësirës tre-dimensionale quhet trefishi i vektorëve linearisht të pavarur (jokoplanarë), marrë në një rend të caktuar, dhe çdo vektor të hapësirës e vetmja mënyrë zbërthehet mbi një bazë të caktuar, ku janë koordinatat e vektorit në këtë bazë

Më lejoni t'ju kujtoj se mund të themi se vektori paraqitet në formë kombinim linear vektorët bazë.

Koncepti i një sistemi koordinativ është prezantuar saktësisht në të njëjtën mënyrë si për rastin e rrafshët, mjafton një pikë dhe çdo tre vektorë linearisht të pavarur;

origjinën, Dhe jokomplanare vektorë, marrë në një rend të caktuar, vendosur sistemi koordinativ afin i hapësirës tredimensionale :

Sigurisht, rrjeti i koordinatave është "i zhdrejtë" dhe i papërshtatshëm, por, megjithatë, sistemi koordinativ i ndërtuar na lejon patjetër të përcaktojë koordinatat e çdo vektori dhe koordinatat e çdo pike në hapësirë. Ngjashëm me një plan, disa formula që kam përmendur tashmë nuk do të funksionojnë në sistemin e koordinatave afinale të hapësirës.

Rasti i veçantë më i njohur dhe më i përshtatshëm i një sistemi koordinativ afine, siç e mendojnë të gjithë, është sistem koordinativ hapësinor drejtkëndor:

Një pikë në hapësirë ​​e quajtur origjinën, Dhe ortonormaleështë vendosur baza Sistemi i koordinatave hapësinore drejtkëndore karteziane . Foto e njohur:

Para se të kalojmë në detyra praktike, le të sistemojmë përsëri informacionin:

Për tre vektorë hapësinorë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
1) vektorët janë linearisht të pavarur;
2) vektorët përbëjnë një bazë;
3) vektorët nuk janë koplanarë;
4) vektorët nuk mund të shprehen në mënyrë lineare me njëri-tjetrin;
5) përcaktori, i përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve, është i ndryshëm nga zero.

Mendoj se pohimet e kundërta janë të kuptueshme.

Varësia/pavarësia lineare e vektorëve të hapësirës tradicionalisht kontrollohet duke përdorur një përcaktues (pika 5). Detyrat praktike të mbetura do të jenë të një natyre të theksuar algjebrike. Është koha për të varur shkopin e gjeometrisë dhe për të përdorur shkopin e bejsbollit të algjebrës lineare:

Tre vektorë të hapësirës janë koplanare nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e vektorëve të dhënë është e barabartë me zero:.

Unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj në një nuancë të vogël teknike: koordinatat e vektorëve mund të shkruhen jo vetëm në kolona, ​​por edhe në rreshta (vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë për shkak të kësaj - shikoni vetitë e përcaktuesve). Por është shumë më mirë në kolona, ​​pasi është më e dobishme për zgjidhjen e disa problemeve praktike.

Për ata lexues që i kanë harruar pak metodat e llogaritjes së përcaktorëve, ose ndoshta nuk i kuptojnë fare ato, unë rekomandoj një nga mësimet e mia më të vjetra: Si të llogarisim përcaktorin?

Shembulli 6

Kontrolloni nëse vektorët e mëposhtëm formojnë bazën e hapësirës tre-dimensionale:

Zgjidhje: Në fakt, e gjithë zgjidhja zbret në llogaritjen e përcaktorit.

a) Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale (përcaktori zbulohet në rreshtin e parë):

, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur (jo koplanarë) dhe përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.

Përgjigju: këta vektorë përbëjnë një bazë

b) Kjo është një pikë për një vendim të pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Ekzistojnë gjithashtu detyra krijuese:

Shembulli 7

Në cilën vlerë të parametrit vektorët do të jenë koplanarë?

Zgjidhje: Vektorët janë koplanarë nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është e barabartë me zero:

Në thelb, ju duhet të zgjidhni një ekuacion me një përcaktor. Ne zbresim në zero si qiftet në jerboa - është më mirë të hapni përcaktuesin në rreshtin e dytë dhe menjëherë të hiqni qafe minuset:

Ne kryejmë thjeshtime të mëtejshme dhe e reduktojmë çështjen në ekuacionin linear më të thjeshtë:

Përgjigju: në

Është e lehtë të kontrollosh këtu për ta bërë këtë, duhet të zëvendësosh vlerën që rezulton në përcaktuesin origjinal dhe të sigurohesh që duke e hapur atë përsëri.

Si përfundim, do të shqyrtojmë një problem tjetër tipik, i cili është më i natyrës algjebrike dhe tradicionalisht përfshihet në një kurs algjebër linear. Është aq e zakonshme sa meriton temën e vet:

Vërtetoni se 3 vektorë përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale
dhe gjeni koordinatat e vektorit të 4-të në këtë bazë

Shembulli 8

Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë një bazë në hapësirën tredimensionale dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë.

Zgjidhje: Së pari, le të merremi me gjendjen. Sipas kushteve, jepen katër vektorë, dhe, siç mund ta shihni, ata tashmë kanë koordinata në një farë mase. Se çfarë është kjo bazë nuk na intereson. Dhe gjëja e mëposhtme është me interes: tre vektorë mund të formojnë një bazë të re. Dhe faza e parë përkon plotësisht me zgjidhjen e Shembullit 6, është e nevojshme të kontrollohet nëse vektorët janë vërtet të pavarur;

Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:

, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.

! E rëndësishme : koordinatat vektoriale Domosdoshmërisht shkruani në kolona përcaktor, jo në vargje. Përndryshe, do të ketë konfuzion në algoritmin e mëtejshëm të zgjidhjes.- koordinatat vektoriale, metoda e Cramer këtu nuk është aspak akull ;-)

Dhe, siç e vura re tashmë, detyra është në natyrë algjebrike. Vektorët që janë marrë në konsideratë nuk janë domosdoshmërisht ata vektorë që mund të vizatohen në hapësirë, por, para së gjithash, vektorë të kursit të algjebrës lineare arbitrare. Për rastin e vektorëve dydimensionale, një problem i ngjashëm mund të formulohet dhe zgjidhet - zgjidhja do të jetë teknikisht shumë më e thjeshtë, dhe për këtë arsye e kapërceva atë në paragrafin e mëparshëm.

I njëjti problem me vektorët tredimensionale për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 9

Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë një bazë dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë. sistemi ekuacionet lineare Zgjidheni duke përdorur metodën e Cramer.

Një zgjidhje e plotë dhe një mostër e përafërt e dizajnit përfundimtar në fund të mësimit.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë katër-dimensionale, pesë-dimensionale, etj. hapësira vektoriale, ku vektorët kanë përkatësisht 4, 5 ose më shumë koordinata. Për këto hapësira vektoriale ekziston edhe koncepti i varësisë lineare, pavarësia lineare e vektorëve, ekziston një bazë, duke përfshirë një bazë ortonormale, një zgjerim të një vektori në lidhje me një bazë. Po, hapësira të tilla nuk mund të vizatohen gjeometrikisht, por në to funksionojnë të gjitha rregullat, vetitë dhe teoremat e rasteve dy dhe tre dimensionale - algjebër e pastër... Edhe pse, kush e di, ndoshta jo e pastër... por le ta përfundojmë - oh çështje filozofike Unë tashmë u tundova të flisja në artikull Derivatet e pjesshëm të një funksioni me tre ndryshore, e cila u shfaq më herët se ky mësim.

Dashuroni vektorët, dhe vektorët do t'ju duan!

Varësia lineare dhe pavarësia vektoriale

Përkufizime të sistemeve vektoriale të varura lineare dhe të pavarura

Përkufizimi 22

Le të kemi një sistem n-vektorësh dhe një grup numrash, atëherë

(11)

quhet kombinim linear i një sistemi të caktuar vektorësh me një grup të caktuar koeficientësh.

Përkufizimi 23

Një sistem vektorësh quhet i varur linearisht nëse ka një grup koeficientësh, të paktën njëri prej të cilëve nuk është i barabartë me zero, i tillë që kombinimi linear i një sistemi të caktuar vektorësh me këtë grup koeficientësh është i barabartë me vektorin zero:

Le të jetë atëherë

Përkufizimi 24 ( përmes paraqitjes së një vektori të sistemit si një kombinim linear i të tjerëve)

Një sistem vektorësh quhet i varur linearisht nëse të paktën një nga vektorët e këtij sistemi mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve të mbetur të këtij sistemi.

Deklarata 3

Përkufizimet 23 dhe 24 janë ekuivalente.

Përkufizimi 25(nëpërmjet kombinimit linear zero)

Një sistem vektorësh quhet linearisht i pavarur nëse një kombinim linear zero i këtij sistemi është i mundur vetëm nëse të gjithë janë të barabartë me zero.

Përkufizimi 26(për shkak të pamundësisë për të paraqitur një vektor të sistemit si një kombinim linear i të tjerëve)

Një sistem vektorësh quhet linearisht i pavarur nëse një nga vektorët e këtij sistemi nuk mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve të tjerë të këtij sistemi.

Vetitë e sistemeve vektoriale të varura lineare dhe të pavarura

Teorema 2 (vektori zero në sistemin e vektorëve)

Nëse një sistem vektorësh ka një vektor zero, atëherë sistemi është i varur në mënyrë lineare.

Le të jetë, atëherë.

Prandaj, ne marrim me përkufizimin e një sistemi të varur linear vektorësh përmes një kombinimi linear zero (12) sistemi është i varur në mënyrë lineare.

Teorema 3 (nënsistem i varur në një sistem vektorial)

Nëse një sistem vektorësh ka një nënsistem të varur linearisht, atëherë i gjithë sistemi është i varur në mënyrë lineare.

 Le të jetë një nënsistem i varur linearisht, ndër të cilët të paktën një nuk është e barabartë me zero:

Kjo do të thotë, sipas përkufizimit 23, sistemi është i varur në mënyrë lineare. 

Teorema 4

Çdo nënsistem i një sistemi të pavarur linear është linearisht i pavarur.

 Nga e kundërta. Le të jetë sistemi i pavarur në mënyrë lineare dhe të ketë një nënsistem të varur linearisht. Por atëherë, sipas Teoremës 3, i gjithë sistemi do të jetë gjithashtu i varur në mënyrë lineare. Kontradikta. Prandaj, një nënsistem i një sistemi të pavarur linear nuk mund të jetë i varur në mënyrë lineare.

Kuptimi gjeometrik i varësisë dhe pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh

Teorema 5

Dy vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse.

 Domosdoshmëri.

dhe - varen në mënyrë lineare që kushti është i plotësuar. Atëherë, pra...

Përshtatshmëria.

varur në mënyrë lineare. 

Përfundimi 5.1

Vektori zero është kolinear me çdo vektor

Përfundimi 5.2

Në mënyrë që dy vektorë të jenë linearisht të pavarur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që .

Teorema 6

Në mënyrë që një sistem prej tre vektorësh të jetë i varur në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që këta vektorë të jenë koplanarë. .

 Domosdoshmëri.

Prandaj, i varur në mënyrë lineare, një vektor mund të përfaqësohet si një kombinim linear i dy të tjerëve.

ku dhe. Sipas rregullit të paralelogramit, ekziston një diagonale e një paralelogrami me brinjë, por një paralelogram është një figurë e sheshtë që është koplanare - gjithashtu koplanare.

Përshtatshmëria.

Koplanare. Le të aplikojmë tre vektorë në pikën O:

– e varur në mënyrë lineare

Përfundimi 6.1

Vektori zero është koplanar me çdo çift vektorësh.

Përfundimi 6.2

Në mënyrë që vektorët të jenë linearisht të pavarur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ata të mos jenë koplanarë.

Përfundimi 6.3

Çdo vektor i një rrafshi mund të përfaqësohet si një kombinim linear i çdo dy vektorësh jo-kolinearë të të njëjtit rrafsh.

Teorema 7

Çdo katër vektorë në hapësirë ​​janë të varur në mënyrë lineare .

 Le të shqyrtojmë 4 raste:

Le të vizatojmë një rrafsh përmes vektorëve, pastaj një rrafsh përmes vektorëve dhe një plan përmes vektorëve. Më pas vizatojmë plane që kalojnë në pikën D, paralel me çiftet e vektorëve; ; përkatësisht. Ne ndërtojmë një paralelipiped përgjatë vijave të kryqëzimit të planeve O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Le të shqyrtojmë O.B. 1 D 1 C 1 – një paralelogram i ndërtuar sipas rregullit të paralelogramit.

Konsideroni OADD 1 - një paralelogram (nga vetia e një paralelopipedi), më pas

EMBED Ekuacioni.3 .

Nga teorema 1 e tillë që. Pastaj, sipas përkufizimit 24, sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare. 

Përfundimi 7.1

Shuma e tre vektorëve jo-planarë në hapësirë ​​është një vektor që përkon me diagonalen e një paralelipipedi të ndërtuar mbi këta tre vektorë të aplikuar për një origjinë të përbashkët, dhe origjina e vektorit të shumës përkon me origjinën e përbashkët të këtyre tre vektorëve.

Përfundimi 7.2

Nëse marrim 3 vektorë joplanarë në hapësirë, atëherë çdo vektor i kësaj hapësire mund të zbërthehet në një kombinim linear të këtyre tre vektorëve.

Le të jetë një fushë skalarësh dhe F të jetë grupi i saj kryesor. Le të - -dimensionale hapësirë ​​aritmetike mbi - një sistem arbitrar të vektorëve të hapësirës

PËRKUFIZIM. Një kombinim linear i një sistemi vektorësh është një shumë e formës ku . Skalarët quhen koeficientë të kombinimit linear. Një kombinim linear quhet jo i parëndësishëm nëse të paktën një nga koeficientët e tij është i ndryshëm nga zero. Një kombinim linear quhet i parëndësishëm nëse të gjithë koeficientët e tij janë zero.

PËRKUFIZIM. Bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve të një sistemi quhet hapësirë ​​lineare e këtij sistemi dhe shënohet me . Hapësira lineare e një sistemi bosh konsiderohet të jetë një grup i përbërë nga një vektor zero.

Pra, sipas përkufizimit,

Është e lehtë të shihet se trupi linear i këtij sistemi vektorësh është i mbyllur në lidhje me operacionet e mbledhjes së vektorëve, zbritjes së vektorëve dhe shumëzimit të vektorëve me skalorë.

PËRKUFIZIM. Një sistem vektorësh quhet linearisht i pavarur nëse për ndonjë skalar pasojnë barazitë. Sistemi vektorial bosh

konsiderohen në mënyrë lineare të pavarura.

Me fjalë të tjera, një sistem i fundëm vektorësh është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse çdo kombinim linear jo i parëndësishëm i vektorëve të sistemit nuk është i barabartë me vektorin zero.

PËRKUFIZIM. Një sistem vektorësh quhet i varur në mënyrë lineare nëse ka skalarë që nuk janë të gjithë të barabartë me zero, të tillë që

Me fjalë të tjera, një sistem i fundëm vektorësh thuhet se është linearisht i varur nëse ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i vektorëve të sistemit të barabartë me vektorin zero.

Sistemi vektorial

quhet sistem vektorësh njësi në një hapësirë ​​vektoriale Ky sistem vektorësh është linearisht i pavarur. Në të vërtetë, për çdo skalar barazia pason barazinë dhe, rrjedhimisht, barazitë

Le të shqyrtojmë vetitë e varësisë dhe pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh.

VETITË 1.1. Sistemi i vektorëve që përmbajnë vektorin zero është i varur në mënyrë lineare.

Dëshmi. Nëse në një sistem vektorësh një nga vektorët, për shembull, është një vektor zero, atëherë kombinimi linear i vektorëve të sistemit, të gjithë koeficientët e të cilit janë zero, me përjashtim të koeficientit në, është i barabartë me zero. vektoriale. Rrjedhimisht, një sistem i tillë vektorësh është i varur në mënyrë lineare.

PASURIA 1.2. Një sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare nëse ndonjë nga nënsistemet e tij është i varur në mënyrë lineare.

Dëshmi. Le të jetë një nënsistem i varur linear i sistemit dhe të paktën një nga koeficientët është i ndryshëm nga zero. Pastaj Si pasojë, sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare.

HETIMI. Çdo nënsistem i një sistemi të pavarur linear është linearisht i pavarur.

PASURIA 1.3. Sistemi vektorial

në të cilin është linearisht i varur nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga vektorët është një kombinim linear i vektorëve të mëparshëm.

Dëshmi. Le të jetë sistemi (1) i varur në mënyrë lineare dhe atëherë ekzistojnë skalarë që nuk janë të gjithë të barabartë me zero, të tillë që

Le të shënojmë me k numrin më të madh që plotëson kushtin, atëherë barazia (2) mund të shkruhet në formë

Vini re se për ndryshe, pra, pasi . Nga (3) vijon barazia

Le të supozojmë tani se vektori është një kombinim linear i vektorëve që i paraprijnë, d.m.th., atëherë, d.m.th., nënsistemi i sistemit (1) është i varur në mënyrë lineare. Prandaj, nga vetia 1.2, sistemi origjinal (1) është gjithashtu i varur në mënyrë lineare.

PASURIA 1.4. Nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur, dhe sistemi i vektorëve

është i varur në mënyrë lineare, atëherë vektori v shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve

dhe në të vetmen mënyrë.

Dëshmi. Sipas kushtit, sistemi (2) është i varur në mënyrë lineare, d.m.th. ka skalarë që nuk janë të gjithë të barabartë me zero, të tillë që

Për më tepër, meqenëse për çka është në kundërshtim me pavarësinë lineare të sistemit (1). Nga (3) vijon barazia

Për shkak të pavarësisë lineare të sistemit (1), rrjedh se

PASURIA 1.5. Nëse

Dëshmi. Kushti do të thotë se ka skalarë të tillë që

Kushti do të thotë që ekzistojnë skalarë të tillë që

Në bazë të (1) dhe (2) ne marrim

TEOREMA 1.2. Nëse

atëherë sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare. Vërtetim (e kryer me induksion në ).